1. Zahlenräume erkunden - Mathematik förderorientiert

Curriculum Primarschulmathematik
Inhaltsverzeichnis
Inhaltsverzeichnis
2
Zum Kurs ...................................................................................................................................................... 3
1. Zahlenräume erkunden
1.1
1.2
1.3
Stofflich - didaktische Landkarte...................................................................................................... 4
Allgemeine Bemerkungen zum Begriff «Zahl» ................................................................................ 5
1.2.1
Übersicht
5
1.2.2
Aspekte natürlicher Zahlen
7
1.2.3
Zahlentwicklung zur Einschulung
9
1.2.4
Spiele zur Zahlentwicklung
10
Aufbau Zahlenraum Kl. (1) 2 - 5 ......................................................................................................13
1.3.1
Mit wenigen, reichhaltigen Materialien veranschaulichen
13
1.3.2
Zahlen verstehen: Neun Erkundungen, Klasse 1 & 2
14
1.3.3
Zahlen verstehen: Neun Erkundungen, Klasse 3 & 4
17
1.3.4
1'000erbuch - Ideen zur Vorstellungsbildung
19
2. Mit Zahlen operieren
2.1
2.2
3.3
4
5.
34
Geometrieunterricht wozu? ............................................................................................................34
Unterrichtsideen ...............................................................................................................................36
3.2.1
Streifzug durch die Schuljahre
36
3.2.2
Rund um den Würfel
38
Ein Kompetenzraster zur Geometrie (Klasse 5) ............................................................................42
Sachrechnen
4.1
4.2
4.3
22
Bruchdenken ....................................................................................................................................22
2.1.1
Handlungsbezogenes Verständnis
22
2.1.2
Aspekte eines Bruchs
23
2.1.3
Brüche verstehen - Bruchdenken
24
Rechenverfahren & Operieren ........................................................................................................28
2.2.1
halbschriftliches Rechnen
28
2.2.2
schriftliches Rechnen
30
2.2.3
Vorstellungsbildung Multiplikation
31
2.2.4
Die vier Operationen im Überblick
33
3. Geometrie
3.1
3.2
4
44
Kapitänssyndrom .............................................................................................................................44
Proportionalität.................................................................................................................................47
Typen von Aufgabenstellungen......................................................................................................50
Überblick Curriculum (Grundanforderungen)
52
Zum Kurs
Einbettung Sie haben im 1. Studienjahr zwei Studienaufträge Mathematik bearbeitet sowie einen Kurs
besucht:
1. Sem.
SA: Erkundung von kindlichen Vorstellungen und Denkwegen
2. Sem.
KU: Lernen, Denken und Rechnen in Sinnzusammenhängen
SA: Übungsverständnis im Lauf der Zeit & in Lehrmitteln
Sie werden in diesem Studienjahr zwei Kurse ohne SA besuchen:
3. Sem.
KU: Curriculum Primarschulmathematik (3. Sem)
4. Sem.
KU: Mathematik förderorientiert planen und beurteilen (4. Sem)
Schliesslich werden Sie im letzten Studienjahr eine Studienaufgabe leisten:
5./6.Sem. SA: Massnahmen und Instrumente zur inneren Differenzierung.
Ziele «Curriculum
Primarschulmathematik»

Überblick über die Primarschulmathematik (Lernziele, Lehrplan, Lehrmittel, Inhalte)

Förderung der stufenbezogenen Fachkompetenz.

Instrumente zum Umgang mit der Heterogenität der Kinder.

Erweiterung des Repertoires an sinnvollen produktiven Aufgabenstellungen und
Spielen.
Themen im Die Themen Mathematik Primarstufe werden im Längsschnitt aufgearbeitet
Längs (2-3) Zahlenräume erkunden
schnitt
 (2-3) Bruchrechnen / Rechenverfahren
Leistungserwartung

(2-3) Geometrie in der Primarstufe

(2-3) Sachrechnen: Operatoren, Funktionen, Relationen, Textaufgaben, Kapitänssyndrom.

Reserve
Sie besuchen den Kurs und lesen das Skript insgesamt mindestens einmal durch.
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Mathematik & Mathematikdidaktik
Strengelbacherstrasse 25 b
4800 Zofingen
Hanspeter Gerber &
Beat Wälti
1. Semester 2007/2008
S.3/54
1.
Zahlenräume erkunden
1.1
Stofflich - didaktische Landkarte
56
30
Muster (Patterns)
14
Zahlenreihen
5
7
Mit Zahlen Gesetzmässigkeiten
(Muster) herstellen.
Zählen und Zuordnen
Zahlenreihen visualisieren
Operieren
Strukturiertes Zählen (in 2er-,
3er-, 5er-, – Schritten)
Anzahlen strukturiert erfassen und
visuell – nummerisch repräsentieren
 Kraft der 5
Vorwärts und rückwärts zählen
Nachbarzahlelen, Nachbarzehner, Nachbarhunderter sowie die
«Mitte» zweier Zahlen bestimmen.
Grundoperationen repräsentieren
• an der Zahlenreihe
• an Punktefeldern
• an Zahlentafeln
• an Stellentafeln
• mit Grössen (Geld / Längen)
Rechnen mit Anschauungsmaterialen (Punktefeld, Kalender)
Muster darstellen und geometrisch  arithmetisch interpretieren.

Quadratzahlen
Zahlenfolgen aus kombinat.
Problemstellungen
Erweitern auf gebrochene Zahlen
Dreieckszahlen
Automatismen aufbauen (Blitzrechnen, kleines 1x1)
Fibonacci Zahlen
Zeichen und Zahlenverständnis
Operieren in Übungsformaten
(Zahlenmauern, Streichquadrate)
Operationen umkehren & vernetzen
Situative und individuelle Darstellungsformen verstehen
Verändern von Operationen nach
Rechengesetzen. Vorteilhaft rechnen ( Halbschriftliche Strategien)
Konventionelle Darstellungsformen lesen und anwenden
Schätzen, Überschlagen, Runden
Automatisieren
ZT
T
H
Grundideen der Arithmetik
• Ganzheitliche, Sinn – volle
Aufgaben
• strukturierte Aufgaben als
Entdeckungsfelder
• Lernen auf eigenen Wegen
• Lernen in gemeinsamem
Austausch
• Über die Anschauung zur
Schematisierung
E
Mass-, Ordnungs-, Kardinal-,
Code- und Vorschrift- Zahlen
lesen und schreiben.
Fortschreitend schematisieren
und formale Darstellungen
verstehen.
Zahlen in der
Umwelt verstehen
und gebrauchen
Anzahlen, Rangierungen, Nummern,
Operatoren lesen,
verstehen und damit
rechnen
Mathematisieren
Rechenverfahren
Alltagssituationen mit der Hilfe
von Zahlen meistern.
Normierte schriftliche Verfahren
(+ – •) verstehen und anwenden.
Sachtexte, Tabellen und Grafiken
verstehen und verfassen
Halbschriftliche Strategien auf
eigenen Denkwegen entwickeln
und vorteilhaft einsetzen.
Weitere Algorithmen (Malstreifen)
und Rechenhilfen Malkreuz
kennen lernen
Stellenwertprinzip
Zahlen und Rechnungen aus
Situationen gewinnen
Dekadischer Aufbau: Fortgesetztes Bündeln zu 10
Sachthemen mit mathematischen
Mitteln bearbeiten
1’000er Struktur bei grossen
Zahlen.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
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79
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81
82
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87
88
89
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91
92
93
94
95
96
97
98
99 100
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Mathematik & Mathematikdidaktik
Stellenwert und Eigenwert von
Ziffern unterscheiden und interpretieren.
Zahlen verändern, vergleichen
und ordnen.
BZZ
4800 Zofingen
Hanspeter Gerber &
Beat Wälti
Januar
Mo
Di
Mi
Do
Fr
Sa
So
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
1. Semester 2007/2008
S.4/54
1.2
Allgemeine Bemerkungen zum Begriff «Zahl»
1.2.1
Übersicht
Scheinbar
simpel
Der Weg zum verständigen, geläufigen und flexiblen Rechnen ist keineswegs so trivial, wie
es angesichts der scheinbar banalen (arithmetischen) Inhalte in den ersten Schuljahren
scheinen mag. Unser Rechnen - und gerade auch unser Zahlenraum - sind bedeutende
kulturgeschichtliche Leistungen, deren Entwicklung Jahrtausende gedauert hat.
Natürliche
Zahlen
In der Primarschule arbeiten wir mit natürlichen Zahlen. Der Zahlenraum und die Grundoperationen wollen ja auch sorgfältig erarbeitet werden. Allerdings gehören Bruchzahlen
(Zeit, Essen, Getränke, Geld) sowie auch negative Zahlen (Minusgrade beim Thermometer) zum Erfahrungsbereich der Kinder und sollen daher - wo immer es die Situation empfiehlt - in den Unterricht einbezogen werden.
Übersicht
Ausgangs- Der Aufbau von Zahlvorstellungen wird heute immer noch vernachlässigt. Da wird in vielen
lage
Schulstuben fleissig drauflos operiert, ohne dass die Kinder eine Vorstellung vom Zahlenraum haben, in dem sie sich bewegen. Die investierte Zeit in den Aufbau solcher Vorstellungen wird sich sicherlich auszahlen, finden doch die Operationen nicht in einer Blackbox
statt, sondern in einem Raum, den man vorgängig erkundet hat.
Übrigens: Zahlenbuch und mathbu.ch (ab Klasse 7) sind auch im Kanton Aargau mittlerweile obligatorisch. Aufgrund des Gewichts, das der Lehrplan 2000, die aktuellen Lehrmittel sowie HarmoS Zahlenräumen beimessen, drängt sich ein Umdenken mittelfristig auf.
Grundope- Ich hege wenig Bedenken, dass Sie dem Operieren nicht genügend Raum lassen - ganz
rationen
im Gegensatz zur Erkundung (neuer) Zahlenräume. Das Kapitel 1 ist daher beinahe ausschliesslich diesem Thema gewidmet. Das Kapitel 2 «Mit Zahlen Operieren» fällt daher
etwas knapp aus.
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Mathematik & Mathematikdidaktik
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Hanspeter Gerber &
Beat Wälti
1. Semester 2007/2008
S.5/54
Übrigens
…
…Sind sich die Biologen einig, dass auch gewisse Tiere über ein Zahlgefühl verfügen. So
wird zum Beispiel von einem Schlossherrn berichtet, … der einen Raben töten wollte, welcher sein Nest im Wachturm des Schlosses gebaut hatte. Der Schlossherr hatte mehrmals
versucht, den Vogel zu überraschen, aber jedes mal, wenn er sich näherte, floh der Rabe
aus seinem Nest und liess sich auf einem benachbarten Baum nieder, um erst zurückzukommen, wenn die Luft rein war. Der Schlossherr griff daraufhin zu einer List: Er liess zwei
seiner Männer in den Turm ein; nach wenigen Minuten zog sich der eine wieder zurück,
der andere blieb. Der Rabe aber liess sich nicht überlisten und wartete das Verschwinden
des zweiten ab, bevor er ins Nest zurückkehrte. Das nächste Mal gingen drei Männer in
den Turm, von denen sich zwei wieder entfernten; aber der listige Vogel wartete erneut mit
Ausdauer. Danach wiederholte man das Experiment mit vier Männern, wiederum ohne
Erfolg. Es gelang schliesslich mit fünf Personen, da der Rabe nicht mehr in der Lage war,
vier von fünf Leuten zu unterscheiden.
Anzahlen
erfassen.
Welche
Mengen
lassen sich
auf einen
Blick (ohne
Abzählen)
erfassen?
Aufträge
 1) Machen Sie sich vertraut mit den verschiedenen Zahlaspekten. Finden Sie Beispiele zu den einzelnen Aspekten in Lehrmitteln.
 2) Beschäftigen Sie sich mit einigen Übungen aus den Handbüchen produktiver Rechenübungen (Wittmann / Müller 1992 & 1994). Inwiefern erschliessen die Übungen
den Zahlenraum, inwiefern sind sie aufs Operieren ausgelegt?
 3) Wie wird der Zahlenraum laut Lehrplan aufgebaut, welche Ziele werden gesetzt,
welche Hinweise sind aufgelistet? Suchen Sie ebenso die Jahresplanung in Lehrerkommentaren. Welches Gewicht wird dem Aufbau des Zahlenraumes beigemessen?
 4) Sie finden in der Denkschule (Lehrerkommentar Zahlenbuch, Vorspann) sowie in
«10 x 10 mathematische Erlebnisse» (Gerber/Wälti 2002) Anregungen zur spielerischen Erkundung des Zahlenraums.
 5) Im Zahlenbuch 4 wird das Millionenbuch eingeführt. Studieren Sie das Lehrmittel.
Auf Wunsch kann ich Ihnen ein Modell präsentieren. Überlegen Sie sich, wie Sie das
Millionenbuch in der Klasse einsetzen würden.
 6) Beurteilung und Lernzielkontrollen werden im Kurs in Semester 4 gezielt behandelt.
Allfällige Fragen zur Stoffverteilung können Sie jedoch vorläufig beantworten, indem
Sie aufgrund des heilpädagogischen Kommentars zum Zahlenbuch oder eines Begleitbands sich Gedanken zur Stoffverteilung machen (Planungshilfen).
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Mathematik & Mathematikdidaktik
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4800 Zofingen
Hanspeter Gerber &
Beat Wälti
1. Semester 2007/2008
S.6/54
1.2.2
Aspekte natürlicher Zahlen
Zahl - ein
komplexer
Begriff
Man mag versucht sein, anzunehmen, dass es keiner grossen Mühe bedarf, den Zahlbegriff Step by step den Kindern nahe zu bringen. Schliesslich scheint wenig so klar, wie die
Welt der Zahlen. Das System ist allerdings so komplex, dass ich - bevor ich auf den Aufbau
des Zahlbegriffs eingehe - einige Zahlaspekte auflisten möchte. Die Lernenden müssen
diese verschiedenen Aspekte - selbstverständlich nicht explizit - bewältigen und situativ
flexibel und angemessen reagieren.
Das ist für Kinder ohne grundlegende Erfahrungen in diesen Bereichen gar nicht so einfach
und muss unter Umständen in der Schule sorgfältig thematisiert werden.
Systematik Die folgende Auflistung basiert auf derjenigen von Krauthausen Scherrer (2001). Sie dient
einem durchaus nötigen Hintergrundwissen. Selbstverständlich wird die Systematik den
Kindern nicht expliziert. Einige Kinder werden aber Mühe mit dem einen oder andern Aspekt haben.
Bedeutung
Beispiele
Addition
Subtraktion
Kardinalzahlen
Kardinalzahlen beschreiben die Anzahl
Elemente in einer
Menge.
(Wie viele?)
3 Äpfel,
5 Glockenschläge,
9 Zahlen,
1'000 Möglichkeiten
vereinigen bzw. zusammenlegen
(z.B. von zwei Haufen Äpfel)
wegnehmen oder
Fehlende Stücke
berechnen.
Ordinalzahl
Zählzahl: Folge der
Zahlen, die beim
Zählen durchlaufen
werden.
eins, zwei, drei, vier,
…
weiterzählen (z.B.
Rückwärts zählen
auch bei arithmetischen Reihen wie 3,
6, 9, 12, …)
• Zählzahl
• Rangzahl
Ordnungszahl:
Rangplatz in einer
geordneten Reihe
zehn, neun, acht, …
Ich bin der Fünfte …,
Das ist schon das
dritte Mal, dass …
Masszahl
Masszahlen für
Grössen
10 Minuten
2 Meter
5 CHF
Operatorzahl
Bezeichnung der
Anzahl einer Handlung oder eines Vorgangs
Noch fünfmal schlaHintereinander ausfen bis zu den Ferien. führen oder nacheiWenn du drei mal so nander vervielfachen
RechenAlgebraischer Aszahlaspekt pekt: Das Rechnen
mit Zahlen basiert auf
bestimmten Eigenschaften.
Bezeichnung von
Objekten
abtrennen, wegnehmen oder ergänzen.
Umkehroperator: Wie
oft noch?
viel nimmst, reicht's
für uns alle
z.B. Kommutativität
und Assoziativität
(Rechenregeln)
Rechnen mit Ziffern bei den schriftlichen
Rechenverfahren
4+5=5+4
aber auch 9 · 11 =
(10 + 1)(10 – 1)
Algorithmischer Aspekt: Rechnen als
Ziffernmanipulation
nach festen Regeln.
Codezahl
aneinander legen
oder zusammenfügen
Rechnen mit Zahlen bei den halbschriftlichen
und mündlichen Rechenverfahren.
628
563
1191
3600 Thun
BE 92599 (meine
Autonummer)
macht keinen Sinn!!!!!!!!!!!
033 223 67 18
ISBN3-8274-1019 - 3
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Hanspeter Gerber &
Beat Wälti
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S.7/54
Zahlen
Zahlen sind unergründlich. Sie lassen sich in der Volksschule nur zum Teil erforschen. Im
erforschen Hinblick auf das angestrebte «nachhaltige Verständnis» ist forschendes Handeln, forschendes Operieren (HarmoS: «Explorieren») und Reflektion jedoch sicher gut angelegte
Zeit. Ich möchte 6 Aspekte von Zahlen herausgreifen, die weite Forschungsfelder öffnen
und im Zahlenbuch (sowie andern neueren Lehrmitteln) den ihnen gebührenden Raum
einnehmen.
Auftreten
im Alltag
Zahlen und Operationen kommen im Alltag überall vor, u.a. auch schon im Kühlschrank,
beim Tisch decken in der Turnhalle oder auf dem Parkplatz. Der Alltag wird dominiert von
Telefonnummern, Terminen, Rechnungen, Tabellen, Punkten.
Zählen
Zahlen lassen sich zählen. Vorwärts, rückwärts, in 10er Schritten, in Hunderterschritten,
unregelmässig grösser werdend, in 2 er Schritten vermindernd, … Elisabeth Moser Opitz
hat in einer Längsschnittstudie gezeigt, dass Kinder, die nicht über eine solide Zählkompetenz verfügen auch nie wirklich «rechnen» lernen,
Veranschaulichen
Zahlen lassen sich auf verschiedene Arten veranschaulichen. Das Zahlenbuch macht dies
konsequent mit Zahlen bis zu einer Million (und selbstverständlich auch mit Brüchen). Wo
Zahlen gut veranschaulicht werden, lässt es sich auch mit den Anschauungen operieren nützen Sie das konsequent und so lange wie nötig aus.
Handeln
Operationen lassen sich handeln, bevor sie formalisiert werden. Häufig werden Handlungsbeispiele erst geliefert, wenn bei der abstrakten Operation Probleme auftreten. Pädagogisch sinnvoll ist dies jedoch nicht. Rechnen ist auf konkrete Bilder - auf Handlungen angewiesen. Machen Sie den Test auf's Exempel: Kommt Ihnen eine Handlung zu 4 : 0
oder etwas einfacher zu 2 : 0.5 in den Sinn?
Welche
Bezugsgrösse?
4 ist nur manchmal gleich 4. 4 Brotkrümel oder 4 Geburtstagskuchen sind konkret, wenn
auch völlig ungleich. Und da soll noch jemand behaupten 3 (Hunderternoten) sei weniger
als 4 (Fünfrappenstücke)
Lassen Sie mich diesen Gedanken noch anders formulieren: Zahlen erhalten ihre Berechtigung in Zusammenhang mit Bezugsgrössen. Wir sprechen von einem Jahr, von 12 Monaten, von 52 Wochen, 365 Tagen oder 8'760 Stunden. Die Zahlen ändern, die Grösse bleibt
gleich. Eine Schwierigkeit, über die viele Kinder während ihrer ganzen Primarschulzeit
nicht hinwegkommen.
Ziffern
Der Wert einer Zahl ist dabei weder proportional zu der Anzahl Ziffern, noch proportional zu
der Grösse der Ziffern. Ihr Wert wird von drei Faktoren bestimmt:
•
Der Anzahl der Ziffern.
•
Der Reihenfolge der Ziffern.
•
Dem Wert der einzelnen Ziffern.
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Mathematik & Mathematikdidaktik
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Hanspeter Gerber &
Beat Wälti
1. Semester 2007/2008
S.8/54
1.2.3
Zahlentwicklung zur Einschulung
(Nach: Moser Opitz, E (2001): Zählen, Zahlbegriff, Rechnen, Bern
Sowie Fuson, K. (1988): Children’s counting and concepts of Number, Berlin / Tokio
Die Zählentwicklung besteht im Wesentlichen aus drei Aspekten, deren Integration am Schluss zur eigentlichen «Zählkompetenz» führt.

