thermodynamik12_zsf_v1.3

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Zustandsgrössen
Druck p
Volumen V
Stoffmenge n
Innere Energie U (T, (Epot))
Entropie S (T,p)
Prozessgrössen
- Wärme Q
THERMODYNAMIK 1&2
-
Thermische
Patrik Rohner, 24. Juni 2009 (rev. 15. Juli 2010)
[email protected]
Kalorische
THERMODYNAMIK 1
--
KONZEPTE UND DEFINITIONEN
1
๐‘๐ด = 6.022 โˆ™ 1026
- Bolzmannkonstante
๐‘˜๐ต = 1.38 โˆ™ 10−23
- Gaskonstante
- Normdruck
- Normalfallbeschleunigung
- Normtemperatur
- Tripelpunkt Wasser
๐‘…ฬ… = ๐‘…0 = 8.314
= ๐‘๐ด โˆ™ ๐‘˜๐ต
๐‘˜๐‘š๐‘œ๐‘™ ๐พ
๐‘0 = 101325 ๐‘ƒ๐‘Ž = 1.01325 ๐‘๐‘Ž๐‘Ÿ
๐‘”0 = 9.81 ๐‘š๐‘  −2
๐‘‡0 = 298 ๐พ ≅ 25°๐ถ
๐‘‡๐‘ = 273.16 ๐พ = 0.01°๐ถ
๐‘˜๐‘š๐‘œ๐‘™
๐ฝ
๐พ
๐‘˜๐ฝ
๐‘˜๐‘”
- Molmasse
๐‘€: [
- Druck
๐‘: [ 2 ] = [๐‘ƒ๐‘Ž]
๐‘˜๐‘š๐‘œ๐‘™
๐‘
๐‘š
๐‘‰
๐‘=
๐‘š3
1
[
๐‘€
1๐‘™ = 0.001๐‘š3
๐‘ฃ=
- Innere Energie
๐‘ˆ: [๐‘˜๐ฝ] , ๐‘ข: [ ] , ๐‘ขฬ…: [
- Enthalpie
๐ป: [๐‘˜๐ฝ] , โ„Ž: [ ] , โ„Žฬ…: [
๐œŒ
๐‘†: [ ] , ๐‘ : [
- Entropie
๐พ
๐ฝ
๐‘…: [
]=
- Kraft
๐น: [๐‘] = [
- Energie
๐ธ: [๐ฝ] = [
- Exergie
๐ธ๐‘ฅ: [๐ฝ] = [
๐‘€
๐‘˜๐‘” ๐‘š
๐‘ 2
๐‘˜๐‘” ๐‘š2
๐‘˜๐‘š๐‘œ๐‘™
๐‘˜๐ฝ
๐‘˜๐‘”
๐‘˜๐ฝ
๐‘˜๐‘š๐‘œ๐‘™
๐‘˜๐ฝ
๐‘ 2
] , ๐‘ ฬ… : [
, ๐‘…: [
]
]
]
๐‘˜๐‘š๐‘œ๐‘™๐พ
๐‘˜๐ฝ
๐‘…ฬ…
๐‘˜๐‘”๐พ
]=
๐‘€
]
- Arbeit
1
๐พ๐ธ = ๐‘š๐‘ค
2
๐‘ƒ๐ธ = ๐‘š๐‘”๐‘ง
- Kinetische Energie
- Potentielle Energie
2
๐‘ธ>0
๐‘ธ<0
Dem System zugeführte Wärme
Vom System abgegebene Wärme
๐‘=
๐‘˜
โ„Ž
๐‘‘
๐‘
KiloHektoDeziZenti-
103
102
10−1
10−2
๐‘˜๐‘š๐‘œ๐‘™
]
Ideales Gas
Realgas
๐‘ˆ = ๐ธ๐‘กโ„Ž + ๐ธ๐‘š,๐‘๐‘œ๐‘ก
๐‘ˆ = ๐ธ๐‘กโ„Ž
๐‘
๐ธ๐‘กโ„Ž = ∑
๐‘–=1
๐‘š
โˆ™๐‘
๐‘€ ๐ด
๐‘‡=
1 ๐ธ๐‘กโ„Ž
3 ๐‘
๐‘›=
๐‘š
1
โˆ™๐‘ โˆ™
๐‘€ ๐ด ๐‘‰
๐‘š๐‘€
โˆ™ ๐‘ค๐‘–2
2
๐‘‡=
๐’– = ๐‘น๐‘ป
Einatomig:
Zweiatomig:
Dreiatomig:
Dreiatomig:
f=3
f=5
f=5
f=12
๐œŒ=
๐‘š
๐‘‰
๐‘ฃ=
๐‘‰
๐‘š
ฬ…ฬ…ฬ…ฬ…
๐’Ž๐‘ด
๐‘ฌ๐’•๐’‰ ๐’Ž๐‘ด ฬ…ฬ…ฬ…ฬ…๐Ÿ
๐‘ฌ๐’•๐’‰
๐’˜๐Ÿ๐’Š
= ∑
โˆ™ ๐’˜๐Ÿ๐’Š , ฬ…ฬ…ฬ…ฬ…ฬ…
๐‘ฌ๐’•๐’‰ =
=
โˆ™ ๐’˜๐’Š , ๐’†๐’•๐’‰ =
=
๐Ÿ
๐‘ต
๐Ÿ
๐‘ต
โˆ™
๐’Ž
๐Ÿ
๐’Š=๐Ÿ
๐‘ด
๐‘ต
๐‘ฌ๐’•๐’‰
๐‘š
๐œ‡
๐‘›
๐‘
MilliMikroNanoPico-
10−3
10−6
10−9
10−12
๏‚ท Wärme Q Über Systemgrenze transportierte thermische Energie.
๏‚ท Abs. Temperatur Die Temperatur ist gleich der thermischen Energie
dividiert durch die Anz. Freiheitsgrade.
๐‘ฌ๐’•๐’‰
๐’‡
๐’‡
๐Ÿ
๐Ÿ
= ๐‘ต โˆ™ ๐’Œ๐’ƒ โˆ™ ๐‘ป , ฬ…ฬ…ฬ…ฬ…ฬ…
๐‘ฌ๐’•๐’‰ =
๐’Œ๐’ƒ โˆ™ ๐‘ป , ๐’†๐’•๐’‰ =
๐’‡ ๐’Œ๐’ƒ โˆ™๐‘ป
๐Ÿ ๐’Ž๐‘ด
๐‘˜๐‘ beschreibt die Umrechnung der Temp. als Energie in J nach Kelvin.
Seite 1
๐Ÿ
๐’‡
๐Ÿ
๐’‡
Bsp: He
(Translation in 3 Richtungen)
Bsp: O2, N2 (Translation und Rotation)
Bsp: CO2 (Translation und Rotation)
Bsp: CO2 (ab 1800K auch Oszillation)
๏‚ท Innere Energie bei realen Gasen
โ–ณ ๐‘ผ =โ–ณ ๐‘ฌ๐’•๐’‰ +โ–ณ ๐‘ฌ๐’‘๐’๐’•
๏‚ท Druck Kraftwirkung der Moleküle bezogen auf eine Flächeneinheit.
๐‘0 =
1
โˆ™ ๐‘š โˆ™ ๐‘› โˆ™ ๐‘ค02 , ๐‘ = ๐‘› โˆ™ ๐‘˜๐ต โˆ™ ๐‘‡ , ๐‘ ∝ ๐‘‡, ๐‘›
3
๏‚ท Enthalpie bei perfekten Gasen ๐’‰ = ๐’– + ๐’‘๐’— =
๐’‡
๐Ÿ“
๐Ÿ
๐‘น๐‘ป
๏‚ท Enthalpie bei idealen Gasen ๐’‰ = ๐’– + ๐’‘๐’— = ( + ๐Ÿ)๐‘น๐‘ป
๐Ÿ
๏‚ท Enthalpie bei realen Gasen ist in Tabellen nachzuschlagen
1. HAUPTSATZ: ENERGI E EINES SYSTEMS
Energie im System: ๐ธ = ๐พ๐ธ + ๐‘ƒ๐ธ + ๐‘ˆ bleibt konstant.
U ist die innere Energie und umfasst Wärme-, Elektrische-, Bindungs-E, …
๐œŸ๐‘ฌ = ๐‘ธ − ๐‘พ = ๐‘ธ − ∫ ๐’‘๐’…๐‘ฝ = โˆ†๐‘ฒ๐‘ฌ + โˆ†๐‘ท๐‘ฌ + โˆ†๐‘ผ
mit โˆ†๐พ๐ธ und โˆ†๐‘ƒ๐ธ vernachlässigt:
โ–ณ ๐‘ผ = ๐‘ธ − ๐‘พ = ๐‘„ − ∫ ๐‘๐‘‘๐‘‰
DER ERSTE HAUPT SATZ ALS LEI STUNGSBI LANZ
๐‘‘๐ธ
๐‘‘๐‘ก
๐‘‘๐‘ˆ
= ๐‘„ฬ‡ − ๐‘Šฬ‡
๐‘‘๐‘ก
= ๐‘š๐‘
๐‘ป๐Ÿ
๐‘‘๐‘‡
๐‘ผ(๐‘ป๐Ÿ ) − ๐‘ผ(๐‘ป๐Ÿ ) = ๐’Ž ∫๐‘ป๐Ÿ ๐’„(๐‘ป)๐’…๐‘ป
๐‘‘๐‘ก
ENERGIEANALYSE VON K REISPROZESSEN
๐‘ธ๐‘ฒ๐‘ท = ๐‘พ๐‘ฒ๐‘ท
โ–ณ๐‘ˆ =0
DIE P-V-T-BEZIEHUNG
p
1 ๐ธ๐‘กโ„Ž
๐‘“ ๐‘
๏‚ท Thermische Energie Bewegung aller Moleküle (Translation, Rotation,
Oszillation) ergibt eine endliche Menge von kinetischer E = Eth
SI-PRÄFIXE
1015
1012
109
106
Perfektes Gas
Innere Energie ๐‘ˆ
Therm. Energie
๐ธ๐‘กโ„Ž
Temperatur ๐‘‡
Vom System geleistete Arbeit = abgeführte Arbeit
Am System geleistete Arbeit = zugeführte Arbeit
PetaTeraGigaMega-
๐‘š3
๏‚ท Massenstrom-System
- geschlossenes System: Anz. im System enthaltene Moleküle konst.
- offenes System: Es fliessen Massenströme über die Syst. Grenze
๏‚ท Wärmestromsystem
- adiabates Systeme: Keine thermische E über Syst. Grenze = isoliert
- diathermes Systeme: nicht isoliert
๏‚ท physikalisch-chemisches System
- homogenes System: physikalische und chemische
Zusammensetzung ist überall gleich.
- heterogenes System: Bsp: Mineralien
๏‚ฎ ein nur chemisch homogenes System kann auch 2 Phasen
beinhalten; das System [H2O (l) und H2O (g)] ist chemisch homogen
aber phisikalisch heterogen
๐‘˜๐‘” ๐‘š2
๐‘พ>0
๐‘พ<0
๐‘ƒ
๐‘‡
๐บ
๐‘€
๐‘ด
ELEMENTE DER KINETISCHEN GASTHEORIE
]
๐‘ƒ: [๐‘Š] = [ ] = [ 3 ]
๐‘ 
๐‘ 
๐‘‰2
๐‘Š = ∫ ๐นโƒ— ๐‘‘๐‘  = ∫๐‘‰1 ๐‘(๐‘ฃ)๐‘‘๐‘‰ [๐‘๐‘š] = [๐ฝ]
- Leistung
โ–ณ ๐‘ผ =โ–ณ ๐‘ฌ๐’•๐’‰
Nullter Hauptsatz: Wenn sich zwei Systeme mit einem dritten im
Gleichgewicht befinden, sind sie auch untereinander im thermischen GG.
]
๐‘ 2
๐‘˜๐‘” ๐‘š2
๐ฝ
๐‘˜๐ฝ
๐‘˜๐‘”
๐‘˜๐ฝ
๐‘˜๐‘”๐พ
๐‘…ฬ… โˆ™1000
- Gaskonstante
๐‘˜๐‘”๐พ
]
๐‘˜๐‘”
๐‘˜๐ฝ
๐‘˜๐ฝ
โˆ™ ๐‘๐ด = ๐‘› โˆ™ ๐‘๐ด
๏‚ท Innere Energie bei idealen Gasen
- Arbeit W
THERMODYNAMISCHES SY STEM
1๐‘๐‘Ž๐‘Ÿ = 105 ๐‘ƒ๐‘Ž
- Spezifisches Volumen
๐‘š
=
]
๐‘š
๐’– = ๐‘น๐‘ป
๐’‡
Bezieht sich auf ๐‘๐ด Moleküle. Bsp: Molares Volumen ๐‘ฃฬ… = ๐‘€⁄๐œŒ [
EINHEITEN
โ–ณ ๐‘ผ =โ–ณ ๐‘ฌ๐’•๐’‰
- Enthalpie H (T,p)
๐‘ด
๐Ÿ‘
๏‚ท Innere Energie bei perfekten Gasen
๐‘“: Anz. Freiheitsgrade. Daraus folgt : ๐’„๐’— = ๐‘น und ๐’„๐’‘ = ( + ๐Ÿ) ๐‘น
๐Ÿ
๐Ÿ
๐’„๐’‘ − ๐’„๐’— = ๐‘น gilt weiterhin (auch bei realen Gasen)
๏‚ท Intensive Grössen: ändern ihre Werte bei der gedachten Teilung des
(homogenen) Systems nicht (p,T)
๏‚ท Extensive Grössen: Sind auf Masseneinheiten bezogen (m, V)
๏‚ท Spezifische Grössen: ๐’™ = ๐‘ฟ⁄๐’Ž extensive Zustandsgrössen in
intensive umgewandelt:
ฬ…
๐’Ž
๐’–
ฬ… ๐‘ผ=๐’โˆ™๐’–
ฬ… = โˆ™๐’–
ฬ… , ๐’–=
๏‚ท Molare Grössen ๐’–:
KONSTANTEN
- Avogadro-Zahl
- Temperatur T
- Masse m
T
gesättigter
flüssiger Zustand
Isobare
trocken
gesättigter
Dampf
Isotherme
2Phasenraum
v
v
Dampfmassenteil: ๐‘ฅ =
v
๐‘ฃ๐‘ฅ −๐‘ฃ๐‘“
๐‘ฃ๐‘” −๐‘ฃ๐‘“
=
๐‘š๐‘ฅ −๐‘š๐‘“
๐‘š๐‘” −๐‘š๐‘“
โ‹ฏ
v
๐‘‡๐‘… โˆท ๐‘ฅ๐‘ฃ๐‘Ž๐‘(๐‘ฃ, ๐‘ฃ๐‘“ , ๐‘ฃ๐‘” )
2-Phasenraum: ๐‘ฃ(๐‘ฅ, ๐‘‡) = ๐‘ฅ โˆ™ ๐‘ฃ๐‘” (๐‘‡) + (1 − ๐‘ฅ) โˆ™ ๐‘ฃ๐‘“ (๐‘‡)
Linear Interpolieren: ๐‘ฆ =
๐‘ฆ2 −๐‘ฆ1
๐‘ฅ2 −๐‘ฅ1
(๐‘ฅ − ๐‘ฅ1 ) + ๐‘ฆ1 ๐‘‡๐‘… โˆท ๐‘–๐‘๐‘™(๐‘ฅ1 , ๐‘ฅ, ๐‘ฅ2 , ๐‘ฆ1 , ๐‘ฆ2 )
๐’‘๐’— = ๐‘น๐‘ป
๐’‘ = ๐†๐‘น๐‘ป
ฬ…๐‘ป
๐’‘๐‘ฝ = ๐’๐‘น
๐’‘๐‘ฝ = ๐’Ž๐‘น๐‘ป
๐†=
๐Ÿ
๐‘น=
๐’—
๐‘† = ๐‘๐‘œ๐‘›๐‘ ๐‘ก. → ๐‘ โˆ™ ๐‘‰ ๐œ… = ๐‘๐‘œ๐‘›๐‘ ๐‘ก.
๐‘› = ๐œ… ISENTROPER PROZESS
DIE IDEALE GASGLEICH UNG
ฬ…
๐‘น
๐‘ˆ = ๐‘ˆ(๐‘‡)
๐‘ด
Isentrop = adiabatisch und reversibel
Energie die nötig ist um ein Fluid unter konst. Druck und Temp gasförmig
zu machen.
๐’=๐œฟ=
Wärmemenge
๐’„๐’‘
๐’„๐’—
๐‘ธ๐Ÿ๐Ÿ = ๐ŸŽ
๐‘๐‘ − ๐‘๐‘ฃ = ๐‘…
๐‘ โˆ™ ๐‘‰ ๐œ… = ๐‘๐‘œ๐‘›๐‘ ๐‘ก.
๐’‘ โˆ™ ๐‘ฝ๐’ = ๐’Œ๐’๐’๐’”๐’•
๐‘ป๐Ÿ
๐‘ป๐Ÿ
๐’‘
= ( ๐Ÿ)
๐’−๐Ÿ⁄
๐’
๐’‘๐Ÿ
๐‘ฝ
= ( ๐Ÿ )๐’−๐Ÿ
๐‘ฝ๐Ÿ
โˆ†๐‘ผ = −๐‘พ๐Ÿ๐Ÿ → ๐‘พ๐Ÿ๐Ÿ = ๐‘ผ๐Ÿ − ๐‘ผ๐Ÿ
๐‘พ๐Ÿ๐Ÿ = ๐’Ž โˆ™ (๐’–๐Ÿ − ๐’–๐Ÿ )
๐‘Š12 = ๐‘š โˆ™ ๐‘๐‘‰ โˆ™ (๐‘‡1 − ๐‘‡2 )
๐’–(๐‘ป) , ๐’‰(๐‘ป)
๐‘šโˆ™๐‘…
๐‘Š12 =
โˆ™ (๐‘‡1 − ๐‘‡2 )
๐œ…−1
๐œ…
๐‘1 ๐‘‰1
๐‘Š12 =
โˆ™ [๐‘‰2 1−๐œ… − ๐‘‰11−๐œ… ]
1−๐œ…
Folgende Formeln gelten nur für ideale Gase
๐‘› = 1 ISOTHERME R PROZESS
๐‘‡ = ๐‘๐‘œ๐‘›๐‘ ๐‘ก. → ๐‘ โˆ™ ๐‘‰ = ๐‘๐‘œ๐‘›๐‘ ๐‘ก.
