Jahrbuch Database

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c 2017 FIZ Karlsruhe
JfM 02670427
Vahlen, K. Th.
On complex numbers in more dimensions. (Ueber complexe Zahlen in mehr Dimensionen.)
Königsb. Physik.-ökon. Ges., 7 S (1897).
Es handelt sich um Zahlsysteme, die aus (p + 1) Einheiten, 1, i1 , i2 , . . . , ip entstehen, und die sich für p = 1
auf die gewöhnlichen complexen Zahlen reduciren, für p = 3 aber die Quaternionen als Specialfall enthalten.
Für die Multiplication gilt zwar das distributive, aber nicht das commutative Gesetz. Im speciellen gilt
für die Einheiten i2a = −1, ia iβ = −iβ ia . Werden weitere Relationen nicht vorausgesetzt, so führt die
Multiplication auf das Gebiet der 2p - gliedrigen Zahlen:
A = a + i1 a1 + · · · + ip ap + i1 i2 a12 + · · · + ip−1 ip ap−1,p + · · · + i1 i2 . . . ip a12...p ,
während die Division eine neue Erweiterung nicht erfordert. Ist A−1 = x + i1 x1 + · · · + i1 i2 . . . ip x12...p die
zu A reciproke Zahl, welche also A.A−1 = 1 liefert, so bestimmen sich die reellen Coefficienten x1 , . . . , x12...p
derselben aus den 2p linearen Gleichungen
ax − a1 x1 − a2 x2 − · · · = 1,
a1 x + ax1 − a12 x2 − · · · = 0,
a2 x + a12 x1 + ax2 + · · · = 0,
. . . . . . . . . . . . . .
Für die Determinante dieses Systems:
a, −a1 , −a2 , . . . a,
−a12 , . . . a ,
∆= 1
a,
...
a2 , a12 ,
......................
gilt der bekannte wichtige Satz, dass ∆, sofern es sich nicht um die gewöhnlichen complexen Zahlen oder die
Quaternionen handelt, für specielle Zahlen A verschwinden kann. Diese Zahlen A sind die “Teiler der Null”,
sie besitzen keine reciproke Zahlen A−1 . Als “Orthogonalzahlen” bezeichnet Verf. diejenigen A, bei denen
∆ ein orthogonales System darstellt. Unter den Orthogonalzahlen befinden sich keine Teiler der Null, und
insbesondere gilt der Satz, dass sich die Orthogonalzahlen gegenüber der Multiplication reproduciren. Der
weitere Ausbau der Abhandlung gilt insbesondere der Theorie dieser Orthogonalzahlen.
Fricke, Prof. (Braunschweig)
Narkiewicz, W. (Wroclaw)
Classification: 11R54
Keywords: linear algebras
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November 3, 2017