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PS Angewandte Mathematik
Prof. Feichtinger
WS 2002/2003
Die Methode der kleinsten Quadrate als
Methode zur Approximation von
Messdaten durch eine Kurve
von
Barbara Fischer
Karin Kieberger
Julia Rieder
Monika Ziegelwagner
Inhaltsverzeichnis
_________
1. Einleitung
2. Algebraisch
2.1 Approximation von Messdaten durch eine Gerade – Lineare Regression
2.2 Approximation von Messdaten durch Polynome
3. Analytisch
3.1 Lineare Regression
3.2 Linearer Korrelationskoeffizient
4. Verwendung im Schulunterricht
5. Weiterführende Bemerkung
6. Bibliographie
2
1
Einleitung
The method of least squares is a mathematical method which is used to find
the linear or nonlinear regression equation, expressing the relation between a
dependent variable and one or more independent variables, for which the sum
of squares of the residuals (deviations from regression) is a minimum (Wiley,
593).
Praktisch verwendet wird die Methode der kleinsten Quadrate beim Anpassen von
Kurven an Messdaten. Die Kurve wird durch Bestimmung der Koeffizienten so
gewählt, dass der Abstand zu den Punkten minimal ist. Durch diese Methode wird
versucht die Fehler gleichmäßig auf alle Messpunkte zu verteilen. Gebräuchlich sind
folgende drei Kurven:
1. eine Gerade : y=a+bx
2. ein quadratisches Polynom : y=a+bx+cx2
3
3. ein kubisches Polynom y=a+bx+cx2+dx3
In der vorliegenden Arbeit beschreiben wir zwei Zugänge – algebraische und
analytisch – zur Methode der kleinsten Quadrate. Dabei behandeln wir die lineare
Regression und die Approximation von Messdaten durch quadratische und kubische
Polynomen. Weiters stellen wir uns die Frage, wie und in welchem Umfang der
beschriebene Stoff in der Schule verwendet werden kann.
4
2
Algebraisch
2.1 Approximation von Messdaten durch ein Gerade – Lineare
Regression
Im einfachsten Fall kann man die Messwerte (x1, y1), (x2,y2),...(xn,yn) durch eine
Gerade der Form y=a+bx approximieren. Im Idealfall liegen die Messdaten alle auf
einer Geraden, deren Koeffizienten dann die Gleichungen
y1=a+bx1
y2=a+bx2
.
.
yn=a+bxn
erfüllen. In Matrixform ergibt sich das System Mv =y
mit
 y1 
y 
 2
y  . 
 
. 
 yn 
 
1 x1 
1 x 
2

M  . . 


. . 
1 xn 
a 
v 
b 
Liegen die Messwerte jedoch nicht alle auf einer Gerade, so ist das System
a *
inkonsistent und wir müssen eine Näherungslösung v  v*    bestimmen. Dann
b *
erhalten wir die Näherungsgerade y=a*+b*x zu den gegebenen Messwerten. Die
Näherungslösung v* wird so bestimmt, dass sie ||y - Mv|| minimiert. „Die beste
Näherung v* minimiert die Summe der Quadrate dieser Fehler, wir bezeichnen daher
das Anpassungsverfahren als Methode der kleinsten Quadrate“ (Anton, 495).
Es ergibt sich also:
||y – Mv||² = (y1-a-bx1)² + (y2-a-bx2)² + ... + (yn-a-bxn)²
Wir bezeichnen nun:
| y1-a-bx1| = d1, …, | yn-a-bxn| = dn
Somit ergibt sich :
5
||y – Mv||² = d1²+d2²+...+dn²
di (der vertikale Abstand der Geraden zum Punkt) gibt den Fehler oder die
Abweichung des Punktes zur Geraden an.
Um dieses System zu lösen benötigen wir folgenden Satz:
Das Normalsystem ATAx = ATb eines linearen Gleichungssystems Ax = b ist
konsistent. Alle seine Lösungen sind die Näherungslösungen des gegebenen
Systems. Außerdem gilt für diese Lösungen projWb = Ax, wobei W der Spaltenraum
von A ist.1
In unserem Fall sind nun die Näherungslösungen des Systems Mv = y genau die
exakten Lösungen des Normalsystems MTMv = MTy. Dieses System hat eine
eindeutige Lösung, falls nicht alle Messpunkte auf der selben zur x-Achse
senkrechten Geraden liegen. Wir erhalten folgenden Satz:
Seien (x1, y1), (x2,y2),...(xn,yn) Messpunkte, die nicht alle auf derselben zur x-Achse
senkrechten Geraden liegen, und seien
 y1 
y 
 2
y  . 
 
