Elektrodynamik I/II Prüfung, März 2020

Prüfung „Elektrodynamik I / II“, 06.03.2020
Schriftliche Prüfung in
Elektrodynamik I / II
Prof. Dr. Jens Anders
am 06.03.2020 von 15:00 Uhr bis 17:30 Uhr
Name:
Vorname:
Matrikelnummer:
Aufgabe
1
2
3
4
a)
b)
c)
d)
e)
/2,5
/2
/1,5
/1,5
/1,5
/1
/1,5
/1,5
/3
/1
/1
/1,5
/3
/1
/2
/0,5
/0,5
/0,5
/0,5
Punkte
f)
g)
h)
/4
/2
/2
/0,5
/1
/2,5
/0,5
-
-
Note
(40)
-1-
i)
-
Summe
/10
/10
/10
/10
Prüfung „Elektrodynamik I / II“, 06.03.2020
Schriftliche Prüfung in
Elektrodynamik I / II
Prof. Dr. Jens Anders
am 06.03.2020 von 15:00 Uhr bis 17:30 Uhr
4 Aufgaben
Als Hilfsmittel ist die IIS-Formelsammlung zugelassen.
Verwenden Sie bitte keinen Bleistift und keine rote Farbe und beschreiben
Sie Ihre Blätter bitte nur einseitig.
NACHDRUCK VERBOTEN!
-2-
Name:
Prüfung „Elektrodynamik I / II“, 06.03.2020
Matrikelnummer:
Aufgabe 1: Kurzfragen
a) In der Elektrostatik ist für Gebiete mit homogenen Materialien mit konstanter Permittivität 𝜀𝜀 die Poisson-Gleichung △ 𝜑𝜑 = −𝜌𝜌/𝜀𝜀 zu lösen, wobei 𝜌𝜌 die Ladungsdichte ist und
die Geometrie der Anordnung durch Randbedingungen beschrieben wird. Um diese partielle Differentialgleichung herzuleiten, geht man von folgenden Annahmen aus, die
aufgrund von Experimenten formuliert werden können:
Für die Ladungsdichte gilt 𝜌𝜌 = 𝜀𝜀 ⋅ rot 𝐷𝐷
(1P)
Für die Ladungsdichte gilt 𝜌𝜌 = rot 𝐸𝐸
Für die Ladungsdichte gilt 𝜌𝜌 = div 𝐸𝐸
Für die Ladungsdichte gilt 𝜌𝜌 = div 𝐷𝐷
und
für lineare Materialien gilt 𝐸𝐸 = 𝜀𝜀 ⋅ 𝐷𝐷 und somit folgt aus dem Coulombgesetz (1,5P)
rot 𝐷𝐷 = 0.
aus dem Coulombgesetz folgt rot 𝐸𝐸 = 0 für allgemeine Materialgesetze, so dass das
E-Feld durch ein skalares Potential 𝜑𝜑 gemäß −grad 𝜑𝜑 = 𝐸𝐸 beschrieben werden kann.
aus dem Coulombgesetz folgt div 𝐸𝐸 = 0 für allgemeine Materialgesetze.
für lineare Materialien gilt 𝐷𝐷 = 𝐸𝐸 und somit folgt aus dem Coulombgesetz rot 𝐷𝐷 =
0.
aus dem Coulombgesetz folgt rot 𝐸𝐸 = 0 für allgemeine Materialgesetze, so dass das
E-Feld durch ein skalares Potential 𝜑𝜑 gemäß −rot(grad 𝜑𝜑) = 𝐸𝐸 beschrieben werden
kann.
b) Die Greensche Funktion 𝐺𝐺 wird in der Elektrostatik dazu verwendet, die Poisson-Gleichung bei vorgegebenen Dirichlet-Randbedingungen zu lösen. Sie besitzt folgende Eigenschaften:
Die Greensche Funktion löst die Poisson-Gleichung im untersuchten Gebiet für eine (1,5P)
tetraederförmige Ladungsverteilung der Ladungsmenge 1 C und die partikuläre Lösung der Poisson-Gleichung ergibt sich als Faltung zwischen 𝐺𝐺 und der tatsächlich
vorhandenen Ladungsverteilung.