Sequenz (Zahlwortreihe)

Zählen von Objekten

Verstehen der kardinalen Bedeutung
Erwerb der Zahlwortreihe
Ganzheitsauffassung
der Zahlwortreihe
(String)
Die Zahlwortreihe wird als unidirektionale Ganzheit aufgefasst und wird wie ein Lied oder
ein Gedicht rezitiert. Dabei werden die Zahlwörter zum Teil noch nicht (bewusst) voneinander unterschieden. «Vier – fünf – sechs» kann z.B, als eine immer wieder auftretende Einheit, (als ein Wort) betrachtet werden. Die Elemente werden nicht gezählt und die Zahlwörter haben noch keine Bedeutung.
Unflexible
Zahlwortreihe
(Unbreakable List)
Die Zahlwörter werden als Einheiten aufgefasst. Das Kind sagt die Zahlwortreihe korrekt
auf, muss aber wieder bei Eins beginnen, eine beliebige Zahl kann noch nicht als Ausgangspunkt genommen werden, indem sie das Kind innerhalb der Zahlreihe zu bestimmen
versucht. Eins – zu – Eins Korrespondenz zwischen Zahlwort und Element kann hergestellt
werden. Das Kind kann durch Zählen eine bestimmte Anzahl Elemente bestimmen («give
me three»).
Teilweise
flexible
Zahlwortreihe
(Breakable chain)
Die Zahlwortreihe kann von einem (beliebigen) Zahlwort > 1 aufgesagt werden. Vorgänger
und Nachfolger können weitgehend spontan genannt werden. Rückwärtszählen gelingt
zum Teil. Rückwärtszählen entwickelt sich erst ca. 2 Jahre nach dem Vorwärtszählen.
Flexible
Zahwortreihe
(Numberable Chain)
Jedes Zahlwort hat seine Bedeutung und wird als Einheit betrachtet. Von einer beliebigen
Zahl aus kann eine bestimmte Anzahl Schritte weiter gezählt werden (zähle von 14 aus
drei Schritte vorwärts).
Vollständig
reversible
Zahlwortreihe
(Bidirectional chain)
Es kann von jeder Zahl aus vorwärts und rückwärts gezählt werden. Richtungswechsel
erfolgen ohne Schwierigkeiten, Vorgänger und Nachfolger einer bestimmten Zahl können
spontan genannt werden.
Zählen von Objekten
Koordinationsaspekt
Beim Zählen von Objekten müssen das Zeigen auf ein Objekt und das Zuordnen von einem Zahlwort zu genau einem Objekt übereinstimmen. Es können folgende Schwierigkeiten beobachtet werden:
Koordinationsprobleme, Augen –
Hand Mund

Zeigen ohne nennen des Zahlworts

Einmal zeigen, mehrere Zahlwörter

Mehrmals zeigen, ein Wort

Objekte überspringen

Zwei Zahlwörter verbunden mit zweimaligem Zeigen bei einem Objekt

Zeigen und Zahlwort ohne Objekt
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Hanspeter Gerber &
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1. Semester 2007/2008
S.9/54
Kardinales Verständnis
Kardinaler
Aspekt
Wie viele
sind es?
Kardinalwortprinzip
Kardinales Verständnis meint, dass das Kind genau versteht, dass das letztgenannte
Zahlwort in einer Zählreihe eine Anzahl Objekte bezeichnet und weiss, dass damit eine
Menge bestimmt werden kann. Dazu gehören folgende drei Schritte






1
2
3
4
5
6
Es sind eins, zwei drei, vier, fünf, sechs
Das letztgenannte Zahlwort wird wiederholt





1, 2, 3, 4, 5, 6  6

Grösse der Erkennen, dass das letztgenannte Wort die
Menge
Grösse der Menge bezeichnet.





6

1.2.4
Spiele zur Zahlentwicklung
Einige
Vorschläge
• Finger unterm Tisch – wie viele bei zwei oder drei Spielenden
• Plättchen werfen, Zahlenbuch 1
• Wo stehe ich (Position Zahlenstrahl 1 bis 20 schätzen)
• Hälfte färben (Lernumgebungen Band 2)
• Nim – Spiele
• Zahlendreieck aus dem Gedächtnis
Ordnungsmemory
Thema
Zahlreihe, Zählen
Material
Zahlenkarten 1 bis 10 (zu Beginn auch nur 1 bis 6)
Bei fortgeschrittenen Kindern auch 1 bis 12 (bis 20)
evtl. später auch Karten zu Reihen (3, 6, 9, 12, …, 30)
Regeln
Die Karten werden gemischt und verdeckt in eine Reihe gelegt.
Zwei Karten werden gleichzeitig aufgedeckt. Ist die Zahl auf der linken der beiden Karten
grösser als diejenige auf der rechten, werden die beiden Karten vertauscht und wieder
umgedreht, ansonsten werden sie an der ursprünglichen Position wieder umgedreht.
5
7
Umdrehen und liegen lassen
5
3
Karten tauschen.
Es werden so lange Paare umgedreht, bis der Spieler denkt, dass alle Karten in der richtigen Reihenfolge liegen. Zur Kontrolle wird umgedreht.
Variante
Ordnungsmemory zu zweit spielen. Dabei werden abwechselnd Paare aufgedeckt Es gewinnt, wer die Karten bei richtiger Reihenfolge umdreht. Ist die Reihenfolge falsch, werden
die Karten wieder umgedreht und weiter gespielt.
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Mathematik & Mathematikdidaktik
BZZ
4800 Zofingen
Hanspeter Gerber &
Beat Wälti
1. Semester 2007/2008
S.10/54
Lotto mit Domino / Würfel / Ziffernkarten
Thema
Addieren und Subtrahieren einstelliger Zahlen.
Wahrscheinlichkeit (Häufigkeit möglicher Summen und Differenzen)
Material
Dominosteine (Satz 0 bis 6 oder 0 bis 9)
oder 2 Würfel (1 bis 10 oder 1 bis 6)
oder 2 Sets Ziffernkarten 1 bis 9
Regeln
Die Steine mit einer 0 werden zur Seite gelegt. Die andern Steine dreht man um, Augenzahl nach unten. Beim Spiel mit Ziffernkarten werden die beiden Stapel, Ziffer nach unten
nebeneinander gelegt.
Die Spielerinnen und Spieler schreiben 5 Zahlen zwischen 0 und 12 (beim Spiel bis 9 zwischen 0 und 18) auf ihren Zettel
Nun wird ein Stein / zwei Zahlenkarten aufgedeckt oder mit 2 Würfeln gewürfelt. Aus den
beiden (Augen-)Zahlen wird Summe und Differenz gebildet. Wer eine dieser Zahlen auf
seinem Zettel notiert hat, streicht sie durch. Es wird immer nur eine Zahl gestrichen.
Wer zuerst alle Zahlen abgestrichen hat, gewinnt.
Problem
Nach einigen Spielen stellt sich die Frage nach den günstigsten Zahlen. Dabei spielt es
keine Rolle, ob mit Domino, Würfeln oder Zahlenkarten gespielt wird. Dass dabei Summen
und Differenzen im Spiel sind, macht das Problem komplex. Am Anfang könnte man sich
daher auf Summen, später auf Differenzen und in einem 3. Durchgang auf Summen und
Differenzen konzentrieren. Mit den Dominosteinen lässt sich die Frage nach den günstigen
Zahlen relativ leicht beantworten.
Untenstehendes Beispiel mit den Zahlen 1 bis 6
Summen
0
1
2
3
4
5
6
7
8
etc.
Differenzen
2
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2
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Hanspeter Gerber &
Beat Wälti
1. Semester 2007/2008
S.11/54
Zahlquartette
Thema
Material
Regeln
Zahlreihe, Zählen, Zahldarstellung
1
6
2
7
3
8
4
9
5
10
11
16
12
17
13
18
14
19
15
20
Zahlreiche Spielregeln sind denkbar. Wichtig ist, dass die Kinder Zahldarstellungen erkennen und «übersetzen» können.
Beispiel: Die 40 Karten mit Darstellungen der Zahlen von 1 bis 10 werden gemischt und auf
vier Kinder verteilt. Kind A legt eine beliebige Karte auf den Tisch. Dann Kind B, C und D.
Das Kind mit dem höchsten Zahlwert nimmt die vier Karten und legt sie umgekehrt vor sich
hin. Wer sticht, spielt als nächstes zuerst seine Karte aus. Es gewinnt, wer am meisten
Stiche macht.
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Mathematik & Mathematikdidaktik
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Hanspeter Gerber &
Beat Wälti
1. Semester 2007/2008
S.12/54
1.3
Aufbau Zahlenraum Kl. (1) 2 - 5
1.3.1
Mit wenigen, reichhaltigen Materialien veranschaulichen
Zwanzigerfeld /
Zwanzigerreihe
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
Mit dem 20er Feld und dem 20er Strahl wird vor allem in der 1. Klasse gearbeitet.
Bsp.: ZBn1 S. 8 – 12, 24 -26, 30-35. 43. 46-48. 53-54, …
Hundertertafel /
Hunderterpunktefeld
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99 100
Der Hunderterraum wird in Klasse 2. erschlossen. Links Hunderterfeld, rechts Hundertertafel
Bsp.: ZBn2 S. 15 – 21, 30ff
Tausenderbuch
(Vor- und
Rückseite)
Der Tausenderraum wird im 3. Schuljahr erschlossen.
Bsp.: ZB 3, S.20 - 23
Millionenbuch
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190
91
92
93
94
95
96
97
98
99 100 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200
Im 4. Schuljahr wird der Raum bis 1 Million erkundet, im 5. Schuljahr wird vertieft.
Bsp.: ZB4, S.14/15
FHNW Institut Primarstufe
Mathematik & Mathematikdidaktik
BZZ
4800 Zofingen
Hanspeter Gerber &
Beat Wälti
1. Semester 2007/2008
S.13/54
1.3.2
Zahlen verstehen: Neun Erkundungen, Klasse 1 & 2
Zugänge
Erkundung
Zahlenraum /
Bespiele
aus ZB 3
Die Erkundung des Zahlenraumes geschieht in mehreren Durchgängen. Dabei werden
bestehende Bezüge gefestigt und neue entdeckt. Die Kinder bauen so ein tragfähiges System auf - zu jeder Zahl gibt es eine Vielzahl möglicher Assoziationen, auf die bei Bedarf in
Alltagssituationen, beim Operieren oder beim Interpretieren von Zahlenmaterial zurückgegriffen werden kann. Nachfolgend finden Sie Beispiele zu den von Wittmann vorgeschlagenen 9 Durchgängen bei der Erforschung des Zahlenraums, die in ZB (1) 2 - 4 konequent
umgesetzt werden.
1. Klasse: ZR bis 20 (neu teilw.. bis 100)
2. Klasse: ZR bis 100
I)
Situationen &
Kontexte
aus der
Lebenswelt



Würfelaugen
II)
Bündeln
im Zehnersystem

Zwei Fünfer sind zehn (Hände, Auszählen von Gegenständen)

Zählen auf Zwanzigerpunktefeld

Spiel für 2: Finger hoch strecken: Linke
Hand je 0 oder 5, rechte Hand beliebig
viele. Wie viele Finger insgesamt?
III)
Punktefelder
Zwanzigerfeld
Anzahlen zwischen 0 und 20
(100) auszählen,
vergleichen
 Hefte, Bücher,
Parkplatz, Bäume
 Klassen, Schoggi (6·4), Guetzlipackungen, Fenster an Hausfronten, Seiten im Heft,
Stühle zu Hause …

Finde 5 / 20 Gegenstände
Z/E
 Eierschachteln,
Frischbackbrötchen,
Kreideschachtel,
Teelichter, Cuisenairestäbchen
Hunderterpunktefeld

Standortbestimmung: Ergänze auf 20

20er Feld Muster färben: Mit 2, 3, 4 Farben. Wie viele Felder sind rot…

20 Fränkler an 4 Kinder verteilen 
Welche Darstellung finden Kinder? Wie
20er Feld??


Standortbestimmung: Additionen finden,
die zusammen 100 ergeben

Feld auf verschiedene Arten auszählen

Zahlen darstellen und schreiben

100 (50, 80, 50 …) Smarties oder Fränkler verteilen an 2, 3, 4 … Sch.
Lässt sich aus einem 20er Feld ein 20er
Strahl konstruieren? Welcher Strahl

lässt sich aus 2 20er Feldern ableiten …

IV)
Zahlentafeln
Zwanzigerfeld
Ergänzen auf 100 von einer Zahl auf
dem Hunderterfeld (50, 80 …)
Regelmässige Muster auf 100erfeld mit
2, 3, 4, 5 Smarties.
Hundertertafel

Zeige die Zahlen auf der Tafel und benenne sie

Welche Zahlen sind bei den vorhandenen Mustern angefärbt?

Die Zahlen 1 bis 20 auf verschiedene
Arten ins 20er Feld schreiben.
FHNW Institut Primarstufe
Mathematik & Mathematikdidaktik
Anzahlen zwischen 20 und 100
Strengelbacherstrasse 25 b
4800 Zofingen

Zeige Zahlen auf der
Tafel und nenne sie

Schreibe die Zielzahlen auf

Weitere produktive
Übungen zur Orientierung auf der Hundertertafel

Finde Zahlen mit gleicher Quersumme.
Hanspeter Gerber &
Beat Wälti
Blockade (HB 1,
S.80 unten)
28
47
1. Semester 2007/2008
S.14/54

Summe von drei aufeinander folgenden Zahlen (immer durch drei teilbar)

Summe zu einer Zahl punktsymmetrisch liegender Felder berechnen, z.B. die beiden
Nachbarn (immer gleiche Summe).

Läufer, Turm und Springer bewegen sich auf dem 100er-tafel / 20ertafel. Welche Zahlen können erreicht werden, wenn man bei 5 / 32 startet?
V)
Zahlenreihe. Lernschwache
Kinder
bevorzugen oft
einen vertikalen
Zahlenstrahl.
20er (100er) - Reihe
100er - Reihe

Räuber und Goldschatz (ZB1 S.11)

Räuber Goldschatz Varianten

Zahlenstrahl mit WP’s abdecken. Wo
verstecken sich die Zahlen?

Zahlen am Strahl lesen und umgekehrt
am Strahl zeigen

Regelmässige Muster auf 20er Reihe
legen: Beginn gezeichnet vorgeben:

Zeige Nachbarzahlen, zähle um 2 weiter, zähle um 3 zurück

Was liegt in der Mitte zwischen ……

Zähle von … weiter in 2er / 5er / …
20er Strahl herstellen. (Aufgabe offen
Schritten und zeige die Zahlen
lassen, damit allfällige Fehlvorstellungen
erkannt werden können)
Nachbarzahlen (-zehner) von …
VI)

Lege auf viele Arten 10 (15) Fr.

Geld

Wechsle eine 20er Note. Benutze das
Geld in der Kasse.
Lege … Fr. (Rp.) Finde mehrere Möglichkeiten

Was kostet ein …

Ergänzen: Verschiedene Beträge, – Du
zahlst mit 100 Fr.

Du hast je mehrere Geldnoten und 5liber. Welche Beträge sind mit zwei
(drei) Scheinen oder Münzen möglich?

Zahlen mit 7 (6, 5, 8) Plättchen bilden
Wichtig ist aber, dass die Kinder begreifen,
weshalb 9 kleiner ist als 11, obwohl die 11
zwei so kleine Ziffern enthält.

Wie findet man Zahlen schnell auf
der Hundertertafel?

Was bedeutet die 1 bei der Zahl 17?
Was bedeutet die 3 bei der Zahl 37?


Die Stellenwerttafel kann vorerst durch
das Zwanzigerfeld ersetzt werden. Die
erste volle Zeile ergibt Zahlen zwischen
10 und 19 etc.
Zahldarstellungen koordinieren, z.B. 41
(Geld, Stellenwerttafel, 100er-Tafel,
100er Reihe Stäbchen)
40
20 20 1
Z
E

Geschriebene Zahlen (achtundsiebzig)
legen.
VII
Stellenwerttafel


Du bezahlst mit 12 Fr. Im Geschäft
gibt’s Artikel zu 2, 3, 4, 6 und 7 Fr. Welche Artikel hast du gekauft?

In einem Säckchen liegen 3 (5) Münzen.
Findest du «blind» heraus, wie viele
Franken?
Wird in der 1. Klasse nur vereinzelt eingesetzt, dafür aber in der 2. & 3. Klasse um so
systematischer eingeführt.
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Mathematik & Mathematikdidaktik
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4800 Zofingen
Hanspeter Gerber &
Beat Wälti
1. Semester 2007/2008
S.15/54
VIII
Ziffernkarten &
Kombinationen

Ziffernkarten zur «Kraft der 5» (z.B. 1, 2, 
3, 4, 5, 5, 5, 5). Abwechslungsweise
ziehen 2 Kinder eine Ziffernkarte und
färben die entsprechende Anzahl Felder
auf dem 20er Feld. Wer zuletzt färben

kann erhält 1 Punkt, wer über 20 hinauskommt, erhält 1P Abzug (ä Härdöpfel).
Bilde mit 3 (4, 5, …) Ziffernkarten sämtliche zweistelligen Zahlen
Zehn Ziffernkarten, 2 Sch. ziehen abwechslungsweise eine Karte, Ziffern
werden addiert. Wer eine Summe > 20
erhält, verliert
Bemerkung: Hier dürfte man korrekterweise
nicht von Ziffernkarten sprechen, da es sich
um einstellige Zahlen handelt.
IX

Längenmasse /
Sachsituationen
1
20er Strahl mit der Einheitsstrecke 1 cm
austeilen. Mit Massstab vergleichen.
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20

Meter herstellen ( 100er Strahl in cm
Unterteilung)

Wir machen den Meterstrahl 10 mal
kleiner

Annahme: 1 Meter ist so lang wie das
Schulzimmer … wie lang wäre dann …
X
 Erfinden Sie selbst weitere Spiele oder lassen Sie sich inspirieren.
Spiele zum Mögliche Literatur: Gerber, Wälti (2001):10 x 10 mathematische Erlebnisse.
Erfassen
www.zahlenbu.ch, Anlässe 1.1.1 und 2.1.1 (Interviews zum Zahlverständnis)
des Zahlenraums
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Mathematik & Mathematikdidaktik
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4800 Zofingen
Hanspeter Gerber &
Beat Wälti
1. Semester 2007/2008
S.16/54
1.3.3
I)
Situationen &
Kontexte
ZB3 S. 24
II)
Bündeln
im Zehnersystem
ZB3 S. 25
Zahlen verstehen: Neun Erkundungen, Klasse 3 & 4
3. Klasse: ZR bis 1000
4. Kl.: ZR bis 1 Mio. in Kl. 5 wiederholen


Anzahlen zwischen 100 und 1 000
Anzahlen über 1 000
 Getränke (Harasse), Farbstiftschachteln,
Häuschen auf einer Seite, Anzahl Schritte
auf dem Schulweg, Anzahl Finger in der
Klasse
 Bevölkerungsanzahlen aus einfachen
Diagrammen lesen. Welche Stadt gehört zu
welchem Balken?
Entfernung von Ferienorten aus Karte lesen.
H/Z/E
HT/ ZT / T / H / Z / E
 Eierkartons, Kreideschachteln, Frischbackbrötli, 10er
Schachteln mit Neocolor,
 Stäbchen zu Würfel
erweitern (1 000)
Wer den 1 000 er Raum begriffen hat, versteht auch den Millionenraum (1T, 2T, 3T,
…). Eine Erweiterung des Zahlenraums
bloss bis 10'000 ist daher unnötig.
Anschaulichkeit schwierig
III)
Tausenderbuch  10 100erpktef.
Punktefeld mit Millimeterpapier
Punktefeld  Standortbest.: Additionen finden, die
 1 Zentimeter Quadrat ist ein HunderterZB3 S.
zusammen 1 000 ergeben
punktefeld
26/27
 Tausenderbuch & einzelne Pkt. im Buch  10 Zentimeter Quadrate (Millimeterpaauf versch. Arten auszählen.  Zahlen
pier) sind ein Tausenderbuch.
darstellen und schreiben
 Wie viele Millimeter Quadrate sind in
einem Dezimeter Quadrat, auf einem A4
Millimeterpapier?

