500 Rotation des starren Körpers 510 Drehungen und

500 Rotation des starren Körpers
510 Drehungen und Drehmomente
520 Rotationsenergie und
Drehimpuls
um was geht es?
Beschreibung von Bewegungen (primär
Drehungen) des starren Körpers
Analogie zu Kap. 200 und 300:
Kraft – Drehmoment
Impuls – Drehimpuls
Energie – Rotationsenergie
Mathematik: Drehachsen sind
Axialvektoren
Kreisel-Instrumente: DG, Attitude Indicator
511 Schwerpunkt
511 Ziele
• Schwerpunkt und
Geschwindigkeit des
Schwerpunktes für einfache
Körper berechnen können
511 Theorie
Konzept starrer Körper
2 Approaches:
- Punktmassen mit starren
Verbindungen
- nicht-elastisches, nichtplastisch deformierbares
Kontinuum
511 Theorie
v
rCG =
v
r
∫ ⋅ dm
∫ dm
v
∑ mi ri
≈
i
∑m
i
i
Schwerpunkt
511 Theorie
v
rCG =
v
r
∫ ⋅ dm
v
vCG =
∫ dm
v
∑ mi ri
≈
i
i
∑m
i
i
v
m
v
∑ ii
∑m
i
v
p
∑ i
=
i
i
mtot
Schwerpunkt
Geschwindigkeit des
Schwerpunktes (vgl. 231)
512 Drehmoment und
Axialvektoren
512 Ziele
• Drehungen,
Drehbewegungen vektoriell
beschreiben können
• Drehmomente definieren
und berechnen können
512 Theorie
v v v
M = r×F
Drehmoment M
512 Theorie
v v v
M = r×F
ds d
v=
= [rϕ ]
dt dt
dϕ
= r⋅
= r ⋅ω
dt
Drehmoment M
Winkelgeschwindigkeit ω
512 Theorie
v v v
M = r×F
ds d
v=
= [rϕ ]
dt dt
dϕ
= r⋅
= r ⋅ω
dt
v
M
v
ω =ω⋅
M
Drehmoment M
Winkelgeschwindigkeit ω
Vektor der
Winkelgeschwindigkeit
512 Theorie
axb
Intermezzo: Kreuz- bzw.
Vektorprodukte in der Physik
b
a
512 Theorie
Vektorprodukt als
Tensorprodukt
512 Theorie
v v
a × b = Tikl a k bl
Vektorprodukt als
Tensorprodukt:
Tikl = ?
 a y bz − b y a z 

v v 
a × b =  a z bx − bz a x 
a b − b a 
x y 
 x y
512 Theorie
Tikl = ?
T1kl a k bl =
Idee: Koeffizientenvergleich
= T111 a1b1 + T112 a1b2 + T113 a1b3 +
T121a 2 b1 + T122 a 2 b2 + T123 a 2 b3 +
T131a3b1 + T132 a3 b2 + T133 a3 b3
= a 2 b3 − b2 a3
512 Theorie
1 0 0


Aik =  0 − 1 0 
0 0 1


Transformationsverhalten
von
1  0  0
v v      
a × b =  0 × 1 =  0
 0  0 1
     
512 Theorie
1 0 0


Aik =  0 − 1 0 
0 0 1


Transformationsverhalten
von
1  0  0
v v      
a × b =  0 × 1 =  0
 0  0 1
     
1  0   0 
     
( Aik a k ) × ( Aik bk ) =  0  ×  − 1 =  0 
 0   0   − 1
     
512 Theorie
1 0 0


Aik =  0 − 1 0 
0 0 1


Transformationsverhalten
von
1  0  0
v v      
a × b =  0 × 1 =  0
 0  0 1
     
1  0   0 
     
( Aik a k ) × ( Aik bk ) =  0  ×  − 1 =  0 
 0   0   − 1
     
0
 
Aik (Tklm al bm ) =  0 
1
 
512 Theorie
1 0 0


Aik =  0 − 1 0 
0 0 1


Transformationsverhalten
von
1  0  0
v v      
a × b =  0 × 1 =  0
 0  0 1
     
512 Theorie
v v v
Drehmoment als Axialvektor
M = r ×F
v v
M = r × F = r ⋅ F ⋅ sin α
M
F
r
512 Theorie
v
v
M tot = ∑ M i
i
Prinzipien
Summe aller Drehmomente
512 Theorie
v
v
M tot = ∑ M i
i
v
∑ Fi = 0
i
∑M
i
i
=0
Prinzipien
Summe aller Drehmomente
Gleichgewichtsbedingungen
(statisch)
521 Rotationsenergie
521 Ziele
• Rotationsenergie
berechnen können
• Trägheitsmoment
definieren und zur
Berechnung der
Rotationsenergie
anwenden können
• Satz von Steiner anwenden
können
521 Theorie
Ekin
1 2
= mv
2
1 2 2
= mr ⋅ ω
2
kinetische Energie für
Rotation (Bewegung auf
exakter Kreisbahn)
521 Theorie
Ekin
1 2
= mv
2
1 2 2
= mr ⋅ ω
2
kinetische Energie für
Rotation (Bewegung auf
exakter Kreisbahn)
Für mehrere Massen mi
1
1
1
2
2
2
2
m1r1 ⋅ ω + m2 r2 ⋅ ω + m3 r32 ⋅ ω 2 + ...
2
2
2
521 Theorie
Ekin
1 2
= mv
2
1 2 2
= mr ⋅ ω
2
kinetische Energie für
Rotation (Bewegung auf
exakter Kreisbahn)
Für mehrere Massen mi
1
1
1
2
2
2
2
m1 r1 ⋅ ω + m2 r2 ⋅ ω + m3 r32 ⋅ ω 2 + ...
2
2
2
1
1 2
2
2
=  ∑ mi ri  ⋅ ω = θω
2 i
2

