Vorlesung 3: Logik und Mengenlehre - KIT

Logik
Mengenlehre
Vorlesung 3: Logik und Mengenlehre
Gabriele Link
28.10.2013
Gabriele Link
Vorlesung 3: Logik und Mengenlehre
Logik
Mengenlehre
Erinnerung: Zeilen-Stufen-Form (ZSF) eines LGS














0 ···
..
.
..
.
..
.
..
.
..
.
0 ···
0 1 ∗ ···
..
. 0 0 ···
.. .. ..
. . .
.. .. ..
. . .
.. .. ..
. . .
.. .. ..
. . .
0 0 0 ···
∗ ∗ ∗ ··· ∗ ∗ ∗ ···
.. ..
0 1 ∗ ··· ∗ . .
..
..
..
.
. 0
∗ .
..
..
.
1 ∗ ···
. 0
.. ..
. .
0 0 ···
.. ..
.. ..
. .
. .
0 0
···
0 0 ···
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∗
..
.
..
.
c1
..
.
..
.
∗
cr
0 cr +1
..
..
.
.
0 cm
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













Logik
Mengenlehre
Erinnerung: Information der Zeilen-Stufen-Form
Aus der ZSF liest man ab:
Folgerung 3.8
Das zur ZSF gehörige LGS (und damit nach Satz 3.4 auch das
ursprüngliche LGS) ist genau dann lösbar, wenn gilt
cr +1 = cr +2 = . . . = cm = 0.
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Erinnerung: Gaußsche Normalform (GNF) des LGS
Durch weitere Zeilenumformungen kann man erreichen, dass
oberhalb der Einsen überall Nullen stehen:














0 ···
..
.
..
.
..
.
..
.
..
.
0 ···
0 1 ∗ ···
..
. 0 0 ···
.. .. ..
. . .
.. .. ..
. . .
.. .. ..
. . .
.. .. ..
. . .
0 0 0 ···
∗ 0 ∗ ··· ∗ 0 ∗ ···
.. ..
0 1 ∗ ··· ∗ . .
..
..
..
.
. 0
0 .
..
..
.
. 0
1 ∗ ···
.. ..
. .
0 0 ···
.. ..
.. ..
. .
. .
0 0
···
0 0 ···
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∗
..
.
..
.
d1
..
.
..
.
∗
dr
0 dr +1
..
..
.
.
0 dm
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






.






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Mengenlehre
Parametrisierung der Lösungsmenge
Falls das zur GNF gehörige LGS (und damit auch das ursprüngliche
LGS) lösbar ist (also dr +1 = . . . = dm = 0), so lassen sich alle
Lösungen des LGS an der GNF ablesen.
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Annahme (zur Vereinfachung):

















1
0
0
0
1
0
0
..
.
0
1
0
..
.
..
.
0 ···
···
..
···
0
..
.
..
.
0
0
..
.
..
.
.
00
a1,r
+1
···
..
.
..
.
..
.
1 ar00,r +1
0
..
.
0
..
.
0
0
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···
···
···
00
a1,n−r
..
.
..
.
..
.
d1
..
.
..
.
..
.
ar00,n−r
dr
0
..
.
0
..
.
0
0
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
















