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Drehmoment Drehmomentschlüssel r=0,4m F=50N r=0,2m F=100N Achtung: M darf nicht mit der Arbeit verwechselt werden Dimension: [Nm] Beim Drehmoment wirkt nur die Kraftkomponente senkrecht zum Hebelarm Drehmoment Die Drehwirkung hängt nicht nur vom Betrag der Kraft F ab, sondern auch von ihrer Richtung. FDreh F sin Die Drehwirkung ist zusätzlich abhängig von der Länge des Hebelarms r. M FDreh r F r sin M F r M F r sin 1800 1800 sin 1800 sin sin (Vektorprodukt) Drehmoment Definition: Positives Drehmoment = Drehung im Uhrzeigersinn M Ges M 2 M 3 M1 M Ges F2 r2 sin 2 F3 r3 sin 3 F1 r1 sin 1 M Ges 35 N 0,5m sin 1350 40 N 1,2m sin 300 30 N 1m sin 1150 M Ges 12,37 Nm 24 Nm 27,19 Nm 9,18Nm Beschleunigte Drehbewegung Anwendungsbeispiel: Wenn man am losen Ende eines Kabels zieht, das auf einer Rolle aufgewickelt ist, dann bewegt sich die Rolle meistens zur Person hin. Bei einer anderen Zugrichtung kann sich die Kabelrolle aber auch wegbewegen. Beschleunigte Drehbewegung Zusammenhang zwischen Drehmoment und Winkelgeschwindigkeit Ein Drehteller beginnt aufgrund einer Kraftwirkung zu rotieren und beschleunigt mit der Zeit immer mehr M const M Trägheitsmoment: mr2 Trägheitsmoment Zwei Zylinder haben die gleiche Masse, trotzdem beschleunigt der Hohlzylinder langsamer. Der Hohlzylinder speichert bei gleicher Drehgeschindigkeit mehr Rotationsenergie als der Vollzylinder. Bei gleicher Abnahme der potenzieller Energie bleibt für die lineare kinetische Energie ein geringerer Anteil Trägheitsmoment Winkelbeschleunigung: t Abhängigkeit der Winkelbeschleunigung von der wirkenden Kraft: const M const F r const m a r v v r t a r Für Kreisbewegung gilt: a t 1 const m r const mr2 2 Trägheitsmoment: Drehmoment: mr2 M Trägheitsmoment Während die Masse m eines Körpers eine unveränderliche Größe darstellt, ist dies für das Trägheitsmoment des Körpers nicht der Fall, denn dieses hängt von der Form des Körpers und der Wahl der Drehachse ab. Im Fall der Vollscheibe werden viele einzelne Massenstückchen mn definiert und die dazugehörigen Abstände rn bestimmt, um die einzelnen Trägheitsmomente mnrn2 aufzusummieren. r 2 dm Trägheitsmoment eines Zylinders r 2 dm Vollzylinder: dm 2 r h dr Dichte R 2 h r 3dr 0 R4 1 2 h m R2 4 2 Hohlzylinder: 2 h R 3 r dr R R 4 R 4 2 h 4 4 R 4 R 4 4 R3 m R 2 2 h 4 4 4 Trägheitsmoment einer Kugel Die Kugel wird in eine Reihe von dünnen Scheiben zerlegt 1 2 1 d y dm y 4 dx 2 2 x y 2 R2 x2 1 2 2 2 d R x dx 2 R 2 R 1 1 2 2 R x dx R 4 2 R 2 x 2 x 4 dx 2 2 R R 2 4 2 3 2 R R m R2 5 3 5 Rotationsenergie Spielzeug Jojo: Im oberen Umkehrpunkt liegt nur potentielle Energie vor. Diese wandelt sich in Rotationsenergie um. Beim Riesen-Jojo kann die kinetische Energie vernachlässigt werden. Rotationsenergie Für einen Hohlzylinder kann man annehmen, daß sich alle Massenteilchen mit der gleichen Geschwindigkeit im Kreis herum bewegen. Wegen v r Ekin 1 m v2 2 Ekin 1 1 2 2 m r m r 2 2 2 2 gilt Die kinetische Energie der Rotationsbewegung ist: ERot 1 2 2 Arbeit bei Rotationsbewegungen Durch die Kraft F wird die Scheibe für eine bestimmte Zeit t beschleunigt. Nach der Zeit t besitzt die Scheibe die Rotationsenergie WRot 1 2 2 Diese Energie muß gleich sein der Arbeit, die die Kraft F entlang des in der Zeit t zurückgelegten Weges s verrichtet hat. Diese Arbeit beträgt W Fs s r W Fs s Fs r Ist der gedrehte Kreisbogen. Es gilt auch WRot M ( in Bogenmaß) Leistung und Drehmoment WRot M PRot W M t Spielzeug-Jojo: Rotationsgeschwindigkeit im unteren Umkehrpunkt? Leistung bei Rotationsbewegungen Unter der Leistung P versteht man die pro Zeiteinheit verrichtete Arbeit. W P t Für den Fall der Rotationsarbeit Wrot erhält man die Leistung: PRot Der Ausdruck WRot M M t t t / t ist die Winkelgeschwindigkeit PRot M Getriebe als Drehmomentwandler Für verlustfreien Antrieb sind die Bahngeschwindigkeiten am Umfang der beiden Räder gleich v1 v2 r1 1 r2 2 Damit verhalten sich die Winkelgeschwindigkeiten umgekehrt wie die Radien 1 r2 2 r1 Für verlustfreien Antrieb muß auch die vom Rad-2 abgegebene Leistung P2 gleich der vom Rad-1 aufgenommenen Leistung P1 sein. P1 P2 M1 1 M 2 2 M 2 1 r2 r2 M 2 M1 M 1 2 r1 r1 Das Ausgangsdrehmoment läßt sich über das Verhältnis r2/r1 aus dem Eingangsdrehmoment bestimmen. Drehimpuls Definition des Drehimpulses: L Der Drehimpulsvektor L steht senkrecht zum Radiusvektor r und Impulsvektor . p Beim Blick in Richtung von L bewegt sich ein Massenpunkt im Uhrzeigersinn. Ein Drehmoment M bewirkt eine zeitliche Änderung des Drehimpulses L L M t Fragen zum Drehmoment 1. In welcher Richtung und mit welchem Gesamtdrehmoment würde sich ein Körper drehen, wenn folgende Werte zugrunde liegen: F1 65N , r1 1,20m, 1 900 F2 65N , r2 0,75m, 2 300 F3 65 N , r3 0,75m, 3 900 2. 3. Ein Vollzylinder mit dem Radius r=10cm und der Masse m=30kg wird über einen Faden, der um den Zylinder gewickelt ist und an dem eine Kraft von F=20N wirkt, in Drehung versetzt. Wie groß ist die Winkelbeschleunigung des Zylinders, die Winkelgeschwindigkeit des Zylinders, wenn die Kraft für eine Zeit t=10s wirkt? Ein starrer Körper wird von einem Motor mit einer Endleistung von 2,0kW in einer Zeit von 5s auf eine Winkelgeschwindigkeit von 1000s-1 gebracht. Wie groß ist das Trägheitsmoment des Körpers?
