Skript zur Vorlesung vom 16. und 17.11.1998, 430 KB
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1 Vorlesung Experimentalphysik I am 16.11.1998 und 17.11.1998 J. Ihringer 1.10 Drehmoment, Drehimpuls Speziell für Drehbewegungen sind die Vektoren für den Drehimpuls und das Drehmoment definiert, beide liegen in der Drehachse. Im Gegensatz zum Bahnimpuls und den Kräften auf einen Massenpunkt auf der Bahn behalten diese Vektoren ihre Richtung bei, solange die Drehachse unverändert bleibt. 1.10.1 Der Drehimpuls Der Drehimpuls ist das Vektorprodukt aus dem Vektor des Bahnimpulses und dem Ortsvektor von der Drehachse zum Beobachtungspunkt. Formel L r p mr v L r p sin Lr , Lp Betrag Einheit m2 L 1 kg s Richtung p mv v Vektor des Drehimpulses, senkrecht auf der Bahnebene Bahnimpuls Bahngeschwindigkeit Vektor vom Beobachtungspunkt zur Bahn r L p r p sin Abbildung 1 Der Drehimpuls steht senkrecht auf der von Impuls und Radiusvektor aufgespannten Ebene. Nur die Impulskomponente senkrecht zum Radiusvektor trägt zum Drehimpuls bei. 2 Man erkennt an der Formel und an der Zeichnung, daß bei gegebenem Impuls p der Drehim puls L von der Lage der Drehachse abhängt. Auch ein auf einer geradlinigen Bahn vorbeiziehender Massenpunkt hat bezüglich irgendeines Beobachtungspunktes einen Drehimpuls, der nur dann verschwindet, wenn der Beobachtungspunkt auf der Bahn liegt, weil dann r p immer 0 ist. 1.10.2 Das Drehmoment Das Drehmoment wird, analog zur Kraft, im Bezug auf statische und dynamische Vorgänge eingesetzt. Die klassische Anwendung in der Statik ist das Hebelgesetz, ein Thema der „Mechanik des starren Körpers“, weil mehr als einen Massenpunkt betrifft. Aus dieser Sicht ist das Drehmoment gleich „Kraft mal Kraftarm“ oder „Last mal Lastarm“. In Verbindung mit dem Drehimpuls beschreibt das Drehmoment in Bahnrichtung beschleunigte Bewegungen vornehmlich auf Kreis-, aber auch auf anderen Bahnen. Analog zu Impuls und Kraft bei linearer Bewegung sind Drehimpuls und Drehmoment über die zeitliche Ableitung miteinander verknüpft. Drehimpuls Lrp Drehmoment dL dp T r dt dt dL dr dp pr dt dt dt dp v mv r dt dp r dt Das Drehmoment ist die zeitliche Ableitung des Drehimpulses Ableitung des Drehimpulses nach der Zeit. Es gilt v v 0 Wie beim Drehimpuls trägt nur die Komponente der Kraft senkrecht zum Radiusvektor zum Drehmoment bei. Kräfte in Richtung des Radiusvektors, z.B. die Zentripetalkraft, werden im Drehmoment nicht erfaßt. T r F sin F Abbildung 2 Drehmoment: Nur die Kraftkomponente senkrecht zum Radiusvektor trägt zum Drehmoment bei. 3 Bei der Bewegung auf der Kreisbahn ändert ein Drehmoment die Drehzahl, die Winkelgeschwindigkeit ändert sich, 0 . Speziell: Bewegung auf der Kreisbahn v r L r m v m r 2 T m r 2 Bahngeschwindigkeit Drehimpuls Drehmoment Tabelle 1 Bahngeschwindigkeit, Drehimpuls und Drehmoment bei der Bewegung auf der Kreisbahn T r F Abbildung 3 Drehmoment bei der Kreisbewegung: 0 1.10.3 Der Drehimpulserhaltungssatz Analog zum Impulserhaltungssatz gilt, daß ohne äußere Drehmomente der gesamte Drehimpuls eines Systems nach Betrag und Richtung zeitlich konstant bleibt. L const dL T 0 dt Beziehung zum 1. Keplerschen Gesetz: Konstanter Drehimpuls