500 Rotation des starren Körpers 510 Drehungen und
Werbung
500 Rotation des starren Körpers 510 Drehungen und Drehmomente 520 Rotationsenergie und Drehimpuls um was geht es? Beschreibung von Bewegungen (primär Drehungen) des starren Körpers Analogie zu Kap. 200 und 300: Kraft – Drehmoment Impuls – Drehimpuls Energie – Rotationsenergie Mathematik: Drehachsen sind Axialvektoren Kreisel-Instrumente: DG, Attitude Indicator 511 Schwerpunkt 511 Ziele • Schwerpunkt und Geschwindigkeit des Schwerpunktes für einfache Körper berechnen können 511 Theorie Konzept starrer Körper 2 Approaches: - Punktmassen mit starren Verbindungen - nicht-elastisches, nichtplastisch deformierbares Kontinuum 511 Theorie rCG r dm dm mi ri i m i i Schwerpunkt 511 Theorie rCG r dm vCG dm i i i m i i m v ii m mi ri i p i i mtot Schwerpunkt Geschwindigkeit des Schwerpunktes (vgl. 231) 512 Drehmoment und Axialvektoren 512 Ziele • Drehungen, Drehbewegungen vektoriell beschreiben können • Drehmomente definieren und berechnen können 512 Theorie M rF Drehmoment M 512 Theorie M rF Drehmoment M ds d r v dt dt d r r dt Winkelgeschwindigkeit 512 Theorie M rF Drehmoment M ds d r v dt dt d r r dt M M Winkelgeschwindigkeit Vektor der Winkelgeschwindigkeit 512 Theorie axb Intermezzo: Kreuz- bzw. Vektorprodukte in der Physik b a 512 Theorie Vektorprodukt als Tensorprodukt 512 Theorie a b Tikl a k bl Vektorprodukt als Tensorprodukt: Tikl = ? a y bz b y a z a b a z bx bz a x a b b a x y x y 512 Theorie Tikl = ? T1kl a k bl Idee: Koeffizientenvergleich T111 a1b1 T112 a1b2 T113 a1b3 T121 a 2 b1 T122 a 2 b2 T123 a 2 b3 T131 a3b1 T132 a3 b2 T133 a3 b3 a 2 b3 b2 a3 512 Theorie 1 0 0 Aik 0 1 0 0 0 1 Transformationsverhalten von 1 0 0 a b 0 1 0 0 0 1 512 Theorie 1 0 0 Aik 0 1 0 0 0 1 Transformationsverhalten von 1 0 0 a b 0 1 0 0 0 1 1 0 0 ( Aik a k ) ( Aik bk ) 0 1 0 0 0 1 512 Theorie 1 0 0 Aik 0 1 0 0 0 1 Transformationsverhalten von 1 0 0 a b 0 1 0 0 0 1 1 0 0 ( Aik a k ) ( Aik bk ) 0 1 0 0 0 1 0 Aik (Tklm al bm ) 0 1 512 Theorie 1 0 0 Aik 0 1 0 0 0 1 Transformationsverhalten von 1 0 0 a b 0 1 0 0 0 1 512 Theorie Drehmoment als Axialvektor M r F M r F r F sin M F r 512 Theorie M tot M i i Prinzipien Summe aller Drehmomente 512 Theorie M tot M i i Fi 0 i M i i 0 Prinzipien Summe aller Drehmomente Gleichgewichtsbedingungen (statisch) 521 Rotationsenergie 521 Ziele • Rotationsenergie berechnen können • Trägheitsmoment definieren und zur Berechnung der Rotationsenergie anwenden können • Satz von Steiner anwenden können 521 Theorie Ekin 1 2 mv 2 1 2 2 mr 2 kinetische Energie für Rotation (Bewegung auf exakter Kreisbahn) 521 Theorie Ekin 1 2 mv 2 1 2 2 mr 2 kinetische Energie für Rotation (Bewegung auf exakter Kreisbahn) Für mehrere Massen mi 1 1 1 2 2 2 2 m1r1 m2 r2 m3 r32 2 ... 2 2 2 521 Theorie Ekin 1 2 mv 2 1 2 2 mr 2 kinetische Energie für Rotation (Bewegung auf exakter Kreisbahn) Für mehrere Massen mi 1 1 1 2 2 2 2 m1 r1 m2 r2 m3 r32 2 ... 2 2 2 1 1 2 2 2 mi ri 2 i 2 521 Theorie Def. Trägheitsmoment r dm 2 K s mi ri 2 521 Theorie i mi ( x y ) 2 i i 2 i Rotationsachse nicht durch Schwerpunkt: Satz von Steiner s mi ri 2 521 Theorie i mi ( x y ) 2 i 2 i i Rotationsachse nicht durch Schwerpunkt: Satz von Steiner mi ~ ri 2 mi ( xi ~ x ) 2 ( yi ~ y )2 i i s mi ri 2 521 Theorie i mi ( x y ) 2 i 2 i i Rotationsachse nicht durch Schwerpunkt: Satz von Steiner mi ri 2 mi ( xi x ) 2 ( yi y ) 2 i i mi xi2 x 2 mi 2 xi x mi 2 yi y mi yi2 y 2 i i i i s mi ri 2 521 Theorie i Rotationsachse nicht durch Schwerpunkt: Satz von Steiner mi ( x y ) 2 i 2 i i mi ri 2 mi ( xi x ) 2 ( yi y )2 i i