Gesamtpanorama

Gesamtpanorama
Reelle Zahlen
Folgen
• Konvergenzbegriff
• Standardbeispiele
• Rechenregeln für lim
• Sandwichtheorem
• Monotoniekriterium
Reihen
• Konvergenzbegriff
• Standardbeispiele
• Minoranten- und Majorantenkriterium
• Quotienten- und Wurzelkriterium
• Potenzreihen
1D-Funktionen R → R
• Konvergenz
• Stetigkeit
• Ableitung
• Integral
Felder Rn → Rn
• Rotation
• Divergenz
• Kurvenintegral
• Integrierbarkeit
Flächen R2 → R3
• Integral über Gebirge
• Integral über Feld
• Satz von Stokes
• Satz von Gauss
Gebirge Rn → R
• Konvergenz
• Stetigkeit
• Ableitung
• Extremwerte
• Integral
Kurven R → Rn
• Konvergenz
• Stetigkeit
• Ableitung
• Kurvenintegral
1
Gesamtpanorama
Reelle Zahlen
Folgen
• Konvergenzbegriff
• Standardbeispiele
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• Sandwichtheorem
• Monotoniekriterium
Reihen
• Konvergenzbegriff
• Standardbeispiele
• Minoranten- und Majorantenkriterium
• Quotienten- und Wurzelkriterium
• Potenzreihen
1D-Funktionen R → R
• Konvergenz
• Stetigkeit
• Ableitung
• Integral
Felder Rn → Rn
• Rotation
• Divergenz
• Kurvenintegral
• Integrierbarkeit
Flächen R2 → R3
• Integral über Gebirge
• Integral über Feld
• Satz von Stokes
• Satz von Gauss
Gebirge Rn → R
• Konvergenz
• Stetigkeit
• Ableitung
• Extremwerte
• Integral
Kurven R → Rn
• Konvergenz
• Stetigkeit
• Ableitung
• Kurvenintegral
1
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Reelle Zahlen
Folgen
• Konvergenzbegriff
• Standardbeispiele
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• Sandwichtheorem
• Monotoniekriterium
Reihen
• Konvergenzbegriff
• Standardbeispiele
• Minoranten- und Majorantenkriterium
• Quotienten- und Wurzelkriterium
• Potenzreihen
1D-Funktionen R → R
• Konvergenz
• Stetigkeit
• Ableitung
• Integral
Felder Rn → Rn
• Rotation
• Divergenz
• Kurvenintegral
• Integrierbarkeit
Flächen R2 → R3
• Integral über Gebirge
• Integral über Feld
• Satz von Stokes
• Satz von Gauss
Gebirge Rn → R
• Konvergenz
• Stetigkeit
• Ableitung
• Extremwerte
• Integral
Kurven R → Rn
• Konvergenz
• Stetigkeit
• Ableitung
• Kurvenintegral
1
Folgen
2
Folgen
Was ist das?
2
Folgen
Was ist das?
◮
Informal:
2
Folgen
Was ist das?
◮
Informal:
◮
Formal: Eine Funktion N → R
2
Folgen
Was ist das?
◮
Informal:
◮
Formal: Eine Funktion N → R
Was kann man damit machen?
2
Folgen
Was ist das?
◮
Informal:
◮
Formal: Eine Funktion N → R
Was kann man damit machen?
◮
Manche irrationale Zahlen lassen sich als Grenzwerte von
Folgen beschreiben.
2
Folgen
Was ist das?
◮
Informal:
◮
Formal: Eine Funktion N → R
Was kann man damit machen?
◮
Manche irrationale Zahlen lassen sich als Grenzwerte von
Folgen beschreiben.
◮
Unstetigkeitsstellen von Funktionen lassen sich mit Hilfe von
geeigneten Folgen nachweisen.
2
Folgen
Was ist das?
◮
Informal:
◮
Formal: Eine Funktion N → R
Was kann man damit machen?
◮
Manche irrationale Zahlen lassen sich als Grenzwerte von
Folgen beschreiben.
◮
Unstetigkeitsstellen von Funktionen lassen sich mit Hilfe von
geeigneten Folgen nachweisen.
Was muss man darüber wissen?
2
Folgen
Was ist das?
◮
Informal:
◮
Formal: Eine Funktion N → R
Was kann man damit machen?
◮
Manche irrationale Zahlen lassen sich als Grenzwerte von
Folgen beschreiben.
◮
Unstetigkeitsstellen von Funktionen lassen sich mit Hilfe von
geeigneten Folgen nachweisen.
Was muss man darüber wissen?
◮
Wie man typische Folgen auf Konvergenz untersucht und
gegebenenfalls ihren Grenzwert bestimmt.
2
Konvergenz von Folgen
3
Konvergenz von Folgen
◮
Informal:
3
Konvergenz von Folgen
◮
Informal:
◮
Formal: a ∈ R ist der Grenzwert von (an ), falls gilt
∀ ε > 0 ∃ n0 ∈ N ∀ n ≥ n0 : |an − a| < ε.
3
Konvergenz von Folgen
◮
Informal:
◮
Formal: a ∈ R ist der Grenzwert von (an ), falls gilt
∀ ε > 0 ∃ n0 ∈ N ∀ n ≥ n0 : |an − a| < ε.
◮
Konvergenz ist kompatibel mit +, −, · und /, aber im
allgemeinen nicht mit Verkettung.
3
Konvergenz von Folgen
◮
Informal:
◮
Formal: a ∈ R ist der Grenzwert von (an ), falls gilt
∀ ε > 0 ∃ n0 ∈ N ∀ n ≥ n0 : |an − a| < ε.
◮
Konvergenz ist kompatibel mit +, −, · und /, aber im
allgemeinen nicht mit Verkettung.
◮
Sandwichtheorem: wenn an −−−→ a und cn −−−→ a und
n→∞
an ≤ bn ≤ cn für alle n ∈ N, dann auch bn −−−→ a.
n→∞
n→∞
3
Konvergenz von Folgen
◮
Informal:
◮
Formal: a ∈ R ist der Grenzwert von (an ), falls gilt
∀ ε > 0 ∃ n0 ∈ N ∀ n ≥ n0 : |an − a| < ε.
◮
Konvergenz ist kompatibel mit +, −, · und /, aber im
allgemeinen nicht mit Verkettung.
◮
Sandwichtheorem: wenn an −−−→ a und cn −−−→ a und
n→∞
an ≤ bn ≤ cn für alle n ∈ N, dann auch bn −−−→ a.
Monotoniekriterium: wenn (an ) beschränkt und monoton ist,
dann ist (an ) auch konvergent.
n→∞
◮
n→∞
3
Konvergenz von Folgen
◮
Informal:
◮
Formal: a ∈ R ist der Grenzwert von (an ), falls gilt
∀ ε > 0 ∃ n0 ∈ N ∀ n ≥ n0 : |an − a| < ε.
◮
Konvergenz ist kompatibel mit +, −, · und /, aber im
allgemeinen nicht mit Verkettung.
◮
Sandwichtheorem: wenn an −−−→ a und cn −−−→ a und
n→∞
an ≤ bn ≤ cn für alle n ∈ N, dann auch bn −−−→ a.
Monotoniekriterium: wenn (an ) beschränkt und monoton ist,
dann ist (an ) auch konvergent.
Wichtige Beispiele:
n→∞
◮
◮
n→∞
1
−−→ 0
n −
n→∞
α
◮ n qn −
−−→
◮
◮
n→∞
√
n
n→∞
n −−−→ 1
n→∞
0 falls |q| < 1
◮
(1 + n1 )n −−−→ e.
3
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Reelle Zahlen
Folgen
• Konvergenzbegriff
• Standardbeispiele
• Rechenregeln für lim
• Sandwichtheorem
• Monotoniekriterium
Reihen
• Konvergenzbegriff
• Standardbeispiele
• Minoranten- und Majorantenkriterium
• Quotienten- und Wurzelkriterium
• Potenzreihen
1D-Funktionen R → R
• Konvergenz
• Stetigkeit
• Ableitung
• Integral
Felder Rn → Rn
• Rotation
• Divergenz
• Kurvenintegral
• Integrierbarkeit
Flächen R2 → R3
• Integral über Gebirge
• Integral über Feld
• Satz von Stokes
• Satz von Gauss
Gebirge Rn → R
• Konvergenz
• Stetigkeit
• Ableitung
• Extremwerte
• Integral
Kurven R → Rn
• Konvergenz
• Stetigkeit
• Ableitung
• Kurvenintegral