1−๐œ…
๐œ…
๐‘ฝ๐Ÿ
๐‘ฝ๐Ÿ
๐‘พ๐Ÿ๐Ÿ = ๐’‘๐Ÿ ๐‘ฝ๐Ÿ ⋅ ๐’๐’ ( ) = ๐’Ž๐‘น๐‘ป ⋅ ๐’๐’ ( )
๐‘ฝ๐Ÿ
๐‘ฝ๐Ÿ
๐‘1
๐‘1
๐‘Š12 = ๐‘1 ๐‘‰1 ⋅ ๐‘™๐‘› ( ) = ๐‘š๐‘…๐‘‡ ⋅ ๐‘™๐‘› ( )
๐‘2
๐‘2
๐‘›=0
๐๐‘ป
๐‘1−๐œ… โˆ™ ๐‘‡ ๐œ… = ๐‘๐‘œ๐‘›๐‘ ๐‘ก.
๐‘ฝ๐Ÿ
๐‘พ = ∫๐‘ฝ๐Ÿ ๐’‘(๐‘ฝ)๐’…๐‘ฝ
n: Polytropenkoeffizient
Für ideale Gase gilt:
๏‚ท Wärmezufuhr bei konstantem Volumen (isochore Wärmekap.)
๐๐‘ผ
๐‘˜๐ฝ
๐’„๐’— = ( )๐’— [
]
(Verwenden in Verbindung mit u)
๐‘‡ โˆ™ ๐‘‰ ๐œ…−1 = ๐‘๐‘œ๐‘›๐‘ ๐‘ก.
IDEALE GASE: POLYTRO PE ZUSTANDSÄNDERUNGE N
๐‘1 ๐‘‰1
๐‘1
๐‘Š12 =
โˆ™ [( )
1−๐œ…
๐‘2
๐‘› ≠ 1 ALL GEMEINER P ROZESS
โˆ†๐‘ผ = ๐ŸŽ โŸน ๐‘ธ๐Ÿ๐Ÿ = ๐‘พ๐Ÿ๐Ÿ
๐‘‡ โˆ™ ๐‘ฃ ๐‘›−1 = ๐‘๐‘œ๐‘›๐‘ ๐‘ก.
๐‘พ๐Ÿ๐Ÿ
๐‘พ๐Ÿ๐Ÿ = ๐’‘๐Ÿ (๐‘ฝ๐Ÿ − ๐‘ฝ๐Ÿ )
๐‘‡1 ๐‘‡2
=
๐‘‰1 ๐‘‰2
๐‘พ๐Ÿ๐Ÿ
๐‘‰ = ๐‘๐‘œ๐‘›๐‘ ๐‘ก. → ๐‘‡/๐‘ = ๐‘๐‘œ๐‘›๐‘ ๐‘ก.
๐‘พ๐Ÿ๐Ÿ = ๐ŸŽ
๐‘1 ๐‘‰1๐‘›
1−๐‘›
๐‘‡1
=
๐‘‡2
Allgemein:
Δ๐‘ˆ = ๐‘š(๐‘ข2 − ๐‘ข1 ) = ๐‘š(๐‘๐‘ฃ 2 ๐‘‡2 − ๐‘ข๐‘๐‘ฃ 1 ๐‘‡1 )
Isotherm:
Δ๐‘ˆ = ๐‘„ − ๐‘Š
๐‘Š12 = ๐‘1 (๐‘‰2 − ๐‘‰1 ) = ๐‘š๐‘1 (๐‘ฃ2 − ๐‘ฃ1 )
Isochor:
๐‘Š12 = 0
๐‘„12 = ๐‘š โˆ™ ๐‘๐‘‰ โˆ™ (๐‘‡2 − ๐‘‡1 )
Isentrop/adiabat:
Δ๐‘„ = 0
๐ป = ๐‘๐‘œ๐‘›๐‘ ๐‘ก. → ๐‘ˆ + ๐‘ โˆ™ ๐‘‰ = ๐‘๐‘œ๐‘›๐‘ ๐‘ก.
โˆ†๐‘ฏ = ๐ŸŽ → ๐‘ฏ๐Ÿ = ๐‘ฏ๐Ÿ
๐‘‘๐ป = ๐‘‘(๐‘ˆ + ๐‘๐‘‰) = ๐‘‘๐‘ˆ + ๐‘‘(๐‘๐‘‰) = ๐‘š๐‘๐‘‰ ๐‘‘๐‘‡ + ๐‘š๐‘…๐‘‘๐‘‡ = ๐‘š๐‘๐‘ ๐‘‘๐‘‡
๐‘‘๐ป = 0 = ๐‘š๐‘๐‘ ๐‘‘๐‘‡ → ๐‘‘๐‘‡ = 0 โ‡› im idealen Gas auf der Isothermen!
Enthalpie (Wärmefunktion)
๐‘ฏ = ๐‘ผ + ๐’‘๐‘ฝ
๐’‰=
๐‘ฏ
๐’Ž
= ๐’– + ๐’‘๐’—
๐‘๐‘‰ ist die Arbeit die nötig ist um das Volumen V des Systems gegen die
Wirkung des Aussendrucks p aufzuspannen.
Verdampfungsenthalpie
[
๐๐‘ป
๐‘˜๐ฝ
๐‘˜๐‘” ๐พ
]
(Verwenden in Verbindung mit h)
๐œ•โ„Ž
๐œ•โ„Ž
๐œ•๐‘‡
๐‘๐‘
๐œ•๐‘
โ„Ž๐‘“๐‘” = โ„Ž๐‘” − โ„Ž๐‘“
Seite 2
๐‘๐‘’๐‘– ๐‘‘๐‘=0
๐‘‘โ„Ž = โŸ
( )๐‘ ๐‘‘๐‘‡ + ( ) ๐‘‡ ๐‘‘๐‘ ⇒
๐‘‘โ„Ž = ๐‘๐‘ ๐‘‘๐‘‡
๐’…๐’•
๐’›(๐’™, ๐’š) → ๐’…๐’› = (
๐ ๐๐’›
๐ ๐๐’›
[( ) ] =
[( ) ]
๐๐’š ๐๐’™ ๐’š
๐๐’™ ๐๐’š ๐’™
๐๐’›
๐๐’›
) ๐’…๐’™ + ( ) ๐’…๐’š
๐๐’™ ๐’š
๐๐’š ๐’™
๐’™
๐œ•๐‘ฅ
๐œ•๐‘ฆ
๐œ•๐‘ฆ
๐œ•๐‘ง
๐œ•๐‘ฅ
๐œ•๐‘ฆ ๐‘ง
๐œ•๐‘ฅ ๐‘ง
๐œ•๐‘ง ๐‘ฅ
๐œ•๐‘ฅ ๐‘ฆ
๐œ•๐‘ฆ ๐‘ง
๐’š
Mit ( ) ( ) = 1 und ( ) ( ) ( ) = −1
๐’…๐’– = ๐‘ป โˆ™ ๐’…๐’” − ๐’‘ โˆ™ ๐’…๐’— (๐Ÿ)
๐’…๐’‰ = ๐‘ป โˆ™ ๐’…๐’” + ๐’— โˆ™ ๐’…๐’‘ (๐Ÿ)
Freie Enthalpie (nach Gibbs)
๐‘” = โ„Ž − ๐‘‡ โˆ™ ๐‘  → ๐‘‘๐‘” = ๐‘‘โ„Ž − ๐‘‡๐‘‘๐‘  − ๐‘ ๐‘‘๐‘‡
- Mit ๐บ = ๐ป − ๐‘‡ โˆ™ ๐‘† = ๐‘ˆ + ๐‘ โˆ™ ๐‘‰ − ๐‘‡ โˆ™ ๐‘†
- โˆ†๐บ < 0 → exergon, spontan
- โˆ†๐บ = 0 → Gleichgewichtszustand
- โˆ†๐บ > 0 → endergon, nicht spontan
๐‘‘๐‘ก
Freie Energie (nach Helmholz) ๐œ“ = ๐‘ข − ๐‘‡ โˆ™ ๐‘  → ๐‘‘๐œ“ = ๐‘‘๐‘ข − ๐‘‡๐‘‘๐‘  − ๐‘ ๐‘‘๐‘‡
Mit (1) & (2) ๏ƒž
๐’…๐ = −๐’‘ โˆ™ ๐’…๐’— − ๐’” โˆ™ ๐’…๐‘ป (๐Ÿ‘)
๐’…๐’ˆ = ๐’— โˆ™ ๐’…๐’‘ − ๐’” โˆ™ ๐’…๐‘ป (๐Ÿ’)
VERMISCHUNG
THERMODYNAMISCHE ZUSTANDSDATEN
ISENTHALPER PROZESS
๐๐’‰
( )๐’‘
โŸบ ๐‘Š = ๐‘„ − Δ๐‘ˆ
Isobar:
๐‘2
๐‘‘๐‘ข = ๐‘๐‘ฃ ๐‘‘๐‘‡
๐‘‘๐‘ก
(๐‘‰21−๐‘› − ๐‘‰11−๐‘› )
โˆ†๐‘ˆ = ๐‘„12 → ๐‘ธ๐Ÿ๐Ÿ = ๐’Ž(๐’–๐Ÿ − ๐’–๐Ÿ )
๐‘1
๐‘๐‘’๐‘– ๐‘‘๐‘ฃ=0
๏‚ท Wärmekapazität bei konstantem Druck (isobare Wärmekap.) ๐’„๐’‘ =
Aus 1. & 2. HS ๏ƒž
REALE GASE: POLYTROP E ZUSTANDSÄNDERUNGEN
โˆ†๐‘„ = โˆ†๐ป = ๐‘š โˆ™ ๐‘๐‘ โˆ™ โˆ†๐‘‡
๐œ•๐‘ฃ
MAXWELL‘SCHE GLEICHUNGEN DER THERMODYNAMIK
๐‘นโˆ™๐’Ž
=
(๐‘ป − ๐‘ป๐Ÿ )
๐Ÿ−๐’ ๐Ÿ
๐’‘๐Ÿ ๐‘ฝ๐Ÿ − ๐’‘๐Ÿ ๐‘ฝ๐Ÿ
=
๐Ÿ−๐’
๐‘Š12 =
๐‘› = ∞ ISOCHORER PROZESS
− 1]
๐‘‡ ๐‘› โˆ™ ๐‘1−๐‘› = ๐‘๐‘œ๐‘›๐‘ ๐‘ก.
๐‘Š12 = ๐‘š๐‘1 (๐‘ฃ2 − ๐‘ฃ1 ) = ๐‘š๐‘…(๐‘‡2 − ๐‘‡1 )
๐œ•๐‘ˆ
๐œ•๐‘‡
๐‘๐‘ฃ
๐‘‘๐‘ข = (โŸ )๐‘ฃ ๐‘‘๐‘‡ + ( ) ๐‘‡ ๐‘‘๐‘ฃ ⇒
MATHEMATISCHES
๐‘ โˆ™ ๐‘‰ = ๐‘๐‘œ๐‘›๐‘ ๐‘ก.
๐‘ โˆ™ ๐‘‰ ๐‘› = ๐‘๐‘œ๐‘›๐‘ ๐‘ก.
๐‘ = ๐‘๐‘œ๐‘›๐‘ ๐‘ก. → ๐‘‡/๐‘‰ = ๐‘๐‘œ๐‘›๐‘ ๐‘ก.
๐‘˜๐‘” ๐พ
๐œ•๐‘ˆ
๐‘›
๐‘‰2
๐‘1
๐‘Š12 = ๐‘2 ๐‘‰2 ⋅ ๐‘™๐‘› ( ) = ๐‘2 ๐‘‰2 ⋅ ๐‘™๐‘› ( )
๐‘‰1
๐‘2
IS OBARE R PROZESS
โ–ณ ๐‘ธ = ๐’Ž โˆ™ ๐’„ โˆ™โ–ณ ๐‘ป
Spezifische Wärmekapazität c Energie die nötig ist um 1kg der Masse
um 1K zu erwärmen. Man unterscheidet zwischen ๐‘๐‘ฃ und ๐‘๐‘ :
Bei der Vermischung zweier Tanks können folgende Vereinfachungen
getroffen werden:
๏‚ท ๐‘ƒ๐ธ = 0 , ๐พ๐ธ = 0
wenn nicht besondere Situation
๏‚ท ๐‘„=0
falls adiabat
๏‚ท ๐‘Š=0
falls keine Volumenausdehnung
Sind alle diese Bedingungen erfüllt, gilt
๐‘„ − ๐‘Š = โˆ†๐‘ˆ + โˆ†๐พ๐ธ + โˆ†๐‘ƒ๐ธ →
โˆ†๐‘ผ = ๐ŸŽ
Wird geheizt/gekühlt, d.h. ist das System nicht mehr adiabat, gilt
๐‘„ − ๐‘Š = โˆ†๐‘ˆ + โˆ†๐พ๐ธ + โˆ†๐‘ƒ๐ธ →
โˆ†๐‘ผ = ๐‘ธ
Gegeben: ๐‘šฬ‡, ๐‘1 , ๐‘2 , ๐‘‡1 , โ„Ž1 , ๐‘ 1
Gesucht: ๐‘‡2 , โ„Ž2 โŸน ๐‘Šฬ‡ ๐‘ 
Vorgehen: - ๐‘† = ๐‘๐‘œ๐‘›๐‘ ๐‘ก.
- in Tabelle A-4 bei ๐‘2 , ๐‘†2 ⇒ ๐‘‡2 , โ„Ž2 finden
- nun mit โ„Ž1 , โ„Ž2 โŸน ๐‘Šฬ‡๐‘  finden
1. HAUPTSATZ IN OFFENEN SYSTEMEN
Der Massenstrom über die Systemgrenze und die damit verbundenen
Energieströme werden in die Energiebilanz mit einbezogen.
↓ Ventouri – Düse für den Unterschallbereich
→ Laval – Düse für den Überschallbereich
(Mach-Zahl beim Austritt > 1)
MASSENSTROMBI LANZ
๐’…๐‘ด๐‘บ
๐’…๐’•
stationärer Betrieb
= ∑ ๐’Žฬ‡๐’Š=๐’Š๐’๐’๐’†๐’• − ∑ ๐’Žฬ‡๐’†=๐’†๐’™๐’Š๐’• ⇒
๐‘‘
In Integralform:
๐‘‘๐‘ก
∑ ๐’Žฬ‡๐’Š = ∑ ๐’Žฬ‡๐’†
ISENTROPE ENTSPANNUNG I N EINER TURBINE 2
stationäres System, ohne Änderung der KE und PE, 2-Phasen Gebiet:
โƒ—โƒ—โƒ— โˆ™ ๐‘‘๐ดโƒ—) = 0
(∫๐‘‰ ๐œŒ๐‘‘๐‘‰ ) + ∫๐ด ๐œŒ(๐‘ค
−๐‘Šฬ‡๐‘  = ๐‘šฬ‡ โˆ™ [โ„Ž๐‘’ − โ„Ž๐‘– ] โŸน ๐‘Šฬ‡๐‘  = ๐‘šฬ‡ โˆ™ [โ„Ž๐‘– − โ„Ž๐‘’ ] โŸน ๐‘Šฬ‡๐‘  = ๐‘šฬ‡ โˆ™ [โ„Ž1 − โ„Ž2 ]
๐‘‘๐‘–๐‘ฃ(๐‘ โˆ™ ๐‘ค
โƒ—โƒ—โƒ—) = 0 → quellenfrei
In differentieller Form:
ENERGIESTROM -BI LANZ
Energiezunahme = Energiezunahme durch Wärme und Arbeit + Energie
der Eintretenden Masse – Energie der austretenden Masse.
Die Arbeit wird dabei in zwei Komponenten zerlegt:
(1) Anteil der nicht mit Massenstrom über Systemgrenze verbunden
ist. z.B. Bewegliche Kolben oder elektrische Flüsse → ๐‘Š๐‘ 
gewünschte Arbeit.
(2) Notwendige Arbeit zum Ein- und Ausschieben des bewegten Fluids.
Einschiebeleistung: ๐‘Šฬ‡๐‘– = ๐‘๐‘– ๐ด๐‘– ๐‘ค๐‘– Ausschiebeleistung: ๐‘Šฬ‡๐‘’
๐’…๐‘ฌ๐’”
๐’…๐’•
= ๐‘ธฬ‡ − ๐‘พฬ‡๐’” + ∑ ๐’Žฬ‡๐’Š (๐’‰๐’Š +
๐’˜๐Ÿ๐’Š
๐Ÿ
+ ๐’ˆ๐’›๐’Š ) − ∑ ๐’Žฬ‡๐’† (๐’‰๐’† +
๐’˜๐Ÿ๐’†
๐Ÿ
๐‘‘๐ธ๐‘ 
= 0 , ๐‘šฬ‡๐‘– = ๐‘šฬ‡๐‘’ โŸน
๐Ÿ
โŸน ๐‘ธฬ‡ − ๐‘พฬ‡๐’” = ๐’Žฬ‡ โˆ™ [๐’‰๐’† − ๐’‰๐’Š + โˆ™ (๐’˜๐Ÿ๐’† − ๐’˜๐Ÿ๐’Š ) + ๐’ˆ โˆ™ (๐’›๐’† − ๐’›๐’Š )]
๐Ÿ
- isoliert: ๐‘ธฬ‡ = ๐ŸŽ
- keine Arbeit: ๐‘พฬ‡๐’” = ๐ŸŽ (z.B. beim Wärmetauscher)
๐‘๐‘‰ฬ‡
ฬ‡
- 3-d: ๐‘šฬ‡ = ๐‘‰⁄๐‘ฃ = ๐œŒ๐‘‰ฬ‡
beim idealen Gas: ๐‘šฬ‡ =
๐‘…๐‘‡
๐‘๐ด๐‘ค
ฬ‡
- 1-d: ๐‘šฬ‡ = ๐‘‰⁄๐‘ฃ = ๐ด๐‘ค⁄๐‘ฃ
beim idealen Gas: ๐‘šฬ‡ =
๐‘…๐‘‡
๐‘‘๐‘ก
DÜSE UND D IFFUSOR
๏‚ท Düse (Nozzle) Eine Düse ist eine Verengung in einer Strömung. Die
Enthalpie des Fluids wird in kinetische Energie umgewandelt
(Beschleunigung).