Die Greensche Funktion verschwindet auf dem Rand des untersuchten Gebiets.
Die Greensche Funktion löst die Laplace-Gleichung überall im Raum, das heißt
(△ 𝐺𝐺)�𝑟𝑟� = 0 ∀𝑟𝑟.
Der Gradient der Greenschen Funktion verschwindet auf dem Rand des untersuchten Gebiets.
-3-
Prüfung „Elektrodynamik I / II“, 06.03.2020
Name:
Matrikelnummer:
c) Der Helmholtzsche Satz der Vektoranalysis besagt, dass
jedes Vektorfeld im 3-dimensionalen Raum, das überall im Raum stetig ist,
(1,5P)
jedes Vektorfeld, das im 3-dimensionalen Raum überall stetig ist und dessen Ableitungen überall verschwinden,
jedes Vektorfeld im 3-dimensionalen Raum, das im Unendlichen einen konstanten
Wert annimmt,
jedes Vektorfeld im 3-dimensionalen Raum, das nebst beliebig vielen Ableitungen
überall endlich und stetig ist und mitsamt seinen Ableitungen im Unendlichen verschwindet,
folgende Eigenschaft besitzt:
Das Vektorfeld lässt sich durch seine Divergenz darstellen, wobei seine Rotation
überall dort verschwindet, wo die Divergenz von null verschieden ist.
Das Vektorfeld lässt sich durch seine Rotation darstellen, wobei seine Divergenz
überall dort verschwindet, wo die Rotation von null verschieden ist.
Das Vektorfeld lässt sich – bis auf eine additive vektorielle Konstante – als Produkt
eines rotationsfreien und eines divergenzfreien Anteils darstellen.
Das Feld ist rotations- und divergenzfrei.
Das Vektorfeld ist durch seine Rotation und Divergenz sowie ggf. einen konstanten
Anteil eindeutig bestimmt.
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(1,5P)
Prüfung „Elektrodynamik I / II“, 06.03.2020
Name:
Matrikelnummer:
d) Um die stationäre Strömung elektrischer Ladungen in einem Gebiet konstanter Leitfähigkeit zu ermitteln, welches im Vakuum eingebettet ist, muss eine partielle
Differentialgleichung mit entsprechenden Randbedingungen gelöst werden. Geben Sie
an, welche Kombination von Gleichungen und Randbedingungen dieses Problem beschreibt, wenn ein endlich ausgedehntes Gebiet 𝑉𝑉𝐴𝐴 betrachtet wird, in das der Strom
an einer punktförmigen Stelle des Randes senkrecht eindringt und an einer anderen
punktförmigen Stelle senkrecht austritt:
Für die Stromdichte gilt △ 𝐽𝐽 = 0 in 𝑉𝑉𝐴𝐴 ,
(1,5P)
Für das elektrische Potenzial gilt △ 𝜑𝜑 = −𝜌𝜌/𝜀𝜀 in 𝑉𝑉𝐴𝐴 ,
Für die Stromdichte gilt △ 𝐽𝐽 = −𝜌𝜌/𝜀𝜀 in 𝑉𝑉𝐴𝐴 ,
Für das elektrische Potenzial gilt △ 𝜑𝜑 = 0 in 𝑉𝑉𝐴𝐴 ,
wobei gilt
𝜑𝜑 = 0 auf dem Rand von 𝑉𝑉𝐴𝐴 mit Ausnahme der Punkte der Stromeinleitung und (1,5P)
Stromausleitung.
𝑛𝑛 ⋅ E ≠ 0, auf dem Rand von 𝑉𝑉𝐴𝐴 , wobei 𝑛𝑛 die Normale auf dem Rand ist, mit Ausnahme der Punkte der Stromeinleitung und Stromausleitung.
