wiederholung

Mathematik
Arbeitsblatt 3
4. Semester
ARBEITSBLATT 3
WIEDERHOLUNG
Nehmen Sie gegebenenfalls ihre Unterlagen aus dem 1. Semester zur Hand
und wiederholen Sie.
Übung: Übungsblatt 3; Aufgaben 22 - 29
POTENZEN MIT GANZZAHLIGEN EXPONENTEN
Wie man mit Potenzen rechnet, haben wir bereits erklärt. Bei der Division von
Potenzen ergibt sich aber folgendes Problem:
Nach den Rechenregeln für Potenzen, werden Potenzen mit gleicher Basis
dividiert, indem man die Exponenten subtrahiert. Behält man dieses Rechengesetz bei, so erhalten wir zum Beispiel für die Rechnung:
a3
 a 35  a 2
a5
Die Frage ist nun natürlich, was bedeutet dieser negative Exponent?
Die Antwort darauf erhalten wir, wenn wir dieselbe Rechnung auf eine andere Weise rechnen:
a3
aaa

 Wir kürzen
5
aaaaa
a
1
 2
a
Da wir ja bei beiden Arten richtig gerechnet haben, müssen also beide Ergebnisse richtig sein. Folglich sind die beiden Ergebnisse gleich:
a 2 
1
a2
Wir können also einen negativen Exponenten folgendermaßen umschreiben:
Definition: a  n 
1
a   \ 0,n  N
an
Beispiel: Schreibe x 4 mit positiver Hochzahl an:
Lösung:
x 4 
1
x4
1
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Arbeitsblatt 3
4. Semester
Alle Rechengesetze, die wir zum Rechnen mit Potenzen kennen, bleiben also
weiterhin gültig. Negative Exponenten können wir nur gegebenenfalls umschreiben.
Eine Besonderheit ist der Exponent 0. In diesem Falle gilt laut Definition:
Definition: Jede Zahl hoch Null ergibt 1: a 0  1 .
Sehen wir uns noch weitere Beispiele an:
Beispiel: Schreibe mit positiven Exponenten an: 2a 3 .
Lösung:
Wichtig ist hier, dass sich der Exponent -3 lediglich auf a bezieht, nicht
jedoch auf 2 (Potenzieren geht vor Multiplizieren).
a 3 ergibt umgeschrieben
2a 3  2 
1
. Folglich gilt also:
a3
1
2
 3
3
a
a
Anders sieht es bei folgendem Beispiel aus:
Beispiel: Schreibe mit positivem Exponenten: 2a 3
Lösung:
Hier bezieht sich der Exponent -3 aufgrund der Klammer auf 2a. Folglich
wenden wir die Umformungsregel auf den gesamten Ausdruck an:
2a3 
1
2a3
Den Ausdruck 2a 3 können wir nun noch weiter vereinfachen. Nach
der Regel a  b n  a n  b n gilt:
1
2a 
3

1
1
 3
3
2 a
8a
3
Beispiel: Schreibe mit positiven Exponenten an: x 2  y 3 
Lösung:
Die Basis y hat einen negativen Exponenten. Also schreiben wir dies um:
x 2  y 3  x 2 
1
x2

y3 y3
Übung: Übungsblatt 3; Aufgaben 30 - 32
2
Mathematik
Arbeitsblatt 3
Beispiel: Schreibe mit positiven Exponenten:
4. Semester
2

x 3
Lösung:
Rechnung
Anmerkungen
1
Wir schreiben x 3 in 3 um:
x
Der Bruchstrich ist gleichbedeutend mit dem Divisionszeichen.
2

x 3
2

1
x3
 2:
Zwei Brüche werden dividiert, indem wir den ersten Bruch mit
dem Kehrwert des zweiten Bruches multiplizieren.
1
x3
x3
 2   2x 3
1
Übung: Übungsblatt 3; Aufgabe 33
Für das Rechnen selbst bleiben also die Rechengesetze vom Potenzieren in N
erhalten.
Beispiel: Vereinfache und stelle mit positiven Hochzahlen dar: x 2  x 4 
Lösung:
Rechnung
Anmerkungen
2
4
Potenzen
mit gleicher Basis werx x 
den multipliziert indem man die
Hochzahlen addiert.
2 4
2
Nun schreiben wir die negative
x x
Hochzahl in eine positive um.
1
 2
x
Beispiel: Vereinfache und stelle mit positiven Hochzahlen dar:
x 2

x4
Lösung:
Rechnung
Anmerkungen
Potenzen mit gleicher Basis werden dividiert, indem man die
Hochzahlen subtrahiert.
Nun schreiben wir die negative
Hochzahl in eine positive um.
2
x

