Inhaltsverzeichnis - Fachhochschule Dortmund

Fachhochschule Dortmund
University Of Applied Sciences
Prof. Dr.-Ing. G.Babiel
Informations- und Elektrotechnik
5. Komplexe Wärmerechnung
5.1
Allgemeines zur Wärmeausbreitung
5.1.1 Wärmeleitung
5.1.2 Konvektion
5.1.3 Strahlung
5.2 Lineare Vorgänge und Grundgrößen
5.2.1 Definition des Wärmestroms und des Wärmewiderstands
5.2.2 Stationäre Wärmeströme
5.2.3 Dynamische Wärmeströme
5.2.4 Anwendung der Systemtheorie
5.2.5 Lösung für ein RC-Glied
5.2.6 Lösung für hintereinander geschaltete RC-Glieder
5.3 Nichtlineare Dynamische Lösungen
5.3.1 Der Strahlungswiderstand
5.3.2 Zeitabhängige komplexe Wärmewiderstände
5.4 Lösungsbeispiele dynamischer Vorgänge
5.4.1 BUZ 100 auf einem Kühlkörper
5.4.2 Super-MOSFET Modul
5.4.3 Erwärmung und Auslösezeit einer Schmelzsicherung
5.4.4 Temperaturverlauf in einem Warmwasserspeicher
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5.1 Allgemeines zur Wärmeausbreitung
Bei der Entwicklung von neuen elektronischen Bauteilen und Systemen der
Leistungselektronik ist es wünschenswert, vor dem Hardwaretest die Erwärmung
von Bauteilen berechnen zu können. Sowohl die kurzfristige Bauteiltemperatur,
wie auch die sich einstellende Temperatur bei Dauerbetrieb sind von Interesse,
weil sie im direkten Zusammenhang mit der Lebensdauer der Bauteile stehen.
Erwärmt sich z. B. ein konventioneller Siliziumtransistor kurzzeitig über 200°C
führt dies zur sofortigen Zerstörung, weil die Bonddrähte sich vom Chip lösen.
Wird der Transistor bei der maximalen Betriebstemperatur gefahren, erfüllt er
seine Funktion zumindest über die garantierte Lebensdauer zum Beispiel 10000
Stunden bei 150°C am Silizium.
Will man das Bauteil innerhalb der spezifizierten Grenzen betreiben, muß man
jedoch die Temperaturentwicklung in Abhängigkeit vom elektrischen Strom und
der damit verbundenen Verlustleistung kennen.
Für die Abschätzung der Lebensdauer kommt für den Entwickler oft erschwerend
hinzu, dass viele Bauteile sich in einem Gehäuse befinden und der direkten
Temperaturmessung verschlossen bleiben. Auch hier sind vorab Berechnungen
sinnvoll.
Bei der Lösung von wärmetechnischen Aufgaben stößt man im Allgemeinen auf
eine komplizierte vierdimensionale Raum-Zeit-Differentialgleichung aus der
Wärmelehre, deshalb habe ich eine eigene Methode zur Wärmeberechnung
entwickelt.
Diese Methode hat den Vorteil, daß Sie auf Lösungsansätze zurückgreift, die in
der Elektrotechnik bekannt sind.
Weitere Vorteile sind:
Die
Berücksichtigung
Wärmewiderständen
der
Temperaturabhängigkeit
von
Die Einführung von zusätzlichen Strahlungswiderständen
Die Möglichkeit auch zeitabhängige elektrische Ströme wie zum Beispiel
Anlasserimpulse zu simulieren
In der vorliegen Arbeit werden Wege aufgezeigt, wie man zu vereinfachten
wärmetechnischen Ersatzschaltbildern gelangt.
Für lineares Bauteilverhalten wird der Temperaturverlauf an den Ersatzgrößen
mit den Standardmethoden der Elektrotechnik und der Systemtheorie berechnet.
Darüber hinaus wird auch dargestellt, wie man den Temperaturverlauf über der
Zeit bei nichtlinearem Verhalten mit Hilfe von Programmen in Maple berechnen
kann.
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5.1.1 Wärmeleitung
Die materiegebundene Wärmeleitung beruht auf der Tatsache, dass Wärme
immer nur von heißer Materie auf kältere Materie geleitet wird.
Materiegebundene Wärme äußert sich in einer unregelmäßigen statistisch
verteilten Bewegungsenergie von Materieteilchen. Die mittlere Energie E eines
Teilchens ist dabei direkt proportional zur mittleren Temperatur T :
E~T
Für ideale Gase gilt für die mittlere Energie pro Freiheitsgrad
E= ½ k T
Mit k = Boltzmannkonstante
Wichtig zu wissen ist, dass die im Mittel schnelleren (heißeren) Teilchen häufiger
auf kältere (langsamere) treffen als umgekehrt und deshalb die Wärme immer
nur von Materie höherer Temperatur zu Materie niedrigerer Temperatur fließt.
Der thermische Strom wird in Materie durch das statistisch unregelmäßige
Anstoßen von benachbarten Teilchen übertragen. Das ist ein ähnlicher Vorgang
wie bei der Schallausbreitung, bei welcher die Schallenergie durch Anstoßen und
Schwingen benachbarter Teilchen übertragen wird.
Dadurch ist die Grenze der Wärmeausbreitungsgeschwindigkeit in Materie
gegeben. Die Ausbreitungsgeschwindigkeit einer thermischen Schockwelle ist
gleich der Schallgeschwindigkeit cakustisch, die bei einigen hundert bis tausend
Metern pro Sekunde liegt.
Bei großen Entfernungen muß man berücksichtigen, daß die thermische
Ausbreitung eine gewisse Zeitverzögerung (Totzeit)  beinhaltet.
Beispiel: 10m lange Leitung mit cakustisch = 1000m/s
l
X
wenn zum Zeitpunkt t=0 an der Stelle x=0 eine thermische Anregung erfolgt, so
dauert es mindestens
 = l/cakustisch = 10-2s
bis eine Reaktion am Ende erfolgt.
Man kann also am Ende der Leitung keine Ergebnisse im Bereich unter 10ms
betrachten.
Bei Abmessungen im mm-Bereich (Transistor-Beispiel) sind Berechnungen
unterhalb von 10s sinnlos!
Diese Grenzbetrachtungen muß man übrigens auch bei elektrischen Schaltungen
berücksichtigen, nur ist hier die Ausbreitungsgeschwindigkeit die Lichtgeschwindigkeit, so daß man erst bei größeren Abmessungen die
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Ausbreitungszeit berücksichtigen
Wellenphänomenen führt.
muß,
was
auch
zu
den
bekannten
5.1.2 Konvektion
Wärmeübertragung durch Konvektion ist jedem von der Heizung im Haushalt
bekannt. Hier wird zum Beispiel warmes Wasser in Heizungsrohren transportiert.
Dieser Wärmetransport funktioniert durch Schwerkraftunterschiede von heißem
und kalten Wasser in den Rohren. Das heiße Wasser ist von geringerer Dichte
und erfährt so Auftrieb. Das kalte Wasser fällt in der Rückleitung nach unten, es
entsteht ein Konvektionskreislauf.
Die Wärme wird über einen Massetransport bewerkstelligt.
Wird dabei eine Pumpe eingesetzt spricht man auch von erzwungener
Konvektion.
Wie mit Flüssigkeiten kann man auch mit Gasen Konvektionskreisläufe betreiben,
Gerippte Transistorkühlkörper sind oft als Konvektionskühlkörper ausgelegt, die
angegebenen Wärmewiderstandswerte gelten deshalb nur für den Fall, dass Luft
frei durch die Kühlrippen strömen kann.
5.1.3 Wärmestrahlung
Bei der Wärmestrahlung wird die Energie durch masselose Photonen übertragen.
Da Photonen keine Ruhemasse besitzen funktioniert die Wärmestrahlung auch im
Vakuum (z. B. Weltraum). Die Energie, die dabei von einem Photon übertragen
wird, beträgt:
E  h 
mit
und
h = Plancksches Wirkungsquantum
 = Frequenz
Man kann dem Photon auch eine relativistische Masse m zuordnen, es breitet
sich ja mit der Lichtgeschwindigkeit c aus.
Die Masse des Photons berechnet sich über die Einsteinsche Formel
E  m  c2
Bei einem schwarzen Körper (ein Körper der seine Wärme 100%ig abstrahlen
kann) mit einer Temperatur T besitzen die abgestrahlten Photonen aber auch im
Mittel die Energie
E  k T
mit k = Boltzmannkonstante
Die drei genannten Energieformen eines Photons sind dabei nicht nur äquivalent
zueinander. Es kann auch passieren das bei einem Zusammentreffen sehr heißer
Photonen - also aus reiner Strahlung - Materie (Teilchen und Antiteilchen)
entsteht. Die relativistische Masse der beteiligten Photonen muß dabei
mindestens
der
Ruhemasse
des
entstehenden
Materie-Teilchen-
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Antiteilchenpaares sein. Ist die Energie größer, erfahren die entstehenden
Teilchen zusätzlich noch eine Beschleunigung.[2]
Für die leichtesten denkbaren Materieteilchen, nämlich die Elektronen e- und die
Positronen e+ , beträgt die Schwellentemperatur allerdings 6 Millarden °C, was
auf
der
Erde
praktisch
nicht
vorkommt
(Ausnahme:
Hochenergieteilchenbeschleuniger)
Deshalb werden wir uns mit der „Abkühlung“ durch Materiebildung auch nicht
weiter befassen.
Im Kapitel 3 leite ich allerdings aus der Strahlungsleistung eines schwarzen
Körper den nichtlinearen Strahlungswiderstand ab, den man dann wiederum in
Ersatzschaltungen einsetzen kann.
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5.2. Lineare Vorgänge und Grundgrößen
5.2.1 Definition des Wärmestroms und des Wärmewiderstands
Bei der Wärmeleitung breiten sich Teilchen (Phononen) statistisch von einem
warmen Bereich (mit energiereicheren Phononen) zu einem kalten Bereich (mit
energieärmeren Phononen) aus. Der Energietransport pro Zeiteinheit ist der
Wärmestrom. Der Wärmestrom P ist proportional zur Durchtrittsfläche und zum
Temperaturgefälle dT/dx:
P   A
dT
dx
mit  = Wärmeleitzahl
A = Durchtrittsfläche
Näherungsweise kann man ansetzen:
P  A
T
T

