Umod Loes

STR - ING
Übertragungstechnik
MOD - Lösungen 1
_______________________________________________________________________
Aufgabe 1
Skizzieren Sie den zeitlichen Signalverlauf und das Amplitudenspektrum einer Amplitudenmodulation für ein sinusförmiges Signal und für unterschiedlichen
Modulationsgrad. (m = 0,5 / 1 / 1.5 / 100).
2.π
ωs
uT
ωT
64
2
m
2.π
t
8
u s( t )
0 .. 127
f
10 .. 20
u 0 . cos ω s . t
uT
u0
1
u s ( t ) . cos ω T. t
u AM ( t )
A
2 . SFT ( a )
u AM ( t )
0.5
at
2.5
2
u s( t )
A
u AM ( t )
0
1.5
f
1
0
0.5
0
0
50
100
15
t
2.π
ωs
uT
ωT
64
1
m
2.π
t
8
u s( t )
0 .. 127
f
10 .. 20
u 0 . cos ω s . t
uT
20
f
u0
1
u s ( t ) . cos ω T. t
u AM ( t )
A
2 . SFT ( a )
u AM ( t )
1
at
2.5
2
u s( t )
u AM ( t )
A
0
1.5
f
1
0
0.5
0
50
0
100
15
t
ωs
uT
2.π
ωT
64
2
u s( t )
3
m
2.π
t
8
0 .. 127
f
10 .. 20
u 0 . cos ω s . t
uT
20
f
1.5
u0
1
u s ( t ) . cos ω T. t
u AM ( t )
A
2 . SFT ( a )
u AM ( t )
at
2.5
2
u s( t )
u AM ( t )
A
0
0
f
1.5
1
0.5
0
0
50
100
t
15
20
f
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Kurt Steudler
Leitungsgebundene Übertragung
Fel/str
STR - ING
Übertragungstechnik
MOD - Lösungen 2
_______________________________________________________________________
ωs
uT
2.π
ωT
64
0.01
m
2.π
u s( t )
t
8
0 .. 127
10 .. 20
f
u 0 . cos ω s . t
uT
u0
1
u s ( t ) . cos ω T. t
u AM ( t )
A
2 . SFT ( a )
u AM ( t )
100
at
1
0.8
u s( t )
A
0
u AM ( t )
0.6
f
0.4
0
0.2
0
0
50
15
100
20
f
t
_______________________________________________________________________
Aufgabe 2
Welcher Modulationsgrad ergibt sich, wenn die Amplituden der Seitenschwingungen
bei einer Amplitudenmodulation je 50% der Trägeramplitude betragen ?
m
u SB u T.
2
has solution(s)
m 2.
u SB
=>
uT
m
1
_______________________________________________________________________
Aufgabe 3
Bei einer Amplitudenmodulation mit m = 0,4 werden die Seitenschwingungen mit
300 mV auf dem Spektrum - Analysator gemessen. Wie gross ist die Amplitude des
Trägers ?
m
0.4
u SB
m
u SB u T.
2
0.3
has solution(s)
uT
2.
u SB
u T = 1.5
m
V
_______________________________________________________________________
Aufgabe 4
Ein Träger mit 10 V Amplitude werde mit m = 0,3 moduliert. Wie gross werden die
Amplituden der Seitenschwingungen ? (AM)
m
0.3
uT
10 V
u SB
u T.
m
2
u SB = 1.5
V
_______________________________________________________________________
─────────────────────────────────────────────────────────────────
Kurt Steudler
Leitungsgebundene Übertragung
Fel/str
STR - ING
Übertragungstechnik
MOD - Lösungen 3
_______________________________________________________________________
Aufgabe 5
Ein Signal von 800 Hz werde amplitudenmoduliert. Wir messen die untere Seitenschwingung bei 1,0002 MHz. Welche Frequenzen haben der Träger und die obere
Seitenschwingung ?
