Beispiel 1: Finanzmathematik, Investitionsrechnung
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Schriftliche Reife- und Diplomprüfung aus Mathematik Sommertermin 2013 5 CK Ausführung 1 Inhalt: 1. Reelle Analysis – Optimierungsaufgaben – Anwendung der Integralrechnung - Statistik Anw.: Kläranlagen, Abwasser a) b) c) d) e) Anwendung der Differentialrechnung - Differentialgeometrie Zweidimensionale Statistik – Methode der kleinsten Quadrate Anwendung der Integralrechnung Deskriptive Statistik – Zentral – und Streuungsmaße Normalverteilung 2. Finanzmathematik – Deskriptive Statistik Anw.: Finanzierung und Berechnung von Kennzahlen bei Errichtung einer Anlage a) b) c) d) e) Finanzmathematik – Unterjährige Renten Finanzmathematik – Effektivzinssatz Dynamische Investitionsrechnung - Amortisationszeit Tilgungsplan Geometrisches Mittel - Indizes 3. Wachstumsfunktionen, exponentielle Regression – Deskriptive und schließende Statistik - Verteilungen Anw.: Mülldeponie a) b) c) d) e) Exponentielle Regression Deskriptive Statistik – Harmonisches Mittel Elementare Wahrscheinlichkeit – Satz von Bayes Poissonverteilung Anwendung der Normalverteilung - Prüfplankurven 4. Reelle Analysis – Anwendung auf Kostentheorien – Stetige Verteilungen - Matrizen Anw.: Müllverbrennungsanlagen a) b) c) d) e) Kostenfunktion – kubische Regression Langfristige Preisuntergrenze – Betriebsoptimum - Gewinnmaximum Matrizen – Anwendung auf Wandermodelle Stetige Verteilung - Dichtemaximum Stetige Verteilung - Normierung Punkteschlüssel: Sehr gut Gut Befriedigend Genügend Nicht genügend 93 81 66 50 0 bis 100 bis 92 bis 80 bis 65 bis 49 Punkte Punkte Punkte Punkte Punkte Schriftliche Reife- und Diplomprüfung aus Mathematik Sommertermin 2013 5 CK Ausführung 2 Beispiel 1: Kläranlage a) Die Zuflussmenge in ein Staubecken einer Kläranlage verläuft wie in nebenstehender Grafik angezeigt: Ermitteln Sie einen Ansatz für diesen Funktionsverlauf unter Berücksichtigung der Qualität der Nullstellen! Berechnen Sie die Gleichung dieser Funktion mit folgenden Werten: Der maximale Zufluss beträgt 10.368 m3/h. und eine Nullstelle ist an der Stelle t = 10 Ansatz: Z(t) = a t2 (t – 10)3 Error! = at(10 – t)2 (5t – 20) = 0 t1 = 0 t2 = 4 und t3 = 10, d.h unabhängig von der Größe von a hat die Funktion ein Maximum bei t = 4 Z(4) = 10.368 = 16a · (–6)3 a = 3 Z(t) = 3t2 (10 – t)3 b) Während des Zuflusses von zu klärendem Wasser werden folgende Werte erhoben: Zeitpunkt t Zuflussmenge in m3/h 8:00 3 10:00 80 12:00 120 14:00 50 Uhr Skalieren Sie die Zeitskala mit 8:00 … t = 0 und 10:00 … t = 2 und berechnen Sie eine im Sinn der Methode der kleinsten Quadrate möglichst gut passende Funktion der Form Z(t) = at5 + bt2 für diese Werte. F(a,b) = (ati5 + bti2 – Zi)2 Minimum Error! = 2 (ati5 + bti2 – Zi) ti5 = 0 und Error! = 2 (ati5 + bti2 – Zi) ti2 = 0 a ti10 + b ti7 = Zi ti5 und a ti7 + b ti4 = Zi ti2 also: 61.515.776 a + 296.448 b = 514.240 und 296.448 a + 1.568 b = 4.040 a = – 0,04503 und b = 11,20405 daher Z(t) = 11,20405 t2 – 0,04503 t5 Schriftliche Reife- und Diplomprüfung aus Mathematik Sommertermin 2013 5 CK Ausführung 3 c) Nehmen Sie für diesen Punkt Z(t) = 50t2 – 0,05t5 mit den Skalen vom Punkt b). Berechnen Sie eine