4
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Folgen
• Konvergenzbegriff
• Standardbeispiele
• Rechenregeln für lim
• Sandwichtheorem
• Monotoniekriterium
Reihen
• Konvergenzbegriff
• Standardbeispiele
• Minoranten- und Majorantenkriterium
• Quotienten- und Wurzelkriterium
• Potenzreihen
1D-Funktionen R → R
• Konvergenz
• Stetigkeit
• Ableitung
• Integral
Felder Rn → Rn
• Rotation
• Divergenz
• Kurvenintegral
• Integrierbarkeit
Flächen R2 → R3
• Integral über Gebirge
• Integral über Feld
• Satz von Stokes
• Satz von Gauss
Gebirge Rn → R
• Konvergenz
• Stetigkeit
• Ableitung
• Extremwerte
• Integral
Kurven R → Rn
• Konvergenz
• Stetigkeit
• Ableitung
• Kurvenintegral
4
Reihen
5
Reihen
Was ist das?
5
Reihen
Was ist das?
◮
Informal: eine unendliche Summe“
”
5
Reihen
Was ist das?
◮
◮
Informal: eine unendliche Summe“
”
Formal: Ist (an ) eine Folgen, so heißt die Folge (sn ) mit
sn = a0 + a1 + · · · + an die Reihe über (an ).
5
Reihen
Was ist das?
◮
◮
◮
Informal: eine unendliche Summe“
”
Formal: Ist (an ) eine Folgen, so heißt die Folge (sn ) mit
sn = a0 + a1 + · · · + an die Reihe über (an ).
P
Die Schreibweise ∞
n=0 an wird sowohl für (sn ) als auch (im
Fall der Konvergenz) für den Grenzwert limn→∞ sn verwendet.
5
Reihen
Was ist das?
◮
◮
◮
Informal: eine unendliche Summe“
”
Formal: Ist (an ) eine Folgen, so heißt die Folge (sn ) mit
sn = a0 + a1 + · · · + an die Reihe über (an ).
P
Die Schreibweise ∞
n=0 an wird sowohl für (sn ) als auch (im
Fall der Konvergenz) für den Grenzwert limn→∞ sn verwendet.
Was kann man damit machen?
5
Reihen
Was ist das?
◮
◮
◮
Informal: eine unendliche Summe“
”
Formal: Ist (an ) eine Folgen, so heißt die Folge (sn ) mit
sn = a0 + a1 + · · · + an die Reihe über (an ).
P
Die Schreibweise ∞
n=0 an wird sowohl für (sn ) als auch (im
Fall der Konvergenz) für den Grenzwert limn→∞ sn verwendet.
Was kann man damit machen?
◮
Potenzreihen werden dazu verwendet, Funktionen wie exp,
sin, cos, usw. zu definieren.
5
Reihen
Was ist das?
◮
◮
◮
Informal: eine unendliche Summe“
”
Formal: Ist (an ) eine Folgen, so heißt die Folge (sn ) mit
sn = a0 + a1 + · · · + an die Reihe über (an ).
P
Die Schreibweise ∞
n=0 an wird sowohl für (sn ) als auch (im
Fall der Konvergenz) für den Grenzwert limn→∞ sn verwendet.
Was kann man damit machen?
◮
Potenzreihen werden dazu verwendet, Funktionen wie exp,
sin, cos, usw. zu definieren.
Was muss man darüber wissen?
5
Reihen
Was ist das?
◮
◮
◮
Informal: eine unendliche Summe“
”
Formal: Ist (an ) eine Folgen, so heißt die Folge (sn ) mit
sn = a0 + a1 + · · · + an die Reihe über (an ).
P
Die Schreibweise ∞
n=0 an wird sowohl für (sn ) als auch (im
Fall der Konvergenz) für den Grenzwert limn→∞ sn verwendet.
Was kann man damit machen?
◮
Potenzreihen werden dazu verwendet, Funktionen wie exp,
sin, cos, usw. zu definieren.
Was muss man darüber wissen?
◮
Wie man typische Reihen auf Konvergenz untersucht und
gegebenenfalls ihren Grenzwert bestimmt.
5
Konvergenz von Reihen
6
Konvergenz von Reihen
◮
Pn
:= lim
k=0 ak , sofern der Grenzwert rechts
n→∞
existiert. Anderenfalls ist die Reihe divergent.
P∞
n=0 an
6
Konvergenz von Reihen
◮
◮
Pn
:= lim
k=0 ak , sofern der Grenzwert rechts
n→∞
existiert. Anderenfalls ist die Reihe divergent.
Konvergenztests:
P∞
n=0 an
6
Konvergenz von Reihen
◮
◮
Pn
:= lim
k=0 ak , sofern der Grenzwert rechts
n→∞
existiert. Anderenfalls ist die Reihe divergent.
Konvergenztests:
P∞
n=0 an
◮
P∞
Majorantenkriterium: wenn n=0 bn konvergiertP
und
∞
|an | ≤ bn für alle n ∈ N, dann konvergiert auch n=0 an .
6
Konvergenz von Reihen
◮
◮
Pn
:= lim
k=0 ak , sofern der Grenzwert rechts
n→∞
existiert. Anderenfalls ist die Reihe divergent.
Konvergenztests:
P∞
n=0 an
◮
◮
P∞
Majorantenkriterium: wenn n=0 bn konvergiertP
und
∞
|an | ≤ bn für alle n ∈ N, dann
konvergiert
auch
n=0 an .
P∞
Minorantenkriterium: wenn n=0 bnP
divergiert und an ≥ bn
∞
für alle n ∈ N, dann divergiert auch n=0 an .
6
Konvergenz von Reihen
◮
◮
Pn
:= lim
k=0 ak , sofern der Grenzwert rechts
n→∞
existiert. Anderenfalls ist die Reihe divergent.
Konvergenztests:
P∞
n=0 an
◮
◮
◮
P∞
Majorantenkriterium: wenn n=0 bn konvergiertP
und
∞
|an | ≤ bn für alle n ∈ N, dann
konvergiert
auch
n=0 an .
P∞
Minorantenkriterium: wenn n=0 bnP
divergiert und an ≥ bn
∞
für alle n ∈ N, dann divergiert auch n=0 an .
a
n+1
Quotientenkriterium: wenn limn→∞ an existiert und kleiner
P∞
[größer] als 1 ist, dann ist n=0 an konvergent [divergent].
6
Konvergenz von Reihen
◮
◮
Pn
:= lim
k=0 ak , sofern der Grenzwert rechts
n→∞
existiert. Anderenfalls ist die Reihe divergent.
Konvergenztests:
P∞
n=0 an
◮
◮
◮
◮
P∞
Majorantenkriterium: wenn n=0 bn konvergiertP
und
∞
|an | ≤ bn für alle n ∈ N, dann
konvergiert
auch
n=0 an .
P∞
Minorantenkriterium: wenn n=0 bnP
divergiert und an ≥ bn
∞
für alle n ∈ N, dann divergiert auch n=0 an .
a
n+1
Quotientenkriterium: wenn limn→∞ an existiert und kleiner
P∞
an konvergent [divergent].
[größer] als 1 ist, dann ist n=0p
n
Wurzelkriterium: wenn limP
|an | existiert und kleiner
n→∞
∞
[größer] als 1 ist, dann ist n=0 an konvergent [divergent].
6
Konvergenz von Reihen
◮
◮
Pn
:= lim
k=0 ak , sofern der Grenzwert rechts
n→∞
existiert. Anderenfalls ist die Reihe divergent.
Konvergenztests:
P∞
n=0 an
◮
◮
◮
◮
◮
P∞
Majorantenkriterium: wenn n=0 bn konvergiertP
und
∞
|an | ≤ bn für alle n ∈ N, dann
konvergiert
auch
n=0 an .
P∞
Minorantenkriterium: wenn n=0 bnP
divergiert und an ≥ bn
∞
für alle n ∈ N, dann divergiert auch n=0 an .
a
n+1
Quotientenkriterium: wenn limn→∞ an existiert und kleiner
P∞
an konvergent [divergent].
[größer] als 1 ist, dann ist n=0p
n
Wurzelkriterium: wenn limP
|an | existiert und kleiner
n→∞
∞
[größer] als 1 ist, dann ist n=0 an konvergent [divergent].
Wichtige Beispiele:
◮
◮
P∞
Pn=1
∞
1
n
div.
1
n=1 n(n+1)
◮
=1
◮
P∞ n
q div. falls |q| ≥ 1
Pn=0
∞
1
n
n=0 q = 1−q falls |q| < 1.
6
Gesamtpanorama
Reelle Zahlen
Folgen
