Bruchrechnung - Home

Bruchrechnung
Die Bruchrechnung befasst sich mit der Division von ganzen Zahlen. Ein Bruch (manchmal auch
gewöhnlicher Bruch, engl. vulgar fraction, oder verallgemeinert auf die ganzen Zahlen eine
Bruchzahl) ist dabei die Darstellung einer rationalen Zahl als Quotient (d.h. als Ergebnis einer
Division), er drückt also ein Verhältnis oder einen Anteil aus.
Brüche werden im Allgemeinen durch eine Übereinanderstellung von Zähler und Nenner, getrennt
durch einen waagerechten Strich, dargestellt:
der Zähler Z ist dabei der Dividend der Division, der Nenner N ist der Divisor.
Jede Division lässt sich als Bruch schreiben. Denn in der Bruchschreibweise kann man nicht
zwischen
und
unterscheiden.
Zähler und Nenner einer konkreten Bruchzahl sind ganze Zahlen, für Brüche im Allgemeinen
können sie aber auch algebraische Ausdrücke sein. Dabei darf der Nenner niemals Null sein, da eine
Division durch Null nicht definiert ist (und sich nicht sinnvoll definieren lässt).
Im Alltag schreibt man auch unechte Brüche, also den ganzzahligen Anteil, d.h. die zur Null hin
gerundete Zahl, und anschließend den Divisionsrest (kurz Rest) als echten Bruch, zum Beispiel 1½
statt 3/2.
Beispiele
der Bruch mit der 2 im Zähler und der 3 im Nenner bedeutet "zwei Drittel", also zwei Teile eines in
drei gleichgroße Teile geteilten Ganzen.
bedeutet entsprechend "drei Viertel".
Es ist hierbei implizit verstanden, dass "ein Ganzes" aus "drei (gleich großen) Dritteln", "vier
(gleich großen) Vierteln" usw. besteht.
Somit wird klar, dass man einen Bruch auch als eine rationale Zahl auffassen kann, die man bei der
Division des Zählers durch den Nenner erhält.
Brüche können gekürzt werden, wenn Zähler und Nenner mindestens einen gemeinsamen
ganzzahligen Teiler haben.
Dabei ist es hilfreich, wenn man den Zähler und den Nenner in ihre Primfaktoren zerlegt.
Auch algebraische Ausdrücke, die Variablen enthalten, kann man als Bruch schreiben:
bedeutet "zwei x geteilt durch Fünf", was das gleiche ist wie "zwei Fünftel x".
Siehe auch
 Stammbruch
 Kettenbruch
Man darf nicht das, was uns unwahrscheinlich und unnatürlich erscheint, mit dem verwechseln, was
absolut unmöglich ist.
Carl Friedrich Gauß
Rechenregeln
Rechenregeln speziell
Addition (von gleichnamigen Brüchen)
Subtraktion (von gleichnamigen Brüchen)
Multiplikation
Division
Rechenregeln allgemein
Addition
Subtraktion
Multiplikation
Division
Man dividiert also durch einen Bruch, indem man mit dem Kehrwert des Bruches multipliziert. Die
Division wird also auf die Multiplikation zurückgeführt.
Kürzen
Das Kürzen bedeutet aus einem Bruch gemeinsame Faktoren von Zähler und Nenner
herauszuziehen. Das Multiplizieren von Zähler und Nenner mit derselben ganzen Zahl nennt man
dagegen Erweitern. Beim Kürzen und Erweitern mit einer Zahl ungleich 0 bleibt der Wert des
Bruches erhalten.
Sind a, b, c ganze Zahlen, b, c
0, dann gilt
Liest man diese Gleichung von links nach rechts, dann wird der Bruch (ac)/(bc) mit c gekürzt, liest
man sie von rechts nach links, dann wird der Bruch a/b mit c erweitert.
Zum Kürzen ist es hilfreich, Zähler und Nenner des Bruchs in ihre Primfaktoren zu zerlegen.
Gleiche Primfaktoren können dann einfach paarweise in Zähler und Nenner herausgestrichen
werden. Es ist bei größeren Zahlen jedoch oft einfacher, den größten gemeinsamen Teiler (ggT) mit
dem euklidischen Algorithmus zu bestimmen, denn der ggT ist die größte Zahl, mit der man einen
gegebenen Bruch kürzen kann.
Beispiele:
Die Beispiele zeigen, dass das Kürzen von Brüchen meist eine sehr sinnvolle Sache ist, weil sich
dadurch erhebliche Vereinfachungen ergeben, was insbesondere das eventuelle Weiterrechnen mit
den Brüchen deutlich erleichtert.
Merksprüche
 Faktoren kürzen, das ist brav; wer Summen kürzt, der ist ein Schaf.
 Differenzen und Summen kürzen nur die Dummen.
In der Mathematik gibt es keine Autoritäten. Das einzige Argument für die Wahrheit ist der Beweis.
K. Urbanik
Stammbruch
In der Mathematik ist ein Stammbruch ein Bruch der Form
,
wobei n eine natürliche Zahl größer 1 ist.
Beispielsweise sind
und
Stammbrüche, während
und
keine sind.
Stammbruchentwicklung
Jeder Bruch der Form
mit natürlichen Zahlen a, b kann als Summe von Stammbrüchen (und
einer natürlichen Zahl, falls a > b) dargestellt werden. Z. B. ist
,
.
Ein Verfahren zur Stammbruchentwicklung besteht darin, zunächst den ganzzahligen Anteil
abzuziehen, und dann jeweils den größten Stammbruch, der kleinergleich dem Rest ist als nächsten
Summanden zu nehmen.
Dieses Verfahren endet stets nach endlich vielen Schritten, liefert jedoch nicht immer die
kürzestmögliche Darstellung als Summe von Stammbrüchen. Zum Beispiel liefert dieses Verfahren
die Darstellung
es gibt aber die kürzere Darstellung
Geschichte
Die alten Ägypter kannten nur Brüche mit ganzzahligem Nenner und Zähler, wobei der Zähler
kleiner als der Nenner ist. Da sie außer für 2/3 nur Hieroglyphen für Stammbrüche hatten, mussten
sie alle Brüche in Summen von Stammbrüchen zerlegen. (siehe auch Horusauge)
Leonardo Fibonacci veröffentlichte seinen Algorithmus im Liber abaci (1202). Der Beweis zur
allgemeinen Gültigkeit des Algorithmus gelang erst 1880 dem britischen Mathematiker James
Joseph Sylvester.
Hochtechnologie ist im wesentlichen mathematische Technologie.
Enquete-Kommission der Amerikanischen Akademie der Wissenschaften
Kehrwert
Den Kehrwert eines Bruches erhält man, wenn man bei diesem Nenner und Zähler miteinander
vertauscht.
Ein anderes Wort für Kehrwert ist Kehrzahl oder reziproker Wert. Mathematisch wird der
Kehrwert einer Zahl
als x-1 oder
geschrieben. Multipliziert man einen Bruch mit seinem
Kehrwert, so ist das Ergebnis 1.
Beispiel
Der Kehrwert des Bruchs
ist
.
Der Kehrwert einer natürlichen Zahl ist ein Stammbruch:
Nach unserer bisherigen Erfahrung sind wir zum Vertrauen berechtigt, dass die Natur die Realisierung
des mathematisch denkbar Einfachsten ist.
Albert Einstei