Modul 7 - mySchool
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Buch: Einblicke Mathematik 8 Klett ISBN 3-12-745580-1 Modul 7 Geometrie (S49-83 und S109-125) Die ersten beiden Teile des Moduls sind sehr zeitaufwendig. Es ist aber wichtig, dass die Schüler diese ersten Teile gut assimiliert haben, ansonsten muss eine vollständige Wiederholung bei den geometrischen Körpern gemacht werden. Wenn Geometrie I beherrscht wird, ist der Geometrie II Teil ein Klacks, der in 2 oder 3 Wochen ohne Probleme behandelt werden kann. Da dieses Modul sich ausschließlich mit Geometrie beschäftigt, würden wir folgende Aufteilung vorschlagen: In einem ersten Schritt empfehlen sich die Dreieckskonstruktionen, die besonderen Linien und Punkte im Dreieck, der Satz des Thales sowie der Flächeninhalt und Umfang des Dreiecks. Dies sind die Punkte 1, 2, 3 und 6 des Geometrie I - Teils. Bevor man mit den Dreieckskonstruktionen beginnt, sollte auf jeden Fall eine Wiederholung der Winkel gemacht werden (spitzer, stumpfer, rechter, … Winkel). Außerdem ist es sehr wichtig die Schüler Winkel messen und zeichnen zu lassen, damit sie sich wieder an die Arbeit mit dem Zirkel und dem Geodreieck gewöhnen. Die verschiedenen Dreieckstypen sollten auch wieder ins Gedächtnis gerufen werden. Was jetzt die Konstruktion von Dreiecken anbelangt so ist das Teilkapitel in 3 Aspekte zu spalten, die anfänglich auch separat zu behandeln sind: - Konstruktionen mit 3 gegebenen Seiten - Konstruktionen mit 2 angegebenen Seiten und dem eingeschlossenen Winkel - Konstruktionen mit einer angegebenen Seite und den 2 anliegenden Winkeln Für viele Schüler ist es sehr wichtig, dass die einzelnen Handlungsschritte in einer für sie verständlichen Form im Heft oder im Ordner nachzulesen sind, damit sie bei ihrer Arbeit auch ohne Hilfe und besondere Zuwendung zurecht kommen. Zu behandelnde Aufgaben: 1, 2, 3, 4 Seite 51; 7, 8, 9, 10 Seite 52 Optional zu behandelnde Aufgaben: 5, 6 Seite 51; 12, 13, 14 Seite 52 Nicht zu behandelnde Aufgaben: 11, 15 Seite 52 Der erste Teil des zweiten Punkts kann ohne schlechtes Gewissen weggelassen werden. Für den Schüler sind Mittelsenkrechte und Winkelhalbierende nicht unbedingt relevant. Sie tragen nur zur allgemeinen Konfusion bei. Die Höhen und Höhenschnittpunkte sind viel wichtiger und benötigen eh schon einen erheblichen zeitlichen Aufwand, weil die Höhenschnittpunkte der verschiedenen Dreieckstypen in, am oder außerhalb des Dreiecks liegen. Zuerst sollte das spitzwinklige Dreieck behandelt werden, dann das rechtwinklige Dreieck und zum Schluss das stumpfwinklige Dreieck. Die Höhen und die Verlängerungen der letzteren um den Höhenschnittpunkt zu finden müssen unbedingt verschieden markiert werden um Konfusionen zu vermeiden. Die 3 Seitenhalbierenden eines Dreiecks mit dem sich daraus ergebenden Schwerpunkts sind eine interessante Aufgabe für die Schüler, die ihr Interesse bestimmt erweckt, weil sie selbst aktiv werden können und feststellen, ob sie präzise arbeiten. Zu behandelnde Aufgaben: 5, 7, 10 Seite 55; 6 (z.T.) Seite 55 Optional zu behandelnde Aufgaben: 11 Seite 55 Nicht zu behandelnde Aufgaben: 8, 9 Seite 55, Aufgaben der Seite 54 Zum Satz des Thales ist nicht viel zu bemerken, außer dass es selbstverständlich ist, dass die Schüler die Beweisführung des Satzes nicht wissen müssen. Es ist immer noch der praktische Ansatz, der vorwiegt. Zu behandelnde Aufgaben: 1, 2, 3 Seite 57 Optional zu behandelnde Aufgaben: 4, 5 Seite 57 Anschließend wird