𝑛𝑛 ⋅ grad 𝜑𝜑 = 0, auf dem Rand von 𝑉𝑉𝐴𝐴 , wobei 𝑛𝑛 die Normale auf dem Rand ist, mit
Ausnahme der Punkte der Stromeinleitung und Stromausleitung.
𝜑𝜑 = 0 überall im Gebiet 𝑉𝑉𝐴𝐴 mit Ausnahme der Punkte der Stromeinleitung und
Stromausleitung.
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Prüfung „Elektrodynamik I / II“, 06.03.2020
Aufgabe 2: Punktladung in leitfähiger Ecke
Gegeben sei eine ideal leitfähige (𝜅𝜅 → ∞) und geerdete Ecke (Gebiet I) mit einem Winkel
von 𝛽𝛽 = 2𝛼𝛼 = 60°. Die Ecke befinde sich gemäß Abbildung 2.1 an der Position 𝑥𝑥 = 0, 𝑦𝑦 =
0 eines kartesischen Koordinatensystems und sei in 𝑧𝑧-Richtung unendlich ausgedehnt. Der
Einheitsvektor des oberen Schenkels 𝑒𝑒𝑎𝑎 ist gegeben durch 𝑒𝑒𝑎𝑎 = (cos 𝛼𝛼 , sin 𝛼𝛼 , 0)𝑇𝑇 . Im Gebiet II befinde sich eine Punktladung 𝑄𝑄0 bei den Koordinaten 𝑥𝑥 = 𝑥𝑥0 , 𝑦𝑦 = 0 und 𝑧𝑧 = 0, vgl.
Abbildung 2.1. Das Gebiet II sei mit Luft gefüllt, d. h. es gelte hier 𝜀𝜀 = 𝜀𝜀0 und 𝜅𝜅 = 0.
Gebiet I
𝑦𝑦
𝜅𝜅 → ∞
𝑧𝑧
0
𝑒𝑒𝑏𝑏
𝛼𝛼
Gebiet II
𝑒𝑒𝑎𝑎
𝑄𝑄0
𝛽𝛽
𝑥𝑥0
𝜀𝜀 = 𝜀𝜀0
𝑒𝑒𝑐𝑐
𝑥𝑥
𝜅𝜅 = 0
𝑒𝑒𝑑𝑑
Abbildung 2.1: Punktladung 𝑸𝑸𝟎𝟎 vor einem Metallwinkel
a) In welchem Teilgebiet der Elektrodynamik ist das Problem zu verorten?
(2P)
Welche Randbedingungen gelten für das elektrische Potenzial 𝜑𝜑 auf den beiden
Schenkeln des Winkels, d. h. entlang der durch die Vektoren 𝑒𝑒𝑎𝑎 und 𝑒𝑒𝑐𝑐 aufgespannten Halbgeraden? Wie nennt man diese Art von Randbedingungen?
Welches aus der Vorlesung bekannte Vorgehen eignet sich besonders zur Lösung
dieser Art von Problemstellung?
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Prüfung „Elektrodynamik I / II“, 06.03.2020
b) Geben Sie die Einheitsvektoren 𝑒𝑒𝑏𝑏 , 𝑒𝑒𝑐𝑐 sowie 𝑒𝑒𝑑𝑑 an.
1
Hinweis: Für einen Winkel von 𝛼𝛼 = 30° gilt: sin(30°) = 2 und cos(30°) =
(1P)
√3
2
c) Wie lässt sich unter Annahme eines homogenen Raums mit 𝜅𝜅 = 0 und 𝜀𝜀 = 𝜀𝜀0 durch (1P)
Anbringen einer zusätzlichen Ladung 𝑄𝑄1′ die Randbedingung auf dem oberen Schenkel des Winkels, d. h. entlang der durch den Vektor 𝑒𝑒𝑎𝑎 beschriebenen Geraden, erfüllen?