. 
 yn 
 
und
1 x1 
1 x 
2

M  . .  .


. . 
1 xn 
Dann liefert die Methode der kleinsten Quadrate eine eindeutig bestimmte
a *
Näherungsgerade y=a*+b*x, deren Koeffizientenvektor v*    die Gleichung
b *
v* = (MTM)-1MTy erfüllt. Somit ist v = v* die einzige Lösung der Normalgleichungen
MTMv = MTy.2
Beispiel 2.1.1:
Bestimme mit Hilfe der Methode der kleinsten Quadrate die Näherungsgerade der
Punkte (0,1), (1,3), (2,4), (3,4).
1
2
Nach Anton, 353.
Nach Anton, 496.
6
Mit
1
1
M 
1

1
0
1

2

3
v *  ( M T M ) 1 M T y 
4 6 
MTM  

6 14
M
T
M 
1
1  7  3 1 1 1 1
10  3 2  0 1 2 3
1  7  3
10  3 2 
1 
 3 1,5
  
4  1 
 
4
ergibt sich die Näherungsgerade y = 1,5 + x
Beispiel 2.1.2:
Nach dem Hookeschen Gesetz hängt die Länge x einer homogenen Feder linear von
der auf sie angewandten Kraft y ab. Wir können also y = a+bx schreiben, wobei der
Koeffizient b die Federkonstante ist. Wir betrachten jetzt eine Feder, die in
unbelastetem Zustand die Länge 6,1 cm hat (also ist x = 6,1 für y = 0). Durch
Anwenden der Kräfte 2kp, 4kp und 6kp ergeben sich die Längen 7,6 cm, 6,7cm und
10,4 cm. Bestimme die Federkonstante.
xi
6,1
7,6
8,7
10,4
yi
0
2
4
6
1 6,1 
1 7,6 
4
32,8 
 MTM  
Mit M  
32,8 278,82
1 8,7 




1
10
,
4


M
T
1
 7,07  0,83
M 

 0,83 0,10 
 0
32,8  2  8,6
 7,07  0,83  4
 
v *  ( M T M ) 1 M T y  




 0,83 0,10  32,8 278,82 4  1,4 
 
 6
7
Die Federkonstante beträgt somit ca. 1,4 kp/cm.
Beispiel 2.1.3:
Bestimme eine Näherungsgerade für die Punkte (0,0), (1,2) und (2,7)
1 0
M  1 1


1 2
1  1  1
( M T M ) 1   3
2  1 1 
3 3
MTM  

3 5
 0
1  13  1 1 1 1    12 
v  (M M ) M y  
2 
2  1 1  0 1 2    72 
7
*
T
1
T
Es ergibt sich die Näherungsgerade y= -½ + 7/2 x
Beispiel 2.1.4:
Bestimme eine Näherungsgerade für die Punkte (0,1), (2,0), (3,1) und (3,2)
Mit
1
1
M 
1

