Trägheitsmoment
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Fachschaft Physik / KSL Trägheitsmoment Verfasst von Werner Fuchsberger ergänzt: Andreas Huber Einleitung Bei der Translationsbewegung setzt die Masse eines Körpers der Bewegungsänderung einen Trägheitswiderstand entgegen. Dies kommt in den Formeln der Dynamik m v2 F m a , p m v , E 2 zum Ausdruck. Bei Rotationsbewegungen eines starren Körpers (Drehung um eine Achse) setzt dieser einer Bewegungsänderung ebenfalls einen Widerstand entgegen. Dieser Trägheitswiderstand wird Trägheitsmoment (exakter: Massenträgheitsmoment) genannt. In der Literatur wird für diese Grösse der Buchstabe I, manchmal auch J verwendet. Das Trägheitsmoment eines Körpers ist immer in Bezug auf eine definierte Drehachse festgelegt. Je weiter ein Massenpunkt von dieser Achse entfernt ist, desto grösser ist sein Einfluss auf das Gesamtträgheitsmoment. Es gelten die homologen Formeln für Rotationsbewegungen: I 2 M I , L I , E 2 Mechanik Physikpraktikum Schwerpunktfach Fachschaft Physik / KSL Definition / Berechnung (Sexl I, Seite 124 ff) n I mi ri m1r1 m2r2 m3r3 ... oder: I r 2 dm 2 2 2 2 i 1 Kennt man das Trägheitsmoment Is eines Körpers bezüglich einer Achse durch den Schwerpunkt, so berechnet sich das Trägheitsmoment I bezüglich einer zur ursprünglichen Achse im Abstand a parallelen Achse nach dem Satz von Steiner: I = Is + ma2 Weiterhin ist wichtig, dass das Gesamtträgheitsmoment einer Anordnung sich aus der Summe der Teilträgheitsmomente von Teilen der Anordnung, also additiv, bestimmt. Experimentelle Bestimmung des Trägheitsmoments I Dafür eignen sich beschleunigte Rotationsbewegungen. Physikalisches Pendel: Ein beliebiger starrer Körper pendelt (das ist eine beschleunigte Drehbewegung) um eine horizontale Achse durch seinen Aufhängepunkt. Aus der Formel für die Schwingungsdauer T (kleine Auslenkwinkel) lässt sich I bestimmen. I ; g = Erdbeschleunigung, s = Abstand Drehachse - Schwerpunkt T 2 mgs Drehpendel, Torsionspendel: Ein Drehpendel vollführt eine Drehschwingung um eine vertikale Achse, dabei ist der momentane Drehwinkel (Nullwinkel entspricht der Ruhelage) proportional zum momentanen Drehmoment M D* ; dabei ist der Proportionalitätsfaktor D* das Direktionsmoment der Feder. Es entspricht der Federkonstante eines Federpendels. (statische Methode) I Die Schwingungsdauer T des Drehpendels berechnet sich nach T 2 * D Dabei ist I das Trägheitsmoment der gesamten Anordnung. (dynamische Methode) Versuchsziele - Bestimmung des Direktionsmoments mit der statischen Methode - Bestimmung des Trägheitsmoments der „leeren“ Anordnung mit der dynamischen Methode - Bestimmung des Trägheitsmoments von homogenen Körpern: Quader, Vollzylinder, Vollkugel - Berechnung von Trägheitsmomenten - Anwenden des Steiner’schen Satzes Dynamisches Beispiel: gleichmässige Beschleunigung eines rotierenden Zylinders PS-Praktikum SF Seite 2/4 Trägheitsmoment / Version 2/2004Version 2/2004 Fachschaft Physik / KSL Vorbereitung - - Begriffe: Masse, Trägheitsmoment, Drehmoment, Drehimpuls, Winkelgeschwindigkeit, Winkelbeschleunigung, Direktionsmoment Suche diese Begriffe und Zusammenhänge. Berechnungsmethodik von Trägheitsmomenten homogener geometrischer Körper Sexl I, Seite 126: Massenpunkt, zylindrische Scheibe, Vollzylinder, Vollkugel Definition des Massenmittelpunkts Kenntnis und Herleitung des Satzes von Steiner Analogie von Formeln der Dynamik im Vergleich Translation, Rotation, bei denen das Trägheitsmoment vorkommt. Material Gruppe A (2 Experimentiereinrichtungen) - - Drehpendel Objekte: 2 Metallkugeln, Holzzylinder mit polarer und äquatorialer Achse, Quader mit zentrischen Achsen in Richtung der Quaderseiten und exzentrischer Achse parallel zur Quaderseite c im Abstand d. Federwaage 1 N/2 N(Mechanik 2) Massstab Schublehre Stoppuhr Waage Material Gruppe B (4 Experimentiereinrichtungen) - Gelagerter und an Stativstange befestigter drehbarer Zylinder als Fadenspule mit Faden und Gewichtchen (Zusatzmaterial aus Mechanik 2)) 2 Lichtschranken mit elektronischer Zeitmessung des Fallweges.