Kap. I - Lehrstuhl für Mathematik II

Mathematik für Physiker,
Informatiker und Ingenieure
(Kapitel I)
Dr. Gunther Dirr
Institut für Mathematik
Universität Würzburg
Skript vom 26. Oktober 2015
Inhaltsverzeichnis
Wintersemester
I
2
Grundlagen
1
Aussagenlogik . . . . . . . . . . . . . . .
1.1
Rechenregeln der Aussagenlogik .
1.2
Quantoren . . . . . . . . . . . . .
2
Mengen und Verknüpfungen . . . . . . .
3
Relationen und Abbildungen . . . . . .
4
Beweismethoden . . . . . . . . . . . . .
1
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3
3
5
11
13
18
27
Wintersemester
2
Kapitel I
Grundlagen
oder eine Stippvisite in die Welt der mathematischen Logik
Literatur:
• K. Appell & J. Appell „Mengen-Zahlen-Zahlbereiche”, Elsevier
2005
• H. Schichl & R. Steinhauer „Einführung in das mathematische
Arbeiten”, Springer 2009
1
Aussagenlogik
Problematik: Was ist eine Aussage/ein Satz (im mathematischen Sinne)?
Drei Definitionsversuche:
(V1) Eine mathematische Aussage ist ein Satz, der entweder wahr oder
falsch ist.
(V2) Eine mathematische Aussage ist ein Satz, den man beweisen oder
widerlegen kann.
(V3) Eine mathematische Aussage ist ein formaler Satz, d.h. ein Satz, der
sich in einer formalen Sprache ausdrücken lässt und keine freien Variablen enthält.
Beispiele:
1) Die Zahl 2 teilt die Zahl 6. [Formalisierung: ∃m : (2 · m = 6)]
Interpretation:
→ wahr in der Menge der natürlichen Zahlen.
→ falsch in der Menge aller geraden Zahlen.
2) Es gibt ein x mit der Eigenschaft x2 = 2. [Formalisierung: ∃x : x · x = 2]
Interpretation:
3
KAPITEL I. GRUNDLAGEN
→ wahr in der Menge R der reellen Zahlen.
→ falsch für die Menge Q der rationalen Zahlen.
3) Die Zahl y ist größer als 3. [Formalisierung: y > 3]
Interpretation:
→ weder wahr noch falsch, da die „Aussage” die „freie” Variable y enthält.
Man beachte, dass auch (mathematische) Sätze, die keine freien Variablen enthalten, weder wahr noch falsch sein können. Ein klassisches Beispiel liefert die sogenannte Antinomie vom Lügner (siehe z.B. H.-D. Ebbinghaus et al., Kap. X,
§7):
„Ich sage nicht die Wahrheit.” oder „Dieser Satz ist falsch.”
Diese Aussagen erscheinen durch ihren Selbstbezug weder wahr noch falsch.
Ähnliche selbstbezügliche „Sätze” sind auch in formalen Sprachen möglich, vgl.
Tarski (1901/1902-1983) oder Gödel (1906-1978).
Fazit/Konsequenz:
(a) Versuch (V3) kommt einer Definition des Begriffs
Satz (im Sinne der mathematischen Logik) am nächsten. Der Vorteil dieses
formalen Ansatzes liegt in der klare Trennung von Syntax und Semantik.
(b) Wir betrachten im Weiteren nur „konkrete” Aussagen, d.h. Interpretationen einer formalen Aussage in einer fest vorgegebenen Grundstruktur, von
denen wir annehmen, dass sie entweder wahr oder falsch sind.
(c) Da wir kein „absolutes” Kriterium für Wahrheit haben, benutzen wir sogenannte Axiomensysteme (AS), d.h. Systeme von einfachen (plausiblen)
Grundaussagen, deren Gültigkeit/Wahrheit wir annehmen. Ein Satz ist
dann (relativ zu AS) wahr, wenn er aus AS folgt bzw. beweisbar ist.
Beispiele:
∃x : x · x = 2
Interpretation in (R,+,·,0,1)
−−−−−−−−−−−−−−−−−−→
∃x ∈ R : x2
=
2
Dieser „konkrete” Satz ist wahr/beweisbar aus den Axiomen der reellen Zahlen.
Weiterführende Literatur:
• H.-D. Ebbinghaus et al., „Einführung in die Mathematische Logik”,
BI-Wissenschaftsverlag 1992 (3. Auflage).
• W. Rautenberg, „Einführung in die Mathematische Logik: Ein
Lehrbuch”, Vieweg & Teubner 2008 (3. Auflage).
• R. Schindler, „Logische Grundlagen der Mathematik”, Springer
2009.
• D. Hoffmann, „Die Gödel’schen Unvollständigkeitssätze”, Springer
Spektrum, 2013.
• M. Doborwolski, „Mathematische Exkursionen”, Oldenbourg Verlag, 2010.
4
KAPITEL I. GRUNDLAGEN
1.1
Rechenregeln der Aussagenlogik
Die Aussagenlogik – ein Teilgebiet der mathematische Logik – beschäftigt sich
mit den „Wahrheitswerten” (WW) verknüpfter Aussagen in Abhängigkeit von
den Wahrheitswerten ihrer Teilaussagen.
Beispiel: Die Zahl 2 ist eine Primzahl und kleiner als 5.
Grundannahmen:
(A1) Jede (konkrete) Aussage ist entweder wahr (w) oder1 falsch (f ) (Tertium non datur = „Ein Drittes gibt es nicht”).
(A2) Der Wahrheitswert einer verknüpften Aussage hängt nur vom Wahrheitswert der Einzelaussagen ab (Extensionalitätsprinzip).
Beispiel!
Elementare Verknüpfungen und deren Formalisierung
Seien A, B, C, . . . beliebige Aussagen. Dann definieren wir die folgenden elementaren Verknüpfungen von Aussagen:
¬A
=
b nicht A
A∧B
=
b A und B
A∨B
=
b A oder B
(Negation)
(Konjunktion)
(Disjunktion, einschließendes ODER)
(1)
(2)
(3)
Beispiel: Falls A und B für die Aussagen
A = „Die Zahl 2 ist eine Primzahl.”
bzw.
B = „Die Zahl 2 teil die Zahl 7.”
stehen, so ordnen wir dem logischen Ausdruck A ∧ ¬B die Aussage
„Die Zahl 2 ist eine Primzahl und sie teil nicht die Zahl 7.”
zu.
Den Wahrheitswert der obigen elementaren Verknüpfungen (1)–(3) legen wir
mittels der folgenden Tabellen fest.
A
w
f
1 Hier
¬A
f
w
handelt es sich um ein ausschließendes ODER
5
(1)
KAPITEL I. GRUNDLAGEN
A
w
w
f
f
A∧B
w
f
f
f
B
w
f
w
f
A
w
w
f
f
(?)
A∨B
w
w
w
f
B
w
f
w
f
(2)
(3)
Interpretation der Tabellen: Die Zeile (?) z.B. besagt, dass die Aussage
A ∧ B falsch ist, wenn A wahr und B falsch ist.
Weitere wichtige (abgeleitete) Verknüpfungen
A =⇒ B
=
b
A ⇐⇒ B
=
b
A ∨˙ B
=
b

Aus A folgt B



Wenn A, dann B
(Implikation)

A nur dann, wenn B



A impliziert B


A genau dann, wenn B
A dann und nur dann, wenn B (Äquivalenz)


A ist zu B äquivalent
entweder A oder B
(ausschließendes ODER)
(4)
(5)
(6)
A
w
w
f
f
B
w
f
w
f
A =⇒ B
w
f
w
w
(4)
A
w
w
f
f
B
w
f
w
f
A ⇐⇒ B
w
f
f
w
(5)
A ∨˙ B
f
w
w
f
(6)
A
w
w
f
f
B
w
f
w
f
˙ =⇒, ⇐⇒, . . . bezeichnet man auch als zweiBemerkung: Die Symbole ∧, ∨, ∨,
stellige logische Junktoren.
6
KAPITEL I. GRUNDLAGEN
Offensichtlich hängen die Wahrheitswerte der verknüpften Aussagen (1)–(6)
nur von den Wahrheitswerten der Teilaussagen, aber nicht von ihrem konkreten
Inhalt ab (vgl. Extensionalitätsprinzip). Daher können wir gemäß der folgenden Definition die obigen logischen Junktoren auch als sogenannte Boolesche
Funktionen ansehen.
Definition 1 Im Weiteren bezeichnen A1 , A2 , . . . Aussagenvariable, d.h. Variable, die nur die Werte w (=
b wahr) oder f (=
b falsch) annehmen können2 .
(a) Eine Belegung von A1 , . . . , An ist eine Abbildung, die jedem Ai , i =
1, . . . , n einen Wahrheitswert w oder f zuordnet, also eine Abbildung3
von {A1 , . . . , An } nach {w, f }.
(b) Einen Ausdruck P [A1 , . . . , An ], der durch Verknüpfung der Variablen A1 ,
. . . , An mittels der obigen (elementaren) Junktoren ¬, ∧ und ∨ sowie eventuell zusätzlicher Klammern entsteht, bezeichnet man als (abgeleiteten)
n-stelligen logischen Ausdruck.
(c) Eine Abbildung4 B : {w, f }n → {w, f }, heißt n-stellige Boolesche Funktion. Dabei bezeichnet {w, f }n die Menge alle n-Tupel, deren Komponenten
Werte in {w, f } annehmen.
(d) Ein n-stelliger logischer Ausdruck P [A1 , . . . , An ] heißt logisch allgemeingültig oder Tautologie, wenn P [A1 , . . . , An ] für alle Belegungen von A1 , . . .,
An den Wahrheitswert w annimmt.
(e) Ein n-stelliger logischer Ausdruck P [A1 , . . . , An ] heißt logisch unerfüllbar,
wenn P [A1 , . . . , An ] für alle Belegungen von A1 , . . . An den Wahrheitswert
f annimmt.