der Umfang und der Flächeninhalt des Dreiecks behandelt. Die Formeln und die Bedeutungen der einzelnen Abkürzungen sind natürlich zu kennen. Es ist auch von Vorteil, wenn die Umformungen der Formel vorgenommen werden können. Dies führt zu einem besseren Verständnis und zu einer größeren Flexibilität. Zu behandelnde Aufgaben: 1, 2, 3, 5, 6 Seite 64 Optional zu behandelnde Aufgaben: 8 Seite 64 Nicht zu behandelnde Aufgaben: 4, 7 Seite 64 Das Haus der Vierecke ist interessant für die Schüler, weil sie sich dadurch bewusst werden, dass ein beliebiges Viereck durch eine weitere Eigenschaft einen neuen Namen erhält, die vorhergehenden Eigenschaften aber behält. Die besonderen Eigenschaften sollten bekannt sein. Wenn ein Schüler genau weiß mit welcher geometrischen Figur er es zu tun hat so wird ihm die Berechnung des Umfangs und des Flächeninhalts viel einfacher fallen. Zu behandelnde Aufgaben: 1, 2, 4, 5 Seite 59 Optional zu behandelnde Aufgaben: 3 Seite 59 Was die Viereckskonstruktionen betrifft, so müssen die Schüler die besonderen Eigenschaften der Vierecke kennen, ansonsten wird es ihnen nicht möglich sein die Figuren zu erstellen. Begriffe wie Seite, Winkel, Diagonale müssen bekannt sein. Zu behandelnde Aufgaben: 1, 2, 3, 5, 6 Seite 61 Optional zu behandelnde Aufgaben: 4 Seite 61; 7, 8, 9, 11 Seite 62 Nicht zu behandelnde Aufgaben: 10, 12 Seite 62 Der Flächeninhalt und der Umfang der Vierecke sollten über eine Zeichnung des jeweiligen Vierecks erarbeitet werden, damit die Schüler die Möglichkeit haben, eine eventuell vergessene Formel durch Überlegung wiederaufzustellen. Es ist anzuraten, nicht alle Formeln sofort einzuführen. Man sollte die Theorie schnell mit Aufgaben verbinden, damit kein Formelsalat im Kopf der Schüler entsteht. Falls nicht genügend Zeit zur Verfügung steht, soll die Raute und der Drachen weggelassen werden. Zu behandelnde Aufgaben: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 11, 12 Seite 67 Optional zu behandelnde Aufgaben: 7, 8, 9, 10, 13 Seite 67 Nicht zu behandelnde Aufgaben: 14 Seite 67 Was den Flächeninhalt von Vielecken anbelangt, so muss darauf geachtet werden, dass den Schülern visuell klar ist, aus welchen Teilstücken das Vieleck besteht, bevor gerechnet wird. Oft gibt es mehrere Möglichkeiten, ein Vieleck aufzuteilen! Zu behandelnde Aufgaben: 1, 2, 3, 5 a) b), 6 Seite 69 Nicht zu behandelnde Aufgaben: 4, 5 c) Seite 69 Die Formeln des Umfangs und des Flächeninhalts des Kreises müssen behandelt werden, falls aber nicht genügend Zeit bleibt um intensiver auf den Kreis einzugehen so soll der Teil mit komplexeren Figuren weggelassen werden. Dies ist bedauerlich, weil es den Schülern bestimmt Spaß macht den Flächeninhalt der Figuren auszurechnen. Das Kapitel 11 „Kreis und Gerade ist aus zeitlichen Gründen nicht zu bearbeiten. Die Begriffe Radius, Durchmesser und Kreisumfang müssen bekannt sein. Zu behandelnde Aufgaben: 1, 2, 3, 4 Seite 71; 6, 9, 10 Seite 72; 1, 2, 4, 6 Seite 74; 10, 11 Seite 75 Optional zu behandelnde Aufgaben: 5 Seite 71; 7,8, 11 Seite 72; 5 Seite 74; 8, 9 Seite 75 Nicht zu behandelnde Aufgaben: 7 Seite 74; 12 Seite 75 Die vermischten Aufgaben Seiten 79 bis 81 können als Zusatzaufgaben oder Wiederholungsaufgaben dienen. Zu behandelnde Aufgaben: 1, 2, 3, 4, 5, 6 Seite 79; 7, 8 Seite 80; 13, 15 a)b), 16, 17 Seite 81 Optional zu behandelnde Aufgaben: 9, 10 Seite 80; 11, 15 c) Seite 81 Nicht zu behandelnde Aufgaben: 12, 14 Seite 81 Geometrie II : Berechnungen an geometrischen Körpern