x 1 x
 A
Den Term unter dem Hauptbruchstrich kann man als Wärmewidertstand R
bezeichnen:
R
1 x
 A
Bei einem Wärmetransport nur in x-Richtung und bei einem Körper mit kleiner
Länge l =x gilt dann
R
1 l
 A
Für den Wärmeübergang zwischen Gasen und Festkörpern definiert man den
Wärmeübergangswiderstand
R 
1
A
mit
A = Wärmedurchtrittsfläche
 = Wärmeübergangszahl
nach Russelt gilt für die Wärmeübergangszahl  zwischen Festkörpern und
Gasen näherungsweise für Gasgeschwindigkeiten v  5m/s

W / m² K
 5,8  4
v
m/s
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Weitere physikalische Grundgrößen:
die Wärmemenge Q in J oder Ws
Q  cmT
mit c :
Druck)
Spez. Wärmekapazität (cp bei konst.
mit m : Masse
mit T: Temperaturdifferenz
die Wärmekapazität C in J/K
C  cm
c = cp oder cv
spez. Wärmekapazität
bei konst. Druck p
bei konst. Volumen v
5.2.2 Stationäre Wärmeströme
Nehmen wir einen einfachen rechteckigen Körper, durch den ein Wärmestrom
geführt wird:
l
T2
P
T1
Wenn man die Wärmekapazität außer Betracht läßt und nur einen
Wärmetransport in x-Richtung annimmt (Der Quader nimmt nur an der vorderen
Stirnfläche Wärme auf und gibt nur Wärme an der hinteren Stirnfläche ab), gilt
der Zusammenhang:
T1  T2  R  P
T  R  P
Das ist analog zum „Ohmschen Gesetz“ der Elektrotechnik:
U  R  I
Hier
R = elektrischer Widerstand
I = elektrischer Strom
U = elektrische Spannung
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Mit der Analogie zur elektrischen Gleichstromlehre kann man auf einfache Weise
alle stationären Vorgänge ausrechnen.
Beispiel: Ein Transistor erzeugt einen konstanten Wärmestrom durch die in ihm
entstehende Verlustleistung. Der Wärmestrom wird über eine Kupferplatte und
ein dünnes Isolationsscheibchen an einen Kühlkörper abgegeben:
P
Daraus ergibt sich dann das folgende Wärmeersatzschaltbild und das analoge
elektrische Ersatzschaltbild.
P=1W
I=1A
RCu = 0,03 K/W
RCu = 0,03
RIsolation = 0,1 K/W
RIsolation = 0,1
T U
RKühlkörper = 3 K/W
RKühlkörper = 3
22°C
22V
Nun kann man die Temperaturdifferenz mit Hilfe der Wärmegleichung
ausrechnen:
T = P (RCu + RIsolation + RKühlkörper ) = 3,13°C
Bei einer Umgebungstemperatur von 22°C (=295K) steigt die Temperatur am
Transistor auf 25,13°C (=298,13K)*. Man hätte die Wärmegrößen aber auch in
elektrische umwandeln können:
Temperaturdifferenz
Wärmestrom
Wärmewiderstand R
Umgebungstemperatur
T
P
R
TU
-> U
-> I
-> R
-> 0V
Spannungsdifferenz
elektrischer Strom I
elektrischer Widerstand R
Massepotential
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Aus dem ohmschen Gesetz folgt aus dem el. Ersatzschaltbild:
U = I (RCu + RIsolation + RKühlkörper ) = 3,13V
Durch den umgekehrten Analogieschluß
Spannungsdifferenz
U = 3,13V
-> Temperaturdifferenz
-> 3,13°C =T
kann man dann zur gesuchten Temperaturdifferenz T gelangen.
Warum dieser Umweg? Bei einfachen Anordnungen ist dies sicherlich nicht
erforderlich. Bei komplizierten Netzwerken kann man jedoch auf die Methoden
der Elektrotechnik zurückgreifen. Insbesondere wenn man auch die
Wärmekapazitäten berücksichtigt und die dadurch entstehende dynamische
(zeitabhängige) Temperaturentwicklung. Man kann dann auch
Simulationsprogramme für elektrische Schaltungen wie z.B. P-Spice einsetzen.
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5.2.3 Dynamische Wärmeströme
Kommen wir noch einmal zurück auf den einfachen Quader durch den ein
Wärmestrom fließt
Dem gesamten Quader kann man eine Wärmekapazität C zuordnen, die sich aus
seiner Masse m und der materialabhängigen speziellen Wärmekapazität cp (bei
konst. Druck) berechnet:
C = cp m
Die Wärmekapazität ist mit der Wärmemenge Q über die einfache
Differentialgleichung
C=dQ/dT
verknüpft.
Für einen elektrischen Kondensator gilt analog (hier Q=Ladungsmenge):
C=dQ/dU
oder nach T bzw. U aufgelöst:
T
1
Pdt
C
U
1
I (t )dt
C
für die wärmetechnischen wie elektrischen Kapazitäten greifen also die gleichen
mathematischen Formeln.
Im Ersatzschaltbild für den einfachen Quader liegen R und C parallel:
T1
R
T2
l
T2
P
C
T1
P
Nun ist dies nicht mehr ganz einleuchtend, wenn man bedenkt, dass der
Wärmestrom der von links einfließt zunächst einen Wärmewiderstand
überwinden muß, um zur Masse der rechten Hälfte des Blocks zu gelangen.
Deshalb findet man in der Literatur auch gelegentlich ein T-Glied als
Ersatzschaltung:
T1
R/2
R/2
P
T2
T2
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Das ist dann aber auch nicht ganz korrekt, weil der Wärmestrom auf der linken
Hälfte zunächst nur durch einen Widerstand fließt, obwohl eigentlich sofort ein
Teil der Kapazität wirksam ist.
Das Problem der Ersatzschaltung löst sich auf, wenn man einen realen Quader in
eine Vielzahl n von kleinen Quadern zerlegt und für jeden kleinen Quader den
Widerstand und die Kapazität berechnet.
1
2
3
i
Ci
Ri
n
Rn
Cn
Die Reihenschaltung der Widerstände ist trivial. Die Ersatzschaltung der
Kapazität ist etwas schwieriger zu verstehen. Man wird als Elektrotechniker dazu
verleitet, die Bezugselektroden jeweils links und rechts anzuordnen. Für einen
Wärmekondensator existieren aber keine Kondensatorplatten, sondern es zählt
allein die Masse des Scheibchens. Bezugspotential ist die Umgebungstemperatur,
deshalb ist jede Wärmekapazität einseitig an Bezugspotential (Masse) geklemmt.
Die Erwärmung des Quaders durch einen linearen Wärmestrom der von links
nach rechts fließt, läßt sich anschaulich wie folgt erklären:
Zuerst wird sich die Wärmekapazität der ersten Scheibe aufladen, Punkt 2
ist dabei noch auf Umgebungstemperatur. Deshalb erfolgt die Aufladung
wie bei einem RC-Glied nach einer e-Funktion, wie weiter unter näher
erläutert. Die Temperatur des ersten Scheibchens nähert sich einem
bestimmten Endwert.
Mit zunehmender Temperatur von Scheibchen 1 kann dann allmählich auch
Scheibchen 2 geladen werden usw.
Diese Ersatzschaltung wird in der E-Technik auch Eimerkettenschaltung genannt.
Der Name Eimerkette rührt von der Vorstellung, dass die Ladungen wie bei einer
Eimerkette weitergereicht werden.
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5.2.4 Anwendung der Systemtheorie
An dieser Stelle wird es auch interessant die Systemtheorie für lineare
zeitinvariante Systeme zu betrachten.
Die Systemtheorie bietet den Vorteil, dass man zunächst die physikalischen
Einheiten fallen läßt.
Es ist dann egal, ob man elektrische Spannungen oder Temperaturen oder
andere physikalische Signale betrachtet. Alle Größen sind normiert:: Zeiten auf
1s, Spannungen auf 1V und Temperaturen auf 1K. Man muß nur am Ende der
Berechnungen die Einheiten wieder einführen. Vorteil der Systemtheorie ist es
auch, dass man das Problem im Zeitbereich und in einem transformierten
Bereich (z.B. Frequenzbereich) berechnen kann.
Die Berechnung im transformierten Bereich ist oft einfacher und führt deshalb
leichter zum Ziel.
5.2.5 Lösung für ein RC-Glieder
Beginnen wir die Systembetrachtungen wieder für einen einfachen nur in xRichtung leitendes Scheibchen (Strahlung und Konvektion zu den anderen
Richtungen seien vernachlässigt). Dieses zeigt RC-Verhalten.
Die Sprungantwort erhält man durch Lösung des Zeitverlaufs der dargestellten
Wärmeströme und Temperaturdifferenzen.
PR(t)
t=0
P(t)
PC(t)
P0
T(t)
Zum Zeitpunkt t=0 wird der konst. Wärmestrom P0 eingeschaltet:
P(t) = P0 (t)
mit (t) : Sprungfunktion
P(t)
P0
t
nach der Knotenregel gilt: Die Summe aller Ströme ist gleich Null
P(t) = PR(t) + PC(t)
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dies führt auf die Differentialgleichung
P0   (t ) 
T (t )
dT (t )
C
R
dt
die sich mit Hilfe der Laplace Transformation lösen läßt:
P0   (t ) 
P0 
T (t )
dT (t )
C
R
dt
1 T ( s)

 C[ sT ( s )  T (t  0)]
s
R
T ( s )
T ( s) 
P0
s (1 / R  Cs)
P0 / C
s(1 / RC  s )
T (t )  P0 R(1  e  t / RC )
P 0R
T(t)
Mit der Zeitkonstanten  :
Und dem Endwert der Temperatur Tende :
 = RC
Tende = P0R
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5.2.6 Lösung für hintereinander geschaltete RC-Glieder
Nun liefert die Signaltheorie wiederum den Zusammenhang, dass die
Stoßantwort die erste Ableitung der Sprungantwort ist:
h(t ) 
dg  (t )
dt
In unserem Fall also
h(t ) 
d ( P0 R(1  e t /  ))
dt
h(t ) 
P0 R

e t / 
Die Stoßantwort h(t) ist das, was das System Quader eindeutig charakterisiert.
Kennt man die Stoßantwort eines Systems, so kennt man automatisch alle
Antworten g(t) des Systems auf beliebige Eingangssignale s(t)
Signal s(t)
h(t)
g(t) Antwort
t
g (t ) 
 s(t  x)h( x)dx

Diese Gleichung ist das sogenannte Faltungsintegral, dafür schreibt man
abkürzend
g(t) = s(t) * h(t)
Wie oben erwähnt bietet die Systemtheorie den Vorteil, dass man das
Signalverhalten auch in einem transformierten Bereich betrachten kann, z.B. im
Frequenzbereich.
Zeitbereich
Frequenzbereich
Signal s(t)
h(t)
g(t) Antwort
S(f)
H(f)
G(f)
Signalspektrum Übertragungsfunktion
Antwortspektrum
Der Zusammenhang zwischen dem Zeitbereich (mit der Variablen t) und dem
Frequenzbereich (mit der Variablen f) ist über die Fouriertransformation
gegeben.