๐’˜๐Ÿ > ๐’˜๐Ÿ
๐’‘๐Ÿ < ๐’‘๐Ÿ
๐’‰๐Ÿ < ๐’‰๐Ÿ
Bsp. stationär (๐ธฬ‡ = 0), isoliert (๐‘„ฬ‡ = 0), Arbeit wird keine
abgegeben (๐‘Šฬ‡๐‘  = 0), pot. Energie wird vernachlässigt.
๐’˜๐Ÿ๐Ÿ
๐Ÿ
= ๐’‰๐Ÿ +
๐’˜๐Ÿ๐Ÿ
๐Ÿ
= ๐’„๐’๐’๐’”๐’•.
Interpretation: ๐‘ค ↑,โ„Ž ↓, ๐‘ข ๐‘๐‘œ๐‘›๐‘ ๐‘ก., ๐‘ ↓
๏‚ท Diffusor (Diffuser) Ein Diffusor ist eine Erweiterung in einer Strömung.
Anwendungsbeispiel ist ein Überschallflugzeug, wo die Luft auf
Geschwindigkeit unter M=1 abgebremst werden muss.
Umgekehrter Vorgang wie Düse:
๐’˜๐Ÿ < ๐’˜๐Ÿ ๐’‘๐Ÿ > ๐’‘๐Ÿ ๐’‰๐Ÿ > ๐’‰๐Ÿ
๏‚ท Isentroper Düsenwirkungsgrad
๐œผ๐‘ซ,๐’” =
๐’˜๐Ÿ๐Ÿ
๐’˜๐Ÿ๐Ÿ,๐’Ž๐’‚๐’™
=
๐’‰๐Ÿ −๐’‰๐Ÿ
๐’‰๐Ÿ,๐’” −๐’‰๐Ÿ
๐Ÿ
๐Ÿ
โ„Ž1,2 lassen sich aus Tabellen ablesen. 2. Zustand ev. im 2 Phasengebiet.
Bei Kraftwerken soll ๐‘ค2 möglichst klein sein, bei Jet – Turbinen soll der
Rückstoss möglichst gross sein.
Isentroper Turbinenwirkungsgrad
๐œผ๐‘ป,๐’” =
๐‘พฬ‡
๐‘พฬ‡๐’“๐’†๐’—
=
๐’‰๐Ÿ −๐’‰๐Ÿ
๐’‰๐Ÿ− ๐’‰๐Ÿ,๐’”
(falls adiabat)
KOMPRESSOR / PUMPE
- โ„Ž = ๐‘ข + ๐‘๐‘ฃ Enthalpie;
kinetische Energie; ๐‘”๐‘ง potentielle Energie
2
- โ–ณ ๐ธ =โ–ณ ๐‘ˆ = ๐‘š2 ๐‘ข2 − ๐‘š1 ๐‘ข1 wenn ๐พ๐ธ, ๐‘ƒ๐ธvernachlässigt werden.
๐’‰๐Ÿ +
Gas durchströmt die Turbine und wird dabei von einem hohen
Druckniveau auf ein tiefes entspannt. Dabei wird Arbeit geleistet.
๐’˜๐Ÿ
๐’˜๐Ÿ
Bsp ๐‘ฌฬ‡ = ๐ŸŽ, ๐‘ฌ๐’‘๐’๐’• = ๐ŸŽ → ๐ŸŽ = −๐‘พฬ‡ ๐‘บ + ๐‘ธฬ‡ + ๐’Žฬ‡ (๐’‰๐Ÿ + ๐Ÿ ) − ๐’Žฬ‡ (๐’‰๐Ÿ + ๐Ÿ )
+ ๐’ˆ๐’›๐’† )
๐‘ค2
- stationär:
TURBINE
(falls adiabat) → tatsächliches โ„Ž2
๏‚ท Kompressor: Durch aufwenden von Arbeit wird Druck des Fluids
erhöht.
๏‚ท Pumpe: Durch aufwenden von Arbeit wird ein Massenstrom erzeugt,
bei möglichst geringem Druckanstieg.
- isentrop & inkompressibel: โ„Ž2,๐‘  − โ„Ž1 = ๐‘ฃโˆ†๐‘
๏‚ท Isentroper Kompressorwirkungsgrad Vergleich der isentrop minimal
aufzuwendenden Arbeit mit realer Arbeit: ๐œผ๐‘ฒ,๐’” =
๐‘พฬ‡๐’“๐’†๐’—
๐‘พฬ‡
=
๐’‰๐Ÿ− ๐’‰๐Ÿ,๐’”
๐’‰๐Ÿ −๐’‰๐Ÿ
WÄRMEÜBERTRAGER
Bei Durchströmung soll möglichst viel Wärme aufgenommen/abgegeben
werden. Arbeit wird keine geleistet, ๐‘Šฬ‡๐‘  = 0. Wärmetransport mit
Umgebung meist vernachlässigbar, ๐‘„ฬ‡ = 0.
wenn โˆ†๐พ๐ธ und โˆ†๐‘ƒ๐ธ ≈ 0 โŸน ๐ŸŽ = ๐’Žฬ‡๐Ÿ (๐’‰๐Ÿ − ๐’‰๐Ÿ ) + ๐’Žฬ‡๐Ÿ‘ (๐’‰๐Ÿ’ − ๐’‰๐Ÿ‘ )
DROSSELELEMENTE (T HROTTLI NG DEVICES )
In der Drossel wird ein Fluid entspannt. Bsp.: Kompressionswärmepumpen und –kältemaschinen
โŸน ๐‘2 < ๐‘1
๐‘Š12 = 0
๐‘„12 = 0
๐’‰๐Ÿ = ๐’‰๐Ÿ
ISENTROPE ENTSPANNUN G I N EINER TURBINE 1
stationäres System, ohne Änderung der KE und PE, überhitztes Gebiet:
−๐‘Šฬ‡๐‘  = ๐‘šฬ‡ โˆ™ [โ„Ž๐‘’ − โ„Ž๐‘– ] โŸน ๐‘Šฬ‡๐‘  = ๐‘šฬ‡ โˆ™ [โ„Ž๐‘– − โ„Ž๐‘’ ] โŸน ๐‘Šฬ‡๐‘  = ๐‘šฬ‡ โˆ™ [โ„Ž1 − โ„Ž2 ]
Seite 3
Gegeben: ๐‘šฬ‡, ๐‘1 , ๐‘2 , ๐‘‡1 , โ„Ž1 , ๐‘ 1
Gesucht: ๐‘‡2 , โ„Ž2 โŸน ๐‘Šฬ‡ ๐‘ 
Vorgehen: - in Tabelle A-3: nach ๐‘ ๐‘“ , ๐‘ ๐‘” suchen.
- aus xvap (๐‘ , ๐‘ ๐‘“ , ๐‘ ๐‘” ) = x2 berechnen. โŸน โ„Ž2 , ๐‘‡2
- nun mit โ„Ž1 , โ„Ž2 โŸน ๐‘Šฬ‡๐‘  finden
ADIABATE IRREVERSI BL E ENTSP ANNUNG TU RBINE 1
Wie Bsp. isentrop, aber neu
irreversibel mit ๐œผ๐‘ป,๐’” = ๐ŸŽ, ๐Ÿ—
Vorgehen:
i. Punkt 2S finden: Vorgehen wie
wenn reversibel ⇒ ๐‘‡2 , โ„Ž2,๐‘†
ii. โˆ†โ„Ž๐‘Ÿ๐‘’๐‘ฃ = โ„Ž2,๐‘† − โ„Ž1
iii. โˆ†โ„Ž๐‘–๐‘Ÿ๐‘Ÿ =
๐œ‚ ๐‘‡,๐‘  (โ„Ž2,๐‘† − โ„Ž1 )
iv. โˆ†โ„Ž๐‘–๐‘Ÿ๐‘Ÿ = โ„Ž2 − โ„Ž1
v. โ„Ž2 = โˆ†โ„Ž๐‘–๐‘Ÿ๐‘Ÿ + โ„Ž1
vi. โ„Ž2 > โ„Ž2,๐‘†
vii. Mit โ„Ž2 , ๐‘‡2 ist der Zustand
bekannt, aus der Tabelle
können alle geforderten
Werte herausgelesen werden.
viii. ๐‘Šฬ‡๐‘ ,๐‘–๐‘Ÿ๐‘Ÿ = ๐‘šฬ‡ โˆ™ [โ„Ž1 − โ„Ž2 ] oder auch mit ๐‘Šฬ‡๐‘ ,๐‘–๐‘Ÿ๐‘Ÿ = ๐‘Šฬ‡๐‘ ,๐‘Ÿ๐‘’๐‘ฃ โˆ™ ๐œ‚๐‘‡,๐‘ 
ix. im h-s Diagramm ersichtlich: โ„Ž2 > โ„Ž2,๐‘† die Punkte 2 und 2S liegen
beide auf p2.
ADIABATE IRREVERSI BL E ENTSP ANNUNG TU RBIN E 2
Wie Bsp. isentrop, aber neu irreversibel mit ๐œผ๐‘ป,๐’” = ๐ŸŽ, ๐Ÿ—
Vorgehen:
i. Punkt 2S finden: Vorgehen wie
wenn reversibel ⇒ ๐‘ฅ2,๐‘† ⇒
โ„Ž2,๐‘† , ๐‘‡2
ii. ๐‘Šฬ‡๐‘ ,๐‘–๐‘Ÿ๐‘Ÿ = ๐‘Šฬ‡๐‘ ,๐‘Ÿ๐‘’๐‘ฃ โˆ™ ๐œ‚๐‘‡,๐‘ 
iii. โ„Ž2 = โˆ†โ„Ž๐‘–๐‘Ÿ๐‘Ÿ + โ„Ž1
iv. Check โ„Ž2 < , > โ„Ž2,๐‘”
v. Falls โ„Ž2 > โ„Ž2,๐‘”
mit โ„Ž2 , ๐‘‡2 โŸน alle Werte
vi. Falls โ„Ž2 < โ„Ž2,๐‘”
mit โ„Ž2 , ๐‘‡2 โŸน ๐‘ฅ2
mit โ„Ž2 , ๐‘ฅ2 โŸน alle Werte
2. HAUPTSATZ DER THE RMODYNAMIK
REVERSIBLE VS. IRREV ERSIBLE ADIABATISCHE EXPANSION
Bedeutung:
- Wärme kann nicht von selbst (spontan) von einem Körper mit tieferer
Temperatur auf einen Körper mit höherer Temperatur übertragen
werden. (Clausius).
- Ein Kreisprozess kann zugeführe Wärme nicht zu 100% in Arbeit
umwandeln. Es gibt immer Abwärme (Kelvin-Planck).
- Der Thermodynamische Teufel ist unfähig, er kann nur Arbeit in
Wärme, aber nicht Wärme in Arbeit umwandeln.
Reversibel d.h. umkehrbar, ist ein Prozess wenn der Ausgangszustand im
System und der Umgebung wieder hergestellt werden kann. Die Arbeit
um das System wieder in den Ausgangszustand zu bringen soll also ohne
Verlust gespeichert werden. Abgeführe Temperatur müsste bei der
gleichen Temperatur gespeichert werden. Praktisch nicht möglich.
Irreversibel d.h. unumkehrbar, sind Prozesse, wenn sie irreversible
Teilprozesse enthalten z.B.:
- Wärmeübertragung
- Reibung
- Expansion zu tieferem Druck,
thermodynamischen Ungleichgewicht
- Vermischung Stoffe unterschiedlicher
Temperaturen
- spontane chemische Reaktionen
Carnot Prozess im Uhrzeigersinn. Der Prozess liefert Arbeit. Wärme aus
dem heissen Reservoir und Abwärme an das kalte Reservoir.
|๐‘พ๐’“๐’†๐’— | > |๐‘พ๐’Š๐’“๐’“ |
|โˆ†๐‘ผ๐’“๐’†๐’— | > |โˆ†๐‘ผ๐’Š๐’“๐’“ |
1→2
|๐‘ธ๐’“๐’†๐’— | = |๐‘ธ๐’Š๐’“๐’“ | = ๐ŸŽ
Der Teufel bremst die Expansion;
es wird weniger Arbeit geleistet,
Wärme rückgeführt, Abnahme
der inneren Energie geringer.
Irreversibilität im p-v
Diagramm erkennbar.
REVERSIBLE UND IRREVERSIBLE PROZESSE
0
|๐‘ธ๐’“๐’†๐’— | < |๐‘ธ๐’Š๐’“๐’“ |
Der Teufel bremst die Kompression;
es muss mehr Arbeit geleistet
werden, mehr Wärme wird frei.
Irreversibilität im p-v
Diagramm nicht zu erkennen
๐‘‰3
๐‘Š41 = ๐‘š โˆ™ (๐‘ข4 − ๐‘ข1 )
๐‘„41 = 0
๐‘ฃ
๐‘‡
๐‘ฃ
0
0
0
โˆ†๐’” = (๐Ÿ −
๐Ÿ
๐‘ป
) ๐’„ ๐’๐’
๐œผ๐’Š ๐‘ฝ ๐‘ป๐ŸŽ
DER CARNOT KREISPROZESS
Der Carnot Prozess ist ein idealisierter reversibler Kreisprozess. Er dient
zur Definition der theoretisch maximalen umsetzbaren Wärmemenge in
Arbeit
↑ Das linke Bild zeigt den Wärme-Kraft – Prozess im UZS, die Differenz aus ๐‘„๐ป und
๐‘„๐ถ ist gerade die geleistete Arbeit.
โ†— Das rechte Bild zeigt den Wärme-Kraft – Prozess links und den Kältemaschinen –
Prozess rechts. Links wird “die Wärme in Arbeit umgewandelt“; rechts wird “die
Arbeit in Kälte umgewandelt“.
KÄLTEMASCHINEN - UND WÄRMEP UMPENPROZESS
Carnot Prozess im Gegenuhrzeigersinn. Es muss Arbeit hineingesteckt
werden um Wärme aus dem kalten Reservoir an das Heisse abzugeben.
−๐‘Š๐พ๐‘ƒ = ๐‘„๐‘ง๐‘ข − ๐‘„๐‘Ž๐‘
(−๐‘Š) weil am System geleistete Arbeit.
1 → 2 ๐‘Š12 = ๐‘š โˆ™ (๐‘ข1 − ๐‘ข2 )
๐‘„12 = 0
๐‘‰
2 → 3 ๐‘Š23 = ๐‘2 ๐‘‰2 ⋅ ๐‘™๐‘› ( 3)
โˆ†๐‘ผ๐’“๐’†๐’— = โˆ†๐‘ผ๐’Š๐’“๐’“
โˆ†๐‘ผ๐’“๐’†๐’— = โˆ†๐‘ผ๐’Š๐’“๐’“
๐‘‰3
๐‘‰
๐‘„34 = ๐‘3 ๐‘‰3 ⋅ ๐‘™๐‘› ( 4 )
๐‘  = ๐‘๐‘ฃ โˆ™ ๐‘™๐‘›(๐‘‡ )+๐‘… ๐‘™๐‘› (๐‘ฃ ) + ๐‘ 0
|๐‘ธ๐’“๐’†๐’— | > |๐‘ธ๐’Š๐’“๐’“ |
|๐‘พ๐’“๐’†๐’— | < |๐‘พ๐’Š๐’“๐’“ |
3→4
๐‘Š23 = ๐‘š โˆ™ (๐‘ข2 − ๐‘ข3 )
๐‘„23 = 0
๐‘‰
๐‘Š34 = ๐‘3 ๐‘‰3 ⋅ ๐‘™๐‘› ( 4)
๐‘๐‘ฃ โˆ™ ๐‘™๐‘›(๐‘‡ )+ ๐œ‚๐‘– โˆ™ ๐‘… โˆ™ ๐‘™๐‘› (๐‘ฃ ) = 0
|๐‘พ๐’“๐’†๐’— | > |๐‘พ๐’Š๐’“๐’“ |
REVERSIBLE VS. IRREV ERSIBLE KOMPRESSION
๐‘‰1
๐‘‰2
๐‘‰1
๐’‘ โˆ™ ๐‘ฝ๐œผ๐’Š (๐œฟ−๐Ÿ)+๐Ÿ = ๐’„๐’๐’๐’”๐’•.
๐‘‡
๐‘‰
๐‘Š12 = ๐‘1 ๐‘‰1 ⋅ ๐‘™๐‘› ( 2 )
๐‘„12 = ๐‘1 ๐‘‰1 ⋅ ๐‘™๐‘› ( )
2→3
4→1
REVERSIBLE VS. IRREV ERSIBLE EXPANSION
Der Teufel bremst die Expansion;
es wird weniger Arbeit geleistet, es
muss dafür aber auch weniger
Wärme zugeführt werden.
Irreversibilität im p-v
Diagramm nicht zu erkennen
WÄRME-KRAFT -PROZESS
๐‘‰2
๐‘‰
๐‘„23 = ๐‘2 ๐‘‰2 ⋅ ๐‘™๐‘› ( 3 )
๐‘‰2
Die Abblidungen zeigen den Carnot-Wärme-Kraft-Prozess im p-V –
Diagramm links und im T-S – Diagramm rechts. (1=C, 2=D, 3=A, 4=B)
1-2: Isotherm Komprimieren: ๐‘Š12 wird aufgewendet. Da isotherme
Reaktion geht Wärme Qab an kaltes Reservoir.
2-3: Adiabatisch Komprimieren: Arbeit wird hineingesteckt, die
Temperatur steigt. Es findet kein Wärmeaustausch statt. Entropie
konstant.
3-4: Isotherm Expandieren: Das System leistet Arbeit W34. Da isotherme
Reaktion muss Wärme Qzu dazukommen
4-1: Adiabatisch Expandieren: Es wird Arbeit geleistet. Entropie
konstant.