1
0
2

3

3
4 8 
M M 

8 22
T

v *  ( M T M ) 1 M T y   1
 3
11
12
 
1 
6 
1
3
M
1 1 1 1
0 2 3 3


T
M
1
11
 12
 1
 3
 13 
1 
6 
1 
0  2 
  3
1  16 
 
2
ergibt sich die Näherungsgerade y=2/3 + 1/6x
Beispiel 2.1.5:
Bestimme die Ausgleichsgerade für folgende Daten:
f(1) = 2, f(2) = 4, f(3) = 7, f(4) = 7
8
1
1
M 
1

1
1
2

3

4
 4 10 
MTM  

10 30
 3
v *  ( M T M ) 1 M T y   2 1
 2
M
T
M
 12  1 1 1 1
1 
3 4
5  1 2
1
 23
 1
 2
 12 
1 
5 
2
4  1 
  2
7  95 
 
7 
Es ergibt sich die Näherungsgerade y = ½ + 9/5 x
9
2.2 Approximation von Messdaten durch Polynome
Es ist nicht immer sinnvoll Messdaten durch eine lineare Funktion zu approximieren3,
sondern zum Beispiel durch quadratische oder kubische Polynome. Die vorher
beschriebene Methode lässt sich problemlos auf Polynome höheren Grades
verallgemeinern.
Für
n
Punkte
(x1,
y1),
(x2,y2),...(xn,yn)
erhalten
wir
ein
Näherungspolynom m-ten Grades y = a0 + a1x + ... + amxm. Man erhält wieder durch
Einsetzen der Messwerte ein lineares Gleichungssystem:
y1 = a0 + a1x1 + ... + amx1m
y2 = a0 + a1x2 + ... + amx2m
.
.
yn = a0 + a1xn + ... + amxnm
oder in Matrixform: Mv = y
mit
 y1 
y 
 2
y  . 
 
. 
 yn 
 
1 x1

1 x2
M  . .

. .
1 x
n

2
x1
2
x2
.
.
xn
2
m
. . x1 
m
. . x2 
. . . 

. . . 
m
. . xn 
a0 
a 
 1
v  . 
 
. 
a m 
 
Die Koeffizienten der Polynome, die ||y-mv|| minimieren, ergeben sich wie zuvor als
Lösungen der Normalgleichungen MTMv = MTy. Falls MTM invertierbar ist, hat das
Normalsystem die eindeutig bestimmte Lösung v* = (MTM)-1MTy.
Beispiel 2.2.1:
Das zweite Newtonsche Gesetz beschreibt den freien Fall eines Körpers in der Nähe
der Erdoberfläche durch die Gleichung s = s0+v0t+
1 2
gt , wobei s den vertikalen
2
Abstand des Körpers zu einem festen Bezugspunkt, s0 den Anfangswert von s zur
Zeit t = 0, v0 die Anfangsgeschwindigkeit zur Zeit t = 0 und g die Erdbeschleunigung
bezeichnet.
Aus dieser Gleichung soll g experimentell bestimmt werden. Dazu wird ein Körper mit
unbekannter Anfangshöhe und –geschwindigkeit fallengelassen und sein vertikaler
3
sh Kapitel 3.2
10
Abstand zu einem gegebenen Bezugspunkt zu verschiedenen Zeiten gemessen. Es
ergeben sich für die Zeiten t in Sekunden die Abstände s in Meter:
t
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
s
-0,055
0,095
0,314
0,756
1,137
Berechne daraus einen Näherungswert für g.
1
1

M  1

1
1
M
T
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
M
1
0,01
0,04

0,09

0,16 
0,25
  0,055
 0,095 


y   0,314 


 0,756 

 1,137 

 33
 23
5

  33 1870
7

3000
 50
7
3
2
11
20
9
40

9 
40 
979
10000

11
20
50 
3000 
7 
5000
7 

 33

v *  ( M T M ) 1 M T y   33 1870
7

 50 3000
7
23
5
5
T
M M   23

 11
20
50 
3000 
7 
5000
7 









1
1
1
1 
 1
 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 


0,01 0,04 0,09 0,16 0,25
 0,055 
 0,095   - 0,122


 