Bei konstantem Drehimpuls ist das Drehmoment null. Weil die Richtung des Drehimpulses konstant bleibt, bewegt sich ein Körper in einer Ebene senkrecht zum Vektor des Drehimpulses Beziehung zum 2. Keplerschen Gesetz: L mr v r ds m dt r ds Drehimpuls Flächenelement, das in der Zeit dt überstrichen wird 4 r ds Konstanter Betrag des Drehimpulses heißt, daß die in der Zeit überstrichenen Flächenelemente konstant sind: „In gleichen Zeiten überstreicht der Fahrstrahl gleiche Flächen“ Tabelle 2 Drehimpulserhaltung und das 1. und 2. Keplersche Gesetz Versuch 1 Drehimpulserhaltung auf dem Drehschemel. Einem Experimentator auf einem Drehschemel wird von außen ein rotierendes Rad überreicht. In Abhängigkeit von der Orientierung der Drehachse bei Übergabe des Rades dreht sich der Schemel bei Bewegung des Rades, weil der Drehimpuls erhalten bleibt. Der Schemel mit Experimentator wird nach unterschiedlichen Anfangsbedingungen zum abgeschlossenen System erklärt: 1.) Achse nach oben 2) Achse waagrecht 3) Start des Rades auf dem Schemel Situation Rad Drehimpulse Schemel Rad+Schemel Tabelle 3 Drehimpulserhaltung auf dem Drehschemel, Achse beim Start nach oben 5 2 Mechanik starrer Körper 2.1 Starre Körper, Freiheitsgrade In den vorhergehenden Paragraphen wurde ein Körper unabhängig von seiner Form zu einem Massenpunkt abstrahiert und dessen Lage durch drei kartesische Koordinaten festgelegt. Die Lage eines realen Körpers im statischen oder dynamischen Gleichgewicht, etwa bei einer Kreiselbewegung, hängt aber von der räumlichen Verteilung seiner Masse ab. Bleibt deren Verteilung bei der Bewegung unverändert, dann spricht man von der Mechanik eines starren Körpers. Man könnte nun den Körper in einzelne Massenpunkte zerlegen und für mit Energie- und Impulserhaltungssatz und der Randbedingung gleichbleibender relativer Lage ein Gleichungssystem aufschreiben und dieses lösen. Die Behandlung von solchen „Mehrteilchenproblemen“ ist aber sehr aufwendig. Jeder Massenpunkt bringt drei Koordinaten mit in die Rechnung, deshalb sind bei N Massenpunkten 3N Parameter zu bestimmen. Glücklicherweise ist das unnötig. Für die Mechanik des starren Körpers genügt es, die Massen zur gesamten Masse zu summieren und ihre Verteilung für die Statik und geradlinige Bewegung im Schwerpunkt und für Dynamik bei Drehbewegungen im Trägheitsmoment zusammenzufassen. Um den Körper im Raum festzulegen genügen drei Koordinaten für die Schwerpunktlage und drei Winkel für die Orientierung. Die Zahl der unabhängigen Parameter, hier sechs, zur physikalischen Beschreibung eines Systems heißt „Zahl der Freiheitsgrade“. 2.2 Statik des starren Körpers 2.2.1 Schwerpunkt, Gleichgewicht Der Schwerpunkt eines Körpers ist der Punkt, bezüglich dessen das Drehmoment eines Körpers im Schwerefeld der Erde verschwindet. Wie schon in Abschnitt 1.9.2 eingeführt, gilt: N xS m i 1 i xi Definition der Schwerpunktkoordinaten N m i 1 i Das gesamte Drehmoment auf einen Körper bezüglich eines um r vom Schwerpunkt entfernten Punktes ist Formel T M xS g N M mi Erläuterung Drehmoment Masse des Körpers i 1 xS g Vektor von der Drehachse zum Schwerpunkt Vektor der Erdbeschleunigung Tabelle 4 Drehmoment als Funktion des