Zur_Cauchyschen_Integralformel_und_dem_Residuensatz

Das ist das handout, das ich für mein M2T2Rep geschrieben habe.
Thema ist u.A. die Cauchysche Integralformel, der Cauchysche Integralssatz, die LaurentReihenentwicklung und natürlich der Residuensatz.
Quellen sind: Jänich – Funktionentheorie und zum Teil auch wiki freakin’ pedia.
Wir betrachten Funktionen von komplexen Variablen.
Eine Funktion f : U  C auf einer offenen Teilmenge U von C heißt holomorph, falls sie
in jedem Punkt komplex differenzierbar ist.
Es zeigt sich, dass eine holomorphe Funktion stets unendlich oft differenzierbar und sich lokal
in jedem Punkt in eine Potenzreihe entwickeln lässt.
Wir wollen uns letzten Endes mit der Frage auseinandersetzten was die Integration über einen
geschlossenen Weg in der komplexen Zahlenebene ergibt.
Dafür Definieren wir das Kurvenintegral:
Ist f : U  C eine stetige Funktion auf eine einer Teilmenge U von C
und s : [t 0 , t1 ]  U eine stetig differenzierbare Kurve, dann gilt:

t1
f ( z )dz :  f ( s(t )) 
S
t0
ds(t )
dt
dt
Das Integral der Funktion f entlang des Weges s lässt sich also durch Parametrisierung des
Weges berechnen. Sollte der Weg stetige „Knickstellen“ haben, so lässt sich das Integral
trotzdem durch Zusammensetzung von Integralen über die Teilstrecken zusammensetzten.
Um ein physikalisches Beispiel zu nennen kann man zum Beispiel bei der Berechnung der
Arbeit die Kraft entlang eines Weges integrieren. Integriert wird dann über die Werte der
Funktion an jedem Punkt der Stecke multipliziert mit dem jeweiligen tangential an der Kurve
liegendes infinitesimal kleines Wegelement.
Als nächstes betrachten wir Funktionen f : G  C die in einem ganzen Gebiet G von C
holomorph sind. Hier gilt der Cauchysche Integralsatz, der besagt, dass dann das Integral
über eine geschlossene Kurve gleich 0 ist:
 f ( z )dz  0
S
In der Topologie bezeichnet der Begriff Gebiet eine offene, nichtleere und
zusammenhängende Teilmenge eines topologischen Raumes.
1
Für Funktionen f deren Stammfunktion F man bereits kennt lässt sich der Satz leicht
nachvollziehen:
t1
 f ( z)dz : 
S
t0
t1
ds(t )
dF ( s(t )) ds(t )
f ( s(t )) 
dt  

dt  F ( s(t1))  F ( s(t 0))
dt
ds
(
t
)
dt
t0
Für geschlossene Kurven, bei denen der Anfangspunkt gleich dem Endpunkt ist, folgt die
Behauptung.
Durchläuft man einen geschlossenen Weg also in eine Richtung und teilt diesen dann an den
Punkten P1 und P2 in zwei Teile, dann ist klar, dass der erste Abschnitt P1  P2 genau den
negativen Wert des Zweiten Abschnittes P2  P1 zum Integral beigetragen haben muss, da
dieses ja 0 ergibt.
P2
Daraus folgt in dem Fall, dass Kurvenintegral
 f z dz vom Weg unabhängig ist.
P1
Ein Beispiel in der Physik sind Felder, die sich als Gradient einer bekannten Stammfunktion