1.0002. MHz
fu
800. Hz
fs
has solution(s)
fu fT fs
fo
fT fs
fT
fu
f T = 1.001 MHz
fs
f o = 1.0018 MHz
_______________________________________________________________________
Aufgabe 6
Gegeben sei der nachstehende Verlauf eines Zeitsignales: 1
0 .. 300
t
x( t )
t
100 .
100
Φ(t
100 )
t
200 .
100
Φ(t
200 )
1
x( t )
0
0
50
100
150
t
200
250
300
Skizzieren Sie den Verlauf dieses Signales nach einer Frequenzmodulation mit fT =
0,03 und ∆fT = 0,0003.
Für die FM wird x(t) integriert zu X(t):
X( t )
fT
1 .
(t
200
2
100 ) . Φ ( t
∆f T
0.03
100 )
0.0003
1 .
(t
200
2
200 ) . Φ ( t
200 )
cos 2 . π . X( t ) . ∆ f T
U FM ( t )
f T .t
1
U FM ( t )
0
1
0
50
100
150
t
200
250
300
_______________________________________________________________________
1
Heaviside step function: Φ(x) = 1 if x ≥ 0, otherwise = 0
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Kurt Steudler
Leitungsgebundene Übertragung
Fel/str
STR - ING
Übertragungstechnik
MOD - Lösungen 4
_______________________________________________________________________
Aufgabe 7
Ein Signal mit fS = 4 kHz wird frequenzmoduliert. Der Frequenzhub betrage 16 kHz.
a)
Wie sieht das Spektrum aus ? (bis 7te Spektrallinie).
fS
4 . kHz
n
7 , 6 .. 7
16 . kHz
∆f T
∆φ T
∆φ T = 4
∆f T
fS
F( n )
n , ∆φ T
Jn
F( n )
0.015
0.049
0.5
0.132
0.281
F( n )
0.43
0.364
0
0.066
0
8
6
4
2
0
n
2
4
6
8
0.397
0.066
0.364
0.43
0.281
0.132
0.049
0.015
b)
Wie gross ist die Bandbreite des Signals, wenn Amplituden bis 10% berücksichtigt werden ?
B 10
2 . ∆f T
B 10 = 40 kHz
fS
=============
c)
Wie gross ist die Leistung des Signales innerhalb der Bandbreite nach b) verglichen mit der Leistung des unmodulierten Trägers ?
B 10
=5
2.f S
k
5 , 4 .. 5
Es muss somit inklusive der 5ten Harmonischen
(4te Oberwelle) gerechnet werden
P
( F( k ) )
2
k
P = 99.469 %
============
_______________________________________________________________________
Aufgabe 8
Auf einem Spektrum - Analysator beobachten Sie das folgende Amplitudenspektrum
eines mit einem sinusförmigen Signal frequenzmodulierten Trägers mit der Trägerfrequenz 1 MHz.
0.08 0.32 1.00 2.16 2.60 0.00 2.60 2.16 1.00 0.32 0.08 Volt
925 940 955 970 985 1000 1015 1030 1045 1060 1075 kHz
─────────────────────────────────────────────────────────────────
Kurt Steudler
Leitungsgebundene Übertragung
Fel/str
STR - ING
Übertragungstechnik
MOD - Lösungen 5
_______________________________________________________________________
a)
Wie gross ist der Frequenzhub des Sendesignals ?
Der Traeger ist Null bei ungefähr ∆φ T
oder genauer bei
∆φ T
n
2.3
wurzel J0 ∆φ T , ∆φ T
5 , 4 .. 5
5 . Jn
∆φ T = 2.403
n , ∆φ T
0.08
0.32
0.99
5 .Jn ( n , ∆φ T )
2
2.16
2.6
0
4.96 . 10
3
2.6
0
4
2
0
n
2
4
2.16
0.99
0.32
0.08
Die Signalfrequenz kann aus dem Spektrum berechnet werden:
∆f T
Somit wird der Frequenzhub
b)
15 . kHz
fS
∆φ T. f S
∆ f T = 36.044 kHz
Wie gross ist die Amplitude des Sendesignals ?
