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Technische Universität München
Zentrum Mathematik
Dr. M. Kaplan
WS 2010/11
Blatt 3
Lineare Algebra und Analytische Geometrie 1
für das Lehramt an beruflichen Schulen
Übung (3./4. November 2010)
Ü 8) Eine Aufgabe aus Smart für die 5.Klasse Realschule:
Du kannst zeigen, dass 322 − 4 keine Primzahl ist, ohne dass du den Wert der Potenz
322 ausrechnen musst.
a) Trage die Endziffern der Werte der betreffenden Potenzen in die Tabelle ein:
Potenz
31
32
33
34
35
36
37
38
39
310
Endziffer
b) Was stellst du fest?
c) Wie heißt demnach die letzte Ziffer des Wertes der Potenz 3 22 ?
d) Wie begründest du also die Tatsache, dass der Wert der Differenz 322 − 4 keine
Primzahl ist?
e) Gib für das Fragezeichen im Exponenten drei verschiedene natürliche Zahlen an, die
größer als 100 sind , so dass der Differenzwert 3? − 4 durch 5 teilbar ist.
Erkläre, wie du deine Auswahl getroffen hast.
.............................
(i)
Lösen Sie a)-e) wie von den Schülern verlangt.
(ii) Schreiben Sie in einer Programmiersprache Ihrer Wahl eine kleine Schleife, die a)
(und mehr) erledigt.
(iii) Formulieren Sie die Vermutung aus b) als Satz und beweisen Sie diesen mit vollständiger Induktion.
Ü 9)
Zeigen Sie die Teilbarkeitsregel für die 8 :
Eine natürliche Zahl ist genau dann durch 8 teilbar, wenn die Zahl, die aus ihren letzten
drei Ziffern gebildet wird, durch 8 teilbar ist.
Ü 10) Äquivalenzrelationen und –klassen
Zeigen Sie, dass die folgenden Relationen Äquivalenzrelationen auf A sind. Zeichnen Sie
jeweils die Äquivalenzklassen von (2,2) und (2, −2) .
a) A := R2 ,
(a, b) ∼ (c, d) : ⇐⇒ a2 + b2 = c2 + d2 ,
b) A := R2 ,
(a, b) ∼ (c, d) : ⇐⇒ a · b = c · d ,
c) A := R2 \ {(0,0)}, (a, b) ∼ (c, d) : ⇐⇒ a · d = b · c .
Bitte wenden !
Ü 11) Welche der folgenden Abbildungen sind injektiv, surjektiv, bijektiv ?
f1 : Z → Z, x 7→ x3 + 2x2 + x
−n,
f2 : N ∪ {0} → Z, x 7→
n,
falls x = 2n mit n ∈ N ∪ {0}
falls x = 2n − 1 mit n ∈ N
Tipp zu f1 : Es hilft, wenn man f1 (x) faktorisiert!
Hausaufgaben (Abgabe: 11. November 2010, 15:40 Uhr)
H 7)
Zeigen Sie, dass die natürliche Zahl n3 − n für alle n ∈ N durch 6 teilbar ist.
H 8)
Bestimmen Sie alle Primzahlen p , für die 4p + 1 eine Quadratzahl ist.
H 9)
Es sei M eine nichtleere Menge und M := P (M ) . Man betrachte die Relationen
R1 ={(M1 , M2 ) ∈ M × M | M1 und M2 sind gleichmächtig} ,
R2 ={(M1 , M2 ) ∈ M × M | M2 ist mächtiger als oder gleichmächtig zu M1 } .
a) Zeigen Sie, dass R1 eine Äquivalenzrelation ist.
b) Geben Sie für M = {1,2,3} die Faktormenge M/R1 explizit an.
c) Ist R2 eine Ordnungsrelation?
H 10) Welche der folgenden Abbildungen sind injektiv, surjektiv, bijektiv ?
f1 : R → R2 , x 7→ (2x, x − 1)
f3 : R2 → R2 , (x, y) 7→ (y,3)
f2 : R2 → R, (x, y) 7→ xy
f4 : R2 → R2 , (x, y) 7→ (4y, x − 1)
Berechnen Sie gegebenenfalls die Umkehrabbildungen.
Ergänzungen (18. November 2010)
E 6)
Überflüssige Reflexivität?
Wo steckt der Fehler in der folgenden Argumentation?
Es sei ∼ eine symmetrische und transitive Relation auf einer Menge A . Dann folgt für
x, y ∈ A mit x ∼ y wegen der Symmetrie auch y ∼ x und wegen der Transitivität aus
x ∼ y und y ∼ x auch x ∼ x . Die Relation ∼ ist also eine Äquivalenzrelation.
E 7)
Formulieren Sie analog zu Ü 9 eine Regel für die Teilbarkeit einer natürlichen Zahl
durch 40 und beweisen Sie diese.
E 8)
Es sei f : A → B eine Abbildung mit A 6= ∅ .
Zeigen Sie: Die Abbildung f ist genau dann
• injektiv, wenn es ein g : B → A mit g ◦ f = idA gibt.
• surjektiv, wenn es ein ĝ : B → A mit f ◦ ĝ = idB gibt.