(f) Zwei n-stellige logische Ausdrücke Q[A1 , . . . , An ] und Q[A1 , . . . , An ] heißen logisch äquivalent, wenn die Wahrheitsswerte von P und Q für alle
Belegungen von A1 , . . . , An übereinstimmen.
Notation: P [A1 , . . . , An ] ≡ Q[A1 , . . . , An ].
(g) Ein n-stelliger logischer Ausdruck P [A1 , . . . , An ] heißt Darstellung einer
Boolschen Funktion B, wenn B und P [A1 , . . . , An ] für alle Belegung von
A1 , . . . , An übereinstimmen.
Notation: P [A1 , . . . , An ] ≡ B.
Bemerkung: Jeder n-stellige logische Ausdruck P [A1 , . . . , An ] definiert in natürlicherweise eine n-stellige logische Boolsche Funktion P mittels
P (a1 , · · · , an ) := P [A1 → a1 , . . . , An → an ] .
Beispiele:
1) Die Formel (A1 ∧ A2 ) ∨ ¬A3 liefert einen 3-stelligen logischen
Ausdruck.
2 Somit kann A als Wahrheitwert einer zugrundeliegenden Aussage (die wir oftmals auch
i
mit Ai bezeichnen) interpretiert werden; siehe auch Bemerkung Interpretation der obigen
Begriffe auf Seite 8.
3 vgl. Abschnitt 3
4 vgl. Abschnitt 3
7
KAPITEL I. GRUNDLAGEN
2) Eine Belegung von A1 , A2 , A3 erhält man z.B. durch die Zuweisung A1 →
w, A2 → f und A3 → w. Für diese Belegung nimmt der obige logische
Ausdruch (A1 ∧ A2 ) ∨ ¬A3 den Wert f an und somit gilt für die entsprechende Boolsche Funktion P (w, f, w) = f .
3) Das 4-Tuple (w, w, f, f, ) ist ein Element von {w, f }4 .
4) Eine Boolsche Funktion B : {w, f }2 → {w, f } kann man z.B. durch eine
Tabelle wie folgt darstellen:
w
w
f
f
w
f
w
f
B(w, w)
B(w, f )
B(f, w)
B(f, f )
(I.1)
Dabei steht B(w, w) für den Wert der Funktion an der Stelle (w, w),
B(w, f ) für den Wert der Funktion an der Stelle (w, f ), usw.
Interpretation der obigen Begriffe: Seien Aussagen A1 und A2 gegeben,
z.B.
A1 = „Die Zahl 2 ist eine Primzahl.”
sowie
A2 = „Die Zahl 2 teil die Zahl 7.”
Dann hat die „verknüpfte Aussage” P [A1 , A2 ] den Wahrheitswert P (w, f ), da
der Wahrheitswert von A1 gleich w und der von A2 gleich f ist. Allgemein kann
man somit jedem n-stelligen logischem Ausdruck eine entsprechende verknüpfte Aussage zuordnen, vorausgesetzt jeder Aussagenvariable A1 , . . . , An ist eine
konkrete Aussage (= Interpretation) zugewiesen. Der Wahrheitswert dieser verknüpften Aussage ist dann durch den Wert P (a1 , . . . , an ) gegeben, wenn ai den
Wahrheitswert der i-ten Teilaussagen bezeichnet. Eine Tautologien bzw. logische Unerfüllbarkeit liegen vor, wenn die „Aussage” P [A1 , . . . , An ] unabhängig
von der konkreten Interpretation der Ai immer wahr bzw. falsch ist.
Man beachte jedoch, dass man einer beliegigen Booleschen Funktion im Allgemeinen keine eindeutige „Aussage” zuordnen kann.
Warnung: 1) Ein n-stelliger logischer Ausdruck in den Variablen A1 , . . . , An
muss nicht zwangsläufig alle Variablen A1 , . . . , An enthalten. Somit kann z.B. ¬A1
auch als logischer Ausdruck in A1 und A2 angesehen werden. In diesem Fall erzeugt ¬A1 die Boolesche Funktion
A1
w
w
f
f
A2
w
f
w
f
¬A1
f
f
w
w
2) Im Weiteren schreiben wir oft A, B, C, . . . statt A1 , A2 , A3 , . . . um unnötige
Indizes zu vermeiden..
8
KAPITEL I. GRUNDLAGEN
Beispiele:
1) Der Ausdruck A∨¬A ist logisch allgemeingültig, denn es gilt:
A ¬A
w f
f
w
A ∨ ¬A
w
w
2) Der Ausdruck ¬(A ∨ ¬A) ist logisch unerfüllbar, denn es gilt:
A
w
f
¬A A ∨ ¬A ¬(A ∨ ¬A)
f
w
f
w
w
f
3) Die Ausdrücke ¬(A ∨ B) und (¬A) ∧ (¬B) sind logisch äquivalent, denn
es gilt:
A B ¬A ¬B ¬(A ∨ B) (¬A) ∧ (¬B)
w w f
f
f
f
w f
f
w
f
f
f w w
f
f
f
f f
w
w
w
w
Somit zeigt unsere „Rechnung” ¬(A ∨ B) ≡ (¬A) ∧ (¬B).
4) Die Boolesche Funktion, die durch A ⇐⇒ B definiert wird, läßt sich durch
(¬A ∨ B) ∧ (A ∨ ¬B) darstellen, denn es gilt:
¬A
f
f
w
w
A
w
w
f
f
B
w
f
w
f
A ⇐⇒ B
w
f
f
w
¬A ∨ B
w
f
w
w
A ∨ ¬B
w
w
f
w
(¬A ∨ B) ∧ (A ∨ ¬B)
w
f
f
w
Somit zeigt unsere „Rechnung” (A ⇐⇒ B) ≡ (¬A ∨ B) ∧ (A ∨ ¬B).
˙ . . .” heißen abgeleitet, da die zuBemerkung: Die Junktoren „=⇒, ⇐⇒, ∨,
gehörigen Booleschen Funktionen sich durch elementare Verknüpfungen, d.h.
durch die Ausdrücke ¬, ∧ und ∨ darstellen lassen. (vgl. Beispiel 4). Allgemein
kann man zeigen, dass jede n-stellige boolsche Funtion durch Negation ¬ und die
elementaren Junktoren ∧ und ∨ darstellt werden kann. Dieses Ergebnis findet
man in der Literatur unter dem Schlagwort disjunktive Normalform.
Satz 1
(a) Ein logischer Ausdruck ist genau dann logisch allgemeingültig,
wenn seine Negation logisch unerfüllbar ist.
(b) Zwei logische Ausdrücke P [A1 , . . . An ] und Q[A1 , . . . An ] sind genau dann
logisch äquivalent, wenn der logische Ausdruck5
P [A1 , . . . An ] ⇐⇒ Q[A1 , . . . An ]
logisch allgemeingültig ist.
5 Rein
formal ist P [A1 , . . . An ] ⇐⇒ Q[A1 , . . . An ] kein logischer Ausdruck, da er nicht nur
aus elementaren Junktoren besteht. Er läßt sich jedoch leicht mittels Beispiel 4 in einen solchen
umwandeln.
9
KAPITEL I. GRUNDLAGEN
(c) Zwei logische Ausdrücke sind genau dann logisch äquivalent, wenn sie die
gleiche Boolesche Funktion darstellen.
Beweis. Zu (a): „=⇒”: Sei P [A1 , . . . , An ] logisch allgemeingültig, d.h. der Wahrheitswert von P [A1 , . . . , An ] ist für alle Belegungen der A1 , . . . , An immer w.
Somit ist der Wahrheitswert von ¬P [A1 , . . . , An ] immer f . Also ist die Aussageform ¬P [A1 , . . . , An ] logisch unerfüllbar.
„ ⇐=”: Sei P [A1 , . . . , An ] logisch unerfüllbar, d.h. der Wert von P [A1 , . . . , An ]
ist f für alle Belegungen von A1 , . . . , An . Somit ist der Wahrheitswert von
¬Q[A1 , . . . , An ] immer W , also ist ¬P [A1 , . . . , An ] logisch allgmeingültig.
Zu (b): „=⇒”: Seien P [A1 , . . . , An ] und Q[A1 , . . . , An ] logisch äquivalent. Man
betrachte eine beliebige Belegung der A1 , . . . , An . Dann haben P [A1 , . . . An ]
und Q[A1 , . . . , An ] für diese Belegungen den gleichen Wahrheitswert und somit nimmt der Ausdruck P [A1 , . . . , An ] ⇐⇒ Q[A1 , . . . , An ] für diese Belegung
den Wert w an. Da die Belegung aber beliebig gewählt war, gilt dies für alle
Belegungen, d.h. P [A1 , . . . , An ] ⇐⇒ Q[A1 , . . . , An ] ist logisch allgemeingültig.
„⇐=”: Sei nun P [A1 , . . . , An ] ⇐⇒ Q[A1 , . . . , An ] logisch allgemeingültig und sei
eine beliebige Belegung der Aussagenvariablen A1 , . . . , An gegeben. Dann nehmen P [A1 , . . . , An ] und Q[A1 , . . . , An ] für diese Belegung den gleichen Wahrheitswert an, denn ansonsten wäre der Wert des Ausdrucks P [A1 , . . . , An ] ⇐⇒
Q[A1 , . . . , An ] nicht w. Da dies aber für jede Belegung gilt, ist P [A1 , . . . , An ]
logisch äquivalent zu Q[A1 , . . . , An ].
Zu (c): „=⇒”: Seien P [A1 , . . . , An ] und Q[A1 , . . . , An ] logisch äquivalent. Dann
nehmen P [A1 , . . . , An ] und Q[A1 , . . . , An ] für jede Belegung von A1 , . . . , An den
gleichen Wahrheitswert an und definieren somit die gleiche Boolesche Funktion.