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Freie Parameter
Man wählt t1 , . . . , tn−r ∈ R als Parameter und setzt
xr +1 := t1 , xr +2 := t2 , . . . , xn := tn−r .
Aus der GNF folgt dann für die restlichen r Unbekannten
00
00
x1 = d1 − t1 a1,r
−
·
·
·
−
t
a
n−r
+1
1,n−r ,
..
..
.
.
xr
= dr − t1 ar00,r +1 − · · · − tn−r ar00,n−r .
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Gestalt der Lösungen
Durchlaufen t1 , . . . , tn−r jeweils alle reellen Zahlen, so erhält man
alle Lösungen des LGS.
Speziell erhält man für t1 = · · · = tn−r = 0 die Lösung
x = (d1 , . . . , dr , 0, . . . , 0).
Folgerung 3.9
Ein homogenes LGS mit mehr Unbekannten als Gleichungen
(n > m) ist immer nichtrivial lösbar (d.h. hat nicht nur die
Null-Lösung).
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Aussagenlogik
Aussagen“ können wahr oder falsch sein.
”
Beispiele für Aussagen
Es ist Nacht.
3 ist eine natürliche Zahl.
Logik“: gegebene ( elementare“) Aussagen
”
”
; neue ( zusammengesetze“) Aussagen
”
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Logische Verknüpfungen
Symbol
∧
∨
¬
⇒
⇔
Name
Konjunktion
Disjunktion
Negation
Implikation
Äquivalenz
Sprechweise
und“
”
oder“
”
nicht“
”
daraus folgt“
”
ist äquivalent zu“
”
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Beispiel Implikation, Konjunktion
N := Es ist Nacht
K := Alle Katzen sind grau.
Eine zusammengesetzte Aussage:
Wenn es Nacht ist, dann sind alle Katzen grau.
Kurzschreibweise:
N ⇒ K.
Noch eine zusammengesetzte Aussage:
Es ist Nacht und alle Katzen sind grau.
Kurzschreibweise:
N ∧ K.
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Wahrheitstafeln
A
w
w
f
f
B
w
f
w
f
A∧B
w
f
f
f
A
w
w
f
f
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B
w
f
w
f
A∨B
w
w
w
f
A
w
f
¬A
f
w
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Wahrheitstafeln
A
w
w
f
f
B
w
f
w
f
A⇒B
w
f
w
w
A
w
w
f
f
B
w
f
w
f
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A⇔B
w
f
f
w
A
w
w
f
f
B
w
f
w
f
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A∨B
f
w
w
f
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Beispiele
A := −1 ist eine natürliche Zahl. (f)
¬A (−1 ist keine natürliche Zahl) ist wahr.
B := 3 ist eine natürliche Zahl. (w)
A ⇒ B (Wenn −1 eine natürliche Zahl ist, dann ist 3 eine
natürliche Zahl) ist wahr
A ∧ B (−1 und 3 sind beides natürliche Zahlen) ist falsch
A ∨ B ist wahr.
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Klammerung ist entscheidend
R := Es regnet.
N := Es ist Nacht.
K := Alle Katzen sind grau.
Die zusammengesetzte Aussagen
N ∧ (R ⇒ K )
und
(N ∧ R) ⇒ K
sind verschieden:
Es ist Nacht und wenn es regnet, sind alle Katzen grau.“
”
In regnerischen Nächten sind alle Katzen grau.“
”
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Verallgemeinerung: Prädikatenlogik
Manchmal sind Aussagen von einer Variablen abhängig; man
spricht dann auch von Aussageformen.
Beispiele
A(x) := (3 ≤ x) ∧ (x ≤ 5) ist eine Aussageform für ganze
Zahlen. A(x) ist nicht allgemeingültig, aber erfüllbar: Es gibt
mindestens eine ganze Zahl x, für die A(x) wahr ist.
T (x, y ) := x ist ein Teiler von y ist eine Aussageform für
Paare von natürlichen Zahlen:
T (4, 12) ist eine wahre und T (5, 26) eine falsche Aussage.