Abstandes vom Schwerpunkt 6 Schwerpunkt z xS g T y x Abbildung 4 Drehmoment bezüglich einer um x S vom Schwerpunkt entfernten Achse Im statischen Gleichgewicht ist ein Körper immer dann, wenn die Summe alle äußeren Kräfte und äußeren Drehmomente verschwindet: F i 0 Alle äußeren Kräfte addieren sich zu null Alle äußeren Drehmomente addieren sich zu null i T i 0 i 2.2.1.1 Anwendung: Die stabile Aufhängung Stabil aufgehängt ist ein Körper, wenn das Drehmoment auf den Körper verschwindet. Die Drehmomente auf seine Massenpunkte werden durch das vom Aufhängepunkt ausgeübte Drehmoment kompensiert: Aufhängepunkt z Schwerpunkt xi g xA xS x TA y T Abbildung 5 Stabile Aufhängung: Der Aufhängepunkt liegt über dem Schwerpunkt 7 Formel T mi x i g Erläuterung Drehmoment der einzelnen Massenpunkte i TA M x A g mi xi g M x A g i m i xi g M x S g i 0 M x A xS g Drehmoment am Aufhängepunkt, es hängt die Masse M daran Im Gleichgewicht sind beide Drehmomente gleich Definition des Schwerpunktes Folgt nach Subtraktion der beiden letzten Gleichungen: Das Vektorprodukt ist null, wenn x A x S parallel zu g ist, d.h. der Aufhänge- über dem Schwerpunkt liegt Tabelle 5 Im Gleichgewicht liegen Aufhänge- und Schwerpunkt auf einer Linie Versuch 2 Bestimmung des Schwerpunktes einer unregelmäßig geformten Tafel. Die Tafel wird an zwei beliebigen, unterschiedlichen Punkten aufgehängt. Vom Aufhängepunkt wird jeweils das Lot nach unten gefällt. Der Schwerpunkt liegt im Schnittpunkt beider Lote. Versuch 3 Das schiefe Haus. Es fällt erst um, wenn das Lot vom Schwerpunkt nach unten außerhalb der Auflagefläche zu liegen kommt (Umkehrung der Aufhängung). 2.2.2 Die Hebelgesetze Eine klassische Anwendung findet das statische Gleichgewicht in den Hebelgesetzen. An einer Stange, die an einem Punkt unterstützt ist, greifen zwei als „Kraft“ und „Last“ bezeichnete Kräfte an. Wenn die Stange ruht, dann addieren sich die Drehmomente am Hebel zu null. Dann gilt: Kräfte senkrecht zum Hebel: r2 r1 r1 F1 r2 F2 „Kraft mal Kraftarm = Last mal Lastarm“ F2 F1 Beliebiger Winkel zwischen Hebel, Kraft und Last: T1 T2 r1 F1 r2 F2 r1 F1 sin 1 r2 F2 sin 2 Tabelle 6 Das Hebelgesetz Versuch 4 Gerader Hebel r1 r2 8 Versuch 5 Schiefer Hebel 2.2.2.1 Anwendung: Die Empfindlichkeit der Balkenwaage Bei einer Balkenwaage liegt der Schwerpunkt des Gestänges unterhalb des Drehpunktes. Wird die Waage ungleich belastet, dann verlagert sich der Schwerpunkt, bis das Drehmoment der Last durch das Drehmoment des Schwerpunkts ausgeglichen wird. Die Bilanz der Drehmomente zeigt, von welchen Parametern die Empfindlichkeit der Waage abhängt. l m xS m Abbildung 6 Schema der Balkenwaage. Der Abstand x s des Schwerpunktes vom Drehpunkt ist stark übertrieben. Formel T1 (m m) g l sin( 90 ) (m m) g l cos T2 m g l sin( 90 ) m g l cos TS M g x S sin T1 T2 T3 0 (m m) g l cos m g l cos M g xS sin tan l m M x S m Erläuterung Links Rechts Gestänge Drehmomente Bedingung fürs Gleichgewicht Empfindlichkeit der Waage Tabelle 7 Herleitung der Gleichung zur Empfindlichkeit der Waage In empfindlichen Waagen muß die Masse des Gestänges und der Abstand des Schwerpunktes von der Schneide möglichst klein, die Länge der Arme möglichst groß sein. Versuch 6 Die Empfindlichkeit der Waage wird an einer Waage mit variablem Abstand x S vom Schwerpunkt bis zum Drehpunkt gezeigt. 