Organisatorisches Vorlesungszeitraum: 5.10.2009

Grundlagen der Mathematik für Informatiker
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Grundlagen der Mathematik für Informatiker
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Zulassungsvoraussetzungen zur Prüfung (Klausur):
Anmeldungen
• 60 % der Punkte aus den Übungsaufgaben
• Anmeldung zu den Lehrveranstaltungen im studip
• 60 % Autotool-Aufgaben
http://studip.uni-halle.de
• 5 Kurzvorträge
• Modul-Anmeldung über CSS
Hinweise zu den Übungsaufgaben:
http://www.informatik.uni-halle.de/studenteninfos/pruefungsamt/pruefungsanmeldung/
• Abgabe jeweils vor Beginn der Vorlesung
• Anmeldung zum Autotool
• Zusammenarbeit in Gruppen bis max. 3 Studentinnen bzw.
https://autotool.imn.htwk-leipzig.de/cgi-bin/Super.cgi
Studenten
Informationen
http://www.informatik.uni-halle.de/∼winter/THEOaktuell.html
http://studip.uni-halle.de
• Abgabe der Lösungen gedruckt oder handschriftlich (nicht mit
Bleistift und nicht mit Rotstift)
• mehrere Blätter bitte zusammenklammern (tackern)
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Organisatorisches
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Grundlagen der Mathematik für Informatiker
Literatur
• Haggarty: Diskrete Mathematik für Informatiker, Pearson Studies,
Vorlesungszeitraum: 5.10.2009 - 5.2.2010
2004
• Steger: Diskrete Strukturen (Bd.1: Kombinatorik, Graphentheorie,
Prüfung (Klausur): März 2010
Algebra), Springer, Berlin 2001
• Struckmann, Wätjen: Mathematik für Informatiker, Spektrum, 2006
Inhalt
• Hachenberger: Mathematik für Informatiker, Pearson, 2008
• Aussagenlogik
• Schöning: Logik für Informatiker, Spektrum, 1995
• Mengen, Relationen, Funktionen
• Heinemann, Weihrauch: Logik für Informatiker, Teubner,
• Algebraische Strukturen
Stuttgart 1992
• Kastens, Kleine Büning: Modellierung, Hanser, 2008
• Graphen
• Prädikatenlogik
• Nehrlich: Diskrete Mathematik, Fachbuchverlag
• Siefkes: Formalisieren und Beweisen: Logik für Informatiker,
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Grundlagen der Mathematik für Informatiker
1.2 Junktoren
1-stellige Junktoren:
Junktor (mit zugeordneter Stelligkeit):
Symbol zur Verknüpfung von Aussagen
Negation ¬
8
¬(3 < 8)
• W (3 < 8) = 1
Bedeutung (Semantik) eines n-stelligen Junktors ∗ :
• W (¬(3 < 8)) = 0
[∗] : {0, 1}n → {0, 1}
(n-stellige Funktion auf der Menge {0, 1})
¬ p ist genau dann wahr, wenn p falsch ist.
0-stellige Junktoren: Wahrheitswertkonstanten
t mit [t] = 1
W ( p)
W (¬ p)
0
1
1
0
W (¬ p) = 1 − W ( p)
f mit [f] = 0
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Aussagenlogik
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Wahrheitswerte 1 (wahr) oder 0 (falsch)
1.1 Aussagen
Aussage = Behauptung
Beispiele:
Jeder Aussage p kann ein Wahrheitswert W ( p) ∈ {0, 1} zugeordnet
werden.
• Es regnet.
• Die Straße ist naß.
• 15 ist eine Primzahl.
• 3<8
Beispiele:
• W (Es regnet.) =? (je nach Lage der Dinge)
• x < 15 (hängt von x ab, keine Aussage)
• W (Die Straße ist naß.) =?
• Ist x < 15? (keine Aussage)
• W (15 ist eine Primzahl.) = 0
• Es sei x < 15. (keine Aussage)
• W (3 < 8) = 1
• Morgen wird es regnen.
• W (Morgen wird es regnen.) =?
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Disjunktion ∨ (inklusiv)
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W ( p)
W (q)
W ( p ∨ q)
0
0
0
0
1
1
1
0
1
1
1
1
Es regnet oder 3 < 8.
