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probeklausur (1)

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Hochschule für Technik und Wirtschaft Berlin
Wintersemester 2019/2020
31. Dezember 2019
Fachbereich 1
St. Neumeier
Probe – Klausur
Mathematik I für CE
Name: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Vorname: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Matr.–Nr.: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Studiengang: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2 Letzter Versuch
2 Letzte Belegung
Das ist eine Probeklausur für zuhause. Sie wird von mir nicht korrigiert und
nicht bewertet. Auf der letzten Seite finden Sie die Umrechnungstabelle der erreichten Punkte in eine Klausurnote.
Es ist nur 1 handbeschriebenes DIN A4-Blatt mit Notizen zugelassen.
Sie schreiben Ihre Lösungen zunächst auf die karierten Flächen unterhalb der
Aufgabenstellungen. Wenn der Platz nicht reicht, setzen Sie auf zusätzliche
Blätter fort, die Sie von mir während der Klausur gestellt bekommen werden.
Es ist kein eigenes Schreibpapier (außer Ihrem Notizzettel) zugelassen, auch
nicht auf den Tischen.
Die gehefteten Blätter sind nicht abzureißen. Fehlende Blätter gelten als Täuschungsversuch.
Mit Bleistift geschriebene Klausuren können nicht gewertet werden.
Geben Sie immer den vollständigen Rechenweg an.
Die Bearbeitungszeit beträgt 120 Minuten.
Die Klausur ist mit 30 von 60 Punkten bestanden.
Korrektur
1
2
3
1
4
5
6
Σ
1. Aufgabe
10 Punkte
Vereinfachen Sie die folgenden mathematischen Ausdrücke zur Aussagenlogik,
zu reellen und komplexen Zahlen und zu Matrizen. Bei jeder Berechnung ist
mindestens ein Zwischenschritt anzugeben.
A und B sind Aussagen mit unbekanntem Wahrheitswert.
b) ¬A ∧ ¬B ⇒ (A ∨ B) ,
10 + 30i
d)
,
8 − 6i
a) (¬A ∨ B) ∧ (A ∨ B) ,
7
c)
(Binomialkoeffizient),
3
!
!
!
1 −1
0 1
1 0
e)
+
.
2 3
1 0
0 1
2
2. Aufgabe
10 Punkte
Ermitteln Sie die Menge L aller Werte x ∈ R, für die die Ungleichung
x+8
<6
x−2
erfüllt; beschreiben Sie dabei die Menge L als Intervall oder als Vereinigung von
disjunkten Intervallen.
3
3. Aufgabe
10 Punkte
a) Lösen Sie die Gleichung für x ∈ C:
2x2 − 4x + 10 = 0.
b) Lösen Sie die Gleichung für z ∈ C, wobei die Lösungen in der Form reiϕ
mit r ∈ R+
0 und ϕ ∈ [0, 2π[ anzugeben sind.
z4 =
4
i
.
16
4. Aufgabe
10 Punkte
Gegeben sind die bijektiven Funktionen f , g und h mit
f : R → R, x 7→ 2x + 1;
g : R \ {−1} → R \ {0}, x 7→
1
;
x+1
+
2
h : R+
0 → R0 , x 7→ 2x .
a) Ermitteln Sie die Umkehrfunktionen f −1 , g −1 und h−1 .
b) Bilden Sie die Komposition f ◦ g ◦ h.
c) Wie ist die Funktion
k : R \ {−1} → R, x 7→
2
+1
x+1
aus f , g und/oder h zusammengesetzt?
Hinweis: Vergessen Sie nicht, in Ihren Antworten Definitions- und Wertemengen anzugeben.
5
5. Aufgabe
10 Punkte
Gegeben ist eine gebrochen-rationale Funktion f mit dem Funktionsterm
f (x) =
2x4 − 7x3 + 3x2 + 8x + 1
,
(x − 2)2 (x + 1)
und es sei bekannt, dass im Term f (x) Zähler- und Nennerpolynom keine gemeinsamen Nullstellen haben.
a) Bestimmen Sie die Definitionsmenge für die Funktion f . Geben Sie die
Polstellen von f zusammen mit ihrer Ordnung an.
b) Bestimmen Sie die Gleichungen für alle im Graphen von f auftretenden
Asymptoten (senkrecht und waagrecht/schräg).
6
6. Aufgabe
10 Punkte
Gegeben sind die drei reellen Matrizen

!
1

4 2
A :=
,
B := 
2
8 5
2
A, B und C mit

2 2

C :=
1 2
,
2 3
2 0 1
0 2 1
!
.
a) Berechnen Sie die Produkte AC und CB sowie die Inverse A−1 .
b) Die Matrix B ist invertierbar. Berechnen Sie die Inverse B −1 .
c) Lösen Sie das Gleichungssystem
A
x1
x2
!
7
=
−2
−7
!
.
(Diese Seite erscheint nicht in den echten“ Klausuren.)
”
Bewertungsschema
Es können 60 Punkte erreicht werden. Die Umrechnung der erreichten Punkte
ersehen Sie aus folgender Tabelle:
Punkte
in Prozent
Note
57-60
95–100
1,0
54-56
90–unter 95
1,3
51-53
85–unter 80
1,7
48-50
80–unter 75
2,0
45-47
75–unter 80
2,3
42-44
70–unter 75
2,7
39-41
65–unter 70
3,0
36-38
60–unter 65
3,3
33-35
55–unter 60
3,7
30-32
50–unter 55
4,0
bis 29
unter 50
5,0
Die Klausur wird als bestanden gewertet, wenn 30 oder mehr Punkte erreicht
wurden.
Die Klausur wird als nicht bestanden gewertet, wenn 29 oder weniger Punkte
erreicht wurden.
Ich wünsche Ihnen viel Erfolg! ,
Stefan Neumeier
8
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