„⇐=”: Angenommen, P [A1 , . . . , An ] und Q[A1 , . . . , An ] definieren die gleiche
Boolesche Funktion. Dann stimmen die Wahrheitswerte von P [A1 , . . . , An ] und
Q[A1 , . . . , An ] für jede Belegung von A1 , . . . , An überein, d.h. sie sind logisch
äquivalent.
Weitere wichtige „Rechenregeln” der Aussagenlogik liefert der folgende Satz.
Satz 2
Es gelten die folgenden logischen Äquivalenzen:
(a)
(A ∧ B) ∧ C ≡ A ∧ (B ∧ C)
(A ∨ B) ∨ C ≡ A ∨ (B ∨ C)
(Assoziativität)
(b)
A∧B ≡B∧A
A∨B ≡B∨A
(Kommutativität)
(c)
A ∧ (B ∨ C) ≡ (A ∧ B) ∨ (A ∧ C)
A ∨ (B ∧ C) ≡ (A ∨ B) ∧ (A ∨ C)
(Distributivität)
(d)
¬(A ∧ B) ≡ ¬A ∨ ¬B
¬(A ∨ B) ≡ ¬A ∧ ¬B
10
(de Morgansche Regeln)
KAPITEL I. GRUNDLAGEN
Beweis. Übungsaufgabe!
Der nachfolgende Satz stellt abschließend zwei einfache, aber wichtige „Kürzungsregeln“ bereit, die im Allgemeinen dazu dienen logische Ausdrücke zu vereinfachen. Zum Beweis des Satzes betrachten wir zuerst den folgenden Spezialfall.
Lemma 1 Seien P [A1 , . . . , An ] und Q[A1 , . . . , Am ] n- bzw. m-stellige logische
Ausdrücke. Dann gilt:
(a) P [A1 , . . . , An ] ∧ Q[A1 , . . . , Am ] ≡ P [A1 , . . . , An ], falls Q[A1 , . . . , Am ] logisch allgemeingültig ist.
(b) P [A1 , . . . , An ] ∨ Q[A1 , . . . , Am ] ≡ Q[A1 , . . . , Am ], falls P [A1 , . . . , An ] logisch unerfüllbar ist.
Beweis. X
Satz 3 (Kürzungsregeln) Seien P [A1 , . . . , An ] und Q[A1 , . . . , Am ] n- bzw. mstellige logische Ausdrücke und sei P [A1 , . . . , An ] =⇒ Q[A1 , . . . , Am ] allgemeingültig6 . Dann gilt:
(a) P [A1 , . . . , An ] ∧ Q[A1 , . . . , Am ] ≡ P [A1 , . . . , An ].
(b) P [A1 , . . . , An ] ∨ Q[A1 , . . . , Am ] ≡ Q[A1 , . . . , Am ].
Beweis. Der Übersichtlichkeit habler schreiben wir im Weiteren Beweis einfach
P bzw. Q statt P [A1 , . . . , An ] und Q[A1 , . . . , Am ].
Zu (a): Da P =⇒ Q allgemeingültig ist, erhalten wir aus Lemma 1 die logische
Äquivalenz P ≡ P ∧ (¬P ∨ Q). Andererseits folgen aus Satz 2 und wiederum aus
Lemma 1 die logischen Äquivalenzen P ∧(¬P ∨Q) ≡ (P ∧¬P )∨(P ∧Q) ≡ P ∧Q.
Insgesamt ergibt sich damit P ≡ P ∧ (¬P ∨ Q) ≡ P ∧ Q.
Zu (b): Übungsaufgabe!
1.2
Quantoren
Um präzise Aussagen über die Gesamtheit der Elemente einer „Grundstruktur”
formulieren zu können, definieren wir sogenannte Quantoren:
∀ =
b
∃ =
b
∃! =
b
Für alle . . .
(
Es gibt ein . . .
Es existiert ein . . .
(
Es gibt genau ein . . .
Es existiert genau ein . . .
(All-Quantor)
(Existenz-Quantor)
(Existenz- & Eindeutigkeits-Quantor)
Beispiele:
1) ∃x : x2 = 2 =
b
(
Es gibt ein x mit der Eigenschaft x2 = 2.
Die Gleichung x2 = 2 hat (mindestens) eine Lösung.
6 Dabei bezeichnen wir eine Implikation A =⇒ B als allgemeingültig, wenn der logische
Ausdruck ¬A ∨ B allgemeingültig ist.
11
KAPITEL I. GRUNDLAGEN
(
2
2) ∃y : y = 2 =
b
3) ∀y∃x : x2 = y
Es gibt ein y mit der Eigenschaft y 2 = 2.
Die Gleichung y 2 = 2 hat (mindestens) eine Lösung.
=
b
Für alle y existiert ein x, so dass x2 = y gilt.
Bemerkung: Beispiel 1) und 2) drücken den gleichen „Sachverhalt” aus, nämlich, dass es ein Element in unserer Grundstruktur gibt, das quadriert die Konstante 2 ergibt. Allgemein können sogenannte gebundene Variable, d.h. Variable
die nach einem Quantor stehen, ersetzt werden, ohne dass die Aussage ihre
Bedeutung ändert.
Konvention: Um „konkrete” Aussagen zu erhalten, sollte der Definitionsbereich D der gebundenen Variablen immer deutlich sein. Dies erreichen wir
durch Schreibweisen wie:
• ∀x ∈ D : . . .
oder
∀x : (x ∈ D =⇒ . . .)
• ∃x ∈ D : . . .
oder
∃y : (y ∈ D ∧ . . .)
Beispiele:
• ∃x ∈ R : x2 = 2 =
b
Es gibt eine reelle Zahl mit x2 = 2.
• ∀y ∈ N ∃x ∈ R : x2 = y =
b
Für jede natürliche Zahl y gibt es eine
reelle Zahl x, die quadriert y ergibt.
Der folgende Satz fasst einige wichtige „Rechenregeln” für Quantoren zusammen. Wir müssen hier auf einen formalen Beweis verzichten, da wir den Begriff
der „logischen Aquivalenz” für Ausdrücke, die All- und Existenz-Quantoren enthalten, nicht exakt definiert haben.
Satz 4
Es gelten die folgenden logischen Äquivalenzen:
(a) ¬ (∀x ∈ D : E(x)) ≡ ∃x ∈ D : ¬E(x)
(b) ¬ (∃x ∈ D : E(x)) ≡ ∀x ∈ D : ¬E(x)
(c) ∀x ∈ D ∀x0 ∈ D0 : G(x, x0 ) ≡ ∀x0 ∈ D0 ∀x ∈ D : G(x, x0 )
(d) ∃x ∈ D ∃x0 ∈ D0 : G(x, x0 ) ≡ ∃x0 ∈ D0 ∃x ∈ D : G(x, x0 ).
(e) ∀x ∈ D : E(x) ∧ F (x) ≡ ∀x ∈ D : E(x) ∧ ∀x ∈ D : F (x)
(f) ∃x ∈ D : E(x) ∨ F (x) ≡ ∃x ∈ D : E(x) ∨ ∃x ∈ D : F (x)
Dabei bezeichnen D und D0 beliebige Definitionbereiche und E(x), F (x) sowie
G(x, x0 ) beliebige ein- bzw. zweistellige Prädikate, d.h. Ausdrücke die eine bzw.
zwei freie Variablen enthalten, z.B. E(x) : x > 7 oder G(x, x0 ) : x + x0 = 0.
Beispiel: Gemäß Teil (a) des obigen Satzes sind die Aussagen
¬ (∀n ∈ N : n ≥ 2)
und ∃n ∈ N : n < 2
logisch äquivalent, d.h. die Aussage „Nicht alle natürlichen Zahlen sind größer
gleich 2” und die Aussage „Es gibt eine natürliche Zahl, die echt kleiner als 2
ist” haben den gleichen Wahrheitswert (Offensichtlich sind beide wahr).
12
KAPITEL I. GRUNDLAGEN
Konvention: Wir benutzen im Weiteren die abkürzenden Schreibweisen:
• ∀x, y ∈ D : Ẽ(x, y)
:=
∀x ∈ D ∀y ∈ D : Ẽ(x, y)
• ∃x, y ∈ D : Ẽ(x, y)
:=
∃x ∈ D ∃y ∈ D : Ẽ(x, y)
Warnung: Man beachte jedoch, dass Existenz- und All-Quantoren im Allgemeinen nicht vertauscht werden dürfen, d.h. im Allgemeinen gilt
∀x ∈ D ∃x0 ∈ D 0 : Ẽ(x, x0 ) 6≡ ∃x0 ∈ D 0 ∀x ∈ D : Ẽ(x, x0 )
Beispiel: Die Aussage ∀x ∈ R ∃y ∈ R : x + y = 0 ist wahr (man wähle
y = −x), wohingegen die Ausage ∃x ∈ R ∀y ∈ R : x + y = 0 falsch ist .
Bemerkung: Die obigen Symbole sollten nicht als stenographische Abkürzung in einem mathematische Text verwendet werden. Sie dienen ausschließlich
dazu, komplizierte mathematische Aussagen exakt zu formulieren, wenn dies die
Umgangssprache nicht eindeutig zulässt, wie z.B. bei der Definition komplizierter Mengen.
2
Mengen und Verknüpfungen
Problematik: Was ist eine Menge (im mathematischen Sinn)?
Definitionsversuch: (Cantor 1845-1918) Unter einer Menge verstehen wir
jede Zusammenfassung von bestimmten, wohlunterscheidbaren Objekten
unserer Anschauung oder unseres Denkens zu einem Ganzen.