Gleichung für die Gesamtmenge im Klärbecken, wenn die Füllmenge zum Zeitpunkt 10:00 Uhr 500 m3 war. Wie groß ist die Füllmenge zum Zeitpunkt 15:00 Uhr? Welches Intervall für t ist sinnvoll, wenn kein Abfluss im Modell auftreten darf? dM = Z(t) dt M = Error! = C – Error! mit M(2) = 500 = C + 132,8 C = 367,2 M(t) = 367,2 – Error! Z(t) hat Nullstellen bei N1,2(0 / 0); 0 und N3 (10 / 0) . Nur für t 10 hat Z(t) positive Werte, ein vernünftiges Interval ist also [0 / 10]. Füllmenge um 15:00 Uhr (also bei t = 7 ist M(7) = 5.103,45 d) Die eingetragene Schadstoffmenge pro Stunde (=Schadstoffleistung) zeigt in einem Protokoll folgende Werte: Schadstoffleistung in l/h Häufigkeit (absolut) 400 30 500 80 600 70 700 50 800 20 1000 30 Berechnen Sie für diese Liste die relativen Häufigkeiten, den Modus, den Median, das arithmetische Mittel, die Streuung und die Interquartilspannweite. Schadstoffleistung in l/h Häufigkeit relativ in % 400 10,7 500 28,6 600 25 700 17,9 800 7,1 1000 10,7 Modus = 500 l/h, Median = 600 l/h, arithmetisches Mittel = 625 l/h, Streuung = 168,24 l/h, Interquartilspannweite = 200 l/h e) Die eingetragenen Schadstoffmenge pro Stunde sei normalverteilt mit dem Mittelwert µ = 600 l/h und der Streuung = 160 l/h. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Schadstoffleistung zwischen 500 l/h und 800 l/h liegt. Welcher Wert wird nur in 1 % aller Fälle überschritten? Ermitteln Sie ein symmetrisches Intervall um den Mittelwert, in dem 80 % aller Werte liegen werden! W(500 x 800) = (800,600,160) – (500,600,160) = 0,894 – 0,266 = 0,628 63 % W(x r) = 1 –(r,600,160) = 0,01 r = 972,2 (600+d,600,160) – (600 – d,600,160) = 0,8 d = 205 l/h innerhalb von [395 / 805] liegen 80 % aller Werte. Schriftliche Reife- und Diplomprüfung aus Mathematik Sommertermin 2013 5 CK Ausführung 4 Beispiel 2: Finanzielle Aspekte der Abwasserreinigung a) Für die Errichtung einer neuen Kläranlage (Kosten 10,6 Mio. EUR) wird zu 60 % fremdfinanziert. Die Auszahlung des Kredits ist per Ende Oktober 2016 fällig. Die Tilgung erfolgt durch 50 Semesterraten bei einem Zinssatz von 4 % dekursiv ganzjährig. Die erste Rate ist per Ende Juni 2020 fällig. Wie hoch sind diese Raten? Bezugspunkt per Ende 2019: 0,6 · 10,6 · 1,0438/12 = 6,36 · 1,0438/12 = 7,201053266 = R 1–1 = R · 31,55... R = 1 04–25; 04 – 1 0,222816983 d. h. Raten von € 222.816,98. b) Eine zweite Bank bietet folgende Finanzierung an: Kreditsumme: ................... € 6,5 Mio fällig per Ende 2016 getilgt durch ...................... 20 Jahresraten 1. Rate fällig per Ende 2020 bei relativen jährlichen Finanzierungskosten von 3,5 %. Berechnen Sie die Jahresraten und den Effektivzinssatz. 0,035 = Error! R = 0,586625 Effektivzinssatz: Bezugspunkt per Ende 2019: 6,5 · r3 = 0,586625 · Error! r = 1,0475 also 4,75 % Die Jahresraten betragen € 586.625,-- und der Effektivzinssatz ist 4,75 %. c) Durch den Bau dieser neuen modernen Kläranlage erspart sich die Gemeinde Kosten von € 1,3 Mio. . Die Errichtung hat € 15 Mio. gekostet. Wie lang ist die Amortisationszeit bei einem Kalkulationszinssatz von 7 %? Stellen Sie die Amortisationszeit als Funktion der jährlichen Einsparungen dar und stellen Sie diese Funktion als Graf in einem vernünftigen Bereich