9 2.3 Dynamik des starren Körpers bei fester Drehachse Für die Translationsbewegung eines starren Körpers werden die Massen der einzelnen Massenpunkte einfach zur Gesamtmasse summiert. Die räumliche Verteilung der Massen geht nur in die Koordinaten des Schwerpunkts ein. Für Rotationsbewegungen starrer Körper führt man neben dem Vektor der Winkelgeschwindigkeit das Trägheitsmoment ein, um formale Ähnlichkeit zu den Bewegungsgrößen bei Translationen zu erhalten. 2.3.1 Die Winkelgeschwindigkeit Der Vektor der Winkelgeschwindigkeit steht senkrecht auf der Bahnebene, sein Betrag ist die skalare Winkelgeschwindigkeit. Die Winkelbeschleunigung ist die zeitliche Ableitung der Winkelgeschwindigkeit. Formel Einheit v r d v sin dt r r , v Definition Betrag Richtung 1 1 s v Vektor der Winkelgeschwindigkeit, senkrecht zur Bahnebene Bahngeschwindigkeit Vektor vom Beobachtungspunkt zur Bahn Winkelbeschleunigung r Anmerkung r v v r d v sin Abbildung 7 Vektor der Winkelgeschwindigkeit . d zeigt einen in der Zeit dt überstrichenen Winkel. Der weiß eingezeichnete Winkel ist 90°. 10 2.3.2 Das Trägheitsmoment Das Trägheitsmoment ist die Summe der mit dem Quadrat ihres Abstandes von der Drehachse gewichteten Massenpunkte: Einzelne Massenpunkte J mi ri Trägheitsmoment J Kontinuierliche Verteilung J 2 r 2 dm Körper i r dm Beispiel Achse Legende zur Abbildung Achse Körper aus 8 Massenpunkten: Hohlzylinder mit Achse, kleiGrün: Achse und die Abstän- nem „Massenpunkt“ mit Abde zu den Massenpunkten stand zur Achse Tabelle 8 Definition des Trägheitsmoments für diskrete und kontinuierliche Verteilung der Massen Das Trägheitsmoment ist immer auf eine Achse bezogen. Besonders wichtig und bezeichnend für einen Körper sind die Richtungen der Achsen seines größten und kleinsten Trägheitsmoments. Die folgende Tabelle enthält die Trägheitsmomente einiger rotationssymmetrischer Körper. Form Trägheitsmoment Rohr oder Kreisring, dünnwandig gegen den Radius J M R2 Scheibe oder Vollzylinder J 1 M R2 2 Kugel J 2 M R2 5 Lage der Achse Tabelle 9 Trägheitsmomente einiger Formen, der Radius ist R, die Masse M. Die Figuren zeigen die Achse, auf die sich das Trägheitsmoment bezieht. 11 2.3.2.1 Der Satz von Steiner Ist das Trägheitsmoment eines Körpers bezüglich einer Achse durch den Schwerpunkt bekannt und rotiert dieser aber um eine andere Achse, dann kann das Trägheitsmoment nach dem Satz von Steiner berechnet werden. Es ist gleich der Summe des Trägheitsmoments um die Schwerpunktsachse und des Trägheitsmoments eines Massenpunktes mit Gesamtmasse, der im Schwerpunkt liegt, bezüglich der neuen Achse. Formel Erläuterung s Drehachse J JS M s2 Achse durch den Schwerpunkt JS Trägheitsmoment bezüglich der Achse durch den Schwerpunkt M Masse des Körpers s Abstand des Schwerpunkts von der Drehachse Tabelle 10 Der Satz von Steiner 2.3.3 Bewegung des starren Körpers bei fester Drehachse Mit den Begriffen der Winkelgeschwindigkeit und des Trägheitsmoments kann die Drehbewegung eines starren Körpers um eine feste Achse in Analogie zur Translationsbewegung formuliert