TECHNISCHE UNIVERSITÄT DRESDEN

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TECHNISCHE
UNIVERSITÄT
DRESDEN
LAAG II,
SS 2008
Institut für Algebra
Prof. R. Pöschel, C. Zschalig
12. Übungsblatt für die Übungen vom 07.07. bis 11.07.2008
Orthogonale Matrizen und Abbildungen
Ü68. (a) Bestimmen Sie eine positive reelle Zahl r, so dass die Matrix


1 + r −1
r
1
r
−1 − r 
A=  1
2
r
1+r
1
orthogonal ist. Zeigen Sie, dass es sich dann um eine Drehung handelt.
(b) Berechnen Sie für diese Drehmatrix einen Eigenvektor zum Eigenwert 1.
(c) Berechnen Sie Drehachse und Drehwinkel (es reicht, cos α anzugeben).
Bemerkung: Wen es interessiert, wie sich die Abbildung x 7→ Ax geometrisch als Abbildung des
Dodekaeders interpretieren lässt, der suche in dem Buch Lineare Algebra“ von B. Artmann.
”
Ü69. Wie in 10.19 der Vorlesung bezeichne D(α) bzw. S(α) die Drehmatrix (Drehung um den
Winkel α) bzw. die Spiegelungsmatrix (Spiegelung an der Geraden durch den Ursprung
mit dem Steigungswinkel α2 )
(a) Überlegen Sie geometrisch, was das Produkt (=Hintereinanderausführung) zweier
Spiegelungen (an Geraden durch den Ursprung 0) im R 2 ergibt.
(b) Beweisen Sie das Ergebnis aus (a) algebraisch. Das Produkt zweier Spiegelungen
R2 → R2 ist eine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . , es gilt S(β)S(α) = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
(c) Gelten analoge Überlegungen auch für Spiegelungen an einer Ebene im Raum R 3 ?
(Dabei gibt es eine Begründung, mit der ohne Mühe kaum gerechnet zu werden braucht.)
(d) Füllen Sie folgende Multiplikationstabelle für orthogonale Abbildungen in O(2) aus
(die Einträge müssen die Form D(γ) oder S(γ) für geeignete Winkel γ haben) und
begründen Sie:
◦
D(α0 )
S(β 0 )
D(α)
S(β)
(e) Interpretieren Sie R2 als komplexe Zahlenebene, d.h. die Punkte xx12 ∈ R2 beschreiben die komplexen Zahlen z = x1 + ix2 ∈ C. Beschreiben Sie die orthogonalen Abbildungen D(α), S(α) als lineare Abbildungen C → C der Form z 7→ cz oder z 7→ cz̄
für geeignete c ∈ C.
Hinweis: Sie können z.B. die Darstellung z = r(cos t + i sin t) = reit , eit = cos t + i · sin t
verwenden.
Ü70. Es sei f bzw. A eine orthogonale oder unitäre Abbildung bzw. Matrix und λ sei ein
Eigenwert von f bzw. A. Beweisen Sie (vgl. Vorlesung 17.4 (b),(c))
(a) | det(f )| = 1, | det(A)| = 1,
(b) |λ| = 1.
Ü71. Es seien A, B ∈ Rn×n (bzw. A, B ∈ Cn×n ) zwei orthogonale (bzw. unitäre) Matrizen.
Zeigen Sie, dass AB und A−1 orthogonal (bzw. unitär) sind.
Ü72. Zeigen Sie, dass eine Matrix A ∈ C n×n genau dann unitär ist, wenn die Zeilen von A eine
Orthonormalbasis von Cn bilden (vgl. Vorlesung 17.4(a)).
Ü73. Es seien V und W zwei endlichdimensionale, euklidische Vektorräume (vgl. Vorlesung
17.3).
(i) Zeigen Sie, dass jede orthogonale Abbildung f : V → W injektiv ist (vgl. Vorlesung
7.9). Versuchen Sie (i) zu zeigen, ohne die endliche Dimensionalität zu benutzen.
(ii) Zeigen Sie, dass jede orthogonale Abbildung f : V → W bijektiv ist, falls
dim(V ) = dim(W ).
(iii) Gibt es eine orthogonale Abbildung f : V → W , wenn dim(V ) > dim(W )?
(iv) Gibt es eine orthogonale Abbildung f : V → W , wenn dim(V ) < dim(W )?