Aufgabe 1 - Fachbereich Wirtschaftswissenschaften

Investment-Management
Übungsaufgaben (Teil IV)
WS 2002/03
Raimond Maurer
Professur für Investment, Portfolio Management und Alterssicherung
Fachbereich Wirtschaftswissenschaften
Johann Wolfgang Goethe-Universität,
Frankfurt am Main
Aufgabe 1 (Klausur 2001)
Einem Investor mit einem Budget von 1.000 € stehen die folgenden 3 Anlagealternativen zur
Verfügung:
1. Kauf von Aktien der Neue-Markt-AG zum Kurs von 700 € pro Stück.
2. Erwerb von Europäischen Verkaufsoptionen auf diese Aktie mit Basispreis 700 € und
Restlaufzeit von einem Jahr zum Kurs von 100 € pro Stück.
3. Erwerb von Zero Bonds mit Restlaufzeit von 1 Jahr mit Kaufkurs von 950 € und Rückzahlungskurs von 1.000 € pro Stück. Der Kurs des Zero Bond ergebe sich aus der am
Markt herrschenden Zinsstruktur.
Vernachlässigen Sie im folgenden Ganzzahligkeitsbedingungen.
a) Berechnen Sie die Jahresrendite des Zero Bonds.
b) Berechnen Sie den fairen Preis einer Europäischen Kaufoption mit identischer
Restlaufzeit und gleichem Basispreis wie der Put. Unterstellen Sie dabei arbitragefreie
Marktpreise.
c) Der Investor möchte ein Portfolio aus Aktien und Verkaufsoptionen bilden. Wie viele
Aktien und Verkaufsoptionen kann er erwerben, falls die Anzahl der Puts der Anzahl
der Aktien entsprechen soll (1:1 Put Hedge)?
d) Wie groß ist der minimale Wert des Portfolios nach einem Jahr?
e) Der Investor möchte nun ein Portfolio aus Kaufoptionen und Zero Bonds bilden, das
die gleiche Risikostruktur am Ende der Laufzeit wie das oben genannte Portfolio aus
Puts und Aktien aufweist. Wie viele Calls hat er zu kaufen und wie hoch ist der
Anlagebetrag in Zero Bonds?
f) Gehen Sie nunmehr davon aus, dass der Kurs der Neue-Markt-AG zu jedem Zeitpunkt
t logarithmisch normalverteilt ist, d.h. St ~ LN(, ²) wobei  = ln(S0) + 0,3t und ² =
0,1865t. Wie groß ist in t = 1 die Wahrscheinlichkeit dafür, dass:
i. der Endwert der ungesicherten Aktienposition,
ii. der Endwert eines 1:1 Put-Hedge
geringer ist, als der Endwert einer risikolosen Zerobondanlage? Gehen Sie davon aus,
dass der Basispreis für den Put in (ii) 700 € beträgt und die Put-Prämie zum
risikolosen Zinssatz gemäß der Zerobondanlage vollständig finanziert wird.
g) Die Neue-Markt-AG soll nunmehr in t = T auf der Basis einer Europäischen PutOption abgesichert werden. Zur Verfügung stehen nur Puts auf den Aktienindex mit
Kursentwicklung {It}. Unterstellen Sie die Beziehung
St     It .
Wie viele Index-Puts zum Ausübungspreis F müssen erworben werden, damit das
wertgesicherte Portfolio eine deterministische absolute Wertuntergrenze besitzt?
h) Erläutern Sie das Prinzip der Portfolio-Insurance auf der Basis synthetischer Optionen.
i) Nennen Sie die aufsichtsrechtlich erlaubten Transaktionsmotive für den Einsatz
derivativer Finanzinstrumente deutscher Versicherungsunternehmen.
Aufgabe 2:
Der Wert eines Basis-Objekts (Aktie) betrage per 01.01.2003 €1.000. Ein Investor kann das
Basis-Objekt per 01.01.2003 auf der Basis eines Kreditkaufs zu einem marktkonformen
Kreditzins von 10% erwerben.
a) Wie hoch ist der Gewinn bzw. Verlust des Investors am Ende des Folgejahres
(31.12.2004), wenn er das Basis-Objekt per Kredit erwirbt und den Kredit per
31.12.2004 inklusive akkumulierter Zinszahlung tilgt? Unterscheiden Sie dabei den
Fall, dass das Basis-Objekt im betrachteten Zeitraum keine Dividende abwirft und den
Fall, dass das Basis-Objekt per 31.12.2003 eine Dividende in Höhe von € 200 abwirft,
die zur teilweisen Tilgung des aufgenommenen Kredits verwendet werden kann.
b) Betrachtet werde nun ein Future auf eine Einheit des Basis-Objekts mit zweijähriger
Restlaufzeit. Wie hoch ist in beiden vorstehenden Fällen (einkommensfreies BasisObjekt bzw. Basis-Objekt mit Einkommen) der Preis F(0,2) des Futures per
01.01.2003? Unterstellen Sie dabei arbitragefreie Märkte und vernachlässigen Sie die
Margin-Problematik.
c) Charakterisieren Sie in beiden vorstehende Fällen den Preis des Futures in Termen der
Cost-of-Carry (positiv oder negativ?).
d) Bestimmen Sie den (zufallsabhängigen) Preis F(1,2) des Futures per 01.01.2004.
e) Berechnen Sie die Korrelation zwischen F(1,2) und dem (zufallsabhängigen) Kurs K1
des Basis-Objekts per 01.01.2004 in Termen des Korrelationskoeffizienten.
f) Berechnen Sie für den Fall des einkommensfreien Basis-Objekts die Anzahl der zu
verkaufenden Futures-Kontrakte, die in t = 0 (01.01.2003) benötigt werden, damit in
t=1 (01.01.2004) eine varianzminimale Hedge-Position entsteht (explizite
Überlegung!).