2 - KSAintern

KANTON
LUZERN
MATURA 2005
Schwerpunktfach Physik und
Anwendungen der Mathematik
Klassen 6Ra, 6Kb
Kantonsschule Luzern
Obergymnasium
Zeit: 180 Minuten
Die Lösungen sind sauber darzustellen und ausführlich zu dokumentieren.
Die Aufgaben Physik Nr. 1 - 5 und die Aufgaben Anwendungen der Mathematik Nr. 6 - 8
sind auf separaten Bögen zu lösen.
Die Note 6 wird für 50 Punkte erteilt.
Der Einsatz der Hilfsmittel ist klar anzugeben.
Hilfsmittel: Formelsammlung DMK und Rechner TI mit Handbuch.
PHYSIK
1. Dynamik (5 Punkte)
Ein homogener Vollzylinder ist um seine horizontal gelagerte Achse reibungsfrei drehbar. Über
seinen Mantel ist ein dünner Faden gewickelt, an dem ein Antriebsgewichtchen hängt. Die
Bewegung startet aus der Ruhe.
Gegeben sind: Zylindermasse m1, Radius r, Antriebsmasse m2, Erdbeschleunigung g
Es sind keine numerischen Ergebnisse gesucht. Die Ansätze sind zu begründen.
a) Bestimme die Beschleunigung a des Antriebsgewichtchens.
b) Bestimme das Verhältnis der kinetischen Rotationsenergie des Zylinders zur kinetischen
Translationsenergie des Gewichtchens an beliebiger Bewegungsstelle.
2. Kreisprozess mit idealem Gas (9 Punkte)
5 Mol eines zweiatomigen idealen Gases (Cv = 2.5 R) durchlaufen folgenden dreistufigen
Kreisprozess:
Stufe 1: Das Gas wird isobar von T1 = 300 K auf T2 = 700 K erwärmt; es expandiert dabei.
(Kolbenbewegung). Das ursprüngliche Volumen V1 beträgt 60 dm3.
Stufe 2: Das Gas wird isochor von T2 auf die Temperatur T1 abgekühlt. Die dabei entzogene
Wärme geht als Abwärme verloren.
Stufe 3: Das Gas wird isotherm mit Hilfe eines Teils der in der ersten Stufe gespeicherten
Arbeit (z.B. Schwungrad) von V3 auf das Startvolumen V1 komprimiert. Damit ist der
Kreisprozess geschlossen. Die bei diesem dritten Teilprozess produzierte Wärme geht
auch als Abwärme verloren.
An das Gas zugeführte Transportenergien (Q, W) sind positiv, abgeführte negativ.
Falls du b) nicht lösen kannst, verwende kursiv geschriebene Werte [..] der Aufgabe b) zur
Weiterarbeit. Es werden numerische Ergebnisse erwartet.
a) Skizziere in einem Vp Diagramm den Kreisprozess qualitativ korrekt. Markiere die
Prozessrichtungen im Diagramm. Trage im Diagramm ein, wo die abgegebene Arbeit des
Kreisprozesses ersichtlich ist. Es ist sinnvoll, die Aufgabe b) parallel zu lösen.
b) Berechne V2, p1, p3, [V2 = 136 dm3, p1 = 2.10 bar, p3 = 0.90 bar]
c) Wie gross ist die Wärmezufuhr bei der isobaren Erwärmung?
d) Wie gross ist die geleistete Arbeit des gesamten Kreisprozesses?
e) Bestimme den Wirkungsgrad des Kreisprozesses und vergleiche diesen Wirkungsgrad mit
