PowerPoint-Präsentation

Prof. Dr. Johann Graf Lambsdorff
Universität Passau
SS 2009
z
12. Zur Bildung von Zyklen
zˆ  2.4
Fn
F  115
F
Empfohlene Lektüre:
Chiang, A. (1984), Fundamental Methods of
Mathematical Economics, S. 591-596.
Spahn, H.-P. (2009), Geldpolitik. Finanzmärkte, neue
Makroökonomie und zinspolitische Strategien, S. 214216.
• Die Auswirkungen von erwarteten Preis- und
Lohnreaktionen auf das Verhalten von Unternehmen
und Gewerkschaften wird im folgenden im Rahmen
eines formalen Modells dargestellt.
• Dabei wollen wir den Erwartungskanal insofern
vereinfachen, als dass wir die Wirkung auf das
Realzinsniveau vernachlässigen.
• Die Möglichkeit, Preissteigerungen auch ohne
Überschussnachfrage durchzusetzen wollen wir aber
beibehalten.
• Im Zentrum des Modells soll daher die Auswirkung
der Erwartungsbildung von Wirtschaftssubjekten auf
makroökonomische Entwicklungen stehen
(Konjunkturzyklen; Stagflation).
Im monetaristischen
„Angebots-NachfrageModell“ wird
besonderes Gewicht auf
die Modellierung von
Preisreaktionen gelegt.
Dies erschien
insbesondere notwendig
nach den Erfahrungen
mit hohen
Inflationsraten in den
70er und 80er Jahren.
75
20
80
16
74
12
8
89
73
85
72
4
68
0 61
3
6
Arbeitslosenquote (%)
9
12
Inflationsrate
Die Philips-Kurve für Deutschland 1965 – 1999 (alte Bundesländer)
Arbeitslosenquote
Quelle: Jan-Egbert Sturm, Konstanz 2004
• Solche Zyklen können dadurch entstehen, dass der
Realzins nicht unmittelbar auf die Güternachfrage wirkt,
sondern mit einer zeitlichen Verzögerung.
• Im Keynesianischen Konsensmodell gilt dann:
Y  b0  b1r1 ;
r
b0 , b1  0.
r  r ' P Y  Y   I  ;
r
   1   Y  Y  ,   0
r ', P , I  0
r
1
• Wird die Taylorregel der Periode -1 in die IS-Kurve
eingesetzt, so folgt:
Y r  b0  b1  r ' I  1   b1P Yr1  Y 
(2 ')
• Gemäß Inflationsfunktion gilt:
   1
 1  
r
Y Y 
sowie Y  Y 


r
1
• Wird dies in (2‘) eingesetzt, so folgt:
 1  
   1
Y
 b0  b1  r ' I  1   b1P


  1     b0   b1r '  Y   b1I  1  b1P    1 
  1  1  b1P    b1 I  P   1   b0   b1r '  Y
• In Standardnotation „schieben“ wir die Gleichung eine
Perioden nach vorne:
 2  1  b1P   1  b1 I  P     b0   b1r '  Y
Hierzu bestimmen wir eine partikuläre Lösung, P ,
welche durch die langfristige Gleichgewichtslösung
bestimmt ist: t+2= t+1 = t = P .
 P  1  b1P   P  b1 I  P   P   b0   b1r '  Y
b0  b1r ' Y
 P 
b1I
Die partikuläre Lösung bildet zusammen mit der Lösung
des homogenen Teils der Differenzengleichung die
gesamte Lösung. Für den homogenen Teil, c, gilt:
 2  1  b1P   1  b1 I  P    0
Wir vermuten, dass ein exponentieller Term der Form
Act als Lösung für den homogenen Teil für t in Frage
kommt. Dies impliziert
t+1 = Act+1 und
t+2 = Act+2
Wird dies eingesetzt, so folgt:
Act 2  1  b1P  Act 1  b1 I  P  Act  0
c2  1  b1P  c  b1 I  P   0
a1
a2
Dies wird die „charakteristische Gleichung“ genannt. Sie
hat zwei charakteristische Wurzeln:
-a1  a12  4a2
c1 , c2 =
2
Es gibt somit zwei voneinander unabhängige Lösungen.
Beide sind Bestandteil der allgemeinen Lösung der
Differenzengleichung, jeweils mit einer Konstanten
multipliziert. Einsetzen erbringt:
c1 , c2 =
1  b1P   1  b1P 
2
 4b1 I  P 
2
Falls c1c2<0 sind Wurzeln mit umgekehrten Vorzeichen
vorhanden. In diesem Fall resultiert eine alternierende
Entwicklung. Dies gilt bei I  P   0
• Ebenfalls eine alternierende Bewegung ergibt sich bei
c1;c2<0.
• Gilt hingegen I  P und 1  b1P  0 , so sind beide
Wurzeln positiv und es liegt eine monotone Entwicklung
vor.
• Ist eine Wurzel größer als 1, so ergibt sich eine
divergente Entwicklung.
• Falls 4b1 I  P   1  b1P  , steht unter der Wurzel
ein negativer Term. In diesem Fall muss die Lösung
komplex sein.
2
Die beiden Lösungen lassen sich dann so schreiben:
c1,c2=h±vi ,
mit dem Realteil: h=-a1/2
und dem imaginären Teil: v= 4a2  a12 2
Die Lösung, c=A1(h+vi)t +A2(h-vi)t, ist nicht leicht zu
interpretieren. Sie kann aber in trigonometrische
Funktionen transformiert werden:
(h±vi)t=Rt(cosqt±i.sinqt).
Hierbei gilt R= h2  v 2  (a12  4a2  a12 ) / 4  a2
sowie cos q  h R  a1  2 a2 
und
sin q  v R  1  a12  4a2 
Aus c=A1(h+vi)t +A2(h-vi)t wird dann:
c=A1Rt(cosqt + i.sinqt)+A2Rt(cosqt - i.sinqt)
=Rt(A3cosqt +A4.sinqt); A3=A1+A2; A4=(A1-A2)i
Die Werte der Konstanten A3 und A4 lassen sich jeweils
aus den Anfangswerten bestimmen.
Beispiel: t+2+1/4. t = 5.
Offensichtlich ergeben sich komplexe Wurzeln. Es
gilt h=0; v=1/2 sowie R=1/2. Daraus folgt cos q =0 und
sin q =1, was jeweils bei q =/2 erfüllt ist. Da ferner
P=4, folgt:
t= (1/2)t .(A5cos(/2.t) +A6.sin(/2.t))+4.
Es liegt Konvergenz vor, falls:
1
R  a2  b1 I  P   1  I  P 
b1
Dies impliziert, dass bei einer zu hohen
Inflationspräferenz Zyklenbildung entstehen kann. Im
extremen Fall kann diese sogar divergent sein.
Bei einer hohen Beschäftigungspräferenz könnte
ebenfalls Divergenz auftreten, allerdings ohne
Zyklenbildung, sondern alternierend.
Das Modellverhalten kann auch mit Hilfe einer ExcelTabelle ermittelt werden.
Es ergibt sich insgesamt die folgende Übersicht für
alternative Werte der Beschäftigungspräferenz und
Inflationspräferenz bei b1=1, =0,4
P
2
Divergente,
alternierend
e
Entwicklung
Kovergente,
alternierend
e
Entwicklung
1
Kovergente Zyklen
Kovergente,
monotone
Entwicklung
0,625
Divergente Zyklen
1
2
3
4
I