mi xi2 x 2 mi 2 xi x mi 2 yi y mi yi2 y 2 i i i i 2 mi x y 2 x mi xi 2 y mi yi mi x y 2 i i i i 2 i 2 i m x i 2 i y 2 i 521 Theorie s i Rotationsachse nicht durch Schwerpunkt: Satz von Steiner mi ri 2 mi ( xi x ) 2 ( yi y )2 i i mi xi2 x 2 mi 2 xi x mi 2 yi y mi yi2 y 2 i i i i 2 mi x y 2 x mi xi 2 y mi yi mi x y 2 i i i i 2 i 2 i 2 2 m x y i i i s 521 Theorie i ri 2 mi ( xi ~ x ) 2 ( yi ~ y )2 mi ~ i i ~2 ~2 ~ ~ mi x y 2 x mi xi 2 y mi yi mi x y i i i i =0 für Schwerp. bei (0,0) 2 i 2 i 2 2 2 s mi x y s ms i 521 Theorie Anwendung: Physikalisches Pendel Periode T: T 2 s ms 2 mgs 522 Drehimpuls 522 Ziele • Zusammenhang zwischen Drehmoment und Drehimpuls verstehen ( Analogie zu Kraft und Impuls) • Drehimpuls berechnen können • Präzession eines Kreisels erklären und die Präzessionsfrequenz berechnen können 522 Theorie Lrp Drehimpuls L 522 Theorie Lrp Drehimpuls L Zeitl. Ableitung dL d r p dt dt 522 Theorie Lrp Drehimpuls L Zeitl. Ableitung dL d dr dp r p p r dt dt dt dt 522 Theorie Lrp Drehimpuls L Zeitl. Ableitung dL d dr dp r p p r dt dt dt dt pv r F 522 Theorie Lrp Drehimpuls L Zeitl. Ableitung Drehmoment M dL d dr dp r p p r dt dt dt dt pv r F rF =0, da p und v in die gleiche Richtung schauen 522 Theorie Drehimpuls L Zeitl. Ableitung Drehmoment M Lrp dL M dt 522 Theorie Lrp L r p sin Drehimpuls L, Betrag L und Trägheitsmoment 522 Theorie Lrp L r p sin L r p r mv Drehimpuls L, Betrag L und Trägheitsmoment 522 Theorie Lrp Drehimpuls L, Betrag L und Trägheitsmoment L r p sin L r p r mv r m r mr 2 522 Theorie Lrp Drehimpuls L, Betrag L und Trägheitsmoment L r p sin L r p r mv r m r mr 2 2 L mi ri i 522 Theorie Zusammenhang von Drehimpuls und Rotationsenergie ist in Analogie zu Impuls und kinetischer Energie 2 E rot L 2 2 Ekin p 2m 522 Theorie kräftefrei gelagerter symmetrischer Kreisel keine Drehmomenteinwirkung, auch nicht durch Reibung dL M 0 dt 522 Theorie nicht kräftefrei gelagerter Kreisel Präzession dL M r FG 0 dt r FG 522 Theorie nicht kräftefrei gelagerter Kreisel Präzession dL M r FG 0 dt r FG sin rmg sin r FG L sin 522 Theorie nicht kräftefrei gelagerter Kreisel Präzession dL M r FG 0 dt r FG sin rmg sin r FG L sin dL L dt 522 Theorie Präzessionsfrequenz r FG sin rmg sin L sin r FG rmg L 523 Trägheitsmomententensor 523 Ziele • Drehimpuls und Rotationsenergie für einfache Körper, aber allgemeiner Lage der Drehachse (durch Schwerpunkt) berechnen können • Tensoreigenschaft des Trägheitsmoments erklären können 523 Theorie Trägheitsmomenten-Tensor 2 2 m y z ( i i i ) i ik mi xi yi i mi xi zi i mi xi yi mi xi zi i i 2 2 m x z ( i i i i ) i mi yi zi 2 2 mi yi zi m x y ( i i i ) i i 523 Theorie Trägheitsmomenten-Tensor: Hauptachsenform 2 2 m y z ( i i i ) i 0 ik 0 0 0 2 2 m ( x z 0 i i i i ) 2 2 0 m ( x y i i i i ) 523 Theorie z Bsp. Zylinder x y r 2 h2 m 0 4 12 r 2 h2 ik 0 m 4 12 0 0 0 0 1 2 mr 2 523 Theorie Erot 1 i ik k 2 Berechnung von Energie und Drehimpuls E rot E rot , x E rot , y E rot , z (für Hauptachsenform) Li ik k dL d ik k M k dt dt ik ik (t ) 523 Theorie Euler-Gleichungen dL d ik k M k dt dt Euler-Gleichungen ik ik (t ) 523 Theorie R L R T dL d ik k M k dt dt 523 Theorie Euler-Gleichungen ik ik (t ) R L R T T d / dt RR R L R R L R R L R T T T dL d ik k M k dt dt 523 Theorie Euler-Gleichungen ik ik (t ) R L R T T d / dt RR R L R R L R R L R T RR I T T T T RRT RR T R L RT RR dL d ik k M k dt dt 523 Theorie Euler-Gleichungen ik ik (t ) R L R T T d / dt RR R L R R L R R L R T T T T RRT RR T R L RT RR RR I T d / dt RR RR RR T T T 523 Theorie Euler-Gleichungen d / dt RR RR RR T … T T d L M L L ( L L ) L dt
