Rechenwerkzeuge - e

Berufsgrundbildung Elektrotechnik
Mathematische Grundlagen
Rechenwerkzeuge
6.0
Rechenwerkzeuge
"So wie das Werkzeug, so die Arbeit", besagt ein in der handwerklichen Praxis sich
immer wieder bewahrheitendes Sprichwort. Bezüglich des technischen Rechnens
besteht unser "Werkzeug" in der Kenntnis und Anwendung der verschiedenen
Rechenregeln.
6.1
Die Rechenstufen
Die erfahrungsgemäß geringsten Probleme haben Poly-Schüler bei der Zuordnung
der Rechenstufen:



1. Rechenstufe:
2. Rechenstufe:
3. Rechenstufe:
Addition und Subtraktion
Multiplikation und Division
Potenzieren und Wurzelziehen
Diese Rechenstufen haben zueinander eine unterschiedliche Rangfolge. Enthält eine
Aufgabe mehrere Stufen, so ist stets die Rechnung der höheren Rechenstufe vorrangig und wird zuerst ausgeführt.
Die diesbezüglichen Merkregeln – Potenzrechnung vor Punktrechnung und Punktrechnung vor Strichrechnung – sind dir sicher noch gegenwärtig.
Falls eine Aufgabe in einer anderen Reihenfolge gelöst werden soll, muss eine
Klammer gesetzt werden.
Beispiele:
6  3 . 42

6  3 . 16
6  32 : 16
6  3 . 4 
2


6  32 : 4
6  122
4
3
2

23

43
2

7
2
3,5
120 120

3
5
120
35


120
8




68
6  144
54


14
150
5
40  24


6  48

64
15
85
6.2
Rechnen mit Brüchen
Werden zwei Brüche mit ungleichem Nenner addiert bzw. subtrahiert, so muss
durch Erweitern oder Kürzen ein gemeinsamer Nenner gebildet werden.
4 3

7 21

4 1

7 7
4 3

7 21

12 3

21 21
5
7

oder
15
21


5
7
Der erste Bruch kann durch Multiplikation mit 3 auf den Nenner 21 erweitert werden, oder - natürlich
noch einfacher - der zweite Bruch erhält durch Kürzen mit 3 den Nenner 7.
Im Zusammenhang mit Formeln, erscheinen die Nenner in Form von allgemeinen
Zahlen.
Der gemeinsame Nenner ergibt sich aus der Multiplikation der Teilnenner d. h. der
erste Bruch wird mit dem Nenner des zweiten und der zweite Bruch mit dem Nenner
des ersten erweitert:
a
b

x
y
ay bx

x.y x.y

ay  bx
x.y

In der Aufgabenstellung
cd 2f 5c


a
b
2

ist der gemeinsame Nenner 2ab d. h. der erste Bruch muss mit 2b, der zweite mit 2a
und der dritte mit ab erweitert werden.
cd 2f 5c


a
b
2
2bcd 2a2f ab5c


2ab
2ab
2ab


2bcd  4af  5abc
2ab
Werden zwei Brüche multipliziert, so ergibt sich folgendes Ergebnis:
a b
.
x y

a.b
x.y
Bei der Multiplikation mit einer ganzen Zahl, wird der Zähler des Bruches mit dieser
Zahl multipliziert. (Wir denken uns die ganze Zahl als Bruch mit dem Nenner 1.)
3
.7
4

3 7
.
4 1

21
4

5
1
4
86
Bei der Multiplikation von Brüchen ergibt sich sehr häufig die Möglichkeit, dass
Zahlen oder Variable gekürzt werden können:
5a 7b
.
. 2d
b 9

5a . 7b . 2d
9.b
70ad
9

Die Division von Brüchen, kann auf zwei Arten vollzogen werden.
Entweder wir multiplizieren den ersten Bruch mit dem Kehrwert des zweiten Bruches,
a b
:
x y
a y
.
x b


a. y
x .b
oder wir wählen - wie in Formeln häufig üblich - die Schreibweise mit dem Doppelbruch mit nachfolgender Multiplikation der Aussen- und Innenglieder.
a
x
b
y
a. y
x .b