• Konvergenzbegriff
• Standardbeispiele
• Rechenregeln für lim
• Sandwichtheorem
• Monotoniekriterium
Reihen
• Konvergenzbegriff
• Standardbeispiele
• Minoranten- und Majorantenkriterium
• Quotienten- und Wurzelkriterium
• Potenzreihen
1D-Funktionen R → R
• Konvergenz
• Stetigkeit
• Ableitung
• Integral
Felder Rn → Rn
• Rotation
• Divergenz
• Kurvenintegral
• Integrierbarkeit
Flächen R2 → R3
• Integral über Gebirge
• Integral über Feld
• Satz von Stokes
• Satz von Gauss
Gebirge Rn → R
• Konvergenz
• Stetigkeit
• Ableitung
• Extremwerte
• Integral
Kurven R → Rn
• Konvergenz
• Stetigkeit
• Ableitung
• Kurvenintegral
7
Gesamtpanorama
Reelle Zahlen
Folgen
• Konvergenzbegriff
• Standardbeispiele
• Rechenregeln für lim
• Sandwichtheorem
• Monotoniekriterium
Reihen
• Konvergenzbegriff
• Standardbeispiele
• Minoranten- und Majorantenkriterium
• Quotienten- und Wurzelkriterium
• Potenzreihen
1D-Funktionen R → R
• Konvergenz
• Stetigkeit
• Ableitung
• Integral
Felder Rn → Rn
• Rotation
• Divergenz
• Kurvenintegral
• Integrierbarkeit
Flächen R2 → R3
• Integral über Gebirge
• Integral über Feld
• Satz von Stokes
• Satz von Gauss
Gebirge Rn → R
• Konvergenz
• Stetigkeit
• Ableitung
• Extremwerte
• Integral
Kurven R → Rn
• Konvergenz
• Stetigkeit
• Ableitung
• Kurvenintegral
7
Konvergenz von Funktionen
8
Konvergenz von Funktionen
Was ist das?
8
Konvergenz von Funktionen
Was ist das?
◮
Informal: Wenn x sich einer Stelle ξ nähert, nähert sich f (x)
dem Grenzwert.
8
Konvergenz von Funktionen
Was ist das?
◮
Informal: Wenn x sich einer Stelle ξ nähert, nähert sich f (x)
dem Grenzwert.
◮
Formal: s ist der Grenzwert von f für x gegen ξ, falls gilt:
∀ ε > 0 ∃ δ > 0 ∀ x ∈ D \ {ξ} : |x − ξ| < δ ⇒ |f (x) − s| < ε.
8
Konvergenz von Funktionen
Was ist das?
◮
Informal: Wenn x sich einer Stelle ξ nähert, nähert sich f (x)
dem Grenzwert.
◮
Formal: s ist der Grenzwert von f für x gegen ξ, falls gilt:
∀ ε > 0 ∃ δ > 0 ∀ x ∈ D \ {ξ} : |x − ξ| < δ ⇒ |f (x) − s| < ε.
Was kann man damit machen?
8
Konvergenz von Funktionen
Was ist das?
◮
Informal: Wenn x sich einer Stelle ξ nähert, nähert sich f (x)
dem Grenzwert.
◮
Formal: s ist der Grenzwert von f für x gegen ξ, falls gilt:
∀ ε > 0 ∃ δ > 0 ∀ x ∈ D \ {ξ} : |x − ξ| < δ ⇒ |f (x) − s| < ε.
Was kann man damit machen?
◮
Die Begriffe Stetigkeit und Differenzierbarkeit basieren auf
dem Konvergenzbegriff für Funktionen
8
Konvergenz von Funktionen
Was ist das?
◮
Informal: Wenn x sich einer Stelle ξ nähert, nähert sich f (x)
dem Grenzwert.
◮
Formal: s ist der Grenzwert von f für x gegen ξ, falls gilt:
∀ ε > 0 ∃ δ > 0 ∀ x ∈ D \ {ξ} : |x − ξ| < δ ⇒ |f (x) − s| < ε.
Was kann man damit machen?
◮
Die Begriffe Stetigkeit und Differenzierbarkeit basieren auf
dem Konvergenzbegriff für Funktionen
Was muss man darüber wissen?
8
Konvergenz von Funktionen
Was ist das?
◮
Informal: Wenn x sich einer Stelle ξ nähert, nähert sich f (x)
dem Grenzwert.
◮
Formal: s ist der Grenzwert von f für x gegen ξ, falls gilt:
∀ ε > 0 ∃ δ > 0 ∀ x ∈ D \ {ξ} : |x − ξ| < δ ⇒ |f (x) − s| < ε.
Was kann man damit machen?
◮
Die Begriffe Stetigkeit und Differenzierbarkeit basieren auf
dem Konvergenzbegriff für Funktionen
Was muss man darüber wissen?
◮
Wie man typische Funktionen auf Konvergenz untersucht und
gegebenenfalls den Grenzwert berechnet.
8
Stetigkeit
9
Stetigkeit
Was ist das?
9
Stetigkeit
Was ist das?
◮
Informal: Eine kleine Änderung von x bewirkt nur eine kleine
Änderung von f (x).
9
Stetigkeit
Was ist das?
◮
Informal: Eine kleine Änderung von x bewirkt nur eine kleine
Änderung von f (x).
◮
Formal: limx→ξ f (x) = f (ξ).
9
Stetigkeit
Was ist das?
◮
Informal: Eine kleine Änderung von x bewirkt nur eine kleine
Änderung von f (x).
◮
Formal: limx→ξ f (x) = f (ξ).
Was kann man damit machen?
9
Stetigkeit
Was ist das?
◮
Informal: Eine kleine Änderung von x bewirkt nur eine kleine
Änderung von f (x).
◮
Formal: limx→ξ f (x) = f (ξ).
Was kann man damit machen?
◮
Stetige Funktionen haben viele wünschenswerte Eigenschaften,
die beliebige“ Funktionen im allgemeinen nicht haben.
”
9
Stetigkeit
Was ist das?
◮
Informal: Eine kleine Änderung von x bewirkt nur eine kleine
Änderung von f (x).
◮
Formal: limx→ξ f (x) = f (ξ).
Was kann man damit machen?
Stetige Funktionen haben viele wünschenswerte Eigenschaften,
die beliebige“ Funktionen im allgemeinen nicht haben.
”
Was muss man darüber wissen?
◮
9
Stetigkeit
Was ist das?
◮
Informal: Eine kleine Änderung von x bewirkt nur eine kleine
Änderung von f (x).
◮
Formal: limx→ξ f (x) = f (ξ).
Was kann man damit machen?
Stetige Funktionen haben viele wünschenswerte Eigenschaften,
die beliebige“ Funktionen im allgemeinen nicht haben.
”
Was muss man darüber wissen?
◮
◮
Dass Stetigkeit kompatibel mit +, −, ·, / und ◦ ist, dass die
Umkehrfunktion von stetigen Funktionen stetig ist, und dass
Potenzreihen stetig sind.
9
Stetigkeit
Was ist das?
◮
Informal: Eine kleine Änderung von x bewirkt nur eine kleine
Änderung von f (x).
◮
Formal: limx→ξ f (x) = f (ξ).
Was kann man damit machen?
Stetige Funktionen haben viele wünschenswerte Eigenschaften,
die beliebige“ Funktionen im allgemeinen nicht haben.
”
Was muss man darüber wissen?
◮
◮
Dass Stetigkeit kompatibel mit +, −, ·, / und ◦ ist, dass die
Umkehrfunktion von stetigen Funktionen stetig ist, und dass
Potenzreihen stetig sind.
◮
Den Zwischenwertsatz: f : [a, b] → R stetig, f (a) < f (b),
y ∈ [f (a), f (b)], dann gibt es ξ ∈ [a, b] mit f (ξ) = y.
9
Ableitung
10
Ableitung
Was ist das?
10
Ableitung
Was ist das?
◮
Informal: Ein Maß für die Steigung ( Steilheit“) des
”
Funktionsgraphen an einer gegebenen Stelle
10
Ableitung
Was ist das?
◮
Informal: Ein Maß für die Steigung ( Steilheit“) des
”
Funktionsgraphen an einer gegebenen Stelle
◮
Formal: f ′ (ξ) := limx→ξ
f (x)−f (ξ)
x−ξ
10
Ableitung
Was ist das?
◮
Informal: Ein Maß für die Steigung ( Steilheit“) des
”
Funktionsgraphen an einer gegebenen Stelle
◮