Beim idealen Gas:
1-2: Q=W,
2-3: Q=0,
3-4: Q=W,
4-1: Q=0
Seite 4
3→4
4→1
๐‘Š34 = ๐‘š โˆ™ (๐‘ข3 − ๐‘ข4 )
๐‘„34 = 0
๐‘‰
๐‘Š41 = ๐‘4 ๐‘‰4 ⋅ ๐‘™๐‘› ( 1 )
๐‘‰4
๐‘‰
๐‘„41 = ๐‘4 ๐‘‰4 ⋅ ๐‘™๐‘› ( 1 )
๐‘‰4
๏‚ท Kältemaschine Nutzen ist dem kalten Reservoir abgeführte Wärme:
๐‘ธ
๐‘ธ
๐‘ธ๐‘ช
Leistungsziffer
๐œบ๐’Œ = ๐’‚๐’ƒ = ๐‘ช =
−๐‘พ๐‘บ
wenn reversibel
−๐‘พ๐‘บ
๐œบ๐’Œ = ๐œบ๐’Œ,๐’Ž๐’‚๐’™ =
๐‘ป๐‘ช
๐‘ธ๐‘ฏ −๐‘ธ๐‘ช
๐‘ป๐‘ฏ −๐‘ป๐‘ช
๏‚ท Wärmepumpe Nutzen ist dem warmen Reservoir zugeführe Wärme:
๐‘ธ
๐‘ธ
๐‘ธ
Leistungsziffer
๐œบ๐’˜ = ๐’›๐’– = ๐‘ฏ = ๐‘ฏ
−๐‘พ๐‘บ
wenn reversibel
−๐‘พ๐‘บ
๐œบ๐’˜ = ๐œบ๐’˜,๐’Ž๐’‚๐’™ = ๐Ÿ +
๐‘ธ๐‘ฏ −๐‘ธ๐‘ช
๐‘ป๐‘ช
๐‘ป๐‘ฏ −๐‘ป๐‘ช
= ๐Ÿ + ๐œบ๐’Œ
T-S – DIAGRAMM
DER THERMISCHE WIRKUNGSGRAD
ENTROPIEÄNDERUNG IDE ALER GASE
Im Nassdampfgebiet gilt:
๐‘  = ๐‘ฅ โˆ™ ๐‘ ๐‘” + (1 − ๐‘ฅ) โˆ™ ๐‘ ๐‘“
ALLGEMEIN
Der thermische Wirkungsgrad ist das Verhältnis zwischen Nutzen, meist
mechanische Arbeit, und aufgewendeter Energie, meist Wärme.
๐œผ๐’•๐’‰ =
Im Gebiet der unterkühlten
Flüssigkeit gilt:
๐‘ (๐‘‡, ๐‘) = ๐‘ (๐‘‡)
๐‘๐‘ข๐‘ง๐‘ก๐‘’๐‘›
๐‘พ๐’๐’–๐’•๐’›
=
๐ด๐‘ข๐‘“๐‘ค๐‘Ž๐‘›๐‘‘
๐‘ธ๐’›๐’–
Im grau schattierten Bereich gilt:
โ„Ž(๐‘‡, ๐‘) ≈ โ„Ž(๐‘‡)
๐‘„๐พ๐‘ƒ = ๐‘Š๐พ๐‘ƒ , โ–ณ ๐‘ˆ = 0
Für Kreisprozesse:
๐‘พ๐’๐’–๐’•๐’›
โŸน ๐œผ๐’•๐’‰ =
๐‘ธ๐’›๐’–
=
๐‘ธ๐’›๐’– −๐‘ธ๐’‚๐’ƒ
๐‘ธ๐’›๐’–
=๐Ÿ−
๐‘ธ๐’‚๐’ƒ
Dort sind die Molekülabstände
gross, die Drücke daher klein und
zu vernachlässigen, womit die
Enthalpie nur noch eine Funktion
der Temperatur sind.
๐‘ธ๐‘ช
= ๐Ÿ−
๐‘ธ๐’›๐’–
๐‘ธ๐‘ฏ
Einige Wirkungsgrade realer Kreisprozesse
Kombikraftwerk
Leichtwassereaktor
Solarzelle
50-60% Windkraftwerk
30-40% Brennstoffzelle
5-25% Dieselmotor
Bis 50% Elektromotor
20-70% Glühlampe
Bis 45% LED
20-99%
3-5%
5-25%
Kohlekraftwerk
Wasserkraftwerk
25-50% Ottomotor
80-95% Turbinentriebwerk
Bis 37% Lautsprecher
40%
0.3%
H-S – DIAGRAMM AKA MOLLIE R - DIAGRAMM
Position des kritischen Punktes
beachten !
WIRKUNGSGRAD DES CAR NOT PROZESSES
Wäre ๐‘‡๐ถ ⁄๐‘‡๐ป gerade null, so wäre der Wirkungsgrad gerade 1. Aber aus
dem 2. Hauptsatz folgt, dass zwingend ein Teil der zugeführen
Wärmemenge an das kalte Reservoir abgegeben werden muss: ๐œผ๐’„ < 1.
Der Carnot Wirkungsgrad ist der höchst mögliche Umwandlungsgrad von
Q in W. Er geht mit mit steigender Temperatur ๐‘‡๐ป → ∞ oder mit ๐‘‡๐ถ = 0
gegen 1. (๐‘‡๐ป = 1500๐พ , ๐‘‡๐ถ = ๐‘‡0 → ๐œ‚๐‘ ≈ 0.75)
๐œผ๐’„ =
๐‘๐‘ข๐‘ก๐‘ง๐‘’๐‘›
๐ด๐‘ข๐‘“๐‘ค๐‘Ž๐‘›๐‘‘
=
๐‘Š
๐‘„
=1−
๐‘„๐‘Ž๐‘
๐‘„๐‘ง๐‘ข
= ๐Ÿ−
๐‘ป๐‘ช
๐‘„๐ถ
๐‘ป๐‘ฏ
๐‘„H
=
๐‘‡C
๐‘‡๐ป
Im Nassdampfgebiet gilt:
โ„Ž = ๐‘ฅ โˆ™ โ„Ž๐‘” + (1 − ๐‘ฅ) โˆ™ โ„Ž๐‘“
(reversibel)
reversibel – keine Dissipation – kein Wärmetransport – adiabat
Isentroper Düsenwirkungsgrad
๐œผ๐‘ซ,๐’” =
Isentroper Turbinenwirkungsgrad
๐œผ๐‘ป,๐’” =
Isentroper Kompressorwirkungsgrad
๐œผ๐‘ฒ,๐’” =
๐’˜๐Ÿ๐Ÿ
๐’˜๐Ÿ๐Ÿ,๐’Ž๐’‚๐’™
๐‘พฬ‡
๐‘พฬ‡๐’“๐’†๐’—
๐‘พฬ‡๐’“๐’†๐’—
๐‘พฬ‡
=
=
=
๐’‰๐Ÿ −๐’‰๐Ÿ
Die ๐‘‡๐‘‘๐‘† Gleichungen stellen Beziehungen der verschiedenen Grössen
der Thermodynamik her. Auch 1. Hauptsatz in Differentialen:
๐’‰๐Ÿ,๐’” −๐’‰๐Ÿ
๐’‰๐Ÿ −๐’‰๐Ÿ
๐‘ป โˆ™ ๐’…๐‘บ = ๐’…๐‘ผ + ๐’‘๐’…๐‘ฝ๐‘ป โˆ™ ๐’…๐‘บ = ๐’…๐‘ฏ − ๐‘ฝ๐’…๐’‘
๐’‰๐Ÿ− ๐’‰๐Ÿ,๐’”
๐’‰๐Ÿ− ๐’‰๐Ÿ,๐’”
๐’‰๐Ÿ −๐’‰๐Ÿ
๐‘‡ โˆ™ ๐‘‘๐‘  = ๐‘‘๐‘ข + ๐‘๐‘‘๐‘ฃ
๐‘‡ โˆ™ ๐‘‘๐‘  = ๐‘‘โ„Ž − ๐‘ฃ๐‘‘๐‘
๐‘‡ โˆ™ ๐‘‘๐‘ ฬ… = ๐‘‘๐‘ขฬ… + ๐‘๐‘‘๐‘ฃฬ…
๐‘‡ โˆ™ ๐‘‘๐‘ ฬ… = ๐‘‘โ„Žฬ… − ๐‘ฃฬ… ๐‘‘๐‘
Gilt für reversible und irreversible Prozesse.
ENTROPIE
Die Entropie S ist ein Mass für die Unordnung im System.
๐‘  0 für einen Referenzdruck, ๐‘… ln ( ) ist dann der Druckkorrekturterm
๐‘1
๏‚ท ๐‘ = ๐‘๐‘œ๐‘›๐‘ ๐‘ก.
๐‘‡
๐‘  0 (๐‘‡, ๐‘) = ๐‘๐‘ (๐‘‡) โˆ™ ln ( )
โŸน
๐‘‡0
[ ]
๐‘ฒ
isentrop d.h. ๐‘‘๐‘  = 0 ist ein Prozess, wenn kein Wärmeaustausch
stattfindet (adiabat) und der Prozess reversibel ist.
๐‘ (๐‘‡, ๐‘)
๐‘ (๐‘‡)๐‘๐‘ง๐‘ค. ๐‘ (๐‘)
๐‘ (๐‘ฅ, ๐‘‡)
๐’”(๐‘ป, ๐’‘) ≈ ๐’”(๐‘ป) inkmprssibel
๐‘ป
๐’‘
๐‘ป๐Ÿ
๐‘ป๐Ÿ
๐’‘๐Ÿ
๐’—
(T,p):
๐’”๐Ÿ − ๐’”๐Ÿ = ๐’„๐’‘ โˆ™ ๐ฅ๐ง ( ๐Ÿ) − ๐‘น โˆ™ ๐ฅ๐ง ( ๐Ÿ)
(T,v):
๐’”๐Ÿ − ๐’”๐Ÿ = ๐’„๐’— โˆ™ ๐ฅ๐ง ( ) − ๐‘น โˆ™ ๐ฅ๐ง ( ๐Ÿ)
๐‘ป๐Ÿ
๏‚ท Isothremer Prozess:
๐‘  0 (๐‘‡2 )
−
๐’—๐Ÿ
๐‘  0 (๐‘‡1 )
๐‘ฆ๐‘–๐‘’๐‘™๐‘‘๐‘ 
=0 →
๐‘
๐‘ 2 − ๐‘ 1 = ๐‘… โˆ™ ln( 2 )
๐‘1
ISENTROPER PROZESS B EIM IDEALEN GAS
๐‘ 2 − ๐‘ 1 = 0 mit ๐œ… =
โŸน
๐œฟ−๐Ÿ
๐œฟ
๐‘ป๐Ÿ
๐’‘๐Ÿ
=( )
๐‘ป๐Ÿ
๐’‘๐Ÿ
๏‚ท ๐‘ฃ = ๐‘๐‘œ๐‘›๐‘ ๐‘ก.
๐‘๐‘
๐‘๐‘ฃ
, ๐‘๐‘ = ๐‘๐‘ฃ + ๐‘… → ๐‘๐‘ = ๐‘… โˆ™
๐’—๐Ÿ ๐Ÿ−๐œฟ
=( )
und
๐’—๐Ÿ
๐’‘๐Ÿ
๐’—๐Ÿ ๐œฟ
=( )
๐’‘๐Ÿ
๐’—๐Ÿ
๐œ…
๐œ…−1
, ๐‘๐‘ฃ = ๐‘… โˆ™
1
๐œ…−1
(siehe auch p. 2)
Bei Verdampfung/Kondensation gilt: ๐‘ = ๐‘๐‘œ๐‘›๐‘ ๐‘ก. โŸน ๐‘‡ โˆ™ ๐‘‘๐‘  = ๐‘‘โ„Ž
Aus der Integration (T=const.) folgt
๐‘ป โˆ™ (๐’”๐’ˆ − ๐’”๐’‡ ) = (๐’‰๐’ˆ − ๐’‰๐’‡ )
๐‘ป ๐’„(๐‘ป)
๐’”๐Ÿ − ๐’”๐Ÿ = ∫๐‘ป ๐Ÿ
โŸน
๐Ÿ
๏‚ท ๐‘ฃ, ๐‘ = ๐‘๐‘œ๐‘›๐‘ ๐‘ก. โŸน ๐‘๐‘ = ๐‘๐‘ฃ = ๐‘
โŸน
๐‘ป
๐‘ป๐Ÿ
๐’…๐’•
๐’”๐Ÿ − ๐’”๐Ÿ = ๐’„ ๐ฅ๐ง ( )
๐‘ป๐Ÿ
ENTROPIEBILANZ FÜR G ESCHLOSSENE SYSTEME
๐‘ธ
๐‘ป๐‘ฎ
๐‘บฬ‡๐’†๐’“๐’› = ๐‘บฬ‡ − ∑
[๐‘˜๐ฝ/๐‘˜๐‘”๐พ]
๐‘ธฬ‡
๐‘ป๐‘ฎ
[๐‘˜๐‘Š/๐‘˜๐‘”๐พ]
๏‚ท stationärer Prozess: โ–ณ ๐‘† = ๐‘†2 − ๐‘†1 = 0
๏‚ท Kreisprozess Zustand ist am Ende wieder der selbe ๐‘†๐‘’๐‘Ÿ๐‘ง,๐พ๐‘ƒ = − ∑
๏‚ท reversibler Prozess: ๐‘บ๐’†๐’“๐’› = ๐ŸŽ
๐‘‘๐‘† =
๐‘‘๐‘„
๐‘„
๐‘‡๐บ
๐‘‡๐บ
๐‘‡๐บ : Temp. an Grenze der Wärmeübertragung
๏‚ท Entropie Produktion ๐‘บ๐’†๐’“๐’› bei nicht reversiblen Prozessen.
๐‘†๐‘’๐‘Ÿ๐‘ง ist keine Zustandsgrösse! Im realen Kreisprozess wird
Entropie erzeugt, die Entropie S hat jedoch nach jedem Zyklus
wieder den selben Wert.
ENTROPIEBILANZ FÜR O FFENE SYSTEME
๐’Œ๐‘ฑ
Ein Prozess wird spontan immer in der Richtung ablaufen, dass die
Entropie zunimmt. Die Entropie ist ein Mass für die Irreversibilität.
- überhitzter Dampf
- gesättigter Zustand ๐‘‡ ↔ ๐‘
- Nassdampfgebiet
- unterkühlte Flüssigkeit
๐’‘๐Ÿ
๐‘2
๐‘บ๐’†๐’“๐’› = ๐‘บ๐Ÿ − ๐‘บ๐Ÿ − ∑
๏ƒž โ–ณ โ„Ž = โ„Ž2 − โ„Ž1 = ๐‘ฃ(๐‘2 − ๐‘1 )
๐‘บ๐’š = ๐‘บ๐’™ +
๐’‘๐Ÿ
๐’‘
ฬ… โˆ™ ๐ฅ๐ง( ๐Ÿ)
else (A-23ff): ๐’”ฬ…(๐‘ป๐Ÿ , ๐’‘๐Ÿ ) − ๐’”ฬ…(๐‘ป๐Ÿ , ๐’‘๐Ÿ ) = ๐’”ฬ…๐ŸŽ (๐‘ป๐Ÿ ) − ๐’”ฬ…๐ŸŽ (๐‘ป๐Ÿ ) − ๐‘น
๐‘‡๐‘‘๐‘† GLEICHUNGEN
WIRKUNGSGRAD ISENTRO PE PROZESSE
๐’š ๐’…๐‘ธ๐’“๐’†๐’—
∫๐’™ ๐‘ป
๐‘ฎ
๐’‘
๐’”(๐‘ป๐Ÿ , ๐’‘๐Ÿ ) − ๐’”(๐‘ป๐Ÿ , ๐’‘๐Ÿ ) = ๐’”๐ŸŽ (๐‘ป๐Ÿ ) − ๐’”๐ŸŽ (๐‘ป๐Ÿ ) − ๐‘น โˆ™ ๐ฅ๐ง( ๐Ÿ)
Air (A-22):
ENTROPIEÄNDERUN G INKOMPRESSIBLER STOF FE
Im grau schattierten Bereich
verlaufen die Isothermen horizontal,
somit ist die Temperatur dort nicht
mehr von der Entropie abhängig,
sondern alleine von der Enthalpie.
Der thermische Wirkungsgrad eines irreversiblen Wärmekraftprozesses
ist immer geringer als derjenige eines reversiblen.
inkompressibel , T=const
๏‚ท Allgemein:
ฬ‡
๐‘ธ
ฬ‡ ๐’†๐’“๐’› = โŸ
∑ ๐’Žฬ‡๐’† ๐’”๐’† − โŸ
∑ ๐’Žฬ‡๐’Š ๐’”๐’Š
๐‘บโŸ
๐‘บฬ‡ − ∑ + โŸ
๐‘ป
โŸ
CLAUSIUS UNGLEICHUNG
โ–ณ๐‘ธ
Entropiezuwachs:
โ–ณ๐‘บ=
Clausius:
โˆฎ๐‘ป =
für Carnot-Prozess:
โˆฎ๐‘ป =
๐œน๐‘ธ
๐‘ป๐‘ฎ
๐‘ธ๐‘ฏ
๐œน๐‘ธ
๐‘ป๐‘ฏ
๐‘ธ๐‘ฏ
๐‘ฎ
๐‘ป๐‘ฏ
๐‘ฎ
๐Ÿ
= ๐‘บ๐Ÿ − ๐‘บ๐Ÿ
−
−
๐‘ธ๐‘ช
๐‘ป๐‘ช
๐‘ธ๐‘ช
๐‘ป๐‘ช
≤๐ŸŽ
=โ–ณ ๐‘บ๐’›๐’– −โ–ณ ๐‘บ๐’‚๐’ƒ = ๐ŸŽ
๐›ฟ๐‘„
โˆฎ ๐‘‡ : Umlaufintegral über Kreisprozess. Q: zugeführte Wärmemenge.
T: absolute Temperatur an Systemgrenze wo Wärme übertragen wird,
d.h. Temperatur des Reservoirs, gegen das gearbeitet wird.
Seite 5
1.
2.
3.
4.
5.