Welches Quadrat enthält 1 Million Millimeterqaudrate?

Millimeterpapier strukturieren nach
1 000 er

Verschiedene grosse Anzahlen mit Millimeterpapier darstellen
 Zahlen zeichnen

Ergänzen auf nächsten Hunderter

Regelmässige Muster legen, Abstände
bestimmen …
IV)
Zahlentafeln
Tausenderbuch / 10 Hundertertafeln

Zeige die Zahlen von … bis … in Einer(Zehner-, Hunderter-) Schritten.
ZB3 S.
28/29

Schreibe die Zielzahlen (grosse Pfeile
bedeuten nächste oder vorhergehende
Hundertertafel)



Mit dem Millionenbuch lässt sich jede Zahl
eindeutig bestimmen. Beispiel: 364 234
201
202
203
204
205
206
207
208
209
210
211
212
213
214
215
216
217
218
219
220
221
222
223
224
225
226
227
228
229
230
231
232
233
234
235
236
237
238
239
240
241
242
243
244
245
246
247
248
249
250
251
252
253
254
255
256
257
258
259
260
261
262
263
264
265
266
267
268
269
270
271
272
273
274
275
276
277
278
279
280
281
282
283
284
285
286
287
288
289
290
Zahlen mit lauter gleichen, zwei gleichen
Ziffern, Zahlen mit lauter ungeraden Zif- 
fern …
292
293
294
295
296
297
298
299
300


Millionenbuch
(Wieviele) Zahlen mit 5, 3, 8 am Schluss
gibt es
291
Wie oft findest du die Ziffer 3 auf der
dritten (201 - 300) / auf der 6 Tafel?
Ergänzungsaufgaben:
2 + … = 8; 20 + … = 80;
200 + … = 1 000
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Mathematik & Mathematikdidaktik
BZZ
4800 Zofingen
301
305
312
316
323
324
320
327
334
345
352
350
356
361
360
367
378
364'234
389
400
166 Tausender + 479 mit Millimeterpapier auf Feld 166 –> 166 Tausend 479

Sprich: 204 308, 24 308, 240 380

Zähle in Schritten von 1 000 bis 10 000,
von 20 000 bis 800 000

Zähle weiter: 51 000, 53 000, … 65 000;
75 000, 80 000, … 120 000

Immer 1 000 000 (Additionen finden, die
1 Million ergeben)
Hanspeter Gerber &
Beat Wälti
1. Semester 2007/2008
S.17/54
V)
Zahlenreihe
Tausenderstrahl
Zahlenstrahl

Zeige


Welche Zahl liegt in der Mitte …

Zähle vorwärts / rückwärts in 2er / …
Schritten von … bis …

Nachbarzahlen (-zehner / -hunderter)
von…

Ergänze auf …

Tausenderstrahl auf einer möglichst
geraden Strecke (z.B. 500 m) herstellen
als Klassenarbeit.
ZB3 S.
32/33
VI)

Lege … Fr. (Rp.) Finde mehrere Möglichkeiten

Was kostet ein … (Fahrrad, Stereo,
Snowboard …)

Ergänzen: Verschiedene Beträge, – Du
zahlst mit 1 000 (500) Fr.

Wieviele Beträge sind mit 3 (2, 4, 5)
Scheinen oder Münzen aus der oberen
(unteren, beiden) Reihe möglich?
Geld
ZB3
S.36/37
1
5
VII
Stellenwerttafel

10
20
100
50
200
Zahlen mit 7 (6, 5, 8, 10) Plättchen bilden
Ausschnitte aus Zahlenstrahlen betrachten. Nur einige Zahlen werden ausgeschrieben, weitere müssen gefunden
werden.
230 500
232 000

Übungen von Tausenderstrahl adaptieren

Markieren von 232'566 mm auf gerader
Strecke mit Messband, Messunterschiede analysieren

Welche Zahl könnte hier liegen?

Stell dir vor, du bist Millionär und hast
deine Million in lauter Noten zu 1 000
(200, 100, 50, 10) Franken oder in Münzen zu 5 (1, 1/2) Franken.

Du bist Millionär und hast 245 Geldstücke und Noten …

Rechne mit Tausendern (T) wie mit Einern (E)
125 + 125; 125T + 125T; 125 000 + 125
000
746 – 254; 746T – 254T; 746 000 – 254
000

Ergänze auf den nächsten HT

Lege, schreibe in Ziffern und Buchstaben, sprich, suche im Millionenbuch die
Zahlen, z.B. (Darstellungsformen werden in andere «übersetzt»)
ZB3 S.30
M HT ZT T

H
Z
E
Schreibe folgende Zahl

Lege 423, 731 …

Lesen und legen von Zahlen

Verschiebe ein Plättchen. Welche Zahlen können entstehen?
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
Welche (wie viele verschiedene) Zahlen
kannst du mit 1 (2, 3, …) Plättchen legen?

Susi legt 456 036. Dani legt ein Plättchen dazu (nimmt eines weg). Welche
Zahl kann es nun sein?

Addieren von Zahlen im Stellenwertsystem (ev. mit Plättchen)
Hanspeter Gerber &
Beat Wälti
1. Semester 2007/2008
S.18/54
VIII
Ziffernkarten &
Kombinationen

ZB3 S.31

IX
Längenmasse /
Situationen
Bilde mit 3 (4, 5, …) verschiedenen Ziffernkarten sämtliche möglichen dreistelligen Zahlen.
Zehn Ziffernkarten: 2 Sch. ziehen abwechslungsweise zwei Karten und bilden eine zweistellige Zahl. Karten zurücklegen. Zahlen aufaddieren. Wer als
erster 500 (1 000) erreicht gewinnt (verliert) 
Zahl finden
Lege eine Zahl mit den Ziffernkarten
möglichst nahe an 500 000 (1 000 000)

Vierstellige Zahlen mit 4 Ziffernkarten.
Wie viele gibt’s? Der Grösse nach ordnen

4 Ziffernkarten ziehen und mit den Operationszeichen •, + , – und : verknüpfen.
Das Resultat soll möglichst gross sein.
(Ev. 5 Ziffernkarten mit einer Klammer
und einem + zusätzlich)

Kilometer: wandern, abmessen, fahren.


Nehmen wir an: 1 m ist so lang wie das
Schulzimmer … wie lang wäre dann …
5 km Stau auf Autobahn vor Oftringen.
Wie viele Autos?

Millionenstrahl auf 1 km

Entfernungen im Sonnensystem
ZB3
S.34/35
1.3.4

1'000erbuch - Ideen zur Vorstellungsbildung
Wer findet schnell 726, 482, 809 …
Kinder, die sich bei dieser Übung lange orientieren müssen, haben das Dezimalsystem mangelhaft begriffen.  Wo sind 800, 500, 400; Wo ist 60, 90, … wo sind 160, 260, 360?
Welche
Zahl ist auf
der Rückseite?
Bleistift auf das Tausenderpunktefeld halten und nach der Zahl auf der Rückseite fragen.
Achtung: Wo ist die 1?
Muster
legen
Schülerinnen und Schüler legen mit 3 / 4 / 5 Wendeplättchen Muster auf eines der 10 Hunderterfelder. Die markierten Zahlen lassen sich in der Regel einfach zusammenzählen. Geometrische Muster auf den Zahlenfeldern sind immer auch arithmetische Muster.
Muster
weiterführen
Die ersten 3 - 4 Wendeplättchen eines Musters legen, z.B. 12, 24, 36, Die Kinder führen das
Muster weiter. Je nachdem, ob das Muster arithmetisch oder geometrisch interpretiert wird,
wird 48, 60, 72 oder 48, 60, 162 gelegt.
Wie viele
Zahlen / wo
liegen die
Zahlen
• ohne die Ziffer 5
• ohne die Ziffern 1, 2 und 3 (es sind weniger als die Hälfte!)
• mit drei ungeraden Ziffern
• mit Quersumme 18
• mit zwei gleichen Ziffern
• mit lauter gleichen Ziffern
• mit genau einmal der Ziffer 2
• mit einer oder mehreren Ziffern 2
• mit Ziffern, die sich um mindestens 3 unterscheiden?
• mit benachbarten, aufsteigenden Ziffern (012, 123, 234, …)
• mit Summe von Zehner und Einer 7, 8, 9………?
• mit einstelliger Quersumme (117 auf dem TB, 45 auf der 100er Tafel).
Durch das zusammengeklappte Tausenderbuch stechen und fragen, welche Zahlen damit
getroffen werden.
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Mathematik & Mathematikdidaktik
Strengelbacherstrasse 25 b
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1. Semester 2007/2008
S.19/54
Zahlen
markieren
Wo sind alle geraden / ungeraden Zahlen? Welche Zahlen sind auf der oberen Hälfte / auf
der unteren / auf der linken / auf der rechten Hälfte des Tausenderbuchs?
 Wo liegen alle 9er, 11er, 20, 25er … Zahlen? Markiere mit Farbe.
SchnittEin Wendeplättchen wird in die Mitte (also auf einen Schnittpunkt einer senkrechten und einer
punkt legen waagrechten Linie) von 4 Feldern gelegt. Die 4 Zahlen werden blitzschnell addiert.
Die Summe ist immer gerade, jedoch nie durch 4 teilbar.
Schnittlinie
legen
Ein Wendeplättchen wird zwischen zwei Felder gelegt. Die Summe der beiden Zahlen ist
• immer ungerade, wenn es eine senkrechte Linie ist
• immer gerade, wenn es eine waagrechte Linie ist.
Drei benachbarte
Felder
Drei (fünf) WP's werden auf benachbarte Felder gelegt. Die Zahlen werden addiert. Die
Summe ist gleich gross wie das mittlere der Felder multipliziert mit drei (fünf).
Summenpaaare
Wendeplättchen werden paarweise so gelegt, dass deren Summe (25, 62, 101,…) ist. Die
Verbindungslinien der Paare treffen sich bei den meisten Summen zwischen 20 und 101 in
einem Punkt. Bei Summe 101 treffen sich die Linien allerdings im Zentrum der Tafel).
Diagonalen Welche Zahlen liegen oberhalb (unterhalb) der Diagonalen?
(Eine der Diagonalen trennt Zahlen, bei denen die Einer grösser als die Zehner sind ab, die
andere trennt Zahlen mit einer Quersumme grösser als 10 ab.
Bsp. Diagonale von links oben nach rechts unten:
• Der Einer ist um 1 grösser als der Zehner.
• Zwei Zahlen unterscheiden sich um 11,
• Bei der Division durch 11 entsteht immer der gleiche Rest
• Der Einer ist der Zehner der nächsten Zahl (12 –> 23),
• Gerade - ungerade - gerade …,
• Die Zahlen können zu Paaren mit der Summe 99 (299, 499, …) gruppiert werden.
Umkehrzahl
Wo liegt die Umkehrzahl von 37 …
Wendeplättchen
werfen
4 Wendeplättchen werden auf die 100er-Tafel geworfen. Wer findet schneller 2 «getroffene»
Zahlen, deren Summe eine Zahl mit Einer 5 / 7 / 0 ergeben? (Die Wahrscheinlichkeit, dass es
ein solches Pärchen gibt, ist jeweils ca. 50%. Die Aufgabe kann als Spiel gelöst werden.
Streichquadrate
In drei Hundertertafeln markiere ich jeweils ein Quadrat mit 5 x 5 Feldern. Anschliessend
setze ich jeweils auf 5 Felder eine Marke.
Wann ergibt die Summe von Zahl und Umkehrzahl ein Palindrom? 38 + 83 = 121. 121 ist ein
Palindrom. Mit 48 + 84 = 132; 132 + 231 = 363 entsteht erst im zweiten Schritt ein Palindrom.
• Nach welchen Regeln habe ich jeweils 5 Felder markiert?
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
1
2
3
4
5
6
7
8
9
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11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
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28
29
30
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
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33
34
35
36
37
38
39
40
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
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49
50
41
42
43
44
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47
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50
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
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53
54
55
56
57
58
59
60
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99 100
91
92
93
94
95
96
97
98
99 100
91
92
93
94
95
96
97
98
99 100
• Weshalb ist die Summe der 5 Felder immer gleich gross?
• Multipliziere das Feld (55) in der Mitte des 5 x 5 Quadrates mit 5 …
• kann das gleiche auch mit einem beliebigen 5 x 5 Quadrat gespielt werden?
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Mathematik & Mathematikdidaktik
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Hanspeter Gerber &
Beat Wälti
1. Semester 2007/2008
S.20/54
Muster und
operieren
Zahlen
abstreichen
Wähle eine beliebige Zahl, z.B. 62.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
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11
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13
14
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71
72
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76
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79
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82
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87
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89
90
91
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93
94
95
96
97
98
99 100
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43
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89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
Subtrahiere das Doppelte der ersten Ziffer:
(62 – 2 · 6 = 50 ).
Subtrahiere die zweite Ziffer (50 – 2 = 48).
Auf einer grossen 100ertafel werden sämtliche Resultate markiert. Weshalb sind alle
Resultate durch 8 teilbar?
Du streichst alle Zwischenresultate ab:
1 + 7 = 8;
8 + 7 = 15,
15 + 7 = 22,
…
99 + 7 = 106,
6 + 7 = 13 …
a) Welche Zahl wird als letzte abgestrichen?
b) Erreichst du das gleiche Ziel auch, wenn
du stets 13 addierst?
c) Mit welchen Zahlen tritt das gleiche Phänomen auf?
Arithmetische und
geometrische Symmetrie
Nim-Spiele
Umfahre eine beliebige Zahl rot. Wähle 2 zu
dieser Zahl symmetrisch liegende Zahlen und
zähle sie zusammen.
Wähle irgendein Rechteck, das die von dir
gewählte Zahl zum Zentrum hat und addiere
die 4 Zahlen Feststellung? Erklärung?
1
2
3
4
5
6
7
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10
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32
33
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38
39
40
41
42
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46
47
48
49
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52
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56
57
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62
63
64
65
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86
87
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89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
Sämtliche Nim- Spiele können auf dem Tausenderfeld gespielt werden. Dadurch wird der
Übungsprozess «gestützt» und das Anspruchsniveau vermindert.
Beispiel: A legt ein Plättchen auf 50, B darf eine Zahl zwischen 1 und 10 subtrahieren und
erreicht so z.B. 42, A subtrahiert 5 und erhält 37 etc. Wer ein Plättchen auf die 1 legen kann,
gewinnt.
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Mathematik & Mathematikdidaktik
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Hanspeter Gerber &
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1. Semester 2007/2008
S.21/54
2.
Mit Zahlen operieren
2.1
Bruchdenken
2.1.1
Handlungsbezogenes Verständnis
«dumme
Fragen»
Lassen Sie mich mit einigen «dummen» Fragen beginnen. Vielleicht gelingt es mir, sie zu
provozieren oder zumindest hinter unser Schulmathverständnis ein Fragezeichen zu
setzen.
Handlungsbezogenes
Verständnis von
Brüchen

Gibt es wirklich Divisionen, die nicht aufgehen? Wer sagt mir, dass 20 Franken an 3
Kinder verteilt eine Division ist, die nicht aufgeht. Vielleicht ist das Aufteilen von 20 :
4 ungleich heikler (dann nämlich, wenn die Kinder mit 5 Fr. etwas gemeinsam machen wollen, oder einen Teil des Geldes zurückbehalten wollen, oder gar nicht davon ausgehen, dass alle gleich viel erhalten müssen, oder …

Warum lassen sich nur gleich grosse Stücke (also z.B. Viertel) zusammen zählen?
Ein Viertel von einem Sonntagszopf ist ja wirklich nicht gleich gross wie der vierte
Teil eines Wegglis.

Weshalb ergibt 2 : 0.5 = 4

Was stört die Mathematiker am Bruch 3/6? Für meinen 10 jährigen Sohn hat dieser
Bruch eine ganz andere Aussage als das völlig banale 1/2.

Weshalb soll 1/3 grösser sein als 1/4, ist doch 3 kleiner als 4? Würden sich allenfalls
die rationalen Zahlen so definieren lassen, dass die Reihenfolge der natürlichen
Zahlen beibehalten wird?
 Sie sind beibehalten!!!! Wir können jeden Bruch ja zählen. Der Nenner gibt nur die
Grösse an. Am besten klar wird das wohl mit Eine Viertelstunde, zwei Viertelstunden....