Russell (1872-1970, Literatur-Nobelpreis 1950) zeigte, dass eine derartig intuitive Definition zu logischen Widersprüchen, den sogannten Russellschen
Antinomien führt:
(R1) A := {X | X ist Menge}
(„All-Menge”)
(R2) R := {X | X ∈
/ X}
Man kann zum Beispiel leicht zeigen, dass die „Menge“ R nicht existieren kann,
denn aus R ∈
/ R würde R ∈ R folgen und aus R ∈ R würde sich R ∈
/ R ergeben
und somit wäre weder die Aussage R ∈ R noch ihre Negation R ∈
/ R wahr. Eine
umgangssprachliche Formulierung von (R2) liefert Russel mit dem
Babier, der genau diejenigen rasiert, die sich nicht selbst rasieren
– und wer rasiert dem Babier?
Fazit/Konsequenz: Die moderne Mathematik benutzt einen axiomatischen
Aufbau der Mengenlehre, um derartige Widersprüche zu vermeiden. Das „Standardaxiomensystem” der heutigen Mengelehre wird ZFC abgekürz (Z =
b Zermelo (1871-1953), F =
b Fraenkel (1891-1965) und C =
b Axiom of Choice).
13
KAPITEL I. GRUNDLAGEN
Angabe von Mengen
1. Durch expilzites Auflisten:
M := {m1 , m2 , . . . , mk } ,
wobei k ∈ N eine beliebige natürliche Zahl sei. Eine derartige Angabe
√ ist
offensichtlich nur bei endlichen Mengen möglich, z.B. M := {1, 2, 7, 2}.
2. Durch Aussondern aus einer gegebenen Grundmenge D mittels eines einstelligen Prädikats E(x) (= Ausdrucks, der eine freie Variable enthält):
M := {x ∈ D | E(x)} = {x | x ∈ D ∧ E(x)}
z.B. M := {x ∈ R | x ≥ 2} oder M := {y ∈ N | ∃x ∈ N : y = x2 }. Welche
Teilmenge der natürlichen Zahlen beschreibt die zweite Menge?
3. Mittels einer Abbildung7 f : D → B:
M := {f (x) | x ∈ D} ⊂ B
z.B. für f : Z → Z, f (x) := x2 erhält man M := {x2 | x ∈ Z}.
Bemerkung: Die obige Variante 3 kann wie folgt auf Variante 2 zurückgeführt
werden:
{f (x) | x ∈ D} = {y ∈ B | ∃x ∈ D : y = f (x)} .
Genau genommen ist die linke Seite der Gleichung nur eine abkürzende Schreibweise der rechten Seite. Auch Variante 1 kann auf Variante 2 zurückgeführt
werden. Denn mit Hilfe des einstelligen Prädikats
E(x) := (x = m1 ) ∨ (x = m2 ) ∨ . . . ∨ (x = mk )
gilt die Gleichheit
{m1 , . . . , mk } = {x | E(x)} .
Hier fehlt jedoch formal auf der rechten Seite die Grundmenge D, aus der ausgesondert wird. Im Fall endlicher Menge ist dies erlaubt. Im Allgemeinen gilt
aber Folgendes.
Warnung: Nur in wenigen Fällen (vgl. ZFC) ist die Angabe/Konstruktion einer Menge in der Form {x | E(x)} ohne explizite Nennung der Grundmenge D, aus der die Elemente x stammen, erlaubt. Wenn möglich, sollte
immer aus einer Grundemenge D, deren Existenz gesichert ist, „ausgesondert“ werden, damit keine Widersprüche wie die Russelschen Antinomien
entstehen.
Definition 2 Seien M und N Mengen und gelte M = {x | E(x)}. Dann
definieren wir die folgenden Sprech- und Schreibweisen:
(a) x ist genau dann Element von M (Schreibweise: x ∈ M ), wenn x die
Eigenschaft E(x) besitzt. Falls x kein Element von M ist, so schreiben wir
wie üblich x ∈
/ M.
Kurzform: x ∈ M :⇐⇒ E(x) und x ∈
/ M :⇐⇒ ¬(x ∈ M ).
7 siehe
Abschnitt 3
14
KAPITEL I. GRUNDLAGEN
(b) M und N sind genau dann gleich (Schreibweise: M = N ), wenn für alle x
die Äquivalenz x ∈ M ⇐⇒ x ∈ N gilt.
Kurzform: M = N :⇐⇒ ∀x : (x ∈ M ⇐⇒ x ∈ N )
(c) N ist genau dann Teilmenge von M (Schreibweise: N ⊂ M ), wenn für alle
x die Implikation x ∈ N =⇒ x ∈ M gilt.
Kurzform: N ⊂ M :⇐⇒ ∀x : (x ∈ N =⇒ x ∈ M )
(d) Das Symbol ∅ bezeichne die leere Menge, d.h. die Menge, die keine Elemente enthält.
Lemma 2 Zwei Mengen M und N sind genau dann gleich, wenn M Teilmenge
von N und N Teilmenge von M ist.
Beweis. 1. Variante (formal):
N =M
: ⇐⇒
∀x : (x ∈ M ⇐⇒ x ∈ N )
⇐⇒
∀x : (x ∈ M =⇒ x ∈ N ) ∧ (x ∈ M =⇒ x ∈ N )
⇐⇒
∀x : (x ∈ M =⇒ x ∈ N ) ∧ ∀x : (x ∈ M =⇒ x ∈ N )
⇐⇒:
M ⊂N ∧N ⊂M.
2. Variante (umgangssprachlich): „=⇒”: Sei M = N und sei x eine beliebiges
Element aus M . Dann ist x auch ein Element von N und somit gilt insbesondere
M ⊂ N . Völlig analog zeigt man N ⊂ M . Daraus folgt M = N impliziert
M ⊂ N und N ⊂ M .
„⇐=”: Sei nun M ⊂ N und N ⊂ M erfüllt. Fall 1: Sei x ein Element von M .
Dann folgt aus M ⊂ N , dass x auch in N liegt. Fall 2: Sei x ein Element von
N . Dann erhalten wir aus N ⊂ M , dass x ebenso in M enthalten ist. Dies zeigt
insgesamt M = N .
Definition 3 (Mengenoperationen)
definieren wir:
Seien M und N beliebige Mengen. Dann
(a) M ∩ N := {x | x ∈ M ∧ x ∈ N } als die Schnittmenge von M und N .
(b) M ∪ N := {x | x ∈ M ∨ x ∈ N } als die Vereinigungsmenge von M und N .
(c) M \ N := {x | x ∈ M ∧ x ∈
/ N } als die Differenzenmenge von M und N .
Alternative bezeichnet man M \ N auch als das Komplement von N bezüglich M .
Satz 5 (Rechenregeln für Mengenoperationen)
gen. Dann gilt:
Seien L, M, N beliebige Men-
(a)
L ∩ (M ∩ N ) = (L ∩ M ) ∩ N
L ∪ (M ∪ N ) = (L ∪ M ) ∪ N
(Assoziativität)
(b)
M ∩N =N ∩M
M ∪N =N ∪M
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(Kommutativität)
KAPITEL I. GRUNDLAGEN
(c)
L ∩ (M ∪ N ) = (L ∩ M ) ∪ (L ∩ N )
(Distributivität)
L ∪ (M ∩ N ) = (L ∪ M ) ∩ (L ∪ N )
(d)
L \ (M ∩ N ) = L \ M ∪ L \ N
L \ (M ∪ N ) = L \ M ∩ L \ N
(de Morgansche Regeln)
Beweis. Zu (c): Es gilt:
L ∩ (M ∪ N ) : = {x | x ∈ L ∧ x ∈ (M ∪ N )}
= {x | x ∈ L ∧ (x ∈ M ∨ x ∈ N )}
= {x | (x ∈ L ∧ x ∈ M ) ∨ (x ∈ L ∧ x ∈ N )}
= {x | x ∈ L ∧ x ∈ M } ∪ {x | x ∈ L ∧ x ∈ N }
=: (L ∩ M ) ∪ (L ∩ N ) .
Zu (d): Es gilt:
L \ (M ∩ N ) : = {x | x ∈ L ∧ x ∈
/ M ∩ N}
= {x | x ∈ L ∧ ¬(x ∈ M ∩ N )}
= {x | x ∈ L ∧ ¬(x ∈ M ∧ x ∈ N )}
= {x | x ∈ L ∧ (x ∈
/ M ∨x∈
/ N )}
= {x | (x ∈ L ∧ x ∈
/ M ) ∨ (x ∈ L ∧ x ∈
/ N )}
= {x | x ∈ L ∧ x ∈
/ M } ∪ {x | x ∈ L ∧ x ∈
/ N}
=: L \ M ∪ L \ N .
Die restlichen Aussagen dienen als Übungsaufgaben!
Definition 4 (Mengensysteme) Eine Menge S := {M | E(M )}, deren Elemente selbst Mengen sind, wird auch Mengensystem. Wir definieren:
T
(a) S := {x | ∀M ∈ S : x ∈ M } heißt Durchschnitt von S, falls S =
6 ∅.
S
(b) S := {x | ∃M ∈ S : x ∈ M } heißt Vereinigung von S.
Bemerkung: Oftmals sind Mengensysteme in der Form S := {Mα | α ∈ I}
gegeben, wobei I eine beliebige Indexmenge bezeichne, z.B. I = {1, 2, 3, 4} oder
I = N. Dann schreiben wir auch
\
[
Mα und
Mα
α∈I
α∈I
für den Durchschnitt bzw. die Vereinigung von S.
Beispiele:
1) Sei S = {a, b, c}, {b, c, d}, {c, d, e}, {d, e, f } = Mα | α ∈ {1, 2, 3, 4}
mit M1 := {a, b, c}, M2 := {b, c, d}, M3 := {c, d, e} und M4 := {d, e, f, }.