๐Ÿ
๐‘ฎ
๐Ÿ‘
๐Ÿ’
๐Ÿ“
Erzeugungsrate im System
Zunahme des Entropieinhaltes des Systems
Entropietransport über Systemgrenze per Wärmeleitung
Mit Masse ausströmender Entropiestrom
Mit Masse einströmender Entropiestrom
ฬ‡ = −∑
๏‚ท stationärer Prozess , 1 Massenstrom: ๐‘†๐‘’๐‘Ÿ๐‘ง
๐‘„ฬ‡
๐‘‡๐บ
+ ๐‘šฬ‡(๐‘ ๐‘’ − ๐‘ ๐‘– )
STATIONÄRE INTERN RE VERSIBLE PROZESSE
๏‚ท Entropiebilanz für offene Systeme mit
0 = −∑
๐‘„ฬ‡
๐‘‡๐บ
๏‚ท 1. HS mit
+ ๐‘šฬ‡ โˆ™ (๐‘ 2 − ๐‘ 1 )
๐‘‘๐ธ๐‘ 
๐‘‘๐‘ก
= 0 und
๐‘„ฬ‡๐‘Ÿ๐‘’๐‘ฃ
๐‘šฬ‡
๐œ•
๐œ•๐‘ก
๐‘„ฬ‡๐‘Ÿ๐‘’๐‘ฃ
โŸน
= 0 , ๐‘šฬ‡๐‘’ = ๐‘šฬ‡๐‘– , ๐‘†ฬ‡๐‘’๐‘Ÿ๐‘ง = 0 :
๐‘šฬ‡
=
2
∫1 ๐‘‡๐‘‘๐‘ 
๐‘‡๐‘‘๐‘ =๐‘‘โ„Ž−๐‘ฃ๐‘‘๐‘
2
EXERGIEVERLUST :: GOUY-STODOLA -THEOREM
= ∫1 ๐‘‡๐‘‘๐‘  →
Die verlorene Arbeitsmöglichkeit ist die Differenz zwischen der maximal
möglichen und der effektiv vorhandenen Arbeitsleistung. Max. verlorene
Arbeit kann als Exergieverlust betrachtet werden. Exergie ๏‚ซ Entropie
2
n≠1 (polytrop): − ∫1 ๐‘ฃ ๐‘‘๐‘ = −
๐‘๐‘œ๐‘›๐‘ ๐‘ก.
๐‘›
๐‘›−1
๐‘2
⇒
๐‘1 ideales Gas
−๐‘…๐‘‡1 ln
(๐‘พ − ๐’‘๐ŸŽ โˆ†๐‘ฝ) − โŸ
โ–ณ ๐‘ฌ๐’™ = ∫ (๐Ÿ − ) ๐œน๐‘ธ − โŸ
๐‘ป๐ŸŽ โˆ™ ๐‘บ๐’†๐’“๐’›
๐‘ป๐‘ฎ
โŸ
๐‘ฌ๐’™,๐‘พ
๐‘ฌ๐’™,๐‘ฝ๐’†๐’“๐’๐’–๐’”๐’•
โŸ
โŸ ๐‘ฌ๐’™,๐‘ธ
(๐‘2 ๐‘ฃ2 − ๐‘1 ๐‘ฃ1 ) ⇒ −
iG
๐‘›
๐‘›−1
๐‘2
๐‘1
๐‘…(๐‘‡2 −๐‘‡1 )
๏‚ท In Düsen/Diffusoren: ๐‘Šฬ‡๐‘Ÿ๐‘’๐‘ฃ = 0 folgt der stationäre Bernoulli
2
∫1 ๐‘ฃ
๐‘‘๐‘ +
๐‘ค22 −๐‘ค12
2
inkompr. ๐‘
+ ๐‘”(๐‘ง2 − ๐‘ง1 ) = 0 →
๐œŒ
+
๐‘ค22
2
+ ๐‘”๐‘ง = ๐‘๐‘œ๐‘›๐‘ ๐‘ก.
๏‚ท Für isotherme Prozesse gilt auch (mit ๐‘ฃ ๐‘‘๐‘ = ๐‘‘โ„Ž − ๐‘‡ ๐‘‘๐‘ )
๐‘Šฬ‡๐‘Ÿ๐‘’๐‘ฃ
๐‘šฬ‡
= ๐‘‡(๐‘ 2 − ๐‘ 1 ) − (๐‘2
๐‘‰ฬ‡2
๐‘šฬ‡
๐‘‰ฬ‡1
๐‘ค22 −๐‘ค12
๐‘š
2
− ๐‘1 ฬ‡ ) −
− ๐‘”(๐‘ง2 − ๐‘ง1 )
๐‘‡0 : Umgebungstemperatur
๐บ
๐‘’๐‘ฅ = ๐‘ข − ๐‘ข0 + ๐‘0 (๐‘ฃ − ๐‘ฃ0 ) − ๐‘‡0 (๐‘  − ๐‘ 0 ) + ๐‘˜๐‘’ + ๐‘๐‘’
mit ๐พ๐ธ =
๐‘š๐‘ค 2
2
, ๐‘ƒ๐ธ = ๐‘š๐‘”๐‘ง , ๐‘˜๐‘’ =
๐‘ค2
2
, ๐‘๐‘’ = ๐‘”๐‘ง
EXERGIEDIFFERENZ FÜ R GESCH LOSSENE SYS TEME
โ–ณ ๐ธ๐‘ฅ = ๐ธ๐‘ฅ,2 − ๐ธ๐‘ฅ,1 =โ–ณ ๐‘ˆ + ๐‘0 (๐‘‰2 − ๐‘‰1 ) − ๐‘‡0 (๐‘†2 − ๐‘†1 ) + โˆ†๐พ๐ธ + โˆ†๐‘ƒ๐ธ
โ–ณ ๐‘’๐‘ฅ = ๐‘’๐‘ฅ,2 − ๐‘’๐‘ฅ,1 =โ–ณ ๐‘ข + ๐‘0 (๐‘ฃ2 − ๐‘ฃ1 ) − ๐‘‡0 (๐‘ 2 − ๐‘ 1 ) + โˆ†๐‘˜๐‘’ + โˆ†๐‘๐‘’
๐‘2
− ๐‘… โˆ™ ln ( )]
๐‘1
๐’…๐‘ฌ๐’™
๐‘ป๐ŸŽ
๐’…๐‘ฝ
= ๐‘ฌ๐’™ฬ‡ = ∑ (๐Ÿ − ) ๐‘ธฬ‡๐’Š − (๐‘พ − ๐’‘๐ŸŽ ) − ๐‘ป๐ŸŽ โˆ™ ๐‘บฬ‡๐’†๐’“๐’›
๐’…๐’•
๐‘ป๐’Š
๐’…๐’•
๏‚ท Gouy – Stodola:
−
๐‘‘๐ธ๐‘ฅ,๐‘–๐‘Ÿ๐‘Ÿ
๐‘‘๐‘ก
๏‚ท Bei Wärmeübergang: - stationäres System:
- keine Arbeit: ๐‘Š −
๐ธ๐‘ฅ,๐‘ฃ
−
๐‘‘๐ธ๐‘ฅ
๐‘‘๐‘ก
๐‘‘๐‘‰
๐‘0
๐‘‘๐‘ก
= 0 , ๐‘„ฬ‡1 = ๐‘„ฬ‡2 = ๐‘„ฬ‡
=0
๐‘ต
๐‘ป
(๐Ÿ−๐‘ป ๐ŸŽ )โˆ™๐‘ธฬ‡๐‘ธ
๐‘ธ
⇒
๐‘‡๐‘–
๐‘‘๐ธ๐‘ฅ,๐‘–๐‘Ÿ๐‘Ÿ
๐‘‡
๐‘‡1
๐‘‡
๐‘‡1
๐‘‡2
๐‘‘๐‘‰
๐‘‘๐‘ก
๐‘‡
ฬ‡
) + ∑ ๐‘„ฬ‡๐‘– (1 − 0 ) − ๐‘‡0 ๐‘†๐‘’๐‘Ÿ๐‘ง
๐‘‡๐‘–
๐‘ป
= ∑ ๐’Žฬ‡๐’Š โˆ™ ๐’†๐’™,๐’”๐’•๐’“,๐’Š − ∑ ๐’Žฬ‡๐’† โˆ™ ๐’†๐’™,๐’”๐’•๐’“,๐’† − ๐‘พฬ‡๐’” + ∑ ๐‘ธฬ‡๐’Š (๐Ÿ − ๐ŸŽ ) − ๐‘ป๐ŸŽ โˆ™ ๐‘บฬ‡๐’†๐’“๐’›
๐‘ป๐’Š
๐‘‘๐‘‰
↑ wobei angenommen wurde, dass = 0
๐‘‘๐‘ก
๏‚ท Jeder Term enthält 100% nutzbare Energie.
๏‚ท reversibler Prozess: ๐‘‡0 โˆ™ ๐‘†๐‘’๐‘Ÿ๐‘ง = 0
๐‘‘๐ธ๐‘ฅ
๏‚ท stationär, 1 Massenstrom:
= 0 , ๐‘šฬ‡ ๐‘– = ๐‘šฬ‡๐‘’ = ๐‘šฬ‡
๐‘‘๐‘ก
∑ (๐Ÿ −
๐‘ป๐’
๐‘ป๐’Š
(๐Ÿ−๐‘ป ๐ŸŽ )
๐‘ต
๐‘ป
(๐Ÿ−๐‘ป ๐ŸŽ )
๐‘ธ
)
BEISPIELE VON EXERGETISCHEN WIRKUNSGRADEN
๏‚ท offenes System mit Leistung: ๐œ€ =
๐ธฬ‡๐‘ฅ,๐‘๐‘ข๐‘ก๐‘ง
๐‘šฬ‡(๐‘’๐‘ฅ,๐‘ ๐‘ก๐‘Ÿ,1 −๐‘’๐‘ฅ,๐‘ ๐‘ก๐‘Ÿ,2 )
=
๐ธฬ‡๐‘ฅ,๐‘๐‘ข๐‘ก๐‘ง
๐ธฬ‡๐‘ฅ,๐‘๐‘ข๐‘ก๐‘ง +๐‘‡0 โˆ™๐‘†๐‘’๐‘Ÿ๐‘ง
๐‘‡
๐ธฬ‡๐‘ฅ,๐‘๐‘ข๐‘ก๐‘ง = ๐‘„ฬ‡๐ด โˆ™ (1 − 0 ) + ๐‘Šฬ‡๐‘†
๐‘‡๐ด
๐ธฬ‡๐‘ฅ,๐‘๐‘ข๐‘ก๐‘ง = ๐‘Šฬ‡๐‘†
๏‚ท Turbine:
๐œ€=
๏‚ท Pumpe/Kompressor:
๐œ€=
๐‘Šฬ‡๐‘†
๐‘šฬ‡(๐‘’๐‘ฅ,๐‘ ๐‘ก๐‘Ÿ,1 −๐‘’๐‘ฅ,๐‘ ๐‘ก๐‘Ÿ,2 )
=
๐‘Šฬ‡๐‘†
๐‘Šฬ‡๐‘† +๐‘‡0 โˆ™๐‘†๐‘’๐‘Ÿ๐‘ง
๐‘šฬ‡(๐‘’๐‘ฅ,๐‘ ๐‘ก๐‘Ÿ,2 −๐‘’๐‘ฅ,๐‘ ๐‘ก๐‘Ÿ,1 )
๐‘Šฬ‡
−๐ธ๐‘ฅ,๐‘ฃ
= ๐‘–๐‘›๐‘ฃ๐‘’๐‘ ๐‘ก
๐‘Šฬ‡๐‘–๐‘›๐‘ฃ๐‘’๐‘ ๐‘ก
๐‘Šฬ‡๐‘–๐‘›๐‘ฃ๐‘’๐‘ ๐‘ก
−๐‘Šฬ‡๐‘† −๐‘‡0 โˆ™๐‘†๐‘’๐‘Ÿ๐‘ง ๐‘„๐‘ฃ๐‘’๐‘Ÿ๐‘™ =0 (โ„Ž2 −โ„Ž1 )−๐‘‡0 (๐‘ 2 −๐‘ 1 )
⇒
−๐‘Šฬ‡๐‘†
๏‚ท Wärmetauscher ohne Vermischung:
๐œ€=
๏‚ท Wärmetauscher mit Vermischung:
๐œ€=
(โ„Ž2 −โ„Ž1 )
๐‘šฬ‡๐ถ (๐‘’๐‘ฅ,๐‘ ๐‘ก๐‘Ÿ,๐ถ,๐‘’ −๐‘’๐‘ฅ,๐‘ ๐‘ก๐‘Ÿ,๐ถ,๐‘– )
๐‘šฬ‡๐ป (๐‘’๐‘ฅ,๐‘ ๐‘ก๐‘Ÿ,๐ป,๐‘– −๐‘’๐‘ฅ,๐‘ ๐‘ก๐‘Ÿ,๐ป,๐‘’ )
๐‘šฬ‡๐ถ,๐‘– (๐‘’๐‘ฅ,๐‘ ๐‘ก๐‘Ÿ,๐‘’ −๐‘’๐‘ฅ,๐‘ ๐‘ก๐‘Ÿ,๐ถ,๐‘– )
๐‘šฬ‡๐ป,๐‘– (๐‘’๐‘ฅ,๐‘ ๐‘ก๐‘Ÿ,๐ป,๐‘– −๐‘’๐‘ฅ,๐‘ ๐‘ก๐‘Ÿ,๐‘’ )
๐‘‡2
= ๐ธ๐‘ฅ,๐‘ฃ = ๐‘‡0 โˆ™ ๐‘†ฬ‡๐‘’๐‘Ÿ๐‘ง = ๐‘„ฬ‡ ( 0 − 0 )
๐‘‘๐‘ก
= ∑ ๐‘šฬ‡๐‘– ๐‘’๐‘ฅ,๐‘ ๐‘ก๐‘Ÿ,๐‘– − ∑ ๐‘šฬ‡๐‘’ ๐‘’๐‘ฅ,๐‘ ๐‘ก๐‘Ÿ,๐‘’ − (๐‘Šฬ‡๐‘  − ๐‘0
๐’…๐’•
๐‘ป
= ๐œผ(
๐‘‡
๐‘‡
๐‘‡
= ๐‘‡0 โˆ™ ๐‘†ฬ‡๐‘’๐‘Ÿ๐‘ง = ∑ (1 − 0 ) ๐‘„ฬ‡๐‘– = ๐‘„ฬ‡ ( 0 − 0 )
EXERGIEBILANZ FÜR OF FENE SYSTEME
๐‘‘๐‘ก
๐‘Šฬ‡๐‘† bei Wärmeströmen ๐‘„ฬ‡๐‘
⇒
๐‘„ฬ‡๐‘„
๐‘„ฬ‡๐‘„
๐‘ป๐ŸŽ
๐›๐ž๐ข ๐–ä๐ซ๐ฆ๐ž๐ฌ๐ญ๐ซö๐ฆ๐ž๐ง (๐Ÿ−๐‘ป )โˆ™๐‘ธฬ‡๐‘ต
=
= ๐ธ๐‘ฅ,๐‘ฃ = ๐‘‡0 โˆ™ ๐‘†ฬ‡๐‘’๐‘Ÿ๐‘ง
) ๐‘ธฬ‡๐’Š − ๐‘พฬ‡๐’” − ๐‘ป๐ŸŽ ๐‘บฬ‡๐’†๐’“๐’› = ๐’Žฬ‡[๐’‰๐Ÿ −๐’‰๐Ÿ − ๐‘ป๐ŸŽ (๐’”๐Ÿ − ๐’”๐Ÿ ) + โˆ†๐’Œ๐’† + โˆ†๐’‘๐’†]
ฬ‡ = ๐ธฬ‡๐‘ฅ,๐‘ ๐‘ก๐‘Ÿ,๐‘’ − ๐ธฬ‡๐‘ฅ,๐‘ ๐‘ก๐‘Ÿ,๐‘–
oder anderst geschrieben: ∑ (1 − ๐‘‡๐‘œ ) ๐‘„ฬ‡๐‘– − ๐‘Šฬ‡๐‘  − ๐‘‡0 ๐‘†๐‘’๐‘Ÿ๐‘ง
๐‘–
DER EXERGETISCHE WIRKUNGSGRAD (2 N D LAW EFF.)
๐‘’๐‘ฅ,๐‘ ๐‘ก๐‘Ÿ = (โ„Ž − โ„Ž0 ) − ๐‘‡0 (๐‘  − ๐‘ 0 ) + ๐‘˜๐‘’ + ๐‘๐‘’
Der energetische Wirkungsgrad ๐œผ bewertet die Nutzung der Energie in
der Quantität, währenddessen der exergetische Wirkungsgrad ๐œบ die
Nutzung der Exergie in der Quantität bewertet – und damit die
qualitative Nutzung der Energie beschreibt.