Was ist 1/3 Person oder 2/5 Autos? Macht es Sinn, Bruchrechnen mit unteilbaren
Grössen zu betreiben?
Zunächst einmal verläuft die Entwicklung des Zahlbegriffs bei Kindern gleich wie in der
Urgeschichte. Natürliche Zahlen sind fürs Zählen und Addieren völlig ausreichend. Die Zahl
0 ist inexistent, da man «Nichts» ja nicht zu zählen braucht. Wann in der Entwicklung eines
Kindes aus «Nichts» die Zahl 0 wird , entzieht sich meiner Kenntnis. Sicher ist, dass der
Vorgang durch das Umfeld gesteuert wird, und nicht eigenständig abläuft. Jedenfalls könnten wir die Zahl 0 genau so gut durch ein Wort wie «Nichts»oder «Keines» ersetzen, ohne
dass wir an den Rechengesetzen etwas zu ändern brauchten.
Brüche werden erst dort nötig, wo komplexere Interaktionen stattfinden. Im Vorschulalter
sehen sich Kinder vermehrt mit Anzahlen, Strecken oder Materialien konfrontiert, die es
aufzuteilen gilt. Viele Kinder können problemlos exakt und korrekt teilen, ohne über einen
exakten Begriff von Bruchrechnungen zu verfügen. Die mathematische Genauigkeit, ohne
die Bruchrechnen überflüssig wird, macht sich das Kind erst nach und nach zu eigen.
Verteilaufgabe
schon im
Vorschulalter
Unser Sohn meisterte mit 5 Jahren Verteilaufgaben (2 Schokoriegel für 5 Leute), ohne
dass er die Dinge beim Namen nennen kann. Er teilt nämlich die Riegel so oft in kleinere
Einheiten auf, bis ihm eine Verteilung gerecht erscheint. Mathematisch gesehen, hat er 2/1
in 20/10 (auch wenn ich zugeben muss, dass die Zehntel nicht unbedingt alle identisch sind)
verwandelt, und jedem der Anwesenden 4/10 ausgeteilt. Da er sich über den mathematischen Gehalt seiner Handlung nicht bewusst ist, hat er – wer kann’s ihm verdenken – das
Kürzen vergessen.
Lehrkräfte werden die Handlung zwei Schokoladen auf 5 Leute aufzuteilen mit der Rechnung 1/5 von 2 formulieren. Sie sehen, wie einfach das Ganze im Alltag sein kann und wie
verständnistötend wir alle in der Mathematik damit umgehen können.
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Mathematik & Mathematikdidaktik
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1. Semester 2007/2008
S.22/54
Wo entstehen
Brüche?
Die positiven rationalen Zahlen stammen also bereits aus dem vorschulischen Spiel- und
Handlungsbereich von Kindern, ohne dass die Kinder allerdings sprachlich in der Lage
wären, ihre Handlungen zu beschreiben. Insofern liegen uns die positiven rationalen Zahlen trotz der wesentlich komplexeren Operationsstrukturen wohl näher als die negativen
ganzen Zahlen.
Brüche entstehen am häufigsten und sicher auch am anschaulichsten beim Halbieren. So
können sich Kinder (und auch sie?) etwa 3/4 wesentlich besser und exakter vorstellen als
1/ , obwohl 3/ den grösseren Zähler und den grösseren Nenner hat. Für die meisten Kinder
3
4
ist 1/4 die Hälfte von 1/2 (exakt), wenn sie jedoch von einer Strecke 1/3 einzeichnen sollen,
wird die Marke oft vor der Marke 1/4 gesetzt, weil ja 3 vor 4 kommt.
Wenn ich Sie nun bitte, möglichst exakt 3/4 eines Rechtecks, eines Kreises, eines Cakes
oder einer Strecke zu bestimmen, wird Ihnen das wesentlich exakter gelingen, als wenn
Sie 1/3 bestimmen sollten.
Der Umgang mit Brüchen wird vor allem dann schwierig, wenn der Formalismus der
Schulmathematik den Lernenden untersagt, ihre erworbenen Begriffe weiterzuverwenden
und ihnen gebietet, an und für sich verstandene Operationen so abstrakt auszuführen,
dass der ursprüngliche Sinn nicht mehr vordergründig ist.
2.1.2
Aspekte eines Bruchs
Auftreten
im Alltag
Zuerst einmal: Brüche kommen im Alltag recht häufig vor: Halbmond, Viertelstunde, drei
Viertel Stunden, halbe Stunde, Vierteljahr, Spieldrittel beim Eishockey, Halbzeit, «die kleinere Hälfte», eine halbe Portion, 1/4 Rabatt, den Zehnten bezahlen (Zehntscheune)
Zählen
Brüche lassen sich zählen wie Äpfel oder eben Kuchenstücke. Anstatt ein, zwei, drei Stücke... können wir ebensogut 1/12, 2/12, 3/12, … zählen. Dieser Aspekt kann nicht genug betont werden, ist es doch eine entscheidende Brücke zum Verständnis von Brüchen
Veranschaulichen.
Es ist offensichtlich, dass Brüche oder besser Bruchteile mit Kuchenstücken veranschaulicht werden, schliesslich entspricht diese Darstellung am ehesten und am sichersten Alltagserfahrungen von Kindern. Allerdings ist die Operation 3/4 von 2/5 an einem Kreis doch
eher mühsam und ohne ein echtes Verständnis von Zentriwinkeln und Proportionalitäten
kaum lösbar.
Die Operation 3/4 von 2/5 lässt sich dennoch ohne Probleme an einem geschickt gewählten
Rechteck (von z.B. 10 auf 12 Häuschen) handeln. Konkret heisst dies, dass sie zuerst
einen Fünftel des Rechtecks bestimmen, diesen Teil verdoppeln das Resultat daraufhin
vierteln um es abschliessend zu verdreifachen. Weshalb diese auch für Kinder einsichtige
Handlung dem gekürzten Wert 3/10 gleichzusetzen ist, können viele zwar ohne grössere
Begeisterung rezeptiv nachvollziehen, jedoch nicht wirklich begreifen.
Verschiedene
Wahrnehmung
Brüche können konsequent als Resultate von Divisionen interpretiert werden, werden aber
im Alltag oft als eigenständige Grösse (eine Viertelstunde, ein Pizzastück, zwei Schoggihüseli) wahrgenommen. Bei der konsequenten Beharrung auf der Bruchschreibweise liegt
aus meiner Sicht denn auch die Hauptschwierigkeit beim Erlernen des Bruchrechnens.
Lassen Sie mich den letzten Gedanken noch anders formulieren: Brüche sind Teile von
Ganzen, können aber ihrerseits wieder in Ganze verwandelt werden. Wenn wir etwa von 1/4
Jahr sprechen, können wir genauso gut von einem Quartal, von 3 Monaten, von 13 Wochen oder etwas mehr als 90 Tagen sprechen. Ebenso ist 1/4 Pizza eben ein ganzes Stück,
das man seinerseits wieder halbieren kann («gib mir doch noch ein halbes Stück», im Gegensatz zu «gib mir noch 1/8 Pizza»).
ZweidiGemeine Brüche setzen sich, so banal das klingen mag, aus zwei natürlichen Zahlen zumensionali- sammen. Die beträchtliche Denkleistung des Lernenden besteht nun in der vorläufig
tät
höchstens vage vorhandenen Erkenntnis, dass der Wert des Bruches proportional zum
Zähler, aber umgekehrt proportional zum Nenner ist.
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Mathematik & Mathematikdidaktik
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1. Semester 2007/2008
S.23/54
2.1.3
Brüche verstehen - Bruchdenken
Das Ringen Wir verlangen von den Kindern, die Brüche nach einem streng definierten Kriterienkatalog
um Verzu benennen und in Operationen zu verwenden (Zähler, Nenner, Erweitern, Kürzen, oder
ständnis
mit sinngebenden Sätzen wie «2/5 von 3/4 ist das gleiche wie das Produkt der beiden Brüche»). Viele Lernende bewegen sich auf der Handlungsebene – ohne sich dessen bewusst
zu sein –mit einer grossen intuitiven Sicherheit im Land der Brüche. Dass wir in der Schule
ebendiese wohlbekannte Handlungsebene sprachlich normieren, wird dabei vielen nie
bewusst. Die sprachliche Norm wird nie mit dem Alltag assoziiert, die bewussten Erkenntnisse bleiben beschränkt und Stückwerk.
Zuweilen ist die Schulmathematik beim Aufbau eines assoziativen Netzes zwischen Alltagserfahrungen, Schulexperimenten und Operationen mit Brüchen geradezu hinderlich.
So werden Kinder angehalten, konsequent zu kürzen. Vermutlich zerstören wir damit einen
Teil des handlungsbezogenen Wissens einiger Kinder. 3/12 haben nämlich für viele Kinder
und vielleicht auch noch für dem Alltag noch nicht ganz entfremdete Studierende eine ganz
andere Aussage als 1/4. Da lehren wir die Kinder, dass drei Zwölftel drei Stücke eines in
zwölf gleiche Teile aufgeteilten Ganzes entsprechen und verlangen in einer späteren Phase, dass diese drei Stücke zu einem einzigen Stück verdichtet werden (mit einer willkürlichen Operation, nämlich einer Division). Die verwirrten Kinder ernten ein verständnisloses
Kopfschütteln, wenn sie nach dem gleichen Konzept 3/5 in 1/3 verwandeln. Schliesslich haben sie dort doch auch Nenner und Zähler um je 2 reduziert (mit einer andern für sie ebenso willkürlichen Operation).
Untersuchung von
Hasemann
Hasemann (1996) hat eine Serie von drei
Aufgaben mit derselben mathematischen
Struktur zusammengestellt:
1.
Alltagsmath
versus
Schulmathematik:
l’art pour
l’art?
Färbe 3/4 des Rechtecks und dann
noch 1/6 des Rechtecks. Welchen
Bruchteil hast du insgesamt gefärbt?
2.
Berechne: 3/4 + 1/6
3.
Eine Mutter verteilt vier Äpfel an ihre
vier Kinder. Da ein Apfel eine faule
Stelle hat, verteilt sie zuerst drei Äpfel an die vier Kinder; dann bekommt
jedes Kind von dem vierten Apfel 1/6.
Welchen Bruchteil des Apfels bekommt jedes Kind insgesamt?
richtige Lösungen vor
und nach Behandlung
10 0
60
20
1
2
3
Die Aufgaben 1 und 3 wurden nach der Behandlung des Bruchrechnens in der Testklasse im Durchschnitt weniger gut gelöst als davor!!! Aufgabe 2 wurde wie zu erwarten signifikant besser gelöst.
Wenn die Behandlung des Bruchrechnens in erster Linie dazu führt, Aufgaben technisch
korrekt zu lösen, jedoch bei realen Anwendungen zuweilen sogar Problemlöseverhinderung ist, fragen wir uns, ob Bruchrechnen nur eine schulische Bedeutung hat und für den
Alltag keinen oder nur geringen Nutzen bringt. Ebenso stelle ich auch bei leistungsstarken
Lernenden der Sek1 fest, dass Bruchrechnen selten wirklich verstanden wurde und dass
sie sich mangels anderen erlebten Zugängen meist auf «Wie macht man das gleich wieder?» beschränken. «Gute» Lernende zeichnen sich oft lediglich dadurch aus, dass sie die
nötigen technischen Muster schneller wieder aktivieren können als andere.
Wenn sich jedoch der Lernerfolg nur auf die Technik (so macht man das) beschränkt, ist er
meist nur vorübergehend garantiert und muss immer wieder reaktiviert werden. Wie Hasemann zeigt, wird oftmals erfolglos versucht, die gelernten (unverstandenen) Muster anzuwenden. Der Alltag lieferte vor der schulischen Verunsicherung oft ausreichend Vorstellungen, die durch die gelernten Algorithmen zugeschüttet wurden.
Ausserdem wird damit einer gefährlichen Haltung Vorschub geleistet, die Schulüberdrüssige durchwegs auszeichnet: «In der Schule geht das so, zu Hause oder im Alltag ganz anders. Mit den Sachen, die ich in der Schule lerne, kann ich sowieso nichts anfangen. Darüber hinaus vergesse ich sowieso gleich wieder, was ich gelernt habe. Wo Bruchrechnen
individuell (wohlverstanden, nicht klassenweise) so erlebt wurde, scheint der Nutzen des
Unterrichts äusserst dürftig, in einzelnen Fällen vielleicht sogar negativ.
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1. Semester 2007/2008
S.24/54
Solcher Unterricht nach dem Motto l’art pour l’art wird man mit didaktischen Theorien nicht
vollständig eliminieren können. Gegen Unverständnis und Desinteresse gibt es wohl probate Mittel – keine Remedur wird ihnen den Erfolg aber garantieren können. Erlauben Sie mir
trotzdem, einige Aspekte aufzugreifen, die den Nutzen des Bruchrechnenunterrichts steigern können.
Nutzen von Beschränken aufs Wesentliche
Bruchrech- 
Müssen wirklich alle verstehen, wie man gemeine Brüche dividiert. Wenn nein, wanen
rum müssen denn alle Lernenden Brüche dividieren?
 Haben Sie schon einmal mit 23/34 gerechnet? Ich auch nicht! Muten wir den Kindern doch vor allem Brüche (Nenner) zu, mit denen wirklich gerechnet wird: Halbe,
Drittel, Viertel, Fünftel, Sechstel, 8tel, 10tel, 12tel 20tel, 50tel, 100tel und 1'000tel.
Verstehen wir uns richtig, 23/34 im Kontext einer Aussage geht durchaus in Ordnung,
nicht aber im Kontext einer Rechenvorschrift

Orientieren wir unsern Unterricht am Alltag, an Handlungen und deren Übersetzung
in die Sprache der Mathe. Haben Sie den Mut, nicht das ganze Büchlein durchzubacken. Wenige erfolgreich behandelte Fragestellungen sind nachhaltiger als zahlreiche, flächendeckende (und meist rezeptiv gelöste) Fragestellungen.
Vorstellungsvermögen

Viele Kinder rechnen mit Brüchen, ohne zu wissen, wann Brüche auftreten, wo Brüche notwendig sind, wie Nenner und Zähler zueinander stehen, dass man Brüche
zählen kann (DAS AHA –Erlebnis vieler meiner Schülerinnen und Schüler), woher
Brüche eigentlich kommen. Es lohnt sich Zeit in solche Fragen zu investieren, bevor
sie mit Brüchen rechnen (Ansätze in diese Richtung finden Sie in Bruchdenken)
Anschauungen

benutzen, so lange dies eben nötig ist. Die meisten Sachverhalte im Bruchrechnen
lassen sich veranschaulichen (auch das berühmte erweitern bei der Addition von
gemeinen Brüchen, ev. 1 Beispiel ausführen)
Geschichten

Operationen in Geschichten einkleiden: Wie lange reichen dir 2 Tafeln Schokolade,
wenn du täglich eine halbe Tafel isst? Können die Kinder den Text in eine Rechnung
übersetzen und umgekehrt?
Operative Mathematik

… zum
Wert eines
Bruchs
Arbeit an operativen Fragestellungen mit und ohne Anschauungsmaterial.
Es gibt zahlreiche Fragestellungen, die zur Diskussion des Werts eines Bruchs benutzt
werden können. Wer sie beantworten kann, hat die Antwort aufgrund von Beispielen und
Analogien gefunden oder aber aufgrund bereits vorhandener Systemkenntnisse.

Welche Möglichkeiten gibt es, den Wert eines Bruches zu verdoppeln?

Was geschieht, wenn wir Werte von Zähler und Nenner wiederholt je um +2 vergrössern (2/7 4/9 6/11 8/13 …)

Wir verändern den Nenner, der Wert des Bruches bleibt jedoch gleich. Welche Auswirkungen hat das auf den Zähler?

Der Wert eines Bruches ist zwischen 0.5 und 1. Was lässt sich über Zähler und
Nenner aussagen?

Wir multiplizieren Zähler und Nenner mit der gleichen Zahl. Was bedeutet das?

Finde viele Brüche zwischen 2/5 und 3/5.

Ordne Brüche mit dem gleichen Zähler der Grösse nach.
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Mathematik & Mathematikdidaktik
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Hanspeter Gerber &
Beat Wälti
1. Semester 2007/2008
S.25/54
Bruchrechnen im
Kindergarten …
In mehreren Kindergartenklassen wurde nebenstehende Zeichnung vorgelegt. Die Kinder sollten die
Anzahl ganzer Kreisscheiben herausfinden und die
vermutete Anzahl ankreuzen.
Wie viele
ganze
Kreise hat
man für
diese Buzzenscheibe
benötigt?
Mögliche
Aktivitäten
Die Diskrepanz zwischen
Einschätzung der Lehrpersonen und den Leistungen
der Kinder könnte grösser
nicht sein. Die Kinder greifen auf Erfahrungen zurück, die beinahe zu 100%
ausserhalb der Schule
(des KG's) gemacht wurden.

Fragen Sie mich nach produktiven Übungen zum Bruchrechnen für Ihre Stufe bzw.
suchen Sie in Lehrmitteln

Bestimmen Sie (nur) durch Falten 1/3 oder auch 1/5 der Länge eines Rechtecks.

Gehen Sie das Skript noch einmal durch.

Betten Sie Bruchrechnen in einen grösseren Kontext ein (Zahlenraumerweiterung,
Lehrmittel, Lehrplan, zeitliche Abfolge).

Wie wollen Sie den «Hasemann-Effekt» möglichst verhindern?

Diskutieren Sie den Wert von Modellen zur Veranschaulichung von Brüchen (Rechteck mit Häuschen, Kreis/ Kuchen, Schnur / Zahlenstrahl, Messbecher / Flasche, …)

«Erfinden» Sie weitere «dumme Fragen» zum Thema Bruchrechnen.
Bruchrechnen im
ZB4
Zahlenbuch
ZB5
gewöhnliche Brüche
Dezimalbrüche
S.90
In Franken- / Längenangaben
36(38&40/42/58/60/62
28/30/89/90
ZB6
18/20/42/44/50/66/68/70
6/16/66
mathbu.ch
Themen 7.20/21/30. 8.2
7.3, 8.2 und zahlreiche weitere
AG5
S.34 - 54
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Hanspeter Gerber &
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1. Semester 2007/2008
S.26/54
Lernumgebung «Brüche bilden und ordnen»
Thema:
Brüche bilden und ordnen, Kombinatorik
Stufe:
5. Klasse (ZB5, S.42/43 und 88/89; ZB 6, S. 6/7)
Material:
Zahlenkarten 1 bis 10 (evtl. bis 20)
Dauer:
2 Lektionen
Mit vier Zahlenkarten Brüche bilden und ordnen.
A
Wähle vier Zahlenkarten aus den Zahlen 1 bis 10. Bilde mit immer zwei Karten alle möglichen Brüche.
Ordne sie der Grösse nach.
Wie viele Brüche kannst du bilden?
B
Löse dieselbe Aufgabe mit drei, vier, fünf, sechs, … Zahlenkarten.
Wie viele Brüche kannst du jedes Mal bilden?
Entdeckst du eine Gesetzmässigkeit?
C
Wie viele Brüche kannst du bilden, wenn du jede Zahlenkarte zwei Mal zur Verfügung hast?
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Hanspeter Gerber &
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1. Semester 2007/2008
S.27/54
2.2
Rechenverfahren & Operieren
2.2.1
halbschriftliches Rechnen
Ausgangslage
Der Lehrplan 2000 und noch stärker der in Entwicklung befindliche deutschschweizer
Lehrplan legen grosses Gewicht auf halbschriftliche Rechenverfahren – vor allem auf
der Primarstufe. Lehrkräfte, die das halbschriftliche Rechnen als Chance zur ganzheitlichen Wahrnehmung des Zahlenaufbaus betrachten, werden bald merken, wie unentbehrlich halbschriftliches Rechnen ist: Die Kinder lernen damit, ihre eigenen Gedanken
zu strukturieren, Zwischenresultate festhalten und stärken dadurch auch ihre mündliche
Kompetenz. Die Lehrkräfte können aufgrund halbschriftlicher Rechnungen Fehlvorstellungen ausloten und gezielt daran arbeiten.
halbschriftliches
Rechnen –
Chance
des Begleiters
Schriftliches Rechnen kann mangelndes Verständnis überdecken. Dabei werden Operationen zwar korrekt ausgeführt, jedoch später mit unverstandenen Normen vermischt
 «Ghürsch im Fadechörbli». Fehlvorstellungen treten so oft (zu) spät und unvorbereitet zu Tage. Die Suche nach dem Fehler wird zur Sisiphusarbeit.
Wer eine Operation verstanden und den entsprechenden Zahlenraum erschlossen hat,
kann halbschriftlich operieren. Halbschriftliche Darstellungen können von der Lehrkraft
nachvollzogen werden, Strategien und Fehlüberlegungen sind offensichtlich und Diskussionsanlass. Das halbschriftliche Rechnen ist nicht nur für die Kinder, sondern auch
für die begleitende Lehrkraft eine Chance.
Addition
Subtraktion
Stellenwerte extra
479
400
70
9
634 – 378 = 300 – 40 – 4 = 256
600 – 300
30 – 70
4– 8
Schrittweise
479 + 135 = 609 + 5 = 614
579 + 30 + 5
634 – 378 = 264 – 8 = 256
334 – 70 – 8
479 + 135 = 500 + 114 = 614
479 + 21 + 114
479 + 135 = 614
480 + 134
500 + 114
634 – 378 = 256
636 – 380
656 – 400
479 + 135 = 614
470 + 130 = 600
634 – 378 = 234 + 22 = 256
634 – 400 = 234
Vereinfachen
Hilfsaufgabe
+ 135 = 500 + 100 + 14 = 614
+ 100
+ 30
+ 5
634 – 378 = 22 + 234 = 256
400
634
Ergänzen
Multiplikation
Malkreuz
Division
15 • 19
425 : 11 = 38 Rest 7
425
10
9
10
100
90
190
5
50
45
95
190 + 95 = 285
20
-1
10
200
-10
5
100
-5
110 : 11 = 10
190
95
Rest 315
220 : 11 = 20
Rest
Rest
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95
88 : 11 = 8
190 + 95 = 285
7
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S.28/54
Schrittweise
13 • 14 = 130 + 40 + 12 = 182
13 • 10
13 • 4
Vereinfachen
28 • 25 = 700
14 • 50
7 • 100
Hilfsaufgabe
17 • 19 = 340 – 17 = 323
896 : 3 = 298 Rest 2
17 • 20
900 : 3 = 300
370 : 5 = 74
370 : 10 = 37
425 : 11 = 38 Rest 7
440 : 11 = 40
Unterstützen von
Gedankenprotokollen
Wo Gedankenprotokolle nur zögerlich oder überhaupt nicht entstehen wollen, können
die folgenden Hinweise weiterhelfen:
In Schritten rechnen.
In Teilaufgaben zerlegen.
Eine andere Aufgabe mit einem ähnlichen Ergebnis finden.
Protokolle von Kolleginnen untersuchen und eine plausible Strategie anwenden.
Mit einfacheren Zahlen rechnen und anschliessend das Ergebnis «korrigieren».
 Schauen Sie in den Handbüchern produktiver Rechenübungen verschiedene Strategien nach. Rechnen Sie eine Addition / eine Subtraktion mit verschiedenen Strategien durch.
Wann
macht
halbschriftlich Rechnen Sinn?