F {s (t )} 
 s(t )e

 j 2ft
dt
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Für eine Vielzahl von Funktionen liegen Transformationen in Tabellenform vor
(z.B. Bronstein Semendjajew).
Es gibt allerdings eine Reihe von Integralen, die sich nicht lösen lassen, weshalb
man dann die komplexe Frequenz s einführt. Anstelle der Fouriertransformation
verwendet man dann die Laplacetransformation:

L{s(t )}   s(t )e  st dt
0
mit s=-j2f
Auch für diese Transformationsvariante gibt es eine Vielzahl bereits berechneter
Funktionen.
Heutzutage kann man auch Mathematikprogramme wie Maple oder Mathcad
einsetzen, um die Transformationsintegrale lösen zu können.
Der Vorteil der Betrachtung im Frequenzbereich wird deutlich, wenn man die
Antwort aus Signal- und Übertragungsfunktion berechnet:
G( f )  S ( f )  H ( f )
Im Zeitbereich galt
g(t) = s(t) * h(t)
Der Faltung im Zeitbereich entspricht eine einfache Multiplikation im Frequenzbereich. Dieser Vorteil wird umso deutlicher, wenn mehrere Systeme
hintereinander geschaltet werden:
s1(t)
h1(t) g1(t) s2(t)
h2(t) g2(t)
s3(t) h3(t)
g3(t)
S1(f) H1(f) G1(f) S2(f) H2(f) G2(f) S3(f) H3(f) G3(f)
Im Zeitbereich müßte man mehrfach die Faltungsintegrale lösen, im
Frequenzbereich erhält man die Gesamtantwort durch mehrfaches Multiplizieren
G( f )  S1 ( f )  H 1 ( f )  H 2 ( f )  H 3 ( f )
Will man die Gesamtantwort im Zeitbereich haben, muß man nur noch einmal die
Rücktransformation
durchführen,
also
die
inverse
Fourieroder
Laplacetransformation durchführen:
g (t )  L1{G( s)}
g (t )  F 1{G( f )}
bzw.

g (t )   G ( f )e


 j 2f
df
g (t )   G( s)e  sf df
0
Für die Rücktransformation löst man entweder die Integrale oder benutzt
wiederum die Transformationstabellen.
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Für unseren Quader galt als Stoßantwort:
h(t ) 
P0 R

e t / 
In der transformierten Form (=RC):
H ( s) 
P0 1
C 1
s

H(s) nennt man auch die Übertragungsfunktion. In unserem Fall gibt die
Übertragungsfunktion den Zusammenhang zwischen Eingangsspannung und
Eingangsstrom wieder. Bei Kurzschluß des Ausgangs ist in unserem Fall der
Ausgangsstrom = Eingangsstrom. Damit ist der Term
1 1
C 1
s

identisch mit der Kurzschlußkernimpedanz Zk.
Zur Zk gelangt man auch, wenn man den komplexen Widerstand des RC-Glieds
bei kurzgeschlossenem Ausgang berechnet und j durch s substituiert:
R
P(t)
Zk 
C
1
1
 jC
R
T(t)
Wie oben bereits erwähnt wird die Ersatzschaltung eines Problems umso
genauer, je feiner man unterteilt.
Denken wir uns den Quader in zehn Scheibchen unterteilt:
Und betrachten den Einfuß der Unterteilung auf die Zeitabhängigkeit der
Temperaturentwicklung.
Nehmen wir der Einfachheit halber an, die Ri und Ci sowie die Sprunghöhe des
Wärmestroms seien auf 1 normiert, dann läßt sich der Einfluß auf das
Zeitverhalten besser darstellen.
Die Übertragungsfunktion lautet dann für ein RC-Glied:
H1 
1
1 s
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Und für zehn RC-Glieder:
H 10 
1
(1  s )10
Mit den oben genannten Rechenregeln der Systemtheorie erhält man die Stoßund Sprungantworten für
Ein RC-Glied:
Stoßantwort
h(t ) 
Sprungantwort
1

e t / 
g(t)=1-exp(-t)
Und für zehn RC-Glieder
Stoßantwort
h(t ) 
g (t )  1  (
1
t 9 e t
362880
1
1
1 7
1 6
1 5 1 4 1 3 1 2
t9 
t8 
t 
t 
t  t  t  t  t  1)e t
362880
40320
5040
720
120
24
6
2
Sprungantwort
Die grafische Darstellung macht deutlich, was geschieht:
T(t)
1 * RC
10 *RC
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Aus der reinen e-Funktion wird eine Potenzreihe multipliziert mit der e-Funktion.
Die Anstiegszeiten vergrößern sich!
Wie bereits erwähnt, können wir jetzt auch beliebige Eingangssignale betrachten.
Hier sei als Beipiel die Antwort auf den Diracstoß wiederum im Vergleich für 1
und 10 Scheibchen aufgeführt
T(t)
1 * RC
10 * RC
Aus der direkten Antwort mit einem Exponential-Peak der einzelnen Scheibe wird
ein zeitlich durchlaufender Wellenberg!
Damit ist die Anwendung der Systemtheorie für lineare Systeme erschöpft.
Eine weitere Stufe der Dynamik erreicht man, wenn man bedenkt, dass die
Widerstände temperaturabhängig sind.
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5.3. Nichtlineare Dynamische Lösungen
5.3.1 Der Strahlungswiderstand
Kommen wir noch einmal auf das Beispiel der Transistorerwärmung zurück.
Ursache der Erwärmung ist der Ron des Feldeffekttransistors. Im stationären
Zustand erwärmt sich der Transistor auf einen bestimmten Endwert. Im Beispiel
waren dies 25,31°C. Bei der erhöhten Temperatur steigt aber auch der Ron. Bei
konstantem elektrischen Strom steigt dann auch die Verlustleistung bzw. der
Wärmestrom. Mit größer werdendem Wärmestrom steigt wiederum die
Endtemperatur und damit wächst der Ron bis ins Unendliche.
Wenn der Wärmestrom nicht unterbrochen wird oder ein Wärmewiderstand mit
negativem Temperaturkoeffizienten vorhanden ist, steigt die Temperatur am
Transistor stetig an. In dem aufgeführten Beispiel ist keiner der Widerstände so
geartet, dass er mit steigender Temperatur kleiner wird. Also müsste dies
letzendlich zur unendlichen Temperaturerhöhung bzw. zur Zerstörung des
Bauteils führen.
Glücklicherweise existiert in der Realität jedoch der Strahlungswiderstand des
Kühlkörpers, der mit der 3.Potenz der Temperatur abnimmt. Die Definition des
Strahlungswiderstands gelingt über den Ansatz :
Rstr 
T
Pstr
Pstr ist die Strahlungsleistung nach dem Planckschen Strahlungsgesetz
Damit gilt für den Strahlungswiderstand Rstr:
Rstr 
T
A(( 273C  T  TU ) 4  (273C  TU ) 4 )
mit
T= Temperaturdifferenz zur Umgebung in °C

= 5,669 10-8 Wm-2K-4 Strahlungskonstante
eines
schwarzen Körpers
A = Strahlungsfläche in m²
TU = Umgebungstemperatur in °C
Mit zunehmender Temperatur sorgt der Strahlungswiderstand dafür, dass ein Teil
des Wärmestroms kurzgeschlossen wird. Das gesamte System kann sich bei
entsprechender Dimensionierung des Kühlkörpers auf einen festen Endwert
einregeln.
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5.3.2 Zeitabhängige komplexe Widerstände
Die Nichtlinearität der Wärmewiderstände und Kapazitäten entsteht durch deren
Temperaturabhängigkeit. Die Temperatur ändert sich aber nur langsam mit der
Zeit.
Wenn man die Zeit in kleine Berechnungsintervalle aufteilt, so kann man für
jedes Intervall einen neuen Widerstandswert in Abhängigkeit von der Frequenz
(als Kehrwert der Zeit) und der Temperatur ansetzten. Bei hinreichend kleinen
Intervallen kann man so jede denkbare Nichtlinearität berücksichtigen.
Die laufende Zeitvariable ergibt sich aus der Anzahl n verstrichener
Zeitscheibchen t
t = nt
Für das erste Zeitscheibchen wird der aktuelle Betrag des komplexen
Wärmewiderstands berechnet und durch Multiplikation mit dem aktuellen
Wärmestrom die dadurch entstehende Temperatur.
Die Temperatur die nach dem ersten Zeitintervall berechnet worden ist, ist
wiederum Starttemperatur für das zweite Zeitintervall. Die Temperatur nach dem
2.Timeslot ist dann die Starttemperatur für das 3. usw.
Für die Berechnungen des komplexen Wärmewiderstands benutzt man wieder die
Analogien aus der Elektrotechnik. Am Beispiel des einfachen Quaders den man
durch einen Wärmewiderstand und eine Wärmekapazität darstellen kann sei dies
erläutert:
In komplexer Form schreibt man für den komplexen Widerstand Z als
Parallelschaltung aus rein reellem Widerstand R und rein imaginärem Widerstand
der Kapazität 1/jC:
1
jC
Z
R  j1C
R