Dann gilt:
\
[
S = ∅ und
S = {a, b, c, d, e, f }
16
KAPITEL I. GRUNDLAGEN
2) Sei S = {Mp | p ∈ N} mit Mp := {n·p | n ∈ Z} = {. . . , −2p, −p, 0, p, 2p, . . .}
(=
b Menge aller Vielfachen von p). Dann gilt:
\
[
S = {0} und
S=Z
Definition 5 (Potenzmenge) Sei M eine beliebige Menge. Dann heißt die
Menge P(M ) := {N | N ⊂ M } die Potenzmenge von M . Alternative findet
man auch die Notation 2M statt P(M ).
Beispiel: Sei M := {1, 2, 3}. Dann gilt
P(M ) = ∅, {1}, {2}, {3}, {1, 2}, {1, 3}, {2, 3}, M .
Man beachte |P(M )| = 8 = 23 = 2|M | . Dabei bezeichnen |P(M )| und |M |
jeweils die Anzahl der Elemente von P(M ) bzw. M .
Definition 6 (Kartesisches Produkt)
Mengen.
Seien M und N beliebige nichtleere
(a) Sei x ∈ M und y ∈ N . Dann bezeichnen wir (x, y) := {x}, {x, y} als
das geordnete Paar (2-Tupel) aus x und y.
(b) Die Menge aller geordneten Paare8 M × N := {(x, y) | x ∈ M ∧ y ∈ N }
heißt das kartesische Produkt von M und N .
(c) Seien M1 , . . . Mn endlich viele, nichtleere Mengen und sei xi ∈ Mi für
i = 1, . . . n. Dann definieren wir rekursiv9
(x1 , x2 , . . . , xn−1 , xn ) := ((x1 , . . . , xn−1 ), xn )
als das n-Tupel aus x1 , . . . , xn . Ferner heißt die Menge aller n-Tupel
M1 × . . . × Mn := {(x1 , . . . , xn ) | x1 ∈ M1 ∧ . . . ∧ xn ∈ Mn }
das kartesische Produkt der Mengen M1 , . . . , Mn . Falls eine der Mengen
Mi die leere Menge ist, so setzen wir M1 × . . . × Mn := ∅. Falls M1 =
M2 = · · · = Mn = M , so schreiben wir
M n := M × M × . . . × M .
|
{z
}
n-mal
Beispiele:
1) Sei M := {1, 2, 3} und sei N := {a, b}. Dann gilt M × N = (1, a), (2, a),
(3, a), (1, b), (2, b), (3, b) Man beachte |M × N | = |M | · |N |.
2) Falls M = N = R, so schreiben wir R2 = R×R = (x, y) | x ∈ R∧y ∈ R .
Satz 6
(a) Seien (x, y), (x0 , y 0 ) ∈ M × M . Dann gilt
(x, y) = (x0 , y 0 ) ⇐⇒ (x = x0 ∧ y = y 0 )
8 Die etwas formalere, aber korrekte Schreibweise wäre M × N := {z | ∃x ∈ M ∃y ∈ N :
z = (x, y)}
9 vgl. Kap. II, Abschnitt 1
17
KAPITEL I. GRUNDLAGEN
(b) Für n-Tupel (x1 , . . . , xn ), (x01 , . . . , x0n ) ∈ M1 × . . . × Mn gilt allgemein
(x1 , . . . xn ) = (x01 , . . . x0n ) ⇐⇒ (x1 = x01 ∧ . . . ∧ xn = x0n ).
Beweis. Zu (a): „⇐=”:X
„=⇒”: Unterscheide die Fälle x 6= y und x = y.
Zu (b): Folgt mittels Induktion10 aus (a) und Definition 6 (c).
3
Relationen und Abbildungen
Definition 7 (Relationen) Seien M und N beliebige Mengen. Eine Teilmenge
R ⊂ M × N heißt Relation auf M × N . Wir sagen x ∈ M und y ∈ N stehen
bzgl. R in Relation zueinander, wenn (x, y) ∈ R gilt.
Notation: xRy :⇐⇒ (x, y) ∈ R oder x ∼R y :⇐⇒ (x, y) ∈ R
Falls Missverständnisse ausgeschlossen sind, so schreiben wir der Einfachheit
halber oft ∼ statt ∼R .
Beispiele:
1) Sei M = N = R und sei R1 := {(x, y) ∈ R2 | x2 = y 2 }
Frage: Was drückt die Relation R1 aus?
Offensichtlich gilt: xR1 y :⇐⇒ x2 = y 2 ⇐⇒ x = y ∨ x = −y
2) Sei M = N = N und sei R2 := {(m, n) ∈ N2 | ∃k ∈ N : k · m = n}
Frage: Was drückt die Relation R2 aus?
Es gilt:
mR2 n :⇐⇒ ∃k ∈ N : k · n = m,
d.h n und m stehen genau dann in Relation bzgl. R2 , wenn n ein Teiler
von m ist.
Spezielle Relationen
Definition 8 (Ordnungsrelation) Sei M eine beliebige Menge und sei R ⊂ M ×
M eine Relation auf M (genauer auf M × M ). Dann heißt R Ordnungsrelation
auf M , wenn R folgende Eigenschaften erfüllt:
(a) Für alle a ∈ M gilt:
aRa
(Reflexivität)
(b) Für alle a, b ∈ M gilt:
(aRb ∧ bRa) =⇒ a = b
(Antisymmetrie)
(c) Für alle a, b, c ∈ M gilt:
(aRb ∧ bRc) =⇒ aRc
10 vgl.
Kap. II, Abschnitt 1
18
(Transitivität)
KAPITEL I. GRUNDLAGEN
Falls zusätzlich noch aRb ∨ bRa für alle a, b ∈ M gilt, so heißt R Totalordnung
auf M . Für Ordnungsrelationen schreiben wir im Weiteren x ≤R y statt xRy.
Beispiele:
1) Das Standardbeispiel einer Totalordnung ist die übliche „kleiner-gleich“Relation auf R. Einen exakten Beweis dieser Ausage können wir erst am
Ende von Kapitel II führen.
2) Die Relation R2 aus obigem Beispiel liefert auch eine Ordnung auf N. Ist
diese total?
3) Sei M eine beliebige Menge. Dann definiert
R := {(N1 , N2 ) ∈ P(M ) × P(M ) | N1 ⊂ N2 }
eine Ordnungsrelation auf P(M ), die besagt, dass N1 genau dann „kleiner
gleich” N2 ist, wenn N1 ⊂ N2 gilt.
Definition 9 (Äquivalenzrelation) Sei M eine beliebige Menge und sei R ⊂
M × M eine Relation auf M . Dann heißt R Äquivalenzrelation auf M , wenn R
folgende Eigenschaften erfült:
(a) Für alle a ∈ M gilt:
aRa
(Reflexivität)
aRb ⇐⇒ bRa
(Symmetrie)
(b) Für alle a, b ∈ M gilt:
(c) Für alle a, b, c ∈ M gilt:
(aRb ∧ bRc) =⇒ aRc
(Transitivität)
Falls a ∈ M und R eine Äquivalenzrelation auf M ist, dann bezeichnen wir die
Menge [a] := {b ∈ M | aRb} ⊂ M als die Äquivalenzklasse von a bzgl. R.
Bemerkung: Äquivalenzklassen besitzen die folgenden „schönen” Eigenschaften:
(i) Für alle a ∈ M gilt a ∈ [a].
(ii) Für alle a, b ∈ M gilt entweder [a] = [b] oder [a] ∩ [b] = ∅.
S
(iii)
[a] = M .
a∈M
Die obigen Eigenschaften (i) - (iii) besagen, dass die Menge aller Äquivalenzklassen eine Partition, d.h. eine disjunkte Zerlegung von M bilden.
Beweis. siehe Übungen
Beispiele:
19
KAPITEL I. GRUNDLAGEN
1) Sei M := {1, 2, 3}. Betrachte Rmin := (1, 1), (2, 2), (3, 3) und Rmax :=
M ×M . Beide Relationen definieren Äquivalenzrelationen auf M . Dabei ist
Rmin die „kleinste” und Rmax die „größte” Äquivalenzrelation auf M . Als
Äquivalenzklassen erhalten wir im erstem Fall [1] = {1}, [2] = {2}, [3] =
{3} und im zweiten Fall [1] = [2] = [3] = M .
Übungsaufgabe:Bestimmen Sie alle Äquivalenzrelationen auf M .
2) Sei M = Z und sei p ∈ N fest
gewählt. Ferner sei R := (m,
n) ∈ Z × Z |
∃k ∈ Z : k · p = n − m = (m, n) ∈ Z × Z | p teilt n − m
Behauptung: R definiert eine Äquivalenzrelation auf Z.
Beweis. Übungsaufgabe!
Als Äquivalenzklassen erhält man:
[0] = {n ∈ Z | p teilt n} = {k · p | k ∈ Z} = [p]
[1] = {n ∈ Z | p teilt n − 1} = {k · p + 1 | k ∈ Z}
..
.
[p − 1] = {n ∈ Z | p teilt n − p + 1} = {k · p − 1 | k ∈ Z}
Bemerkung: Man schreibt für die Teilbarkeitsbeziehung
∃k : k · p = n − m
oft auch kurz p|n − m .
Dabei wäre aber im Voraus zu klären, in welcher Menge der Teiler k liegen darf.
Im Folgenden liefern wir zwei äquivalente Definitionen (F1) und (F2) des Abbildungsbegriffs – beide sind in der Literatur gebräuchlich.
Definition 10 (Abbildungen\Funktionen)
(F1) Eine Relation F auf M × N heißt Abbildung oder Funktion von M nach
N , wenn für alle x ∈ M genau ein y ∈ N mit der Eigenschaft (x, y) ∈ F
existiert.
(F2) Eine Abbildung oder Funktion ist ein Tripel (M, N, F ), bestehend aus zwei
Mengen M und N und einer eindeutigen Zuordnung F von M nach N ,
d.h. F ordnet jedem x ∈ M ein eindeutiges F (x) ∈ N zu. Die Menge
G(F ) := x, F (x) ∈ M × N | x ∈ M
bezeichnen wir als den Graph von F .