Wenn die Schüler bereits über gewisse Zusammenhänge im Zahlenraum verfügen und Grundoperationen ausführen können

Wenn die Rechnung für eine blosse mündliche Lösung etwas komplex ist.
(Bsp. 1’256 + 618: Für diese Addition müssen zwischenzeitlich mindestens 12
Ziffern gespeichert werden, was von vielen Kindern nicht geleistet werden kann).

Wenn Kinder lernen sollen, ihre eigenen Gedanken zu notieren und Rechengesetze verinnerlichen sollen.

Wenn ein halbschriftliches Verfahren nicht als einzige Möglichkeit angepriesen
wird. Halbschriftliches Rechnen ist immer (!!) individuell. Wird von allen Kindern
das gleiche Verfahren verlangt, wird dieses zum schriftlichen Normverfahren.

Wenn halbschriftliches Rechnen als Chance wahrgenommen wird, um das Verständnis für die Operationen zu fördern, und richtiges Rechnen auf diesem Verständnis aufgebaut wird anstatt auf oft unverstandenen Algorithmen.
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1. Semester 2007/2008
S.29/54
2.2.2
schriftliches Rechnen
Verfahren
bzw. Algorithmus
Schriftliches Rechen ist an ein vereinbartes Verfahren bzw. an einen Algorithmus gebunden. Ein Algorithmus ist ein allgemein gültiges, in seiner Abfolge festgelegtes, eindeutig beschriebenes Verfahren. Dieses führt bei richtiger Anwendung immer zur gleichen Lösung und Darstellung.
In schriftlichen Normverfahren wird - im Unterschied zu halbschriftlichen Verfahren immer mit Ziffern gerechnet. Man kann sich also ohne grundlegendes Verständnis ein
Vorgehen einprägen und einzelne Zeichen abarbeiten. Beim halbschriftlichen Rechnen
ist das undenkbar.
Algorithmen sind
Abmachungssache
Diese Algorithmen sind keineswegs «gottgegeben» Sie haben sich in unserer westlichen Kultur entwickelt. In Deutschland etwa findet ein erbitterter Streit um den «besten
Algorithmus» zur schriftlichen Subtraktion statt - die verschiedenen Bundesländer
schreiben in ihren Lehrplänen fünf verschiedene Ausprägungen der schriftlichen Subtraktion vor. (Teilweise auch persönlich) erbitterte Kämpfe werden zwischen den Exponenten des Ergänzungs- und des Borgen-Verfahrens ausgetragen.
In Südamerika wird zum Teil noch mit den Algorithmen der spanischen Kolonialisten
gerechnet. Das Streichverfahren zur Multiplikation, das ich gerne vorführe wird u.a.
noch in Bolivien gelehrt.
Hohe Moti- Es wird immer wieder argumentiert, dass Lernende für schriftliches Rechnen einfach zu
vationskraft motivieren sind. Wer eine Operation nicht verstanden hat, kann sie dennoch aufgrund
des algorithmischen Charakters ausführen, da die Regeln für die Ziffernmanipulationen
und die Notation einfach zu behalten und die Teilaufgaben leicht zu berechnen sind.
Das Einüben der Rechenverfahren bis zur Geläufigkeit verstehen viele Lehrkräfte als
Aufforderung, Operationen bzw. Verfahren zu drillen: Endlich produzieren die Kinder,
die eh nichts verstehen, auch mal richtige Resultate. Das ist für beide Seiten entlastend,
in Tat und Wahrheit aber sehr resignativ. Und: was nicht verstanden wurde, muss immer wiederholt werden.
5 von über
30 Eltern
An einem Elternabend haben das Verfahren zur schriftlichen Division noch 5 von über
30 Eltern beherrscht. Die übrigen Eltern hatten das Verfahren in ihrer Schulzeit zwar
auch gedrillt, jedoch wieder vergessen, da dieses nie verständnisgestützt geübt wurde.
Interessanterweise haben mehr als 5 Eltern spontan halbschriftlich gerechnet und das
richtige Resultat ohne Normverfahren gefunden.
Eliminierung des
schriftlichen
Rechnens?
Es geht nicht um die Eliminierung des schriftlichen Rechnens aus dem Volksschulunterricht, sondern um eine Neubestimmung des Stellenwerts der verschiedenen Rechenverfahren. Angesichts der unbestreitbaren Bedeutung von Algorithmen im Unterricht, ist
es wichtig, schriftliche Normverfahren zu üben. Jedoch ist deren blinde Beherrschung
allenfalls das Produkt eines solchen Unterrichts und nicht primäres Ziel. Ausserdem
lässt sich getrost die Frage stellen, ob eine Vollständigkeit mit allen 4 Operationen und
allen Zahlenräumen (Brüche, Dezimalbrüche, natürliche Zahlen) anzustreben ist.
Eine provo- Es ist in der heutigen Zeit der Elektronenhirne absolut überflüssig, unverstandene Verzierende
fahren zu drillen, die eh wieder vergessen gehen. Wer eine Operation versteht, kann sie
These
– wenn's sein muss – halbschriftlich lösen. Wenn's drauf ankommt, rechnet sowieso die
Maschine.

Nehmen Sie Stellung zu dieser Aussage.
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1. Semester 2007/2008
S.30/54
2.2.3
Vorstellungsbildung Multiplikation
Zum Thema
Vorstellungsvermögen ist das erste der 4 im Aargauer Lehrplan 2000 erwähnten «allgemeinen Ziele». Nachhaltiges Verständnis fusst immer auf breiten und vernetzten Vorstellungen. Richtiges (und vor allem begründetes) Operieren ist «billig» zu haben, wenn genügend Vorstellungsvermögen zum Thema vorhanden ist. Oft muss der Unterricht den
Aufbau dieser Vorstellungen unterstützen bzw. sie in Erinnerung rufen, bestätigen, …
Moderne Lehrmittel enthalten genügend Übungen zur Stärkung des Vorstellungsvermögens. Es ist nahe liegend, dass diese oft propädeutische Phase meist nahtlos in die Phase mündet, wo Operationen automatisiert werden (Kenntnisse und Fertigkeiten).
Ziel der
Sequenz
Kinder (und wir auch) lernen durch Einfügen neuer Knoten (sowie durch weiteres Verknüpfen bereits vorhandener Knoten) in ihr semantische Netz. Unser Ziel ist es in diesem Zusammenhang daher in erster Linie, vorhandene Strukturen und Beziehungen ins Bewusstsein dringen zu lassen, damit wir sie im Unterricht fördern, aufgreifen, diskutieren, initiieren
können.
Flächenmodell
Das Flächenmodell ist entscheidend für das Verständnis der Multiplikation und der Division. Die Lernenden lesen oder zeichnen dabei Multiplikationen und berechnen Produkte
erst in einem zweiten Schritt. und Rechnungen richtig zeichnen können. Im Zahlenbuch
wird diese Vorstellung durch Rechnen an Hundertertafel / Vierhundertertafel gestützt.
ZB2 S.48/49, ZB3 S.13
ZB3 S.10, 11 (in Verknüpfung mit Aufbauen von Vorstellungen zur Division).
Das Verständnis des Flächenmodells wird später von entscheidender Bedeutung sein:
• Beim Berechnen von Flächen
• Bei Multiplikationsaufgaben mit dem Malkreuz (ZB4 S.45-47)
• Beim Ausmultiplizieren von Binomen ab 8. Schuljahr
Ebenso werden in der Erarbeitungsphase visuelle Hilfen angeboten (wie z.B. die Hundertertafel, siehe vorhergehender Punkt). Das Lernen der Reihen kann durch die Darstellung
am Zahlenstrahl unterstützt werden ( gestütztes Üben). Später kann man sich von dieser
Vorstellungshilfe wieder lösen.
ZB2 S.52–55, 58/59, 62/63
In einem späteren Schritt wird entscheidend sein, ob die Kinder genügend Vorstellungen
zu unserem Dezimalsystem aufgebaut haben, dann geht es nämlich u.a. um die Multiplikation grösserer Zahlen (20 · 30 oder 14 · 18).
ZB3, S.50-55
Multiplikation: Operative Päckchen
Die Multiplikation kann – wie die andern Operationen auch – systemisch erschlossen werden. Das
kann u.a. mit operativen Päckchen geschehen, die
die Kinder auch selbst herstellen können:
5•4
10 • 10
10 • 4
13 • 10
15 • 4
13 • 11
16 • 4
13 • 12
16 • 40
13 • 13
16 • 41
13 • 26
oder
130 • 26
40 • 16
131 • 26
41 • 16
132 • 26
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1. Semester 2007/2008
S.31/54
Schriftliche 1.
Multiplikation: Vorstellungen
bilden,
dann ein2.
führen
Alle Kinder finden Multiplikationen im Alltag: Auf Fotos, im Einkaufszentrum, im
Portemonnaie, im Kleiderschrank, an Hausfassaden, auf Grossraumparkplätzen, in
Verpackungen … .
•
Da hätte ich gerne eine kleine Ausstellung zu Multiplikationen. Bilder … mit den
zugehörigen Malaufgaben und den Resultaten.
Abstraktionsphase: Eine Multiplikation lässt sich – soweit es sich nur um zwei Faktoren handelt – als Rechteck zeichnen. Das gilt für die Multiplikation von 4 • 8 genauso
wie für 18 • 132. Vorausgesetzt natürlich, man hat genügend grosses Karopapier.
Die Kinder zeichnen mehrere Multiplikationen und bestimmen Produkte. Evtl.
arbeite ich dabei auch mit 400er Feld
oder zwei Tausenderbüchern. (siehe
auch Handbuch prod. Rech. 2, S.59).
3.
Die Klasse kennt das kleine Einmaleins.
Ebenso kann aus 6 • 9 = 54 andere Multiplikationen hergeleitet werden.
 6 • 900 = 5'400.
10 7
10
100
70
2
100 70
20
119
20
14
•
4.
Wer das nicht begriffen hat, ist für die
schriftliche Multiplikation nicht reif, da
sie auf diesem Gedanken aufbaut.
Unter Umständen muss vor der schriftlichen Multiplikation das Zehner- und Hundertereinmaleins gefestigt werden. Man kann das Tausenderbuch dazu hervorragend als
Demonstrationsmaterial einsetzen.
5.
Ebenso wichtig scheint mir das Abschätzen von Grössenordnungen. Ich schlage
dazu ein Würfelspiel vor: Ein 8er Würfel mit den Augenzahlen 2 bis 9 (die 1 wird einfach zur 9) ermittelt den einstelligen Faktor. 3 weitere Würfel ermitteln jeweils einer
um den andern 100er, Zehner und Einer. So können Multiplikationen wie 7 • 362 gewürfelt werden. Die Kinder würfeln so in kleinen Gruppen (2 – 4) Rechnungen und
schätzen das Resultat auf 100 genau. Sie dürfen dabei diskutieren. Bei Uneinigkeit
kontrollieren sie mit dem TR.
6.
Reiseprospekt mit Distanzen Luftlinie: Gutschein für 3'000 (10'000) Flugkilometer.
Die Kinder überlegen sich, wie oft sie damit von Zürich Flughafen nach Wien
(779 km), nach Milano (218 km), nach Paris (569 km) oder nach Luxemburg (465 km)
fliegen können. Nach Möglichkeit Europakarte an Wand befestigen und Linien mit
Schnüren illustrieren.
Jeweils 2 Kinder stellen die Anzahl Flüge für eine Stadt an der Wandtafel dar. Die
Kinder gewinnen Vertrauen, dass sie solche Aufgaben auch ohne schriftliche Normverfahren lösen können. Vielleicht müssen einfachere Destinationen mit kleineren
Zahlen und einem Reisegutschein für 1'000 km gewählt werden ( Zugfahren in der
Schweiz)
7.
Es gibt zahlreiche Multiplikationsaufgaben, die auf eigenen Wegen gelöst werden
können. Wer das Stellenwertsystem genügend beherrscht, sollte Strategien entwickeln können.
Bsp.: Wie viele Stunden hat das Jahr
Wie oft schlägt mein Herz in einer Stunde?
Wie weit komme ich mit 150 Gänsefüsschen etc.
8.
mögliche
Mindestanforderungen
Es muss sichergestellt werden, dass die Kinder 367 • X gleichsetzen wie 300 mal X +
60 mal X + 7 mal X. Ev. durch Aufgaben wie 16 • 7 = 10 • 7 + 6 • 7 etc.
Alle Kinder
• zeichnen Multiplikationen
• zählen Multiplikationen am 400er Feld aus
• lösen einfache Multiplikationen schriftlich
• bewegen sich in operativen Päckchen
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S.32/54
2.2.4
Die vier Operationen im Überblick
Addition
mündlich
halbschriftlich
schriftlich
1. Kl.
ZR bis 20, gestützt
z.B. 20er-Feld
0 – 20, erste Rechenstrategien
–
2. Kl.
ZR bis 100, geläufig
0 – 100, evt. auch über
100
3. Kl.
ZR bis 1000
H+ H, HZ + H, HZ + Z
HZE + H
halbschr. im 1000er Raum. Einführung schr. addieren
Auch gestützt durch
1000er Buch
4. Kl.
ZR bis 1 000 000, mit
max. 4 Ziffern ≠ 0
schwierigere Additionen
protokollieren
Alle Additionen bis 1 Mio
Subtrakt.
mündlich
halbschriftlich
schriftlich
1. Kl.
0 – 20, gestützt
z.B. 20er-Feld
u.U. nicht bis zur Geläufigkeit
0 – 20, erste Rechenstrategien
–
2. Kl.
0 – 100, u.U. nicht geläufig
0 – 100, evt. auch über
100
–
3. Kl.
0 – 1000, wie Addition
Schätzen
–
4. Kl.
0 – 1 000 000, mit höchsschwierigere Subtraktionen Subtraktion mit einem
tens 4 von 0 versch. Ziffern protokollieren
Subtrahenden
5. Kl.
Mit höchstens 5 Wertziffern
Multiplik.
mündlich
1. Kl.
Verdoppeln und halbieren
2. Kl.
2er, 5er, 10er Reihe
andere Reihen: Konstruieren können
3.Kl.
Einmaleins auswendig
Malkreuz einführen, Faktoren bis 20, z.B.
14 · 17
4. Kl.
Zehnereinmaleins
Halbschr. Strategien
kleinerer Faktor 1-stellig
5. Kl.
Festigen, 100er und
1000er multiplizieren, z.B.
20 • 3000
Halbschr. Strategien
Kleinerer Faktor höchstens
2 stellig
Division
mündlich
halbschriftlich
schriftlich
1. Kl.
Verdoppeln und halbieren
2. Kl.
Verdoppeln und halbieren
Sachsituationen zu Division
3. Kl.
Kleines Einmaleins
Sachsituationen
4. Kl.
Einfache Divisionen im
1000er Raum
Division mit Rest, schätzen evt. einstelliger Divisor
(z.B. 783 : 9)
5. Kl.
Auch Divisionen wie
153 : 3 mdl.
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Schr. Subtraktion beherrschen
halbschriftlich
schriftlich
–
–
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Divisor höchstens 2-stellig
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S.33/54
3.
Geometrie
3.1
Geometrieunterricht wozu?
Allgemeine Es scheint mir wesentlich, dass Sie sich bei ihren Unterrichtsvorbereitungen jeweils überZiele
legen, welche Lernziele Sie mit Ihrem Unterricht verfolgen. Sie finden in diesem Kapitel
verschiedene Lernsituationen, die Sie mit wenigen Modifikationen einsetzen können. Es
geht mir dabei in erster Linie um das Sammeln von Grunderfahrungen, um echtes Verständnis von geometrischen Begriffen, um ganzheitliche Zugänge zu Themen, um Staunen
und um Lernen mit- und voneinander. Wenn einzelne Kinder zusätzlich Zusammenhänge
entdecken und selbsttätig experimentieren, umso besser.
 Überlegen Sie sich nach dem Durcharbeiten einer Lernumgebung, welche Klasse und
welche Lernziele damit angesprochen werden können. Füllen Sie parallel zu ihrer Arbeit auch die untenstehende Tabelle aus dem Lehrplan aus.
 Vergleichen Sie die Arbeitsvorschläge in den Aargauer Lehrerordnern und den Zahlenbüchern.
 Suchen Sie in einem Zahlenbuch nach Aufgabenstellungen zu den vier Grundideen.
Grundideen nach
Mathe
2000
• Pläne &Koordinaten
• Geometrische Figuren
• Geometrische Operationen
• Gesetzmässgikeiten & Muster
Ziele aus Lehrplan
Kl. W. kippen ………
oben – unten. innen – aussen. vorne – hinten
1/2
………
………
Kreis, Dreieck, Quadrat, Rechteck
Drehen, spiegeln falten, zerlegen …
3
nicht in LP 2000, aber empfohlen: Symmetrien
erkennen
Darstellen, drehen, spiegeln, messen, benennen
4
Zusammensetzen, symmetrisch ergänzen
Konstruktion: Ornament, Quadrat und Rechteck
Massstab, messen, verkleinern
5
Konstruktion von Parallelen, Zirkel, Geodreieck
Begriffe: rechter Winkel, Linie, Fläche, Gerade,
parallel
Parkette und Ornamente
Primärfaktor für
Intelligenz
(Geometrische) Raumvorstellung wird als ein Primärfaktor der Intelligenz gesehen. Geometrische Defizite beeinträchtigen also auch andere Bereiche des Intellekts. Das Denken
entwickelt sich in der aktiven Auseinandersetzung mit seiner Umwelt. Begriffsbildung erfolgt dabei nicht durch Lernen relevanter Eigenschaften, sondern durch einen konkreten
Umgang mit Materialien im (realen) Raum. Das schlägt sich zwangsweise in unserer Sprache nieder: Dreiecksverhältnis, Kreislauf, Zuckerwürfel, Luftlinie, Spiegelbild, Parallelschwung, Stosskante, Ebenbild, seitenverkehrt, kugelrund, Aussenstürmer, Drehwurm,
Wendeltreppe, Mittelwert, Kreuzgang, Netzwerk, Rundweg usw. (Krauthausen, Scherrer
2001, S.55).
Geometrische Vorstellungen entwickeln sich ausgeprägt in der Primarschule. Es wäre bedauerlich, würde man ausgerechnet diese sensible Phase ungenutzt lassen. «Es ist wahrscheinlich, dass wir etwas unwiderruflich verpassen, wenn wir Kinder im Grundschulalter
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nicht der Geometrie zuführen» (Freudenthal 1978, S.265) . Die Fähigkeit, Muster spontan
zu sehen ist nicht der Beginn, sondern eine Folge von geometrischen Tätigkeiten.
Voraussetzung
zum Verständnis
arithmetischer Kontexte
Geometrisches und arithmetisches Denken stehen in engem Zusammenhang. Daraus
erklären sich viele Lernschwierigkeiten beim «Rechnen»: Es werden immer wieder geometrische Formen oder Darstellungen benutzt um Zahlen, Zahlbeziehungen oder Operationen zu veranschaulichen (Zahlenstrahl, Tabellen, Diagramme). Die notwendigen geometrischen Vorstellungen werden oft als selbstverständlich vorausgesetzt. Gerade für Lernschwache wird Mathematik oft aufs Rechnen beschränkt - sie werden damit einer grossen
Chance beraubt wirklich zu verstehen. Viele Kinder werden so durch die in guter Absicht
angebotenen Veranschaulichungen und Materialien permanent überfordert - die Hilfe wird
so zur zusätzlichen Schwierigkeit. Wo solche Probleme nicht ganzheitlich angegangen
werden, können sie sich verfestigen und schliesslich auf die ganze Mathematik bzw. auf
das persönliche Lernverständnis ausstrahlen.
 Geometrie ist voller Arithmetik, Arithmetik ist voller Geometrie. Inwiefern fordert «Würfel
kippen» sowohl geometrische als auch arithmetische Kompetenzen?
Ausrichtung Geometrieunterricht im
Kanton AG
VK
Lehrmittel
«Der Geometrieunterricht der ersten fünf Schuljahre ist eher propädeutischer Natur. Im
Fokus ist nicht die Vermittlung abrufbaren Wissens und Könnens, sondern vielmehr eine
breite Erfahrungsgrundlage, auf der aufgebaut werden kann. Wir arbeiten weitgehend vorstellungs- und begriffsbildend und erst in zweiter Linie auf der Ebene reiner Kenntnisse.
Lehrplan 2000 (S.2, 3, 4, 6, 8): «Geometrische Grunderfahrungen fördern das räumliche
Denken und damit auch das Orientierungs- und Vorstellungsvermögen. Dabei gewinnen
die Sch. Vertrauen in ihr schöpferisches Denkvermögen (LP 2000 S.3). Die Kinder sollen
ausserdem den Umgang mit Längenmassen beherrschen. Die entsprechenden Ziele finden sie im LP im Abschnitt «Sachrechnen und Grössen».
In den Schulbüchern AG finden sich wenig Ansätze für die Gestaltung des Unterrichts,
dafür finden Sie in den Lehrerordnern AG des 2. - 5. Sj. zahlreiche Kopiervorlagen. Diese
stellen aus meiner Sicht sinnvolle Flashlights dar - ganzheitliche Erfahrungen (Kopf, Herz,
Hand) müssen jedoch von Ihnen zusätzlich arrangiert werden.
Im Zahlenbuch sind die Inhalte der Geometrie auf das ganze Schuljahr aufgeteilt und teilweise mit Arithmetik verknüpft.
Ich stelle mir vor, dass Sie in Ihrer Jahresplanung 3-4 Wochen Geometrieunterricht, die Sie
gut auf mehrere Blöcke verteilen können, einplanen.
Weshalb
Geometrieunterricht in der
Primarschule?

