Der Satz von Vieta

GFS-Thema
Der Satz von Vieta
Der französische Mathematiker Francois Viète (* 1540, † 1603) fand einen einfachen,
aber nützlichen Zusammenhang heraus: Hat man eine quadratische Gleichung der Form
x  2+ b x + c = 0, so hängen die Lösungen auf einfache Weise von den Koeffizienten b und
c ab. Bei vielen Gleichungen kann man die Lösungen so durch Probieren ganz schnell
ermitteln. Wie hängen bei den Beispielen unten b und c mit den Lösungen zusammen?
x  2 – 5 x + 6 = 0
x  2 + 3 x – 4 = 0
Lösung: x  1 = 2; x 2 = 3
Lösung: x 1 = 1; x 2 = – 4
Francois Viète
(* 1540, † 1603)
Problem
Wie kann man bei einer quadratischen Gleichung der Form x 2+ b x + c = 0 einen Zusammenhang zwischen den Lösungen der Gleichung und den Koeffizienten b und c herleiten?
Erarbeitung
Anhand der obigen Beispiele vermutet man: Hat eine Gleichung
der Form x  2+ b x + c = 0
die Lösungen x 1 und x  2 ,
so gilt x  1 + x  2 = – b und x 1 · x 2 = c. Um dies nachzuweisen, kann man
folgendermaßen vorgehen.
Linearfaktordarstellung der Gleichung:
Ausmultiplizieren:
Ausklammern von x:
Vergleich mit der Form x  2+ b x + c = 0:
(x – x 1) · (x – x 2) = 0
x  2 – x · x 2 – x  1 · x + x 1 · x 2 = 0
x  2 – (x 1 + x  2) · x + x 1 · x 2 = 0
x  2+ b · x + c
=0
Man erkennt, dass b = – (x 1 + x  2) und c = x 1 · x 2 ist.
Ergebnis
Ist eine quadratische Gleichung der Form x 2+ b x + c = 0 gegeben, so sind die Zahlen x 
1
und x  2genau dann Lösungen der Gleichung, wenn gilt
(1) x  1 + x  2 = – b,
(2) x  1 · x 2 = c.
1 Ordne den Lösungen die passende Gleichung zu.
1
x  1 = – 0,5; x  2 = – 4
2
x  1 = – 2; x  2 = 4
A
x  2+ 4,5 x + 2 = 0
B
x  2– 2 x – 8 = 0
2 Die Gleichung hat zwei ganzzahlige Lösungen. Bestimme diese Lösungen mithilfe des Satzes von Vieta durch
zielgerichtetes Probieren. Schreibe die Gleichung in Linearfaktordarstellung.
a) x  2– 6 x + 8 = 0
b) x  2+ x – 12 = 0
c) x  2+ 8 x + 12 = 0
d) x  2+ 12 x – 13 = 0
3 Die angegebene Zahl ist eine Lösung der Gleichung. Bestimme die zweite Lösung der Gleichung sowie b bzw. c.
a) x  2+ b x – 15 = 0
x 1 = 3
b) x  2– 5 x + c = 0
x 1 = 7
3
c) x  2 + b x –  _8  = 0
3
x 1 =  _4 
d) x  2+ 0,3 x + c = 0
x 1 = – 0,1
4 Nimm an, dass die quadratische Gleichung x 2+ b x + c = 0 nur eine Lösung x 
1hat. Leite ähnlich wie in der
Erarbeitung einen Zusammenhang zwischen der Lösung x 
1und den Koeffizienten b und c der Gleichung her.
Überprüfe dein Ergebnis an der Gleichung x 2– 6 x + 9.
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