Trägheitsmoment

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Fachschaft Physik / KSL
Trägheitsmoment
Verfasst von
Werner Fuchsberger
ergänzt:
Andreas Huber
Einleitung
Bei der Translationsbewegung setzt die Masse eines Körpers der
Bewegungsänderung einen Trägheitswiderstand entgegen. Dies kommt in den
Formeln der Dynamik
m  v2
F  m a , p  m v , E 
2
zum Ausdruck.
Bei Rotationsbewegungen eines starren Körpers (Drehung um eine Achse) setzt
dieser einer Bewegungsänderung ebenfalls einen Widerstand entgegen. Dieser
Trägheitswiderstand wird Trägheitsmoment (exakter: Massenträgheitsmoment)
genannt. In der Literatur wird für diese Grösse der Buchstabe I, manchmal auch J
verwendet. Das Trägheitsmoment eines Körpers ist immer in Bezug auf eine
definierte Drehachse festgelegt. Je weiter ein Massenpunkt von dieser Achse
entfernt ist, desto grösser ist sein Einfluss auf das Gesamtträgheitsmoment.
Es gelten die homologen Formeln für Rotationsbewegungen:
I  2
M  I  , L  I  , E 
2
Mechanik
Physikpraktikum Schwerpunktfach
Fachschaft Physik / KSL
Definition / Berechnung (Sexl I, Seite 124 ff)
n
I   mi ri  m1r1  m2r2  m3r3  ... oder: I   r 2 dm
2
2
2
2
i 1
Kennt man das Trägheitsmoment Is eines Körpers bezüglich einer Achse durch den
Schwerpunkt, so berechnet sich das Trägheitsmoment I bezüglich einer zur
ursprünglichen Achse im Abstand a parallelen Achse nach dem Satz von Steiner:
I = Is + ma2
Weiterhin ist wichtig, dass das Gesamtträgheitsmoment einer Anordnung sich aus
der Summe der Teilträgheitsmomente von Teilen der Anordnung, also additiv,
bestimmt.
Experimentelle Bestimmung des Trägheitsmoments I
Dafür eignen sich beschleunigte Rotationsbewegungen.
Physikalisches Pendel: Ein beliebiger starrer Körper pendelt (das ist eine
beschleunigte Drehbewegung) um eine horizontale Achse durch seinen
Aufhängepunkt. Aus der Formel für die Schwingungsdauer T (kleine Auslenkwinkel)
lässt sich I bestimmen.
I
; g = Erdbeschleunigung, s = Abstand Drehachse - Schwerpunkt
T  2
mgs
Drehpendel, Torsionspendel:
Ein Drehpendel vollführt eine Drehschwingung um eine vertikale Achse, dabei ist der
momentane Drehwinkel (Nullwinkel entspricht der Ruhelage) proportional zum
momentanen Drehmoment M  D*   ; dabei ist der Proportionalitätsfaktor D* das
Direktionsmoment der Feder.
Es entspricht der Federkonstante eines Federpendels. (statische Methode)
I
Die Schwingungsdauer T des Drehpendels berechnet sich nach T  2 *
D
Dabei ist I das Trägheitsmoment der gesamten Anordnung. (dynamische Methode)
Versuchsziele
- Bestimmung des Direktionsmoments mit der statischen Methode
- Bestimmung des Trägheitsmoments der „leeren“ Anordnung mit der dynamischen
Methode
- Bestimmung des Trägheitsmoments von homogenen Körpern:
Quader, Vollzylinder, Vollkugel
- Berechnung von Trägheitsmomenten
- Anwenden des Steiner’schen Satzes
Dynamisches Beispiel: gleichmässige Beschleunigung eines rotierenden Zylinders
PS-Praktikum SF
Seite 2/4 Trägheitsmoment / Version 2/2004Version 2/2004
Fachschaft Physik / KSL
Vorbereitung
-
-
Begriffe: Masse, Trägheitsmoment, Drehmoment, Drehimpuls,
Winkelgeschwindigkeit, Winkelbeschleunigung, Direktionsmoment
Suche diese Begriffe und Zusammenhänge.
Berechnungsmethodik von Trägheitsmomenten homogener geometrischer Körper
Sexl I, Seite 126: Massenpunkt, zylindrische Scheibe, Vollzylinder, Vollkugel
Definition des Massenmittelpunkts
Kenntnis und Herleitung des Satzes von Steiner
Analogie von Formeln der Dynamik im Vergleich Translation, Rotation, bei denen
das Trägheitsmoment vorkommt.
Material Gruppe A (2 Experimentiereinrichtungen)
-
-
Drehpendel
Objekte: 2 Metallkugeln, Holzzylinder mit polarer und äquatorialer Achse, Quader
mit zentrischen Achsen in Richtung der Quaderseiten und exzentrischer Achse
parallel zur Quaderseite c im Abstand d.