Geometrie eignet sich in besonderer Weise - ähnlich wie Stochastik - für die allgemeinen Ziele des Mathematikunterrichts (siehe LP Mathematik S.1).

Selbständiges (aktiv-entdeckendes) Lernen und schöpferische Leistung wie
· das Beschäftigen mit Figuren und Körpern
· das Erkennen von Gesetzmässigkeiten und Zusammenhängen
· den Aufbau einer eigenen Begrifflichkeit
fördern die Phantasie und legen das Fundament für weiterführende Erkenntnisse.

die Entwicklung eines räumlichen Denk- und Vorstellungsvermögens

Denkschulung, u.a. durch Skizzieren, Vergleichen, Messen und Verallgemeinern.
Dadurch sollen die Sch. klare Grössen- und Raumvorstellungen gewinnen.
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Hanspeter Gerber &
Beat Wälti
1. Semester 2007/2008
S.35/54
3.2
Unterrichtsideen
3.2.1
Streifzug durch die Schuljahre
Inhalte
nach
Schuljahren
Da es um das Erleben (nicht Vermitteln!!) von Grunderfahrungen geht, sind Inhalte sekundär, Erfahrungen jedoch zentral. Diese sind subjektiv und nicht vermittelbar. Aufgaben, die
in das traditionelle «Richtig - Falsch - Schema» passen, sind daher bestenfalls Nebenprodukt, nicht Ziel, des Unterrichts.
Der beispielhafte Überblick möglicher Aktivitäten ist nach Schuljahren geordnet - Achtung:
Der Lehrplan ist nicht verbindlich. Die Aufzählung beinhaltet lediglich Vorschläge.

1. SJ
ZBn1, 
S. 73-75 
2. SJ
Nach Anweisung Zeichnungen erstellen und vergleichen (3 Häuschen nach oben…).
Beschreibung der Lage der verschiedenen Räume im Schulhaus –> vorn, hinten,
innen, aussen. Schnittpunkt zum Sprachunterricht.

eines Schulhausplan zeichnen, eines Stockwerks ( Längen, Anzahlen, Verhältnisse).

Beschreibung des Schulwegs verbunden mit einer Wegskizze.

Links – rechts hängt von der Blickrichtung ab. Deutlich wird das u.a. durch den Slogan «links gehen, Gefahr sehen». Links ist einmal bergseitig, einmal talseitig.

Quadrate zerlegen und neu zusammensetzen.

Erstmalige bewusste Begegnung mit Symmetrie und andern Kongruenzabbildungen.

Zwei Kinder spielen Spiegel

Mit konkreten Spiegeln bei ebenen Figuren (Schmetterlingen, Blättern, Baumstamm,
Buchstaben… nach Symmetrieachsen suchen (Spiegel Hartmut, Spiegeln mit dem
Spiegel, Klett Verlag, Leipzig 1996).

Scherenschnitte und Tintenkleckse

Zu halben (symmetrischen) Bildern die «andere Hälfte» zeichnen

In Zusammenhang mit Zählen jeweils eine bestimmte Anzahl Schritte in eine bestimmte Richtung durchführen, etwa mit Hilfe der Hundertertafel:

Schritt nach rechts: 1 addieren; Schritt nach links: 1 subtrahieren;
Schritt nach unten: 10 addieren; Schritt nach oben 10 subtrahieren.
Es können so ganze Wege auf der Hundertertafel beschrieben werden (warum nicht
auf dem Pausenplatz mit Kreide einzeichnen?)

Im Turnen können Drehungen um 1/2 oder 1/4 im Uhr- oder Gegenuhrzeigersinn
durchgeführt werden.

Tangram. Zahlreiche verschiedene Aufgaben möglich.
ZBn2,
S. 82/83
3. Sj.
Sich nach Anweisungen von andern Kindern bewegen (2 Schritte geradeaus, 3
Schritte links…).
Es scheint mir gegeben, dass im Werken, Zeichnen, Biologie (Formen) und Mathematik die
erworbenen Begrifflichkeiten mit geeigneten Aufgabenstellungen vertieft werden.
ZB 3. 
S.35 
Operieren mit Figuren und Körpern:
Figuren zerschneiden und wieder zusammensetzen

Figuren ausmessen, (Umfang und Quadrate), zerlegen und erneut ausmessen

Parkettieren (Schieben, drehen) und Parkette ausmessen

Falten, nach Symmetrieachsen suchen, Arbeit mit Spiegelbuch.

Parkettieren der Ebene mit vorgegebenen Grundformen (–> Weshalb funktionieren
einige Grundformen, andere nicht?)
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1. Semester 2007/2008
S.36/54
 Eine etwas anspruchsvollere Aufgabe: Parkettieren Sie die Ebene mit demselben
Baustein indem Sie das Muster weiterführen (Alle Kongruenzabbildungen erlaubt).
 Schlagen Sie insbesondere die Vorschläge zum Geometrieunterricht in den Zahlenbüchern nach und verschaffen Sie sich so einen Überblick über das Anforderungsniveau
(nicht primär über die Inhalte).
4. Sj.
Die erworbenen Kenntnisse werden vertieft
und zum Teil auch ergänzt. Man bewegt
sich aber weiterhin in einem propädeutischen Rahmen.
ZB4, 
S. 69,
80/81 
Spiegelbuch
Zirkel und Geodreieck (rechter Winkel,
Ornamente

Verpacken, Abwickeln, Verpackungen
aufschneiden, Würfel basteln …

Massstabrechnen, vergrössern verkleinern (–> Zeichnen)

Räumliches Denken: Grundrisse und
Seitenansichten werden im Zahlenbuch
mit «Schauen und Bauen» gefördert.
Zusammensetzen von Flächen zu platonischen Körpern. Erstaunliche Erfahrung: Es
passt!
Nebenstehend der Vollständigkeit halber
die Abwicklung einiger platonischer Körper.
5. Sj.
Es wird anspruchsvoller. Es kommen wenig neue Inhalte hinzu (ev. Koordinaten). Diese
werden aber auf einem höheren Anspruchsniveau neu arrangiert. Ein besonders schönes
Beispiel ist das Erstellen syrischer Mosaike am Computer. Auch wenn ich hier eine Sequenz für die 5. Klasse vorschlage, könnte man ebensogut mit 3. Klässlern arbeiten.
ZB5, S. Zeichne eine beliebige Figur (hier: ein Haus)
4/5 in ein Quadratgitter. Dupliziere die Figur und
drehe jeweils um 90°-, 180°-, 270°.
Gruppiere die Figur zu einem Objekt (einer
«Kachel»). Füge viele Kopien der Kachel zu
einem Ornament zusammen.
Du kannst die Kacheln einfach nebeneinander legen oder auch teilweise übereinander
schieben oder sogar Lücken lassen.
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1. Semester 2007/2008
S.37/54
3.2.2
Rund um den Würfel
A
Pentomino
1.
Zähle 12 mal 5 Würfel ab.
2.
Bilde mit je 5 Würfeln eine Figur. Nimm dazu
einen ersten Würfel und lege einen zweiten
Würfel Seite an Seite an den ersten, usw.
Du darfst nicht „zweistöckig“ bauen.
3.
Es gibt 12 mögliche Figuren, die alle aus 5 Würfeln bestehen. Findest du alle? Lege sie und klebe die einzelnen Figuren allenfalls zusammen.
4.
Die 12 Figuren lassen sich auf mehrere 100 verschiedene Möglichkeiten in das obenstehende
Raster einpassen. Finde eine davon!
5.
Wesentlich einfacher (und für die Schule ergiebiger) ist die Aufgabe, die Pentominos in ein 8 x 8
Feld so einzupassen, dass die «Löcher» an interessanten Orten, vielleicht sogar symmetrisch
auftreten.
6.
Aus den Pentominosteinen lässt sich auch ein
Quader herstellen. Schau ihn an und versuche,
ihn zu bauen.
7.
Welche Pentominos sind Würfelabwicklungen
ohne« Deckel?»
8.
Mit welchen Pentominos kannst du parkettieren?
Welche Pentominos lassen sich Parkettieren ohne mit Schiebungen (Translationen) zu arbeiten?
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1. Semester 2007/2008
S.38/54
9.
Zeichne das isometrische Bild von einigen Pentominos (Für Schülerinnen und Schüler ist diese Aufgabe ohne zugrundeliegender Dreiecksraster nicht lösbar.)
10.
Wie viele dreidimensionale Pentominos findest du?
** Liesse sich daraus etwa ein anspruchsvolles Spiel für Erwachsene – analog zum Somawürfel – erfinden?
11.
Wie viele (ebene) Hexaminos (Sechslinge) würde es geben? Wie viele davon sind Würfelabwicklungen?
12.
Die Kinder stellen einander Rätsel mit Pentominos oder Vierlingen (Beispiele siehe untenstehend)
Selbstverständlich lassen sich auch hier Geometrie mit Arithmetik verbinden, wie untenstehendes Beispiel
zeigt.
1.
Wähle ein Pentomino und lege sie auf
die 100er-Tafel. Berechne die Summe
der fünf von ihr abgedeckten Zahlen.
Verschiebe sie um ein Feld nach links
oder rechts, dann nach oben oder unten und berechne jeweils die Summe.
Was fällt dir auf?
Wiederhole mit einem andern Pentomino.
2.
Nimm einen Pentomino und lege ihn
so, dass die Summe der zugedeckten
Zahlen möglichst 80 (150, 222, 333)
beträgt.
Vergleiche mit Kameradinnen und
Kameraden. Bestimme selber eine
Summe und versuche, sie mit einer
Pentomino zu erreichen.
3.
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Lege zwei verschiedene Pentominos
so auf die Hundertertafel, dass sie die
gleiche Summe abdecken.
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1. Semester 2007/2008
S.39/54
B Soma (ZB4 S.43)
1.
Zähle 27 Würfel ab.
2.
Bilde aus 4 Würfeln immer eine neue Figur, wie beim Pentomino
Spiel. Dieses Mal darf aber auch in die Höhe gebaut werden. Es
gibt insgesamt 6 mögliche Figuren, wenn man die Strecke und
die Platte ausschliesst. Mit den restlichen 3 Würfeln bildest du einen Winkel.
3.
Du kannst jedes der 7 Teile mit einer andern Farbe bemalen.
Dann können gefundene Lösungen angegeben werden, indem
die Zeichnungen farbig bemalt wird.
4.
Eine herausfordernde Aufgabe ist es, aus den 7 Somateilen einen grossen Würfel herzustellen. (Anmerkung: Warum eigentlich ergeben 27 kleine Würfel einen einzigen grossen, der nur 3 mal so lang
ist?)
5.
Zum Einstieg: Der Körper links besteht aus 2 Teilen…
3 Teile ergeben den Quader rechts
Gerhard Stettler aus Oberfrittenbach
hat mit 5. Klässlern isometrische Darstellungen aus den Somateilen gezeichnet (siehe unten).
Dieser grössere Quader ist aus 4 Teilen zusammengesetzt
6.
Baue eine neue Figur aus den Teilen des
Somawürfels. Sie muss symmetrisch sein.
Zeichne sie nachher auf das „gedreieckelte“
Papier. Schreib deinen Namen darauf. Wir
stellen es für die ganze Klasse zusammen.
7.
Wenn Sie noch nicht genug haben:
Aus den 6 Teilen mit aus 4 Würfeln kann man eine
Figur bauen, die doppelt so hoch, lang und breit ist
wie der kleinste Teil aus 3 Würfeln.
• Es gibt ausserdem in Denksportsammlungen weitere Anregungen (Hofmann, Eggmann, Denksport, Verlag der
Zürcher Kantonalen Mittelstufenkonferenz).
• Ueli Hirt und Sandra Meister (Klett Verlag)
haben zum Thema «soma» ein ausgezeichnetes Lehrmittel herausgegeben.
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1. Semester 2007/2008
S.40/54
C Würfel kippen
1.
Markiere eine Würfelseite. Lege ihn mit der Marke oben auf das bezeichnete Feld. Kippe den
Würfel, bis die Marke wieder oben liegt. Schreibe die Anzahl benötigter Kippbewegungen ins
Zielfeld. Versuche, mit möglichst wenigen Kippbewegungen auszukommen. Schreibe viele Felder an. Welche Gesetzmässigkeiten erkennst du?
2.
Vergleiche mit der Lernpartnerin / dem Lernpartner. Färbt gleiche Anzahlen. Lassen sich nach
der gleichen Vorschrift für neue Felder Anzahlen bestimmen, ohne das gekippt werden muss?
3.
Untersuche das entstandene Zahlengitter.
Die folgenden Aufträge werden mit einem Spielwürfel durchgeführt. Die Kippbewegungen beginnen
erneut auf dem gleichen Feld, die 6 liegt zu Beginn der Bewegungen oben.
4.
Welche Felder kannst du mit 4 Kippbewegungen erreichen? Färbe die Felder blau. Welche Augenzahlen liegen jeweils oben?
5.
Welche Felder erreichst du mit 5 Kippbewegungen? Färbe rot. Welche Augen liegen oben?
6.
Welche Augenzahlen können nach 2 x / nach 3 x kippen oben liegen, welche nicht?
Start
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S.41/54
3.3
Ein Kompetenzraster zur Geometrie (Klasse 5)
A1
1.
Ebene Figuren
erkennen, beschreiben und
zeichnen
Einfache Grundformen
(z.B. Quadrate, Rechtecke, Dreiecke und Kreise) erkennen.
2.
Mit Formen operieEinfache geometrische
ren (Zeichnungen &
Figuren abzeichnen.
Skizzen, ohne
Konstruktionen)
A2
B1
B2
C1
C2
Figuren nach Vorschriften
Ebene Figuren zerlegen
zeichnen, Eigenschaften
und zusammensetzen.
von Figuren erkennen.
Figuren mit dem Geodreieck nach Vorlage
zeichnen und dabei geometrische Konstruktionsregeln anwenden.
Figuren mit dem Geodreieck nach Konstruktionsregeln zeichnen und
dabei geometrische Konstruktionsregeln anwenden.
Einfache geometrische
Figuren gemäss Vorschriften verschieben und
zeichnen.
Einfache geometrische
Figuren drehen oder
spiegeln und die Bildfigur
zeichnen.
Eine geometrische Figur
massstabgetreu vergrössert / verkleinert zeichnen.
An einfachen geometrischen Figuren Ähnlichkeits- und eine Kongruenzabbildungen durchführen.
Geometrische Figuren
nach Vorschrift abbilden.
Wegbeschreibungen und
Grundrisse und SeitenanPositionen von Objekten
sichten (z.B. von "Quamit Hilfe von Koordinaten
derdörfern") zeichnen.
angeben.
Grundrisspläne in einem
Koordinatensystem einzeichnen.
Kompliziertere Körper
zeichnerisch darstellen.
Einfache Grundformen
(z.B. Quadrate, Rechtecke, Dreiecke und Kreise) zeichnen.
3.
Lage von Objekten
beschreiben, z.B.
durch Koordinaten
Körper auf einer Ebene
gemäss Vorschrift bewegen und ihre Lage angeben.
Einfache Pläne lesen.
Grundrisse und Seitenansichten (z.B. von
"Quaderdörfern") erkennen. Einfache Pläne
anfertigen.
4.
Mathematische
Körper darstellen
Eigenschaften von Körpern beschreiben
Raumbilder und Modelle
von Körpern richtig deuten.
Kantenmodelle und Netze von Würfeln und Quadern herstellen.
Körper (z.B. Würfel und
Quader) zeichnerisch
darstellen.
Ausgehend von Netzen
Körper vorstellen (und
zeichnen).
5.
Symmetrien und
geometrische Muster erkennen und
beschreiben
(Streifen-)Ornamente
erfassen und sinngemäss weiterführen.
Symmetrien erkennen.
(Streifen-) Ornamente
untersuchen und Gesetzmässigkeiten beschreiben. Eigene Ornamente herstellen.
Achsensymmetrische
Figuren erkennen und
zeichnen.
Symmetrische Muster
erkennen, fortsetzen und
selbst entwickeln.
Einzelne Elemente bei
Symmetrische Muster auf
symmetrischen Mustern
zentrale Bausteine reduverändern und Auswirzieren (z.B. Scherenkungen auf das Muster
schnitt).
beschreiben.
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1. Semester 2007/2008
S.42/54
A1
1. Ebene Figuren
erkennen, beschreiben und
zeichnen
2. Mit Formen
operieren
(Zeichnungen
& Skizzen,
keine Konstruktionen)
Finde in den gezeichneten Figuren alle
Quadrate, Rechtecke,
Kreise.
Zeichne das Viereck an
einer andern Stelle.
A2
B1
Zeichne sauber:
1 Quadrat,
2 Rechtecke,
2 Kreise,
1 Dreieck.
Zeichne das Viereck an
der bezeichneten Stelle
(A  A’).
B2
Zeichne ein Rechteck
mit den Seitenlängen
3 cm und 6 cm.
Zerschneide ein Quadrat in mehrere Teile.
Füge die Teile zu zwei
Quadraten zusammen.
Zeichne das untere Viereck «spiegelverkehrt».
C2
Konstruiere folgende
Figur exakt nach. Die
Strecke s misst 3 cm.
Schreibe einem Kreis
drei verschiedene
Rechtecke ein.
Zeichne das Viereck
vergrössert nach.
Zeichne das Viereck
vergrössert (alle Längen
verdoppeln) und spiegelverkehrt nach..
Zeichne die Landschaft
so nach, dass die Berge
drei mal so steil wirken.
Stelle 4 formgleiche
Quader in verschiedenen Lagen auf ein Papier und zeichne
Grundriss und einen
Seitenriss.
Gib auf dem Stadtplan
die Position von X sowie von Y an und erkläre, welchen Weg
man von X nach Y
zurücklegt.
Zeichne in das vorgegebene Koordinatensystem einen Plan
vom Schulhausareal.
Das Netz eines Körpers sieht folgendermassen aus:
Zeichne das Raumbild
des Körpers.
Zeichne das Raumbild
eines Oktaeders aufgrund eines vorliegenden Modells.
A
A‘
3. Lage von Objekten beschreiben, z.B.
durch Koordinaten
Markiere das Feld
unten links. Fahre 10
Felder nach rechts,
dann 3 Felder nach
hoch und 4 nach links.
Welcher der vorliegenden Pläne ist ein
Plan von unserem
Schulhausplatz?
Stelle 3 formgleiche
Quader so auf, dass
sie dem gezeichneten
Grundriss entsprechen.
4. Dreidimensionale Körper
darstellen
Zähle Kanten, Ecken
und Flächen an einem
Würfel und an einem
Oktaeder.
Welche der folgenden
Zeichnungen können
Darstellungen von
Würfeln sein?
Zeichne dieses GeBaue einen Turm aus bäude auf Papier.
3 Würfeln. Zeichne ihn 1 2 3 2
und zeichne das ent1 2
sprechende Netz.
1
5. Symmetrien
und geometrische Muster
erkennen und
beschreiben
C1
Ergänze das folgende
Ornament.
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Finde die Unregelmässigkeiten in folgendem Streifenornament.
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Ergänze folgendes Parkett
Fertige folgenden Schezu einer rechteckigen Fläche. renschnitt an.
Zeichne in folgenden
Figuren die Symmetrieachsen ein.
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1. Semester 2007/2008
S.43/54
Wie sehen folgende Scherenschnitte aus, wenn man
sie öffnet? Der Mittelpunkt
ist jeweils rechts unten.
4
Sachrechnen
4.1
Kapitänssyndrom
Hauptziel
Sachrechnen bezieht sich - der Name sagt es - auf Sachen. Die Situationen sind traditionell meist sprachlich beschrieben. Häufig reduziert sich Sachrechnen auf das «Erledigen
von Textaufgaben» – unabhängig vom Sachkontext.
Vielleicht gelingt es Ihnen, selbst Situationen zu «kreieren» in denen Kinder an der Sache,
die dann eben nicht mehr als bezugsloser sprachlicher Konstrukt, sondern als reale Situation erlebt werden, rechnen können. Damit würde Sachrechnen auch den Bezug zur Realität aufweisen, für deren Bewältigung er eigentlich gedacht ist.
Dass die meisten Kinder in der Mathematik nur auf richtige Resultat aus sind, zeigt Stella
Baruk (Frankreich) in einer Untersuchung deutlich. Die zugrundeliegenden Aufgaben werden in der Didaktik «Kapitänsaufgaben» genannt.
Wie alt ist
der Kapitän
«Auf einem Schiff befinden sich 17 Schafe und 11 Ziegen. Wie alt ist der Kapitän?» 80%
der in Frankreich getesteten 2- und 3-Klässler beantworteten diese Frage mit 28.
«Auf einem Schiff befinden sich 6 Schafe und 5 Ziegen. Wie alt ist der Kapitän?» Da eine
Addition ein etwas merkwürdiges Resultat liefert, multipliziert eine andere Testgruppe die
beiden Zahlen – 30 macht als Resultat doch deutlich mehr Sinn als 11.
«Ein 35-jähriger Kapitän führt auf einem Schiff 17 Schafe und 11 Ziegen mit. Wie alt ist der
Kapitän?» Erneut lassen sich die Kinder nicht irritieren, Mathematik-Aufgaben enthalten
Zahlen, mit den Zahlen muss operiert werden, dann erhält man ein Resultat und kann zur
nächsten Aufgabe fortschreiten. Dementsprechend verrechnen die meisten Kinder die
Zahlen in der Aufgabenstellungen und produzieren ein Ergebnis.
Ich habe die Frage einigen Kindern im Quartier gestellt. Besonders anfällig scheinen Kinder der 2. – 4. Kl. Jüngere Kinder sind noch nicht verschult und wissen das nicht.
Solche Textaufgaben brechen mit dem stillschweigenden Abkommen zwischen Lehrmitteln, Lehrenden und Lernenden, dass Textaufgaben durch reines Verrechnen der aufgeführten Zahlen zu einem richtigen Ergebnis geführt werden können. Dieses Abkommen
dominiert oft jede sachliche Überlegung und lässt Sachrechnen zu reiner Arithmetik verkommen. In der Regel existiert bei Aufgaben genau eine richtige Antwort, die es zu finden
gilt.
«Ursulas Opa züchtet seit 25 Jahren Hühner. Schon 3mal wollte er mit der Züchterei aufhören. Er hat ausserdem 150 Schweine in 5 Ställen verteilt, die ihm in der Woche 30 Stunden Arbeit geben. Wie alt ist der Grossvater?» Werden in den Aufgabentext noch weitere
Zahlen eingefügt, reagieren Kinder verwirrt, weil ein Überangebot von Zahlen und möglichen Operationen besteht. Der Unsinn der Aufgabe selbst wird aber auch hier den wenigsten Kindern klar.
 Können Sie sich Kapitänsaufgaben für Maturanden oder für Lernende der Sek 1 vorstellen? Wenn ja, welche? Finden Sie in Lehrmitteln «Kapitänsaufgaben light»? (siehe
auch Selter Spiegel S.30ff)
klinisches M, 11 Jahre; Informeller Test
Interview
K
«Ich hätte gern vier Kokosnüsse. Wieviel macht das?»
mit Stras- M
«Das macht einhundertfünf plus dreissig, das sind einhundertfünfunddreissenkindern
sig … eine Kokosnuss kostet fünfunddreissig … das macht … eins vierzig!»
Formeller Test
M erklärt seinen Lösungsweg zu der vorgegebenen Aufgabe 35 · 4 wie folgt: «vier mal fünf
ist zwanzig, behalte zwei; zwei plus drei ist fünf, mal vier macht zwanzig» M notiert als
Antwort 200.
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1. Semester 2007/2008
S.44/54
D, 9 Jahre, informeller Test
K
«Ich hätte gerne 12 Zitronen»
D
«Zehn, zwanzig, dreissig, vierzig, fünfzig, sechzig» (dabei schiebt sie jeweils zwei
Zitronen zur Seite).
Formeller Test:
Das Kind löst die vorgegebene Aufgabe 12·5, indem es zunächst 2, dann die 5 und
schliesslich die 1 unter einem waagrechten Strich notiert und dann als Antwort 152 angibt.
Eine Studie aus
Brasilien
Eine Forschergruppe hat vor einigen Jahren brasilianische Strassenkinder untersucht, die
seit früher Kindheit auf der Strasse Lebensmittel und Süssigkeiten verkaufen, um sich ihren
Lebensunterhalt zu sichern. Diese Kinder wurden zuerst in ihrem Alltagskontext befragt,
indem sich die Interviewerin in die Rolle einer Käuferin begab und mehrere Preisnachfragen
stellte. An einem der folgenden Tage nahmen die Kinder an einem Test teil, bei dem sie
eine Reihe von Textaufgaben ähnlichen Inhalts sowie von «kontextfreien» Aufgaben lösen
mussten, die bezüglich Operation und Zahlengrösse mit den Kaufsituationen vergleichbar
waren.
Es zeigte sich, dass

