Analysis I ¨Ubung - Blatt 3, für den 27. 10. 2010, 9:00 17. Man

Analysis I Übung - Blatt 3, für den 27. 10. 2010, 9:00
17. Man zeige mittels vollständiger Induktion: Für n ∈ N gilt:
Pn
n
n
(a)
k=0 k = 2
Pn
n(n+1)
(b)
k=1 k =
2
Pn
q n+1 −1
k
(c) Für q ∈ R \ {1} :
k=0 q = q−1
Pn
1
1
(d)
k=1 k(k+1) = 1 − n+1
18. Sei I eine Indexmenge, und für alle i ∈ I sei Mi eine induktive Menge. Man zeige
\
Mi
i∈I
ist induktiv.
19. α heißt Multiindex der Ordnung m, falls α ∈ Nm
0 ist. Für solche α definiert man
|α| :=
m
X
αi
und
α! :=
i=1
m
Y
αi !
i=1
Man zeige die Multinomialformel: Für alle m, n ∈ N und a1 , . . . , am ∈ R gilt:
m
X
(
ai )n =
i=1
X
α∈Nm
0 :|α|=n
m
n! Y αi
a
α! i=1 i
Hinweis: Vollständige Induktion über m, Verwendung der Binomialformel.
20. Sei (M, ≤) eine linear geordnet Menge. Ein Dedekindscher Schnitt (A|B) besteht
aus nicht-leeren Teilmengen A, B ⊂ M , sodass M = A ∪ B und ∀a ∈ A, b ∈ B gilt
a < b. c ∈ M ist eine Trennungszahl von (A|B) falls ∀a ∈ A, b ∈ B : a ≤ c ≤ b gilt.
(a) Man zeige dass die Trennungszahl c im Allgemeinen nicht eindeutig sein muss.
(b) Man zeige: Falls (M, ≤) ein angeordneter Körper ist, dann ist die Trennungszahl
c eindeutig.
21. Sei (M, ≤) eine linear geordnete, endliche Menge.
(a) Man zeige: M besitzt ein größtes Element. Hinweis: Vollständige Induktion
bzgl. der Mächtigkeit von M .
(b) Man schließe daraus: Es gibt keinen angeordneten, endlichen Körper.
1
22. Man zeige, dass Z bzgl. + abgeschlossen ist. Dazu zeige man zuerst, dass für alle
n, m ∈ N gilt:
n > m ⇒ ∃k ∈ N : n = m + k
Hinweis: Vollständige Induktion über n. Insbesonders der Induktionsschritt ist detailliert zu beweisen. Es dürfen nur Definitionen und Sätze aus der Vorlesung verwendet werden.
23. Man zeige: Für alle m ∈ N gibt es Zahlen am,0 , . . . , am,m+1 , so dass für alle n ∈ N
gilt:
n
m+1
X
X
im =
am,l nl
i=1
l=0
Hinweis: Man zeige zuerst dass es für alle m
∈ N Zahlen bm,0 , . . . bm,m gibt, so dass
Pm
m+1
m+1
für dm,n := (n + 1)
−n
gilt: dm,n = l=0 bm,l nl und es gilt bm,m = m + 1.
24. Man zeige:
(a) Für alle k, n, m ∈ N, k ≤ n < m gilt:
m 1
n 1
≤
k
k mk
k n
Falls k > 1 ist, kann ≤ durch < ersetzt werden.
(b) Für alle n, m ∈ N mit n < m gilt:
n m
1
1
< 1+
1+
n
m
(c) Für n ∈ N gilt:
1
1+
n
2
n
≤
n
X
1
<3
k!
k=0