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Die Polynomdivision

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Die Polynomdivision
F(x) = x³ + 2x² -5x – 6
Nullstellen berechnen
MNF nicht möglich
Problem!!!
Ausklammern nicht möglich wegen „-6“
Lösung:
 Funktionen lassen sich sowohl in der Summenform als auch in der Produktform
schreiben.
Bsp:
Produktform f(x)=0
Nullstellen
Summenform f(x)=0
0 = (_____) (_____)
x1=2 x2=-3
0 = x² + x -6
Linearfaktoren
der Nullstellen
 Funktionsterm = Linearfaktor der Nullstelle x Polynom
Wir stellen um!
Polynom
= Funktionsterm : Linearfaktor der Nullstelle
g(x)
=
f(x)
:
(x - x1)
 Die erste Nullstelle x1 muss erraten werden, jedoch kann die Suche eingegrenzt
werden:
f(x) = x³ + 2x² - 5x -6  Teiler: -6 ; -3 ; -2 ; -1 ; 0 ; 1 ; 2 ; 3 ; 6
 Nullsetzen
0 = x³ + 2x² - 5x -6
x = -3 einsetzen
0 = -27 + 18 + 15 - 6 = 0 ✔ x1 = -3

f(x)
: (x - x1) = g(x)
Einsetzen und ordnen, Potenz sinkend von links nach rechts.
(x³ + 2x² -5x – 6) : (x + 3) = g(x)
 3 Schritte
1.
2.
3.
(x³ +2x² -5x -6) : (x + 3) = x² -x -2
1. x³ : x = x² 2. x² x = x³ ; x² 3 = 3x²
-(x³ +3x²)
3. Unten von oben subtrahieren
-x² -5x
-5x herunterziehen 1. -x² : x = -x 2. -x x = -x² ; -x 3 = -3x
-(-x² -3x)
3. Unten von oben subtrahieren
-2x -6
-6 herunterziehen 1. -2x : x = -2 2. -2 x = -2x ; -2 3 = -6
-(-2x -6)
3. Unten von oben subtrahieren
0
Ende, die Division ging auf.
x² -x -2
Weitere Nullstellen bestimmen, indem
man die Teiler von -2 für x einsetzt.
Produktform:
0 = (x - x1) (x - x2) (x + 3)
Nun kann man die Werte in die
Mitternachtsformel
einsetzten. Die
Formel kann hierfür nullgesetzt werden,
denn ein Produkt wird 0, wenn einer der
Faktoren 0 wird.
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