R
jCR  1
R  (1  jCR)
(CR) 2  1
R
CR
j
2
1  (CR)
1  (CR) 2
Bzw. für den Betrag
R
CR
Z  (
)2  (
)2
2
2
1  (CR)
1  (CR)
Mit  = 2f
und f = Frequenz
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Für die einzelnen Zeitpunkte nutzt man weiterhin die Äquivalenz von Frequenz
und dem Kehrwert der Zeit:
f = 1/ nt
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5.4. Lösungsbeispiele dynamischer Vorgänge
5.4.1 Beispiel 1: BUZ 100 auf einem Kühlkörper
Beispiel 1: Ein MOSFET Transistor mit einem Ron von 15m wird mit konstantem
Strom (20A,30A) betrieben. Er ist mit einer 0,15mm dicken Isolationsfolie auf
einem Kühlkörper von 10cm*10cm montiert. Die Wärmeableitung über die
Anschlußdrähte wird vernachlässigt. Wegen der geringen Masse wird auch die
Wärmekapazität des Isolationsscheibchens nicht berücksichtigt.
P
CSi
RSi
CCu
RCu
RIso
CKühl
RKon
RStr
RKühl
ZKühl
ZIso
ZCu
Zgesamt
Im Ersatzschaltbild erscheinen die Wärmekapazitäten des Silizium-MOSFET CIso ,
des Cu-Anschlußplättchens CCu und
des Al-Kühlkörpers CKühl sowie die
Wärmewider-stände des Siliziums RSi , des Cu-Anschlußplättchens RCu , der
Konvektionswider-stand RKon und Strahlungswiderstand des Kühlkörpers RStr .
Der gesamte Betrachtungszeitraum betrage 1Stunde. Ein Zeitscheibchen sei
1ms. Damit wird die Stunde in 3,6Millionen Zeitintervalle zerlegt.
Vom ersten bis zum letzten Zeitintervall wird sukzessive die Frequenz, der
temperaturabhängige
Wärmestrom, der Betrag des gesamten komplexen
temperatur- und frequenzabhängigen Wärmewiderstands sowie die Temperatur
am Transistor berechnet. Es ist logisch, dass man die 3,6 Millionen sukzessiven
Berechnungen mit Hilfe eines Computers durchführt. Im Folgenden ist ein
Programm in Maple V angegeben.
Maple bietet den Vorteil, dass man mit komplexen Variablen rechnen kann. Auch
für die Betragsbildung komplexer Größen existieren einfache Befehle wie abs(Z)
Das Programm beginnt mit der Festlegung von Materialkonstanten und festen
Größen.
Ebenso werden vor der Hauptprogrammschleife einige Startwerte, wie z. B. die
Umgebungstemperatur vorgegeben.
Im Hauptprogramm wird die Nummer des Zeitintervall von i=1 bis 3 600 000
gesetzt.
Die Temperaturabhängigkeit des Wärmestroms P wird durch den linearen
Temperaturkoeffizienten a des Ron berücksichtigt.
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In der nächsten Programmzeile werden die Frequenz sowie die Kreisfrequenz
(=2f) berechnet.
Anschließend erfolgt die Berechnung des komplexen Wärmewiderstands. Nach
dem Ersatzschaltbild beginnt man von rechts mit der Parallelschaltung von RStr
und RKühl . Anschließend erfolgt immer wieder die Parallel- und Reihenschaltung
der zusätzlichen Elemente bis zum Gesamtwiderstand Zgesamt.
Im den darauffolgenden Zeilen wird der Betrag gebildet sowie die Temperatur
(Temperaturerhöhung Delta) des Zeitintervalls berechnet.
Mit dieser Temperatur berechnet man den Strahlungswiderstand Rstr des
Kühlkörpers.
Der Temperaturwert wird in einer Liste (Tliste) abgelegt. In der nächsten
Zeitschleife wird mit der Temperatur der vorherigen Zeitschleife der neue
Wärmestrom P (= elektrische Verlustleistung durch Ron) berechnet usw...
MAPLE V-Programm:
>restart;
Materialkonstanten
> lambdasi:=100:
W/mK
> csi:=.7:
lambdaCu:=380:
W/mK
> cCu:=.3:
> lambdaiso:=1:
W/mK
> ciso:=.88:
in J/gK
> a:=0.004:
1/°C
> sigma:=5.669*10^(-8):
schwarzen Körpers in
spez. Wärmeleitfähigkeit des Siliziums in
spez. Wärmekapazität des Siliziums in J/gK
spez. Wärmeleitfähigkeit des Kupfers in
spez. Wärmekapazität des Kupfers in J/gK
spez. Wärmeleitfähigkeit der Isolation in
spez. Wärmekapazität der Isolation
linearer Temperaturkoeffizient des Ron in
Strahlungskonstante
eines
W*m^(-2)*K^(-4)
Abmessungen
> lsi:=450*10^(-6):
> Asi:=20*10^(-6):
> Rsi:= lsi/(lambdasi*Asi):
Siliziumchips in K/W
> Csi:=.0282:
> lcu:=1.3*10^(-3):
> Acu:=100*10^(-6):
> Rcu:=lcu/(lambdaCu*Acu):
> dcu:=.13:
> Ccu:= 8.9*dcu*1*cCu:
(Dichte * Volumen* c)
> liso:=150*10^(-6):
> Aiso:=Acu:
> Riso:=liso/(lambdaiso*Aiso):
K/W
> Ciso:=2*.15*1*ciso:
> Astr:= 2*((100*10^(-3))^2):
Dicke des Si-Chips in m
Fläche des Si-Chips in m²
Wärmewiderstand
eines
Wärmkapazität des Siliziums in J/K
Länge des Cu-Wärmewiderstands
Fläche des Cu-Wärmewiderstands in m²
Wärmewiderstand des Cu-Blocks
Dicke des Cu-Wärmewiderstands in cm
Wärmekapazität des Cu in J/K
Dicke der Isolationsfolie in m
Fläche der Isolationsfolie
Wärmewiderstand der Isolationsfolie
Wärmekapazität der Isolationsfolie in J/K
Strahlungsfläche des Kühlkörpers
in
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> Rkon:=2.5:
Kühlkörpers in K/W
> Ckuehl:=36.4:
> Ron:=0.015:
25°C
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Wärmeübergangswiderstand
des
Wärmekapazität des Kühlkörpers in J/K
elektrischer Widerstand in  des Chips bei
Startwerte
> Tu:=25:
> Io:= 15:
> Tliste:=NULL:
Silizium
