Übungen - Extremwertaufgaben

Gymnasium „Am Thie“
Blankenburg
Übungen - Extremwertaufgaben
1. Ein Goldgräber besitzt ein 60 m langes Seil, mit dem er am Flussufer ein
rechteckiges Areal absteckt. Welche Abmessungen muss er wählen, damit die
eingegrenzte Fläche maximal wird?
Teillösung: 15 und 30m
2. Aus einem rechteckigen Stück Pappe von 42 cm Länge und 30 cm Breite soll
eine oben offene Schachtel hergestellt werden. Dazu wird an jeder der vier
Ecken ein Quadrat abgeschnitten. Anschließend werden die überstehenden
Streifen hochgeklappt.
Wie groß müssen die Quadrate sein, damit das Volumen der Schachtel
maximal wird?
Teillösung: ~5,76cm und ~18,24cm
3. Welcher Radius und welche Höhe müssen gewählt werden, damit der Kegel
mit der Mantellinie s ein maximales Volumen annimmt?
s
2
Teillösung: h 
;r
s
3
3
4. Aus 1200 cm2 Blech soll ein zylindrischer, oben offener Behälter maximalen
Volumens geformt werden. Welche Maße erhält der Zylinder (r, h)?
Teillösung: r=h=11,28cm
5. Ein Rechteck mit dem Umfang u rotiert um eine seiner Mittelachsen, so dass
ein Zylinder entsteht. Welche Maße muss das Rechteck besitzen, damit das
Zylindervolumen ein Maximum annimmt?
Teillösung: h  r 
u
6
Viel Erfolg
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6. Ein Zelt hat die Form eines Zylinders mit aufgesetztem Kegel. Die Höhe des
Zylinders beträgt 2 m, die Mantellinie des Kegels ist 3 m lang.
Für welchen Radius r wird das Volumen des Zeltes maximal? Wie hoch ist das
Zelt in diesem Fall?
Teillösung: hges=2,645m, r=2,93m
7. Ein quaderförmiger, oben offener Container soll halb so hoch wie breit sein
und ein Volumen von 108 m3 besitzen.
Welche Maße muss der Container erhalten, damit der Materialverbrauch
minimal wird?
Teillösung: h=3m, a=b=6m
8. Welches Rechteck mit gegebener Diagonalenlänge D hat die größte Fläche?
Teillösung: x  y 
D
2
9. Ein Aquarium mit einem Fassungsvermögen von 144l soll 40cm hoch sein.
Welche Länge und welche Breite müssen gewählt werden, damit möglichst
wenig Glas benötigt wird?
Teillösung: a=b=60cm
10. Wähle unter allen Pizzastücken (mathematisch: Kreissektoren) mit dem
Umfang u denjenigen mit dem größten Flächeninhalt aus! In welchem Winkel
muss das Stück von der Mitte herausgeschnitten werden?
Teillösung: r 
u
u
; b  ;   115
4
2
Viel Erfolg
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11. Der Querschnitt eines 25m langen Tunnels besteht aus einem Rechteck mit
aufgesetztem Halbkreis (uquer=18m) . Wie ist der Radius des Halbkreises zu
wählen, damit das Volumen des Tunnels möglichst groß wird?
Teillösung: r=b=2,52m
12. Aus 36 m Stahlrohr soll das Kantengerüst eines quaderförmigen
Freiluftgeheges gebaut werden. Die Grundfläche soll doppelt so lang wie breit
sein. Welche Maße muss das Gerüst erhalten, damit das Volumen des
Geheges maximal wird?
Teillösung: a=2m,b=4m,h=3m
13. Einem geraden Kreiskegel mit dem Radius R und der Höhe H soll ein
Kreiszylinder mit möglichst großem Volumen einbeschrieben werden!
Teillösung: r 
2
1
R; h  H
3
3
14. Die Rasenfläche eines Sportplatzes hat die Form eines Rechtecks (Länge l)
mit zwei angesetzten Halbkreisen (Radius r). Der Umfang des Platzes beträgt
400 m. Wie müssen r und l gewählt werden, damit die Fläche des
rechteckigen Spielfeldes maximal wird?
Teillösung: r=31,83m,l=100m
Viel Erfolg
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1 2
x ). In die
12
Giebelwand soll ein rechteckiges Kunststofffenster maximaler Fläche
eingebaut werden (siehe Abb.).Welche Maße hat das Fenster?
15. Eine 12 m hohe Tennishalle hat ein parabelförmiges Profil ( y  
Teillösung: l  2 48m; h  8m
Viel Erfolg