Ferner bezeichnen wir die Mengen M und N als den Definitionsbereich bzw. den
Wertebereich von F .
Notation: F : M → N , x 7→ F (x)
Bemerkung: Man beachte, dass in Definition (F1) eine Abbildung im Sinne
von (F2) mit ihrem Graph identifiziert.
20
KAPITEL I. GRUNDLAGEN
Definition 11 Zwei Abbildungen F : M → N und F 0 : M 0 → N 0 sind genau
dann gleich, wenn die folgenden Bedingungen erfüllt sind:
(a) M = M 0 .
(b) N = N 0 .
(c) F1 (x) = F2 (x) für alle x ∈ M .
Notation: F = F 0 oder F ≡ F 0
Beispiele:
1) F : R → R, x 7→ F (x) := x2 (Standardparabel)
2) Bezeichne T(n, m) ⊂ N die Menge aller gemeinsamen Teiler von n, m ∈ N
und ggT(n, m) den größter gemeinsamer Teiler. Dann definiert
F1 : N × N → N,
(n, m) 7→ F1 (n, m) := ggT(n, m)
eine Abbildung,
F2 : N × N → N,
(n, m) 7→ F2 (n, m) := T(n, m)
jedoch nicht, da T(n, m) nicht, wie angegeben, in N liegt. Man kann aber
(n, m) 7→ T(n, m) als Abbildung von N × N nach P(N) betrachten.
3) Die Vorschrift F : R → R, x 7→ y, wobei y ∈ R „die” Lösung der Gleichung
y 2 = x sei, definiert keine Abbildung. Warum nicht?
4) Die Abbildung F : M → M , x 7→ F (x) := x heißt identische Abbildung
oder Identität auf M .
Notation: id, Id, idM , IdM , . . .
Definition 12 (Bild, Urbild, Faser) Sei F : M → N eine beliebige Abbildung
und seien M 0 ⊂ M sowie N 0 ⊂ N beliebige Teilmengen.
(a) Die Menge F (M 0 ) := {F (x) | x ∈ M 0 } wird Bild der Menge M 0 unter der
Abbildung F genannt. Insbesondere bezeichnet man F (M ) als das Bild der
Abbildung F .
(b) Die Menge F −1 (N 0 ) := {x ∈ M | F (x) ∈ N 0 } wird Urbild der Menge N 0
unter der Abbildung F genannt. Ferner heißt F −1 ({y}) auch Faser von
y ∈ N unter F .
Bemerkung: Oftmals schreibt man auch einfach F −1 (y) statt F −1 ({y}). Dies
kann jedoch zu Verwechslungen mit der Umkehrfunktion führen, die im Allgemeinen keineswegs existieren muss.
Beispiel: Sei F : R → R, x 7→ F (x) = x2 und seien M 0 := [−1, 1], N 0 :=
[−1, 0] und y := 1. Dann gilt F (M 0 ) = [0, 1], F −1 (N 0 ) = {0} und F −1 ({y}) =
{−1, 1}.
Satz 7 (Rechenregeln) Sei F : M → N eine beliebige Abbildung und seien
M 0 , M 00 ⊂ M und N 0 , N 00 ⊂ N beliebige Teilmengen. Dann gilt:
21
KAPITEL I. GRUNDLAGEN
(a)
F (M 0 ∪ M 00 ) = F (M 0 ) ∪ F (M 00 )
F (M 0 ∩ M 00 ) ⊂ F (M 0 ) ∩ F (M 00 )
(b)
F −1 (N 0 ∪ N 00 ) = F −1 (N 0 ) ∪ F −1 (N 00 )
F −1 (N 0 ∩ N 00 ) = F −1 (N 0 ) ∩ F −1 (N 00 )
(c)
F −1 (F (M 0 )) ⊃ M 0
F (F −1 (N 0 )) ⊂ N 0
Beweis. Wir beweisen exemplarisch nur Teil (a) und die zweite Aussage von Teil
(b). Für die erste Aussage von Teil (a) liefern wir einen rein formalen und einen
umgangssprachlichen Beweis. Die zweite Aussage von Teil (a) zeigen wir nur
formal, die zweite Aussage von Teil (b) hingegen wiederum umgangssprachlich.
Beide Beweisvarianten sind korrekt und unterscheiden sich nur stilistisch – der
Leser möge selbst entscheiden, welche Variante er bevorzugt.
Die übrigen Beweise werden teilweise in den Übungen vorgeführt.
Zur ersten Aussage von Teil (a): 1. Variante (formal):
F (M 0 ∪ M 00 ) = y ∈ N | ∃x : x ∈ M 0 ∪ M 00 ∧ y = F (x)
= y ∈ N | ∃x : (x ∈ M 0 ∨ x ∈ M 00 ) ∧ y = F (x)
= y ∈ N | ∃x : x ∈ M 0 ∧ y = F (x) ∨ x ∈ M 00 ∧ y = F (x)
= y ∈ N | ∃x : x ∈ M 0 ∧ y = F (x) ∨ ∃x : x ∈ M 00 ∧ y = F (x)
= y ∈ N | ∃x : x ∈ M 0 ∧ y = F (x) ∪ y ∈ N | ∃x : x ∈ M 00 ∧ y = F (x)
= F (M 0 ) ∪ F (M 00 )
2. Variante (umgangssprachlich): „⊂”: Sei y ∈ F (M 0 ∪ M 00 ), d.h. es existiert
ein x ∈ M 0 ∪ M 00 mit y = F (x). Fall 1: x ∈ M 0 . Daraus folgt y ∈ F (M 0 ),
also y ∈ F (M 0 ) ∪ F (M 00 ). Fall 2: x ∈ M 00 . Daraus folgt y ∈ F (M 00 ), also
y ∈ F (M 0 ) ∪ F (M 00 ). Somit gilt insgesamt y ∈ F (M 0 ) ∪ F (M 00 ) und folglich
F (M 0 ∪ M 00 ) ⊂ F (M 0 ) ∪ F (M 00 ).
„⊃”: Sei y ∈ F (M 0 )∪F (M 00 ). Fall 1: y ∈ F (M 0 ), d.h. es existiert ein x ∈ M 0 mit
F (x) = y. Dann gilt auch x ∈ M 0 ∪M 00 und daraus folgt y ∈ F (M 0 ∪M 00 ). Fall 2:
y ∈ F (M 00 ), also existiert ein x ∈ M 00 mit F (x) = y und folglich erhält man wie
in Fall 1 die Aussage y ∈ F (M 0 ∪ M 00 ). Insgesamt ergibt sich y ∈ F (M 0 ∪ M 00 )
und somit F (M 0 ) ∪ F (M 00 ) ⊂ F (M 0 ∪ M 00 ).
Aus den beiden gezeigten Inklusionen folgt nach Lemma 2 die Identiät F (M 0 ∪
M 00 ) = F (M 0 ) ∪ F (M 00 ).
22
KAPITEL I. GRUNDLAGEN
Zur zweiten Aussage von Teil (a):
F (M 0 ∩ M 00 ) = y ∈ N | ∃x : x ∈ M 0 ∩ M 00 ∧ y = F (x)
= y ∈ N | ∃x : (x ∈ M 0 ∧ x ∈ M 00 ) ∧ y = F (x)
= y ∈ N | ∃x : x ∈ M 0 ∧ x ∈ M 00 ∧ y = F (x)
= y ∈ N | ∃x : x ∈ M 0 ∧ y = F (x) ∧ x ∈ M 00 ∧ y = F (x)
⊂ y ∈ N | ∃x : x ∈ M 0 ∧ y = F (x) ∧ ∃x ∈ M 00 ∧ y = F (x)
= y ∈ N | ∃x : x ∈ M 0 ∧ y = F (x) ∩ y ∈ N | ∃x : x ∈ M 00 ∧ y = F (x)
= F (M 0 ) ∩ F (M 00 )
Zur zweiten Aussage von Teil (b): „⊂”: Sei x ∈ F −1 (N 0 ∩ N 00 ), d.h. F (x) ∈
N 0 ∩ N 00 . Somit gilt F (x) ∈ N 0 und F (x) ∈ N 00 . Daraus folgt x ∈ F −1 (N 0 ) und
x ∈ F −1 (N 00 ), also x ∈ F −1 (N 0 ) ∩ F (N 00 ).
„⊃”: Sei x ∈ F −1 (N 0 ) ∩ F −1 (N 00 ), d.h. x ∈ F −1 (N 0 ) und x ∈ F −1 (N 00 ). Daraus
folgt F (x) ∈ N 0 und F (x) ∈ N 00 , also F (x) ∈ N 0 ∩ N 00 . Somit gilt x ∈ F −1 (N 0 ∩
N 00 ).
Aus den beiden gezeigten Inklusionen erhält man wiederum nach Lemma 2 die
Identiät F −1 (N 0 ∩ N 00 ) = F −1 (N 0 ) ∩ F −1 (N 00 ).
Bemerkung: Man beachte, dass im obigen Beweis der Aussage F (M 0 ∩M 00 ) ⊂
F (M 0 ) ∩ F (M 00 ) die folgende allgemeingültige Schlussregel benutzt wurde:
∃x : E(x) ∧ E 0 (x) =⇒ ∃x : E(x) ∧ ∃x : E 0 (x)
Definition 13 (Injektivität, Surjektivität, Bijektivität)
M → N heißt
Eine Abbildung F :
(a) injektiv, wenn für alle x, x0 ∈ M die Implikation
F (x) = F (x0 ) =⇒ x = x0
erfüllt ist. Äquivalent dazu ist die Forderung x 6= x0 =⇒ F (x) 6= F (x0 ) für
all x, x0 ∈ M .
(b) surjektiv, wenn F (M ) = N gilt.
(c) bijektiv, wenn F sowohl injektiv als auch surjektiv ist.