Zeichnen Sie die Ladung 𝑄𝑄1′ in Abbildung 2.2 auf dem Lösungsblatt ein.
Geben Sie den Wert von 𝑄𝑄1′ in Abhängigkeit von 𝑄𝑄0 an.
Berechnen Sie die Position 𝑥𝑥1 , 𝑦𝑦1 von 𝑄𝑄1′.
d) Wie lässt sich unter Annahme eines homogenen Raums mit 𝜅𝜅 = 0 und 𝜀𝜀 = 𝜀𝜀0 durch (1P)
Anbringen einer weiteren Ladung 𝑄𝑄2′ die Randbedingung auf dem unteren Schenkel
des Winkels, d. h. entlang der durch den Vektor 𝑒𝑒𝑐𝑐 beschriebenen Geraden, erfüllen?
Zeichnen Sie die Ladung 𝑄𝑄2′ in Abbildung 2.2 auf dem Lösungsblatt ein.
Geben Sie den Wert von 𝑄𝑄2′ in Abhängigkeit von 𝑄𝑄0 an.
Berechnen Sie die Position 𝑥𝑥2 , 𝑦𝑦2 von 𝑄𝑄2′ .
e) Begründen Sie kurz, weshalb die Ladungsanordnung bestehend aus der ursprüngli- (0,5P)
chen Ladung 𝑄𝑄0 und den beiden in den Aufgabenteilen c) und d) gefundenen Ladungen 𝑄𝑄1′ und 𝑄𝑄2′ die Problemstellung insgesamt nicht löst.
f) Setzen Sie das in den Aufgabenteilen c) und d) verwendete Verfahren fort, indem (4P)
Sie eine Anordnung von zusätzlichen Ladungen 𝑄𝑄𝑖𝑖′ mit 𝑖𝑖 > 2 finden, welche unter
Annahme eines homogenen Raums mit 𝜅𝜅 = 0 und 𝜀𝜀 = 𝜀𝜀0 gemeinsam mit den
Ladungen 𝑄𝑄0 , 𝑄𝑄1′ und 𝑄𝑄2′ alle aus Abbildung 2.1 resultierenden Randbedinungen
erfüllt.
Zeichnen Sie die Ladungen 𝑄𝑄𝑖𝑖′ in Abbildung 2.2 auf dem Lösungsblatt ein.
Geben Sie analog zu c) und d) die Werte der Ladungen 𝑄𝑄𝑖𝑖′ in Abhängigkeit von 𝑄𝑄0
sowie deren Koordinaten 𝑥𝑥𝑖𝑖 und 𝑦𝑦𝑖𝑖 an.
g) Welche Bedingung muss der Winkel 𝛽𝛽 erfüllen, damit das verwendete Verfahren (0,5P)
konvergiert?
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Prüfung „Elektrodynamik I / II“, 06.03.2020
Name:
Matrikelnummer:
Lösungsblatt zu Aufgabe 2
Gebiet I
𝑒𝑒𝑏𝑏
𝑧𝑧
0
𝛼𝛼
Gebiet II
𝑒𝑒𝑎𝑎
𝑄𝑄0
𝛽𝛽
𝑥𝑥0
𝜀𝜀 = 𝜀𝜀0
𝑒𝑒𝑐𝑐
𝜅𝜅 = 0
𝑒𝑒𝑑𝑑
Abbildung 2.2: Punktladung 𝑄𝑄0 vor einem Metallwinkel
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𝑥𝑥
Prüfung „Elektrodynamik I / II“, 06.03.2020
Aufgabe 3: Stationäres Strömungsfeld
Gesucht ist das stationäre Strömungsfeld in einem Leiter der linearen,
homogenen Leitfähigkeit 𝜅𝜅 > 0 . Der Leiter erstrecke sich über den Bereich
𝑐𝑐
𝑐𝑐
𝐵𝐵 = {(𝑥𝑥, 𝑦𝑦, 𝑧𝑧)𝑇𝑇 : 0 ≤ 𝑥𝑥 ≤ 𝑎𝑎, 0 ≤ 𝑦𝑦 ≤ 𝑏𝑏, − 2 ≤ 𝑧𝑧 ≤ 2}. Der Leiter sei in 𝑧𝑧-Richtung sehr dünn,
d. h. es gelte 𝑐𝑐 ≪ 𝑎𝑎, 𝑏𝑏. Daher kann in der gesamten Aufgabe die Abhängigkeit des Strömungsfeldes von der z-Koordinate vernachlässigt werden.