Um den Rauminhalt von Prismen und Zylindern erfolgreich berechnen zu können, müssen die Schüler die Formeln zur Berechnung des Flächeninhalts von den einzelnen Vielecken und des Kreises sehr gut kennen. Rauminhalt (Volumen) von Prismen (S.110 - S.113) Ein Prisma ist ein Körper mit deckungsgleicher Grund- und Deckfläche, das heißt der Flächeninhalt der Grund- und Deckflächen (Vielecken) müssen identisch sein. Dies kann man anhand von einigen konkreten Beispielen verdeutlichen (Verpackungen,…). Das Volumen eines Prismas wird dann folgendermaßen berechnet: VP = AG • h Volumen = Grundfläche mal Höhe Bei den Übungen auf den Seiten 111 bis 113 sind hauptsächlich Volumen von Dreiecks- oder Trapezprismen zu berechnen. Dreiecksprisma: VP = a • h a • h 2 Trapezprisma: VP = a + c • h a • h 2 Bei diesen Rechnungen werden automatisch die Multiplikationstafelrechnungen sowie die Umrechnungen der Raummaße geübt. Die beiden Möglichkeiten eine Seite oder die Höhe zu berechnen anhand der Formel bei gegebenem Volumen sind optional mit stärkeren Schülern zu behandeln. Zu behandelnde Übungen (oder ähnliche): 1; 2; 3; 4; 5; 6 S. 111 8; 9; 10; 11; 12 S. 112 Optional zu behandelnde Übungen: 7; 13; 14; 15; 16; 17; 18 S. 112-113 Nicht zu behandelnde Übungen: 19; 20 S. 113 Rauminhalt (Volumen) von Zylindern (S.114 - S.116) Der Rauminhalt von Zylindern wird genauso berechnet wie bei den Prismen: VP = AG • h Volumen = Grundfläche mal Höhe Da die Grundfläche beim Zylinder immer ein Kreis ist, gilt: VZ = π • r2 • h Auch hier gilt: Die beiden Möglichkeiten den Radius oder die Höhe zu berechnen anhand der Formel bei gegebenem Volumen sind optional mit stärkeren Schülern zu behandeln. Zu behandelnde Übungen (oder ähnliche): 1; 2; 3; 6 a+b+c; 8; 13 S. 115+116 Optional zu behandelnde Übungen: 4; 5; 6 d; 7; 9; 10; 11; 12; 14 S. 115+116 Nicht zu behandelnde Übungen: 15; 16 S. 116 Der Oberflächeninhalt von Prismen und Zylindern ist optional zu behandeln! Oberflächeninhalt von Prismen (S.117 – S.119) Als erstes soll der Begriff des Oberflächeninhalts anhand eines konkreten Beispieles (Verpackung,…) verdeutlicht werden. Es soll erläutert werden, dass der Oberflächeninhalt die Addition vom Flächeninhalt der Grund- und Deckfläche und vom Flächeninhalt des Mantels ist. Da der Flächeninhalt von der Grundfläche beim Prisma der gleiche ist wie der Flächeninhalt der Deckfläche, gilt folgende Formel zur Berechnung des Oberflächeninhaltes: OP = 2 • AG + M Eigenschaften: - Die Berechnung der Grund- und Deckfläche ist von deren Form (Dreieck, Viereck,…) abhängig. Die Fläche des Mantels ergibt immer ein Rechteck. Länge der Mantelfläche = Umfang Grundfläche Breite des Mantels = Höhe des Prismas Alle Übungen sind optional zu behandeln. Oberflächeninhalt von Zylindern (S.120 – S.121) Auch hier soll der Begriff des Oberflächeninhalts anhand eines konkreten Beispieles (Verpackung,…) verdeutlicht werden. Es soll speziell darauf hingewiesen werden, dass die Mantelfläche eines Zylinders die Form eines Rechtecks hat. Grund- und Deckfläche des Zylinders sind kreisförmig. Man kann also den Oberflächeninhalt eines Zylinders rechnen, indem man die Inhalte der beiden kreisförmigen Flächen (Grund- und Deckfläche) mit der rechteckigen Mantelfläche addiert: OZ = 2 • π • r2 + 2 • π • r • h also: OZ = 2 • π • r • (r + h) Eigenschaften: - Mantelfläche ist immer ein Rechteck Länge des Rechtecks = Umfang des Kreises Breite des Rechtecks = Höhe des Zylinders Alle Übungen sind optional zu behandeln.