dem Wirkungsgrad eines Carnot-Prozesses zwischen den Temperaturen T1 und T2.
-1-
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PHYSIK
3. Fadenstrahlrohr (6 Punkte)
Ein Forscher bestimmt die spezifische Ladung unbekannter geladener Teilchen mit einer dem
Fadenstrahlrohr vergleichbaren Einrichtung. Diese Teilchen wurden mit einer Spannung von
U = 212 V beschleunigt. Sie werden anschliessend im homogenen Magnetfeld (B = 3.6 mT)
zweier Helmholtz-Spulen untersucht. Der Radius der beobachteten Teilchenbahn beträgt
r = 19.6 cm
a) Erkläre die physikalischen Ursachen, wie die Teilchen aus der Ruhe bis zur Bewegung auf
einer Kreisbahn veranlasst werden.
b) Bestimme die spezifische Ladung q/m der unbekannten Teilchen.
c) Begründe, warum die Teilchen keine Elektronen sein können.
4.
Tonhöhe und Lautstärke (4 Punkte)
Die Tonhöhe des eingestrichenen a hat die Frequenz f = 440 Hz.
Der Ton f liegt um zwei Ganztonschritte tiefer als a (grosse Terz)
a) Bestimme die Frequenz des Tones f bei reiner Stimmung.
b) Bestimme die Frequenz des Tones f bei temperierter Stimmung.
c) Um wieviel dB steigt der Schallpegel, wenn die Intensität des Tons um 75 % gesteigert
wird?
5. Schnelles Elektron (6 Punkte)
Elektronenmikroskope verwenden sehr schnelle Elektronen. Eine Beschleunigeranlage bringt
diese auf die Geschwindigkeit v = 0.60 c (c = Lichtgeschwindigkeit). Anschliessend durchlaufen
sie geradlinig unbeschleunigt von der Anode bis zur Probe die Strecke s = 2.00 m (gemessen
im Laborsystem).
a) Wie verändert sich die Strecke s (neu: s') für einen Beobachter, der mit dem Elektron
mitfliegen würde (Ruhesystem des Elektrons)? Um welchen Effekt handelt es sich?
b) Wie gross ist die einem Elektron bei der Beschleunigung zugeführte Energie?
Ergebnisse in Joule und MeV angeben!
c) Bestimme die Wellenlänge  der zum Elektron gehörigen Materiewelle (de Broglie) für
diesen relativistischen Fall.
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Obergymnasium
ANWENDUNGEN der MATHEMATIK
6. Differentialgleichungen (10 Punkte)
Der Tank eines Lastwagens hat näherungsweise die Form eines
liegenden ellipischen Prismas mit der Länge l = 6 m, der grossen
Halbachse a =2 m und der kleinen Halbachse b =1 m. Der Entleerstutzen hat einen Querschnitt von q = 40 cm2 .
Am Anfang ist der Tank gefüllt. (g = 10 ms-2 )
a) Bestimme die Füllhöhe y in Metern in Abhängigkeit der Zeit t
in Sekunden nach dem Öffnen des Ablaufs.
b) Nach welcher Zeit (in min und sec) ist der Tank leer?
7. Komplexe Funktion (10 Punkte)
Gegeben ist die komplexe Funktion f : w 