Der Leiter sei gemäß Abbildung 3.1a außer an den Kontakten bei 𝑥𝑥 = 0 und 𝑥𝑥 = 𝑎𝑎 von
Isolatoren mit der Leitfähigkeit 𝜅𝜅 = 0 umgeben. Der Kontakt bei 𝑥𝑥 = 0 soll gemäß
Abbildung 3.1a geerdet sein.. Am Kontakt bei 𝑥𝑥 = 𝑎𝑎 sei der in Abbildung 3.1b gezeigte
stationäre Stromdichteverlauf 𝐽𝐽𝑎𝑎 = 𝐽𝐽𝑎𝑎,𝑥𝑥 (𝑦𝑦)e 𝑥𝑥 eingeprägt.
Abbildung 3.1: (a) Schnittbild der zu untersuchenden Anordnung bei 𝑧𝑧 = 0 und (b) Stromdichte 𝐽𝐽𝑎𝑎,𝑥𝑥 (𝑦𝑦) in 𝑥𝑥-Richtung bei 𝑥𝑥 = 𝑎𝑎
a) Leiten Sie ausgehend vom Ampèreschen Gesetz rot 𝐻𝐻 = 𝐽𝐽 +
𝜕𝜕𝜕𝜕
𝜕𝜕𝐷𝐷
𝜕𝜕𝜕𝜕
in nachvollziehbaren
(1,5P)
Schritten die Kontinuitätsgleichung div 𝐽𝐽 + 𝜕𝜕𝜕𝜕 = 0 her. Wie vereinfacht sich die allgemeine Kontinuitätsgleichung für das gegebene Problem? Begründen Sie Ihre Antwort.
b) Warum kann das E-Feld für das gegebene Problem durch ein skalares Potential (1,5P)
beschrieben werden? Begründen Sie Ihre Antwort. Inwiefern vereinfacht das Einführen
des skalaren Potentials die Berechnung des elektrischen Feldes im Bereich 𝐵𝐵?
c) Leiten Sie die Differentialgleichung des skalaren Potentials 𝜑𝜑 für den Bereich 𝐵𝐵 her.
(1P)
d) Verwenden Sie einen geeigneten Separationsansatz für das Potential 𝜑𝜑 zur Lösung der (2P)
Differentialgleichung aus Aufgabenteil c). Bestimmen Sie nachvollziehbar mit Hilfe des
Separationsansatzes eine allgemeine Lösung der Gleichung aus c), welche genügend
Freiheitsgrade beinhaltet, um an die vorgegebenen Randbedingungen angepasst zu
werden.
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Prüfung „Elektrodynamik I / II“, 06.03.2020
e) Verwenden Sie die Randbedingung bei 𝑥𝑥 = 0, um Ihre allgemeine Lösung aus d) an das (0,5P)
gegebene Problem anzupassen.
Hinweis: cos(𝑥𝑥) =
𝑒𝑒 j𝑥𝑥 +𝑒𝑒 −j𝑥𝑥
2
, sin(𝑥𝑥) =
𝑒𝑒 j𝑥𝑥 −𝑒𝑒 −j𝑥𝑥
2j
, cosh(𝑥𝑥) =
𝑒𝑒 𝑥𝑥 +𝑒𝑒 −𝑥𝑥
2
, sinh(𝑥𝑥) =
𝑒𝑒 𝑥𝑥 −𝑒𝑒 −𝑥𝑥
2
.
f) Wie lauten die Randbedingungen für das Potential 𝜑𝜑 bei 𝑦𝑦 = 0 und 𝑦𝑦 = 𝑏𝑏? Wie nennt
man diese Art von Randbedingungen? Verwenden Sie die Randbedingungen bei 𝑦𝑦 = 0
und 𝑦𝑦 = 𝑏𝑏, um Ihre Lösung aus e) weiter an die gegebene Problemstellung anzupassen.