Bei der Division durch eine ganze Zahl, wird der Nenner des Bruches mit dieser Zahl
multipliziert. (Wir denken uns die ganze Zahl als Bruch mit dem Nenner 1.)
2
:9
8
r
s
m
2 9
:
8 1

r
s
m
1



2 .1
8.9
r .1
s.m


2
72

1
36
r
s.m
Besitzt der Zähler bzw. Nenner ein Vorzeichen, so erinnern wir uns an die entsprechenden Regeln:
5
2

 2,5
6
3

2
8
2

4
9
3

3
87
6.3
Rechnen mit Klammern
Sind Formeln mit Klammern versehen, so kann ein Ausmultiplizieren, also die Auflösung der Klammer, notwendig sein.
Mit
5 . 6  4
5 . 10
50
 5 .6  5 .4
 30  20
 50
dürfen wir in allgemeiner Form festhalten:
g . a  b 
g. a  g.b
g . a  b 
bzw.
g .a  g . b
Wir multiplizieren eine Klammer mit einer Zahl oder Variablen, indem jedes Glied der
Klammer unter Beachtung der Vorzeichen multipliziert wird.
3 . 4  b  3c   12  3b  9c
Im Zusammenhang mit Gleichungen, die die unbekannte Größe mehr als einmal
enthalten, wird der entgegengesetzte Vorgang – mit dem Ausklammern gemeinsamer Faktoren – erforderlich sein.
12b  15a

3 .4b  3 . 5a
Rk  Rk . .  


3 . 4b  5a
Rk . 1   .  
(gemeinsamer Faktor 3)
(gmeinsamer Faktor Rk)
Begegnet uns ein Term in der Form
x4
.7
9

so werden wir durch Setzen einer Klammer klare Verhältnisse schaffen:
x4
.7
9

x  4 . 7
9

x  4 . 7
9

88
7x  28
9
6.4
Rechnen mit Potenzen
Im technischen Bereich ist vor allem das Rechnen mit Zehnerpotenzen, im Zusammenhang mit sehr großen und sehr kleinen Zahlen, von Bedeutung.
In der Elektrotechnik spannt sich hier der Bogen von Megawatt (10 6) bei Kraftwerksleistungen bis zu
Pikofarad (10-12) bei der Kapazität von Kondensatoren.
Die Elektrizitätsmenge (elektrische Ladung), die bei einem Strom von 1 Ampere in 1 Sekunde durch
einen Leiter fließt, also 1 Amperesekunde, wird mit der Anzahl von 6,24 . 10 18 Elektronen angegeben.
Mit dieser Zahl muss aber ohnehin nicht gerechnet werden, da wir sie zu Ehren eines französchischen
Physikers mit der Ladung von 1 Coulomb (1C = 1As) gleichsetzen. Im Bereich der Elektrochemie und
im Zusammenhang mit der Kapazität von Kondensatoren wirst du auf diese Einheit stoßen.
Zur Erinnerung:
1000

