Björn Schuster
Bochum, den 29. 01. 21
Julian Brüggemann
Abgabe: 08. 02. 2021 (bis 12:00 Uhr)
Lea Fritsche
Jan Holz
Elena Hoster
Lukas Steenvoort
Sven Wiesner
Übungen zur Vorlesung
Diskrete Mathematik
WS 20/21
Übungsblatt 11
Hinweis: Für jede der Aufgaben ist eine vollständige mathematische Argumentation
verlangt.
Aufgabe 11.1
Sei auf
A := {a, b, c, d}
eine Verknüpfung
◦
a
b
c
d
a
a
a
a
a
◦
folgendermaÿen deniert:
b
a
b
c
d
c d
a a
c d
a c
c b
a) Zeige, dass
(A, ◦)
b) Warum ist
(A, ◦) keine Gruppe? Welche Elemente in A besitzen Linksinverse bzw.
ein abelsches Monoid ist.
Rechtsinverse bzw. Inverse?
Aufgabe 11.2
Sei
G
eine Gruppe. Zeige:
a) Die Abbildung
wenn
G
G
mit
ϕ(a) = a2
ist genau dann ein Homomorphismus,
abelsch ist.
b) Die Abbildung
wenn
ϕ:G→G
ϕ : G → G
mit
ϕ(a) = a−1
ist genau dann ein Isomorphismus,
abelsch ist
Hinweis: In allen Gruppen gilt
(a ◦ b)−1 = b−1 ◦ a−1
Aufgabe 11.3
• Z4
Betrachte folgende zwei abelsche Gruppen mit vier Elementen:
mit der Addition modulo
• Z2 × Z2
4
mit komponentenweiser Addition modulo
2
Zeige dass
a) es keinen Isomorphismus zwischen den beiden Gruppen gibt,
b) diese beiden Gruppen (bis auf Isomorphie) die einzigen abelschen Gruppen mit
vier Elementen sind.
Aufgabe 11.4
Bestimme die Laufzeit (in
O-Notation)
des unten angegebenen Algorithmus Fun mit
Hilfe des Master-Theorems. Hierbei nehmen wir an, dass jede Addition und Multiplikation jeweils eine Zeiteinheit benötigt, Zuweisungen sind momentan.
func Fun(x1 , x2 , . . . , xn )
(mit n = 2k , k ungerade)
if n = 2 then
y 1 ← x1 + x 2
y 2 ← x1 · x2
else begin
~a ← Fun(x1 , . . . , xn/4 )
~b ← Fun(x3n/4+1 , . . . , xn )
for i = 1 to n/4 do begin
yi ← ai + bi
yn/4+i ← xn/4+i
yn/2+i ← xn/2+i
y3n/4+i ← ai · bi
end
end
return (y1 , . . . , yn )