Bei FM ist dies die Amplitude des Trägers, hier 5 V.
c)
Wie gross ist die Leistung des Sendesignals an 50 Ohm ?
2
m
1 .. 5
P
( 5.V ) . .
2
50 . Ω . 2
Jn m , ∆φ T
m
2
P = 250 mW
==========
_______________________________________________________________________
Aufgabe 9
Berechnen Sie die Bandbreite (Seitenbandamplituden > 10%) einer winkelmodulierten Schwingung mit einem Phasenhub von 1 rad im Vergleich zur Bandbreite einer
amplitudenmodulierten Schwingung bei einer Signalfrequenz von 5 kHz.
fS
5 . kHz
B WM
B AM
2. f S
2.f S
∆φ T
1
∆φ T. f S
B WM = 20 kHz
B AM = 10 kHz
B WM
B AM
=2
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Kurt Steudler
Leitungsgebundene Übertragung
Fel/str
STR - ING
Übertragungstechnik
MOD - Lösungen 6
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Aufgabe 10
Ein Träger wird mit einer Frequenz von 10 kHz frequenzmoduliert und das Spektrum
auf einem Spektrum - Analysator mit zunehmendem Hub untersucht. Der Träger
verschwindet zum zweiten Mal bei einer Signalamplitude von 1,1 V.
a)
Wie gross ist der Frequenzhub ?
10 . kHz
fS
∆φ T
0 , 0.1 .. 6
U1
1.1 . V
1
J0 ∆φ T
0
0
∆φ T
∆f T
b)
2
3
4
5
6
∆φ T
5.5
∆φ T
∆φ T. f S
wurzel J0 ∆φ T , ∆φ T
∆φ T = 5.52
∆f T = 55.201 kHz
=================
Wie gross ist der Frequenzhub bei einer Signalamplitude von 1 V ?
U2
c)
1
1.V
∆ f T2
∆ f T.
U2
U1
∆ f T2 = 50.182 kHz
==================
Wieviel der Leistung wird im Fall b) in einer Bandbreite von 100 kHz
übertragen ?
∆φ T2
100. kHz
=5
2.f S
P
J0 ∆φ T2
∆ f T2
fS
wir muessen also 5 Oberwellen berücksichtigen
2
2.
Jn n , ∆φ T2
n
1 .. 5
2
P = 95.795 %
n
============
_______________________________________________________________________
Aufgabe 11
Wie gross ist die 1% Bandbreite bei einem Frequenzhub von 75 kHz und einer maximalen Modulationsfrequenz von 15 kHz ?
∆f T
B1
2. ∆f T
75 . kHz
2 . f Smax
f Smax
15 . kHz
B 1 = 210 kHz
=============
_______________________________________________________________________
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Kurt Steudler
Leitungsgebundene Übertragung
Fel/str
STR - ING
Übertragungstechnik
MOD - Lösungen 7
_______________________________________________________________________
Aufgabe 12
Mit einem Sprechfunkgerät sollen in einer Bandbreite von 17 kHz Signale von 300
Hz bis 3,4 kHz übertragen werden.
a)
Welcher Frequenzhub kann genutzt werden bei einer Übertragung von Seitenbandamplituden > 10 %
B 10
B 10
∆f T
b)
17 . kHz
2
f Smax
3.4 . kHz
f Smin
300 . Hz
∆f T = 5.1 kHz
f Smax
Zwischen welchen Werten ändert sich der Modulationsindex ?
η max
∆f T
η min
f Smax
η max = 1.5
============
∆f T
f Smin
η min = 17
===========
_______________________________________________________________________
Aufgabe 13
Durch Addition von zwei Seitenschwingungen mit einem um 90° verschobenen Träger wird eine Winkelmodulation mit kleinem Hub erzeugt.
Der Träger hat eine Spannung von 2 V und die Seitenschwingungen weisen je 100
mV auf.
Wie gross ist der maximale Phasenhub in rad und Grad ?