Ganz allgemein gilt: ๐›† ↑ @ {(๐‘ป๐‘ต − ๐‘ป๐ŸŽ ) ↑ , (๐‘ป๐‘ธ − ๐‘ป๐‘ต ) ↓ }
โ–ณ ๐ธฬ‡๐‘ฅ,๐‘ ๐‘ก๐‘Ÿ = ๐ธฬ‡๐‘ฅ,๐‘ ๐‘ก๐‘Ÿ,2 − ๐ธฬ‡๐‘ฅ,๐‘ ๐‘ก๐‘Ÿ,1 = ๐‘šฬ‡[(โ„Ž2 − โ„Ž1 ) − ๐‘‡0 (๐‘ 2 − ๐‘ 1 ) + โˆ†๐‘˜๐‘’ + โˆ†๐‘๐‘’]
โ–ณ ๐‘’๐‘ฅ,๐‘ ๐‘ก๐‘Ÿ = ๐‘’๐‘ฅ,๐‘ ๐‘ก๐‘Ÿ,2 − ๐‘’๐‘ฅ,๐‘ ๐‘ก๐‘Ÿ,1 = (โ„Ž2 − โ„Ž1 ) − ๐‘‡0 (๐‘ 2 − ๐‘ 1 ) + โˆ†๐‘˜๐‘’ + โˆ†๐‘๐‘’
๐’ˆ๐’†๐’๐’–๐’•๐’›๐’•๐’†๐’“ ๐‘ฌ๐’™๐’†๐’“๐’ˆ๐’Š๐’†๐’”๐’•๐’“๐’๐’Ž
๐’›๐’–๐’ˆ๐’†๐’‡๐’–๐’†๐’‰๐’“๐’•๐’†๐’“ ๐‘ฌ๐’™๐’†๐’“๐’ˆ๐’Š๐’†๐’”๐’•๐’“๐’๐’Ž
- ohne Nutzung der Abwärme
๐‘ฌฬ‡๐’™,๐’”๐’•๐’“ = ๐’Žฬ‡[(๐’‰ − ๐’‰๐ŸŽ ) − ๐‘ป๐ŸŽ (๐’” − ๐’”๐ŸŽ ) + ๐’Œ๐’† + ๐’‘๐’†]
EXERGIEDIFFERENZ FÜ R OFFENE SYSTEME
๐œบ=
- bei Nutzung der Abwärme
๐‘‡
EXERGIE FÜR OFFENE S YSTEME
๏‚ท Exergetisch:
EXERGIEÄNDERUNGS GESC HWINDIGKEIT
๐’…๐‘ฌ๐’™
๐‘ฌ๐’™ = ๐‘ผ − ๐‘ผ๐ŸŽ + ๐’‘๐ŸŽ (๐‘ฝ − ๐‘ฝ๐ŸŽ ) − ๐‘ป๐ŸŽ (๐‘บ − ๐‘บ๐ŸŽ ) + ๐‘ฒ๐‘ฌ + ๐‘ท๐‘ฌ
−
๐‘ 10
๏‚ท stationärer Prozess: โ–ณ ๐ธ๐‘ฅ = 0
๏‚ท reversibler Prozess: ๐‘‡0 โˆ™ ๐‘†๐‘’๐‘Ÿ๐‘ง = 0
๏‚ท keine Arbeit:
๐‘Š − ๐‘0 โˆ†๐‘ฃ = 0
๐‘‘๐ธ๐‘ฅ
EXERGIE FÜR GESCHLOS SENE S YSTEME
[๐‘ 20
∫ (1 − ๐‘‡ ) ๐›ฟ๐‘„ = ๐‘„12 − ๐‘‡0 โˆ™ โˆ†๐‘† = ๐‘„12 − ๐‘‡0 โˆ™ ๐‘š โˆ™
EXERGIE
Exergie ist ein Mass für die vorhandene Arbeitsmöglichkeit der Energie.
Es ist der Anteil des Energieinhaltes eines Systems, der maximal mittels
eines reversiblen Prozesses in Arbeit umgewandelt werden kann.
Anergie ist der Energieanteil, der nach dem Erreichen des Gleichgewichtes im System zurückbleibt und nicht mehr in Arbeit umgewandelt
werden kann.
Die Exergie eines isolierten, geschlossenen Systems kann nur abnehmen.
Zum Beispiel wird im System Motor und Umgebung bei der Verbrennung
keine Energie, wohl aber Exergie verbraucht.
๐‘‡๐บ : Temperatur am Ort der Q-Übertragung
๐‘‡0
=
๏‚ท Bsp.: {๐‘‡0 = 0°C , ๐‘‡๐‘„ = 800°C , ๐‘‡๐‘ = 24°C} โŸน {๐œ‚ = 90% ๏‚ฎ ๐œบ ≅ ๐Ÿ๐ŸŽ%}
๐’Š๐’“๐’“๐’“๐’†๐’—๐’†๐’“๐’”๐’Š๐’ƒ๐’†๐’
๐’“๐’†๐’—๐’†๐’“๐’”๐’Š๐’ƒ๐’†๐’
๐‘”๐‘’๐‘›๐‘ข๐‘ก๐‘ง๐‘ก๐‘’๐‘Ÿ ๐ธ๐‘›๐‘’๐‘Ÿ๐‘”๐‘–๐‘’๐‘ ๐‘ก๐‘Ÿ๐‘œ๐‘š
๐‘ง๐‘ข๐‘”๐‘’๐‘“üโ„Ž๐‘Ÿ๐‘ก๐‘’๐‘Ÿ ๐ธ๐‘›๐‘’๐‘Ÿ๐‘”๐‘–๐‘’๐‘ ๐‘ก๐‘Ÿ๐‘œ๐‘š
๐Ÿ−๐‘ป๐ŸŽ /๐‘ป๐‘ต
๏‚ท ๐œบ⁄๐œผ =
๐Ÿ−๐‘ป๐ŸŽ /๐‘ป๐‘ธ
๐œ€ โŸถ ๐œ‚ ≡ ๐ธ๐‘ฅ,๐‘‰๐‘’๐‘Ÿ๐‘™๐‘ข๐‘ ๐‘ก โŸถ 0 für ๐‘‡๐‘ โŸถ ๐‘‡๐‘„ ≡ ๐‘†๐‘’๐‘Ÿ๐‘ง โŸถ 0 oder ๐‘‡0 โŸถ 0
๐‘ป๐ŸŽ
2
๐œ‚=
wobei Indizes: Q: Quelle, N: Nutz, 0: Umgebung
EXERGIEBILANZ FÜR GE SCHLOSSENE SYSTEME
๏‚ท Berechnung des Integrals − ∫1 ๐‘ฃ ๐‘‘๐‘ mit ๐‘ โˆ™ ๐‘ฃ ๐‘› = ๐‘๐‘œ๐‘›๐‘ ๐‘ก.
2
[๐‘˜๐ฝ]
๐‘ฌ๐’™,๐‘ฝ๐’†๐’“๐’๐’–๐’”๐’• = ๐‘ป๐ŸŽ โˆ™ ๐‘บ๐’†๐’“๐’› = ๐‘Š๐‘‰๐‘’๐‘Ÿ๐‘™๐‘ข๐‘ ๐‘ก = ๐‘Š๐‘Ÿ๐‘’๐‘ฃ − ๐‘Š
2
โ„Ž2 − โ„Ž1 − ∫1 ๐‘ฃ ๐‘‘๐‘ :
๐Ÿ
๐‘พฬ‡๐’“๐’†๐’—
๐’˜๐Ÿ๐Ÿ − ๐’˜๐Ÿ๐Ÿ
= − ∫ ๐’— ๐’…๐’‘ −
− ๐’ˆ(๐’›๐Ÿ − ๐’›๐Ÿ )
๐’Žฬ‡
๐Ÿ
๐Ÿ
n=1 (isotherm): − ∫1 ๐‘ฃ ๐‘‘๐‘ = − ๐‘โŸ
1 ๐‘ฃ1 ln
๏‚ท Energetisch:
Seite 6
EX-PRÜFUNGSAUFGABE :: KOMPRESSIONSWÄRMEPUM PE
1: gesättigeter Dampf
1๏‚ฎ2: isobare Überhitzung
2๏‚ฎ3: irr. adiabat. Verdichtung
3๏‚ฎ4: isobare Abkühlung,
vollständige Kondensation
4๏‚ฎ5: Unterkühlung an Sättigl.
5๏‚ฎ6: isentrope Drosselung
6๏‚ฎ1: isobare Verdampfung
Geg.: ๐‘Šฬ‡โ„Ž๐‘’๐‘–๐‘ง , ๐œ‚๐พ,๐‘ 
Ges.: ๐‘šฬ‡, ๐‘„ฬ‡12 , ๐‘„ฬ‡61 , ๐‘Šฬ‡๐พ๐‘œ๐‘š๐‘ , ๐œ€๐‘Š
Vorgehen:
i. mit Tabellen:
๐œ‚๐พ,๐‘  → โ„Ž1 , โ„Ž2 … โ„Ž6 bestimmen
ii. ๐‘Šฬ‡โ„Ž๐‘’๐‘–๐‘ง = −๐‘„ฬ‡34 = ๐‘šฬ‡(โ„Ž3 − โ„Ž4 )
iii. ๐‘„ฬ‡12 = ๐‘šฬ‡(โ„Ž2 − โ„Ž1 )
iv. ๐‘„ฬ‡61 = ๐‘šฬ‡(โ„Ž1 − โ„Ž6 )
v. ๐‘Šฬ‡๐พ๐‘œ๐‘š๐‘ = ๐‘šฬ‡(โ„Ž2 − โ„Ž3 )
vi. ๐œ€๐‘Š =
๐‘„๐‘ง๐‘ข/โ„Ž๐‘’๐‘–๐‘ ๐‘ 
−๐‘ŠS
=
−๐‘Šฬ‡โ„Ž๐‘’๐‘–๐‘ง
−๐‘Šฬ‡๐พ๐‘œ๐‘š๐‘
EGR: EXHAUST GAS REC IRCULA TION / ABGASRÜ CKFÜHRUNG
THERMODYNAMIK 2 :: L AV
Idee: Rückgeführte
Abgase kühlen sich
wieder auf die
Einlasstemperatur ab
und müssen von neuem
aufgeheizt werden.
๐‘‡๐‘“,๐‘Ž๐‘‘ ↓
--
DEFINITIONEN
๏‚ท
KONSTANTEN
- Normdruck
- Normtemperatur
- Pferdestärke
- Elementarladung
- Faraday’sche Konstante
- ppm = parts per million
๐‘๐‘Ÿ๐‘’๐‘“ = 1๐‘Ž๐‘ก๐‘š = 1.01325 ๐‘๐‘Ž๐‘Ÿ
๐‘‡๐‘Ÿ๐‘’๐‘“ = 298 ๐พ ≅ 25°๐ถ
1โ„Ž๐‘ = 1๐‘ƒ๐‘† = 0.735๐‘˜๐‘Š
๐‘’ = 1.60219 โˆ™ 10−19 C
๐ถ
๐ดโˆ™๐‘ 
๐‘“ = ๐‘๐ด โˆ™ ๐‘’ = 96485.3
=
๐‘š๐‘œ๐‘™
๐‘š๐‘œ๐‘™
−6
1๐‘๐‘๐‘š = 10
๐‘ฟ๐‘ฌ๐‘ฎ๐‘น =
- Molar ๏‚ซ Massenspezifisch
๐‘š
๐‘›=
๐‘€
๐‘€: [
๐‘›๐‘–
- Molanteil (Volumenanteil)
๐‘‹๐‘– = ∑
- Partialdruck
- Konzentration (molar)
๐‘๐‘– = ๐‘‹๐‘– โˆ™ ๐‘๐‘›๐‘’๐‘ก
๐‘๐‘– = ๐‘›๐‘– /๐‘‰๐‘›๐‘’๐‘ก
- Massenanteil
๐‘Œ๐‘– =
- Luftüberschussfaktor
- Isentropenkoeffizient
๐‘–
๐‘›๐‘–
๐‘š๐‘–
=
๐‘›๐‘–
๐‘›๐‘›๐‘’๐‘ก
๐‘‰๐‘–
=∑
๐‘–
๐‘‰๐‘–
๐‘๐‘ฃ
=1+
๐‘๐‘ฃ
=
= (๐‘›
๐‘๐‘
๐‘๐‘ −๐‘…
๐’š
๐‘ช๐’™ ๐‘ฏ๐’š + ๐€ (๐’™ + ) (๐‘ถ๐Ÿ + ๐Ÿ‘. ๐Ÿ•๐Ÿ” ๐‘ต๐Ÿ ) โŸถ
๐Ÿ’
๐’š
๐’š
๐’š
๐’™ โˆ™ ๐‘ช๐‘ถ๐Ÿ + โˆ™ ๐‘ฏ๐Ÿ ๐‘ถ + (๐€ − ๐Ÿ) (๐’™ + ) ๐‘ถ๐Ÿ + ๐Ÿ‘. ๐Ÿ•๐Ÿ” โˆ™ ๐€ (๐’™ + ) ๐‘ต๐Ÿ
๐Ÿ
๐Ÿ’
๐Ÿ’
๏‚ฎ Beispiel Methan CH4:
C๐ป4 + 2๐œ†(๐‘‚2 + 3.76 ๐‘2 ) โŸถ ๐ถ๐‘‚2 + 2๐ป2 ๐‘‚ + 2 โˆ™ (๐œ† − 1)๐‘‚2 + 7.52๐œ† โˆ™ ๐‘2
๐’š
๐‘ช๐’™ ๐‘ฏ๐’š + ๐€ (๐’™ + ) (๐‘ถ๐Ÿ + ๐Ÿ‘. ๐Ÿ•๐Ÿ” ๐‘ต๐Ÿ ) โŸถ
๐Ÿ’
๐€๐’š
๐’š
(๐Ÿ − ๐€)๐‘ช๐’™ ๐‘ฏ๐’š + ๐€๐’™ โˆ™ ๐‘ช๐‘ถ๐Ÿ +
โˆ™ ๐‘ฏ๐Ÿ ๐‘ถ + ๐Ÿ‘. ๐Ÿ•๐Ÿ” โˆ™ ๐€ (๐’™ + ) ๐‘ต๐Ÿ
๐Ÿ
๐Ÿ’
๏‚ฎ Beispiel Methan CH4:
๐ถ๐ป4 + 2๐œ†(๐‘‚2 + 3.76 ๐‘2 )
โŸถ (1 − ๐œ†)๐ถ๐ป4 + ๐œ† โˆ™ ๐ถ๐‘‚2 + 2๐œ† โˆ™ ๐ป2 ๐‘‚ + 7.52๐œ† โˆ™ ๐‘2
REAKTIONSGLN VERBREN NU NG VON ๐ถ๐‘ฅ ๐ป๐‘ฆ ๐‘‚๐‘ง AN LUFT
๐’š
๐’›
๐Ÿ’
๐Ÿ
๐‘ช๐’™ ๐‘ฏ๐’š ๐‘ถ๐’› + ๐€ (๐’™ + − ) (๐‘ถ๐Ÿ + ๐Ÿ‘. ๐Ÿ•๐Ÿ” ๐‘ต๐Ÿ ) โŸถ
๐’š
๐’š
๐’›
๐Ÿ’
๐Ÿ
๐’™ โˆ™ ๐‘ช๐‘ถ๐Ÿ + โˆ™ ๐‘ฏ๐Ÿ ๐‘ถ + (๐€ − ๐Ÿ) (๐’™ + − ) ๐‘ถ๐Ÿ + ๐Ÿ‘. ๐Ÿ•๐Ÿ” โˆ™
๐’š
๐Ÿ
๐’›
๐Ÿ’
๐Ÿ
2
4
4
๐‘ฆ
๐ถ๐‘ฅ ๐ป๐‘ฆ + ๐œ† (๐‘ฅ + ) (๐‘‚2 + 3.76 ๐‘2 )
4
๐œ†๐‘ฆ
2
๐œ†๐‘ฆ
2
๐‘ฆ
โˆ™ ๐ป2๐‘‚ + 3.76 โˆ™ ๐œ† (๐‘ฅ + ) ๐‘2 ] โŸถ
4
๐‘ฆ
โˆ™ ๐ป2๐‘‚ + 3.76 โˆ™ ๐œ† (๐‘ฅ + ) ๐‘2 ]
4
๐€ (๐’™ + − ) ๐‘ต๐Ÿ
๏‚ฎ Beispiel Methanol CH3OH:
๐ถ๐ป3 ๐‘‚๐ป + 1.5๐œ†(๐‘‚2 + 3.76 ๐‘2 )
โŸถ ๐ถ๐‘‚2 + 2๐ป2 ๐‘‚ + 1.5 โˆ™ (๐œ† − 1)๐‘‚2 + 5.64๐œ† โˆ™ ๐‘2
Gegeben: Daten aus Bild , ๐œ† = 1
๐‘˜๐‘”
๐‘šฬ‡๐‘“๐‘ข๐‘’๐‘™ = 1.8 โˆ™ 10−3 [ ]
๐‘ 
Gesucht: ๐‘„ฬ‡
i. Reaktionsgleichung: Octan mit ๐œ† = 1:
๐ถ8 ๐ป18 + 12.5๐‘‚2 + 47๐‘2 โŸถ 8๐ถ๐‘‚2 + 9๐ป2 ๐‘‚ + 47๐‘2
ii. 1. HS nach ๐‘„ฬ‡ aufgelöst:
๐‘„ฬ‡ = ๐‘›ฬ‡ ๐‘“๐‘ข๐‘’๐‘™ (๐‘Šฬ‡๐‘  + ∑๐‘ƒ ๐‘›๐‘’ โ„Žฬ…๐‘’ − ∑๐‘… ๐‘›๐‘– โ„Žฬ…๐‘– )
๐‘‡=๐‘‡๐‘Ÿ๐‘’๐‘“
ENTHALPIEN