T (1, y ) ist eine allgemeingültige Aussageform für natürliche
Zahlen y .
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Quantoren
Die Variablen in einer Aussageform können quantifiziert werden
mit Hilfe
des Existenzquantors ∃ (gesprochen Es gibt ein...“) und
”
des Allquantors ∀ (gesprochen Für alle...“).
”
Existenz und Eindeutigkeit wird beschrieben durch den Quantor
∃1 (gesprochen: Es gibt genau ein . . .“).
”
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Beispiele
∀ x ∈ Z : A(x)
Für alle ganzen Zahlen x gilt: 3 ≤ x und x ≤ 5 (falsche
Aussage).
∃ x ∈ Z : A(x)
Es gibt eine ganze Zahl x, so dass gilt: 3 ≤ x und x ≤ 5
(wahre Aussage)
∀ x ∈ N ∃ y ∈ N : T (x, y ) (wahre Aussage)
∃ y ∈ N ∀ x ∈ N : T (x, y ) (falsche Aussage)
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Reihenfolge ist wichtig
Das letzte Beispiel zeigt:
die Reihenfolge der einzelnen Quantifizierungen der Variablen ist
entscheidend.
∀ x ∈ N ∃ y ∈ N : T (x, y ) ist eine ganz andere Aussage als
∃ y ∈ N ∀ x ∈ N : T (x, y ).
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Was ist eine Menge?
Georg Cantor (1845–1918), hatte noch definiert:
Unter einer Menge“ verstehen wir jede Zusammenfassung M von
”
bestimmten wohlunterschiedenen Objekten unserer Anschauung
oder unseres Denkens (welche die Elemente“ von M genannt
”
werden) zu einem Ganzen.
In der modernen Mathematik verzichtet man auf eine Definition
des Begriffs Menge“ und verwendet ihn als Grundbegriff.
”
Um Widersprüche zu vermeiden wird speziell gefordert, dass eine
Menge sich nicht selbst als Element enthalten darf.
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Elemente einer Menge
Ist ein Objekt“ a in einer Menge M enthalten, schreiben wir
”
a ∈ M (gesprochen a Element M“),
”
andernfalls a 6∈ M (gesprochen a nicht Element M“).
”
andernfalls a 6∈ M (gesprochen a nicht Element M“).
”
Diejenige Menge, die keine Elemente enthält, heißt leere Menge
und wird bezeichnet mit ∅ := {}.
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Wie beschreibt oder definiert man Mengen?
durch Auflisten der Elemente:
z.B. M := {2, 3, 5, 7}
durch Auswahl bestimmter Elemente aus einer Grundmenge G
mit Hilfe einer Aussageform A(x) auf G :
z.B. M := {n ∈ N | n ist Primzahl und 1 ≤ n ≤ 10}.
Allgemeine Schreibweise: M := {x ∈ G | A(x)}
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Wichtige Beispiele
N = {1, 2, 3, . . .}, die Menge der natürlichen Zahlen.
Nehmen wir die Null hinzu, so schreiben wir N0 = N ∪ {0}.
Die ganzen Zahlen Z = {. . . , −2, −1, 0, 1, 2, . . .}.
Die rationalen Zahlen Q = { qp | p, q ∈ Z, q 6= 0}.
Die reellen Zahlen R, und die komplexen Zahlen C, die in
der Vorlesung Analysis“ detailliert behandelt werden.
”
Ist (∗) ein LGS mit vorgegebenen (reellen) Koeffizienten aij
und bi , 1 ≤ i ≤ m, 1 ≤ j ≤ n, so lässt sich die Lösungsmenge
L schreiben als
L = {x ∈ Rn | x ist Lösung des LGS (∗)}.
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Teilmenge
A und B Mengen
A heißt Teilmenge von B, wenn jedes Element von A auch in B
liegt: x ∈ A ⇒ x ∈ B.
Die Menge B heißt dann Obermenge von A.
Wir schreiben A ⊆ B oder B ⊇ A.
⊆ (manchmal auch ⊂) heißt Inklusionszeichen.
