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R. Brinkmann http://brinkmann-du.de Seite 1 15.05.2016 Lineare Funktionen Anwendungsaufgaben II 1. Eine Zeitschrift, die zum Preis von 2,20 € zu kaufen ist, hat eine Auflage von 120 000 Exemplaren. Mit Hilfe der Marktforschung stellt der Verlag fest, dass sich die Auflage bei einer Preissenkung um 0,20 € pro Zeitschrift um 5000 Exemplare erhöhen lässt, bei einer Preiserhöhung um 0,20 € verliert man 5000 Käufer. a) Berechnen Sie den Preis bei einer Auflage von 140 000 Exemplaren. Welcher Stückpreis ergibt sich bei einer Auflage von y Exemplaren? b) Welche Verkaufszahlen kann der Verlag erwarten, wenn er den Preis der Zeitschrift auf 1,50 € senkt? 2. Eine Brauerei rechnet für die Auslieferung seiner Getränkekisten mit dem eigenen Verkaufsfahrzeug 0,80 € pro Kiste bei monatlichen Fixkosten von 840 €. a) Erstellen Sie einen Term für die Kosten der Auslieferung von x Kisten. Welche Kosten entstehen für die Auslieferung von 2500 Kisten? b) Ein Logistikunternehmen bietet die Auslieferung von Getränkekisten für 1,15 € pro Kiste an. Erstellen Sie einen Term für die Kosten der Auslieferung von x Kisten. Für welche Auslieferungszahlen ist das Logistikunternehmen kostengünstiger? c) Unterbreiten Sie der Brauerei ein Angebot, sodass die Kosteneinsparung bei einem Absatz von 4000 Kisten 680 € beträgt. 3. Die Abbildung zeigt den Graphen einer linearen Kostenfunktion (Gesamtkosten). a) Entnehmen Sie dem Graphen die fixen Kosten und die variablen 600 600 Stückkosten in €. Geben Sie die Gesamtkosten K bei 550 einer Produktion von x Mengeneinheiten (ME) an. 500 b) Welcher Verkaufspreis je ME ist zu K ( x) 450 erzielen, wenn 175 ME erzeugt werden und kein Verlust entstehen 400 soll. 350 300 300 0 0 Erstellt von R. Brinkmann 75886137 22.09.2006 21:10:00 50 100 150 200 x 200 1 von 5 R. Brinkmann http://brinkmann-du.de Seite 2 15.05.2016 4. Die Kosten K für die Herstellung von Tennisbällen hängen linear von der produzierten Stückzahl x ab. a) Wie teuer ist die Produktion von 1000 bzw. 3000 Bällen? y Geben Sie einen Term für die S2 Kostenfunktion K an. 1200 Wie hoch sind die fixen Kosten Kf? 1000 Wie hoch sind die variablen S1 Stückkosten kv? 750 b) Für den Erlös gilt bis 2500 Stück ein E1 600 Pauschalbetrag E1 = 750 €. 400 Ab 2500 Stück steigt der Erlös linear mit der Anzahl der verkauften Bälle (E2). 200 Bestimmen Sie die Erlösfunktion E2(x) für x > 2500 und die Schnittpunkte 1000 2000 3000 4000 S1 und S2. Kommentieren Sie die x – Werte zwischen S1 und S2. E2 K x 5. In einem Vorratstank befinden sich 9500 Liter Wasser. Täglich werden dem Tank 160 Liter Wasser entnommen. a) Stellen Sie die Funktionsgleichung für diesen Sachverhalt auf. b) Nach wie viel Tagen ist der Tank leer? c) Zeichnen Sie den Graphen der Funktion. 