Grundlegende Rechenregeln für Zahlen , Brüche und zum

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Grundlegende Rechenregeln für Zahlen , Brüche und zum
Buchstabenrechnen.
Natürliche ganze Zahlen können als ein Zahlenband dargestellt werden von -∞ bis +∞
...
...
...
-6 -5 -4 -3 -2 -1 0
1
2
3
4
5
6
...
...
...
...
Eine Addition oder Subtraktion ist einfach eine Summierung von Zahlenmengen:
Z.B.:
4+3=7
1
2
3
4
+
1
2
3
=
1
2
3
4
5
6
7
Eine Subtraktion kann als eine Addition mit negativen Zahlen aufgefasst werden:
Z.B:
7 - 3 = 7 + (-3) = 4
Multiplikation von Zahlen:
Hierbei sind folgende Regeln zu beachten:
plus mal plus = plus
Z.B: (+3) x (+4) = (+12)
plus mal minus = minus
Z.B: (+3) x ( -4) = (-12)
minus mal minus = plus
Z.B.: (-3) x (-4) = (-12)
Klammern rechnen:
Zahlenoperationen in Klammern werden stets zuerst (bevorzugt ) ausgerechnet.
Z.B.
3+
( 7 + 10 ) = 3 + 17 = 20
Klammern können mit Faktoren multipliziert werden, in dem man jedes Glied in der
Klammer mit dem Faktor mulipliziert:
3 ( 4+ 7+ 12 ) = 12 + 21 + 36 = 69
umgekehrt kann ein gemeinsamer Faktor aus jedem Glied der Klammer ausgeklammert
werden:
Z.B.
( 48 + 20 + 16 ) = 4 ( 12 + 5 + 4 ) = 4 . 21 = 84
Bruchrechnen:
Es gibt
Echte Brüche
1 3 5 2 2
,
,
,
,
2 4 6 9 7
Zähler kleiner als der Nenner, Wert < 1
2
Stammbrüche
1 1 1 1 1
, , , ,
4 8 7 9 10
Echte Brüche mit dem Zähler = 1
Unechte Brüche
1 5 9 7 14
, , , ,
1 4 9 3 13
Zähler > oder = Nenner
Gemischte Zahlen
1
2
1
3
2 , 4 , 1 , 3
3
5
3
8
Bestehen aus einer ganzen Zahl und einem echten Bruch
Gleichnamige Brüche
2 5 3 1
,
,
,
8 8 8 8
Brüche mit gleichem Nenner
Ungleichnamige Brüche
1 5 7 2
,
,
,
7 8 9 3
Brüche mit ungleichem Nenner
Dezimalbrüche
0,25 0,785 0,1717
0,325
Erweitern und Kürzen von Brüchen
Brüche werden erweitert , indem man Zähler und Nenner mit derselben Zahl
multipliziert:
z.B:
2
erweitern
5
mit 4;
2 ·4 8
=
5 ·4 20
Brüche werden gekürzt ,indem man Zähler und Nenner mit der gleichen Zahl dividiert.
z.B:
8
8: 4 2
gekürzt mit 4;
=
20
20: 4 5
Durch Erweitern oder Kürzen verändert sich der Wert des Bruches nicht.
3
Addition und Subtraktion von Brüchen
Gleichnamige Brüche werden addiert oder subtrahiert, indem man ihre Zähler addiert
oder subtrahiert, während die Nenner unverändert bleiben.
z.B.:
7
3 8 18
+ + =
19 19 19 19
Ungleichnamige Brüche werden addiert oder subtrahiert, indem man ihre Nenner durch
Erweitern auf einen gemeinsamen Hauptnenner bringt und dann ihre Zähler addiert.
Als Hauptnenner wählt man die kleinste Zahl , die durch alle Nenner teilbar ist.