• W (3 < 8)= 1
• W (Es regnet.)=?
[∨] = max ist kommutativ und assoziativ:
• W (Es regnet oder 3 < 8.)= 1
p ∨ q ist genau dann wahr, wenn wenigstens eine der Aussagen p und
q wahr ist.
W ( p ∨ q) = W (q ∨ p)
W (( p ∨ q) ∨ r ) = W ( p ∨ (q ∨ r ))
W ( p ∨ q) = max(W ( p), W (q))
n
_
p i = p1 ∨ p2 ∨ · · · ∨ p n
i =1
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2-stellige Junktoren:
W ( p)
W (q)
W ( p ∧ q)
0
0
0
0
1
0
1
0
0
1
1
1
Konjunktion ∧
Es regnet und 15 ist eine Primzahl.
• W (15 ist eine Primzahl.) = 0
• W (Es regnet.) =?
• W (Es regnet und 15 ist eine Primzahl.) = 0
[∧] = min ist kommutativ und assoziativ:
W ( p ∧ q) = W (q ∧ p)
W (( p ∧ q) ∧ r ) = W ( p ∧ (q ∧ r ))
p ∧ q ist genau dann wahr, wenn beide Aussagen p und q wahr sind.
W ( p ∧ q) = min(W ( p), W (q))
n
^
i =1
p i = p1 ∧ p2 ∧ · · · ∧ p n
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Grundlagen der Mathematik für Informatiker
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Äquivalenz ↔
3 < 8 gilt genau dann, wenn 0 < 8 − 3 gilt.
• W (3 < 8) = 1
• W (0 < 8 − 3) = 1
• W (3 < 8 gilt genau dann, wenn 0 < 8 − 3 gilt.) = 1

 1 falls W ( p) = W (q)
W ( p ↔ q) =
 0 sonst
p ↔ q ist genau dann wahr, wenn entweder beide Aussagen p und q
gelten oder beide nicht gelten.
W ( p)
W (q)
W ( p ↔ q)
0
0
1
0
1
0
1
0
0
1
1
1
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Grundlagen der Mathematik für Informatiker
Implikation →
Wenn es regnet, dann ist die Straße naß.
• W (Es regnet.) =?
• W (Die Straße ist naß.) =?
• W (Wenn es regnet, dann ist die Straße naß.) = 1
p → q ist genau dann wahr, wenn die Aussage p falsch oder die
Aussage q wahr ist.
W ( p)
W (q)
W ( p → q)
0
0
1
0
1
1
1
0
0
1
1
1

 1 falls W ( p) ≤ W (q)
W ( p → q) =
 0 sonst
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Grundlagen der Mathematik für Informatiker
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Teilformeln
Grundlagen der Mathematik für Informatiker
Aussagenlogische Interpretationen
(Belegungen der Aussagenvariablen mit Wahrheitswerten)
Definition 1.2 (rekursiv) Eine Formel ψ heißt Teilformel der Formel
ϕ, falls
Interpretation (für ϕ ∈ AL( P)) Zuordnung W : P → {0, 1}.
• ψ = ϕ oder
Menge aller Interpretationen für Formeln ϕ ∈ AL( P)
• ϕ = ¬ ϕ1 und ψ eine Teilformel von ϕ1 ist oder
W ( P) = {W : P → {0, 1}} = 2P
• ϕ = ϕ1 ∗ ϕ2 mit ∗ ∈ {∧, ∨, →, ↔} und ψ eine Teilformel von ϕ1
oder ϕ2 ist.
Wahrheitswerte für Formeln
Erweiterung der Interpretation W : P → {0, 1} zu einer Funktion
Beispiele:
W : AL( P) → {0, 1}
• ϕ = ¬ p ∧ (t ∨ p)
Teilformeln: ¬ p ∧ (t ∨ p), ¬ p, p, t ∨ p, t
Der Wert W ( ϕ) der Formel ϕ in der Interpretation W wird induktiv mit
den Wahrheitswertfunktionen der Junktoren aus den Werten der
Teilformeln von ϕ bestimmt:
• ϕ = p Atom
hat genau eine Teilformel: p
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Grundlagen der Mathematik für Informatiker
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1.3 Formeln (Syntax)
Beispiele
Junktoren , z.B. ∧, ∨, ¬, →, ↔, t, f
Aussagenvariablen (Atome), z.B. p, q, r, s, . . .