 0,314   0,107 


 
0,491


0
,
756




 1,137  
g ist zweimal 0,491, man erhält den Näherungswert
g = 0,982 m/s2
11
Beispiel 2.2.2:
Bestimme ein quadratisches Näherungspolynom für (2,0), (3,-10), (5,-48) und (6,-76)
1
1
M 
1

1
M
T
4
3 9

5 25

6 36
 0 
  10 

y
  48


  76
2
M
1
 221
 10
  562
 3
 2



8 
9

1
9 

62
5
3
2
649
90
8
9
 221
 10
*
T
1
T
v  ( M M ) M y   562
 3
 2

73 
 4 16

M M  16 74 374 


73 374 2011
T
62
5
649
90
8
9
 0 

  1 1 1 1   - 10    2 

8   
3 5 6      5 
9  2

- 48  

1 
4
9
25
36


 - 76  - 3
9  

 
3
2
Man erhält das Näherungspolynom
y = 2 + 5x – 3x²
Beispiel 2.2.3:
Bestimme ein quadratisches Näherungspolynom für (-1,-14), (0,-5), (1,-4), (2,1) und
(3,22)
1  1
1 0

M  1 1

1 2
1 3
M
T
M
1
1
0

1

4
9
 13
 5
1 3

10
7 1
 2

  14
 5 


y   4 


 1 

 22 

 5 5 15 
M M   5 15 35


15 35 99
T

 12 
27
 1
10

 1 12 

3
10
12
 13
 5
1
v *  ( M T M ) 1 M T y   103
7 1
 2

  14

3
 12   1 1 1 1 1    5  - 495 
10
  


27


1
1
0
1
2
3

4

   95 


10



 1 12   1 0 1 4 9   1   2 

 22 
Es ergibt sich das quadratische Näherungspolynom
y = - 49/5 + 9/5 x + 2 x2
Beispiel 2.2.4:
Der Besitzer eines expandierenden Geschäfts hat in den ersten fünf Monaten des
Jahres 4000, 4400, 5200, 6400 und 8000 Euro eingenommen. Er markiert diese
Werte in einem geeigneten Koordinatensystem und vermutet, dass sich die weitere
Entwicklung durch ein quadratisches Polynom abschätzen lässt. Bestimme dieses
Näherungspolynom und erstelle eine Prognose für den 12. Monat des Jahres.
f(1) = 4000, f(2) = 4400, f(3) = 5200, f(4) = 6400, f(5) = 8000
f(12) = ?
1
1

M  1

1
1
M
T
1 1
2 4

3 9

4 16
5 25
M
1
 23 33
10
 5
33
187

 10 70
 1
3
 2 7

 4000
 4400


y  5200


6400

8000

 5 15 55 
M M  15 55 225


55 225 979
T


3
7

1
14 

1
2
 23 33
10
 5
*
T
1
T
33
187

v  ( M M ) M y  10
70
 1
3

 2
7

4000



 1 1 1 1 1  4400 4000
 73  1 2 3 4 5  5200  - 200



 6400  200 
1
1
4
9
16
25


14  
 

8000
1
2
13
Es ergibt sich das quadratische Näherungspolynom
y = 4000 – 200x + 200x²
für x = 12 ist y = 30400
Im 12. Monat nimmt er voraussichtlich 30400 € ein.
14
3
Analytisch
3.1 Lineare Regression
Die Ausgleichsgerade für Messwerte kann man nicht nur mit Hilfe von Matrizen und
Methoden der Algebra, sondern auch durch Methoden der Analysis bestimmen. Auch
der analytischen Bestimmung der Regressionsgerade „liegt die Minimierung der
Fehlerquadratsumme („Methode der kleinsten Quadrate“)
n
2
F (a, b) :   yi  a  bxi 
, die man auch Gaußsches Fehlerquadrat nennt, zugrunde“
i 1
(Dirschmid, 235). Dieses von zwei Variablen abhängige Extremwertproblem kann
durch einen Trick geschickt gelöst werden.
n
2
F (a, b) :   yi  a  bxi   Minimum
i 1
2
n
F (a, b)    yi  a  bxi  ( y  a  bx )  ( y  a  bx ) 
i 1
2
n
   b( xi  x )  ( yi  y )  ( y  a  bx ) 
i 1