V (Potenzial) schreiben lassen. Zum Beispiel E   grad
Die allgemeine Gültigkeit des Cauchyschen Integralsatzes holomorpher Funktionen f auf
einem Gebiet G kann man in der Analysis dadurch beweißen, Dass man Die von einer
geschlossenen Kurve brandete Fläche in immer feinere Flächen zerlegt, bei dem vor und
zurücklaufende Wegintegrale sich gegenseitig aufheben.
2
Als nächstes betrachten wir Funktionen mit Polstellen z0 .
Die Ordnung des Pols bezeichnet den Grad der Nullstelle im Nenner.
Beispielsweiße ist z0 für die Funktion f z  :
1
z  z 0 k
ein Pol k-ter Ordnung
Wir unterscheiden 3 Arten von Singularitäten:
Eine Funktion heißt hebbar, wenn durch geeignete Festlegung der Funktion an der Stelle der
Singularität f z 0  holomorph auf einer betrachteten Teilmenge U wird.
Eine Funktion heißt Pol, wenn f z 0  nicht hebbar ist, aber dafür durch Multiplikation einer
geeignet hohen geeignet hohen Potenz z  z 0  f z 0  hebbar wird.
m
 
Ein Beispiel für eine Wesentliche Singularität ist f z  : sin 1 . Die Taylorentwicklung des
z
Sinus veranschaulicht, dass man es hierbei mit Termen immer größer werdender negativer
Potenzen zutun hat.
3
Wir wollen nun die Cauchysche Integralformel beweißen.
f z 
entlang einer
za
Kreisbahn R um einen beliebigen Punkt in der betrachteten Teilmenge U berechnen, die eine
f z 
Polstelle a einschließt. f a  existiert nur
ist bei a freilich nicht definiert.
za
Wir betrachten dazu das geschlossene Kurvenintegral der Funktion
f z 
f z 
f z 
 z  adz   z  adz  lim   0 z  adz  lim   0
R
S
S
S
f z   f a   f a 
dz
za
Beim ersten Gleichheitszeichen haben wir die Bahn R aufgrund der oberen Resultate auf eine
Kreisbahn s um die Polstelle mit Radius  eingeschränkt. Dann beschließen wir die Bahn
immer weiter zusammen zuziehen lim   0 . Beim dritten Gleichheitszeichen haben wir
einfach mit f a  erweitert.
lim   0 f z   f a   f a dz  lim   0 f z   f a dz  lim   0 f a dz
S
za
za
S
S
za
Der erste Term ist die Ableitung von f a  bei a und die Stammfunktion ist eben f a  . Da sie
existiert ist das Ringintegral gleich 0 und damit beschränkt sich das Integral auf
lim   0 f a dz .
za
S
Wir Lösen es durch Parametrisierung mit der komplexen
it
Exponentialfunktion st  : a    e , die auf dem
Intervall t : [0,2 ] einmal einen Kreis um a umläuft.
e it  cos(t )  i sin( t ) auf der Intervall t : [0,2 ] ist die
passende Parametrisierung, da wir ja auf der komplexen
Zahlenebene einmal im Kreis gehen.
Das  wird sich dabei heraus kürzen und den Limes
hinfällig machen.
Und nein. Das ist nicht der Todesstern.
f a 
f a  ds(t )
f a 
it
dz

dt

 z  a 0 s(t )  a dt
0   eit  a  a  i  e dt  0 i  f a dt  2i  f a 
2
2
2
Damit haben wir die Cauchysche Integralformel für die Kreisscheibe gezeigt:
f a  
1
f z 

dz
2i R z  a
soviel zu diesen mysteriösen 2 i
4
Um eine isolierte Singularität lässt sich eine holomorphe Funktion zwar im Allgemeinen nicht

in eine Potenzreihe, aber wohl in eine so genannte Laurentreihe
 c z  z 
n  
f z  :

 c z  z 
n  
n
n
0
 ...  c2
n
n
0
entwickeln.
1
1
0
1
 c1
 c0 z  z 0   c1 z  z1   ...
2
z  z 0 
z  z 0 
Dabei müssen bei einer so entwickelten Funktion natürlich nicht alle cn existieren, das heißt
 0 sein.
Die Cauchysche Integralformel sagt uns nun wie wir die Koeffizienten bestimmen können.
Dividieren wir nämlich die Funktion f  z  :

 c z  z 
n  
n
n
0
0
durch z  z0  ,
n 1
wobei n0 eine gewählte ganze Zahl ist, dann rückt der Koeffizient cn an die stelle des Pols
erster Ordnung zurück.