Um zu verdeutlichen, dass A eine echte Teilmenge von B ist
(d.h. A ⊆ B und ∃ x ∈ B : x ∈
/ A) schreiben wir A ( B.
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Wann sind zwei Mengen gleich?
Zwei Mengen M1 und M2 sind gleich (M1 = M2 ), wenn sie die
gleichen Elemente besitzen, d.h. wenn für jedes x gilt:
(x ∈ M1 ⇒ x ∈ M2 ) ∧ (x ∈ M2 ⇒ x ∈ M1 )
Also: M1 = M2 ⇔ (M1 ⊆ M2 und M2 ⊆ M1 ).
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Mächtigkeit und Potenzmenge
Die Anzahl der Elemente einer Menge M nennt man die
Mächtigkeit oder auch Kardinalität von M. Man schreibt dafür
|M| oder auch #M.
Die Menge aller Teilmengen einer Menge M heißt Potenzmenge
P(M) := {A | A ⊆ M}.
Ist M eine endliche Menge mit k Elementen (d.h. |M| = k), so ist
P(M) eine Menge mit 2k Elementen (d.h. |P(M)| = 2k ).
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Durchschnitt und Vereinigung
Der Durchschnitt der Mengen A, B ist die Menge
A ∩ B := {x | x ∈ A ∧ x ∈ B}.
Ein Element liegt also genau dann im Durchschnitt von A und B,
wenn es sowohl in A als auch in B liegt.
Ist der Durchschnitt A ∩ B leer, so heißen A und B disjunkt.
Die Vereinigung der Mengen A, B ist die Menge
A ∪ B := {x | x ∈ A ∨ x ∈ B} .
Ein Element liegt also in der Vereinigungsmenge A ∪ B, wenn es in
mindestens einer der beiden Mengen liegt.
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Kartesisches Produkt und Tupel
Sind A, B Mengen, so ist das (kartesische) Produkt von A und B
die Menge
A × B := {(x, y ) | x ∈ A ∧ y ∈ B}.
Dabei ist (x, y ) ein geordnetes Paar, und (x, y ) = (x 0 , y 0 ) gilt
genau dann, wenn x = x 0 und y = y 0 .
ACHTUNG: A × B nicht mit A ∩ B verwechseln!
Analog definiert man für k ∈ N die Menge der k-Tupel in A
Ak := {(x1 , x2 , . . . , xk ) | ∀i : xi ∈ A}.
Beispiel: R3 = R × R × R.
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Differenz und Komplement
Die Differenz der Mengen A, B ist die Menge
A\B := {x | x ∈ A ∧ x 6∈ B} .
Ist insbesondere A die Grundmenge G , so nennt man B c := G \B
das Komplement
B c = {x ∈ G | x 6∈ B}.
Es gelten die folgenden Gleichungen:
B\B = ∅,
B ∩ B c = ∅,
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B ∪ Bc = G ,
(B c )c = B.
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Verallgemeinerung: Mengensysteme
Sei M eine Menge von Mengen, z.B. M ⊆ P(A) für eine Menge A.
Der Durchschnitt aller Mengen B des Mengensystems M
(M 6= ∅) ist die Menge
\
B := {x | ∀ B ∈ M : x ∈ B}.
B∈M
Die Vereinigung aller Mengen M ∈ M ist die Menge
[
B := {x | ∃ B ∈ M : x ∈ B}.
B∈M
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Abbildungen
Seien X und Y Mengen. Eine Abbildung f von X nach Y ist eine
Vorschrift, die jedem Element x von X genau ein Element f (x) aus
Y zuordnet.
Schreibweise:
f : X → Y,
x 7→ f (x)
X heißt Definitionsmenge oder Definitionsbereich und Y
Zielmenge oder Wertebereich von f .
Die Menge {(x, f (x)) | x ∈ X } ⊂ X × Y heißt Graph der
Abbildung f .
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Bild und Urbild
Sei f : X → Y eine Abbildung, A ⊆ X und B ⊆ Y . Dann heißt die
Menge
f (A) := {f (x) | x ∈ A} ⊆ Y
Bild von A.
Die Menge
f −1 (B) := {x ∈ X | f (x) ∈ B} ⊆ X
heißt das Urbild von B.
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