Definition 1.1 (induktiv) Die Menge AL( P) aller
(aussagenlogischen) Formeln mit Aussagenvariablen aus der Menge
P ist definiert durch:
1. Alle Aussagenvariablen p ∈ P sind Formeln. ( P ⊆ AL( P))
t ∧ (¬t)
¬¬¬ p
∧( p ∨ q)
Formel ohne Aussagenvariablen
Formel mit Aussagenvariable p
syntaktisch unkorrekt
2. t und f sind Formeln.
3. Sind ∗ ein einstelliger Junktor und ϕ eine Formel,
dann ist auch ∗ ϕ eine Formel.
4. Sind ∗ ein zweistelliger Junktor und ϕ und ψ Formeln,
dann ist auch ϕ ∗ ψ eine Formel.
¬( p → q)
(( p ∧ ¬q) → (¬r ∨ ( p ↔ q)))
Formel mit Aussagenvariablen p, q
Formel mit Aussagenvariablen p, q, r
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Grundlagen der Mathematik für Informatiker
24
Modelle
Erfüllbarkeit und Allgemeingültigkeit
Definition 1.3 Jede aussagenlogische Interpretation W mit W ( ϕ) = 1
heißt Modell (oder erfüllende Belegung der Aussagenvariablen) für ϕ.
Definition 1.4 Eine Formel ϕ ∈ AL( P) heißt
erfüllbar , wenn sie ein Modell hat
(Mod ( ϕ) 6= ∅)
Beispiel: ¬ p → p
Menge aller Modelle von ϕ ∈ AL( P):
unerfüllbar (Kontradiktion), wenn sie kein Modell hat
(Mod ( ϕ) = ∅,
für jede Interpretation W gilt W ( ϕ) = 0),
Beispiel: p ∧ ¬ p
Mod ( ϕ) = {W : P → {0, 1} | W ( ϕ) = 1}
Für alle Formeln ϕ, ψ ∈ AL( P) gilt
Mod (¬ ϕ) = W ( P) \ Mod ( ϕ)
(1)
Mod ( ϕ ∨ ψ) = Mod( ϕ) ∪ Mod (ψ)
(2)
Mod ( ϕ ∧ ψ) = Mod( ϕ) ∩ Mod (ψ)
(3)
Grundlagen der Mathematik für Informatiker
allgemeingltig (Tautologie), wenn jede Belegung ein Modell für
ϕ ∈ AL( P) ist
(Mod ( ϕ) = W ( P),
für jede Interpretation W gilt W ( ϕ) = 1).
Beispiel: p ∨ ¬ p
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Grundlagen der Mathematik für Informatiker
22
• für ϕ = p ∈ P: W ( ϕ) = W ( p)
Wahrheitswerttabellen
• W (¬ψ) = [¬]W (ψ) = 1 − W (ψ)
Untersuchung der Werte einer Formel ϕ ∈ AL( P) in allen möglichen
Interpretationen W ∈ W ( P)
• W (ψ1 ∧ ψ2 ) = W (ψ1 )[∧]W (ψ2 ) = min W (ψ1 ), W (ψ2 )
Zeilen
–
Interpretationen
Spalten
–
Teilformeln
• W (ψ1 ∨ ψ2 ) = W (ψ1 )[∨]W (ψ2 ) = max W (ψ1 ), W (ψ2 )
• ...
W ( p1 )
0
· · · W ( pn ) W (ψ) für Teilformeln ψ von ϕ W ( ϕ)
···
0
..
.
1
Beispiel: ϕ = (( p ∧ ¬q) → (¬r ∨ ( p ↔ q)))
für W ( p) = 0, W (q) = 1, W (r ) = 0 ist
W ( ϕ) = 1
···
···
..
.
1
···
Wertetabelle einer n-stelligen Booleschen Funktion
f ϕ : {0, 1}n → {0, 1}
Beispiel: ϕ = ϕ( a, b, c) = ( a → ((¬b → c) ∧ a))
f ϕ (0, 0, 0) = 1, f ϕ (1, 0, 0) = 0, ...