iii. ∑๐‘… ๐œˆ๐‘– โ„Žฬ…๐‘– = ⇒
๏‚ท allgemein: โ„Žฬ… = โ„Žฬ…๐‘“0 + โ„Žฬ…(๐‘‡, ๐‘) − โ„Žฬ…(๐‘‡๐‘Ÿ๐‘’๐‘“ , ๐‘๐‘Ÿ๐‘’๐‘“ )
๏‚ท ideale Gase:
iv. ∑๐‘ƒ ๐œˆ๐‘’ โ„Žฬ…๐‘’ = ⇒
8[โ„Žฬ…๐‘“0 + โ„Žฬ…(890๐พ) − โ„Žฬ…(๐‘‡๐‘Ÿ๐‘’๐‘“ )] + 9[โ„Žฬ…๐‘“0 +
๐ถ๐‘‚2
โ„Žฬ…(890๐พ) − โ„Žฬ…(๐‘‡๐‘Ÿ๐‘’๐‘“ )]
+ 47[โ„Žฬ…๐‘“0 + โ„Žฬ…(890๐พ) − โ„Žฬ…(๐‘‡๐‘Ÿ๐‘’๐‘“ )]
ฬ…= ๐’‰
ฬ… ๐ŸŽ๐’‡ + ๐’‰
ฬ… (๐‘ป) − ๐’‰
ฬ… (๐‘ป๐’“๐’†๐’‡ )
๐’‰
โŸ
โŸ
REAKTIONSGLEICHUNGEN VE RBRENNUNG VON ๐ถ๐‘ฅ ๐ป๐‘ฆ AN LUFT
๐€ ≥ ๐Ÿ:
4
๐‘ฆ
(1 + ๐‘›๐‘ฅ ) [(1 − ๐œ†)๐ถ๐‘ฅ ๐ป๐‘ฆ + ๐œ†๐‘ฅ โˆ™ ๐ถ๐‘‚2 +
(๐‘›๐ฟ⁄๐‘›๐ต )
VERBRENNUNGSPROZESSE
๏‚ท ๐€ < ๐Ÿ:
๐‘ฆ
4
๐‘ฆ
๐ฟ⁄๐‘›๐ต )๐‘ ๐‘กö๐‘โ„Ž
๏ƒซ bei idealen Gasen siehe Seite 1
๏‚ท ๐€ ≥ ๐Ÿ:
๐‘ฆ
+ ๐‘›๐‘ฅ [(1 − ๐œ†)๐ถ๐‘ฅ ๐ป๐‘ฆ + ๐œ†๐‘ฅ โˆ™ ๐ถ๐‘‚2 +
๐‘— ๐‘›๐‘— โˆ™๐‘€๐‘—
๐‘…
4
2
๐‘ฆ
(1 + ๐‘›๐‘ฅ ) [๐‘ฅ โˆ™ ๐ถ๐‘‚2 + โˆ™ ๐ป2 ๐‘‚ + (๐œ† − 1) (๐‘ฅ + ) ๐‘‚2 + 3.76 โˆ™ ๐œ† (๐‘ฅ + ) ๐‘2 ]
∑ ๐‘— ๐‘›๐‘—
๐ฟ ⁄๐‘šฬ‡๐ต )๐‘ ๐‘กö๐‘โ„Ž
BENZINMOTOR
๐‘ฆ
๐‘‰๐‘›๐‘’๐‘ก
= (๐‘šฬ‡
๐‘–
+ ๐‘›๐‘ฅ [๐‘ฅ โˆ™ ๐ถ๐‘‚2 + โˆ™ ๐ป2 ๐‘‚ + (๐œ† − 1) (๐‘ฅ + ) ๐‘‚2 + 3.76 โˆ™ ๐œ† (๐‘ฅ + ) ๐‘2 ] โŸถ
๏‚ท ๐œ† < 1:
๐ฟ ⁄๐‘š๐ต )๐‘ ๐‘กö๐‘โ„Ž
๐‘๐‘
๐‘๐‘ฃ +๐‘…
=
=
๐‘‰๐‘–
(๐‘šฬ‡๐ฟ ⁄๐‘šฬ‡๐ต )
๐œ† = (๐‘š
๐‘๐‘ฃ
๐‘˜๐‘š๐‘œ๐‘™
] ๐‘›: [๐‘˜๐‘š๐‘œ๐‘™] ๐‘š: [๐‘˜๐‘”]
๐‘’
๐ถ๐‘ฅ ๐ป๐‘ฆ + ๐œ† (๐‘ฅ + ) (๐‘‚2 + 3.76 ๐‘2 )
๐‘ฆ
= ๐‘‹๐‘– โˆ™ ๐‘€๐‘– โˆ™ ∑
๐‘š๐‘›๐‘’๐‘ก
(๐‘š๐ฟ ⁄๐‘š๐ต )
๐œ…=
๐‘˜๐‘”
๐‘›ฬ‡ ๐‘“๐‘ข๐‘’๐‘™
๐‘›ฬ‡ ๐ธ๐บ๐‘… ๐‘›๐ธ๐บ๐‘… ๐‘›๐‘ฅ โˆ™ ๐‘›๐‘›๐‘’๐‘ก_๐‘œ๐‘™๐‘‘(๐‘Ž๐‘  ๐‘–๐‘“ ๐‘›๐‘œ ๐ธ๐บ๐‘…)
๐’๐’™
=
=
=
(1 + ๐‘›๐‘ฅ ) โˆ™ ๐‘›๐‘›๐‘’๐‘ก_๐‘œ๐‘™๐‘‘
๐‘›ฬ‡ ๐‘›๐‘’๐‘ก
๐‘›๐‘›๐‘’๐‘ก
๐Ÿ + ๐’๐’™
๏‚ท ๐œ† ≥ 1:
GRÖSSEN
๏‚ท Wandwärmeverluste als Anteil ๐‘‹ der maximalen Kraftstoffwerte, also
als Anteil des Heizwertes (je nach Phase des Wassers ๐ป๐‘ˆ,๐‘‚ ):
๐‘„ฬ‡
= ∑๐‘ƒ ๐‘›๐‘’ โ„Žฬ…๐‘’ − ∑๐‘… ๐‘›๐‘– โ„Žฬ…๐‘–
ฬ… −∑ ๐‘› โ„Ž
ฬ…
๐‘›ฬ‡ ๐‘“๐‘ข๐‘’๐‘™
∑ ๐‘› โ„Ž
} โŸน ๐‘‹ = ∑ ๐‘ƒ ๐‘’ฬ…0 ๐‘’ ๐‘… ๐‘– ฬ…๐‘–0
ฬ‡
๐‘„
0
0
๐‘ƒ ๐‘›๐‘’ โ„Ž๐‘“ −∑๐‘… ๐‘›๐‘– โ„Ž๐‘“
ฬ…
ฬ…
๐‘’
๐‘–
= ๐‘‹ (∑๐‘ƒ ๐‘›๐‘’ โ„Ž๐‘“ − ∑๐‘… ๐‘›๐‘– โ„Ž๐‘“ )
A−23 bis A−28
A−30
๏‚ท ideale Gase, mit ๐‘ฬ…๐‘ :
ฬ…๐‘“0 +
โ„Žฬ… = โ„Ž
โŸ
A−30
๐‘‡
๐‘ฬ…๐‘ (๐‘‡) ๐‘‘๐‘ก
∫๐‘‡ โŸ
๐‘Ÿ๐‘’๐‘“
A−21
1. HAUPTSATZ FÜR OFF ENE SYSTEME
๏‚ท stationär, KE und PE vernachlässigbar:
๐‘„ฬ‡ − ๐‘Šฬ‡๐‘  = ∑๐‘ƒ ๐‘šฬ‡๐‘’ โ„Ž๐‘’ − ∑๐‘… ๐‘šฬ‡๐‘– โ„Ž๐‘–
๏‚ท pro Mol Brennstoff
๐‘ธฬ‡
๐‘พฬ‡๐’”
ฬ… ๐’† − ∑ ๐’๐’Š ๐’‰
ฬ…๐’Š
−
= ∑ ๐’๐’† ๐’‰
๐’ฬ‡ ๐’‡๐’–๐’†๐’ ๐’ฬ‡ ๐’‡๐’–๐’†๐’
๐‘ท
wobei
๐‘น
๐‘ƒ = Produkte, ๐‘… = Reaktanden, ๐‘’ = exit und ๐‘– = inlet
๐‘› = stöchiometrische Verhältnisse bei ๐‘›๐‘“๐‘ข๐‘’๐‘™ = 1
REAKTIONSENTHALPIE U ND HEIZWERTE
๏‚ท Reaktionsenthalpie: โ„Žฬ…๐‘… = ∑๐‘ƒ ๐‘›๐‘’ โ„Žฬ…๐‘’ − ∑๐‘… ๐‘›๐‘– โ„Žฬ…๐‘–
๏‚ท Heizwerte = Reaktionsenthalpien bei ๐‘‡๐‘… = ๐‘‡๐‘ƒ = ๐‘‡๐‘Ÿ๐‘’๐‘“ ⇒ โ„Žฬ… = โ„Žฬ…๐‘“0
๐‘˜๐ฝ
−โ„Žฬ…๐‘…0
⁄๐‘€
๐ป๐‘ˆ,๐‘‚ = −โ„Ž๐‘…0 =
๐ป๐‘ˆ,๐‘‚ : [ ]
๐‘˜๐‘”
๐‘“๐‘ข๐‘’๐‘™
- unterer Heizwert ๐ป๐‘ˆ : Verbrennungsprodukt Wasser gasförmig
- oberer Heizwert ๐ป๐‘‚ : Verbrennungsprodukt Wasser flüssig
๏‚ฎ falls nichts angegeben, gilt ๐ป๐‘ˆ
๏‚ท Leistung (Heizleistung): ๐‘ƒ = ๐ป๐‘ˆ,๐‘‚ โˆ™ ๐‘šฬ‡๐‘“๐‘ข๐‘’๐‘™
๏‚ท Wandwärmeverluste: Wird keine Arbeit geleistet, ist die ganze
Reaktionsenthalpie zu den Wandwärmeverlusten zu zählen.
Seite 7
1[โ„Žฬ…๐‘“0 ]
๐‘‡=890๐พ
v. ๐‘›ฬ‡ ๐‘“๐‘ข๐‘’๐‘™ =
๐ถ8 ๐ป18 (๐‘™)
+ 12.5[โ„Žฬ…๐‘“0 ]
๐‘‚2
+ 47[โ„Žฬ…๐‘“0 ]
๐‘2
๐ป2 0(๐‘”)
๐‘šฬ‡๐‘“๐‘ข๐‘’๐‘™
๐‘2
๐‘€๐‘“๐‘ข๐‘’๐‘™
vi. Alles in (ii) einsetzen und ausrechnen.
1. HAUPTSATZ FÜR GESCHLOSSENE SYSTEME
๏‚ท allgemein: ๐‘„ − ๐‘Š =โ–ณ ๐‘ˆ = ∑๐‘ƒ ๐‘›๐‘ขฬ… − ∑๐‘… ๐‘›๐‘ขฬ…
๏‚ท ideale Gase, mit ๐‘ขฬ… = โ„Žฬ… − ๐‘…ฬ… ๐‘‡ = โ„Žฬ…๐‘“0 + โ„Žฬ…(๐‘‡) − โ„Žฬ…(๐‘‡๐‘Ÿ๐‘’๐‘“ ) − ๐‘…ฬ… ๐‘‡
ฬ… ๐ŸŽ๐’‡ + ๐’‰
ฬ… (๐‘ป) − ๐’‰
ฬ… (๐‘ป๐’“๐’†๐’‡ ))
๐‘ธ − ๐‘พ = ∑๐‘ท ๐’ (๐’‰
ฬ… ๐ŸŽ๐’‡ + ๐’‰
ฬ… (๐‘ป) − ๐’‰
ฬ… (๐‘ป๐’“๐’†๐’‡ )) − ๐‘น
ฬ… ๐‘ป๐‘ท ∑๐‘ท ๐’ + ๐‘น
ฬ… ๐‘ป๐‘น ∑๐‘น ๐’
− ∑๐‘น ๐’ (๐’‰
ADIABATE FLAMMTEMPER ATUR
๏‚ท allgemein:
๏‚ท wenn keine Arbeit:
−๐‘Šฬ‡๐‘  = ∑๐‘ƒ ๐‘›ฬ‡ ๐‘’ โ„Žฬ…๐‘’ − ∑๐‘… ๐‘›ฬ‡ ๐‘– โ„Žฬ…๐‘–
∑๐‘ƒ ๐‘›๐‘’ โ„Žฬ…๐‘’ = ∑๐‘… ๐‘›๐‘– โ„Žฬ…๐‘–
ฬ… (๐‘ป๐’‡,๐’‚๐’… ) − ๐’‰
ฬ… (๐‘ป๐’“๐’†๐’‡ ))
∑ ๐’๐’† (๐’‰
๐’†
๐‘ท
ฬ… (๐‘ป๐’Š ) − ๐’‰
ฬ… (๐‘ป๐’“๐’†๐’‡ )) + ∑ ๐’๐’Š ๐’‰
ฬ… ๐ŸŽ๐’‡,๐’Š − ∑ ๐’๐’† ๐’‰
ฬ… ๐ŸŽ๐’‡,๐’†
= ∑ ๐’๐’Š (๐’‰
๐‘น
๐’Š
๐‘น
๐‘ท
๏‚ท Vorgehen:
i. Reaktionsgleichung aufstellen
ii. Rechte Seite der obenstehenden Gleichung berechnen
iii. Faustregel: ๐‘‡๐‘“,๐‘Ž๐‘‘ = 2000๐พ + ๐‘‡๐‘…๐‘’๐‘Ž๐‘˜๐‘ก๐‘Ž๐‘›๐‘‘๐‘’๐‘› für 1. Iteration
iv. 2 Iterationen der linken Seite berechnen
v. Linear interpolieren mit ๐‘‡๐‘… โˆท ๐‘–๐‘๐‘™(๐ผ1 , ๐‘…๐‘’๐‘โ„Ž๐‘ก๐‘’ ๐‘†๐‘’๐‘–๐‘ก๐‘’, ๐ผ2 , ๐‘‡๐ผ1 , ๐‘‡๐‘–2 )
๏‚ท Beeinflussung der adiabaten Flammtemperatur:
- Inertgase wie ๐‘2 sind Ballast, es wird Energie gebraucht, um sie zu
heizen: Je mehr Inertgase, desto kleiner ist ๐‘‡๐‘“,๐‘Ž๐‘‘ .
- Je grösser ๐‘๐‘ des Inertgases,
desto mehr sinkt ๐‘‡๐‘“,๐‘Ž๐‘‘ ab.
(๐‘๐‘ von idealen Gasen siehe
p.1).
- Wenn Verbrennung an
๐‘‚2 : ๐‘‡๐‘“,๐‘Ž๐‘‘ + 800๐พ
- Abfall bei ๐œ† > 1:
zu viel ๐‘2 und ๐‘‚2 .
- Abfall bei ๐œ† < 1:
weniger Reaktionswärme
- ๐œ†๐‘š๐‘Ž๐‘ฅ ≅ 0.8 … 0.9 :
Tradeoff von obigen
Argumenten
ENTROPIEBILANZ FÜR STATIONÄRE, OFFENE SYSTEME
๐‘†ฬ‡๐‘’๐‘Ÿ๐‘ง
๐‘›ฬ‡ ๐‘“๐‘ข๐‘’๐‘™
= −∑
๐‘„ฬ‡⁄๐‘‡๐บ
๐‘›ฬ‡ ๐‘“๐‘ข๐‘’๐‘™
๐‘บ๐’†๐’“๐’›
๐Ÿ
๐‘ธ
๐’‘
ฬ… ๐ฅ๐ง (๐‘ฟ๐’Š
=−
∑
+ ∑ ๐’ [๐’”ฬ…๐ŸŽ (๐‘ป) − ๐‘น
)]
๐’๐’‡๐’–๐’†๐’
๐’๐’‡๐’–๐’†๐’
๐‘ป๐‘ฎ
๐’‘๐’“๐’†๐’‡
+ ∑๐‘ƒ ๐‘›๐‘’ ๐‘ ฬ…๐‘’ − ∑๐‘… ๐‘›๐‘– ๐‘ ฬ…๐‘–
๐‘ท
๐‘บฬ‡๐’†๐’“๐’›
๐‘ธฬ‡⁄๐‘ป๐‘ฎ
๐’‘
ฬ… ๐ฅ๐ง (๐‘ฟ๐’Š
= −∑
+ ∑ ๐’๐’† [๐’”ฬ…๐ŸŽ (๐‘ป) − ๐‘น
)]
๐’ฬ‡ ๐’‡๐’–๐’†๐’
๐’ฬ‡ ๐’‡๐’–๐’†๐’
๐’‘๐’“๐’†๐’‡
๐‘ท
ฬ… ๐ฅ๐ง (๐‘ฟ๐’Š
− ∑ ๐’ [๐’”ฬ…๐ŸŽ (๐‘ป) − ๐‘น
๐‘น
๐’†
๐’‘
ฬ… ๐ฅ๐ง (๐‘ฟ๐’Š
− ∑ ๐’๐’Š [๐’”ฬ…๐ŸŽ (๐‘ป) − ๐‘น
)]
๐’‘๐’“๐’†๐’‡
๐‘น
CHEMISCHE EXERGIE
๐’Š
Da die Volumina der Flüssigkeiten und Festkörper verhältnismässig
gering sind, zählen bei den Partialbrüchen nur die Gase.
12.5
47
๐ถ8 ๐ป18 (๐‘™) + 12.5๐‘‚2 + 47๐‘2 → โ‹ฏ โŸน ๐‘‹๐‘‚ 2 =
, ๐‘‹๐‘ 2 =
59.5
59.5
Absolute Entropien für die gebräuchlichen Gase in A-22 bis A-28.
Absolute Entropien für Brennstoffe bei T=298K in A-30.