Satz 8
(a) Eine Abbildung F : M → N ist genau dann injektiv, wenn zu
jedem y ∈ N höchstens ein x ∈ M mit F (x) = y existiert.
(b) Eine Abbildung F : M → N ist genau dann surjektiv, wenn zu jedem
y ∈ N mindestens ein x ∈ M mit F (x) = y existiert.
(c) Eine Abbildung F : M → N ist genau dann bijektiv, wenn zu jedem
y ∈ N genau ein x ∈ M mit F (x) = y existiert.
23
KAPITEL I. GRUNDLAGEN
Beweis. Zu (a): „=⇒”: Sei also F injektive und sei y ∈ N . Ferner gelte F (x) =
y = F (x0 ) für x, x0 ∈ M . Dann folgt aus der Injektivität von x = x0 und somit
gibt es höchstens ein x ∈ M mit F (x) = y.
„⇐=”: Es gelte F (x) = F (x0 ) für x, x0 ∈ M und besitze F die Eigenschaft:
(?) Zu jedem y ∈ N existiert höchstens ein x ∈ M mit F (x) = y.
Dann folgt aus (?), angewandt auf y := F (x), die Identität x = x0 , d.h. F ist
injektiv.
Zu (b): Übungsaufgabe.
Zu (c): Die Aussage folgt unmittelbar aus (a) und (b).
Beispiele:
1) Die Abbildung F1 : N × N → N, (n, m) 7→ F1 (n, m) = ggT(n, m) ist nicht
injektiv, aber surjektiv.
2) Die Abbildung F2 : R → R, x 7→ F2 (x) = x2 ist nicht weder injektiv noch
surjektiv.
3) F3 : [0, 1] → [0, 1], x 7→ F3 (x) = x2 ist bijektiv.
Definition 14 (Komposition) Seien F : M → N und G :N → P beliebige
Abbildungen. Dann bezeichnet man die durch x 7→ G F (x) definierte Abbildung als die Komposition der Abbildungen F und G.
Notation: G ◦ F : M → P , x 7→ G F (x)
Bemerkung:
1) Die Komposition von Abbildungen ist assoziativ, d.h. für
beliebige Abbildungen F1 : M → N , F2 : N → P und F3 : P → Q gilt
F3 ◦ (F2 ◦ F1 ) = (F3 ◦ F2 ) ◦ F1 .
Beweis. Offensichtlich sind F3 ◦ (F2 ◦ F1 ) und (F3 ◦ F2 ) ◦ F1 Abbildungen
von M nachQ. Ferner gilt: F3 ◦ (F2 ◦ F1 ) (x) = F3 (F2 ◦ F1 )(x) =
F3 F2 F1 (x) = (F3 ◦ F2 ) F1 (x) = (F3 ◦ F2 ) ◦ F1 (x).
2) Man beachte, dass die Komposition von Abbildungen im Allgemeinen
nicht kommutativ ist, d.h. im Allgemeinen gilt nicht F ◦ G = G ◦ F .
Beispiele:
1) Sei F : R → R, x 7→ F (x) = x und G : R → R, x 7→ G(x) = x. Dann gilt
G ◦ F (x) := G(F (x)) = G(x) = x.
2) Sei F : R → R, x 7→ F (x) = x + 1 und G : R → R, x 7→ G(x) = x4 . Dann
gilt (x + 1)4 = G ◦ F (x) 6= F ◦ G(x) = x4 + 1.
Definition 15 (Umkehrabbildung, Teil I) Sei F : M → N eine beliebige
Abbildung. Falls eine Abbildung G : N → M existiert mit G ◦ F = idM und
F ◦ G = idN , d.h. G ◦ F (x) = x für alle x ∈ M und F ◦ G(y) = y für alle y ∈ N ,
so bezeichnen wir G als eine Umkehrabbildung oder Inverse zu F .
24
KAPITEL I. GRUNDLAGEN
Beispiele:
1) Sei F : M → M die identische Abbildung, d.h. F := idM . Dann ist
G := idM eine Inverse von F (siehe obiges Beispiel 1).
2) Sei F : R → R, x 7→ F (x) := 3x − 7. Dann ist G : R → R, x 7→ G(x) :=
1
3 (x + 7) eine Inverse zu F . (Nachrechnen!)
3) Sei F : R → R, x 7→ F (x) := ex und sei G : R → R definiert durch
(
log(|x|) falls x 6= 0
x 7→ G(x) :=
0
falls x = 0.
Dann gilt G ◦ F = idR und somit ist G eine Umkehrabbildung zu F . Was
ist falsch an dieser Argumentation?
√
+
2
x.
4) Sei F : R → R+
0 , x 7→ F (x) = x . und G : R0 → R, x 7→ G(x) =
Dann gilt F ◦ G = idR+ und somit ist G eine Umkehrabbildung zu F . Was
0
ist hier falsch?
Satz 9
(a) Falls eine Abbildung F : M → N eine Umkehrabbildung besitzt,
so ist diese eindeutig.
(b) Sei M 6= ∅. Eine Abbildung F : M → N ist genau dann injektiv, wenn es
eine Abbildung G : N → M gibt mit G ◦ F = idM .
(c) Eine Abbildung F : M → N ist genau dann surjektiv, wenn es eine
Abbildung G : N → M gibt mit F ◦ G = idN .
(d) Eine Abbildung F : M → N ist genau dann bijektiv, wenn sie eine Umkehrabbildung besitzt.
Beweis. Zu (a): Seien G : N → M und G0 : N → M Umkehrabbildungen von
F . Dann gelten die folgende Identitäten:
(i) G ◦ F = idM und F ◦ G = idN .
(ii) G0 ◦ F = idM und F ◦ G0 = idN .
Aus (i) und (ii) folgt G = G ◦ (F ◦ G0 ) = (G ◦ F ) ◦ G0 = G0 , also G0 = G.
Zu (b): „=⇒”: Sei F : M → N injektiv und sei y ∈ F (M ). Dann folgt aus
Satz 8, dass es genau ein x ∈ M gibt mit F (x) = y. Somit läßt sich G : N → M
wie folgt definieren
(
x falls F (x) = y
G(y) :=
x0 falls y 6∈ F (M ),
wobei x0 ∈ M beliebig gewählt sei. Somit ist G(y) die eindeutige Lösung der
Gleichung F (x) = y und folglich gilt G(F (x)) = x, also G ◦ F = idM .
„⇐=”: Sei G ◦ F = idM und sei F (x) = F (x0 ) für x, x0 ∈ M . Dann erhält man
Gleichungskette x = G(F (x)) = G(F (x0 )) = x0 , also ist F injektiv.
25
KAPITEL I. GRUNDLAGEN
Zu (c): „=⇒”: Sei F : M → N surjektiv. Nach Satz 8 ist F −1 (y) 6= ∅ für
alle y ∈ N . Man wähle11 nun für jedes y ∈ N ein G(y) ∈ F −1 (y) und definiere
G : N → M , y 7→ G(y). Dann gilt F (G(y)) = y für alle y ∈ N , also F ◦G = idN .
„⇐=”: Sei F ◦ G = idN und sei y ein beliebiges Elenemt in N . Dann gilt
y = F (G(y)), d.h. y ∈ F (M ). Da y ∈ N beliebig gewählt war, folgt F (M ) = N ,
also ist F surjektiv.
Zu (d): Wir zeigen die Behauptung zuerst unter der Annahme M 6= ∅.
„=⇒”: Sei also F : M → N bijektiv. Dann folgt aus (b) und (c), dass es
Abbildungen G : N → M und G0 : N → M gibt mit G ◦ F = idM bzw.
F ◦G0 = idN . Wie in (a) zeigt man G = G0 , d.h. F besitzt eine Umkehrabbildung.
„⇐=”: Die Behauptung folgt nun unmittelbar aus (b) und (c).
Falls M = ∅, so zeigt man in beiden Fällen („=⇒” und „⇐=”), dass auch N = ∅
gilt, und folglich sind beide Implkationen erfüllt.
Definition 15 (Umkehrabbildung, Teil II) Falls die Abbildung F : N → M
eine Umkehrabbildung besitzt, so ist diese nach Satz 9 eindeutig und wird im
Weiteren mit F −1 : N → M bezeichnet.
Bemerkung: Zur Bestimmung der Umkehrfunktion legen die obigen Beispiele und der obige Beweis den Ansatz nahe, die Gleichung F (x) = y nach x
„aufzulösen”.
Definition 16 (Mächtigkeit und Abzählbarkeit)
(a) Seien M und N beliebige Mengen. Falls es eine bijektive Abbildung von M nach N gibt, so
heißen M und N gleichmächtig.
Notation: |M | = |N |
(b) Eine Menge M heißt abzählbar, wenn es eine surjektive Abbildung von der
Menge der natürliche Zahlen N nach M gibt, und abzählbar unendlich,
wenn es eine bijektive Abbildung von N nach M gibt. Außerdem heißt M
endlich, wenn es ein n ∈ N gibt, so dass eine Bijektion zwischen M und
der Menge {1, 2, . . . n} existiert.
Notation: |M | = n
Ferner bezeichnen wir die leere Menge als endlich und schreiben |∅| = 0.
(c) Eine Menge heißt überabzählbar unendlich, wenn sie nicht abzählbar ist.
Bemerkung: Man kann zeigen, dass eine Menge genau dann endlich ist, wenn
sie abzählbar, aber nicht abzählbar unendlich ist.
Beispiele:
1) Die Mengen N und N0 sind gleichmächtig, da z.B. F : N → N0 , F (n) :=
n − 1 ein Bijektion zwischen N und N0 ist.
11 An
dieser Stelle benutzen wir das sogenannte Auswahlaxiom (Axiom of Choice).
26
KAPITEL I. GRUNDLAGEN
2) Auch die Mengen N und N2 sind gleichmächtig. Eine mögliche Bijektion
von N2 nach N liefert die Abbildungsvorschrift

 (m+n−1)(m+n−2) + m falls n + m gerade,
2
F (m, n) :=
 (m+n−1)(m+n−2) + n falls n + m ungerade.