Formal: f ′ (ξ) := limx→ξ
f (x)−f (ξ)
x−ξ
Was kann man damit machen?
10
Ableitung
Was ist das?
◮
Informal: Ein Maß für die Steigung ( Steilheit“) des
”
Funktionsgraphen an einer gegebenen Stelle
◮
Formal: f ′ (ξ) := limx→ξ
f (x)−f (ξ)
x−ξ
Was kann man damit machen?
◮
Extremwerte berechnen, Nullstellen approximieren (mit
Newton-Iteration), Punktwolken analysieren (Regression),
Stammfunktionen bestimmen ( Ableiten rückwärts“), u.v.m.
”
10
Ableitung
Was ist das?
◮
Informal: Ein Maß für die Steigung ( Steilheit“) des
”
Funktionsgraphen an einer gegebenen Stelle
◮
Formal: f ′ (ξ) := limx→ξ
f (x)−f (ξ)
x−ξ
Was kann man damit machen?
Extremwerte berechnen, Nullstellen approximieren (mit
Newton-Iteration), Punktwolken analysieren (Regression),
Stammfunktionen bestimmen ( Ableiten rückwärts“), u.v.m.
”
Was muss man darüber wissen?
◮
10
Ableitung
Was ist das?
◮
Informal: Ein Maß für die Steigung ( Steilheit“) des
”
Funktionsgraphen an einer gegebenen Stelle
◮
Formal: f ′ (ξ) := limx→ξ
f (x)−f (ξ)
x−ξ
Was kann man damit machen?
Extremwerte berechnen, Nullstellen approximieren (mit
Newton-Iteration), Punktwolken analysieren (Regression),
Stammfunktionen bestimmen ( Ableiten rückwärts“), u.v.m.
”
Was muss man darüber wissen?
◮
◮
Wie man Ableitungen ausrechnet und damit z. B. eine
Funktion auf Extremstellen untersucht.
10
Ableitung
Was ist das?
◮
Informal: Ein Maß für die Steigung ( Steilheit“) des
”
Funktionsgraphen an einer gegebenen Stelle
◮
Formal: f ′ (ξ) := limx→ξ
f (x)−f (ξ)
x−ξ
Was kann man damit machen?
Extremwerte berechnen, Nullstellen approximieren (mit
Newton-Iteration), Punktwolken analysieren (Regression),
Stammfunktionen bestimmen ( Ableiten rückwärts“), u.v.m.
”
Was muss man darüber wissen?
◮
◮
Wie man Ableitungen ausrechnet und damit z. B. eine
Funktion auf Extremstellen untersucht.
◮
Den Mittelwertsatz: f : [a, b] → R ableitbar, f (a) < f (b),
(a)
dann gibt es ξ ∈ [a, b] mit f ′ (ξ) = f (b)−f
.
b−a
10
Integral
11
Integral
Was ist das?
11
Integral
Was ist das?
◮
Informal: Ein Maß für die (orientierte) Fläche zwischen
Funktionsgraph und x-Achse.
11
Integral
Was ist das?
◮
Informal: Ein Maß für die (orientierte) Fläche zwischen
Funktionsgraph und x-Achse.
◮
Formal: Technische Konstruktion mit Zerlegung,
Zwischenpunkten, usw.
11
Integral
Was ist das?
◮
Informal: Ein Maß für die (orientierte) Fläche zwischen
Funktionsgraph und x-Achse.
◮
Formal: Technische Konstruktion mit Zerlegung,
Zwischenpunkten, usw.
Was kann man damit machen?
11
Integral
Was ist das?
◮
Informal: Ein Maß für die (orientierte) Fläche zwischen
Funktionsgraph und x-Achse.
◮
Formal: Technische Konstruktion mit Zerlegung,
Zwischenpunkten, usw.
Was kann man damit machen?
◮
Die Größe von krummlinig berandeten Flächen ausrechnen.
11
Integral
Was ist das?
◮
Informal: Ein Maß für die (orientierte) Fläche zwischen
Funktionsgraph und x-Achse.
◮
Formal: Technische Konstruktion mit Zerlegung,
Zwischenpunkten, usw.
Was kann man damit machen?
◮
Die Größe von krummlinig berandeten Flächen ausrechnen.
Was muss man darüber wissen?
11
Integral
Was ist das?
◮
Informal: Ein Maß für die (orientierte) Fläche zwischen
Funktionsgraph und x-Achse.
◮
Formal: Technische Konstruktion mit Zerlegung,
Zwischenpunkten, usw.
Was kann man damit machen?
◮
Die Größe von krummlinig berandeten Flächen ausrechnen.
Was muss man darüber wissen?
◮
Hauptsatz der Integralrechnung:
Rb
a
f ′ (x)dx = f (b) − f (a)
11
Integral
Was ist das?
◮
Informal: Ein Maß für die (orientierte) Fläche zwischen
Funktionsgraph und x-Achse.
◮
Formal: Technische Konstruktion mit Zerlegung,
Zwischenpunkten, usw.
Was kann man damit machen?
◮
Die Größe von krummlinig berandeten Flächen ausrechnen.
Was muss man darüber wissen?
◮
◮
Rb
Hauptsatz der Integralrechnung: a f ′ (x)dx = f (b) − f (a)
R
Unbestimmtes Integral: f (x)dx = g(x) falls g ′ (x) = f (x)
11
Integral
Was ist das?
◮
Informal: Ein Maß für die (orientierte) Fläche zwischen
Funktionsgraph und x-Achse.
◮
Formal: Technische Konstruktion mit Zerlegung,
Zwischenpunkten, usw.
Was kann man damit machen?
◮
Die Größe von krummlinig berandeten Flächen ausrechnen.
Was muss man darüber wissen?
◮
◮
◮
Rb
Hauptsatz der Integralrechnung: a f ′ (x)dx = f (b) − f (a)
R
Unbestimmtes Integral: f (x)dx = g(x) falls g ′ (x) = f (x)
Wie man einfache Integrale ausrechnet
11
Gesamtpanorama
Reelle Zahlen
Folgen
• Konvergenzbegriff
• Standardbeispiele
• Rechenregeln für lim
• Sandwichtheorem
• Monotoniekriterium
Reihen
• Konvergenzbegriff
• Standardbeispiele
• Minoranten- und Majorantenkriterium
• Quotienten- und Wurzelkriterium
• Potenzreihen
1D-Funktionen R → R
• Konvergenz
• Stetigkeit
• Ableitung
• Integral
Felder Rn → Rn
• Rotation
• Divergenz
• Kurvenintegral
• Integrierbarkeit
Flächen R2 → R3
• Integral über Gebirge
• Integral über Feld
• Satz von Stokes
• Satz von Gauss
Gebirge Rn → R
• Konvergenz
• Stetigkeit
• Ableitung
• Extremwerte
• Integral
Kurven R → Rn
• Konvergenz
• Stetigkeit
• Ableitung
• Kurvenintegral
12
Gesamtpanorama
Reelle Zahlen
Folgen
• Konvergenzbegriff
• Standardbeispiele
• Rechenregeln für lim
• Sandwichtheorem
• Monotoniekriterium
Reihen
• Konvergenzbegriff
• Standardbeispiele
• Minoranten- und Majorantenkriterium
• Quotienten- und Wurzelkriterium
• Potenzreihen
1D-Funktionen R → R
• Konvergenz
• Stetigkeit
• Ableitung
• Integral
Felder Rn → Rn
• Rotation
• Divergenz
• Kurvenintegral
• Integrierbarkeit
Flächen R2 → R3
• Integral über Gebirge
• Integral über Feld
• Satz von Stokes
• Satz von Gauss
Gebirge Rn → R
• Konvergenz
• Stetigkeit
• Ableitung
• Extremwerte
• Integral
Kurven R → Rn
• Konvergenz
• Stetigkeit
• Ableitung
• Kurvenintegral
12
Gebirge
13
Gebirge
Was ist das?
13
Gebirge
Was ist das?
◮
Informal:
13
Gebirge
Was ist das?
◮
Informal:
◮
Formal: Eine Funktion D → R, wobei D ⊆ Rn .
13
Gebirge
Was ist das?
◮
Informal:
◮
Formal: Eine Funktion D → R, wobei D ⊆ Rn .
Was kann man damit machen?
