2.8.3 Schwerpunkt

2 Mechanik
2.8.3 Schwerpunkt
Bei einem starren Körper greift die Schwerkraft an allen N Massenelementen an. Anstelle der
N Kräfte kann man eine resultierende Kraft betrachten, die am Schwerpunkt (Massenmittelpunkt) angreift. Dort ist das Drehmoment Null.
Beispiel
m1
m2
ℓ1
ℓ2
S
Abbildung 2.32: Bestimmung des Schwerpunkts.
Im Schwerpunkt S sind die Drehmomente entgegengesetzt gleich.
⇒ m1 gl1 = m2 gl2
⇔ m1 l1 = m2 l2
(2.229)
(2.230)
~r1 und ~r2 sind die Koordinaten von m1 und m2 . ~rS ist die Koordinate des Schwerpunktes.
⇒ m1 (~rS − ~r1 ) = m2 (~r2 − ~rS )
m1~r1 + m2~r2
⇔ ~rS =
m1 + m2
(2.231)
(2.232)
allgemein gilt für N Massepunkte:
für homogene Massendichte ρ:
P
mi~ri
~rS = P
mi
lim
∆V →0
Z
m
~ i~ri = ρ∆Vi~ri −−−→ ρ ~rdV
Z
lim
∆V →0
m
~ i = ρ∆Vi −−−→ ρ dV = mGesamtmasse
Z
ZZZ
1
1
~rdV =
~r(x, y, z)dxdydz
⇒ ~rS =
V
V
50
(2.233)
(2.234)
(2.235)
(2.236)
2.8 Mechanik des starren Körpers
c
b
0
a
Abbildung 2.33: Kantenlängen des Quaders.
Beispiele:
Kubus mit den Kantenlängen a, b, c:
V = abc
1
~rS =
abc
(2.237)
Z aZ bZ
0
0 0

c

x
 y  dxdydz
z

1 2
x yz
1  21 2 
xy z
~rS =
abc 21
xyz 2
2

a
1
⇔ ~rS =  b 
2
c


(2.238)
(2.239)
0−a
0−b
0−c
Mittelpunkt des Kubus.
(2.240)
Halbkugel: Kugelkoordinaten:
z
y
r
q
j
x
Abbildung 2.34: Definition der Kugelkoordinaten.
x = r sin Θ cos ϕ
y = r sin Θ sin ϕ
z = r cos Θ
dxdydz = r2 sin Θ drdΘdϕ
(2.241)
(2.242)
(2.243)
(2.244)
(2.245)
51
2 Mechanik
V =
Z RZ
0
= 2π
0
π/2Z 2π
Z RZ
= 2π
(2.246)
r2 sin ΘdrdΘ
(2.247)
0
π/2
0
0
Z
r2 sin ΘdrdΘdϕ
R
r2 dr
(2.248)
0
=
2π 3
R
3
=
=
=

r sin Θ cos ϕ
 r sin Θ sin ϕ  r2 sin ΘdrdΘdϕ
0
0 0
r cos Θ


Z RZ π/2
0
3
 drdΘ
0
2πr3 
3
2πR 0 0
cos Θ sin Θ


Z π/2
0
3 1 4
 dΘ

0
R
R3 4
0
cos Θ sin Θ


0
3 

0
R
4
π/2
2
1
sin Θ|0
 2 
0
3  
R 0
8
1
3
~rS =
2πR3
=
(2.249)

Z RZ
π/2Z 2π
(2.250)
(2.251)
(2.252)
(2.253)
(2.254)
Potentielle Energie:
Epot = mgzS ;
zS : Höhe des Schwerpunktes
(2.255)
⇒ verschiedene Arten des Gleichgewichts durch räumliche Änderung der potentiellen Energie
gegeben.
52
2.8 Mechanik des starren Körpers
Gleichgewicht
Verlauf der potentiellen
Energie in Richtung
einer Koordinate x
x0 Ort der
Gleichgewichtslage
Reaktion auf eine
Verrückung aus der
Gleichgewichtslage x0
Schwerpunktslage S
bei Verrückung aus der
Gleichgewichtslage x0
stabil
labil
indifferent
Epot
Epot
x0
Epot
x0
x
x
x0
x
Körper kehrt zurück
Körper bleibt liegen
Körper entfernt sich
S wird angehoben
S bleibt in gleicher Höhe
S senkt sich
Abbildung 2.35: Gleichgewichtslagen
Kinetische Energie:
Translationsenergie des Schwerpunktes + Rotationsenergie um den Schwerpunkt
Ekin
N
1 2 1 X
= m~vS +
mi ri2 ω
~2
2
2 i=1
| {z }
(2.256)
J: Massenträgheitsmoment
⇔ Ekin
1
1
= m~vS2 + J~ω 2
2
2
(2.257)
2.8.4 Trägheitsmoment
Genau wie die träge Masse der Widerstand eines Körpers gegen eine Änderung der Translationsbewegung ist, ist das Trägheitsmoment der Widerstand eines Körpers gegen eine Änderung
der Rotationsbewegung.
Definition:
J=
N
X
i=1
mi ri2
=
Z
2
r dm =
Z
ρr2 dV
(2.258)
53
2 Mechanik
Beispiele:
Drehachse
c
2
c
2 a
2
b
2
b
a 2
2
Abbildung 2.36: Rotation eines Quaders.
Kubus mit homogener Massendichte:
J =ρ
Z
r2 dV
(2.259)

x
~r ist der Abstand zur Drehachse: ⇒ ~r =  y  ⇒ r2 = x2 + y 2
0

⇒J =ρ
Z
⇔ J = ρc
⇔J
⇔J
⇔J
⇔J
54
a/2
−a/2
Z
Z
a/2
−a/2
Z
a/2
b/2
−b/2
Z
Z
b/2
−b/2
c/2
−c/2
x2 + y 2 dxdydz
x2 + y 2 dxdy
1 b3
x b+
= ρc
34
−a/2
3
3
1b
1a
b+
a
= ρc
3 4
34
ρabc 2
=
a + b2
12
m 2
a + b2
=
12
2
dx
(2.260)
(2.261)
(2.262)
(2.263)
(2.264)
(2.265)
2.8 Mechanik des starren Körpers
Halbkugel mit homogener Massendichte:
Kugelkoordinaten, Abstand zur Achse: r sin Θ
Drehachse
Abbildung 2.37: Rotation einer Halbkugel.
⇒J =ρ
⇔J =ρ
ZZZ
r2 dV
Z RZ π/2Z 2π
0
⇔ J = 2πρ
0
0
Z RZ π/2
0
2
⇔ J = πρR5
5
⇔J =
(2.266)
r2 sin2 Θr2 sin ΘdrdΘdϕ
(2.267)
r4 sin3 ΘdrdΘ
(2.268)
sin3 ΘdΘ
{z
}
(2.269)
0
Z
|
4
πρR5
15
0
π/2
= 23
(2.270)
mit V = 32 πR3 und m = ρV folgt:
2
⇔ J = mR2
5
(2.271)
(2.272)
Das Trägheitsmoment einer Halbkugel ist gleich dem der Vollkugel!
Rotation um Achse, die nicht durch den Schwerpunkt geht:
⇒ Satz von Steiner
JA = JS + ms2
(2.273)
JS : Trägheitsmoment bei Rotation um eine Achse durch den Schwerpunkt
JA : Trägheitsmoment bei Rotation um eine beliebige Achse A
s: Abstand beider paralleler Drehachsen.
55