Analysis 11 Exponentialfunktionen
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Modellversuch MTC Gymnasium Sandersdorf funktion 11 Exponential- und Logarithmus- 11 Exponential- und Logarithmusfunktion Die Schülerinnen und Schüler lernen mit den Exponential- und Logarithmusfunktionen (insbesondere mit der Zahl e als Basis) weitere Funktionen kennen, die in vielen Fällen Grundlage zur Lösung entsprechender Praxisaufgaben sind. Die Schülerinnen und Schüler erwerben Kenntnisse zu den Eigenschaften der Exponential- und Logarithmusfunktionen und wenden diese gemeinsam mit den bisherigen Kenntnissen aus der Infinitesimalrechnung bei der Lösung von Anwendungsaufgaben (z. B. Kurvendiskussion, Extremwertaufgaben, Flächenberechnungen) an. Inhaltliche Schwerpunkte Definition der Funktion f mit der Gleichung f(x) = ex, Ausgangspunkt können konkrete Sachverhalte aus dem nichtmathematischen Bereich sein (vgl. z. B. Arbeitsblatt zur Zinseszinsberechnung), die Eulersche Zahl e, Ableitung der Exponentialfunktion mit der Basis e und beliebiger Exponentialfunktionen mithilfe der Beziehung y = ax = exlna, Natürliche Logarithmusfunktion f mit der Gleichung f(x) = ln x , als Umkehrfunktion Exponenti- alfunktion mit der Zahl e als Basis, Rechnen mit Logarithmen, Logarithmengesetze, Ableitung der natürlichen Logarithmusfunktion, Anwendungsaufgaben aus verschiedenen Bereichen (z. B. Wachstums- und Zerfallsprozesse) Std. 1. 2. 3. 4./5. 6. Thema Exponentialfunktionen Inhaltsübersicht Definition und Eigenschaften der Exponentialfunktion, Beispiele für exponentielle Zusammenhänge in verschiedenen Bereichen Natürliche Exponential- Definition und Eigenschaften der funktion natürlichen Exponentialfunktion, die Zahl e, Natürliche LogarithDefinition und Eigenschaften, Hinmusfunktion weis auf allgemeine Logarithmusfunktionen, Natürliche Exponentialund Logarithmusfunktion als Umkehrfunktionen Logarithmengesetze Definition Gültigkeit an Beispielen und allgemeinen Überlegungen zeigen, Übungsaufgaben, Lösen von Exponential- und Logarithmusgleichungen Differentiation und Differentiation der natürlichen Expo- -1- Einsatz TI-92 Darstellungen im Grafikfenster, experimentelles Arbeiten Darstellungen im Grafikfenster, experimentelles Arbeiten Darstellungen im Grafikfenster, experimentelles Arbeiten Einsatz des CAS Einsatz des CAS Modellversuch MTC Gymnasium Sandersdorf funktion Std. 7. Thema Integration der Exponentialfunktion Differentiation der Logarithmusfunktion 8.-12. Anwendungen 13. 11 Exponential- und Logarithmus- Inhaltsübersicht Einsatz TI-92 nentialfunktion, Übungen mit und ohne MTC, Hinweis auf Differentiation der allgemeinen Exponentialfunktion Differentiation der natürlichen Loga- Einsatz des CAS rithmusfunktion, Übungen im Differenzieren mit und ohne MTC, Hinweis auf Differentiation der allgemeinen Logarithmusfunktion und Integration der natürlichen Logarithmusfunktion Kurvendiskussionen, Extremwertauf- experimentelles Arbeiten, Einsatz gaben, Anwendungsaufgaben aus CAS und Grafikmodus verschiedenen außermathematischen Bereichen Test Lehrbücher für Aufgaben: [1] SCHMID, AUGUST; SCHWEIZER, WILHELM (Hrsg.): LS Mathematik Analysis Grundkurs Gesamtausgabe. 1. Auflage. Stuttgart: Ernst Klett Schulbuchverlag GmbH, 1992 [2] BOCK, HANS; WALSCH, WERNER (Hrsg.): Mathematik entdecken-verstehen-anwenden Analysis. 