Die Spannungen U S
0.1 . V und
U T 2 . V stehen im Zeigerdiagramm
rechtwinklig aufeinander. Der eingeschlossene Winkel ist der gesuchte Phasenhub.
∆φ T
atan
2.U S
∆φ T = 0.1
UT
∆φ T = 5.711 grad
==========
_______________________________________________________________________
Aufgabe 14
Gegeben seien ein Antialiasing - Filter mit einer Grenzfrequenz von 5 kHz und die
Abtastfrequenz 8 kHz. Welche maximale Frequenz darf das Nutzsignal aufweisen ?
fA
f Smax
8 . kHz
fA
fG
fG
5 . kHz
f Smax = 3 kHz
============
_______________________________________________________________________
Aufgabe 15
Das Sprachband von 300 Hz bis 3,4 kHz soll abgetastet werden. Das Antialiasing Filter hat eine Grenzfrequenz von 4,6 kHz. Wieviele Stützpunkte müssen pro Sekunde übertragen werden ?
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Kurt Steudler
Leitungsgebundene Übertragung
Fel/str
STR - ING
Übertragungstechnik
MOD - Lösungen 8
_______________________________________________________________________
300 . Hz
f smin
fA
f smax
3400. Hz
f smax
fG
f A .s
n
4.6 . kHz
fG
3
n = 8 10
========
_______________________________________________________________________
Aufgabe 16
Ein periodisches Signal mit einer Periodendauer von 3,3 ms wird mit 8 kHz abgetastet. Es sollen mindestens 10 Harmonische berücksichtigt werden.
a)
b)
c)
Welche maximale Grenzfrequenz darf das Antialiasing - Filter aufweisen ?
Wie breit dürfen die Abtastimpulse höchstens sein, wenn 32 Kanäle im Zeitmultiplex übertragen werden sollen ?
Bei welchen Frequenzen geht die Hüllkurve des Spektrums dieser Abtastimpulse durch Null ?
Periode des Signales: T p
Abtastfrequenz:
3.3 . ms
1 .
fG
fA
10
f G = 4.97 kHz
Tp
===========
1
32 . f
Ti
T i = 3.906 µs
A
TA
===========
sin π . n .
x( n)
fA
8 . kHz
1
fA
Ti
TA
n
0 .. 80
n
x( n )
0
0.05
0
n
32
f
0
10
n.f A
20
30
5
f = 2.56 10
40
n
50
60
70
80
Hz
============
_______________________________________________________________________
Aufgabe 17
Ein Signal wird mit 44 kHz abgetastet. Übertragen werden unipolare Impulse mit einer Impulsdauer von 2,5 µs. Das Antialiasing - Filter hat eine Grenzfrequenz von 24
kHz.
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Kurt Steudler
Leitungsgebundene Übertragung
Fel/str
STR - ING
Übertragungstechnik
MOD - Lösungen 9
_______________________________________________________________________
a)
b)
Welche maximale Signalfrequenz kann übertragen werden ?
Welchen Verlauf hat das Amplitudenspektrum, wenn ein sinusförmiges Signal mit einer Frequenz von 4,4 kHz und einem Modulationsgrad von 1 eingesetzt wird ?
Welche Grenzfrequenz muss ein Tiefpass - Filter aufweisen, das sich für die
Demodulation eignet ?
Die Impulsbreite werde verlängert. Welchen Einfluss hat das auf Spektrum
und Demodulation ?
c)
d)
44 . kHz
fA
2.5 . µs
τ
24 . kHz
fG
4.4 . kHz
fS
1
a)
f Smax
b)
u s( t )
N
fA
1
512
f Smax = 20 kHz
fG
cos 2 . π . f S . t
n
fA
0 .. N
1
∆t
wenn mod t ,
u p( t )
1
fA
< τ , 1, 0
u PAM ( t )
10
f A .N
∆ t = 0.444 µs
= 22.727 µs
pn
u s ( t ) .u p( t )
u PAM ( n . ∆ t )
2
p
1
n
0
0
50
100
150
n .∆ t
200
µs
P
SFT ( p )
M
M = 256
letzte ( P )
m
0 .. M
1
∆f
1
∆ t .N
0.15
P
0
m
0.1
0.05
0
0
100
200
m .∆ f
300
400
500
kHz
c) Gleiche Grenzfrequenz wie Antialiasingfilter.
d) Kann durch verändern des Parameter τ mit MathCAD berechnet werden.