6. In einem volkswirtschaftlichen Modell sind die Konsumausgaben linear vom verfügbaren Einkommen abhängig. Bei einem Einkommen von 1000 € betragen die Konsumausgaben 900 €. Bei einem Einkommen von 1800 € betragen sie 1460 €. a) Ermitteln Sie einen Funktionsterm für die Konsumfunktion K. b) Berechnen Sie die Höhe der Konsumausgaben wenn das Einkommen 800 €, 2500 € bzw. 4000 € beträgt. c) Die Konsumquote ist der Anteil des Einkommens das für den Konsum aufgewendet wird. (Konsumquote = Konsum / Einkommen) Bestimmen Sie die Konsumquote für die Einkommen aus b). Welcher allgemeiner Zusammenhang besteht zwischen Konsumquote und Einkommen? d) Der Einkommenszuwachs betrage dx. Wie viel Prozent des Einkommenszuwachses wird für den Konsum ausgegeben? e) Welche Funktion S beschreibt die Sparleistung in Abhängigkeit vom Einkommen? Stellen Sie die Funktion K und S graphisch dar. Welche Bedeutung hat die Nullstelle von S? Erstellt von R. Brinkmann 75886137 22.09.2006 21:10:00 2 von 5 R. Brinkmann http://brinkmann-du.de Seite 3 15.05.2016 7. Um eine Schraubenfeder als Federwaage benutzen zu können, wird der Zusammenhang zwischen der an der Feder wirkenden Gewichtskraft FG (in Newton N) und der Federauslenkung x (in cm) festgestellt. a) Bestimmen Sie die F1 Federkonstante D bei Feder F2. 250 Welche Bedeutung hat D? b) Bestimmen Sie einen Term, der 200 F 1 ( x) die Abhängigkeit der Kraft F von F2 150 der Auslenkung x beschreibt. F 2 ( x) 100 c) Ist es möglich, mit dieser Formel die für 1 m Auslenkung benötigte 50 Kraft FG zu bestimmen? d) Was bedeuten die 0 2 4 6 8 10 12 unterschiedlichen x Federkonstanten für die Feder F1 bzw. F2? 8. Ein Eisenträger hat die Länge l0 85 m und einen Ausdehnungskoeffizienten 12 106 K Grad Kelvin K Ein Funktionsterm l t l0 l0 t beschreibt die Länge des Eisenträgers in Abhängigkeit von der Temperaturdifferenz t in K. a) Geben Sie den Funktionsterm für die Länge dieses Eisenträgers an. b) Berechnen Sie die Länge des Eisenträgers für folgende Temperaturänderungen: 30 K ; 60 K ; 40 K. c) Wie lang müsste ein Eisenträger sein, der bei einer Temperaturerhöhung um 25 K eine Längenänderung von 25 mm erfährt? 9. Aus 80 kg Zuckerrohr lassen sich 8,5 kg Zucker herstellen. (Ein linearer Zusammenhang zwischen Zuckerrohr und Zucker wird angenommen). Ein Funktionsterm f(x) beschreibt, wie viel kg Zucker man aus x kg Zuckerrohr erhält. a) Bestimmen Sie den Funktionsterm f(x). b) Berechnen Sie: f 100 ; f 250 ; f(x) 25 c) Zeichnen Sie den Graphen der Funktion f(x). 10. Der elektrische Widerstand eines Leiters verursacht einen Spannungsabfall. Die Spannung U, die dem Kunden zur Verfügung steht, wird mit folgender Formel berechnet: U I U0 R I Daten: U0 2000 V ; R 1,17 Dabei bedeuten: U0 Generatorspannung in Volt R Leitungswiderstand in Ohm und Uv R I Spannungsabfall in Volt a) Welche Spannung steht dem Verbraucher bei einem Strom von 25 A zur Verfügung? Wie hoch ist der Spannungsabfall? b) Welche physikalische Bedeutung hat die Nullstelle von U ? Wie groß muss dafür der Strom sein? Erstellt von R. Brinkmann 75886137 22.09.2006 21:10:00 3 von 5 R. Brinkmann http://brinkmann-du.de Seite 4 15.05.2016 11. Der Radfahrer A erzielt beim Zeitfahren eine Durchschnittsgeschwindigkeit von 25 km/h. Radfahrer B startet 20 Minuten nach A und erzielt eine Durchschnittsgeschwindigkeit von 45 km/h. Wann und wo holt B den Fahrer A ein? Fertigen Sie eine Skizze an und lösen Sie das Problem durch Rechnung. 