98 % der Verkaufsaufgaben

74 % der Kontextaufgaben und
36 % der nackten Rechenaufgaben korrekt gelöst wurden.
Drill and
practice
Luchins,
A.S.(1971):
Mechanisieren beim
Problemlösen, Köln
Krug 1
Krug 2
1
29
3
2
21
127
3
100
3
14
163
25
99
4
18
43
10
5
5
9
42
6
21
6
20
59
4
31
7
23
49
3
20
8
15
39
3
18
9
28
76
3
25
10
18
48
4
22
11
14
36
8
6
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Krug 3
BZZ
4800 Zofingen
gefordert
Lösung
20
29 – 3 • 3 = 20
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1. Semester 2007/2008
S.45/54
Optimieren
von Kosten und
Nutzen
Schülerinnen und Schüler lernen so in der Mathematik nicht nur mathematische Techniken.
In der Bestrebung, den Unterricht in einem möglichst positiven Aufwand-Ertrag Verhältnis zu
überstehen, versuchen sie, die Gedanken der Lehrperson zu reproduzieren und ihre Absichten zu durchschauen. Sie wissen, dass es bei Aufgaben etwas zu rechnen gibt, dass
man dabei mit den vorhandenen Zahlen operieren muss und, bei richtigem Vorgehen, das
richtige Resultat gefunden wird, womit die Aufgabe ad acta gelegt werden darf. Man lernt
auch, dass mathematische Kompetenz mit vielen richtigen Resultaten finden gleichzusetzen
ist. Wer mit einer Aufgabe nicht schnell klarkommt, findet in Lehrkräften und Kolleginnen
ohne Anstrengung die gewünschte Erklärung (vgl. Krauthausen, 1998, S.14). Auch wenn
diese heimliche Botschaft nicht beabsichtigt ist, Kinder nehmen sie so wahr. Ausserdem
scheinen auch viele Lehrkräfte dem rezepthaften Unterricht viel Positives abzugewinnen.
Bei TIMSS (Third International Mathematics and Science Study) gaben nur 44% der befragten Schweizer Lehrpersonen an, dass es für gute Mathematikleistungen sehr wichtig ist,
dass man seine Schlussfolgerungen begründen kann.
Gegensatz
zu allgemeinen
Bildungszielen
Diese Haltung steht in fundamentalem Gegensatz, zu den allgemeinen Bildungszielen, die
von den Lehrplänen aufgenommen werden. Sie ist bei den heute vorherrschenden prozessorientierten und projektartigen Arbeitstechniken gar völlig unbrauchbar. Jugendliche, die
sich diese Haltung angeeignet haben, müssen sich im Berufsalltag erst einmal neu organisieren und lernen, mit echten Fragestellungen wertfrei umzugehen und Lösungswege zu
dokumentieren.
Kapitäms- 
syndrom
Miitelstufe, 
Oberstufe
Informationszeitalter
«Herr Anders macht eine Abmagerungskur. Am Anfang seiner Kur wog er 102 kg. In
der ersten Woche hat er 1 kg abgenommen. Wie schwer ist er nach 80 Wochen?
Benedikt (7. Kl.) berechnet als Resultat 22 kg. Eine erneute Textanalyse hält er für
überflüssig, da er von der Richtigkeit seiner Rechnung überzeugt ist. Auch Provokationen durch die Versuchsleiterin können ihn nicht verunsichern. Er führt Erfahrungen
aus dem Mathematikunterricht als Rechtfertigung an und verweist auf öfter auftauchende «Phantasieaufgaben». (Hollenstein & Eggenberg 1998).

Bob Beamon ist bei seinem legendären Weltrekord im Weitsprung von 1968 8.90 m
weit gesprungen. Die Windunterstützung betrug 1.8 m/sec. Wie weit wäre er bei 3.6
m/sec Rückenwind gesprungen?

Der Weltrekord über 100 m Crawl beträgt ca. 47 sec. Er ist in einem 50 m Becken
zustande gekommen. Welche Zeit ist über 100 m / in einem 25 m Becken zu erwarten?

Oder auch (tragisch genug) eine Aufgabe aus einem Lehrmittel: Ein Bienenvolk produziert im ersten Jahr 3 kg Honig, im zweiten Jahr bereits 4.5 kg. Wie viel Honig kann
der Imker im 3. Jahr erwarten?

Erfinden Sie weitere «Kapitänsaufgabe» und tauschen Sie sie aus. Wie könnte ein
Unterricht aussehen, der das Kapitänssyndrom wirksam bekämpft?
Hans Dieter Degler1 stellte bereits 1993 unter anderem fest:
In Japan hat die Regierung damit begonnen, die auf ein Individuum niedergehenden Datenmengen zu messen. Auf einen Japaner prasseln pro Jahr statistisch 483 Billiarden Wörter aus TV, Radio, Zeitungen, Gesprächen und Werbung nieder, das ist eine achtzehnstellige Zahl (483'000'000'000'000'000).
Rund 600'000 Laborberichte, Doktorarbeiten und Fachartikel müsste ein Chemiker pro Jahr
lesen, um in seinem Fach à jour zu bleiben – das ist nicht zu schaffen. Die Folge: Der Mann
wird, gemessen am insgesamt verfügbaren Chemiewissen, immer dümmer.
1 (Degler,
H.D. (1993): Trends 2000 – Die Gesellschaft auf dem Weg ins Informationszeitalter. Aus : Der Spiegel, Nr.
14/93)
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1. Semester 2007/2008
S.46/54
4.2
Proportionalität
Zum Thema
Proportionalität ist das durchdringende Thema des Sachrechnens aller Schulstufen. Der
Themenbereich ist so komplex, dass es sich lohnt, Lernziele sorgfältig zu setzen und das
Unterrichtsarrangement immer wieder neu zu überdenken und den vorherrschenden Gegebenheiten anzupassen. Ich persönlich habe wohl zu oft und zu schnell die Aufgabenstellung von der den Kindern nahe stehender Sache (und damit meine ich nicht Text) losgelöst. Ein Schritt, der sich nur dann lohnt, wenn die Lernenden das «Kapitänssyndrom»
(Selter 1997 S.30ff) ablegen konnten.
Selbstverständlich können Sie auch hier Ihre Lernziele unterschiedlich gewichten. Je nach
Gewichtung wird Ihr Unterricht ein anderes Gesicht erhalten. Wichtig scheint mir, dass Sie
sich überlegen, was Sie eigentlich mit dem «Rechnen an der Sache» erreichen wollen.
 Gewichten Sie die untenstehenden Lernziele. Finden Sie allenfalls weitere, hier nicht
aufgelistete, Lernziele?
Sehr wichtig
Eher wichtig
Eher unw.
Sehr unw.
Lernziele
1.
Sachaufgaben und Proportionalitäten im Alltag erkennen und berechnen
2.
Aufgaben (Sätzlirechnungen) aus dem Buch lösen können
3.
Aus Sachverhalten (Text, Grafik, Artikel) Aufgaben gewinnen, lösen und darstellen
4.
Virtuosität im mündlichen Berechnen von Proportionalitäten
5.
Computer und Rechner als Hilfsmittel einsetzen und bedienen können
6.
Proportionalitäten von andern Zuordnungen (Funktionen) unterscheiden und
deren Charakteristiken kennen
7.
Grafische Darstellungen lesen und verstehen
Lehrplan
Der Lehrplan AG betont auf der Primarstufe den Umgang mit Massen. Das Beherrschen
der Masse darf aber nicht das einzige Ziel sein. Die Fertigkeiten sind im Hinblick auf echte
Sachsituationen aufzubauen - warum nicht durch herausfordernde Aufgabenstellungen?
 Lesen Sie die Abschnitte «Sachrechnen und Grössen» im Lehrplan 2000 zu den
Schuljahren 1-4.
Lernvoraussetzungen
In den ersten 5 Schuljahren werden gemäss aargauischem Lehrplan die Grundlagen gelegt, um Proportionalitätsaufgaben überhaupt bewältigen zu können. Propädeutische Erfahrungen mit Proportionalitäten werden schon sehr früh gesammelt. Untersuchungen (u.a.
von Elmar Hengartner) haben ergeben, dass Kinder bereits im Vorschulalter situationsbezogene Proportionalitätsaufgaben meistern. Mit dem uns eigenen Grad an Formalisierung
scheitern Lernende aber oft noch im 7. Schuljahr. Sie lösen zwar Aufgaben im Moment
richtig, weil sie Rezepte der Lehrkraft befolgen. Ohne echtes Verständnis sind diese
Kenntnisse jedoch flüchtig und bedürfen immer wieder der Auffrischung, bzw. verschwinden aus dem Repertoire.
Ein sicherer Umgang wird allerdings erst von Kindern der Oberstufe gefordert. Untenstehende Grafik soll Ihnen einen Überblick ermöglichen. Sie erhebt keinen Anspruch auf Vollständigkeit und ist ohne Gewähr zu geniessen.
Vier Fragestellungen stehen bei der Tabelle auf der nächsten Seite im Vordergrund:

Welche Lernvoraussetzungen müssen Kinder mitbringen, um den Stoff erfolgreich
bewältigen zu können?

Wie reagieren Sie, wenn ein Kind «Bahnhof versteht»?

Welche Kompetenzen bauen auf dem gegenwärtig zu behandelnden Stoff auf?

