Einführung III

Philosophische Probleme der QT
Johannes Röhl
05.05.04
Einführung III
Teilchen und Wellen
Wie in der letzten Stunde gesehen zeigen einerseits Lichtwellen teilchenartiges Verhalten
(diskrete Energieportionen in Plancks Strahlungsformel, beim Photo-Effekt und bei der
Compton (=Photon-Elektron)-Streuung), andererseits kann man Interferenzeffekte, also ein
typisches Wellenphänomen, bei Materiepartikeln, z.B. Elektronen beobachten.
Ob ein System die Eigenschaften klassischer Wellen oder klassischer Teilchen aufweist,
scheint mithin von den experimentellen Situationen abzuhängen, mit denen man ein System
untersucht; daher spricht man oft auch vom „Dualismus“ von Welle und Teilchen bei
Quantenobjekten, bzw. vom „Wellen-“ oder „Teilchenbild.“
De-Broglie-Beziehungen
Bereits bekannt ist uns für Lichtquanten die Beziehung E =hν; aus der speziellen
Relativitätstheorie kennen wir E2= p2c2, (bzw. aus der Beziehung für die Geschwindigkeit
einer Welle: c = λν), d.h. für den Photonenimpuls
p = E/c = hν/c =h/λ (wegen c = λν)
oder nach der Wellenlänge aufgelöst
λ = h/p
Analog können wir nun materiellen Teilchen eine Wellenlänge zuordnen:
λ = h/p = h/mv = h/√2mE
(für freie Teilchen mit kinetischer Energie Ekin= ½mv2 = p2/2m)
Anschaulich kann man sich im Bohrschen Atommodell Materiewellen als „stehende Wellen“
vorstellen, d.h. man muß immer ganze Zahlen von Wellenlängen auf der „Umlaufbahn“
unterbringen (vgl. Tafelbild):
2πr=
nλ
So kann man die Atomzustände als „stationäre Zustände“ eines Wellenfeldes verstehen;
man erhält dann mit p= h/λ daraus das Bohrsche Postulat der Drehimpulsquantelung:
L = p r = m v r = n h/2π
Bsp. für De-Broglie-Wellenlängen:
Auto in Tempo-30-Zone: m= 1000kg, v = 10m/s, h = 6,6 ∙10-34 Js [kgm2/s]
→ λ(Auto) = 6,6 ∙10-39m
daher klar, daß man keine Interferenzeffekte bei makroskopischen Systemen beobachten kann
Elektron im Grundzustand des H-Atoms: E ~ 10 eV, me= 5,11 105 eV/c2
ca. (h = 4,14 ∙10-15 eV) /sqrt(10) 103 eV/c; c = 3∙108 m/s
λ(Elektron)
ca. 4 10-10 m
Das entspricht atomaren Dimensionen, daher prinzipiell
Interferenz von Elektronenstrahlen an einen Kristallgitter herstellbar
zum Vergleich: λ (sichtbares Licht) ca. 4 - 8 10-7 m
Diese heuristischen Überlegungen sollen gemeinsam mit den Ergebnissen von z.B.
Doppelspaltversuchen mit Elektronen hinreichend plausibel machen, dass eine mathematische
Beschreibung von Teilchen als Wellen sinnvoll und möglich ist, ohne auf technische Details
einzugehen.
Man beschreibt ein Elektron also durch eine Wellenfunktion  , die die sogenannte
Schrödingergleichung erfüllt:
i

 H
t
mit H = Hamiltonoperator, anschaulich so etwas wie die Energie des Teilchens
z.B. für freies Teilchen in einer Raumdimension (E:
i
 ( x, t )   2 d 2

 ( x, t )
t
2m dx 2
Mit diesem Ansatz ist eine erfolgreiche Beschreibung einer großen Klasse von Problemen
möglich
(freies
Teilchen,
Teilchen
im
Kasten,
Oszillator,
H-Atom,
allgemein
Einteilchenprobleme)
Es bleiben nun allerdings Fragen offen:

Wellenfunktion i.A. komplex, physikalische Meßwerte aber reell

Wie wird „Teilchenaspekt“ dargestellt?

Mehrteilchensysteme?