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Wichtige Äquivalenzen
• ϕ ∨ ϕ ≡ ϕ,
• Direkter Beweis (Modus Ponens):
( ϕ ∧ ( ϕ → ψ) → ψ) ist eine Tautologie.
Ist ϕ wahr und zeigt man, dass ϕ → ψ wahr ist, so ist auch ψ
ϕ ∧ ψ ≡ ψ ∧ ϕ (Kommutativität)
• ϕ ∨ (ψ ∨ η ) ≡ ( ϕ ∨ ψ) ∨ η
ϕ ∧ (ψ ∧ η ) ≡ ( ϕ ∧ ψ) ∧ η (Assoziativität)
wahr.
• Kontraposition:
(¬ψ → ¬ ϕ) ↔ ( ϕ → ψ) ist eine Tautologie.
Kann man ausgehend von ¬ψ auf ¬ ϕ schließen, so ist damit
gezeigt, dass ψ aus ϕ folgt.
• ϕ ∧ (ψ ∨ η ) ≡ ( ϕ ∧ ψ) ∨ ( ϕ ∧ η )
ϕ ∨ (ψ ∧ η ) ≡ ( ϕ ∨ ψ) ∧ ( ϕ ∨ η ) (Distributivität)
• ¬¬ ϕ ≡ ϕ (Doppelnegation)
• ¬( ϕ ∨ ψ) ≡ ¬ ϕ ∧ ¬ψ, ¬( ϕ ∧ ψ) ≡ ¬ ϕ ∨ ¬ψ
• Widerspruchsbeweis:
(( ϕ ∧ ¬ψ) → f) ↔ ( ϕ → ψ) ist eine Tautologie.
Unter der Voraussetzung ϕ nehmen wir an, ψ gelte nicht und
(DeMorgansche Regeln)
• ϕ ∨ ψ ≡ ¬(¬ ϕ ∧ ¬ψ),
(Dualität von ∧ und ∨)
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Beweismethoden
ϕ ∧ ϕ ≡ ϕ (Idempotenz)
• ϕ ∨ ψ ≡ ψ ∨ ϕ,
Grundlagen der Mathematik für Informatiker
ϕ ∧ ψ ≡ ¬(¬ ϕ ∨ ¬ψ)
führen dies zu einer falschen Aussage (also zu einem
Widerspruch).
• ϕ → ψ ≡ ¬ψ → ¬ ϕ (Kontraposition)
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Modelle von Formelmengen
1.4 Semantische Äquivalenz
Definition 1.5 Menge aller Modelle einer Menge Φ ⊆ AL( P) von
Formeln:
Mod (Φ) =
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\
Mod ( ϕ)
ϕ∈Φ
(Eine Interpretation W : P → {0, 1} ist ein Modell für eine Menge
Φ ⊆ AL( P) von Formeln, wenn W Modell für jede Formel ϕ ∈ Φ ist.)
Definition 1.6 Zwei Formeln ϕ und ψ mit Mod ( ϕ) = Mod (ψ)
heißen semantisch äquivalent (Schreibweise: ϕ ≡ ψ).
Nachweis z.B. durch Wahrheitswerttabellen
Beispiele: •
ϕ→ψ
≡ ¬ϕ ∨ ψ
Jede Interpretation ist ein Modell für die Formelmenge ∅.
•
ϕ∨ψ
≡ ¬ϕ → ψ
Beispiel: Mod ({ p, p → q}) = {W } mit W ( p) = W (q) = 1.
•
ϕ∧ψ
≡ ¬( ϕ → ¬ψ)
•
ϕ↔ψ
≡ ( ϕ → ψ) ∧ (ψ → ϕ)
Lemma 1.1 Für alle Formelmengen Φ, Ψ ⊆ AL( P) gilt:
Aus Φ ⊆ Ψ folgt Mod (Φ) ⊇ Mod (Ψ).
Zusammenhang allgemeingültig – unerfüllbar
Satz 1.2 Eine Formel ϕ ∈ AL( P) ist genau dann allgemeingültig,
wenn die Formel ¬ ϕ unerfüllbar ist.
Äquivalente Formeln haben dieselbe Wahrheitswertfunktion
(Semantik).
