Kombinatorik (WS 2015/2016)

Prof. Dr. I. Schiermeyer, Dipl.-Math. C. Brause
Institut für Diskrete Mathematik und Algebra
Kombinatorik (WS 2015/2016)
Übung 6
„ Von allen, die bis jetzt nach Wahrheit forschten, haben die Mathematiker allein eine Anzahl Beweise finden
können, woraus folgt, daß ihr Gegenstand der allerleichteste gewesen sein müsse.“
( Rene Descartes )
Definition 1 (monochromatische arithmetische Progression der Länge l)1
Seien c, l, n, a1 , a2 , . . . , an > 1 natürliche Zahlen,
Ba1 ,a2 ,...,an = {(x1 , x2 , . . . , xn )T ∈ Zn : 1 6 xi 6 ai für alle i ∈ {1, 2, . . . , n}}
eine n-dimensionale Box, sowie x ∈ Ba1 ,a2 ,...,an und e ∈ Zn \ {(0, 0, . . . , 0)T } zwei Vektoren.
Die Menge {x + i · e : i ∈ {0, 1, . . . , l − 1}} heißt arithmetische Progression der Länge l falls
x + i · e ∈ Ba1 ,a2 ,...,an für alle i ∈ {0, 1, . . . , l − 1}.
Falls zusätzlich für eine gegebene Färbung fc : Ba1 ,a2 ,...,an → {1, 2, . . . , c} die Menge
{x + i · e : i ∈ {0, 1, . . . , l − 1}} einfarbig gefärbt ist, so wird diese monochromatische arithmetische
Progression der Länge l genannt.
Falls Ba1 ,a2 ,...,an für jede Färbung fc : Ba1 ,a2 ,...,an → {1, 2, . . . , c} zwei Vektoren xfc ∈ Ba1 ,a2 ,...,an und
efc ∈ Zn \ {(0, 0, . . . , 0)T } besitzt, sodass {xfc + i · efc : i ∈ {0, 1, . . . , l − 1}} eine monochromatische
arithmetische Progression der Länge l ist, so notieren wir
(a1 , a2 , . . . , an ) −→ (c, l),
andernfalls
(a1 , a2 , . . . , an ) −→
6
(c, l).
Aufgabe 1
Zeigen oder widerlegen Sie:
(a) (3, 5) −→ (2, 3)
(b) (4, 4) −→ (2, 3)
Aufgabe 2 Beweisen Sie die folgenden Beziehungen1 :
(a) Aus (a1 , a2 , . . . , ai , . . . , an ) −→ (c, l) folgt (a1 , a2 , . . . , ai + 1, . . . , an ) −→ (c, l).
(b) Aus (a1 , a2 , . . . , ai , . . . , an ) −→
6
(c, l) folgt (a1 , a2 , . . . , ai − 1, . . . , an ) −→
6
(c, l).
(c) (a1 , a2 , . . . , an ) −→ (c, l) genau dann, wenn (a0 , a1 , a2 , . . . , an ) −→ (c, l) für alle
a0 ∈ {1, 2, . . . , l − 1}.
Aufgabe 3
Man bestimme N ∈ N, sodass jede Zweifärbung der Zahlen {1, 2, . . . , N} drei monochromatische Zahlen
x, y, z mit x + y = z enthält. Ist N minimal?
Aufgabe 4
Sei ABC ein gleichseitiges Dreieck und enthalte S alle Punkte auf den Seiten des Dreiecks. Außerdem
seien alle Punkte aus S mit einer der beiden Farben Rot oder Blau gefärbt. Man zeige, dass es dann
immer drei gleich gefärbte Punkte in S gibt, die ein rechtwinkliges Dreieck beschreiben.
1 J.-P.
Bode und H. Harborth, „Sets of Van der Waerden Tuples“, unveröffentlicht
[email protected]
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