(Mechanik 3) Zündholz oder Zahnstocher zur Verklemmung der Walze vor dem Start Quellen Walter Albisser: Physik-Praktikum Diverse Praktikumsanleitungen Internet Durchführung Gruppe A 1. Verschaffe Dir einen Überblick über die Funktionsweise des Drehpendels. 2. Bestimme das Direktionsmoment D* der Anlage mit der statischen Methode Benütze dabei: M D* . Der Betrag des Drehmoments M r F ist mit der Federwaage (Hebelgesetz!) zu bestimmen. Gib D* in Nm/rad an. Prüfe die Linearität der Beziehung durch mehrere Messungen bei verschieden grossen Winkeln bis max. 180°. Achte darauf, dass die Federwaage tangential gehalten wird. Auswertung grafisch. 3. Belade die Hantelstange mit den beiden Kugelgewichten, sodass deren Mittelpunkte symmetrisch auf der Hantel liegen und einen Mittelpunktsabstand von 200 mm erhalten. Bestimme das Trägheitsmoment IK der beiden Kugeln bezüglich der Drehachse durch Rechnung (Kugelformel, Satz von Steiner). PS-Praktikum SF Seite 3/4 Trägheitsmoment / Version 2/2004Version 2/2004 Fachschaft Physik / KSL Miss die Schwingungsdauer bei 5 Schwingungen mit einer Anfangsauslenkung von 90°. Bestimme mit der dynamischen Methode das Trägheitsmoment I o aus der Schwingungsdauer der Gesamtanordnung. Beachte, dass sich das Gesamtträgheitsmoment durch Addition von IK + Io ergibt. Vergleiche mit der Formelsammlung. Falls noch Zeit bleibt: Verifiziere den Steiner’schen Satz mit den Kugelgewichten für 2 weitere Stellungen Achsenabstände 180 mm, 60 mm 4. Von den folgenden Versuchen, so viele wie möglich, aber mindestens einen sauber durchführen: Der Holzquader besitzt die Schwerpunktsachsen a, b, c und die exzentrische Achse c’ Fixiere den Quader durch Einschub in die Achsen und bestimme experimentell die Trägheitsmomente mit der dynamischen Methode. Vergleiche die Werte mit den theoretischen Werten nach Formelsammlung. (S 147) Der Holzzylinder besitzt je eine äquatoriale und eine polare Achse. Bestimme auch für ihn die beiden Trägheitsmomente und vergleiche die Ergebnisse mit der Theorie nach Formelsammlung. Gruppe B 5. Es ist der Versuch nach Sexl I, (siehe Bild)Seite 127/Seite 128 auszuführen. Als Ziel ergibt sich das Trägheitsmoment I1 des Zylinders nach dieser Methode zu berechnen. Dazu müssen folgende Grössen gemessen werden: Abmessungen Zylinder, Masse Zylinder (m1=492g), Masse Gewichtchen (m2), Fallhöhe h2, Fallzeit t2 mit Lichtschranken. Aufgrund technischen Problemen bei der Zeitmessung der Lichtschranken, muss m2 auf ein Holzklötzchen (flach) oberhalb der Lichtschranke gestellt werden. Dann hat der Körper bei Auslösung der Stoppuhr bereits eine Anfangsgeschwindigkeit v0. Der Körper wird also schneller die gleiche Strecke zurücklegen. Miss auch die Höhe h1 vom Startpunkt bis zur Lichtschranke. Handhabung Zeitmesser: Teste: Reset+Stop gleichzeitig, mit Finger ein paar Durchgänge registrieren. Reset (allein) und anschliessend stop zeigt die gespeicherten Messungen und ihre Nummer. Berechne nun: a, v, I1 aus der gleichmässigen beschleunigten Bewegung. Ansätze: vo = a t1, h1 = 0.5 a t12; h2 = vo t2 + 0.5 a t22 Eliminiere t1 aus den ersten beiden Geichungen, eliminiere dann vo aus der letzten Gleichung. Diese wird dann zu einer Gleichung mit der Unbekannten a. 1 2 Zur Kontrolle: h 2 2ah1 t 2 a t 2 2 Löse diese mit der Solve-Funktion des Taschenrechners. Bestimme v bei der unteren Lichtschranke Stelle die Bewegungsgleichung auf (analog zum Experiment Fahrbahn) und bestimme I1. Kontrolliere dies mit der gegebenen Masse m1 und dem Radius. Zusatzaufgaben (Ungelöste Teile zu Hause) 1. Bestimme das Trägheitsmoment eines Moleküls bestehend aus 4 gleichartigen Atomen angeordnet an den Ecken eines regelmässigen Tetraeders bezüglich einer Achse durch den Schwerpunkt und eine Kantenmitte. Kantenlänge a, Atommasse m. 2. Notiere die Herleitung der Formel für das polare Trägheitsmoment eines Hohlzylinders mit der Masse m und den Radien r1 und r2. 3. Leite die Formel für das Trägheitsmoment einer Kugel her Die Kunst liegt in der Festlegung von dm. PS-Praktikum SF Seite 4/4 Trägheitsmoment / Version 2/2004Version 2/2004