1. Auflage. München: R. Oldenbourg Verlag GmbH, 1993 [3] WEBER, KARLHEINZ; ZILLMER, WOLFGANG (Hrsg.): Mathematik Aufgabenbuch Analysis Analytische Geometrie Stochastik Sekundarstufe II. 1. Auflage. Berlin: paetec Gesellschaft für Bildung und Technik mbH, 1995 Aufgaben zum Abschnitt 11 Exponential- und Logarithmusfunktion 1. Aufgaben aus [1]: a) S. 208 Nr. 3-12 (Allgemeine Exponentialfunktionen) b) S. 213 Nr. 3-13 (Natürliche Exponentialfunktion) c) S. 216 Nr. 3-12 (Natürliche Logarithmusfunktion) d) S. 221 Nr. 2-9 (Untersuchung von Exponentialfunktionen) e) S. 223 Nr.11-15 (Untersuchung von Logarithmusfunktionen) f) S. 228 Nr.15-27 (Anwendungsaufgaben) 2. Aufgaben aus [2]: a) S. 191 Nr.12-14 (Natürliche Exponentialfunktion) b) S. 191 Nr.15-17 (Natürliche Logarithmusfunktion) c) S. 192 Nr.18-21 (Kurvendiskussion) 3. Aufgaben aus [3]: a) S. 47 Nr. DA 60-DA 67 (Ableitung von Exponential- und Logarithmusfunktionen) b) S. 54 Nr. DA 116 (Kurvendiskussionen) 4. Lösen Sie folgende Gleichungen! a) e2x-4ex+3=0 -2- Modellversuch MTC Gymnasium Sandersdorf funktion b) 23x+224x-1 = 4x+1 c) 3x x2- 3x+1=0 d) log4(log3(log2x))=0 e) log16x+log4x+log2x=7 f) (4+lnx)*lnx=5 11 Exponential- und Logarithmus- 5. Durch die Funktion p=p0*e-kh lässt sich die Abnahme des atmosphärischen Luftdruckes p mit zunehmender Höhe h (in m) über dem Meeresspiegel beschreiben. Dabei bedeutet p0 Luftdruck über dem Meeresspiegel (p0 1010hPa) und k eine für den Luftdruckabfall charakteristische Konstante (k 1,25*10-4). Berechnen Sie den Luftdruck auf dem höchsten Berg der Erde. In welcher Höhe ist der atmosphärische Luftdruck auf die Hälfte des Wertes auf Meeresspiegelhöhe gefallen? Wie hoch fliegt ein Flugzeug, in dem ein Außendruck von etwa 800 hPa gemessen wird? 6. Lässt man in ständig konstantem Zustrom Wasser in einen Eimer laufen, der im Boden ein Loch hat, so kann man die Wassermenge im Eimer Wk als Funktion der Zeit t (in Stunden) folgender maßen beschreiben: Wk(t) = k e k e t mit k>0 und t>0. Bestimmen Sie den Wert für k, wenn die Anfangsmenge etwa 6 Liter betragen soll. Stellen Sie den Verlauf des Graphen von Wk dar und interpretieren Sie den Verlauf in Bezug auf das An steigen des Wasserspiegels im Wassereimer. 7. Untersuchen Sie die Funktionsschar fk mit der Gleichung fk(x) = ex + kx² ( x R ) k 0, k 0 und k 0 . Skizzieren Sie die Graphen charakteristischer Repräsentanten. Bestimmen Sie k, so dass gilt 1 f k (x )dx für 0. 0 8. Die Abkühlung einer Tasse Kaffee verläuft nach dem Gesetz (t ) 0 e c t (Zeit t gemessen in Minuten, Temperatur gemessen in °C). Zur Zeit t = 2 ist = 64; für t = 5 ist = 48,5. Bestimmen Sie die werte für 0 und c. 9. Ein radioaktives Präparat aus Strontium 90 zerfällt ungefähr nach dem Gesetz N(t) = N0e-0,025t (t in Jahren, N(t) und N0 =N(0) in mg). a) Stellen Sie die Zerfallsfunktion im Intervall [0;100] grafisch dar. b) Wieviel Prozent der Ausgangssubstanz N0 sind nach 100 [10;50;1000] Jahren noch vorhanden? c) Bestimmen Sie die Halbwertszeit tH von Strontium 90. d) Wie groß ist die Zerfallsgeschwindigkeit N‘(t) zum Zeit Zeitpunkt t = 1 [10;100;t H]? 10. Im Jahre 1987 hatten die USA 242 Millionen Einwohner. Mexiko hatte in diesem Jahr 81 Millionen Einwohner. Das jährliche Bevölkerungswachstum betrug für die USA in den letzten Jahren durchschnittlich 1%, für Mexiko durchschnittlich 2,6%. Es sei als konstant angenommen. a) Bestimmen Sie jeweils die Bevölkerungszahl in Abhängigkeit von der zeit. Stellen Sie die Wachstumsfunktionen grafisch dar. b) Berechnen Sie die Zeiträume bis sich die jeweiligen Bevölkerungszahlen verdoppelt haben. -3- Modellversuch MTC Gymnasium Sandersdorf funktion 11 Exponential- und Logarithmus- c) Wann wird die Bevölkerungszahl der USA nur noch doppelt so groß wie die von Mexiko? 11. Beim Einschalten eines Radios nimmt die Stromstärke nach dem Gesetz I(t) = 0,6(1-0,5t) zu. Dabei ist t die Zeit in ms und I = I(t) die Stromstärke in A (Ampere). a) Stellen den Graphen von I(t) für t > 0 in einem Koordinatensystem dar. b) Durch welche geometrischen Abbildungen (Spiegelung, Verschiebung, Streckung) geht dieser Graph aus dem Graphen von t 0,5t hervor? c) Welcher geraden nähert sich der Graph mit wachsendem t? Was bedeutet das für den Einschaltvorgang? d) Bilden Sie die erste Ableitung der Funktion I(t) und interpretieren Sie sie für den Einschaltvorgang. 