Sind in der Addition oder Subtraktion ganze Zahlen enthalten,dann wandelt man diese in
einen Bruch mit dem gleichen Hauptnenner um.
z.B:
Hauptnenner: 36 Setze: 2 = 2
1
7
5 7 · 3 2 · 36 5 · 4
+2- =
+
12
9 12 · 3 1· 36 9 · 4
=
21 72 20 21 + 72 - 20 73
1
+ - =
=
=2
36 36 36
36
36
36
Multiplikation und Division von Brüchen:
Multiplikation
Ein Bruch wird mit einer ganzen Zahl multipliziert, indem amn den Zähler des Bruches
mit der ganzen Zahl multipliziert.
z.B:
2
2 ·3 6
·3 =
=
7
7
7
Ein Bruch wird mit einem Bruch multipliziert, indem man Zähler mit Zähler und Nenner
mit Nenner multipliziert.
z.B:
4 2 4 ·2 8
· =
=
9 5 9 ·5 45
Division
Ein Bruch wird durch eine ganze Zahl dividiert, indem man den Nenner des Bruches mit
der Zahl multipliziert.
z.B:
5
5
5
5
:3 = 7 =
=
7
3 7 · 3 21
4
Ein Bruch wird durch einen Bruch dividiert, indem man ihn mit dem Kehrwert
multipliziert:
z.B:
3
3 6 5 3 · 7 21 7
: = =
=
=
5 7 6 5 · 6 30 10
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Buchstaben rechnen
Für das Rechnen mit Buchstaben gelten grundsätzlich die gleichen Rechenregeln wie für
Zahlen und Brüche .
Dies soll an folgenden Beispielen aufgezeigt werden:
18ab
5d = 18ab · 25de = 18a · 25e = 3 ·5ae = 15ae
12 b
5d 12 b
5 12
2
2
25de
2 f g 5h 4 fs 3gr 30h 4 fs + 3gr - 30h
+ - =
+
=
3r 2s rs 6rs 6rs 6rs
6rs
Potenzen und Wurzeln
Eine Potenz ist ein Produkt aus lauter gleichen Faktoren.
z.B:
5 ·5 = 52
oder
mitBuchstaben
a ·a = a 2
5 ·5 ·5 = 53
a · a · a ····a = a n
bei der Potenz an ist a die Grundzahl (die Basis ) und n die Hochzahl (der Exponent)
außerdem gilt:
1 1
= = a -1
a a1
1
= a -2
a2
1
= a -n
an
Für das Rechnen mit Potenzen gelten jetzt folgende wichtige Regeln:
Potenzen mit gleicher Basis werden multipliziert, indem man ihre Hochzahlen addiert
und Potenzen mit gleicher Basis werden dividiert, indem man ihre Hochzahlen
subtrahiert.
5
z.B:
a 2 · a 3 = a · a · a · a · a = a 2 +3 = a 5
a5 a ·a ·a ·a ·a
= a 5-3 = a 2
3 =
a
a ·a ·a
Eine besondere Bedeutung haben Zehnerpotenzen, dies sind Potenzen mit der Basis 10.
Damit können sehr große Zahlen und sehr kleine Brüche einfacher ausgedrückt werden.
Wert
Zehnerpotenz
Oder z.B:
10 000
104
1000
103
100
102
10
101
1
100
0,1
10-1
0,01
10-2
0,043 = 4,3 . 10-2
Wurzeln
Mit Wurzel ziehen kann aus dem Wert einer Potenz mit bekannter Hochzahl der
Grundwert ermittelt werden.
Z.B:
25 = 5
denn
5 ·5 = 25
Oder
3
27 = 3
denn
3 · 3 · 3 = 27
Gleichungen
Technische und physikalische Formeln können auch als Gleichungen bezeichnet werden.
Als Gleichung bezeichnet man, wenn zwei mathematische Ausdrücke mit einem
Gleichheitszeichen verbunden sind.
z.B:
13 = x + 9
An einer Gleichung können sämtliche Rechenoperationen durchgeführt werden , solange
dies auf beiden Seiten durchgeführt wird.
Bei einer Gleichung dürfen beide Seiten vertauscht werden.
Eine Gleichung kann nach einer unbekannten Größe aufgelöst werden.Hierunter versteht
man, das eine Gleichung durch Rechenoperationen so manipuliert wird, daß die gesuchte
Unbekannte auf einer Seite der Gleichung alleine steht.
6
Z.B: Aulösen der obigen Gleichung nach der Unbekannten x:
13 = x + 9
damit x auf einer Seite alleine steht, muß 9 abgezogen werden. Da dies eine Gleichung
ist, muß dies auf beiden Seiten durchgeführt werden.
Also gilt:
13 - 9 = x + 9 –9
13 - 9 = x
x = 4
(Seiten dürfen vertauscht werden )
Die gesuchte Unbekannte steht immer auf der linken Seite.