> T:=Tu:
> Rstr:=100:
Strahlungswiderstands (>>Rkon)
> t:=1:
Umgebungstemperatur in °C
elektr. Strom in A
Liste der berechneten Temperaturen am
Anfangstemperatur in °C
Anfangswert
des
Startwert der Zeitvariablen
Hauptprogramm
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
from t to 3600000 do
Zeitschleife 1ms bis 1Stunde
P:=Io^2*Ron*(1+a*(T-25)):
Verlustleitung = Wärmestrom
f:=1000/t:
omega:=2*Pi*f:
Frequenz f und Kreisfrequenz 
Rkuehl:=Rstr*Rkon/(Rstr+Rkon):
Zkuehl:=Rkuehl*(1/(I*omega*Ckuehl))/(Rkuehl+(1/(I*omega*Ckuehl))):
Ziso:=Riso+Zkuehl:
Zcu:=((Rcu+Ziso)*1/(I*omega*Ccu))/(Rcu+Ziso+(1/(I*omega*Ccu))):
Zgesamt:=((Rsi+Zcu)*1/(I*omega*Csi))/(Rsi+Zcu+(1/(I*omega*Csi))):
evalf(%,4);
abs(%):
evalf(%,4);
Delta:=P*%:
Temperaturdifferenz am Wärmewiderstand
T:=Delta+Tu:
absolute Temperatur in °C
Rstr:= Delta/(sigma*Astr*(((273+Delta+Tu)^4-(273+Tu)^4))):
t:=t+1:
if (t mod 60000) = 0 then Tliste:=(Tliste),T fi: abspeichern falls t=1min
od:
i:=1:
from i to 60 do print(evalf(Tliste[i],4)):
Ausdruck der Temperaturwerte
i:=i+1:
od:
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Die folgende Abbildung zeigt die Auftragung der berechneten Temperaturwerte
über die Zeitintervalle. (Da die Auftragung im Minutenabstand erfolgt, ist nur
jeder 60 000. Temperaturwert gedruckt worden.)
90,0
80,0
70,0
60,0
50,0
40,0
30,0
20,0
10,0
0,0
20A
Zeit in min
56
51
46
41
36
31
26
21
16
11
6
30A
1
Temperatur in °C
BUZ100 auf 10*10cm² Kühlkörper
Tu =25°C
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5.4.2 Beispiel 2: Super-MOSFET Modul
Dieser Schalter, mit einem Ron von 200µ, ist konzipiert für 12V/24V
Bordnetzanwendungen.
Berechnet wird die Erwärmung bei 180A Dauerstrom sowie bei Belastung mit
einem transienten Strom, wie er bei Startvorgängen im KFZ auftritt.
Das Modul verfügt über 200mm²-Siliziumfläche mit einer Dicke von 150µm.
Der Schalter wird in eine Hochstromleitung mit einem Wärmewiderstand von
Rleit=10K/W und mit der Wärmekapazität von 10J/K angeschlossen.
Zur besseren Kühlung ist ein Teil des Gehäuses als Kühlkörper (5,4cm*5,4cm)
mit Rkühl=2,5K/W und Ckühl=36,4J/K ausgelegt. Aus der Fläche des
Kühlkörpers läßt sich zusätzlich ein Strahlungswiderstand Rstr berechnen.
Da die Leitung ebenfalls ein Teil der Wärme über Strahlung abführt, ist ein
Strahlungswiderstand in gleicher Größenordnung wie der des Kühlkörpers parallel
zum Leitungswiderstand angesetzt worden.
Zlk
Zl
RBond
P
CSi
RSi
CCu
RCu
CLeit RLeit RStr
RIso
CKühl
RKon
Zl
RStr
RKühl
ZKühl
ZIso
ZLeit
ZCu
ZSource
Zgesamt
Das folgende Diagramm ist das Ergebnis einer Maple V –Berechnung nach
obigem Ersatzschaltbild. Berücksichtigt wurde auch die Temperaturabhängigkeit
des Ron sowie der Strahlungswiderstände.
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100,0
95,0
90,0
Tu = 85°C
85,0
57
53
49
45
41
37
33
29
25
21
17
13
9
5
80,0
1
Temperatur in °C
A K Super-FET
180A Dauerstrom
Zeit in min
Von Interesse ist auch die Temperaturerhöhung durch den Anlasserstrom.
Hierzu ist ein Impuls simuliert worden, wie er bei extremen Kaltstartbedingungen
mit einem 3KW-Anlasser auftreten kann.
Innerhalb von 3ms wird der Spitzenwert von 1600A erreicht. Dieser klingt
exponentiell mit der Zeitkonstanten =60ms auf den Durchdrehstrom von 900A
ab:
Stro
m
A
Zeit
ms
Die nachfolgenden drei Diagramme zeigen den
Temperaturverlauf in verschiedenen Zeitmaßstäben:
daraus
resultierenden
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90
88
86
erste 100ms
84
97
89
81
73
65
57
49
41
33
25
9
17
82
1
Temperatur in °C
AK 200µ-MOSFET
1600A Startimpuls
900A Durchdrehstrom
Zeit in ms
89
88
87
erste s
86
99
92
85
78
71
64
57
50
43
36
29
22
8
15
85
1
Temperatur in °C
AK 200µ-MOSFET
1600A Startimpuls
900A Durchdrehstrom
Zeit in 10ms
Temperatur in °C
AK 200µ-MOSFET
1600A Startimpuls
900A Durchdrehstrom
100
95
90
erste 15s
85
80
1
2
3
4
5
6
7
8
9 10 11 12 13 14 15
Zeit in s
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5.4.3 Erwärmungen und Auslösezeiten von Schmelzsicherungen
5.4.3.1 Variante 1
Messing
Zinn
Die Sicherung besteht aus einem sich verjüngenden Messing-Blechstreifen von
1,5mm Dicke. In der Mitte befindet sich ein 2mm * 10mm breiter Zinnstreifen.
Übersteigt die Temperatur die Schmelztemperatur des Zinns (232°C), löst die
Sicherung aus.
Der Engpaß von 10mm * 10mm *1,5mm hat einen elektr. Widerstand Rel von
50µ.
In aller erster Näherung nimmt man an, dass die Verlustwärme mittig
eingespeist wird und zu gleichen Teilen links und rechts abfließt.
Für kurze Zeiten kann man annehmen, dass sich die Anschlußlaschen auf
Umgebungstemperatur befinden.
Für die Engstelle kann man jeweils einen Wärmewiderstand und einen
Wärmekondensator für den Wärmestrom nach links und rechts berechnen:
P
P
Tu
Tu
Rl
Zusammengefaßt:
P
R
C
Mit R = 2,22K/W (= Rr/2)
und C =0,378J/K
Dieses RC-Glied erwärmt sich nach einer e-Funktion:

t
T  TEnd  (1  e )
mit

C
Rr
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TEnd  P  R
  R C
Der Wärmestrom P ist identisch mit der elektrischen Verlustleistung, die sich aus
dem elektr. Strom I und dem elektr. Widertstand Rel berechnet:
P  I ²  Rel
Fließen zum Beispiel 300A an elektrischem Strom durch die Sicherung entpricht
das einer Verlustleistung von 4,5W.
Der Wärmestrom P ist dann ebenfalls 4,5W. Für diesen Strom kann man dann
den Endwert der Temperatur TEnd und die Zeitkonstante  berechnen:
K
 10 K
W
J
K
  0,378  2,22  0,84 s
K
W
TEnd  4,5W  2,22
Die Zeit  ist die Zeit, nach der die e-Funktion den 1/e-fachen Wert also etwa
63% des Endwerts erreicht hat.
Diese Sicherung wird sich also bei 300A nach einigen Sekunden um 10K über die
Umgebungstemperatur aufheizen. Ist die Umgebungstemperatur 25°C so wird
die Endtemperatur dann 35°C sein.
Man kann jetzt natürlich auch ausrechnen bei welchem el. Strom der
Temperaturend-wert von 232°C erreicht wird. Bei dieser Temperatur wird das
Zinn schmelzen und die Sicherung auslösen.
Bei Tu = 25°C
beträgt
TEnd = 232°C - 25°C = 207K
Und
P
TEnd
207 K