2
Versuchen Sie sich diese „Abzählung” zu veranschaulichen (siehe Abbildung Seite 29).
Lemma 3 Seien M und N beliebige endliche Mengen mit |M | = m und
|N | = n. Ferner seien M und N disjunkt, d.h. M ∩ N = ∅. Dann ist auch M ∪ N
endlich und es gilt |M ∪ N | = m + n.
Beweis. Aus |M | = m und |N | = n folgt, dass es bijektive Abbildungen ϕ1 :
{1, . . . , m} → M und ϕ2 : {1, . . . , n} → N gibt. Man betrachte nun die Abbildung ϕ : {1, . . . , m + n} → M ∪ N definiert durch

ϕ1 (k)
falls 1 ≤ k ≤ m,
ϕ(k) :=
ϕ (k − m) falls m + 1 ≤ k ≤ m + n.
2
Offensichtlich ist ϕ eine Bijektion und somit ist M ∪ N endlich mit |M ∪ N | =
m + n.
4
Beweismethoden
Die meisten mathematischen Aussagen/Sätze besitzen die folgende Struktur:
(a) „Aus A folgt B.” (Implikation: A =⇒ B)
(b) „A gilt genau dann, wenn B gilt.” (Äquivalenzaussage: A ⇐⇒ B)
(c) „Es gibt ein x ∈ . . . mit der Eigenschaft ...” (Existenzaussage: ∃x : . . .)
(d) „Für alle x ∈ . . . gilt die Eigenschaft ...” (All-Aussage: ∀x : . . .)
Daher treten in mathematischen Texten oft ähnliche, vom Inhalt unabhängige
Formulierungen und Beweistechniken auf. Einige dieser Hilfsmittel wollen wir
im Folgenden vorstellen.
Formulierungen und Beweistechniken
Zu (a): Vorüberlegung: Sei p(A, B) ein beliebiger logischer Ausdruck, der
zu A =⇒ B logisch äquivalent12 ist. Dann ist A =⇒ B genau dann wahr,
wenn p(A, B) wahr ist und somit haben wir A =⇒ B genau dann bewiesen,
wenn wir p(A, B) bewiesen haben. Diese Vorüberlegung liefert uns die folgenden
Beweistechniken:
12 Formal, d.h. gemäß Defimition 1 dürften wir hier nicht von logischer Äquivalenz zu A =⇒
B reden, sondern müssten von logischer Äquivalenz zu ¬A ∨ B sprechen. Trotzdem benutzen
wir im Weiteren – solange keine Gefahr der Fehlinterpretation besteht – diese Formulierung.
27
KAPITEL I. GRUNDLAGEN
• Direkter Beweis: Wir nehmen an, dass A gilt, und beweisen „unmittelbar” aus unseren Axiomen und den daraus schon bekannten Sätzen die
Implikation A =⇒ B.
• Indirekter Beweis: Wir beweisen statt der Implikation A =⇒ B die
Aussage ¬B =⇒ ¬A.
Man beachte: ¬B =⇒ ¬A ≡ A =⇒ B.
• Widerspruchsbeweis: Wir nehmen an, dass A und ¬B gilt, und zeigen,
dass dies zu einem Widerspruch führt.
Man beachte: (A ∧ ¬B) =⇒ (C ∧ ¬C) ≡ ¬(A ∧ ¬B) ≡ A =⇒ B bzw.
(A ∧ ¬B) =⇒ B ≡ A =⇒ B. Allgemein gilt: D =⇒ (C ∧ ¬C) ≡ ¬D.
Zu (b): Analog zu (a) können wir auch hier alle zu A ⇐⇒ B logisch äquivalente
Formulierungen benutzen. Dabei ist es in vielen Fällen der Übersichtlichkeit
halber sinnvoll den Beweis der Äquivalenzaussage A ⇐⇒ B in die Teilweweise
A =⇒ B und B =⇒ A aufzuteilen.
Man beachte: (A =⇒ B) ∧ (B =⇒ A) ≡ A ⇐⇒ B.
Für die einzelnen Implikationen stehen nun wieder alle Varianten aus (1) zur
Verfügung, z.B. können wir B =⇒ A durch ¬A =⇒ ¬B ersetzen.
Bemerkung: Falls wir mehrere Äquivalenzaussagen der From A ⇐⇒ B, B
⇐⇒ C und C ⇐⇒ A beweisen wollen, so genügt es eine geschlossene „Kette”
von Implikationen zu beweisen, z.B.
A =⇒ B,
B =⇒ C und C =⇒ A.
Man beachte: (A =⇒ B) ∧ (B =⇒ C) =⇒ (A =⇒ C) ist logisch allgemeingültig.
Zu (c): Hier genügt die Angabe eines „Beispiels”, d.h. eines Elements x, das die
gewünschte Eigenschaft besitzt und in der betrachteten Grundstruktur D liegt.
Zu (d): Hier müssen wir die entsprechenden Eigenschaften für alle x in der
betrachteten Grundstruktur D nachweisen. Um nicht immer „für alle x ∈ D gilt
...”, „für alle x ∈ D folgt ...”, u.s.w. schreiben zu müssen, benutzt man oft den
folgenden mathematischen „Slang”: Zu Beginn des Beweises schreiben wir
„Sei x ein beliebiges Element in D ...” oder „Sei x ∈ D beliebig ...”.
Dann beweisen wir die Aussage für „dieses” x ∈ D. Da x ∈ D aber beliebig
gewählt war, haben wir somit die Aussage für alle x ∈ D gezeigt. Entscheidend
dabei ist, dass wir im Laufe des Beweises keine weiteren Einschränkungen an
x ∈ D machen.
Beispiel: Im Weiteren setzen wir die Eigenschaften der natürlichen Zahlen als
bekannt voraus und benutzen die Notation13 m|n, falls m ein Teiler von n ist.
Satz Jede natürliche Zahl, die durch 6 teilbar ist, ist auch durch 3 teilbar.
Formalisierung: ∀n ∈ N : (6|n ⇒ 3|n),
13 siehe
auch Bemerkung 20
28
KAPITEL I. GRUNDLAGEN
Beweis. 1. Variante (direkter Beweis):
Sei n eine beliebige natürliche Zahl, die durch 6 teilbar ist. Somit existiert ein
k ∈ N mit n = 6 · k. Daraus folgt n = 3 · (2 · k) = 3 · k 0 mit k 0 := 2 · k ∈ N. Also
ist n auch durch 3 teilbar.
2. Variante (indirekter Beweis):
Sei n eine beliebige natürliche Zahl, die nicht durch 3 teilbar ist, d.h. n = 3·k +r
mit k ∈ N0 und r ∈ {1, 2}.
Fall 1: Sei k gerade, also k = 2k 0 mit k 0 ∈ N0 . Dann gilt n = 3 · k + r =
3 · (2 · k 0 ) + r = 6 · k 0 + r und folglich ist n auch nicht durch 6 teilbar.
Fall 2: Sei k ungerade, also k = 2k 0 + 1 mit k 0 ∈ N0 . Damit erhält man n =
3 · k + r = 3 · (2 · k 0 + 1) + r = 6 · k 0 + 3 + r. Somit ist n wiederum nicht durch 6
teilbar, denn es gilt 3 + r ∈ {4, 5}.
Aus Fall 1 und 2 folgt insgesamt, dass n nicht durch 6 teilbar ist. Somit haben
wir gezeigt, dass jedes n, das durch 6 teilbar ist, auch durch 3 teilbar ist.
3. Variante (Widerspruchsbeweis):
Sei n eine beliebige natürliche Zahl. Angenommen, n wäre durch 6, aber nicht
durch 3 teilbar. Dann gälte n = 6 · k mit k ∈ N und n = 3k 0 + r mit k 0 ∈ N0
und r ∈ {1, 2}. Also 6 · k = 3 · k 0 + r und somit 3 · (2 · k − k 0 ) = r. Damit wäre
r durch 3 teilbar im Widerspruch zu r ∈ {1, 2}.
Somit führt unsere Annahme, dass n durch 6, aber nicht durch 3 teilbar ist, zu
einem Widerspruch (nämlich zu r ∈ {1, 2} und r 6∈ {1, 2}). Daraus schließen
wir, dass jedes n, das durch 6 teilbar ist, auch durch 3 teilbar ist.
Skizze zu Abzählbarkeit von N2
1,1
2,1
3,1
1,2
2,2
3,2
1,3
2,3
1,4
Abbildung I.1:
29
4,1
Stichwortverzeichnis
Kapitel I
n-Tupel, 17
n-stelligen logischen Ausdruck, 7
Äquivalenzklasse von a, 19
Äquivalenzrelation, 19
Abbildung, 20
abzählbar, 26
abzählbar unendlich, 26
allgemeingültig, 7
Belegung, 7
bijektiv, 23
Bild der Abbildung, 21
Darstellung, 7
Definitionsbereich, 20
Differenzenmenge, 15
Durchschnitt, 16
Element von, 14
endlich, 26
Faser, 21
Funktion, 20
geordnete Paar, 17
gleich, 21
gleichmächtig, 26
Graph, 20
identische Abbildung, 21
Identität, 21
injektiv, 23
Inverse, 24
kartesische Produkt, 17
Komplement, 15
Komposition, 24
leere Menge, 15
logisch aquivalent, 7
Mengensystem, 16
n-stellige Boolesche Funktion, 7
Ordnungsrelation, 18
Potenzmenge, 17
Relation, 18
Schnittmenge, 15
surjektiv, 23
Tautologie, 7
Teilmenge von, 15
Totalordnung, 19
uberabzählbar unendlich, 26
Umkehrabbildung, 24
unerfüllbar, 7
Vereinigung, 16
Vereinigungsmenge, 15
Wertebereich, 20
30