Wie sorgen Sie für alltagsorientierte Lernarrangements?
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S.47/54
1./2. Kl.
3./4. Kl.
7. Kl.
5./6. Kl.
8. Kl.
9. Kl.
Grundoperation
en & Stellenwert
<-- Lernvoraussetzungen -->
Kompetenzen in
Zusammenhang
mit Proportionalität
Verschiedene
Masseinheiten
Dezimalzah-len
& Dezim.
Grössen
Operatordarstellung
Wertetabelle
lesen & darst.
Mathematisieren
Aufgaben in
einem Schritt
<-- Themenbereich
Proportionalität -->
Aufg. In zwei
Schritten
grafische Darst.
& Koordinatens.
nicht
proportionale
Zuordnungen
Prozentrechnen
propädeutische Erfahrungen
Erarbeitung, Einführung
Kompetenz vorhanden
Proprtionalität (Zuordnungen) in
Lehrmitteln
Sobald im Sachrechnen vom blossen Rechnen mit Massen abgewichen wird, rechnen die
Kinder meist an Zuordnungen (Primarstufe: proportionale Funktionen). Funktionen sind
zentral – sie begleiten Kinder vom 2. Schuljahr an bis und mit Maturität. Für die Kinder geht
es in diesem Zusammenhang eindeutig um die Zuordnung (Abbildung) zweier Mengen.
 Schlagen Sie folgende Seiten in den Lehrmitteln nach und suchen Sie proportionale
Funktionen.
ZB2 S.68/69;
Sachrechnen - wohin?
ZB2 S.57
ZB2 S.77
AG2 S.62
ZB3 S.8 Nr. 4
AG3 S.74
ZB4 S.86/87
AG4 S.66
ZB5 S.20/21
AG5 S. S.74 / 75
Bereits in der Unterstufe stellen die Kinder Beziehungen (Relationen) her: Zunächst zwischen Gegenständen (Was gehört zusammen?), dann zwischen Zahlen. Vergleiche wie
grösser, kleiner, gleich, proportionale Berechnungen (meist Multiplikationen) gehören zum
typischen Sachrechnen. Eingebettet sind die Aufgaben meist in sogenannten Sätzlirechnungen. Ich möchte hier gar nicht bestreiten, dass es wichtig ist, solche Rechnungen lösen
zu können. Wo es aber zum blinden, unverstandenen Verknüpfen von Operationen kommt,
würde den Kindern oft genug ein erlebnisorientierter Unterricht nützen, in dem Daten gesammelt, dargestellt und (mathematisch) ausgewertet werden..
Vergleichen Sie mit dem berühmt gewordenen Test zu «Kapitänsaufgaben» (Selter 1997,
S.30-36)
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S.48/54
Experimentelles
Rechnen!
Gewicht
und Wert
von Münzen
Zuordnungen sollen und können experimentell erfasst werden. Handelt es sich um eine
proportionale, beinahe proportionale oder um eine andere Zuordnung? Kann die Zuordnung sinnvoll grafisch dargestellt werden… . Um solchen Fragestellungen nachgehen zu
können, ist ein fächerübergreifender Unterricht (HLK; Werken, Turnen) die beste Wahl.
 Messen Sie zwei voneinander abhängige Grössen durch ein Experiment. Welche
Aussagen können aufgrund der Daten gemacht werden? Wie genau können Sie messen?
Sie finden in diesem Abschnitt genügend Ideen.
Wert
Gewicht in g
Durchmesser in
mm
Zusammenhänge
Pendelbewegung
Hängen Sie ein Pendel an die Decke. Verändern Sie Gewicht und Länge des Fadens so
lange, dass sie das Pendel als Uhr benutzen können. Stellen Sie einen Vielsatz folgender
Art auf:
10 Schwingungen
 6 Sekunden
100 Schwingungen
 1 Minute
……
Eichen
eines Zylinders
Dazu brauchen Sie einen möglichst hohen, (idealerweise) durchsichtigen Zylinder und ein
bis zwei geeichte Gefässe (z.B. 2 ml sowie 1 dl) oder einen Messbecher.
Auf dem Zylinder sind nun (z.B. auf Malerband) zwei Skalen anzubringen:
 Eine cm Skala
 Eine ml – Skala
Für die ml-Skala wird bald einmal gerechnet, mit dem Meter gemessen und verglichen.
Selbstverständlich lassen sich nun auch weitere Rechnungen durchführen wie: Wie viele
Liter hätten in dem Zylinder Platz, wenn er bis zur Decke reichen würde ………
Mit Gänse- Finden Sie heraus, wie weit Sie mit 10 Gänsefüsschen kommen. Stellen Sie einen Vielsatz
füsschen
auf, mit dessen Hilfe Sie Schulzimmer, Gang, 10 m, … ausmessen können. Messen Sie
messen
nach, wie genau ihre Messung ist.
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S.49/54
4.3
Typen von Aufgabenstellungen
1. Sätzlirechnen
Sätzlirechnungen sind DIE traditionellen Aufgabenstellungen, die Sachrechnenlektionen
nach wie vor dominieren. Die Sache hat zwei Haken: Sätzlirechnungen werden von Lernenden oft als realitätsfremd und nicht besonders motivierend angesehen. Ausserdem
kommen Sätzlirechnungen in ausserschulischen Situationen kaum vor.
2. Lernumgebungen
Das Zahlenbuch geht oft von einem Thema (Bahnlinien quer durch die Schweiz, Brot, …)
aus. Im Rahmen dieses Themas werden die Kinder mit Fragestellungen konfrontiert. Oft
werden sie aufgefordert, selbst Fragen an das Thema zu stellen. Die Lernumgebungen
zum Sachrechnen eignen sich naturgemäss für einen fächerverbindenden Unterricht.
3. mosima
mosima ®: Materialien zu Offenen Situationen im Mathematikunterricht.
Die Kinder werden zu einem Thema (z.B. Murmeltiere, Ferien am Meer oder Fahrrad) dokumentiert. Die Dokumentation enthält Statistiken, Bilder, Grafen, ....
Die Dokumentation wird gesichtet und besprochen. Anschliessend werden aufgrund des
vorliegenden Materials weitere Fragen gestellt, die in Gruppen untersucht werden. Die
Gruppen stellen ihre Arbeit auf einem Plakat oder in einem Journal dar.
4. FermiFragen
Fragen wie «Wie viele Wassertropfen sind in einer Giesskanne? Wie viele Kieselsteine
haben in einer Literpackung Platz? Wie viele Glühbirnen hat's im Schulhaus?» können
nicht exakt beantwortet werden. Allerdings kann die Grössenordnung des Verfahrens recht
gut (oder halt auch nur ungefähr) abgeschätzt werden.
Die Kinder beschäftigen sich in Kleingruppen während mindestens 1 Lektion mit 1 - 2 dieser «Fermifragen». Die Gruppen stellen sich anschliessend ihre Arbeiten gegenseitig vor.
5.
Schreibanlässe
Zwei Studierende haben mit einer 4. Klasse im Praktikum aus eigenem Antrieb die Idee
eines mathematischen Schreibanlasses aufgegriffen. Ausgehend von einer Geschichte zur
Pionierzeit der Eisenbahn waren die Kinder aufgefordert, schreibend weitere Gedanken
und Fragen zu entwickeln- Sie sollten insbesondere weitere Angaben zum Adler - dem
deutschen Pendant zur spanischen Brötlibahn - machen könnnen, die sich mit den vorliegenden Daten erklären liessen.
6. Aufgaben erfinden
Dieser Aufgabentyp ist naheliegenderweise gleichzeitig ein Instrument zur Lernförderung.
Mehr Informationen entnehmen Sie bitte dem näcshten Abschnitt
7. Interpretation (z.B.
von PrintMedien)
Es gibt auch für die Unterstufe Print-Medien, die Diskussions- und Interpretationswürdig
sind, sei es auch nur ein Jelmolikatalog. Die entsprechenden Fragestellungen können von
der Lehrperson gegeben werden und werden von den Kindern allenfalls ergänzt. Wo ein
derartiger Umgang mit Print-Medien bereits bekannt ist, können die Lernenden die Fragen
auch mal selbst entwickeln, womit man sich in die Nähe eines mosima ®.
Eine weite- Eine andere mögliche Einteilung von Anwendungen im Sachrechnen ist durch folgendes
re SysteSchema gegeben:
matik
Überblick
über die 4
Aufgabentypen
mathematische Operationen
im Vordergrund
im Hintergrund
Situation eng
Typ A
Typ C
Situation offen
Typ B
Typ D
im Hintergrund
im Vordergrund
Sachsituationen
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Krauthausen/Scherrer (2001) S. 80ff haben einen weitern Raster zum Sachrechnen entworfen. Neben den eigentlichen Textaufgaben sprechen Sie von Sachbildern, eingekleideten Aufgaben, Erfinden von Rechengeschichten (dabei unterscheiden Sie in R mit freier
Themenwahl, vorgegebenem Kontext, vorgegebener Rechnung und vorgegebener Struktur), Sachproblemen, sachstrukturiertem Üben, Sachtexten und Projekten.
Aus einem «Ungeachtet des Sachverhalts werden
Artikel von
Ch.
 Teillösungen vergessen
Erichson
 verbal vermittelte Informationen nicht zur Kenntnis genommen
Erichson
 Ähnliche Lösungsschemata verwechselt
Ch.,
Sachtexte
 Eingeübte Schemata beibehalten
lesen,
 Willkürliche Operationen in der Reihenfolge ihres Vorkommens im Text
damit man
rechnen
 bei grossen Zahlen Addition bzw. Subtraktion bevorzugt, bei kleineren hingegen
kann, Die
Multiplikation bzw. Division
Grund Das heisst: Die Sache in den Sachaufgaben tut offenbar nichts zur Sache!
schulzeitschrift H.
Alarmierender als diese Untersuchungsergebnisse ist die Feststellung von Winter, dass die
48/1991,
Gleichgültigkeit gegenüber den Inhalten von Sachaufgaben mit wachsender SchulerfahS.22-25
rung zunehme. Das lässt darauf schliessen, dass Kinder im Verlauf ihrer Schulzeit ein beträchtliches Mass ihres gesunden Menschenverstandes einbüssen. Sie scheinen zu verlernen, sich für ihr eigenes Denken zuständig zu fühlen.
Das Hauptdilemma von Textaufgaben besteht darin, dass sie keinen informativen und /
oder unterhaltenden Eigenwert besitzen. Zwar wird von Seiten ihrer Produzenten immer
wieder versichert, dass die Inhalte an der Lebenswirklichkeit der Kinder orientiert seien und
dass besonderer Wert auf identifikatorische Momente gelegt werde. Aber wie überall, wo
Inhalte nur eine untergeordnete Rolle spielen, wird daraus ein krampfhaftes Bemühen: Da
wird durch anbiedernde Namensnennungen (Herr Tüchtig, die kleine Steffi, Bäcker Mehlig)
und vertrauliche Verwandtschaftsbezeichnungen (Mutter, Vater, Tante Olga) Intimität suggeriert, um „lebensnahe“ Banalitäten wie Sonderangebote für Seife, Stundenlöhne für Malergesellen sowie hektoliterweise Heizöl unterzubringen. Das sind Texte, die bereits den
Druck nicht wert sind, noch weniger aber das Lesen. Sie sind nurmehr langweilig. Wenn
Kinder sich schon der Mühe des Lesens unterziehen, dann sollten sie auch einen Gewinn
davon haben.»
Und noch
einmal:
Christa
Erichsson
«… Die Konsequenz aus alledem scheint darauf hinauszulaufen, Textaufgaben am besten
ganz zu lassen. Ich glaube nicht, dass das die Alternative ist. Nicht alle didaktischen Probleme lassen sich projektgebunden lösen. Lesestille halte ich auch im Sachrechnen für eine
gute Atmosphäre.
Erichson
Ch., 8
Tage
durch 4
Freundinnen macht
2 Negerküsse, Die
Grundschulzeitschrift H.
22/1989,
S.12-16
Grosse Anteile eines Mathematikwerkes könnten aber zur ebenso informativ wie unterhaltsamen Lektüre werden: mit Texten, die gerade nicht dem Anspruch der Alltagsnähe verpflichtet sind, sondern die sowohl Unbekanntes, Fremdartiges, Erstaunliches, als auch
Spannendes, Witziges und Anrührendes vermitteln: lesenswerte Texte! Mathematik ist, wie
gesagt, überall drin.
In einigen Mathematikwerken habe ich Ansätze in diese Richtung bereits gefunden. Sie
werden bislang aber vornehmlich als Aufhänger für das „eigentlich Wesentliche“ benutzt.
Mathematikwerke stellen eine Dienstleistung für den Unterricht dar. Wieviel Liter Öl in einen Tank passen, können Kinder selbst erfragen. Aber viele Informationen sind schwer
zugänglich; sie sind es aber, die Lesetexten die Substanz geben, derentwegen man sich
der Mühe des Lesens unterzieht.
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5.
Überblick Curriculum (Grundanf.)
Eine Orientierungshilfe
- ohne Gewähr
Lehrplan und Stellungnahmen von Lehrpersonen haben zu folgender Liste geführt.
Sie ist selbstverständlich ohne Gewähr.
Da die anzustrebenden Kompetenzen in Problemlösen und Mathematisierfähigkeit
nur schwer prägnant und überprüfbar formulieren werden können, dominieren
Kenntnisse und Fertigkeiten sowie das Vorstellungsvermögen in der Liste.
1.Sj.  Zahlenraum 1 - 20: erfassen, erkennen, vorwärts und rückwärts zählen, Zahlenstrahl zeichnen, Vorgänger und Nachfolger kennen
 Ordinale (ordnen, nummerieren) und kardinale (Mengen auszählen, weniger,
gleichviel mehr) Aufgabenstellungen bewältigen
 (Ev. Gestütztes) Addieren und Subtrahieren im Zahlenraum 0 – 20. Ergänzen auf
20, Zerlegungsmöglichkeiten finden, Rechengeschichten umsetzen, Operationen
darstellen (z.B. mit 20er Feld), Bündelungsaufgaben. ZB 36,37,43
 Selbsttätige Mathematik: Geschichten erfinden, mit Rechendreiecken experimentieren, eigene Zahlenmauern bauen, mit Zahlen (z.B. Scopa) spielen …
 Zeichen kennen und schreiben: +, –, >, <, =, ZB 22, 38
 Objekte beschreiben, sortieren, ordnen.
eckig  rund,
gross  klein
rechts  links
vorne  hinten
oben  unten innen  aussen
 Formen und Eigenschaften benennen:
Kreis, Dreieck, Quadrat, Rechteck; rund, dreieckig, viereckig, kurz, lang ZB 58
2.Sj.  Zahlenraum 0 - 100: erfassen, darstellen.
In Einer und Zehner aufteilen, bündeln
Zahlen auf Zahlenstrahl und im Hunderterfeld zuordnen bzw. finden,
Vorgänger, Nachfolger, grösser, kleiner
 Addition und Subtraktion im Zahlenraum 0 - 20 automatisiert
Addition und Subtraktion im Zahlenraum 0 - 100 mit Anschauungsmaterialien.
Sicherheit mit 3 Wertziffern (45 + 20, 67 + 8, aber nicht 45 + 36)
 Multiplikation, kleines Einmaleins: Mit Zahlenstrahlen oder mit Punktefeldern darstellen. Bildhafte Multiplikationen (Eierbecher, Rechteck mit Häuschen, 5 Hände
zu je 4 Finger
Einfache Aufgaben (·1, ·2, ·5, ·10) auswendig ( Stützpunkte)
Mit Anschauungsmaterialien und ev. Abzählen der Reihen andere Produkte des
kleinen Einmaleins herleiten.
 Rechenregeln / Rechnungen lesen
I) 12 – (6 + 3)
II) 18 + 5 + 2 = 18 + 2 + 5
III) 4 + q = 9  9 – 4 = q
4·3=3·4
3 · q = 12
 Geld kennen und zählen (ohne Frankenübergänge bei Rappenstücken)
 Einfache Figuren zerlegen und wieder zusammensetzen. Figurenrätsel
3.Sj.  Zahlenraum 0 - 1’000: erfassen, darstellen.
Zahlen in Stellenwerttabelle eintragen: T | H | Z | E und auf dem Zahlenstrahl / im
1’000er Buch zuordnen bzw. finden, Vorgänger & Nachfolger
 Addition / Subtraktion bis 1’000 mit max. 4 Wertziffern (350 + 220, 678 + 200)
 Multiplikation: E·Z, (9 · 40), kleines Einmaleins
Division: mit Anschauungsmaterial oder mit Rückführung auf Multiplikation: HZ : Z
(360 : 40  40 · ? = 360
 Einkaufssituation an der Kasse mit 2 - 3 Additionen sicher bewältigen. Gesamtbetrag unter 100 Fr. Keine schwierigen zweifach benannten Beträge (wie 17.80 +
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S.52/54
25.60). Insgesamt höchstens 4 (nicht 6) Wertziffern.
 Mit Massstab / Meter umgehen. Evtl. auch mit Waagen und Messbechern operieren können. Sachaufgaben zu Längenmassen: Wie gross bist Du auf dem Pult?
 Alle Zeitmasse (ausser Sekunde) kennen, angeben und interpretieren.
 Formen: Rechteck, Quadrat, Dreieck, Kreis. Eigenschaften kennen, von andern
Formen unterscheiden.
 Stochastik: handelnde Zugänge suchen (Bsp. 3 Kinder tauschen ihre T-Shirts)
Zum Ver-  10 Blitzaufgaben lösen (Quadratzahlen 1 – 12, und 20) – damit verbunden sichegleich: 3 Sj.
res mündliches Rechnen bei einfachen Grundoperationen.
Standards  Mit Fr. und Rp sicher umgehen
aus einer
Berner Schu-  Eine Ahnung von Grössen (Liter, kg, Zeit) haben (ohne Berechnungen). Längenmasse kennen
le
 Rechteck, Quadrat, Dreieck, Kreis. Eigenschaften
 Einfache Muster spiegeln
 Einfache Textaufgaben formulieren und lösen können.
 Motivation ab und zu eine Problemaufgabe (z.B. aus der Denkschule) zu lösen.
4Sj.
 Zahlenraum 0–10’000:
Ordnen, vergleichen, Zahlenstrahl.
Stellenwertprotokoll erweitern ZT, T, H, Z, E
 Die Grundoperationen +, –, ·, : werden mündlich, halbschriftlich (z.B. Malkreuz
Multiplikation) und schriftlich weitergeführt. Mehr Sicherheit beim Stoff des 3.Sj.
kann verlangt werden. Das Automatisieren zusätzlicher Kompetenzen ist nicht gefordert.
 Gleichungen und Ungleichungen
? – 37 = 280 Umformen in 280 + 37 = ?
? · 8 > 120
 Geld: Auch Additionen mit 6 Wertziffern (wie 17.80 + 25.60) ausführen
 Längen- (km, m, cm, mm) – Hohl- (l, dl)- Gewichtsmasse (t, kg , g). Vorstellungen
zu Grössen. Abschätzen, Umgang mit Messgeräten. Handlungsanweisungen
ausführen (700 g Mehl + 500 g Zucker …)
 Einfache Aufgaben zur Proportionalität. (Bsp.: 2kg  4 Fr. 8 kg  ?)
 Stochastik: Objekte verschieden anordnen, Wege suchen, Experimentieren.
5Sj.  Zahlenraum 0 - 1’000’000:
Stellenwertprotokoll erweitern M, HT, ZT, T, H, Z, E
 Kopfrechnen:
Addition und Subtraktion mit 4, besser 5 Wertziffern.
Multiplikation mit 3 Wertziffern
 Halbschriftliche Division: Divisor drei, Dividend ein bis zwei Wertziffern (357 : 7)
 Schriftlich: Addition begreifen und in einfachen Aufgaben anwenden.
 Grössenordnung von Divisionen wie 678 : 7 abschätzen («öppe» 100)
 Symmetrien erkennen. Einfache Figuren an Achse spiegeln
 Umfang und Inhalt von rechteckigen Figuren; Seite, Länge, Breite. Angaben in cm
und cm2. Unter Umständen in Häuschen zu 1cm 2 unterteilen.
 Zeitmasse korrekt darstellen und in gemischter Form (23.4.06 17:30) korrekt interpretieren (Fahrplan, Fernsehprogramm). Mit Zeitmassen rechnen.
 Brüche im Alltag erkennen: 1/2, 1/3, 1/4 etc.
Brüche darstellen und erkennen (Teile von Rechtecken, Torten, Strecken …)
 Längenmasse, Gewichtsmasse, Hohlmasse sowie die Vorsilben Kilo- Dezi- ZentiMilli-. Mit Masszahlen rechnen. Umwandlungen, von einfach benannten Grössen
(300 cm = 3 m, nicht aber 45 dm 4 mm = cm). Umwandlungen mit Tabellen.
 Säulendiagramm lesen: Experimente durchführen und protokollieren. Aussagen
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gewinnen wie «immer, meistens …».
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