 93,24W
K
R
2,22
W
Aus Leistung P berechnet man dann den elektrischen Strom
I
P
 1363 A
R el
Im Einsatz als PKW-Sicherung löst diese Sicherung erst bei Kurzschlußströmen
über 1369A aus.
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5.4.3.2 Variante 2:
35
25
14
10
60
Der Sicherungsstreifen besteht aus einem 2mm dicken Messingblech.
Der schmale mittlere Steg mit einer Breite von 3,3mm ist das auslösende
Element, weil es den höchsten elektrischen Widerstand aufweist und damit bei el.
Stromfluß am wärmsten wird.
Steigt die Temperatur über die Schmelztemperatur von 900°C löst die Sicherung
aus. Genaugenommen muß man dann noch die Schmelzwärme und die
Verdampfungswärme des Metalls in einem Bereich von 1-2mm in der Mitte
berücksichtigen. Beim Aufschmelzen verringert sich der elektrische Querschnitt,
so daß die letzte Stufe explosionsartig erfolgt und die Zeitspanne im Vergleich
zur gesamten Aufheizzeit vernachlässigbar ist.
Der elektr. Widerstand beträgt Rel = 225µ.
Der Wärmewiderstand nach oben genanntem Ersatzschaltbild R = 12K/W
Die Wärmekapazität C = 0,4 J/K
Daraus folgt eine Zeitkonstante  = 4,8s
Bei 300A gilt für die Temperaturerhöhung TEnd = 243K
Die Berechnung des Stroms, bei dem die Schmelztemperatur von Messing 900°C
erreicht wird, ergibt. I = 569A
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5.4.3.3 Vergleich der beiden Sicherungen
Im Kurzeitbereich (<5s ) reagiert Variante 2 träger wegen 2 > 1
(Das ist zum Beispiel wichtig für Anlasserimpulse)
Variante 2 löst aus bei Kurzschlußströmen ab 570A
Variante 1 löst aus bei Kurzschlußströmen ab 1370A
Das Auslöseverhalten von Variante 1 ist wegen
Schmelzpunktes (232°) stark temperaturabhängig
des
niedrigen
Variante 2 ist auch als Hochtemperaturbauteil bis 160°C Dauerbetriebstemperatur einsetzbar, ohne dass sich die Auslösecharakteristik ändert.
5.4.3.4 Weitergehende Näherung
In einer weitergehenden Näherungsrechnung sind berücksichtigt worden:
-
der Strahlungswiderstand Rstr der Engstelle
die Temperaturabhängigkeit des el. Widerstands der Engstelle
der Abschlußwiderstand einer Leitung (Ra=10K/W und Ca = 10J/K)
P
Pa
R
Pi
C
Rstr
Ca
Ra
Die Berechnungen sind mit MapleV durchgeführt worden und die Grafiken mit
Microsoft Exel erstellt worden.
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Temperature in °C
Tyco-Fuse at 1800A bei T=25°
Variante 1
300
250
200
150
Tyco 1800A
100
50
0
2min
Time in 2s
2000
1500
1000
AK-Fuse570A
500
31
28
25
22
19
16
13
10
7
4
0
1
Tempearture in °C
AK-Fuse at 570A and T=25°C
Variante 2
Time in s
Nach ca. 30s erreicht die Sicherung ihren Schmelzpunkt und löst aus
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160
140
120
100
80
60
40
20
0
AK-Fuse300A
46
41
36
31
26
21
16
11
6
Tyco-Fuse300A
1
Temperature in °C
AK versus Tyco at 300A and T=25°
Time in s
5.4.3.5 MapleV Programm
> restart;
Materialkonstanten
> ro:=0.06:
spez. el. Widerstand von Messing in Ohm mm²/m
> cMe:=.3:
spez. Wärmekapazität von Messing in J/gK
lambdaMe:=80:
spez. Wärmeleitfähigkeit von Messing in W/mK
> a:=0.0015:
linearer Temperaturkoeffizient des el. Widerstands in 1/°C
> sigma:=5.669*10^(-8):
Strahlungskonstante eines schwarzen Körpers in W*m^(-2)*K^(-4)
Abmessungen
> li:=12.5*10^(-3):
Länge des Messingwiderstands in m
> Ai:=3.3*2:
Fläche des inneren Messingstegs in mm²
> Rel:= ro*li/Ai:
el. Widerstand in Ohm des Messingstegs (1/2 Länge) bei T = 25°C
> mi:=8.5*1.25*0.33*0.2:
Masse des 1/2 Stegs in g
> Cin:=cMe*mi:
Wärmekapazität des inneren Messingstegs (1/2) in J/K
> Ri:=li/(lambdaMe*Ai*10^(-6)):
Wärmewiderstand des inneren Messing Stegs (1/2) in K/W
> Ra:= 10:
Abschluß-Wärmewiderstand in K/W
> Ca:=10:
Abschluß-Wärmekapazität in J/K
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> Astr:= 2*12.5*(2+3.3)*10^(-6):
Strahlungsfläche des halben Stegs in m²
Startwerte
> Tu:=25:
Umgebungstemperatur in °C
> Io:= 570:
Strom in Amperé
> Tliste:=NULL:
Liste der berechneten Temperaturen am Silizium
> T:=Tu:
Anfangstemperatur in °C
> Rstr:=1000:
Anfangswert des Strahlungswiderstands
> t:=1:
Hauptprogramm
> from t to 40000 do
> P:=Io^2*Rel*(1+a*(T-25))/2:
> f:=1000/t:
omega:=2*Pi*f:
> Za:=Ra*(1/(I*omega*Ca))/(Ra+(1/(I*omega*Ca))):
> Zb:=Za+Ri:
> Zi:=Rstr*(1/(I*omega*Cin))/(Rstr+(1/(I*omega*Cin))):
> evalf(%,4):
> Z:=abs(%):
>
> Pin:=P*Zb/(Zi-Zb):
> evalf(%,4):
> abs(%):
> evalf(%,4):
> Delta:=%*Z:
>
> T:=Delta+Tu:
>
> Rstr:= Delta/(sigma*Astr*(((273+Delta+Tu)^4-(273+Tu)^4))):
>
>
> t:=t+1:
> if (t mod 1000) = 0 then Tliste:=(Tliste),T fi:
>
> od:
> i:=1:
> from i to 60 do print(evalf(Tliste[i],4)):
Ausdruck der Temperaturen aus der Liste
> i:=i+1:
> od:
5.4.3.6 Vorschlag für weitergehende Näherung
Eine noch genauere Berechnung könnte man durch eine feinere Aufteilung für
den schmalen Steg durchführen. Deshalb ist der schmale Steg in 1,25mm Breite
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Wärmewiderstände unterteilt worden. Wegen der symmetrischen Verhältnisse für
den Wärmestrom braucht man auch nur die Halbe Sicherung zu betrachten:
P/10 P/10
P/10
TU
P/10 P/10
Ebenso wird angenommen, dass die Wärmeentwicklung in
Teilwiderständen des Mittelstegs entsteht und dort eingespeist wird.
Die
Temperaturen
entstehen
aus der
Überlagerung
Temperaturwerte, die sich für die einzelnen Quellen ergeben.
Mit diesen Annahmen ergibt sich folgendes Ersatzschaltbild:
P1
P2
P3
P4
den
(Addition)
zehn
der
P5
Ri
TM
Ti
TU
Z1
Z2
Z3
Z4
Z5
Z6
Z7
Ci Rkoni Rstri
Jeder kleine Messingblock bildet einen komplexen Wärmewiderstand Zi
bestehend aus parallel geschalteter Wärmekapazität Ci , Strahlungswidertand
Rstri , Konvektionswiderstands Rkoni sowie einem in Reihe liegenden Ri.
TU ist die Umgebungstemperatur und ist damit als Bezugspotential anzusehen.
TM bezeichnet die Temperatur in der Mitte des Sicherungsstreifen (, wenn diese
>900°C beträgt, löst die Sicherung aus).
Die einzelnen Abschnitte heizen sich auf unterschiedliche Temperaturen Ti auf,
entsprechend muß man dies bei der Berechnung der stark temperaturabhängigen
Strahlungswiderstände berücksichtigen. Die Temperaturen Ti erhält man, indem
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zunächst die Teilwärmeströme Pi durch die Zi berechnet werden. Nach dem
„ohmschen Gesetz“ kann man dann Ti berechnen:
Ti  Zi  Pi
Außerdem muß man über die Anzahl der Quellen aufsummieren:
Ti gesamt   ( Zi  Pi) k
k
Mit den berechneten Ti berechnet man die Strahlungswiderstände für den
darauffolgenden Zeitabschnitt (t+1).
Zum Zeitpunkt t=0 sind die Strahlungswiderstände unendlich hoch, weil die
Temperaturdifferenz zur Umgebung gleich Null ist.
Programmtechnisch setzt man die Werte für die Strahlungswiderstände zu
Beginn sehr hoch, damit werden sie bei der Berechnung der Parallelschaltung mit
den Konvektionswiderständen herausgekürzt.
Der Programierumfang potenziert sich mit der Anzahl der Quellen, deshalb wird
an dieser Stelle auf ein programmtechnisches Beispiel verzichtet.
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5.4.4 Temperaturverlauf in einem Warmwasserspeicher
Mit Warmwasser-Solarkollektoren kann besonders umweltfreundlich Energie
sparen.
Dabei tritt immer wieder die Frage auf, wie lange man bei gegebener
Speichergröße noch warmes Wasser zur Verfügung hat. Bei großen Anlagen
versucht man die Speicherzeit auch über 6 Monate zu bringen, um die
überschüssige Sommersonnen- wärme im Winter nutzen zu könne. Hier ist dann
die Speichergröße und der Isolationswiderstand zu berechnen, damit man auf
eine entsprechende Speicherzeit kommt.
5.4.4.1 300l-Brauchwasserspeicher
Ein mit Hartschaum isolierter Wassertank (300l) hat sich über einen
Wärmetauscher, durch den bei Sonnenschein heißes Wasser fließt, am Tage auf
60°C aufgeheizt. Die Umgebungstemperatur beträgt durchschnittlich 21°C.
Die Abhängigkeit der Temperatur von der Zeit soll ermittelt werden.
Dazu muß zunächst eine Ersatzschaltung aus Wärmewiderständen und –
Kapazitäten aufgestellt werden. In diesem Fall ist dies besonders einfach. Die
Wassermasse stellt im Wesentlichen eine Wärmekapazität dar und die
Hartschaumisolierung einen Wärmewiderstand:
P
P(t)
60°C
R
C
TR(t)
R
1
C
TC(t)
21°C
Tagsüber hat sich der Speicher wie ein Kondensator aufgeladen, nachts fließt ein
Entladestrom, die Temperatur sinkt.
In der Elektrotechnik gilt die Regel:
Die Summe aller Spannungen in einem geschlossenem Stromkreis ist gleich Null.
In der Wärmetechnik gilt analog:
Die Summe aller Temperaturdifferenzen in einem geschlossenen Wärmekreis
(hier 1) ist gleich Null, also
Fachhochschule Dortmund
Prof. Dr.-Ing. G.Babiel
Informations- und Elektrotechnik
University Of Applied Sciences
TR (t )  TC (t )  0
oder
P (t ) R 
1
P (t )dt  0
C

