BINOMIALKOEFFIZIENTEN

BINOMIALKOEFFIZIENTEN
Stochastik und ihre
Didaktik
Referentin: Iris Winkler
10.11.2008
BINOMIALKOEFFIZIENTEN
z
2
Aufgabe:
Führen Sie in der Sekundarstufe II die Binomialkoeffizienten als
kombinatorisches Anzahlproblem ein. Erarbeiten Sie mit den
Schülerinnen und Schülern mithilfe kombinatorischer Überlegungen,
d.h. ohne Rechnung folgende Eigenschaften der Binomialkoeffizienten:
n
k
n k
k
0
k
1
a b
n
k
n
n
k
k
a
n
2
n
k 1
n 1
k
k
n an
1
1
b
n
n 1
ab
n 1
n
b
BINOMIALKOEFFIZIENTEN
z
Einführungsbeispiel: Minilotto „3 aus 5“
In einer Lottomaschine befinden sich 5
Kugeln, die mit den Ziffern 1 bis 5 beschriftet
sind. Die Maschine greift 3 Kugeln zufällig
heraus. Gewonnen hat nur, wer alle 3
gezogenen Zahlen getippt hat. Wie viele
Tipps muss man abgeben um mit Sicherheit
zu gewinnen?
3
BINOMIALKOEFFIZIENTEN
Mögliche Schülerantworten:
1
2
3
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
4
x
x
x
x
x
x
x
x
x
5
x
x
x
4
x
x
Wie können wir überprüfen, ob wir keinen Tipp vergessen haben?
x
x
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z
5
Welches Spiel ist günstiger: „3 aus 5“ oder
„2 aus 5“? Bei welchem Spiel gibt es mehr
Tipps?
BINOMIALKOEFFIZIENTEN
z
z
6
Welches Spiel ist günstiger: „3 aus 5“ oder
„2 aus 5“? Bei welchem Spiel gibt es mehr
Tipps?
Ergebnis: Es sind genauso viele Tipps!
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z
z
z
7
Welches Spiel ist günstiger: „3 aus 5“ oder
„2 aus 5“? Bei welchem Spiel gibt es mehr
Tipps?
Ergebnis: Es sind genauso viele Tipps!
Die Tipps vom Spiel „2 aus 5“ passen genau
in die Lücken der Tipps beim Spiel „3 aus 5“.
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z
8
Wie viele Tipps gibt es beim Spiel „4 aus 5“?
BINOMIALKOEFFIZIENTEN
z
z
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Wie viele Tipps gibt es beim Spiel „4 aus 5“?
Antwort: Genauso viele wie beim Spiel
„1 aus 5“!
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z
Zeichen einführen:
5
3
5
4
Allgemein:
10
3 auswählen ist gleichbedeutend
mit 2 nicht auswählen bzw.
umgekehrt.
5 10
2
5 5
1
4 auswählen ist gleichbedeutend
mit 1 nicht auswählen bzw.
umgekehrt.
n
k
n
n k
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z Wie
können wir nun die
5
Anzahl von 3 berechnen?
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z
Ankreuzen der Zahlen ist Ziehen ohne
Zurücklegen
Wenn Reihenfolge wichtig:
5*4*3 3-Tupel als mögliche Tipps
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z
Nun ist beim Lotto jedoch die Reihenfolge der Zahlen
unwichtig
Die 3-Tupel die sich nur in der
Anordnung ihrer Elemente
unterscheiden fallen zu einem Tipp
zusammen.
Bei einem 3-Tupel sind das also 3! verschiedene
Anordnungen.
Es ergeben sich beim Minilotto „3 aus 5“ somit
13
5 4 3
10
3
verschiedene Tipps.
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z
z
Beim Minilotto werden aus einer 5-elementigen
Menge ungeordnete Stichproben vom Umfang 3 ohne
Zurücklegen gezogen. Eine solche Stichprobe stellt
eine 3-elementige Teilmenge der 5-elementigen
Menge dar.
Es gibt insgesamt genau
5 4 3
3
5 4 3 2 1
3 2 1
solcher Teilmengen.
14
5
3 5 3
5
3
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Allgemein:
Eine n-elementige Menge besitzt genau
n
k
n
k n k
k-elementige Teilmengen.
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z
analoge Definition im Urnenmodell:
Es gibt
n
k
n
k n k
Möglichkeiten,
aus einer Urne mit n unterscheidbaren
Kugeln eine Teilmenge von k Kugeln ohne
Zurücklegen zu entnehmen, wenn die
Reihenfolge dabei keine Rolle spielt.
16
BINOMIALKOEFFIZIENTEN
z
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Aufgabe:
Herr A tippt im Minilotto „3 aus 5“ immer die 5, weil
es seine Glückszahl ist.
Frau B dagegen hat die 5 als Unglückszahl und tippt
deshalb nie die 5.
Herrn C ist das alles egal. Er hat keine bestimmte
Glückszahl und kann deshalb auf alle Zahlen tippen.
Wie viele Möglichkeiten zu tippen hat jeder von
ihnen?
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Allgemein:
n
k
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n
k 1
n 1
k
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z
Allgemein:
n
k
n
n k
n 1
k
Es sollten diverse Aufgaben zur Anwendung der
Binomialkoeffizienten folgen.
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z
20
Spiel „k aus n“:
n\k
0
1
2
3
4
5
0
1
1
1
1
2
1
2
1
3
1
3
3
1
4
1
4
6
4
1
5
1
5
10
10
5
1
6
1
6
15
20
15
6
6
1
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Spiel „k aus n“:
n\k
0
1
2
3
4
5
0
1
1
1
1
2
1
2
1
3
1
3
3
1
4
1
4
6
4
1
5
1
5
10
10
5
1
6
1
6
15
20
15
6
6
1
⇒Die Binomialkoeffizienten ergeben die Zahlen des PASCALschen Dreiecks.
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verwendete Literatur:
- Kreiner, K.H.: Zur Einführung von Binomialkoeffizienten in der
Erprobungsstufe aus Mathematik in der Schule 31 (1993) 5, S.
270-276
- Bigalke/Köhler: Mathematik 13.2, Cornelsen Verlag, Berlin, 1.
Auflage 1995