x4
 x 2 4  x 6
3
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
4. Semester
1
x6
Übung: Übungsblatt 3; Aufgaben 34 - 35
Wenn nun bei einem Bruch mehrere Variable vorkommen, bleibt das Prinzip
dasselbe:
Beispiel: Vereinfache und stelle das Ergebnis mit positiven Hochzahlen dar:
x 2  y 4  z 3

x 2  y 5  z  2
Lösung:
Rechnung
2
4
Anmerkungen
Wir fassen je die Potenzen mit x,
mit y und mit z zusammen.
x  y z

x 2  y 5  z  2
3
 x 2 2  y 45  z 3 2 
Wir beseitigen den negativen Exponenten bei x.
 x 4  y  z 5
1
5
4  yz
x
y  z5
 4
x

Übung: Übungsblatt 3; Aufgaben 36 - 37
Auch das Potenzieren von Potenzen bleibt gleich:
Beispiel: Vereinfache und stelle mit positiven Hochzahlen dar:  y 2  
3
Lösung:
y 
2 3
Rechnung
Anmerkungen
Potenzen werden potenziert indem man die Exponenten multipliziert.
Wir schreiben den negativen Exponenten um:

 y 2 3  y 6

1
y6
4
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Übung: Übungsblatt 3; Aufgaben 38 - 40
Nun zum Abschluss noch einige zusammengesetzte Aufgaben:
Beispiel: Vereinfache und stelle mit positiven Hochzahlen dar:
3
 2x  2   25 x 3  2
 

  :
 5y    2y 
Lösung:
Rechnung
 2x 


 5y 
2 3
 2x 

 
 5y 
Anmerkungen
Wir haben zwei Terme, die mittels
Division verbunden sind. Wir bearbeiten jeden der beiden zunächst einmal für sich, wobei wir
von außen nach innen arbeiten.
Formen wir also zunächst den ersten Ausdruck um: Hier haben wir
eine Potenz, welche potenziert
wird. Also müssen wir die Exponenten multiplizieren.
  25 x 3 
 
 :
  2y 
2
23 
2
 25 x 3 
 
:

 2y 
6
Für den ersten Bruch gilt nun, dass
sich der Exponent -6 auf den gesamten Bruch bezieht. Da gilt:
2
 2x   25 x 3 
 
 :
 

5
y
2
y

 

n
an
a
   n , können wir den Expob
b
2x 6 : 25 x 3 

5y 6  2y 
nenten -6 also auf Zähler und
Nenner beziehen.
Für den ersten Bruch gilt weiter:
a  b n  a n  b n . Folglich können wir
den Exponenten -6 sowohl im
Zähler als auch im Nenner auf
jeden einzelnen Ausdruck beziehen.
Nun formen wir den zweiten
Bruch um: Der Exponent 2 bezieht
sich wieder auf den Zähler und
auf den Nenner.
Der Exponent 2 bezieht sich wieder auf jeden einzelnen Ausdruck:
2

2
2 6  x 6  25 x 3 
 
 6 6 :
5  y  2y 


2 6  x 6 25 x 3
:
5 6  y 6 2y 2

2

5
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 
Beim Ausdruck x 3  wird wieder
potenziert, also die Exponenten
2
multipliziert. x 3   x 6 . Weiters
können wir 25 umschreiben als
5 2 . Damit wird aus dem Ausdruck
2
25 2  52   5 4 .
Zwei Brüche werden nun dividiert,
indem wir mit dem Kehrwert des
Zweiten multiplizieren.
Da wir Zähler mal Zähler und
Nenner mal Nenner rechnen
können wir die Brüche auf einen
Bruchstrich zusammenfassen:
Nun müssen wir noch Ausdrücke
mit dergleichen Basis zusammenfassen. Im Zähler haben wir zwei
Ausdrücke mit der Basis 2. Für diese gilt: 2 6  22  2 62  2 4 . Im Nenner haben wir zwei Ausdrücke mit
der Basis 5. Für diese gilt:
56  54  56 4  52
Nun können wir noch Potenzen
mit der gleichen Basis dividieren
(Vorsicht: Wir können dies nur, da
sowohl im Zähler als auch im
Nenner alle Ausdrücke mittels
Multiplikation verbunden sind).
2
2

2 6  x 6 25 2  x 3
:
5 6  y 6 2 2  y 2

2 6  x 6 5 4  x 6
:

5 6  y 6 2 2  y 2

2 6  x 6 2 2  y 2


5 6  y 6 5 4  x 6

2 6  x 6  2 2  y 2
 6 6 4 6 
5  y 5  x

4. Semester
2 4  x 6  y 2

5 2  y 6  x 6
Für
x 6
 x 6  6  x 0  1 .
x 6
Für
y2
 y 2 6  y 8
y 6

Nun müssen wir noch die negativen Exponenten in positive umwandeln. Damit dies etwas
schneller geht, merken wir uns
Folgendes:
2 4  y 8

5 2
Merke: Sind sowohl im Zähler als auch im Nenner alle Ausdrücke mittels
Multiplikation verbunden, so bedeutet ein negativer Exponent, dass der
Ausdruck seine Stellung im Bruch wechselt und der Exponent positiv
wird.
6
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
2 4  y 8

5 2

52  y 8
24
4. Semester
Die Basis 2 hat einen negativen
Exponenten, der Ausdruck wandert also mit positiven Exponenten in den Nenner. Die Basis 5
wandert mit positiven Exponenten vom Nenner in den Zähler.
Noch ein abschließendes Beispiel:
Beispiel: Vereinfache und stelle mit positiven Hochzahlen dar:


 4 x 1y 3 2  3 y 3  3  y  z 1

 
:

z4
4 xz 1   9 x 5




Lösung:

Rechnung
 4x y

z4


1
 : 3y
3 2


 4 xz 


3
1
3
Anmerkungen
Wir vereinfachen zunächst einmal
den ersten Bruch. Dort bezieht sich
der Exponent 2 auf den gesamten
Zähler, also quadrieren wir jeden
einzelnen Ausdruck des Zählers.
 y z


 9 x 5

1
   
 4 2  x 1 2  y 3 2  3 y 3  3  y  z 1
 

:

z4
4 xz 1   9 x 5




Es gilt: x 1   x 12  x 2 und
2
y 
3 2
 y 32  y 6
Nun formen wir den zweiten Bruch
um. Der Exponent -3 bezieht sich
auf Zähler und Nenner, also wird
jeder Ausdruck im Zähler und im
Nenner mit dem Exponenten -3
versehen.
 4 2  x 2  y 6  3 y 3  3  y  z 1
 

:

z4
4 xz 1   9 x 5




 
 
 
3
 4 2  x 2  y 6 3 3  y 3 3  y  z 1
Es gilt:
y 3  y 3  3   y 9


:

3
5
3
z4

4 3  x 3  z 1  9 x
z 1  z 1 3   z 3
 
 4 2  x 2  y 6 3 3  y 9  y  z 1

: 3 3 3  

z4
4  x  z  9 x 5

 4 2  x 2  y 6 4 3  x 3  z 3  y  z 1




z4
3 3  y 9  9 x  5

 42  x 2  y 6  4 3  x 3  z 3  y  z 1



5
z 4  33  y 9

 9x
Nun machen wir in der eckigen
Klammer aus der Division eine
Multiplikation.
Wir schreiben die Ausdrücke in
der eckigen Klammer auf einen
Bruchstrich.
Nun können wir im ersten Bruch
Ausdrücke mit gemeinsamer Basis
zusammenfassen. Im Zähler gilt:
x 2  x 3  x 23  x 5
und
42  4 3  423  4 1
7
und
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4. Semester
4 1  x 5  y 6  z 3 y  z 1


z 4  3 3  y 9
9  x 5
Weiters gilt im ersten Bruch noch:
z3
y6
6 9
3
 y und 4  z 3 4  z 1
9  y
z
y
4 1  x 5  y 3  z 1 y  z 1


3 3
9  x 5
4 1  x 5  y 3  z 1  y  z 1


3 3  9  x 5
Nun haben wir wieder zwei Brüche, die wir multiplizieren:
Wir fassen im Zähler wieder gemeinsame
Basen
zusammen:
3
1
31
2
und
y y  y
y


z 1  z 1  z 11  z 2

Auch im Nenner können wir zusammenfassen, da wir 9 durch die
Basis 3 darstellen können: 9  3 2
Es gilt: 3 3  3 2  3 32  3 1
4 1  x 5  y 2  z 2

3 3  9  x 5
4 1  x 5  y 2  z 2

33  32  x 5
4 1  x 5  y 2  z 2


31  x 5


4 1  y 2  z 2

3 1

3
4y 2 z 2
Weiters vereinfachen wir:
x 5
 x0  1
x 5
Nun müssen wir nur noch die negativen Exponenten beseitigen.
Die Ausdrücke mit den Basen 4, y
und z wandern also mit positiven
Exponenten in den Nenner, die
Basis 3 mit positiven Exponenten in
den Zähler.
Übung: Übungsblatt 3; Aufgaben 41 - 44
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