521 Theorie
Def. Trägheitsmoment
θ = ∫ r ⋅ dm
2
K
521 Theorie
θ s = ∑ mi ri 2
i
= ∑ mi ⋅ ( x + y )
2
i
i
2
i
Rotationsachse nicht durch
Schwerpunkt: Satz von
Steiner
521 Theorie
θ s = ∑ mi ri 2
i
= ∑ mi ⋅ ( x + y )
2
i
2
i
i
Rotationsachse nicht durch
Schwerpunkt: Satz von
Steiner
θ = ∑ mi ~
ri 2 = ∑ mi (( xi − ~
x ) 2 + ( yi − ~
y )2 )
i
i
521 Theorie
θ s = ∑ mi ri 2
i
= ∑ mi ⋅ ( x + y )
2
i
2
i
i
Rotationsachse nicht durch
Schwerpunkt: Satz von
Steiner
θ = ∑ mi ~
ri 2 = ∑ mi (( xi − ~
x ) 2 + ( yi − ~
y )2 )
i
i
= ∑ mi xi2 − ~
x 2 − ∑ mi ⋅ 2 xi ⋅ ~
x − ∑ mi ⋅ 2 yi ⋅ ~
y + ∑ mi yi2 − ~
y2
(
i
)
(
i
i
i
)
521 Theorie
θ s = ∑ mi ri 2
i
= ∑ mi ⋅ ( x + y )
2
i
2
i
i
Rotationsachse nicht durch
Schwerpunkt: Satz von
Steiner
ri 2 = ∑ mi (( xi − ~
x ) 2 + ( yi − ~
y)2 )
θ = ∑ mi ~
i
i
= ∑ mi xi2 − ~
x 2 − ∑ mi ⋅ 2 x i ⋅ ~
x − ∑ mi ⋅ 2 y i ⋅ ~
y + ∑ mi y i2 − ~
y2
(
)
i
(
i
i
)
i

 ~2 ~2
~
~
= ∑ mi x + y − 2 x ∑ mi ⋅ x i − 2 y ∑ mi ⋅ y i +  ∑ mi  ⋅ x + y
i
i
i
 i

(
2
i
2
i
)
(
)
521 Theorie
∑ m (x
i
2
i
+y
2
i
)=θ
i
s
Rotationsachse nicht durch
Schwerpunkt: Satz von
Steiner
ri 2 = ∑ mi (( xi − ~
x ) 2 + ( yi − ~
y)2 )
θ = ∑ mi ~
i
i
= ∑ mi xi2 − ~
x 2 − ∑ mi ⋅ 2 x i ⋅ ~
x − ∑ mi ⋅ 2 y i ⋅ ~
y + ∑ mi y i2 − ~
y2
(
)
i
(
i
i
)
i

 ~2 ~2
~
~
= ∑ mi x + y − 2 x ∑ mi ⋅ x i − 2 y ∑ mi ⋅ y i +  ∑ mi  ⋅ x + y
i
i
i
 i

(
2
i
2
i
)
(
)
2
2
m
x
+
y
∑ i i i = θs
(
)
521 Theorie
i
θ = ∑ mi ~
ri 2 = ∑ mi (( xi − ~
x ) 2 + ( yi − ~
y )2 )
i
i