(Das Symbol ≡ ist kein Junktor (Syntax), sondern ein Symbol für eine
Relation zwischen Formeln (Semantik)).
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Satz über Normalformen
1.5 Normalformen
Satz 1.5 Zu jeder Formel ϕ ∈ AL( P) existieren
Literal Atom oder negiertes Atom
• eine äquivalente Formel ϕ1 ∈ AL( P) in NNF,
Definition 1.7
• eine äquivalente Formel ϕ2 ∈ AL( P) in CNF und
NNF Formeln, in denen das Negationssymbol ¬ höchstens auf Atome
angewendet wird, heißen in Negations-Normalform.
• eine äquivalente Formel ϕ3 ∈ AL( P) in DNF.
CNF Formeln der Form
Vn
i =1
Beweisidee:
→, ↔, t, f durch Formeln mit {∨, ∧, ¬} ersetzen
Wm j
j=1 li,j
mit Literalen li,j
1. NNF durch (mehrmalige) Anwendung der deMorganschen Regeln
heißen in konjunktiver Normalform.
DNF Formeln der Form
Wn
i =1
2. CNF und DNF durch (mehrmalige) Anwendung der
Distributivgesetze auf die NNF
Vm j
j=1 li,j
mit Literalen li,j
CNF und DNF einer Formel ϕ lassen sich auch aus der
Wahrheitswerttabelle der Formel ϕ ablesen.
heißen in disjunktiver Normalform.
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Eingeschränkte Junktorenmengen
Umformen von Formeln
Satz 1.3 (Ersetzbarkeitstheorem) Für drei Formeln
ϕ, ψ, η ∈ AL( P), wobei ψ ≡ η und ψ eine Teilformel von ϕ ist, gilt:
ϕ ≡ ϕ′ , wobei ϕ′ entsteht, wenn in ϕ ein Vorkommen von ψ durch η
ersetzt wird.
Beweis: Induktion über die Struktur von ϕ
Lemma 1.4 Jede aussagenlogische Formel läßt sich in eine
äquivalente Formel umformen, die nur Junktoren aus den folgenden
Mengen enthalten:
1. {¬, ∨, ∧}
2. {¬, ∨}
3. {¬, ∧}
4. {¬, →}
Formeln können also durch Ersetzung äquivalenter Teilformeln in
semantisch äquivalente Formeln umgeformt werden.
(Änderung der Syntax bei unveränderter Semantik)
5. {f, →}
{∨, ∧} und {∨, ∧, →} genügen nicht.
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Grundlagen der Mathematik für Informatiker
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Zusammenhänge Junktoren – semantische Beziehungen
Ableiten:
Syntaktische Umformungen der Formeln nach bestimmten Regeln
(Kalkül)
ohne direkte Benutzung der Semantik der Formeln
Satz 1.9 ϕ |= ψ gilt genau dann,
wenn die Formel ϕ → ψ allgemeingültig ist.
Folgerung 1.10 ϕ ≡ ψ gilt genau dann,
wenn die Formel ϕ ↔ ψ allgemeingültig ist.
Ableitungsrelation ⊢ ⊆ 2AL( P) × AL( P)
Φ ⊢ ψ gilt genau dann, falls ψ aus Φ ableitbar
(nach bestimmten Regeln syntaktisch umformbar) ist.
(ohne direkten Zugriff auf die Semantik der Formeln)
1.7 Syntaktisches Ableiten
Folgerungsrelation |= ⊆ 2AL( P) × AL( P)
Φ |= ψ gilt genau dann, wenn Mod (Φ) ⊆ Mod (ψ)
Ziel: Ableitungsrelation ⊢ mit
Φ ⊢ ψ gilt genau dann, wenn Φ |= ψ
Definition über die Semantik von Φ und ψ
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Grundlagen der Mathematik für Informatiker
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1.6 Semantisches Folgern
Definition 1.8 Eine Formel ψ ∈ AL( P) heißt Folgerung aus der
Menge Φ ⊆ AL( P) von Formeln (Φ |= ψ), falls Mod (Φ) ⊆ Mod (ψ)
gilt.