dar. Argumentieren Sie, warum die Funktion unstetig wird. 15 = 1,3 Error! n = 24,37 Jahre 15 = E Error! Error! = 1 – 1,07– 15 · 0 n 1 – 07;E = 1,07–n ln E – 1 05;E = –n ln(1,07) – n = Error! n = Error! = Error! Diese Funktion ist unstetig an der Stelle 1,05, weil dann die Zinsen die Einsparungen übersteigen und daher die Amortisationszeit unendlich wird. Schriftliche Reife- und Diplomprüfung aus Mathematik Sommertermin 2013 5 CK Ausführung 5 d) Erstellen Sie einen Tilgungsplan für folgende Schuldtilgung (Jahresraten, Zinssatz 5 % dek. gj.): Schuld .............................. € 800.000,-- per Ende 2016 1. Rate............................... € 300.000,-- per Ende 2017 2. Rate............................... € 200.000,-- per Ende 2019 Restrate ............................. per Ende 2020 Pos. 0 1 2 3 4 Datum 31.12.2016 31.12.2017 31.12.2018 31.12.2019 31.12.2020 Summen Annuität Zinsen Kapitaländ. 300.000,00 0,00 200.000,00 415.117,50 915.117,50 40.000,00 27.000,00 28.350,00 19.767,50 115.117,50 -260.000,00 27.000,00 -171.650,00 -395.350,00 -800.000,00 Restschuld 800.000,00 540.000,00 567.000,00 395.350,00 0,00 e) Die Gebühren für die Abwasserentsorgung wiesen in den vergangenen Jahren folgende Wachstumsraten auf: Jahre Steigerung 1991 bis 1995 8% 1996 bis 2001 12 % 2002 bis 2006 3% Wie hoch war die durchschnittliche Steigerungsrate. Welches Zentralmaß muss verwendet werden? Wie hoch ist der Abwassergebührindex im Jahr 2006, wenn der Index für 1990 = 100 war? Wann wird der Index den Wert 500 erreichen, wenn der Durchschnittswert weiter gilt? geometrisches Mittel = Error! = Error! = 1,0787 also 7,9 % durchschnittlich Index im Jahr 2006 = 336,2 5 = 1,0787x x = 21,24 d.h. im Jahr 2012 Schriftliche Reife- und Diplomprüfung aus Mathematik Sommertermin 2013 5 CK Ausführung 6 Beispiel 3: Abfallwirtschaft a) Eine Gemeinde betreibt eine Deponie mit einem Fassungsvermögen von 30.000 ME. Die Füllmengen werden mit: Ende des Jahres 2009 2010 2011 Füllung 300 500 900 ME ermittelt. Erstellen Sie ein mathematisches Modell für gleichbleibende relative Wachstumsraten der Füllung dieser Deponie. Rechnen Sie dann eine entsprechende Regression für diese Daten. Verwenden Sie die Skalierung: Jahr 2000 … t = 0. Berechnen Sie aufgrund dieser Modellierung, wann die Deponie voll sein wird. Ansatz: F(t) = a et liefert mit den Daten F(t) = 2,11 · e0,549t 30.000;2 ln 11 ;0 F(t) = 30.000 = 2,11 · e0,549t t = = 17,4 549 Die Deponie wird im Jahr 2018 voll sein. b) Die Müllwagen fahren auf der Deponie 60 % des Weges mit 50 km/h und den Rest mit 20 km/h. Wie hoch ist ihre mittlere Geschwindigkeit auf dem Deponiegelände? Verwenden Sie das richtige Zentralmaß (wie heißt es?). Wie hoch müssten sich die Geschwindigkeiten 50 km/h und 20 km/h verteilen, damit die Durchschnittsgeschwindigkeit 40 km/h wäre? harmonisches Mittel = Error! = 31,25 km/h Error! = 40 x = 0,83333 = 5/6 d.h 5/6 der Strecke mit 50 km/h, 1/6 mit 20 km/h Schriftliche Reife- und Diplomprüfung aus Mathematik Sommertermin 2013 5 CK Ausführung 7 c) 80 % der Deponiemengen sind Industriemüll, der Rest Hausmüll. 