die Punktmenge M  z z 
1
1
1  2i  z  1  2i  z  und

2
5


mit z   4  8i   4
a) Bestimme die Punktmenge M und zeichne sie in der Gaussschen Zahlenebene.
b) Bestimme die Fixpunkte der Funktion und charakterisiere die geometrische Eigenschaft
der Funktion.
c) Bestimme, charakterisiere und skizziere das Bild M  von M
8. Statistischer Test (10 Punkte)
Frauen erhalten in gleichwertigen Kaderstellungen wesentlich kleinere Saläre als Männer.
Um diese Behauptung zu überprüfen, wurden zufällige Stichproben der jährlichen Einkommen
(in tausend Fr.) von Frauen und Männern in gleichen Anstellungspositionen erhoben.
a) Formuliere die allgemeinen Hypothesen.
b) Eine Voruntersuchung wurde mit den Stichprobenumfängen nF = 4 und nM = 5
durchgeführt und ergab die folgenden Einkommen:
Frauen:
76
74 102
86
Männer:
78
88 128 103 121
Bestimme unter der Annahme der Nullhypothese die Wahrscheinlichkeit, dass die Rangsumme für die Frauengruppe kleiner gleich k ist für k = 10, 11, 12, 13, 14, 15
d.h. P( RF  k ). Führe damit den Rangsummentest von Wilcoxon-Mann-Whitney mit dem
Sicherheitsniveau 5% durch.
c) Eine Untersuchung mit den grösseren Stichprobenumfängen nF = 11 und nM = 13
ergab die folgenden Einkommen:
Frauen:
76
74 102
86
96
82
71
94 100
80
92
Männer:
78
88 128 103 121 108 106
95 134
98 105 114
97
Kann man mit einem Signifikanzniveau von 5% behaupten, dass Männer im Mittel mehr
verdienen als Frauen?
-3-
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Physik
1. Dynamik
a) Kräftegleichgewicht: Die Schwerkraft auf die Masse m 2 treibt Zylinder m1 an (Fadenkraft) und
beschleunigt m2 (2. Newton-Axiom). Die Fadenkraft übt ein Drehmoment auf den Zylinder aus, das
ihn beschleunigt.
 m  2m2 
M1
I
m r 2a
 m 2a  Z  m 2a  1 2  m 2a  a  1
r
r
2r
2
2m 2
a  g
m1  2m 2
m 2g 
Alternative Herleitung mit dem Energieerhaltungssatz: Die Summe aus kinetischer
Translationsenergie von m 2 und kinetischer Rotationsenergie von m 1 im Zustand der Bewegung ist
gleich gross wie die potenzielle Energie von m2 beim Start.
m2 v2 I Z 2
m r2
v

 m 2gs; I Z  1 ;  
2
2
2
r
2m2  m1 2
4m 2gs
2m 2g
v  m 2gs;  v 2 
 2as; a 
4
2m2  m1
2m 2  m1
b)
E rot 0.5I Z 2
m1r 2 v 2
m1
m1r 2
v



;
mit
I

, 
Z
2
2
2
E kin 0.5m 2 v
2r m 2 v
2m 2
2
r
2. Kreisprozess
a) Graph; Prozessrichtung: 1-2-3-1
c) Isobare Wärme:
Cp  CV  R
Q  n  Cp   T2  T1   58.2kJ
d)
Prozessarbeit
W  p1  V2  V1  
V1
 p dV 
V2
V1
dV

V2 V
p1  V2  V1   nRT1 
Die Prozessarbeit entspricht der von
der Porzessgrafik
1-2-3-1 umschlossenen Fläche
V 
p1  V2  V1   nRT1 ln  1  
 V2 
16.6kJ  10.6kJ  6.0kJ
b)
e)
Zustandsgrössen:
V2 V1
VT

 V2  1 2  0.14m3
T2 T1
T1
p1 
nRT1 5  8.31  300

Pa  2.08bar
V1
0.06
p3 p 2
p T pT

 p3  2 3  1 1  0.89bar
T3 T2
T2
T2
Wirkungsgrad
gegebener Prozess:  
Carnot: C 
W
Q

6.0kJ
 10.3%
58.2kJ
T2  T1 400

 57.1%
T2
700
Der Carnot-Prozess weist einen deutlich höheren
Wirkungsgrad auf.
-1-
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3. Fadenstrahlrohr
a) Die ruhenden geladenen Teilchen werden durch ein elektrisches Feld beschleunigt und in
einem Strahl fokussiert. Nach dem Austritt aus dem Beschleuniger wirkt ein homogenes
Magnetfeld, dessen Richtung senkrecht zur Teilchenbahn orientiert ist. Es wirkt also eine
Lorentzkraft auf die Teilchen. Die Richtung der Lorentz-Kraft ist senkrecht zum Magnetfeld und
senkrecht zum Vektor der aktuellenTeilchengeschwindigkeit. Dadurch werden diese nicht mehr
schneller sondern ändern gleichmässig ihre Bahnrichtung (Betrag der Lorentzkraft ist konstant,
sie ist Zentipetalkraft). Sie bewegen sich somit auf einem Kreis.
b)
Zentripetalkraft = Lorentz-Kraft; Kinetische Energie = Beschleunigungsarbeit
mv 2
mv 2
 qvB;
 qU; 1. Gleichung quadrieren, v2 eliminieren
r
2
m2 v2
2mqU
 q 2 B2 
2
r
r2
q
2U
2  212V
C
 2 2 
 8.51  108
2
2
m Br
kg
 3.6mT    0.196m 
c) Es sind keine Elektronen, da das Verhältnis
e
C
 1.76  1011
für Elektronen anders ist.
m
kg
4. Tonhöhe und Lautstärke
a) Reine Stimmung: f1 : f2 = 5 : 4. Die Frequenz beträgt 440Hz 
b) Temperierte Stimmung:
f2 
f1
 