n
n

 n
   b( xi  x )  ( yi  y )  2( y  a  bx )   b ( xi  x )  ( yi  y )   ( y  a  bx ) 2 
i 1
i 1
i 1
 
 
  i 1
0
0


n
n
2
   b( xi  x )  ( yi  y )  ( y  a  bx ) 2
2
i 1
( y  a  bx ) 2 ist minimal (nämlich 0), wenn a  y  bx ist. Jetzt muss man nur noch
n
jenes b bestimmen, für das F (a, b)   b( xi  x )  ( yi  y ) minimal wird. Diese
2
i 1
Extremwertaufgabe
lösen
wir,
indem
wir
nach
b
differenzieren
und
die
Ableitungsfunktion 0 setzen:
n
n
n
i 1
i 1
i 1
2  [b( xi  x )  ( yi  y )]  ( xi  x )  2b   ( xi  x ) 2  2 ( xi  x )( yi  y )  0
Dividiert man durch 2 und n, so erhält man die Formel der Regressionsgeraden:
15
1 n
  ( xi  x )( yi  y )
n i 1
b
1 n
  ( xi  x ) 2
n i 1
a  y  bx
Als Kurzschreibweise für die obige Formel erhält man: b 
 xy
 x2
, wobei man  xy als
Kovarianz bezeichnet.
Beispiel 3.1.1:
Die folgende Tabelle stellt die Körpergröße (in cm) und die Körpermasse (in kg) von
10 Personen gegenüber:
Körpergröße (x)
170
176
165
171
177
167
179
185
175
180
Körpermasse (y)
68
70
67
78
83
60
77
89
77
76
Beschreibe den Zusammenhang durch eine Regressionsgerade.
1
n
n
 x 2    xi2  x 2  30 485,1 174,52  34,85
1
n
i 1
n
 xy    xi yi  x y  13038,7  174,5  74,5  38,45
b
 xy
x
2
i 1

38,45
 1,10
34,85
a  y  bx  74,5  1,10 174,5  118,0
Regressionsgerade: y = 1,10 x – 118
Beispiel 3.1.2:
Bestimme die Regressionsgerade zu den Messpunkten:
x
0
1
2
3
y
1,1
3,3
4,8
6,7
x
1 4
3
  xi 
4 i 1
2
1
4
y
1 4
  yi  3,975
4 i 1
4
 x 2    ( xi  x ) 2  1,25
i 1
16
1
4
4
 xy    ( xi  x )( yi  y )  2,287
b
 xy
 x2
i 1
 1,83
a  y  bx  1,23
Regressionsgerade: y = 1,23 + 1,83x
Beispiel 3.1.3:
10 Schüler erreichen bei einem Schreibtest bzw. Lesetest folgende Punktezahlen xi
bzw. yi.
xi
2
4
7
9
10
12
13
15
16
19
yi
3
4
9
12
12
14
16
17
18
20
Zeichne die zugehörige Punktwolke. Berechne die Regressionsgerade und zeichne
deren Graphen in der Abbildung ein.
1
n
n
 x 2    xi2  x 2  26,01
1
n
i 1
n
 xy    xi yi  x y  27,45
b
 xy
x
2
i 1