Was genau ist die Bedeutung der Wellenfunktion (WF)?
„Wahrscheinlichkeitswellen“
Einen ersten naheliegenden Ausweg aus dem Problem des Dualismus von Welle und Teilchen
bietet das Konzept der „Wahrscheinlichkeitswellen“:
die Wellenfunktion ψ(x,t) gibt eine Wahrscheinlichkeitsamplitude für den Aufenthaltsort des
Teilchens an; das Betragsquadrat  ( x, t ) der Wellenfunktion gibt die Wahrscheinlichkeits2
verteilung über den Raum an, d.h. bei einer Ortsmessung ist ein Teilchen mit der
Wahrscheinlichkeit  (x 0 ) am Ort x0 zu finden.
2
(daher auch Normierung   (x) dV ; das Teilchen muß irgendwo im Raum sein)
2
V
Wahrscheinlichkeitsamplitude bedeutet hier, dass etwa beim Doppelspaltexperiment die
Amplituden wie bei Wellen addiert/superponiert werden müssen, um die korrekte
Wahrscheinlichkeitsverteilung am Schirm zu erhalten:
 Schirm   ( Spalt 1)   ( Spalt 2)   ( S 1)   ( S 2)   * ( S1) ( S 2)   ( S1) * ( S 2)
2
2
  ( S 1)   ( S 2)
2
2
2
2
Wichtig: Die Amplituden, nicht die Wahrscheinlichkeiten werden addiert!
Die Interpretation der Wellenfunktion (bzw. allgemein der mathematischen Darstellung eines
quantenmechanischen
Systemzustandes)
im
dem
Sinne,
daß
sie
eine
Wahrscheinlichkeitsverteilung für bestimmte Meßergebnisse angibt ist so etwas wie ein
Minimalkonsens, der den meisten Deutungen der Theorie gemeinsam ist bzw. eine
Minimalinterpretation, mit der auch alternative Deutungen verträglich sein müssen.
Umstritten ist jedoch z.B., ob eine objektive Wahrscheinlichkeitsdeutung möglich ist, oder ob
die WF nur unsere subjektive Kenntnis des Systems angibt.
Der entscheidende Streitpunkt dürfte aber der sogenannte „Kollaps der Wellenfunktion“ (oder
das „Projektionspostulat“) bei der Messung sein. Bevor wir dieses Problem in Angriff nehmen
können, soll allerdings noch die formal-mathematische Beschreibung der Zustände von
Quantensystemen skizziert werden.
Systemzustände in der klassischen Physik
Ein System der klassischen Mechanik wird durch eine Hamilton-Funktion H(pi,qi,t) (qi und pi
sind 3n Komponenten der Orts- und Impulskoordinaten eines Systems mit n Teilchen (bzw.
3n Freiheitsgraden) beschrieben. Anschaulich interpretiert ist die Hamiltonfunktion die
Gesamtenergie des Systems. Zu jedem Zeitpunkt t lässt sich der Zustand des System durch
einen Punkt (q(t), p(t)) in einem abstrakten Raum, dem sogenannten Phasenraum darstellen;
das System ist in den Werten dieser Eigenschaften (Ort, Impuls) also zu jeder Zeit vollständig
determiniert. Die Zeitentwicklung eines System wird durch die Hamiltonschen Gleichungen
für die pi und qi,
dq/dt = ∂H/∂p ; dp/dt = -∂H/∂q,
bestimmt, damit kann ihm eine eindeutige Bahn im Phasenraum zugeordnet werden.
Vektoren und Zustandsbeschreibung in der Quantenmechanik
Basisdarstellung:
Im Falle eines zwei- oder dreidimensionalen anschaulichen Vektorraumes können Vektoren
als „Entwicklung“ in Komponenten und Basis ausgedrückt werden:
a = ai ei. Der Vektor selbst ist basisunabhängig, man kann immer auf eine andere Basis
transformieren. Mit einem einfachen zweidimensionalen Bsp.:
Nehmen wir zunächst als Basis I (rot) die Einheitsvektoren in die x- und y-Richtung,
dann eine um 45° gegen die Uhr gedrehte Basis II (blau) so hat ein Vektor der Länge 1
in Richtung der negativen y-Achse in der ersten Basis die Komponenten (0;-1), in der
Basis II die Komponenten 1/2(-1 ; -1)
(vgl. auch die im Seminar aufgelegten Zeichnungen)
Transformationen (anschaulich z.B. Drehungen) kann man durch Operatoren beschreiben, die
entweder den Übergang von einer Basis auf eine andere liefern. Man steckt also die
Komponenten bezüglich der alten Basis hinein und bekommt die Komponentendarstellung in
der neuen Basis. Oder sie beschreiben die Drehung (Transformation) eines Vektors im Raum
auf einen anderen Vektor des Raumes.
I.A. gibt es beliebig (unendlich) viele gleichwertige Basen in einem V-Raum.
Eigenvektoren
Eine bestimmte Drehung/Transformation kann bestimmte Vektoren auf sich selbst abbilden,
d.h. sie werden durch die Drehung nur in ihrer Länge (Betrag), nicht in der Richtung,
geändert:
Ôx = λx
Diese Vektoren nennt man Eigenvektoren des Operators, die Zahlen, um die sich ihr Betrag
durch die Transformation ändert, Eigenwerte.
Inneres Produkt
In den Vektorräumen, die uns interessieren, gibt es eine sogenanntes inneres Produkt (auch
Skalarprodukt oder Punktprodukt) von je zwei Vektoren. Man kann also zwei Vektoren
miteinander multiplizieren und erhält eine Zahl (in der QM i.d.R. eine komplexe Zahl).
Anschaulich bedeutet das innere Produkt die Projektion eines Vektors auf den anderen.
Daraus ist einsichtig, dass das innere Produkt von zwei aufeinander senkrecht stehenden
Vektoren gleich Null ist. Als Basis nimmt man daher i.d.R. einen Satz von wechselseitig
orthogonalen (und auf die Länge eins normierten) Vektoren (Orthonormalsystem).
Die Entwicklungskoeffizienten eines Vektors in einer Basis erhält man durch die jeweiligen
inneren Produkte des Vektors mit den Basisvektoren:


 
v   vi ei und vi  v  ei
i
Systemzustände in der Quantenphysik
Ein quantenmechanisches System wird durch Zustände und sogenannte Observable
beschrieben.
In der mathematischen Formulierung entsprechen den Zuständen des Systems Vektoren eines
abstrakten i. A. vieldimensionalen Raums, eines sog. Hilbertraums.
Auch Funktionen können in dieser Formulierung als Vektoren (mit unendlichen vielen
Einträgen) beschrieben werden, vgl. Fourierreihen bei Schwingungen.
Die physikalisch interessanten Systemgrößen werden durch (unitäre) Operatoren auf diesem
Hilbertraum dargestellt. Operatoren mit bestimmten mathematischen Eigenschaften
bezeichnet man als Observable, sie stehen für (determinable) Eigenschaften des Systems, z.B.
Impuls p, Energie E (H), Spinkomponente. („determinable“ betdetut hier, dass die Eigenschaft
noch näher bestimmt werden kann, man fasst gewissermaßen ein Klasse von Eigenschaften
zusammen: eine determinierte Eigenschaft wäre ein bestimmter Ort x0, „Ort“ allgemein ist
eine Determinable, da sie alle möglichen Werte für den Ort zusammenfaßt.
Mögliche Messwerte der Systemeigenschaften sind durch Erwartungswerte der die
Observablen repräsentierenden Operatoren gegeben:
O   O
Eine besonders einfache Zuordnung von Wert, Operator und Systemzustand ist gegeben,
wenn sich das System in einem sogenannten Eigenzustand (Eigenvektor) befindet:
Eigenzustände eines Operators sind anschaulich gesprochen Zustände, die durch die Wirkung
des Operators nur mit einer Zahl multipliziert auf sich selbst abgebildet werden (also nicht
„verdreht“, sondern nur „verlängert“). Diesen Zahlenfaktor nennt man Eigenwert des
Operators. Unter bestimmten Bedingungen bilden die Eigenzustände eines Operators eine
vollständige Basis, man kann dann alle Zustände in dieser Basis ausdrücken.
Man nennt das Ausdrücken von Zuständen oder Operatoren in einer bestimmten Basis X oft
die X-Darstellung.
Der allgemeine Zustand eines Quantensystems ist also als Entwicklung in die Zustände einer
bestimmten Basis gegeben; die Entwicklungskoeffizienten sind die jeweiligen inneren
Produkte des Zustandes ψ mit den einzelnen Basiszuständen.
Ein spezieller Fall liegt vor wenn sich das System schon in einem Eigenzustand einer
bestimmten Basis befindet, also alle Koeffizienten außer einem Null sind.
Der Regelfall ist jedoch eine „Superposition“, d.h. eine Überlagerung aus den Basiszuständen
mit entsprechenden Amplituden.
Die oben beschriebene Wellenfunktion ψ(x) ist somit die Ortsdarstellung eines abstrakten
Systemzustandes ψ:    x x  dx ; die Werte der WF sind die (kontinuierlichen)
Entwicklungskoeffizienten des abstrakten Zustandes  in der kontinuierlichen Basis x
Messung
Formal wird nun ein „Meßvorgang“ so ausgedrückt, dass man das System in einem
allgemeinen Superpositionszustand auf eine Eigenzustand der Observablen, die man messen
möchte „projiziert“, d.h. man bestimmt die Entwicklungskoeffizienten nach dieser Basis; das
Betragsquadrat dieser Koeffizienten gibt die Wahrscheinlichkeit, das System in dem
spezifischen Zustand zu messen.
Zeitentwicklung
Die zeitliche Entwicklung entspricht der Anwendung eines unitären Operators U(t) auf den
Anfangszustand. Entscheidend ist, dass sich das System in seiner zeitlichen Entwicklung
wieder als Entwicklung nach einer Basis von Eigenzuständen darstellen läßt:
  iE n 
 mit
  