12
4
4
 352Hz
5
 349.2Hz
2
c) Lautstärkedifferenz
I 
I 
L1  10 log  1  ; L 2  10 log  2 
 I0 
 I0 
I 
L 2  L1  10 log  2  dB  10 log 1.75  dB  2.43dB
 I1 
5. Schnelles Elektron
a) Strecke s' im Ruhesystem des Elektrons:
v2
s  s 1  2  2m  0.8  1.6m . Der Effekt heisst Lorentz-Kontraktion oder Längenkontraktion.
c
b) Zugeführte Energie = Gesamtenergie minus Ruhenergie
W  mc 2  m oc 2 
 1

 moc2  moc2 
 1  0.25  m oc 2
 0.8 
v2
1 2
c
moc2
W  0.25  9.11  1031   3  108  J  2.05  10 14 J  0.128MeV
2
c)  
h
h
h


; 
p mv mo v
1
1
v2
c2
 1.25;  
-2-
6.63  1034
m  3.23  1012 m
31
8
9.11  10  1.25  0.6  3 10
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Mathematik
6. Differentialgleichungen – Kegelschnitt (10 Punkte)
l
Der Tank eines Lastwagens hat näherungsweise die Form eines liegenden
ellipischen Prismas mit der Länge l = 6 m, der grossen Halbachse a = 2 m
und der kleinen Halbachse b = 1 m. Der Entleerstutzen hat einen Querschnitt
von q = 40 cm2. Am Anfang ist der Tank gefüllt. (g = 10 ms-2 )
x
y
v t
a) Bestimme die Füllhöhe y in Metern in Abhängigkeit der Zeit t in Sekunden
nach dem Öffnen des Ablaufs.
b) Nach welcher Zeit (in min und sec) ist der Tank leer ?
m g y = ½ m v2
a) Torricelli:
Ellipse:

Energiesatz
 x=2
¼ x2 + (y-1)2 = 1
1  ( y  1)2 
v(y) =
2g y
A ( y ) =2 x l = 4 l
2y - y 2
A( y )
y  - q
y
2g t
A(y) [y(t)-y(t+t)]  q v(t) t  A(y) y  - q v(t) t = - q
2 g y t
A( y )
dy = - q
y
 (2 – y)3/2 = ¼ 10-3 20 t + c
2g dt
mit t = 0 und y(0) =2
b) leer:
 24

2 - y dy = - 4 10-3 20 dt
y(t) = 2 – 10-2
T = 800 10 s
y(t) = 0
3

1  ( y  1)2 = 24
5 t2
4
 42 min 9.8 sec
7. Komplexe Funktion - Affinität – Kegelschnitt (10 Punkte)
Gegeben ist die komplexe Funktion f : w = ½ [ (1+2i ) z - 1/5 (1-2i) z ] und
die Punktmenge M= { z | z  mit | z – (4+8i)| =4 }
a) Bestimme die Punktmenge |M und zeichne sie in der Gaussschen Zahlenebene.
b) Bestimme die Fixpunkte der Funktion und charakterisiere die geometrische
Eigenschaft der Funktion
c) Bestimme, charakterisiere und skizziere das Bild M' von M.
a) (x-4)2 + (y-8)2 = 16
Kreis k: M(4,8) und r = 4
b) w = z