12. Ein Internetanbieter unterbreitet einem Nutzer folgendes Angebot: 50 Stunden Internet, Gesamtkosten 27,50 €. Jede weitere Minute 1 Ct. Erarbeiten Sie zwei Tarifmodelle, die dem Internetnutzer für 50 Stunden die gleichen Bedingungen einräumen a) Tarif I ohne Grundgebühren. b) Tarif II mit 8 € Grundgebühren. c) Welcher Tarif ist der günstigste bei einer Nutzungsdauer über 50 Stunden? 13. Autofahrer A fährt um 8:00 in Hamburg in Richtung München los. Gleichzeitig fährt Autofahrer B in München in Richtung Hamburg los. Die Autobahnentfernung von Hamburg nach München beträgt 750 km. Fahrer A fährt mit einer Durchschnittsgeschwindigkeit von 120 km/h, Fahrer B mit einer Durchschnittsgeschwindigkeit von 150 km/h. Wann und wo treffen sich beide Autos auf der Autobahn? Fertigen Sie von dem Sachverhalt eine Skizze an und berechnen Sie. (Hinweis: Abszisse = Zeit – Achse, Ordinate = Weg – Achse) 14. In eine zylinderförmige Regentonne mit 1 m 2 Grundfläche fließen 80 Liter pro Stunde. a) Beschreiben Sie die Füllhöhe h in Abhängigkeit von der Zeit t, wenn zu Beginn ( t = 0 ) 150 Liter in der Tonne waren. b) Ist der Zusammenhang zwischen h und t linear, wenn die Tonne gebaucht oder kugelförmig ist? 15. Ein Tarifmodell eines Energieversorgers setzt sich aus einer monatlichen Grundgebühr G und den Verbrauchskosten p pro kWh zusammen. Dabei entsteht ein linearer Zusammenhang: K(x) p x G Folgende Tarife stehen zur Verfügung: Tarife monatliche Grundgebühren in € Preis pro kWh in € Tarif I 11,80 0,157 Tarif II 9,00 0,172 Tarif III 14,40 0,135 Tarif IV 18,50 0,125 a) Stellen Sie für jeden Tarif die Funktionsgleichung auf und zeichnen Sie die dazugehörigen Graphen in ein Koordinatensystem. b) Ermitteln Sie für den monatlichen Verbrauch von 800 kWh einer Durchschnittsfamilie den günstigsten Anbieter. c) Welche Bedeutung haben die Schnittpunkte der Geraden im Koordinatensystem? Erstellt von R. Brinkmann 75886137 22.09.2006 21:10:00 4 von 5 R. Brinkmann http://brinkmann-du.de Seite 5 15.05.2016 16. Die Firma „Big Beauty“ produziert den Lippenstift „Amore“. Die bei der Produktion entstehenden Kosten K sind von der hergestellten Stückzahl abhängig. Bei der Produktion von x = 100 Stück entstehen Kosten von 385 €, bei der Produktion von x = 200 Stück entstehen Kosten von 410 €. Zwischen der Stückzahl und den entstehenden Kosten bestehe ein linearer Zusammenhang. a) Bestimmen Sie die Kostenfunktion. b) Wie hoch sind die Stückkosten bei einer Produktion von x = 140 Stück? c) Gegen welchen Wert streben die Stückkosten bei sehr hohen Stückzahlen? d) Bei welcher Menge x liegt die Gewinnschwelle, wenn ein Verkaufspreis von 5,20 € pro Lippenstift erzielt wird? e) Zeichnen Sie die Graphen von K(x) und E(x) in ein Koordinatensystem. Erstellt von R. Brinkmann 75886137 22.09.2006 21:10:00 5 von 5