10 . 10 . 10

103
1000000

10 . 10 . 10 . 10 . 10 . 10

106
0,1

1
10

1
101
 10 1
0,01

1
10 . 10

1
10 2
 10  2
0,001

1
10 . 10 . 10

1
103

103
Von der großen Zahl zur Darstellung mit Zehnerpotenzen:
Wir bilden eine Dezimalzahl mit einer ganzen Stelle und zählen vom Komma ausgehend die Anzahl der Stellen, die wir als Exponent in der Zehnerpotenz setzen.
512 000 000 = 5,12 . 108
Mit derselben Methode arbeitet auch unser Taschenrechner (TI 30).
Eingabe:
512000000
Taste:
2nd
Taste:
SCI (Taste 5)
Ausgabe:
5,12 . 108
In der Umkehrung wird das Komma um die im Exponenten angegebenen Stellen
nach rechts verschoben.
4,2 . 106 = 4 200 000
Mit dem Taschenrechner:
Eingabe:
4,2
Taste:
EE
Taste:
6
Taste:
=
Ausgabe:
4200000
89
Von der kleinen Zahl zur Darstellung mit Zehnerpotenzen:
Wieder bilden wir eine Dezimalzahl mit einer ganzen Stelle und setzen die Anzahl
der Stellen, um die das Komma verschoben wurde, als negativen Exponenten in der
Zehnerpotenz.
0,0000094 = 9,4 . 10-6
Mit der elektronischen Rechenhilfe:
Eingabe:
0,0000094
Taste:
2nd
Taste:
SCI
Ausgabe:
9,4 . 10-6
In der Umkehrung wird das Komma um die im Exponenten angegebenen Stellen
nach links verschoben.
1,4 . 10-5 = 0,000014
Zur Kontrolle mit dem Taschenrechner:
Eingabe:
1,4
Taste:
EE
Taste:
5
Taste:
+/Taste:
=
Ausgabe:
0,000014
Zum Rechnen mit Zehnerpotenzen seien noch die einschlägigen Regeln erwähnt:
Aus

am . an
amn
kann
105 . 103 = 105 +3 = 108
abgleitet werden, d. h. Potenzen mit gleicher Basis werden multipliziert indem man
die Exponenten addiert.
Aus
am
an

am n

105 3
kann
105
103

102
abgleitet werden, d. h. Potenzen mit gleicher Basis werden dividiert, indem man die
Exponenten subtrahiert.
90
Eine Potenz mit dem Exponenten 0 hat immer den Wert 1.
107
107

107 7

100

1
Schließlich gelten noch folgende Umkehrungen:
102

1
102
1
10 3
bzw.
 10 3
Aufgaben der folgenden Art, werden natürlich in eleganter Weise mit Hilfe von Zehnerpotenzen gelöst:
5000000 . 7000 = 5.106 . 7.103 = 5 . 7 . 106 . 103 = 35 . 106+3 = 35 . 109 = 3,5.1010
4000 . 30000 4.10 3 . 3.10 4 4 . 3 . 10 3 . 10 4 2 . 3 . 10 3 . 10 4



 6 . 10 3  4 
2
2
2
0,02
2.10
2.10
10
 2 
 6 . 10 9
In der Rechenpraxis wird die Überschlagsrechnung bevorzugt als Anwendungsbereich des Rechnens mit Zehnerpotenzen genannt. Durch die allgegenwärtige
elektronische Rechenhilfe hat sie natürlich an Bedeutung verloren. Zu Übungszwecken soll trotzdem ein Beispiel angeführt werden:
365 . 0,013 . 17,25
= 81,9
Die Zahlen werden mit Zehnerpotenzen dargestellt und auf Ganze gerundet:
3,65.102

4.102
1,3.10-2

1.10-2
1,725.101

2.101
4.102 . 1.10-2 . 2 .101 = 8.101 = 80
Wie schon erwähnt, wird aber beispielsweise in Verbindung mit dem Blindwiderstand
eines Kondensators das Rechnen mit Zehnerpotenzen ein fachrechnerisches Thema
sein:
1
2
5.10 . 8.109

1
5.8.102 9

1
40.107
2,5 . 105
91

1
4 .10 6

1.106
4

0,25 . 106

Verlangt jemand von dir zu allem Überfluss noch die Berechnung des Aufladestroms eines Konden-
U
.e
R

sators ( i c

t

), so lassen wir uns aber auch von einem Exponenten als Bruch mit nega-
tivem Vorzeichen nicht abschrecken.
2

10 3
Eingabe: 10 yx (2:3) = 4,64
Um den Taschenrechner nicht zu täuschen, muss der Exponent in Klammer gesetzt
werden.