13
Gebirge
Was ist das?
◮
Informal:
◮
Formal: Eine Funktion D → R, wobei D ⊆ Rn .
Was kann man damit machen?
◮
massive Objekte in mehrdimensionalen Räumen beschreiben.
13
Gebirge
Was ist das?
◮
Informal:
◮
Formal: Eine Funktion D → R, wobei D ⊆ Rn .
Was kann man damit machen?
◮
massive Objekte in mehrdimensionalen Räumen beschreiben.
◮
Zusammenhänge modellieren, die von mehr als einem
Parameter abhängen.
13
Gebirge
Was ist das?
◮
Informal:
◮
Formal: Eine Funktion D → R, wobei D ⊆ Rn .
Was kann man damit machen?
◮
massive Objekte in mehrdimensionalen Räumen beschreiben.
◮
Zusammenhänge modellieren, die von mehr als einem
Parameter abhängen.
Was muss man darüber wissen?
13
Gebirge
Was ist das?
◮
Informal:
◮
Formal: Eine Funktion D → R, wobei D ⊆ Rn .
Was kann man damit machen?
◮
massive Objekte in mehrdimensionalen Räumen beschreiben.
◮
Zusammenhänge modellieren, die von mehr als einem
Parameter abhängen.
Was muss man darüber wissen?
◮
wie man solche Funktionen auf Stetigkeit untersucht,
Richtungsableitungen bestimmt und einfache Integrale
berechnet.
13
Konvergenz und Stetigkeit
14
Konvergenz und Stetigkeit
◮
f : D → R konvergiert bei einem Punkt ξ ∈ D ⊆ Rn gegen
einen Wert y ∈ R, falls
∀ ε > 0 ∃ δ > 0 ∀ x ∈ D \ {ξ} : ||x − ξ|| < δ ⇒ |f (x) − y| < ε
14
Konvergenz und Stetigkeit
◮
f : D → R konvergiert bei einem Punkt ξ ∈ D ⊆ Rn gegen
einen Wert y ∈ R, falls
∀ ε > 0 ∃ δ > 0 ∀ x ∈ D \ {ξ} : ||x − ξ|| < δ ⇒ |f (x) − y| < ε
◮
Dies ist genau dann der Fall, wenn für jede (!) Folge (x(k) )
in D, die (koordinatenweise) gegen ξ konvergiert, die Folge
(f (x(k) )) in R gegen y konvergiert.
14
Konvergenz und Stetigkeit
◮
f : D → R konvergiert bei einem Punkt ξ ∈ D ⊆ Rn gegen
einen Wert y ∈ R, falls
∀ ε > 0 ∃ δ > 0 ∀ x ∈ D \ {ξ} : ||x − ξ|| < δ ⇒ |f (x) − y| < ε
◮
◮
Dies ist genau dann der Fall, wenn für jede (!) Folge (x(k) )
in D, die (koordinatenweise) gegen ξ konvergiert, die Folge
(f (x(k) )) in R gegen y konvergiert.
f ist stetig in ξ, falls limx→ξ f (x) = f (ξ) ist.
14
Konvergenz und Stetigkeit
◮
f : D → R konvergiert bei einem Punkt ξ ∈ D ⊆ Rn gegen
einen Wert y ∈ R, falls
∀ ε > 0 ∃ δ > 0 ∀ x ∈ D \ {ξ} : ||x − ξ|| < δ ⇒ |f (x) − y| < ε
◮
Dies ist genau dann der Fall, wenn für jede (!) Folge (x(k) )
in D, die (koordinatenweise) gegen ξ konvergiert, die Folge
(f (x(k) )) in R gegen y konvergiert.
◮
f ist stetig in ξ, falls limx→ξ f (x) = f (ξ) ist.
◮
Als Nachweis für Unstetigkeit in einem Punkt ξ genügt es,
zwei Folgen (x(k) ) und (y (k) ) in D anzugeben mit
lim x(k) = lim y (k) = ξ und lim f (x(k) ) 6= lim f (y (k) ).
k→∞
k→∞
k→∞
k→∞
14
Konvergenz und Stetigkeit
◮
f : D → R konvergiert bei einem Punkt ξ ∈ D ⊆ Rn gegen
einen Wert y ∈ R, falls
∀ ε > 0 ∃ δ > 0 ∀ x ∈ D \ {ξ} : ||x − ξ|| < δ ⇒ |f (x) − y| < ε
◮
Dies ist genau dann der Fall, wenn für jede (!) Folge (x(k) )
in D, die (koordinatenweise) gegen ξ konvergiert, die Folge
(f (x(k) )) in R gegen y konvergiert.
◮
f ist stetig in ξ, falls limx→ξ f (x) = f (ξ) ist.
◮
Als Nachweis für Unstetigkeit in einem Punkt ξ genügt es,
zwei Folgen (x(k) ) und (y (k) ) in D anzugeben mit
lim x(k) = lim y (k) = ξ und lim f (x(k) ) 6= lim f (y (k) ).
k→∞
◮
k→∞
k→∞
k→∞
Als Nachweis für Stetigkeit genügt es nicht, dass f stetig
bezüglich jeder Variablen“ ist.
”
14
Richtungsableitung, Gradient und totale Ableitung
15
Richtungsableitung, Gradient und totale Ableitung
◮
(ξ)
∂
Richtungsableitung: ∂v
f (ξ) := limh→0 f (ξ+hv)−f
.
h
Dabei leben v und ξ in Rn und h lebt in R.
15
Richtungsableitung, Gradient und totale Ableitung
◮
◮
(ξ)
∂
Richtungsableitung: ∂v
f (ξ) := limh→0 f (ξ+hv)−f
.
h
Dabei leben v und ξ in Rn und h lebt in R.
∂
Partielle Ableitungen ∂x
f (ξ) = Richtungsableitung bezüglich
i
eines Einheitsvektors = Ableitungen bezüglich einer Variablen
15
Richtungsableitung, Gradient und totale Ableitung
◮
◮
◮
(ξ)
∂
Richtungsableitung: ∂v
f (ξ) := limh→0 f (ξ+hv)−f
.
h
Dabei leben v und ξ in Rn und h lebt in R.
∂
Partielle Ableitungen ∂x
f (ξ) = Richtungsableitung bezüglich
i
eines Einheitsvektors = Ableitungen bezüglich einer Variablen
Gradient: grad f (x1 , . . . , xn ) :=
∂
∂
f
(x
,
.
.
.
,
x
)
f
(x
,
.
.
.
,
x
),
.
.
.
,
1
n
1
n
∂x1
∂xn
15
Richtungsableitung, Gradient und totale Ableitung
◮
◮
◮
◮
(ξ)
∂
Richtungsableitung: ∂v
f (ξ) := limh→0 f (ξ+hv)−f
.
h
Dabei leben v und ξ in Rn und h lebt in R.
∂
Partielle Ableitungen ∂x
f (ξ) = Richtungsableitung bezüglich
i
eines Einheitsvektors = Ableitungen bezüglich einer Variablen
Gradient: grad f (x1 , . . . , xn ) :=
∂
∂
f
(x
,
.
.
.
,
x
)
f
(x
,
.
.
.
,
x
),
.
.
.
,
1
n
1
n
∂x1
∂xn
Totale Ableitung: Ein Vektor f ′ (ξ) ∈ Rn mit der Eigenschaft
f (ξ + h) − f (ξ) − h · f ′ (ξ)
= 0.
h→0
||h||
lim
Hier lebt h jetzt in Rn und h · f ′ (ξ) meint das Skalarprodukt.
15
Richtungsableitung, Gradient und totale Ableitung
◮
◮
◮
◮
(ξ)
∂
Richtungsableitung: ∂v
f (ξ) := limh→0 f (ξ+hv)−f
.
h
Dabei leben v und ξ in Rn und h lebt in R.
∂
Partielle Ableitungen ∂x
f (ξ) = Richtungsableitung bezüglich
i
eines Einheitsvektors = Ableitungen bezüglich einer Variablen
Gradient: grad f (x1 , . . . , xn ) :=
∂
∂
f
(x
,
.
.
.
,
x
)
f
(x
,
.
.
.
,
x
),
.
.
.
,
1
n
1
n
∂x1
∂xn
Totale Ableitung: Ein Vektor f ′ (ξ) ∈ Rn mit der Eigenschaft
f (ξ + h) − f (ξ) − h · f ′ (ξ)
= 0.
h→0
||h||
lim
◮
Hier lebt h jetzt in Rn und h · f ′ (ξ) meint das Skalarprodukt.
Falls die totale Ableitung existiert, gilt f ′ (ξ) = grad f (ξ).
Es kann aber sein, dass grad f (ξ) existiert, aber f ′ (ξ) nicht.
15
Extremwertbestimmung
16
Extremwertbestimmung
◮
Wenn f differenzierbar ist und ξ eine Extremstelle von f , die
nicht am Rand von D liegt, dann muss ∇f (ξ) = 0 gelten.
16
Extremwertbestimmung
◮
◮
Wenn f differenzierbar ist und ξ eine Extremstelle von f , die
nicht am Rand von D liegt, dann muss ∇f (ξ) = 0 gelten.
Für die Punkte ξ, wo ∇f (ξ) = 0 gilt, betrachtet man die
Matrix mit den zweiten partiellen Ableitungen:

∂2
∂x1 ∂x1 f (ξ)
···

.
..
..
H := 
.
∂2
f
(ξ)
·
·
·
∂xn ∂x1

∂2
∂x1 ∂xn f (ξ)
..
.

n×n
.
∈R
∂2
∂xn ∂xn f (ξ)
Berechne alle Zahlen λ ∈ R mit det(H − λIn ) = 0. Dann gilt:
16
Extremwertbestimmung
◮
◮
Wenn f differenzierbar ist und ξ eine Extremstelle von f , die
nicht am Rand von D liegt, dann muss ∇f (ξ) = 0 gelten.
Für die Punkte ξ, wo ∇f (ξ) = 0 gilt, betrachtet man die
Matrix mit den zweiten partiellen Ableitungen:

∂2
∂x1 ∂x1 f (ξ)
···

.
..
..
H := 
.
∂2
f
(ξ)
·
·
·
∂xn ∂x1

∂2
∂x1 ∂xn f (ξ)
..
.

n×n
.
∈R
∂2
∂xn ∂xn f (ξ)
Berechne alle Zahlen λ ∈ R mit det(H − λIn ) = 0. Dann gilt:
◮
Sind all diese Zahlen positiv, liegt in ξ ein Minimum vor.
16
Extremwertbestimmung
◮
◮
Wenn f differenzierbar ist und ξ eine Extremstelle von f , die
nicht am Rand von D liegt, dann muss ∇f (ξ) = 0 gelten.
Für die Punkte ξ, wo ∇f (ξ) = 0 gilt, betrachtet man die
Matrix mit den zweiten partiellen Ableitungen:

∂2
∂x1 ∂x1 f (ξ)
···

.
..
..
H := 
.
∂2
f
(ξ)
·
·
·
∂xn ∂x1

∂2
∂x1 ∂xn f (ξ)
..
.

n×n
.
∈R
∂2
∂xn ∂xn f (ξ)
Berechne alle Zahlen λ ∈ R mit det(H − λIn ) = 0. Dann gilt:
◮
◮
Sind all diese Zahlen positiv, liegt in ξ ein Minimum vor.
Sind all diese Zahlen negativ, liegt in ξ ein Maximum vor.
16
Extremwertbestimmung
◮
◮
Wenn f differenzierbar ist und ξ eine Extremstelle von f , die
nicht am Rand von D liegt, dann muss ∇f (ξ) = 0 gelten.
Für die Punkte ξ, wo ∇f (ξ) = 0 gilt, betrachtet man die
Matrix mit den zweiten partiellen Ableitungen:

∂2
∂x1 ∂x1 f (ξ)
···

.
..
..
H := 
.
∂2
f
(ξ)
·
·
·
∂xn ∂x1

∂2
∂x1 ∂xn f (ξ)
..
.