z  z0   ...c
f z 
1
1
0
1

c

c
 cn1 z  z 0   cn2 z  z 0  ...

n

(
n

1
)
n
n0 1
n0 1
2
z  z 0 
z  z 0 
z  z 0 
z  z 0 
n  
n
Alle Terme bis auf c n
1
z  z 0 n1
n
c z  z 0  dz c n
.
z  z 0  besitzen die Stammfunktion  n
n  1
Bilde ich nun das Ringintegral rund um die Polstellen für Werte entlang des Weges so sind
cn
 z  z0 dz  2i  cn
diese Terme gleich 0 und nur
liefert einen Beitrag,
wie die Cauchysche Integralformel (für die konstante Funktion cn ) besagt.

cn 
1
f z 

dz
2i z  z 0 n1
5
Als Residuum „Res f z  “ bezeichnet man den -1sten Koeffizient der Laurententwicklung
einer Funktion f z  .
Man kann die Residuen Res f z  einer Funktion abzählbarer Polstellen auch ohne Integration
ermitteln. Dazu multipliziert man die Funktion f z  einfach mit z  z 0  wobei k die
Ordnung der betrachteten Polstelle z0 der Funktion ist. Dadurch verschiebt sich c1 um k
Indizes. Eine Taylorentwicklung (also mehrmaliges, von der Ordnung der Polstellen
k
abhängiges, Differenzieren bei dem z  z 0   f z  wieder die eigentliche Potenz weniger
Eins von f z  annimmt) und die Auswertung an der Polstelle (um die die höheren Terme alle
0 zu setzten) liefert das Residuum:
k
1 d 
Re s Zo f  z  
 
k  1!  dz 
Ist f z  von der Form
Re s Zo
z  z 0 k  f z  z 
0
g z 
wobei hz  an der Stelle z0 eine einfache Nullstelle hat, so
h z 
ergibt sich der Spezialfall: Re s Zo
Zum Beispiel hat
k 1
g z  g z 0 

h z  h'  z 0 
1
1
bei +i und –i Polstellen und es folgt:

z  1 ( z  i)( z  i)
2
1
1
1

 .
2i
z  1 2 z0
2
6
Nun ergibt sich der Residuensatz ganz selbstverständlich:
Bilde ich nun das Ringintegral über die Funktion
 f z  :  ...c z  z 
1
2
2
 c1
0
1
0
1
2
 c0 z  z0   c1 z  z0   c2 z  z0  ...
z  z0 
so verschwinden wieder alle Terme mit der Stammfunktion
und nur
 f z    c
1
 cn z  z 0  dz cn
n
z  z 0 n1
n  1
1
dz  2i  c 1  2i  Re s Zo f liefert einen Beitrag.
z  z0
Daraus folgt der Residuensatz:
1
 f z dz   s a  Re sai f
2i s
ai
(wobei  s a  
1
1
dz der Zyklus ist, der Angibt, wie oft der Punkt a umlaufen wird.)

2i R z  a
Der Residuensatz erspart uns also eine Integration!
Wichtig ist die Aussage, dass zum Beispiel für Rationale Funktionen R(x), die von
mindestens zweiter Ordnung abfallen und die keine Pole auf der reellen Achse haben gilt:

 Rxdx   Re s Rz 

Im ai o
ai
Dabei erweitert man den Definitionsbereich einfach auf die komplexe Zahlenebene und
Integriert einmal entlang einer Kurve, die auf der oberen (oder wahlweiße auf der unteren)
Halbebene unendlich weit entfernt verläuft.
Aufgrund des raschen Abfalls der der Funktion Rz  ist das Integral dort unendlich weit
außerhalb immer 0 und es liefert alleine der Weg auf der reellen Achse genau den Wert des
Ringintegrals. Dieser Beitrag ist genau jener der Residuen.
Da ich ein Romantiker bin male ich gerne Sonnenaufgänge…leider kam das dabei heraus.
lg Nikolaj
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