Federwaage 1 N/2 N(Mechanik 2)
Massstab
Schublehre
Stoppuhr
Waage
Material Gruppe B (4 Experimentiereinrichtungen)
-
Gelagerter und an Stativstange befestigter drehbarer Zylinder als Fadenspule mit
Faden und Gewichtchen (Zusatzmaterial aus Mechanik 2))
2 Lichtschranken mit elektronischer Zeitmessung des Fallweges.(Mechanik 3)
Zündholz oder Zahnstocher zur Verklemmung der Walze vor dem Start
Quellen
Walter Albisser: Physik-Praktikum
Diverse Praktikumsanleitungen Internet
Durchführung
Gruppe A
1. Verschaffe Dir einen Überblick über die Funktionsweise des Drehpendels.
2. Bestimme das Direktionsmoment D* der Anlage mit der statischen Methode
Benütze dabei: M  D*   . Der Betrag des Drehmoments M  r  F ist mit der
Federwaage (Hebelgesetz!) zu bestimmen. Gib D* in Nm/rad an. Prüfe die
Linearität der Beziehung durch mehrere Messungen bei verschieden grossen
Winkeln bis max. 180°. Achte darauf, dass die Federwaage tangential gehalten
wird. Auswertung grafisch.
3. Belade die Hantelstange mit den beiden Kugelgewichten, sodass deren
Mittelpunkte symmetrisch auf der Hantel liegen und einen Mittelpunktsabstand
von 200 mm erhalten. Bestimme das Trägheitsmoment IK der beiden Kugeln
bezüglich der Drehachse durch Rechnung (Kugelformel, Satz von Steiner).
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Seite 3/4 Trägheitsmoment / Version 2/2004Version 2/2004
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Miss die Schwingungsdauer bei 5 Schwingungen mit einer Anfangsauslenkung
von 90°. Bestimme mit der dynamischen Methode das Trägheitsmoment I o aus
der Schwingungsdauer der Gesamtanordnung. Beachte, dass sich das
Gesamtträgheitsmoment durch Addition von IK + Io ergibt. Vergleiche mit der
Formelsammlung. Falls noch Zeit bleibt: Verifiziere den Steiner’schen Satz mit
den Kugelgewichten für 2 weitere Stellungen Achsenabstände 180 mm, 60 mm
4. Von den folgenden Versuchen, so viele wie möglich, aber mindestens einen
sauber durchführen:
 Der Holzquader besitzt die Schwerpunktsachsen a, b, c und die exzentrische
Achse c’ Fixiere den Quader durch Einschub in die Achsen und bestimme
experimentell die Trägheitsmomente mit der dynamischen Methode. Vergleiche
die Werte mit den theoretischen Werten nach Formelsammlung. (S 147)
 Der Holzzylinder besitzt je eine äquatoriale und eine polare Achse. Bestimme
auch für ihn die beiden Trägheitsmomente und vergleiche die Ergebnisse mit
der Theorie nach Formelsammlung.
Gruppe B
5. Es ist der Versuch nach Sexl I, (siehe Bild)Seite 127/Seite 128 auszuführen. Als
Ziel ergibt sich das Trägheitsmoment I1 des Zylinders nach dieser Methode zu
berechnen. Dazu müssen folgende Grössen gemessen werden: Abmessungen
Zylinder, Masse Zylinder (m1=492g), Masse Gewichtchen (m2), Fallhöhe h2,
Fallzeit t2 mit Lichtschranken. Aufgrund technischen Problemen bei der
Zeitmessung der Lichtschranken, muss m2 auf ein Holzklötzchen (flach) oberhalb
der Lichtschranke gestellt werden. Dann hat der Körper bei Auslösung der
Stoppuhr bereits eine Anfangsgeschwindigkeit v0. Der Körper wird also schneller
die gleiche Strecke zurücklegen. Miss auch die Höhe h1 vom Startpunkt bis zur
Lichtschranke. Handhabung Zeitmesser: Teste: Reset+Stop gleichzeitig, mit
Finger ein paar Durchgänge registrieren. Reset (allein) und anschliessend stop
zeigt die gespeicherten Messungen und ihre Nummer.
Berechne nun: a, v, I1 aus der gleichmässigen beschleunigten Bewegung.
Ansätze: vo = a t1, h1 = 0.5 a t12; h2 = vo t2 + 0.5 a t22
Eliminiere t1 aus den ersten beiden Geichungen, eliminiere dann vo aus der
letzten Gleichung. Diese wird dann zu einer Gleichung mit der Unbekannten a.
1
2
Zur Kontrolle: h 2  2ah1  t 2  a  t 2
2
Löse diese mit der Solve-Funktion des Taschenrechners.
Bestimme v bei der unteren Lichtschranke
Stelle die Bewegungsgleichung auf (analog zum Experiment Fahrbahn) und
bestimme I1. Kontrolliere dies mit der gegebenen Masse m1 und dem Radius.
Zusatzaufgaben (Ungelöste Teile zu Hause)
1. Bestimme das Trägheitsmoment eines Moleküls bestehend aus 4 gleichartigen
Atomen angeordnet an den Ecken eines regelmässigen Tetraeders bezüglich
einer Achse durch den Schwerpunkt und eine Kantenmitte. Kantenlänge a,
Atommasse m.
2. Notiere die Herleitung der Formel für das polare Trägheitsmoment eines
Hohlzylinders mit der Masse m und den Radien r1 und r2.
3. Leite die Formel für das Trägheitsmoment einer Kugel her
Die Kunst liegt in der Festlegung von dm.
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