werden. Alle Massenpunkte bewegen sich auf Kreisbahnen, deshalb zeigen die Vektoren für die Winkelgeschwindigkeit, den Drehimpuls und das Drehmoment in Richtung der Drehachse. Formel L r p m r 2 L mi ri 2 J i dL T J dt Begriff Winkelgeschwindigkeit Winkelbeschleunigung Drehimpuls für einen Massenpunkt Drehimpuls für den ganzen Körper Drehmoment Tabelle 11 Winkelgeschwindigkeit, Drehimpuls und Drehmoment auf der Kreisbahn, alle Vek toren stehen senkrecht zur Bahnebene in Richtung r v . 12 Weil in einem abgeschlossenen System der Drehimpuls erhalten bleibt, bewirkt eine Änderung des Trägheitsmoments eine entsprechende Änderung der Winkelgeschwindigkeit. Versuch 7 Pirouette auf dem Drehschemel. Gewichte werden von innen nach außen verlagert, die Winkelgeschwindigkeit verändert sich entsprechend 2.3.3.1 Arbeit bei der Rotation um eine feste Achse Ein Drehmoment T drehe einen Körper um den kleinen Winkel d , indem eine Kraft F angreift. Am System wird dadurch Arbeit geleistet. Formel Erläuterung Änderung der Arbeit dW F ds F d r r F d T d Speziell, wenn eine konstante Kraft F immer tangential angreift: dW F r d T d Entspricht der potentiellen Energie W T Ein der kinetischen Energie entsprechend dW T d J d den Ausdruck erhält man, wenn man das dt Drehmoment mit der Beschleunigung d dW J d J d d dt ausdrückt dt 1 W J 2 2 Tabelle 12 Arbeit bei der Drehbewegung 2.3.3.2 Drehschwingungen Analog zum Federpendel kann mit einer Spiralfeder ein harmonisch schwingendes Pendel aufgebaut werden, wenn die Rückstellkraft proportional zum Auslenkungswinkel ist: Formel T k T J J k TPeriode 2 Begriff Rückstellendes Drehmoment Winkelbeschleunigung Bewegungsgleichung J k Periode der Schwingung Tabelle 13 Kräfte, Bewegungsgleichung und Periode bei Drehschwingungen T J Rotor mit Trägheitsmoment J T k Versuch 8 Drehschwingung 13 2.3.4 Rotationsbewegung um eine feste Achse im Vergleich mit der Translationsbewegung Die folgende Tabelle zeigt sich entsprechende Begriffen zur Beschreibung der Translationsund Rotationsbewegung um eine feste Achse. Translation Rotation Verknüpfung zwischen beiden d ds Wegstück Winkel ds d r v s Geschwindigkeit Winkelgeschwindigkeit v r a v s Beschleunigung a r m Träge Masse Winkelbeschleunigung J Trägheitsmoment J r dm 2 T J F ma Kraft L J p mv Impuls Arbeit Drehimpuls Lrp E Kin Kinetische Energie Drehmoment T rF 1 m v2 2 E Rot 1 J 2 2 1 1 2 2 mi vi mi ri 2 i 2 i dW T d dW F ds F d r r F d Rotationsenergie Arbeit Tabelle 14 Vergleich von Translations- und Rotationsbewegung bei vorgebener fester Drehachse 14 2.3.5 Abrollbewegung Bei Abrollbewegungen eines Körpers von einer schiefen Ebene wird die Rotations- mit einer Translationsbewegung kombiniert, die Rotationsachse liegt also nicht fest im Raum. Die potentielle Energie teilt sich in kinetische Energie der Translation und der Rotation: Formel E Pot m g h m 2 E Kin v SP 2 J E Rot 2 E Pot E Kin E Rot vSP R 2 m 2 J v Sp v Sp 2 2 R2 2 g h J 1 m R2 Anmerkung Potentielle Energie Kinetische Energie Rotations-Energie Energieerhaltung Winkel- und Bahngeschwindigkeit m g h 2 v Sp 2 v SP Tabelle 15 Versuch 9 Abrollen unterschiedlicher Gegenstände v SP Vollzylinder Hohlzylinder 4 g h 3 g h