_______________________________________________________________________
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Kurt Steudler
Leitungsgebundene Übertragung
Fel/str
STR - ING
Übertragungstechnik
MOD - Lösungen 10
_______________________________________________________________________
Aufgabe 18
Skizzieren Sie den Verlauf des Störabstandes als Funktion der Signalspannung bei
konstanter Stufenhöhe
a
1
2 .. 20
U0
u
s( u)
10 . log
r q( u )
a
s( u)
2
1
0
10
rq U0
20
30
2
4
6
8
10
12
14
16
18
20
U0
Schlussfolgerung: Der Rauschabstand ist für grosse Signale besser als
für kleine Signalamplituden!
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Aufgabe 19
Es sollen 95 dB Signal - Rauschabstand erreicht werden. Wieviele Bit pro Stützwert
müssen codiert werden bei:
a)
linearer Codierung ?
b)
Kompandierung mit A - Kennlinie, A = 50 ?
c)
Kompandierung mit A - Kennlinie nach CCITT ?
rq
95
A
50
A CCITT
87.6
ld ( x )
log ( x )
log ( 2 )
a)
rq
s
10
10
4
s = 5.623 10
1
n
ld ( s )
n = 15.779
b)
gk
A
20 . log
1
ln ( A )
g k = 20.154
rk
rq
gk
r k = 74.846
rk
s
10
10
1
3
s = 5.524 10
n
n = 12.432
ld ( s )
c)
gk
A CCITT
20 . log
1
ln A CCITT
g k = 24.086
rk
rq
g k r k = 70.914
rk
s
10
10
1
3
s = 3.513 10
n
ld ( s )
n = 11.779
_______________________________________________________________________
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Kurt Steudler
Leitungsgebundene Übertragung
Fel/str
STR - ING
Übertragungstechnik
MOD - Lösungen 11
_______________________________________________________________________
Aufgabe 20
Es soll ein Stereo - Audiosignal (L + R) mit 20 kHz Bandbreite und 80 dB Geräuschabstand in einem PC gespeichert werden. Das Antialiasing - Filter habe eine Grenzfrequenz von 24 kHz.
Wieviel Speicherplatz werden benötigt, um eine Signaldauer von 10 Sekunden
aufzuzeichnen
a)
bei linearer Codierung
b)
bei Kompandierung nach CCITT
A
B
fA
50
A CCITT
20 . kHz
B
1
24 . kHz
fG
A
20 . log
87.6 g k
rq
ld ( x )
ln ( A )
log ( x )
log ( 2 )
g k = 20.154
80
f A = 44 kHz
fG
rq
n
ld
10
10
1
rq
n
ld
n
14
M
n . f A . 10 . s
6
M = 6.16 10
n = 16.635
n
10
M
n . f A . 10 . s
6
M = 4.4 10
gk
10
10
n = 13.288
1
_______________________________________________________________________
Aufgabe 21
Gegeben sei ein Telefonkanal mit einer Bandbreite von 300 Hz bis 3,4 kHz und 40
dB Rauschabstand.
Wieviele Bit pro Sekunde können durch einen solchen Kanal höchstens übertragen
werden ?
rq
40
B
3
3.1 . 10 . Hz
3
kBit 10
ld ( x )
log ( x )
log ( 2 )
Für einen Stützwert:
Bandbreite:
fA
rq
n
ld
10
C
f A .n
10
1
2.B
f A = 6.2 kHz
n = 6.644
C = 41.192
kBit
s
============
_______________________________________________________________________
─────────────────────────────────────────────────────────────────
Kurt Steudler
Leitungsgebundene Übertragung
Fel/str