 ~2 ~2
~
~
= ∑ mi x + y − 2 x ∑ mi ⋅ xi − 2 y ∑ mi ⋅ yi +  ∑ mi  ⋅ x + y
i
i
i
 i

=0 für Schwerp. bei (0,0)
(
2
i
2
i
)
(

 ~2 ~2
2
θ = θ s +  ∑ mi  ⋅ x + y = θ + ms
 i

(
)
)
521 Theorie
Anwendung: Physikalisches
Pendel
Periode T:
T ≈ 2π ⋅
θ s + ms 2
mgs
522 Drehimpuls
522 Ziele
• Zusammenhang zwischen
Drehmoment und
Drehimpuls verstehen (
Analogie zu Kraft und
Impuls)
• Drehimpuls berechnen
können
• Präzession eines Kreisels
erklären und die
Präzessionsfrequenz
berechnen können
522 Theorie
v v v
L=r×p
Drehimpuls L
522 Theorie
v v v
L=r×p
Drehimpuls L
Zeitl. Ableitung
v
dL d v v
= [r × p ]
dt dt
522 Theorie
v v v
L=r×p
Drehimpuls L
Zeitl. Ableitung
v
v
v
dL d v v v dr v dp
= [r × p ] = p × + r ×
dt dt
dt
dt
522 Theorie
v v v
L=r×p
Drehimpuls L
Zeitl. Ableitung
v
v
v
dL d v v v dr v dp
= [r × p ] = p × + r ×
dt dt
dt
dt
v v v v
= p×v + r × F
522 Theorie
v v v
L=r×p
Drehimpuls L
Zeitl. Ableitung Drehmoment
M
v
v
v
dL d v v
v dr v dp
= [r × p ] = p ×
+r×
dt dt
dt
dt
v v v v
= p×v + r × F
v v
=r×F
=0, da p und v in die
gleiche Richtung schauen
522 Theorie
Drehimpuls L
Zeitl. Ableitung Drehmoment
M
v v v
L=r×p
v
v
dL
=M
dt
522 Theorie
v v v
L=r×p
L = r ⋅ p ⋅ sin ϑ
Drehimpuls L, Betrag L und
Trägheitsmoment
522 Theorie
v v v
L=r×p
L = r ⋅ p ⋅ sin ϑ
L = r ⋅ p = r ⋅ mv
Drehimpuls L, Betrag L und
Trägheitsmoment
522 Theorie
v v v
L=r×p
Drehimpuls L, Betrag L und
Trägheitsmoment
L = r ⋅ p ⋅ sin ϑ
L = r ⋅ p = r ⋅ mv = r ⋅ m ⋅ rω = mr 2ω
522 Theorie
v v v
L=r×p
Drehimpuls L, Betrag L und
Trägheitsmoment
L = r ⋅ p ⋅ sin ϑ
L = r ⋅ p = r ⋅ mv = r ⋅ m ⋅ rω = mr 2ω

2
L =  ∑ mi ⋅ ri  ⋅ ω = θω
 i

522 Theorie
Zusammenhang von
Drehimpuls und
Rotationsenergie ist in Analogie
zu Impuls und kinetischer
Energie
2
E rot
L
=
2θ
2
Ekin
p
=
2m
522 Theorie
kräftefrei gelagerter
symmetrischer Kreisel
keine
Drehmomenteinwirkung, auch
nicht durch Reibung
v
v dL
M =
=0
dt
522 Theorie
Ω
nicht kräftefrei gelagerter
Kreisel
Präzession
v
v dL v v
M=
= r × FG ≠ 0
dt
r
FG
522 Theorie
Ω
nicht kräftefrei gelagerter
Kreisel
Präzession
v
v dL v v
M=
= r × FG ≠ 0
dt
r ⋅ FG ⋅ sin ϑ = rmg ⋅ sin ϑ
r
FG
= ΩL ⋅ sin ϑ
522 Theorie
Ω
nicht kräftefrei gelagerter
Kreisel
Präzession
v
v dL v v
M=
= r × FG ≠ 0
dt
r ⋅ FG ⋅ sin ϑ = rmg ⋅ sin ϑ
r
FG
= ΩL ⋅ sin ϑ
v
v v
dL
= Ω× L
dt
522 Theorie
Ω
Präzessionsfrequenz
r ⋅ FG ⋅ sin ϑ = rmg ⋅ sin ϑ
= ΩL ⋅ sin ϑ
r
FG
rmg
Ω=
L
523 Trägheitsmomententensor
523 Ziele
• Drehimpuls und
Rotationsenergie für
einfache Körper, aber
allgemeiner Lage der
Drehachse (durch
Schwerpunkt) berechnen
können
• Tensoreigenschaft des
Trägheitsmoments erklären
können
523 Theorie
Trägheitsmomenten-Tensor

2
2
m
(
y
+
z
∑ i i
i )
 i
θik =  − ∑ mi xi yi

i
 − ∑ mi xi zi

i


− ∑ mi xi yi
− ∑ mi xi zi 
i
i

2
2
m
(
x
+
z
∑i i i i ) − ∑i mi yi zi 
2
2 
− ∑ mi yi zi
m
(
x
+
y
∑
i
i
i )
i
i

523 Theorie
Trägheitsmomenten-Tensor:
Hauptachsenform

2
2
m
(
y
+
z
∑ i i
i )
 i
θik = 
0


0



0
0


2
2

m
(
x
+
z
0
∑i i i i )

2
2 
0
m
(
x
+
y
∑i i i i ) 
523 Theorie
ωz
Bsp. Zylinder
ωx
ωy
  r 2 h2 
 m + 
0


  4 12 

 r 2 h2 
θ ik = 
0
m + 

 4 12 

0
0




0 


0 

1 2
mr 

2

523 Theorie
Erot
1
= ωiθ ik ωk
2
Berechnung von Energie und
Drehimpuls
E rot = E rot , x + E rot , y + E rot , z
(für Hauptachsenform)
Li = θ ik ωk