27,45
 1,0554
26,01
a  y  bx  12,5  1,0554 10,7  1,2076
Die Regressionsgerade lautet: y = 1,06 x + 1,21
Beispiel 3.1.4:
Die Physik lehrt, dass die Längenänderung (zum Beispiel eines Metallstabes)
innerhalb
eines
bestimmten
Temperaturbereiches
direkt
proportional
zur
Temperaturänderung ist. Folgende Werte wurden gemessen:
Temperatur x (in °C)
Länge y (in mm)
0
199,93
20
200,05
40
200,10
50
200,15
70
200,20
80
200,28
17
Beschreibe die Abhängigkeit der Länge von der Temperatur durch eine möglichst gut
passende lineare Funktion.
1
n
n
 x 2    xi2  x 2  15540
 2590
6
1
n
i 1
n
 xy    xi y i  x y  3,022
b
 xy
x
2
i 1

3,022
 0,0012
2590
a  y  bx  200,12  0,0012  43,33  200,0678
Die Regressionsgerade lautet: y = 0,0012 x + 200, 0678
18
3.2 Linearer Korrelationskoeffizient
„Ob es sinnvoll ist, den Zusammenhang zwischen x und y durch eine RegressionsGerade zu modellieren – möglich ist es ja immer! – hängt von der Gestalt der
Punktwolke ab“ (Hanisch, 24). Rein optisch kann man dies nicht immer leicht
feststellen, daher wurde ein Maß rxy definiert, das misst, wie stark die Messwerte
(Punktwolke) um die Ausgleichsgerade verstreut sind.
rxy ist immer ein Zahl aus [-1;1]. [...] Ist der Korrelationskoeffizient von +1 bzw.
–1 deutlich verschieden, so ist es nicht sinnvoll, den Zusammenhang durch
eine lineare Funktion zu modellieren, sondern an deren Stelle z.B. eine
Polynomfunktion 2. Grades (Regressionsparabel) oder auch eine andere
Funktionenklasse zu verwenden (Reichel, 213).
Der Zusammenhang zwischen x und y kann auf 2 Arten beschrieben werden:
nämlich als Abhängigkeit y=f(x) und x=g(y). Man erhält also 2 Regressionsgeraden,
die sich im Fall eines nicht exakt linearen Zusammenhangs nicht überdecken. „Je
besser die Steigung [by] mit [1/bx] übereinstimmt, d.h., je besser [bx.by=1] gilt, umso
eher besteht ein linearer Zusammenhang“ (Reichel, 213).
Somit erhält man: b x b y 
 xy  yx

 x2  y2

 xy 2
 x 2   y2
da  xy   yx , wie man anhand der
Formel für die Regressionsgerade leicht erkennen kann.
Als Formel für den linearen Korrelationskoeffizienten (nach Wurzelziehen aus
Dimensionsgründen) erhält man also:
rxy 
1 n
  ( xi  x )( yi  y )
n i 1
1 n
1 n
  ( xi  x ) 2 
  ( yi  y ) 2
n i 1
n i 1

 xy
 x  y
Beispiel 3.2.1:
Fortsetzung vom Beispiel 3.1.1:
Berechne den Korrelationskoeffizienten zwischen der Körpergröße und dem
Körpergewicht.
Lösung:
rxy 
 xy
38,45