1 % des Hausmülls ist Sondermüll. Wie hoch ist der Anteil des Sondermülls des Industriemülls, wenn insgesamt 2,6 % Sondermüll anfallen? Wie hoch ist der Anteil des Hausmülls, bezogen auf die Nichtsondermüllmenge? W(S) = 0,8 x + 0,2 · 0,01 = 0,026 x = 0,03 0,8 W(Haus/Normal) = = Error! = 0,2 Industrie = 0,203 also 20,3 % x Sonder Haus 1–x 0,01 8 Normal Sonder 0,99 8 Normal d) Im Schnitt kommen pro Jahr 25 meldepflichtige Störfälle vor. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass mehr als 30 Störfälle vorkommen. Welcher Wert an Störfällen wird mit einer Wahrscheinlichkeit von 95 % nicht überschritten? Verwenden Sie die Poissonverteilung. W(k = 31, 32, …) = 1 – poisson_distribution(30,25) = 13,7 % 0,95 = poisson_distribution(k,25) k = 33 e) Mit einem professionellen Entsorgungsunternehmen wurde eine Annahmeprüfung ausgehandelt: es werden 80 Fuhren stichprobenartig geprüft: Bei einer Überschreitung von 10 % Beanstandungen wird der Deponievertrag ausgesetzt. Berechnen Sie die Gleichung der Prüfplankurve für diese Situation. Wie hoch ist das Lieferantenrisiko bei einem wahren Anteil von 12 % Beanstandungen? Skizzieren Sie die Prüfplankurve. n = 80 c = 8 W(Annahme) = Error! W(Ablehnung) = = 1 – W(Annahme) = = 1 – Error! = = 1 – 0,29 = 0,71 = 71 % Beispiel 4: Kostensituation einer Müllverbrennung Schriftliche Reife- und Diplomprüfung aus Mathematik Sommertermin 2013 5 CK Ausführung 8 a) Die Kostenfunktion für eine Müllverbrennungsanlage verläuft S-förmig mit folgenden Werten: 1 ME = 1.000 t Müll, 1 GE = 1.000 EUR verbrannte Müllmenge in ME Kosten in GE 1 70 2 90 3 110 4 125 5 160 Rechnen Sie für diese Daten eine geeignete Regression. Wie lautet die Kostenfunktion? Regression 3.Grades mit K(x) = ax3 + bx2 + cx + d liefert a = 1,67 b = – 13,21 c = 50,12 d = 31 d.h. K(x) = 1,67x3 – 13,21x2 + 50,12x + 31 b) Berechnen Sie das Betriebsoptimum für die Kostenfunktion K(x) = 1,7x3 – 13x2 + 50x + 30. (Einheiten wie in a)). Wie hoch ist die langfristige Preisuntergrenze? Die Müllverbrennung erzielt einen Preis von 45 €/t. Wie hoch ist der maximale Gewinn? Um welchen Prozentsatz sinkt der Gewinn, wenn die Müllmenge um 20 % höher ist als die gewinnmaximale Menge? – K; (x) = 1,7x2 – 13x + 50 + Error! Error! = Error! = 0 x = 4,3 – K; (4,3) = 32,5 maximaler Gewinn bei Error! = Error! = 45 = 5,1x2 – 26x + 50 x = 4,9 G(4,9) = E(4,9) – K(4,9) = 220,5 – 162,8 = 57,5 GE G(4,9 · 1,2) = G(5,88) = E(5,88) – K(5,88) = 264,6 – 220,1 = 44,5 GE ( d.s. 23 % weniger) Schriftliche Reife- und Diplomprüfung aus Mathematik Sommertermin 2013 5 CK Ausführung 9 c) Für einen Recycling-Prozess werden drei Stoffe A, B und C ineinander umgewandelt. Bei einem Vorgang geschieht folgendes: 30 % der Menge von A werden zu C und 20 % von A wird zu B 60 % der Menge von B wird zu C, von B wird nichts in A umgewandelt. 80 % der Menge von C wird zu A und 10 % der Menge von C wird zu B. Zeichnen Sie einen Gozintographen für diese Situation und erstellen Sie die „Wandermatrix“. Berechnen Sie die Mengenbilanz nach 3 Vorgängen, wenn die Anfangsbestände von A 600 Mengeneinheiten (ME), von B 300 ME und von C 200 ME waren. W= 0 5;0 2;0 3;0 0;0 4;0 6;0 8;0 1;0 1 M3 = (600 300 200) · W3 = (532,6 233,6 333,8) d) Die Betriebsdauer eines Brenners ist mit einer Dichte f(x) = x · ebx verteilt. x ist die Brenndauer in 1.000 Stunden. Berechnen Sie den