10
2
3

Eingabe: 10 yx (2 +/- : 3) = 0,22
Sollte schließlich in einer Formel eine Wurzel zu finden sein, denken wir an die entsprechenden Regeln:
a.b

a. b
a
b

a
b
an

am
n
m
3
10
 100
6
bzw.
10
6
3

102

100

32

9
Eingabe: 10 yx 6 2nd yx 3 = 100
8
4
38

bzw.
9
34
Eingabe: 3 yx 8 2nd yx 4 = 9
3

2
3

1
3
2
3

1
3
32

0,48
92
6.5
Anwendung der Rechenstufen mit dem Taschenrechner
Die folgenden Beispiele stammen aus facheinschlägigen Formeln. Um aber nicht vom eigentlichen
Thema der Bedienung des Taschenrechners abzulenken, wird sowohl auf die Angabe des konkreten
Zusammenhanges als auch auf Einheiten verzichtet.
435  360
. 235  20  20  25
360

Ein Bruchstrich hat die Wirkung einer Klammer, die beim Rechnen mit dem
Taschenrechner auch tatsächlich gesetzt werden muss:
Eingabe: (435 – 360) : 360 . (235 + 20) + 20 – 25 = 48,125
422  362

Entweder es werden die Werte unter der Wurzel in Klammer gesetzt, oder die
Eingaben werden vor dem Wuzelziehen mit "=" abgeschlossen.
Eingabe:
(42 x2 + 36 x2)
1200
1  0,004 . 85
x Ergebnis: 55,3
oder
42 x2 + 36 x2 =
x Ergebnis: 55,3

Die Wirkung des Bruchstriches als Klammer, gilt natürlich auch für den Nenner.
Eingabe: 1200 : (1 + 0,004 . 85) = 895,5
2202  180  60
2

Eingabe: (220 x2 – (180 – 60) x2 ) x Ergebnis: 184,4
oder
220 x2 – (180 – 60) x2 = x Ergebnis: 184,4
 12  5,6

5,6 . 
 4 . 103 
3
 1,2 . 10


Der Zähler des Bruches (12 – 5,6) muss mit einer zusätzlichen Klammer versehen
werden.
93
Eingabe: 5,6 . ( ( 12 – 5,6) : 1,2 EE 3 - 4 EE 3 - ) = 2nd SCI Ergebnis: 7,47.10-3
Das folgende Beispiel stellt keine "Schülerschikane" dar, sondern es sind es sind die Zahlen aus einer
sogenannten Mischtemperaturberechnung. Glücklicherweise werden solche Zahlengebilde nicht unbedingt zu deinem fachrechnerischen Alltag gehören. Sie bieten allerdings eine gute Übung im Rechnen mit Zehnerpotenzen.
8 . 4,77 . 102 . 7,2 . 102  20 . 4,187 . 103 . 15
8 . 4,77 . 102  20 . 4,187 . 103

Die Eingabe des Zählers muss mit "=" abgeschlossen werden und der Nenner ist in
Klammer zu setzen.
Eingabe: 8 . 4,77 EE 2 . 7,2 EE 2 + 20 . 4,187 EE 3 . 15 = : (8 . 4,77 EE 2 + 20 .
4,187 EE 3) = 45,7
Vor allem bei Prüfungsarbeiten wirst du natürlich vorsichtshalber Zwischenrechnungen anstellen bzw. eine Überschlagssrechnung durchführen, um dir ein Bild von
der Größenordnung des Ergebnisses zu machen. Zu diesem Zweck runden wir auf
ganze Zahlen.
8 . 5 . 7 . 104  20 . 4 . 15 . 103
8 . 5 . 102  20 . 4 . 103