Wie lautet der Ihrer bisherigen Lösung für das Potential 𝜑𝜑 entsprechende Ansatz für
die Stromdichte 𝐽𝐽(𝑥𝑥, 𝑦𝑦) im Bereich 𝐵𝐵?
g) Setzen Sie in einer grafischen Darstellung die Funktion 𝐽𝐽𝑎𝑎,𝑥𝑥 (𝑦𝑦) aus Abbildung 3.1b so
fort, dass eine gerade Funktion 𝐽𝐽̃𝑎𝑎,𝑥𝑥 (𝑦𝑦) in 𝑦𝑦 mit der Periode 2𝑏𝑏 entsteht, für die gilt
𝐽𝐽̃𝑎𝑎,𝑥𝑥 (𝑦𝑦) = 𝐽𝐽̃𝑎𝑎,𝑥𝑥 (𝑦𝑦 + 𝑛𝑛 ⋅ 2𝑏𝑏) ∀𝑛𝑛 ∈ ℕ und 𝐽𝐽̃𝑎𝑎,𝑥𝑥 (𝑦𝑦) = 𝐽𝐽̃𝑎𝑎,𝑥𝑥 (−𝑦𝑦). Geben Sie eine analytische Darstellung der Funktion 𝐽𝐽̃𝑎𝑎,𝑥𝑥 (𝑦𝑦) mit Hilfe der Reihendarstellung der Rechteckfunktion
𝑓𝑓Rechteck (𝑡𝑡) =
∞
4ℎ
�
𝜋𝜋
𝑘𝑘=1
(2P)
(1P)
2𝜋𝜋
cos �(2𝑘𝑘 − 1) ⋅ 𝑇𝑇 𝑡𝑡�
2𝑘𝑘 − 1
an, wobei 2ℎ die Rechteckhöhe angibt und 𝑇𝑇 die Periode der Funktion darstellt.
h) Nutzen Sie Ihr Ergebnis aus Aufgabenteil g), um Ihre Darstellung der Stromdichte aus (0,5P)
Aufgabenteil f) an die Randbedingung bei 𝑥𝑥 = 𝑎𝑎 anzupassen.
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Aufgabe 4: Induktion
Auf der 𝑧𝑧-Achse eines kartesischen Koordinatensystems liege ein unendlich langer, ideal
dünner Leiter mit Radius 𝑟𝑟0 → 0. Er sei ideal leitfähig (𝜅𝜅 → ∞). In ihm fließe der zeitharmonische Strom 𝐼𝐼1 (𝑡𝑡) = 𝐼𝐼̂1 cos(𝜔𝜔0 𝑡𝑡) mit der Kreisfrequenz 𝜔𝜔0 = 2π𝑓𝑓0 in 𝑧𝑧-Richtung (Abbildung 4.1).
In der 𝑥𝑥𝑥𝑥-Ebene befinde sich im Bereich 𝑑𝑑 ≤ 𝑥𝑥 ≤ 𝑑𝑑 + 𝑏𝑏 und 0 ≤ 𝑧𝑧 ≤ ℎ gemäß Abbildung 4.1
eine Leiterschleife, die ebenfalls aus ideal dünnem und ideal leitfähigem Draht bestehe.
Der Abstand zwischen ihren Klemmen 1 und 2 sei vernachlässigbar klein.
Im gesamten Raum außerhalb der Leiter befinde sich Luft (𝜀𝜀 = 𝜀𝜀0 , 𝜇𝜇 = 𝜇𝜇0 und 𝜅𝜅 = 0).