Parameter b so, dass die häufigste Brenndauer 8.000 h beträgt. Error! = ebx (bx + 1) = 0 für x = 8 8b + 1 = 0 b = – 1/8 e) Normieren Sie die Dichte f(x) = k x2 e–2x über dem Intervall [0 / ). Welcher x-Wert wird nur in 1 % aller Fälle überschritten? F(x) = Error! = C – Error! mit F(0) = 0 = C – Error! und Error!F(x) = F() = 1 = C k = 4 und F(x) =1 – e-2x(2x2 + 2x + 1) 0,99 = 1 – e-2x(2x2 + 2x + 1) x = 4,2 Schriftliche Reife- und Diplomprüfung aus Mathematik Sommertermin 2013 5 CK Ausführung 10 Beilage zur Schriftlichen Reifeprüfung: Punkteverteilung: 1. Reelle Analysis – Optimierungsaufgaben – Anwendung der Integralrechnung - Statistik Anw.: Kläranlagen, Abwasser.................................................................................................................. / 25 a) b) c) d) e) Anwendung der Differentialrechnung - Differentialgeometrie ................................................................ / 5 Zweidimensionale Statistik – Methode der kleinsten Quadrate ............................................................... / 5 Anwendung der Integralrechnung ............................................................................................................ / 5 Deskriptive Statistik – Zentral – und Streuungsmaße .............................................................................. / 5 Normalverteilung ................................................................................................................................... / 5 2. Finanzmathematik – Deskriptive Statistik Anw.: Finanzierung und Berechnung von Kennzahlen bei Errichtung einer Anlage ............................... / 25 a) b) c) d) e) Finanzmathematik – Unterjährige Renten ............................................................................................... / 5 Finanzmathematik - Effektivzinssatz ....................................................................................................... / 5 Dynamische Investitionsrechnung - Amortisationszeit ............................................................................ / 5 Tilgungsplan ............................................................................................................................................ / 5 Geometrisches Mittel - Indizes ................................................................................................................ / 5 3. Wachstumsfunktionen, exponentielle Regression – Deskriptive und schließende Statistik - Verteilungen Anw.: Mülldeponie .................................................................................................................................. / 25 a) b) c) d) e) Exponentielle Regression ........................................................................................................................ / 5 Deskriptive Statistik – Harmonisches Mittel ........................................................................................... / 5 Elementare Wahrscheinlichkeit – Satz von Bayes ................................................................................... / 5 Poissonverteilung .................................................................................................................................... / 