280 . 104  1200 . 103
40 . 102  80 . 103

Jetzt trachten wir danach, dass wir die Zehnerpotenzen herausbeben bzw. kürzen
können.
2,8 . 106  1,2 . 106
4 . 103  80 . 103

4 . 106
84 . 103
4 . 103
84


47,6
Unter Berücksichtigung der gerundeten Zahlen, ein durchaus brauchbares Ergebnis.
Eine Möglichkeit das Ergebnis zu ermitteln bzw. zu überprüfen besteht in der Ausführung von Zwischenrechnungen. Dabei ist allerdings die geforderte Rechengenauigkeit zu berücksichtigen, um eine derart mühsame Rechenvariante – wie die
folgende – zu vermeiden:
274,752 . 10 4  1256,1. 10 3
38,16 . 10 2  83,74 . 10 3
4,00362 . 10 6
87,556 . 10 3


4,00362 . 10 3
87,556
2,74752 . 106  1,2561. 106
3,816 . 103  83,74 . 103


45,7
Unsere elektronische Rechenhilfe liefert Ergebnisse mit bis zu 10 Ziffern. Wenn nicht
anders vereinbart, dürfen wir im Hinblick auf eine praxisgerechte Rechengenauigkeit
von drei Ziffern ausgehen. Je nach der Größe der 4. Ziffer wird auf- bzw. abgerundet.
94
Die vorhergehende Berechnung stellt sich dann vernünftigerweise so dar:
275 . 104  1260 . 103
38,2 . 102  83,7 . 103

275 . 104  126 . 104
38,2 . 102  837 . 102

401. 104
875,2 . 102

401. 102
 45,8
875,2
In welche Form wir die Zehnerpotenzen mit der Absicht des Heraushebens bzw. Kür10 6
10 4
zens bringen, also
oder
, kann uns natürlich niemand vorschreiben.
10 3
10 2
Wichtig ist dabei nur, dass die Beizahlen entsprechend angepasst werden. Die
allgemeine Schreibweise von Zehnerpotenzen, mit einer Dezimalzahl, die nur eine
ganze Stelle besitzt, lassen wir dabei im Hinblick auf die erwähnte Absicht, allerdings
unberücksichtigt.
Angeblich im Bereich der Nanotechnologie ist folgende Formel angesiedelt.
A = 6,394
x = 9,241
A x . By z
a.b

C
x
yz
B = 57,14
y = 3,093
C = 7,293
z = 4,916
a = 2,136
b = 3,274
Ergebnis: 9,12 . 104
Das Ergebnis mit der Potenz 104 lässt allerdings vermuten, dass es sich doch
nicht um eine "nanotechnologische" Formel handelt, da das Ergebnis ja sonst
in der Größenordnung von 10-9 liegen müsste.
Ist dir das Eingeben der Zahlen allerdings zu mühsam, so könntest du eine Überschlagsrechnung erstellen:
69 . 5715
7
7

9
15

Eingabe: 6 yx 9 . 57 yx 15 : 7 yx (9 +/- : 15) = 2nd yx 7 = 6,85 . 104
Mit Übereinstimmung der Zehnerpotenz (104) dürfen wir mit dem Ergebnis zufrieden sein.
Soviel unser Taschenrechner auch kann, so hat er bezüglich der Rechenstufen aber
auch seine Grenzen. Mit der folgenden Berechnung ist auch er "überfordert":
5  8 47  5 3  6  2 . 4. 3

Eingabe: (5 + 8 . (47 – 5 . (3 + Error (?)
Willst du diese Berechnung unmittelbar in den Taschenrechner übernehmen, so wirst du nach
Eingabe des "+ vor 6" ein Error erhalten, da der Rechner nur bis zu vier unvollständige Operationen
speichern kann. In diesem Fall ist also eine Vereinfachung notwendig.
5  8 47  5 . 9  2 . 4 . 3

Eingabe: (5 + 8 . (47 – 5 . 9) + 2 . 4) . 3 = 87
95