 0,815
 x  y
34,85  63,85
19
Man sieht, dass die Körpergröße und das Körpergewicht ziemlich gut positiv linear
korreliert, da eine Zunahme (bzw. Abnahme) der einen Größe auch eine Zunahme
(bzw. Abnahme) der anderen Größe bedeutet.
Beispiel 3.2.2:
Ist es in Beispiel 3.1.3 gerechtfertigt eine Gerade zur Approximation der Messdaten
zu verwenden? Begründe.
Diese Approximation ist nur eine näherungsweise Berechnung, aber nicht sehr
zuverlässig, da die Prüfungsergebnisse der Schüler von verschiedenen Faktoren
abhängig und somit sehr variabel sind.
Beispiel 3.2.3:
Ist es in Beispiel 3.1.4 vertretbar die Messwerte durch eine lineare Funktion zu
approximieren? Begründe.
Ja, weil es durch physikalische Experimente belegt ist, dass die Zunahme annähernd
direkt proportional ist.
20
4
Verwendung im Schulunterricht
Die Methode der kleinsten Quadrate zur Anpassung von Kurven an Messdaten ist ein
Teilbereich der Angewandten Mathematik und alleine deshalb sollten Schüler davon
hören. Normalerweise wird dem praxisbezogenen Aspekt der Mathematik im
Schulunterricht meist zu wenig Beachtung zugemessen. Doch gerade Anwendungen
sind notwendig um dem Mathematikunterricht auch in den Augen der Schüler Sinn zu
geben und ihr Interesse zu wecken.
Der analytische Zugang zur linearen Regression kann sicherlich in der 8.
Klasse AHS und 4. und 5. Klasse BHS unterrichtet werden, denn zu diesem
Zeitpunkt haben die Schüler die erforderlichen Vorkenntnisse aus den Bereichen der
Statistik und Differentialrechnung. Wir würden allerdings die Herleitung der Formel
zur
Bestimmung
der
Steigung
der
Regressionsgeraden
nur
in
naturwissenschaftlichen Zweigen oder im Wahlpflichtfach genauer besprechen.
Besonders interessant sind hier auch die fächerübergreifenden Aspekte (z.B.
Physik) und der direkte Bezug zur Realität durch Verwendung von aktuellen
Statistiken beispielsweise aus der Wirtschaft. Die angeführten Beispiele lassen sich
hinsichtlich dessen noch vertiefen, ausbauen und lassen Interpretation und
Diskussion zu.
Schwieriger wird es beim Lehren der algebraischen Methode, da die Schüler
meist nicht die nötigen Vorkenntnisse besitzen. Matrizenrechnung wird leider nur
sehr selten unterrichtet und wenn doch nur in sehr geringem Ausmaß. Deshalb
müsste man für die angegebene Formel sehr weit ausholen und viel Zeit (die meist
nicht vorhanden ist) aufbringen. Mit elektronischen Hilfsmitteln (CAP, TI,...) könnte
allerdings dieser Zugang verwendet werden, da man die Transponierte und Inverse
einer Matrix so ohne viel Hintergrundwissen und Zeitaufwand berechnen kann.
In den meisten Schulbüchern kommt die Methode zur Berechnung einer
Regressionsgerade nicht vor. In den Büchern von Hr. Prof. Reichel gibt es ein
derartiges Kapitel, indem jedoch nur der analytische Zugang beschrieben wird.
21
5
Weiterführende Bemerkung
Selbstverständlich ist die Methode der kleinsten Quadrate nicht die einzige um
Messdaten durch Polynome zu approximieren. Andere Methoden wären zum
Beispiel: Method of Averages, Minimax Method, Method of Least Absolute Values,
Method of Maximum Likelihood, Method of Group Averages, Cauchy’s Method of
Interpolation und zahlreiche andere Methoden.
22
6
Bibliographie
Anton, Howard. Lineare Algebra. Einführung-Grundlagen-Übungen. Heidelberg,1998.
493-500.
Dirschmid, Hans Jörg. Skriptum aus Mathematik 2 f. ET. Wien, 2001. 235-238.
Hanisch, Günter und andere. Ist Gleich. HAK 4. Lehrbuch für Mathematik und
angewandte Mathematik. Wien, 2001. 20-31.
Linnik, J.W. Methode der kleinsten Quadrate in modernerer Darstellung. Berlin, 1961.
Rasch, Dieter. Mathematische Statistik. Heidelberg, 1995. 378-381.
Reichel, Hans-Christian und andere. Lehrbuch der Mathematik 8. Wien, 1993. 211216.
Wiley, John. (ed.). Encyclopedia of Statistical Sciences. Volume 4. USA, 1983. 593598.
23