5 Anwendung der Normalverteilung - Prüfplankurven ............................................................................... / 5 4. Reelle Analysis – Anwendung auf Kostentheorien – Stetige Verteilungen Anw.: Müllverbrennungsanlagen ............................................................................................................. / 25 a) b) c) d) e) Kostenfunktion – kubische Regression .................................................................................................... / 5 Langfristige Preisuntergrenze – Betriebsoptimum - Gewinnmaximum ................................................... / 5 Matrizen – Anwendung auf Wandermodelle ........................................................................................... / 5 Stetige Verteilung - Dichtemaximum ...................................................................................................... / 5 Stetige Verteilung - Normierung ............................................................................................................. / 5 Punkteschlüssel: Sehr gut Gut Befriedigend Genügend Nicht genügend 93 81 66 50 0 bis 100 bis 92 bis 80 bis 65 bis 49 Punkte Punkte Punkte Punkte Punkte Schriftliche Reife- und Diplomprüfung aus Mathematik Sommertermin 2013 5 CK Ausführung 11 Regulativ für die Benützung elektronischer Hilfsmittel: Sie dürfen für die Bearbeitung der Problemstellungen Unterstützung von Software (z.Bsp. Derive oder MS Excel) benutzen. Speziell dürfen auch in der Unterrichtsarbeit erstellte Dateien verwendet werden, jedoch keine beispielspezifische Dateien (d.s. solche, die für eine spezielle Problemstellung schon im Unterricht erarbeitet wurde) Die Bearbeitung der Problemstellungen soll jedoch in genügend ausführlicher Form schriftlich auf Papier erfolgen, d. h.: Sowohl Ansätze als auch Ergebnisse (z. Bsp. Skizzen von Funktionsgraphen etc.) sind in schriftlicher Form zu erstellen. Zwischenergebnisse und Nebenrechnungen sind schriftlich festzuhalten, auch wenn sie mit Hilfe von CASImplementierungen zustande gekommen sind. Eventuell entstandene Dateien, die bei der Bearbeitung der Problemstellungen entwickelt wurden sind bloße Hilfestellungen und sind nicht Gegenstand der Bewertung (insbesondere müssen sie daher nicht mit abgegeben werden). Die Notation ist Gegenstand der Beurteilung („Fachsprache“) und sollte nach gültiger Konvention erfolgen (d.h. insbesondere keine Erwähnung von CAS-Synthax) Werden gängige Implementierungen verwendet, muss darauf nicht extra hingewiesen werden. (z.Bsp. Lösen eines Gleichungssystems, Differenzieren oder Integrieren von Funktionen) Beispiel: richtig falsch 3a + 4b + 8c = 348 a + 3c = 103 5a – 3b = 470 a = 100 b = 10 c = 1 Derive: # 1 = 348 #2 = 103 # 3 = 470 a = 100 b = 10 c = 1 P(t) = 20 t – 10 P(10) = 190 P(t) = 0 = 20t – 10 t = 0,5 P(t) = 20 t – 10 Sub 10 190 Lösen algebraisch y = 50 e2x Error! = 100 e2x y = 50 e2x differenzieren 100 e2x Error!= –cos(x) + C t = 0,5 Error! C – cosx (20;15;3) = normal(20,15,3) Poissonverteilung mit µ = 3,2 W(k = 0, 1, 2, 3) = P(3) = 0,524 poisson_distribution(3,3.2) = 0,524 Schriftliche Reife- und Diplomprüfung aus Mathematik Sommertermin 2013 5 CK Ausführung 12