Abbildung 4.1: Langer Leiter und Leiterschleife
a) Berechnen Sie mithilfe eines geeignet gewählten Koordinatensystems das H-Feld 𝐻𝐻1 (𝑡𝑡) (1,5P)
im gesamten Raum in Abhängigkeit des Stromes 𝐼𝐼1 (𝑡𝑡) unter der Annahme, dass Welleneffekte vernachlässigt werden können. Begründen Sie kurz Ihre Wahl des Koordinatensystems und erläutern Sie Ihre Rechenschritte nachvollziehbar.
b) Berechnen Sie unter Berücksichtigung des in Abbildung 4.1 eingezeichneten Umlauf- (1,5P)
sinns den magnetischen Fluss 𝛷𝛷21 des Stromes 𝐼𝐼1 durch die Leiterschleife.
Ermitteln Sie damit die zwischen den Klemmen 1 und 2 induzierte Spannung 𝑈𝑈12 .
c) Bei unveränderter Position und Größe der Leiterschleife soll die induzierte Spannung (1,5P)
𝑈𝑈12 vergrößert werden, wobei die Symmetrie des Feldes erhalten bleiben soll. Nennen
Sie drei Möglichkeiten hierfür. Begründen Sie kurz Ihre Vorschläge.
d) Geben Sie die Koppelinduktivität 𝐿𝐿21 zwischen dem Leiter auf der 𝑧𝑧-Achse und der Lei- (0,5P)
terschleife sowie die Koppelinduktivität 𝐿𝐿12 zwischen der Leiterschleife und dem Leiter auf der 𝑧𝑧-Achse an.
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Hinweis: Die folgenden Aufgabenteile können im Prinzip unabhängig von den vorangegangenen Aufgabenteilen bearbeitet werden.
Anstatt der Leiterschleife sei der Leiter auf der 𝑧𝑧-Achse nun von einem unendlich langen
Hohlzylinder (𝑟𝑟1 ≤ 𝑟𝑟 ≤ 𝑟𝑟2 ) mit der Leitfähigkeit 𝜅𝜅0 gemäß Abbildung 4.2 umgeben.
Abbildung 4.2: Langer Leiter mit unendlich langem Hohlzylinder
e) Welche Komponenten und Koordinatenabhängigkeiten des H-Feldes und des B-Feldes (0,5P)
treten jetzt bei einem geeigneten gewählten Koordinatensystem auf?
f) Geben Sie mithilfe des Induktionsgesetzes die von null verschiedenen Komponenten (2P)
und Koordinatenabhängigkeiten des E-Feldes an. Begründen Sie kurz Ihre Antwort.
Geben Sie im gesamten Raum die 𝑧𝑧-Komponenten der induzierten elektrischen Stromdichte 𝐽𝐽 an.
g) Leiten Sie mit Hilfe des Ampèreschen Gesetzes und des Induktionsgesetzes eine parti- (2,5P)
elle Differenzialgleichung für das B-Feld im leitfähigen Hohlzylinder her, wenn Welleneffekte vernachlässigt werden können.
Hinweis: rot rot (⋅) = grad div(⋅) − ∆(⋅)
Welche Komponenten des B-Feldes sind von null verschieden und welche Koordinatenabhängigkeiten bestehen in der Anordnung aus Abbildung 4.2? Vereinfachen Sie die
Gleichung für das B-Feld mit diesem Wissen soweit wie möglich.
Welcher physikalische Vorgang wird durch diese Gleichung beschrieben?
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Name:
Matrikelnummer:
- 13 -
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- 14 -
Prüfung „Elektrodynamik I / II“, 06.03.2020
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- 15 -
Prüfung „Elektrodynamik I / II“, 06.03.2020
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Matrikelnummer:
- 16 -
Prüfung „Elektrodynamik I / II“, 06.03.2020
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- 17 -
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- 18 -
Prüfung „Elektrodynamik I / II“, 06.03.2020
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- 19 -
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