n×n
.
∈R
∂2
∂xn ∂xn f (ξ)
Berechne alle Zahlen λ ∈ R mit det(H − λIn ) = 0. Dann gilt:
◮
◮
◮
Sind all diese Zahlen positiv, liegt in ξ ein Minimum vor.
Sind all diese Zahlen negativ, liegt in ξ ein Maximum vor.
Sind manche dieser Zahlen positiv und andere negativ, liegt in
ξ kein Extremum vor.
16
Integral und Volumen
17
Integral und Volumen
◮
Anschauung: Volumen zwischen Graph und Grundfläche.
17
Integral und Volumen
◮
Anschauung: Volumen zwischen Graph und Grundfläche.
◮
Integrale über Gebirge lassen sich als verschachtelte
gewöhnliche Integrale schreiben:
Z
f (x)dx =
[a,b]
Z
b1
a1
···
Z
bn
an
f (x1 , . . . , xn )dxn · · · dx1 .
Dabei ist a = (a1 , . . . , an ), b = (b1 , . . . , bn ), x = (x1 , . . . , xn ).
17
Integral und Volumen
◮
Anschauung: Volumen zwischen Graph und Grundfläche.
◮
Integrale über Gebirge lassen sich als verschachtelte
gewöhnliche Integrale schreiben:
Z
f (x)dx =
[a,b]
Z
b1
a1
···
Z
bn
an
f (x1 , . . . , xn )dxn · · · dx1 .
Dabei ist a = (a1 , . . . , an ), b = (b1 , . . . , bn ), x = (x1 , . . . , xn ).
◮
Falls D nicht von der Form [a, b] ist, aber wenigstens
D ⊆ [a, b] für gewisse a, b ∈ Rn gilt, setzt man f zu einer
Funktion Rf˜: [a, b] → R Rfort, die außerhalb von D Null ist und
definiert D f (x)dx := [a,b] f˜(x)dx.
17
Integral und Volumen
◮
Anschauung: Volumen zwischen Graph und Grundfläche.
◮
Integrale über Gebirge lassen sich als verschachtelte
gewöhnliche Integrale schreiben:
Z
f (x)dx =
[a,b]
Z
b1
a1
···
Z
bn
an
f (x1 , . . . , xn )dxn · · · dx1 .
Dabei ist a = (a1 , . . . , an ), b = (b1 , . . . , bn ), x = (x1 , . . . , xn ).
◮
◮
Falls D nicht von der Form [a, b] ist, aber wenigstens
D ⊆ [a, b] für gewisse a, b ∈ Rn gilt, setzt man f zu einer
Funktion Rf˜: [a, b] → R Rfort, die außerhalb von D Null ist und
definiert D f (x)dx := [a,b] f˜(x)dx.
Für solcheR D ist das Volumen V (D) definiert als
V (D) := D 1dx, sofern dieses Integral existiert.
17
Gesamtpanorama
Reelle Zahlen
Folgen
• Konvergenzbegriff
• Standardbeispiele
• Rechenregeln für lim
• Sandwichtheorem
• Monotoniekriterium
Reihen
• Konvergenzbegriff
• Standardbeispiele
• Minoranten- und Majorantenkriterium
• Quotienten- und Wurzelkriterium
• Potenzreihen
1D-Funktionen R → R
• Konvergenz
• Stetigkeit
• Ableitung
• Integral
Felder Rn → Rn
• Rotation
• Divergenz
• Kurvenintegral
• Integrierbarkeit
Flächen R2 → R3
• Integral über Gebirge
• Integral über Feld
• Satz von Stokes
• Satz von Gauss
Gebirge Rn → R
• Konvergenz
• Stetigkeit
• Ableitung
• Extremwerte
• Integral
Kurven R → Rn
• Konvergenz
• Stetigkeit
• Ableitung
• Kurvenintegral
18
Gesamtpanorama
Reelle Zahlen
Folgen
• Konvergenzbegriff
• Standardbeispiele
• Rechenregeln für lim
• Sandwichtheorem
• Monotoniekriterium
Reihen
• Konvergenzbegriff
• Standardbeispiele
• Minoranten- und Majorantenkriterium
• Quotienten- und Wurzelkriterium
• Potenzreihen
1D-Funktionen R → R
• Konvergenz
• Stetigkeit
• Ableitung
• Integral
Felder Rn → Rn
• Rotation
• Divergenz
• Kurvenintegral
• Integrierbarkeit
Flächen R2 → R3
• Integral über Gebirge
• Integral über Feld
• Satz von Stokes
• Satz von Gauss
Gebirge Rn → R
• Konvergenz
• Stetigkeit
• Ableitung
• Extremwerte
• Integral
Kurven R → Rn
• Konvergenz
• Stetigkeit
• Ableitung
• Kurvenintegral
18
Kurven
19
Kurven
Was ist das?
19
Kurven
Was ist das?
◮
Informal:
19
Kurven
Was ist das?
◮
Informal:
◮
Formal: Eine Funktion [a, b] → Rn .
19
Kurven
Was ist das?
◮
Informal:
◮
Formal: Eine Funktion [a, b] → Rn .
Was kann man damit machen?
19
Kurven
Was ist das?
◮
Informal:
◮
Formal: Eine Funktion [a, b] → Rn .
Was kann man damit machen?
◮
Eindimensionale geometrische Objekte (Fäden, Drähte, usw.)
modellieren.
19
Kurven
Was ist das?
◮
Informal:
◮
Formal: Eine Funktion [a, b] → Rn .
Was kann man damit machen?
◮
Eindimensionale geometrische Objekte (Fäden, Drähte, usw.)
modellieren.
◮
Flugbahnen von Punkten im Raum beschreiben.
19
Kurven
Was ist das?
◮
Informal:
◮
Formal: Eine Funktion [a, b] → Rn .
Was kann man damit machen?
◮
Eindimensionale geometrische Objekte (Fäden, Drähte, usw.)
modellieren.
◮
Flugbahnen von Punkten im Raum beschreiben.
Was muss man darüber wissen?
19
Kurven
Was ist das?
◮
Informal:
◮
Formal: Eine Funktion [a, b] → Rn .
Was kann man damit machen?
◮
Eindimensionale geometrische Objekte (Fäden, Drähte, usw.)
modellieren.
◮
Flugbahnen von Punkten im Raum beschreiben.
Was muss man darüber wissen?
◮
Wie man eine Kurve auf Stetigkeit und Differenzierbarkeit
untersucht, und wie man einfache Kurvenintegrale berechnet.
19
Stetigkeit, Differenzierbarkeit, Kurvenintegral
20
Stetigkeit, Differenzierbarkeit, Kurvenintegral
◮
Eine Kurve γ : [a, b] → Rn , γ(t) = (γ1 (t), . . . , γn (t)) ist stetig,
falls jede Koordinatenfunktion γi : [a, b] → R stetig ist.
20
Stetigkeit, Differenzierbarkeit, Kurvenintegral
◮
◮
Eine Kurve γ : [a, b] → Rn , γ(t) = (γ1 (t), . . . , γn (t)) ist stetig,
falls jede Koordinatenfunktion γi : [a, b] → R stetig ist.
γ ist ableitbar, falls jede Koordinatenfunktion γi : [a, b] → R
ableitbar ist. In diesem Fall gilt γ ′ (t) = (γ1′ (t), . . . , γn′ (t)).
Anschauung: Der Vektor γ ′ (t) zeigt in die Richtung, in die
sich die Kurve zum Zeitpunkt t fortsetzt. Die Zahl ||γ ′ (t)|| ist
ein Maß für die Geschwindigkeit zum Zeitpunkt t.
20
Stetigkeit, Differenzierbarkeit, Kurvenintegral
◮
◮
Eine Kurve γ : [a, b] → Rn , γ(t) = (γ1 (t), . . . , γn (t)) ist stetig,
falls jede Koordinatenfunktion γi : [a, b] → R stetig ist.
γ ist ableitbar, falls jede Koordinatenfunktion γi : [a, b] → R
ableitbar ist. In diesem Fall gilt γ ′ (t) = (γ1′ (t), . . . , γn′ (t)).
Anschauung: Der Vektor γ ′ (t) zeigt in die Richtung, in die
sich die Kurve zum Zeitpunkt t fortsetzt. Die Zahl ||γ ′ (t)|| ist
ein Maß für die Geschwindigkeit zum Zeitpunkt t.
◮
Falls γ : [a, b] → D ⊆ Rn messbar und differenzierbar ist und
f : D → R stetig, so gilt
Z b
Z
f (γ(t))||γ ′ (t)||dt.
f (x)ds =
γ
a
Die Länge von γ ist L(γ) :=
R
γ
1ds.
20
Gesamtpanorama
Reelle Zahlen
Folgen
• Konvergenzbegriff
• Standardbeispiele
• Rechenregeln für lim
• Sandwichtheorem
• Monotoniekriterium
Reihen
• Konvergenzbegriff
• Standardbeispiele
• Minoranten- und Majorantenkriterium
• Quotienten- und Wurzelkriterium
• Potenzreihen
1D-Funktionen R → R
• Konvergenz
• Stetigkeit
• Ableitung
• Integral
Felder Rn → Rn
• Rotation
• Divergenz
• Kurvenintegral
• Integrierbarkeit
Flächen R2 → R3
• Integral über Gebirge
• Integral über Feld
• Satz von Stokes
• Satz von Gauss
Gebirge Rn → R
• Konvergenz
• Stetigkeit
• Ableitung
• Extremwerte
• Integral
Kurven R → Rn
• Konvergenz
• Stetigkeit
• Ableitung
• Kurvenintegral
21
Gesamtpanorama
Reelle Zahlen
Folgen
• Konvergenzbegriff
• Standardbeispiele
• Rechenregeln für lim
• Sandwichtheorem
• Monotoniekriterium
Reihen
• Konvergenzbegriff
• Standardbeispiele
• Minoranten- und Majorantenkriterium
• Quotienten- und Wurzelkriterium
• Potenzreihen
1D-Funktionen R → R