Fixpunktgerade y = ¾ x
Abbildungsgleichungen von :
x + y . i -> z
u = 2/5 ( x + 2y )
v = 3/5 (2x - y ) perspektive Affinität
c) Bild von |M:
-1: solve(u = 2/5 ( x + 2y ) and v = 3/5 (2x - y ),{x,y})
x = 1/6 (3u+4v) and y = 1/3 (3u-v)
(x-4)2 + (y-8)2 = 16 | x = 1/6 (3u+4v) and y = 1/3 (3u-v)
 5/4 u2 –20u + 5/9 v2 +80 = 16
Ellipse :
2
(u  8) 2
 v 1
64
144
5
5
Mittelpunkt: M(8, 0)
Halbachsen: a = 8/5 b = 12/5
-3-
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Lösungen Mathematik
8. Statistischer Test (10 Punkte)
Frauen erhalten in gleichwertigen Kaderstellungen wesentlich kleinere Saläre als Männer. Um diese Behauptung zu
überprüfen, wurden zufällige Stichproben der jährlichen Einkommen (in tausend Fr.) von Frauen und Männern in
gleichen Anstellungspositionen erhoben.
a) Formuliere die allgemeinen Hypothesen.
Hypothesen: Annahmen über die theoretische (unbekannte) Verteilungen der Zufallsvariablen X und Y
Nullhypothese Ho
Die Nullhypothese möchte man verwerfen.
F = M
Die Frauen verdienen im Mittel nicht
signifikant weniger als Männer
Alternative Hypothese H1
Die alternative Hypothese möchte man annehmen
F < M
Die Frauen verdienen im Mittel signifikant
weniger als Männer
b) Eine Voruntersuchung wurde mit den Stichprobenumfängen nF = 4 und nM = 5 durchgeführt und ergab
die folgenden Einkommen:
Frauen: 76
74
102
86
Männer: 78
88
128
103
121
Bestimme unter der Annahme der Nullhypothese die Wahrscheinlichkeit, dass die Rangsumme für die
Frauengruppe kleiner gleich k ist für k = 10, 11 , 12, 13, 14, 15 d.h. P(RF  k).
Führe damit den Rangsummentest von Wilcoxon-Mann-Whitney mit dem Sicherheitsniveau 5% durch
1+2+3+4=10
1+2+3+5=11
1+2+3+6=12
1+2+4+5=12
1+2+3+7=13
1+2+4+6=13
1+2+3+8=14
1+2+4+7=14
1+2+3+9 = 15
1+2+4+8 = 15
1+3+ 4+5=13
1+2+5+ 6=14
1+3+4+ 6=14
1+ 2+ 5+7 = 15
1+ 3+ 4+7 = 15
2+3+4+5=14
1+3+5+6 = 15
2+3+4+6 = 15
 9
Anzahl Ränge  4  = 126
k
P ( RF  k )
10
11
12
13
14
15
1
 0 . 008
126
2
 0 . 016
126
4
 0 . 0317
126
7
 0 . 0555
126
12
 0 . 0952
126
18  0.1428
126
Rangsumme:
1
2
70
6
4
80
RF = 13
90
110
100
RM = 32
120
130
0
5% entsprechen 6.3
5.5% =7*100/ 126 P( T13) = 5.5%

H0 kann man mit =5 % nicht verwerfen
d.h. Der mittlere Jahresverdienst der Frauen ist nicht signifikant kleiner als der der Männer
c) Ein Untersuchung mit den grösseren Stichprobenumfängen nF =11 und nM = 13 ergab die folgenden Einkommen:
Frauen: 76
Männer: 78
1
70
2
3
74
88
5
80
102
128
6
86
103
96
121
7
82
108
71
106
9 10 12
94
95
100
134
80
98
92
105
114
97
15 16
90
100
110
RF = 86
nF = 11 vF = 86- 66=20
RM = 214 nM = 13 vM = 214 - 91=123
v0.05 = 42 > vF =20  H0 verwerfen
d.h. F < M
d.h. Der mittlere Jahresverdienst der Frauen ist signifikant kleiner als der der Männer
-4-
120
130
0