12. Gegeben ist die Funktionenschar fk mit fk(x) = (x² + 4x +k)e-x, k R. Begründen Sie, dass eine Funktion fk, deren Graph eine Nullstelle hat, auch stets eine Extremstelle hat. 13. Gegeben sei die Funktion f mit f(x) = ex. a) Welche der Tangenten an den Graphen von f verläuft durch den Koordinatenursprung? b) Was ergibt sich entsprechend für die Funktionenscharen fk(x) = ex-k bzw. fk(x) = e-kx? 14. Gegeben sei die Funktion f mit f(x ) = ln x, x>0. a) Welche der Tangenten an den Graphen von f verläuft durch den Koordinatenursprung? b) Was ergibt sich entsprechend für f(x) = ln(x+1)? -4- Modellversuch MTC Gymnasium Sandersdorf funktion 11 Exponential- und Logarithmus- Arbeitsblatt zur Einführung der Exponentialfunktion 1. Zinsentwicklung Ein Kapital von 4000 DM mit einem jährlichen Zinssatz von 3% über 5 Jahre angelegt. Entwickeln Sie eine Formel zur Berechnung des Endkapitals nach 5 Jahren. Untersuchen Sie den Verlauf der Kapitalentwicklung bei kontinuierlicher Änderung der Zeitintervalle. 2. Wachstum einer Population a) In einem Teich kann in den ersten Jahren nach dem Aussetzen von 80 Karpfen (P0) von einer konstanten Wachstumsrate der Fischpopulation pro Jahr von r = 2,2 ausgegangen werden. (Pro Zeitintervall wächst die Anzahl der Karpfen um den Faktor 2,2.) Wie groß ist die Anzahl der Karpfen nach 3, 5, 8 Jahren (P3, P5, P8) im Teich? b) Das Wachstum einer Fischpopulation in einem Teich für einen längeren Zeitraum kann nach der Formel pn+1=pn+r pn(1-pn) (begrenztes Wachstumsmodell von Verhulst) berechnet werden. Hierbei ist r die Wachstumsrate, pn ist die relative Populationsgröße pn=Pn/N. Untersuchen Sie den Verlauf der Population, wenn die maximale Zahl der im Teich lebenden Fische N=1400 und die Wachstumsrate r=2,2 gegeben sind. 3. Eulersche Zahl e a) Für welche Basis a ist die Gleichung a0,0001=1,0001 bzw. b0,000 0001=1,000 0001 erfüllt? Lösen Sie die Gleichung, indem Sie nur die einfachen Taschenrechnerfunktionen Ihres TI-92 verwenden. b) Berechnen Sie die Abweichungen der Lösungen für a und b aus Aufgabe a) von der Eulerschen Zahl e (Verwenden Sie für die Eulersche Zahl den in Ihrem MTC eingespeicherten Wert). c) Stellen Sie eine Vermutung für eine Gleichung auf, deren Struktur der Gleichung in Auftrag a) entspricht und deren Basis gleich der Eulerschen Zahl e ist. d) Untersuchen Sie den Grenzwert der Folge n a n lim (1 1n )10 . n 10 Führen Sie zunächst eine Untersuchung des Terms -5- für 3 < n <13 durch. Modellversuch MTC Gymnasium Sandersdorf funktion 11 Exponential- und Logarithmus- Seltsame Sparkassen Eine Geschichte Wir stellen uns vor, daß es in einem Land der Phantasie unendlich viele, mit N = 1, 2, 3, 4, ... durchnumerierte Sparkassen gibt. Diese sollen unterschiedliche, in jedem Falle aber sehr günstige Bedingungen bieten: - Sparkasse 1 verzinst jährlich mit 100 % - Sparkasse 2 verzinst halbjährlich mit 50 % - Sparkasse 3 verzinst dritteljährlich mit 33 1/3 % usw. 100 %. n Jemand will am Jahresanfang ein Konto eröffnen und eine Phantasiemark (PM) einzahlen. Wie hoch wird der Kontostand am Jahresende sein? Allgemein soll gelten: Sparkasse n verzinst n-mal im Jahr mit jeweils Ein Problem Es handelt sich um ein sogenanntes Zinseszinsproblem. Um es zu lösen, arbeitet man mit Bruchteilen anstatt mit Prozentangaben. Es ergeben sich die folgenden Kontostände zum Ende des ersten Jahres: Sparkasse 1 2 Berechnung des Guthabens am Ende des Jahres 1 + 1 = 2 PM 2 1 1 3 1 1 = 2,25 PM 2 2 2 3 4 ....... n Kommt der Sparer aus irgend einem Grund nicht zum Auszahlungstermin zur Bank, so kann er sein Geld erst nach einer weiteren Verzinsung bekommen. Sein Guthaben beträgt dann bn = 1. Vervollständigen Sie folgende Tabelle. n an bn 1 2 3 4 5 10 -6- Modellversuch MTC Gymnasium Sandersdorf funktion 11 Exponential- und Logarithmus- 100 1000 10000 2. Finden, untersuchen und begründen Sie Eigenschaften der Zahlenfolgen (an) und (bn)! -7-