P (t ) 
1
P (t )dt  0
RC 
Die Lösung dieser Integralgleichung für den Strom ist:
t
P(t )  P0  e
RC
mit
P0 
T0
R
Die Lösung für die Temperatur erhält man über das ohmsche Gesetz der
Wärmelehre (T=RP):
t
T (t )  R  P(t )  R  P0  e RC
T (t )  T0  e
t
RC
Die zahlenwertmäßige Berechnung sei hier wieder mit Maple demonstriert:
> restart;
> with(plots):
> with(plottools):
> To:=60;
Anfangstemperatur des Speichers in °C
To := 60
> Tu:=21;
Umgebungstemperatur in °C
Tu := 21
> Delta:=To-Tu;
Anfangstemperaturdifferenz des Speichers in °C
Delta := 39
> t_Ende:=100;
Ende der Zeitskala in Stunden
t_Ende := 100
> H:=1.35;
Höhe des Tanks in m
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H := 1.35
> d:=0.62;
mittlerer Durchmesser des Isolationsmantels in m
d := .62
> lambda:=0.03;spez. Wärmeleitfähigkeit des Isolationsmaterials in J/msK
lambda := .03
> m:=300;
Wassermenge in kg
(1l = 1kg)
m := 300
> W:=0.03;
Wandstärke der Isolation in m
W := .03
> c:=4.18*10^3; spezifische Wärmekapazität von Wasser in J/kgK
c := 4180.00
> A:=(2*Pi*d*H)+((Pi*d^2)/2);
Oberfläche A des Isoaltionsmantels
A := 1.866200000 Pi
> evalf(%,5);
Mantelfläche in m²
5.8629
> R:=(1/lambda)*W/A; Wärmewiderstand R der Isolierung in K/W
R := .5358482477 /
> C:=m*c; Wärmekapazität C in J/K oder Ws/K
C := 1254000
> tau:=R*C:
Zeitkonstante tau; in Sekunden
> evalf(tau,10);
213889.5065
> tau:=tau/3600; tau in Stunden
tau := 59,4137
> T:=Tu+Delta*exp(-t/tau);
T := 21 + 39 exp(- t / 59,4137)
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> plot(T,t=0..t_Ende);
T/°C
t/h
Man erkennt anhand des Kurvenverlaufs, dass man durchaus über einen Tag
hinaus mit einem gut isolierten 300l-Tank warmes Wasser zum Duschen
speichern kann.
(Bei dieser Rechnung ist nicht die Wärmeableitung über die Anschlußrohre
berücksichtigt, in Wahrheit wird die Abkühlung etwas schneller ablaufen.)
Im Zusammenhang mit der Anschaffung einer Warmwasser-Solaranlage wird
auch immer wieder die Frage gestellt, wieviel Energie E man einsparen kann.
Wenn wir obiges Beispiel zu Grunde legen, können wir die Energieersparnis aus
dem Wärmestrom P(t) berechnen:
E   P (t )dt

E   P0  e
t
RC
dt
0

t


E   P0 ( RC )  e RC 

0

t


E   T0  C  e RC 

0
E  T0  C
E  39 K  1254000 J / K
E  48906000Ws
E  13,585kWh
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Nehmen wir an, dass 1kWh ca. 0,12 Euro kostet und man die gespeicherte
Wärme an 100 Tagen im Jahr nutzen kann, so erwirtschaftet die oben genannte
Anlage mit dem 300l-Tank jährlich 120 Euro.
Man kann auch sofort erkennen, dass eine um 10K höhere Speichertemperatur
(T=70°C und T0 = 49K) schon ca. 20% mehr Energiegewinn bringen.