 ( x, t )   ann ( x) exp 
n
Entwicklungskoeffizienten an  n  (t  0) ;
die
Wahrscheinlichkeit nach einer Zeit t das System im Zustand n zu messen, ist durch die
Betragsquadrate des Entwicklungskoeffizienten an gegeben.
Aus einen scharfen Zustand bei der „Präparierung des Systems“ entwickelt sich das System
zeitlich in einen Superpositionszustand, beobachtet bzw. gemessen wird dann aber ein
bestimmter Zustand bzw. Meßwert, keine Überlagerung.
„Das System springt bei der Messung in einen Eigenzustand“
Damit zwei Arten von Zustandsentwicklung:
(1) Schrödingerdynamik („Vorgang 2“)
 linear
 deterministisch, aus  (0) ist  (t ) durch die Zeitentwicklung nach der
Schrödingergleichung eindeutig gegeben
 kein fester Wert, Superposition von Zuständen
 reversibel
 gilt für isolierte Systeme
(2) Von-Neumann-Dynamik („Vorgang 1“)
 nichtlinear
 indeterministisch, das System „springt“ aus der Superposition in einen der
möglichen Zustände, aber man kann nur eine Wahrscheinlichkeit dafür
angeben, in welchen. Diese Wahrscheinlichkeit ist im einfachsten Fall das
Betragsquadrat des Entwicklungskoeffizienten.
„Projektionspostulat“, „Kollaps der Wellenfunktion“
 damit eindeutiger Meßwert
 irreversible Zustandsänderung
 beschreibt Systemverhalten im Kontakt mit Meßapparatur, also
nichtisoliertes System
Übersicht: Vektoren und quantenmechanische Systemzustände
„Gewöhnliche“ Vektoren
 Vektor in Komponenten und
Basisvektoren ausgedrückt:


a   ai  ei
i
Zustandsvektoren in der
Quantentheorie
 Allg. Systemzustand nach
Basiszuständen entwickelt:
   cn n
n
 Der Vektor selbst ist
basisunabhängig, man kann
immer auf eine andere Basis
transformieren.
 Abstrakter Zustand und
physikalisch wichtige
Eigenschaften sollen
basisunabhängig sein.
 Entwicklungskoeffizienten
eines Vektors in einer Basis:
innere Produkte des Vektors
mit den Basisvektoren:
 Entwicklungskoeffizienten,
gegeben durch Projektionen
auf Basiszustände.

ai  a  ei
Anschaulich sind das die
Projektionen des Vektors auf
die Basisvektoren.
ci  i 
 Wahrscheinlichkeit, das
System  bei einer
Messung im Zustand  j zu
finden, gegeben durch
2
P(i )  c j   j 
2
 Mögliche Meßwerte
physikalischer Größen
(Observabler) sind
Eigenwerte der Operatoren,
die die physikal. Größen
repräsentieren.