Statistik - FernUni Hagen

LOT S E
Statistik
Kurseinheit 9
Lösungskommentare
Aufgabe 1
B und D sind richtig.
Zu A, C und E: Siehe KE 9, Seite 22, Abschnitt 3.
Zu B: Vergleichen Sie KE 9, Seite 16, unten.
Zu D: Für die Verteilung der jeweiligen Stichprobenfunktion ist es wichtig, ob die einzelnen Elemente unabhängig
voneinander gezogen werden oder nicht. Betrachtet man beispielsweise die Stichprobenfunktion
X=
1 n
∑ Xi , so gilt:
n i =1
Stichprobe mit Zurücklegen Stichprobe ohne Zurücklegen aus endlicher Grundgesamtheit
( )
( )
E X = µ
( )
Var X =
σ2
n
E X = µ
( )
Var X =
σ2 N − n
n N −1
(Siehe Kurseinheit 9, S. 28, 29.)
Aufgabe 2
D ist richtig.
Da ohne Zurücklegen gezogen wird, gilt=
σ2
x
Da
σ2 N − n
= 4.
n N −1
n
N −n
σ2
4
=
= 0, 004 < 0, 05 kann
= 4.
vernachlässigt werden, d.h. σ2=
x
N 1000
N −1
n
Daraus folgt, daß σ2 = n × 4 = 16 ist.
σ2 16
= .
n
n
Wenn σ2 =
2 sein soll, gilt: 2 =σ2 =
x
x
Daraus folgt, daß n = 8 sein muß.
Bemerkung: Bei Verwendung der Endlichkeitskorrektur bekommt man das gleiche Ergebnis.
2
Aufgabe 3
C ist richtig.
Zu A: Die BAFÖG-Empfänger bilden nicht ohne weiteres eine repräsentative Auswahl aus der Grundgesamtheit.
Zu B: Die Klausurteilnehmer stellen eine spezielle Untermenge der Grundgesamtheit dar, bedingt durch
Fachzugehörigkeit, Semesterzahl usw.
Zu D: Es fahren nicht alle Studenten mit einem Auto zur Universität; außerdem kommen an dem bestimmten
Zeitpunkt höchstwahrscheinlich nur Teilnehmer an ganz bestimmten konkreten Lehrveranstaltungen.
Aufgabe 4
E ist richtig.
Da ohne Zurücklegen gezogen wird, ist die hypergeometrische Verteilung zu benutzen. Der Anteil Θ von roten
Kugeln ist 0,375, da 37,5% der Kugeln rot sind.
Also ist M = N × Θ = 8 × 0,375 = 3. Weiter sind N = 8 und n = 3.
 3  5 
 × 
1
2
H (1 8,3,3) =    
8
 
 3
=
3 × 10 30
= = 0,5357.
8 × 7 56
Aufgabe 5
C ist richtig.
Die Anzahl der Kugeln ist so groß, daß man N = ∞ annehmen kann. Also wird die Binomialverteilung verwendet
mit
=
Θ 0,375
=
3
und
=
n 5.
8
2
3
5 3   5 
B ( 2 5;0,375) =      
2 8   8 
9
125 11250
= 10 × ×
=
= 0,3433.
64 64 × 8 32768
3
Aufgabe 41
Da ohne Zurücklegen gezogen wird, wird die hypergeometrische Verteilung verwandt.
M
= Θ = 0, 4 < 0,9,
N
n
150
= < 0, 05 gilt,
n=
150 > 30 und
N 91375
Da 0,1 <
können wir die Wahrscheinlichkeit einfacher durch die Normalverteilung bestimmen.
Die Zufallsvariable X , die die Anzahl der roten Kugeln in der Stichprobe darstellt, ist somit annähernd
N ( 60;36 ) -verteilt.
Damit gilt
72 − 60 
 66 − 60
P ( 66 ≤ X=
≤ 72 ) P 
≤Z≤
6 
 6
= P (1 ≤ Z ≤ 2 )
= F1 ( 2 ) − F1 (1)
ohne Stetigkeitskorrektur
= 0, 4772 − 0,3413
= 0,1359.
Aufgabe 42

σ 
 5
X ist in diesem Fall N  µ;
 , d.h. N  0; 7  -verteilt.
49 



Es gilt deshalb

 α 5
P  X ≤ z  1 −  ×  = 1 − α,
 2  7

speziell für α =0, 05
5

P  X ≤ z ( 0,975) ×  =
0,95
7

Daraus folgt
5
5
a= z ( 0,975) × = 1,96 × = 1, 4.
7
7
Aufgabe 43
Man erhält folgende Zahlen: 3376 7855 8573 6585 5917...
Da insgesamt 600 Lose vorhanden sind, werden 3-stellige Zahlen gebildet: 337 678 558 573 658 559...
Davon werden die Zahlen weggelassen, die größer als 600 sind: 337 558 573 559...
Die dritte Zahl ist also 573.