Sätze über das Folgern
Satz 1.6 Für endliche Formelmengen Φ = { ϕ1 , . . . , ϕn } gilt
Beispiele:
• { p, p → q} |= q
• { p, ¬(q ∧ p)} |= ¬q
• { p} |= q → p
• ∅ |= p ∨ ¬ p
Spezialfälle der Notation:
für Φ = { ϕ}: ϕ |= ψ (statt { ϕ} |= ψ)
für Φ = ∅ :
|= ψ (statt ∅ |= ψ)
Φ |= ψ genau dann, wenn
n
^
ϕi |= ψ
i =1
Satz 1.7 |= ϕ gilt genau dann, wenn ϕ allgemeingültig ist.
Satz 1.8 Zwei Formeln ϕ und ψ sind genau dann äquivalent,
wenn ϕ |= ψ und ψ |= ϕ gelten.
Grundlagen der Mathematik für Informatiker
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Definition 1.11 Eine Formel ψ ist im Kalkül K aus einer
Formelmenge Φ herleitbar (Φ ⊢K ψ), wenn eine der folgenden
Bedingungen erfüllt ist:
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Satz 1.11 Korrektheit und Vollständigkeit von K
Es seien Φ eine Formelmenge und ψ eine Formel.
Dann gilt Φ ⊢K ψ genau dann, wenn Φ |= ψ.
• ψ ist ein Axiom
• ψ ist eine Formel aus Φ
Bemerkung:
K ist korrekt, d.h. jede aus einer Formelmenge Φ herleitbare Formel
ψ ist eine Folgerung aus Φ.
• ψ kann in endlich vielen Schritten aus Axiomen oder Formeln aus
Φ hergeleitet werden. Ein Schritt beinhaltet die Anwendung der
Regel aus R auf bereits hergeleitete Formeln.
K ist vollständig, d.h. jede Folgerung ψ aus einer Formelmenge Φ
kann mithilfe von K aus Φ hergeleitet werden.
In K aus Φ ableitbare Formeln ψ heißen in K aus Φ beweisbar.
(Φ ⊢K ψ)
In K aus ∅ ableitbare Formeln heißen in K beweisbar. (⊢K ψ)
Grundlagen der Mathematik für Informatiker
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Grundlagen der Mathematik für Informatiker
Definition 1.10 Kalkül K besteht aus der Axiomenmenge AX :
1. ϕ → (ψ → ϕ)
1.8 Kalküle
Regeln zur formalen Beschreibung zulässiger syntaktischer
Umformungsschritte
Definition 1.9 Ein Kalkül besteht aus einer Menge von Axiomen
(Formeln) und einer Menge von Regeln, mit deren Hilfe aus den
Axiomen und einer Eingabemenge weitere Formeln gebildet werden
können.
Wir geben einen Kalkül K für die Aussagenlogik an. Mit K können alle
Folgerungen aus einer Formelmenge gewonnen werden.
2. ( ϕ → (ψ → χ)) → (( ϕ → ψ) → ( ϕ → χ))
3. (¬ ϕ → ¬ψ) → (ψ → ϕ)
4. ϕ ∧ ψ → ϕ,
ϕ∧ψ → ψ
5. (χ → ϕ) → ((χ → ψ) → (χ → ϕ ∧ ψ))
6. ϕ → ϕ ∨ ψ,
ψ → ϕ∨ψ
7. ( ϕ → χ) → ((ψ → χ) → ( ϕ ∨ ψ → χ))
und der Regel R:
• { ϕ, ϕ → ψ} ⊢K ψ (Modus Ponens)
Axiome 1. - 7. sind allgemeingültig.
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Beispiel:
Herleitung von ψ = p → ( p ∨ q) ∧ ( p ∨ ¬q) in K :
(a) p → p ∨ q
(Axiom 6.)
(b) p → p ∨ ¬q
(Axiom 6.)
(c) ( p → p ∨ q) → (( p → p ∨ ¬q) → ( p → ( p ∨ q) ∧ ( p ∨ ¬q)))
(Axiom 5.)
(d) ( p → p ∨ ¬q) → ( p → ( p ∨ q) ∧ ( p ∨ ¬q))
(Modus Ponens auf (a), (c))
(e) p → ( p ∨ q) ∧ ( p ∨ ¬q)
(Modus Ponens auf (b), (d))
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