• Konvergenz
• Stetigkeit
• Ableitung
• Integral
Felder Rn → Rn
• Rotation
• Divergenz
• Kurvenintegral
• Integrierbarkeit
Flächen R2 → R3
• Integral über Gebirge
• Integral über Feld
• Satz von Stokes
• Satz von Gauss
Gebirge Rn → R
• Konvergenz
• Stetigkeit
• Ableitung
• Extremwerte
• Integral
Kurven R → Rn
• Konvergenz
• Stetigkeit
• Ableitung
• Kurvenintegral
21
Felder
22
Felder
Was ist das?
22
Felder
Was ist das?
◮
Informal:
22
Felder
Was ist das?
◮
Informal:
◮
Formal: Eine Funktion D → Rn mit D ⊆ Rn
22
Felder
Was ist das?
◮
Informal:
◮
Formal: Eine Funktion D → Rn mit D ⊆ Rn
Was kann man damit machen?
22
Felder
Was ist das?
◮
Informal:
◮
Formal: Eine Funktion D → Rn mit D ⊆ Rn
Was kann man damit machen?
◮
Kräftefelder (z. B. elektrische oder magnetische) beschreiben.
22
Felder
Was ist das?
◮
Informal:
◮
Formal: Eine Funktion D → Rn mit D ⊆ Rn
Was kann man damit machen?
◮
Kräftefelder (z. B. elektrische oder magnetische) beschreiben.
◮
Strömungen (z. B. in der Atmosphäre oder im Meer)
modellieren.
22
Felder
Was ist das?
◮
Informal:
◮
Formal: Eine Funktion D → Rn mit D ⊆ Rn
Was kann man damit machen?
◮
Kräftefelder (z. B. elektrische oder magnetische) beschreiben.
◮
Strömungen (z. B. in der Atmosphäre oder im Meer)
modellieren.
Was muss man darüber wissen?
22
Felder
Was ist das?
◮
Informal:
◮
Formal: Eine Funktion D → Rn mit D ⊆ Rn
Was kann man damit machen?
◮
Kräftefelder (z. B. elektrische oder magnetische) beschreiben.
◮
Strömungen (z. B. in der Atmosphäre oder im Meer)
modellieren.
Was muss man darüber wissen?
◮
Wie man Divergenz und Rotation eines Feldes bestimmt, wie
man einfache Kurvenintegrale berechnet, und wann ein Feld
ein Gradientenfeld ist.
22
Divergenz und Rotation
23
Divergenz und Rotation
◮
div(f1 , . . . , fn ) = ∂x∂ 1 f1 + · · · + ∂x∂ n fn gibt für ein Feld, das
eine Strömung beschreibt, an, wie viel Material im Punkt x
entsteht bzw. verschwindet.
Der Operator div überführt ein Feld in ein Gebirge.
23
Divergenz und Rotation
◮
◮
div(f1 , . . . , fn ) = ∂x∂ 1 f1 + · · · + ∂x∂ n fn gibt für ein Feld, das
eine Strömung beschreibt, an, wie viel Material im Punkt x
entsteht bzw. verschwindet.
Der Operator div überführt ein Feld in ein Gebirge.
rot(f1 , f2 , f3 ) =
∂
∂
∂
∂
∂
∂
gibt für ein
f
−
f
,
f
−
f
,
f
−
f
3
2
1
3
2
1
∂x2
∂x3
∂x3
∂x1
∂x1
∂x2
Feld, das eine Strömung beschreibt, an, wie stark und um
welche Achse ein mitschwimmendes Teilchen durch das Feld
in eine Rotation um sich selbst versetzt wird.
Der Operator rot überführt ein Feld in ein anderes Feld.
23
Divergenz und Rotation
◮
div(f1 , . . . , fn ) = ∂x∂ 1 f1 + · · · + ∂x∂ n fn gibt für ein Feld, das
eine Strömung beschreibt, an, wie viel Material im Punkt x
entsteht bzw. verschwindet.
Der Operator div überführt ein Feld in ein Gebirge.
◮
rot(f1 , f2 , f3 ) =
∂
∂
∂
∂
∂
∂
gibt für ein
f
−
f
,
f
−
f
,
f
−
f
3
2
1
3
2
1
∂x2
∂x3
∂x3
∂x1
∂x1
∂x2
Feld, das eine Strömung beschreibt, an, wie stark und um
welche Achse ein mitschwimmendes Teilchen durch das Feld
in eine Rotation um sich selbst versetzt wird.
Der Operator rot überführt ein Feld in ein anderes Feld.
◮
Sowohl div f als auch rot f können als Ableitung“ des
”
Feldes f aufgefasst werden.
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Kurvenintegrale über Feldern
24
Kurvenintegrale über Feldern
◮
Anschauung: (Potentielle) Energie, die ein Teilchen aufnimmt
bzw. abgibt, wenn es sich entlang einer Kurve im Feld bewegt.
24
Kurvenintegrale über Feldern
◮
◮
Anschauung: (Potentielle) Energie, die ein Teilchen aufnimmt
bzw. abgibt, wenn es sich entlang einer Kurve im Feld bewegt.
Definition: γ : [a, b] → Rn , f : D → Rn für ein D mit
γ([a, b]) ⊆ D ⊆ Rn . Dann:
Z b
Z
f (γ(t)) · γ ′ (t) dt.
f (x) · dx :=
γ
a
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Kurvenintegrale über Feldern
◮
◮
Anschauung: (Potentielle) Energie, die ein Teilchen aufnimmt
bzw. abgibt, wenn es sich entlang einer Kurve im Feld bewegt.
Definition: γ : [a, b] → Rn , f : D → Rn für ein D mit
γ([a, b]) ⊆ D ⊆ Rn . Dann:
Z b
Z
f (γ(t)) · γ ′ (t) dt.
f (x) · dx :=
a
γ
◮
Ist f = grad F für eine Funktion F : D → R1 , so gilt
Z
f (x) · dx = F (γ(b)) − F (γ(a))
γ
Wenn es so eine Funktion F gibt, dann hängt der Wert des
Integrals nur von den Endpunkten der Kurve ab und nicht von
ihrem genauen Verlauf dazwischen.
24
Gesamtpanorama
Reelle Zahlen
Folgen
• Konvergenzbegriff
• Standardbeispiele
• Rechenregeln für lim
• Sandwichtheorem
• Monotoniekriterium
Reihen
• Konvergenzbegriff
• Standardbeispiele
• Minoranten- und Majorantenkriterium
• Quotienten- und Wurzelkriterium
• Potenzreihen
1D-Funktionen R → R
• Konvergenz
• Stetigkeit
• Ableitung
• Integral
Felder Rn → Rn
• Rotation
• Divergenz
• Kurvenintegral
• Integrierbarkeit
Flächen R2 → R3
• Integral über Gebirge
• Integral über Feld
• Satz von Stokes
• Satz von Gauss
Gebirge Rn → R
• Konvergenz
• Stetigkeit
• Ableitung
• Extremwerte
• Integral
Kurven R → Rn
• Konvergenz
• Stetigkeit
• Ableitung
• Kurvenintegral
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Gesamtpanorama
Reelle Zahlen
Folgen
• Konvergenzbegriff
• Standardbeispiele
• Rechenregeln für lim
• Sandwichtheorem
• Monotoniekriterium
Reihen
• Konvergenzbegriff
• Standardbeispiele
• Minoranten- und Majorantenkriterium
• Quotienten- und Wurzelkriterium
• Potenzreihen
1D-Funktionen R → R
• Konvergenz
• Stetigkeit
• Ableitung
• Integral
Felder Rn → Rn
• Rotation
• Divergenz
• Kurvenintegral
• Integrierbarkeit
Flächen R2 → R3
• Integral über Gebirge
• Integral über Feld
• Satz von Stokes
• Satz von Gauss
Gebirge Rn → R
• Konvergenz
• Stetigkeit
• Ableitung
• Extremwerte
• Integral
Kurven R → Rn
• Konvergenz
• Stetigkeit
• Ableitung
• Kurvenintegral
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Flächen
26
Flächen
Was ist das?
26
Flächen
Was ist das?
◮
Informal:
26
Flächen
Was ist das?
◮
Informal:
◮
Formal: Eine Funktion D → R3 mit D = [a, b] × [c, d] ⊆ R2
26
Flächen
Was ist das?
◮
Informal:
◮
Formal: Eine Funktion D → R3 mit D = [a, b] × [c, d] ⊆ R2
Was kann man damit machen?
26
Flächen
Was ist das?
◮
Informal:
◮
Formal: Eine Funktion D → R3 mit D = [a, b] × [c, d] ⊆ R2
Was kann man damit machen?
◮
Gekrümmte zweidimensionale Objekte im dreidimensionalen
Raum beschreiben.
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Flächen
Was ist das?
◮
Informal:
◮
Formal: Eine Funktion D → R3 mit D = [a, b] × [c, d] ⊆ R2
Was kann man damit machen?
◮
Gekrümmte zweidimensionale Objekte im dreidimensionalen
Raum beschreiben.
Was muss man darüber wissen?
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Flächen
Was ist das?
◮
Informal:
◮
Formal: Eine Funktion D → R3 mit D = [a, b] × [c, d] ⊆ R2
Was kann man damit machen?
◮
Gekrümmte zweidimensionale Objekte im dreidimensionalen
Raum beschreiben.
Was muss man darüber wissen?
◮
Für die Klausur: nichts.
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