VORKURS MATHEMATIK ¨Ubungsblatt 2 - FiMS

Technische Universität Kaiserslautern
Fachbereich Mathematik
Dr. Florentine Bunke
Wintersemester 2011/2012
VORKURS MATHEMATIK
für Studierende der Studiengänge Mathematik, Informatik und
Wirtschaftsingenieurwesen (Vertiefung Informatik)
Übungsblatt 2
Aufgabe 8
Das Ergebnis einer Umfrage unter 99 Studierenden, die am Mathe-Vorkurs teilnehmern,
kommt zu folgendem Ergebnis:
Anzahl der Studierenden, die ein Musikinstrument spielen: 75
Anzahl der Studierenden, die regelmäßig Sport treiben: 68
Anzahl der Studierenden, die sowohl ein Musikinstrument spielen als auch regelmäßig Sport
treiben: 42
Ein Teilnehmer des Vorkurses behauptet, dass das Ergebnis falsch sein muss. Wie beurteilen
Sie das Ergebnis?
Aufgabe 9
Beweisen Sie die folgenden Aussagen mit vollständiger Induktion:
a) Für jede natürliche Zahl n ≥ 1 gilt: 13 + 23 + 33 + . . . + n3 = (1 + 2 + 3 + . . . + n)2
Pn
b) Für jede natürliche Zahl n ∈ N0 gilt:
k=0 k · k! = (n + 1)! − 1 .
c) Für jede natürliche Zahl n ≥ 10 gilt: n3 ≤ 2n .
d) Seien a und q reelle Zahlen, q 6= 1, und sei n eine natürliche Zahl.
Pn
1−q n+1
k
.
Dann gilt:
k=0 a · q = a ·
1−q
Finden Sie noch einen zweiten Beweis für diese Formel ohne vollständige Induktion.
Aufgabe 10
Bestimmen Sie für z1 =
a) z = z1 + z2
3+2i
1−i
und z2 =
5−3i
1+2i
jeweils den Real- und Imaginärteil von
b) z = z1 · z2
c) z =
z1
z2
Aufgabe 11
Skizzieren Sie die folgenden Mengen in der komplexen Ebene:
1
= 2}
a) M1 = {z | Re z−i
b) M2 = {z | |z| < 1 − Re(z)}
In der Mathematik gibt es keine Autoritäten.
Das einzige Argument für die Wahrheit ist der Beweis.
Kazimierz Urbanik
Aufgabe 12
a) Sei z ∈ C. Zeigen Sie, dass gilt: Re z = 12 (z + z̄) und Im z =
1
2i (z
− z̄)
b) Seien z, w ∈ C. Beweisen Sie, dass gilt:
|z + w|2 + |z − w|2 = 2(|z|2 + |w|2 ) .
Verdeutlichen Sie diese sogenannte Parallelogramm-Identität anhand einer Zeichnung.
Aufgabe 13
Geben Sie die Polarform der folgenden komplexen Zahlen an, wobei für das Argument ϕ jeweils −π ≤ ϕ < π gelten soll. Skizzieren Sie die Zahlen.
√
√
a) z = 1 + i
b) z = −1 − i
c) z = − 21 2 + i 12 2
Aufgabe 14
Skizzieren Sie die folgenden komplexen Zahlen und schreiben Sie sie in der Form z = x + iy.
a) z = cos π + i sin π
b) z = 2(cos π3 + i sin π3 )
c) z = 5(cos 32 π + i sin 32 π)
Aufgabe 15
Finden Sie Beispiele von Funktionen f : A −→ B, die
a) injektiv und surjektiv
b) injektiv, aber nicht surjektiv
c) surjektiv, aber nicht injektiv
d) weder injektiv noch surjektiv sind.
Aufgabe 16
a) Zeigen Sie: Für jede ungerade Funktion f : R −→ R gilt f (0) = 0.
b) Seien f, g : R −→ R Funktionen. Untersuchen Sie, ob die Summe f + g und das Produkt
f · g gerade oder ungerade sind, falls
(i) f und g gerade sind.
(ii) f und g ungerade sind.
(iii) f gerade und g ungerade ist.
Vergleichen Sie Ihre Ergebnisse mit der Summe und dem Produkt entsprechend benannter (gerader bzw. ungerader) ganzer Zahlen.
Aufgabe 17
a) Beweisen Sie: Jede streng monotone Funktion f : R ⊇ A −→ R ist injektiv.
b) Gilt auch die Umkehrung: Jede injektive Funktion f : R ⊇ A −→ R ist streng monoton?
(Beweis oder Gegenbeispiel)
In der Informatik geht es genau so wenig um Computer
wie in der Astronomie um Teleskope.
Edsger W. Dijkstra