∏ (๐‘ฟ๐’† )๐’
๐‘บฬ‡๐’†๐’“๐’›
ฬ… ๐ฅ๐ง ( ๐‘น ๐’Š๐’† )
= ∑ ๐’๐’† [๐’”ฬ…๐ŸŽ (๐‘ป)]๐’† − ∑ ๐’๐’Š [๐’”ฬ…๐ŸŽ (๐‘ป)]๐’Š + ๐‘น
∏๐‘ท(๐‘ฟ๐’Š )๐’
๐’ฬ‡ ๐’‡๐’–๐’†๐’
Gegeben: Daten
aus Bild, ๐œ† = 1
Gesucht: ๐‘‡๐‘“,๐‘Ž๐‘‘
๐‘ท
๏‚ท für ideale Gase
๐‘
๐‘ ฬ…(๐‘‡, ๐‘) − ๐‘ ฬ…(๐‘‡0 , ๐‘0 ) = ๐‘ ฬ… 0 (๐‘‡) − ๐‘ ฬ… 0 (๐‘‡0 ) − ๐‘…ฬ… โˆ™ ln( )
๏‚ท Adiabat, ๐€ = ๐Ÿ , ๐‘ป๐’‡,๐’‚๐’… = ๐Ÿ๐Ÿ‘๐ŸŽ๐ŸŽ๐‘ฒ
๐‚๐‘ฏ๐Ÿ’ + ๐Ÿ๐‘ถ๐Ÿ + ๐Ÿ•. ๐Ÿ“๐Ÿ ๐‘ต๐Ÿ โŸถ ๐‘ช๐‘ถ๐Ÿ + ๐Ÿ๐‘ฏ๐Ÿ ๐‘ถ + ๐Ÿ•. ๐Ÿ“๐Ÿ๐‘ต๐Ÿ
i. ๐ถ8 ๐ป18 + 12.5๐‘‚2 + 47๐‘2 โŸถ 8๐ถ๐‘‚2 + 9๐ป2 ๐‘‚ + 47๐‘2
0
0
ii. ∑๐‘… ๐‘›๐‘– (โ„Žฬ…(๐‘‡๐‘– ) − โ„Žฬ…(๐‘‡๐‘Ÿ๐‘’๐‘“ )) + ∑
โŸ๐‘… ๐‘›๐‘– โ„Ž๐‘“,๐‘– − ∑๐‘ƒ ๐‘›๐‘’ โ„Ž๐‘“,๐‘’ =
โŸ
๐‘–
๐ถ8 ๐ป18 (๐‘™)
− 8[โ„Žฬ…๐‘“0 ]
− 9[โ„Žฬ…๐‘“0 ]
๐ถ๐‘‚2
๐ป2 0(๐‘”)
= 5′ 074′ 630
@ 2300๐พ
๐‘’
๐ถ๐‘‚2
๐ป2 0
8[โ„Žฬ…(๐‘‡๐‘“,๐‘Ž๐‘‘ ) − โ„Žฬ…(๐‘‡๐‘Ÿ๐‘’๐‘“ )]๐ถ๐‘‚
๐‘2
47[โ„Žฬ…(๐‘‡๐‘“,๐‘Ž๐‘‘ ) − โ„Žฬ…(๐‘‡๐‘Ÿ๐‘’๐‘“ )]๐‘
9[โ„Žฬ…(๐‘‡๐‘“,๐‘Ž๐‘‘ ) − โ„Žฬ…(๐‘‡๐‘Ÿ๐‘’๐‘“ )]๐ป
2
20
2
∑(… ) {๐ผ1, ๐ผ2} =
′
@ 2500๐พ
887′368
794′655
975′408
890′676
3′149′329
๐ผ1 = 4′821′352
3′492′664
๐ผ2 = 5′358′748
′
ENTROPIE BEI VERBRENNUNGSPROZESSEN
3. HAUPTSATZ DER THE RMODY NAMIK
Die Entropie einer Substanz ist beim absoluten Temperaturnullpunkt nur
dann null, wenn diese eine perfekt kristalline Struktur hat. Sonst hat sie
die absolute Entropie beim Nullpunkt von ๐‘  0 (๐‘‡ = 0).
ENTROPIE DURCH A BSOLUTE E NTRO PIE
๐‘ (๐‘‡, ๐‘) = ๐‘  0 (๐‘‡) − ๐‘… ln
๐‘ ฬ…(๐‘‡, ๐‘) = ๐‘ ฬ…
๏‚ท komponentenweise:
0 (๐‘‡)
− ๐‘…ฬ… ln
2๐‘‚
2
+ 7.52[๐‘ ฬ… (๐‘‡๐‘“,๐‘Ž๐‘‘ ) − ๐‘ ฬ… (๐‘‡๐‘Ÿ๐‘’๐‘“ )]๐‘
2
๐‘
๐‘๐‘Ÿ๐‘’๐‘“
๐‘
7.52
๐‘›ฬ‡ ๐‘“๐‘ข๐‘’๐‘™
= [๐‘ ฬ… 0 (๐‘‡๐‘“,๐‘Ž๐‘‘ )]๐ถ๐‘‚ + 2[๐‘ ฬ… 0 (๐‘‡๐‘“,๐‘Ž๐‘‘ )]๐ป
2
2
+ 2[๐‘ ฬ… 0 (๐‘‡๐‘“,๐‘Ž๐‘‘ )]๐‘‚
๐‘‚
−[๐‘ ฬ… 0 (๐‘‡๐‘Ÿ๐‘’๐‘“ )]๐ถ๐ป − 4[๐‘ ฬ… 0 (๐‘‡๐‘Ÿ๐‘’๐‘“ )]๐‘‚
2
๐‘
๐‘๐‘Ÿ๐‘’๐‘“
)
๏‚ท Vergleich und Diskussion
Der erste Brenner produziert mit 785 ๐‘˜๐ฝ⁄(๐‘˜๐‘š๐‘œ๐‘™ โˆ™ ๐พ) viel weniger
Entropie als der zweite Brenner, welcher 1063 ๐‘˜๐ฝ⁄(๐‘˜๐‘š๐‘œ๐‘™ โˆ™ ๐พ)
produziert. Das kann damit begründet werden, dass beim zweiten
Brenner die Abgastemperatur kleiner ist und die Gase gegenüber der
Umwelt weniger Exergie in sich tragen, was bedeutet, dass mehr
Exergie vernichtet wurde, aka der Exergieverlust grösser ist aka die
erzeugte Entropie mal die Umgebungstemperatur grösser ist.
ENTROPIEBILANZ FÜR G ESCHLOSSENE SYSTEME
๐‘›๐น
= ∑๐‘ƒ ๐‘›๐‘ ฬ… − ∑๐‘… ๐‘›๐‘ ฬ… −
Seite 8
๐‘›ฬ‡ ๐‘“๐‘ข๐‘’๐‘™
๐‘›ฬ‡ ๐‘“๐‘ข๐‘’๐‘™
๐‘†ฬ‡๐‘’๐‘Ÿ๐‘ง
๐‘›ฬ‡ ๐‘“๐‘ข๐‘’๐‘™
Die chemische Exergie pro Mol Brennstoff ist gleich der maximal
möglichen Arbeit, also obiger Term mit ๐‘†ฬ‡๐‘’๐‘Ÿ๐‘ง = 0:
๐‘น
4
15.04
(
) (
)
19.04
19.04
+๐‘…ฬ… ln (
)
1
2
1
2
2 2 15.04 15.04
(
) (
) (
) (
)
22.04
22.04
22.04
22.04
๐‘†๐‘’๐‘Ÿ๐‘ง
= ∑๐‘ƒ ๐‘›๐‘’ ๐‘ ฬ…๐‘’ − ∑๐‘… ๐‘›๐‘– ๐‘ ฬ…๐‘– −
๏‚ท Entorpiebilanz โˆ™ ๐‘‡0 in Energiebilanz einsetzen:
๐‘Šฬ‡๐‘ 
๏ƒž
= ∑๐‘… ๐‘›๐‘– โ„Žฬ…๐‘– − ∑๐‘ƒ ๐‘›๐‘’ โ„Žฬ…๐‘’ − ๐‘‡0 (∑๐‘… ๐‘›๐‘– ๐‘ ฬ…๐‘– − ∑๐‘ƒ ๐‘›๐‘’ ๐‘ ฬ…๐‘’ ) − ๐‘‡0
๐‘ท
15.04
๐‘๐‘Ÿ๐‘’๐‘“
๐‘ ฬ…๐‘– (๐‘‡, ๐‘๐‘– ) = ๐‘ ฬ…๐‘– 0 (๐‘‡) − ๐‘…ฬ… ln (๐‘‹๐‘–
๐‘›ฬ‡ ๐‘“๐‘ข๐‘’๐‘™
๐‘„ฬ‡
๐‘›ฬ‡ ๐‘“๐‘ข๐‘’๐‘™
๐‘†ฬ‡๐‘’๐‘Ÿ๐‘ง
ฬ… ๐’Š − ∑ ๐’๐’† ๐’‰
ฬ… ๐’† − ๐‘ป๐ŸŽ (∑ ๐’๐’Š ๐’”ฬ…๐’Š − ∑ ๐’๐’† ๐’”ฬ…๐’† )
๐’†ฬ…๐’™ ๐’„๐’‰ = ∑ ๐’๐’Š ๐’‰
2
4
= ∑๐‘… ๐‘›๐‘– โ„Žฬ…๐‘– − ∑๐‘ƒ ๐‘›๐‘’ โ„Žฬ…๐‘’ +
2
+15.04[๐‘ ฬ… 0 (๐‘‡๐‘“,๐‘Ž๐‘‘ ) − ๐‘ ฬ… 0 (๐‘‡๐‘Ÿ๐‘’๐‘“ )]๐‘
4
๐‘Šฬ‡๐‘ 
๐‘›ฬ‡ ๐‘“๐‘ข๐‘’๐‘™
๐‘„ฬ‡⁄๐‘‡0
๏‚ท Entropiebilanz (๐‘‡๐‘– = ๐‘‡0 ∀ ๐‘–): ∑
๏‚ท Adiabat, ๐€ = ๐Ÿ , ๐‘ป๐’‡,๐’‚๐’… = ๐Ÿ๐Ÿ’๐ŸŽ๐ŸŽ๐‘ฒ
๐‚๐‘ฏ๐Ÿ’ + ๐Ÿ’๐‘ถ๐Ÿ + ๐Ÿ๐Ÿ“. ๐ŸŽ๐Ÿ’ ๐‘ต๐Ÿ โŸถ ๐‘ช๐‘ถ๐Ÿ + ๐Ÿ๐‘ฏ๐Ÿ ๐‘ถ + ๐Ÿ๐‘ถ๐Ÿ + ๐Ÿ๐Ÿ“. ๐ŸŽ๐Ÿ’๐‘ต๐Ÿ
๐‘†ฬ‡๐‘’๐‘Ÿ๐‘ง
CHEMISCHE EXERGIE VON REA KTANDEN
๏‚ท Energiebilanz:
2
2
๐‘0
0
2
7.52
(
) (
)
9.52
9.52
+๐‘…ฬ… ln (
)
1
1
2 2 7.52 7.52
(
) (
) (
)
10.52
10.52
10.52
๐‘˜๐ฝ⁄
๐‘˜๐‘š๐‘œ๐‘™
v. ๐‘‡๐‘… โˆท ๐‘–๐‘๐‘™(๐ผ1 , 5 074 630, ๐ผ2 , 2300,2500) โŸน ๐‘‡๐‘“,๐‘Ž๐‘‘ = 2394,3๐พ
๏‚ท ideale Gase:
0
= [๐‘ ฬ… (๐‘‡๐‘“,๐‘Ž๐‘‘ )]๐ถ๐‘‚ + 2[๐‘ ฬ… (๐‘‡๐‘“,๐‘Ž๐‘‘ )]๐ป
4
iii. Faustregel: ๐‘‡๐‘“,๐‘Ž๐‘‘ ≅ 2300K
iv.
∑๐‘ƒ ๐‘›๐‘’ (โ„Žฬ…(๐‘‡๐‘“,๐‘Ž๐‘‘ ) − โ„Žฬ…(๐‘‡๐‘Ÿ๐‘’๐‘“ ))
0
−[๐‘ ฬ… 0 (๐‘‡๐‘Ÿ๐‘’๐‘“ )]๐ถ๐ป − 2[๐‘ ฬ… 0 (๐‘‡๐‘Ÿ๐‘’๐‘“ )]๐‘‚
A−30
=0 , ๐‘‡๐‘– =๐‘‡๐‘Ÿ๐‘’๐‘“
= 1[โ„Žฬ…๐‘“0 ]
๐‘›ฬ‡ ๐‘“๐‘ข๐‘’๐‘™
0
๐‘ฌ๐’™ = ๐‘ฌ๐’™ ๐’•๐’‰๐’†๐’“๐’Ž๐’๐’Ž๐’†๐’„๐’‰๐’‚๐’๐’Š๐’”๐’„๐’‰ + ๐‘ฌ๐’™ ๐’„๐’‰๐’†๐’Ž๐’Š๐’”๐’„๐’‰
๏‚ท offenes System
๐‘โ„Ž
๐ธฬ‡๐‘ฅ,๐‘ ๐‘ก๐‘Ÿ = ๐‘šฬ‡[(โ„Ž − โ„Ž0 ) − ๐‘‡0 (๐‘  − ๐‘ 0 ) + ๐‘˜๐‘’ + ๐‘๐‘’] + ๐ธฬ‡๐‘ฅ
๐‘โ„Ž
๐‘’๐‘ฅ,๐‘ ๐‘ก๐‘Ÿ = (โ„Ž − โ„Ž0 ) − ๐‘‡0 (๐‘  − ๐‘ 0 ) + ๐‘˜๐‘’ + ๐‘๐‘’ + ๐‘’๐‘ฅ
๐‘น
ENTROPIEPRODUKTION B EI METHANVERBRENNU NG
๐‘†ฬ‡๐‘’๐‘Ÿ๐‘ง
Die Exergie teilt sich auf in die thermomechanische Exergie und die
chemische Exergie. Letztere ist den Exegieformeln aus der Td 1, welche
nur die thermomechanische Exergie beinhalten, hinzuzufügen:
๏‚ท gschlossenes System
๐ธ๐‘ฅ = ๐‘ˆ − ๐‘ˆ0 + ๐‘0 (๐‘‰ − ๐‘‰0 ) − ๐‘‡0 (๐‘† − ๐‘†0 ) + ๐พ๐ธ + ๐‘ƒ๐ธ + ๐ธ๐‘ฅ ๐‘โ„Ž
๐‘’๐‘ฅ = ๐‘ข − ๐‘ข0 + ๐‘0 (๐‘ฃ − ๐‘ฃ0 ) − ๐‘‡0 (๐‘  − ๐‘ 0 ) + ๐‘˜๐‘’ + ๐‘๐‘’ + ๐‘’๐‘ฅ ๐‘โ„Ž
๏‚ท ๐‘„ฬ‡ = 0 und ๐‘ = ๐‘๐‘Ÿ๐‘’๐‘“ :
ADIABATE FLAMMTEMPER ATUR
๐’‘
)]
๐’‘๐’“๐’†๐’‡
1
๐‘›๐น
∑
๐‘„
๐‘‡๐บ
Da gegenüber der Umgebung (๐‘‡0 , ๐‘0 ) gilt: {
Mit ๐‘”ฬ… = โ„Žฬ… − ๐‘‡๐‘ ฬ… folgt nun
๐‘น
๐‘ท
โ„Žฬ…๐‘– = โ„Žฬ…๐‘– (๐‘‡0 , ๐‘0 )
ฬ…๐‘ ๐‘– = ๐‘ ฬ…๐‘– 0 (๐‘‡0 ) − ๐‘…ฬ… ln ๐‘‹๐‘–๐‘’
∏ (๐‘ฟ๐’† )๐’
ฬ… ๐‘ป๐ŸŽ ๐ฅ๐ง ( ๐‘น ๐’Š๐’† )
ฬ… (๐‘ป๐ŸŽ , ๐’‘๐ŸŽ ) − ∑ ๐’๐’ˆ
ฬ… (๐‘ป๐ŸŽ , ๐’‘๐ŸŽ ) + ๐‘น
๐’†ฬ…๐’™ ๐’„๐’‰ = ∑ ๐’๐’ˆ
∏๐‘ท(๐‘ฟ๐’Š )๐’
โŸ๐‘น
๐‘ท
:= −โˆ†๐‘ฎ
0
0
- ๐‘”ฬ… = ๐‘”ฬ…
โŸ(๐‘‡0 , ๐‘0 ) − ๐‘”ฬ… (๐‘‡๐‘Ÿ๐‘’๐‘“ , ๐‘๐‘Ÿ๐‘’๐‘“ ) ๏‚ท ๐‘”ฬ…๐‘“
โŸ๐‘“ + ๐‘”ฬ…
๐ด−30
A-30
=0 @ {๐‘‡0 ,๐‘0 }={๐‘‡๐‘Ÿ๐‘’๐‘“ ,๐‘๐‘Ÿ๐‘’๐‘“}
Die ๐‘”ฬ… (๐‘‡, ๐‘) sind nicht tabelliert, falls {๐‘‡0 , ๐‘0 } ≠ {๐‘‡๐‘Ÿ๐‘’๐‘“ , ๐‘๐‘Ÿ๐‘’๐‘“ }
muss die andere Gleichung verwendet werden.
- โˆ†๐บ = Reaktionsdifferenz der freien Enthalpie
- In den Druckkorrekturterm fliessen die Partialdrücke verglichen mit
dem Umgebungsdruck ein, wie zuvor nur die der Gase.
๏‚ท Chemische Exergie von Produkten, die alle elementare Gase sind:
CHEMISCHE EXERGIE AU S ANDEREN ๐’†ฬ…๐’™๐’„๐’‰ B ER EC H N EN
๏‚ท Exergiebilanz für chemische Systeme mit ๐‘‡๐บ = ๐‘‡0 :
๐‘‡
0 = ∑ (1 − ๐‘œ ) ๐‘„ฬ‡๐‘– − ๐‘Šฬ‡๐‘  + ∑๐‘… ๐‘›ฬ‡ ๐‘’ฬ…๐‘ฅ ๐‘โ„Ž − ∑๐‘ƒ ๐‘›ฬ‡ ๐‘’ฬ…๐‘ฅ ๐‘โ„Ž − ๐ธฬ‡๐‘ฅ,๐‘ฃ
๐‘‡๐‘–
โŸ
๐‘“๐‘ข๐‘’๐‘™
+ ∑๐‘ƒ ๐‘›๐‘’ฬ…๐‘ฅ ๐‘โ„Ž − ∑๐‘…โˆŒ๐‘“๐‘ข๐‘’๐‘™ ๐‘›๐‘’ฬ…๐‘ฅ ๐‘โ„Ž
)
ฬ… (๐‘ป๐ŸŽ , ๐’‘๐ŸŽ ) − ∑ ๐’๐’ˆ
ฬ… (๐‘ป๐ŸŽ , ๐’‘๐ŸŽ ) + ∑ ๐’๐’†ฬ…๐’™ ๐’„๐’‰ − ∑ ๐’๐’†ฬ…๐’™ ๐’„๐’‰
(๐’†ฬ…๐’™ ๐’„๐’‰ )๐’‡๐’–๐’†๐’ = ∑ ๐’๐’ˆ
โŸ๐‘น
๐‘ท
๐‘ท
๐‘นโˆŒ๐’‡๐’–๐’†๐’
๏‚ท ๐‘’ฬ…๐‘ฅ ๐‘โ„Ž
A-30
A-31
๐‘ท
Reaktionsgleichung: ๐ถ8 ๐ป18 (๐‘™) + 12.5๐‘‚2 → 8๐ถ๐‘‚2 + 9๐ป2 ๐‘‚
{๐‘‡0 , ๐‘0 } = {๐‘‡๐‘Ÿ๐‘’๐‘“ , ๐‘๐‘Ÿ๐‘’๐‘“ }
Gegeben:
๏‚ท Variante Standard-Exergien:
(๐‘’ฬ…๐‘ฅ ๐‘โ„Ž )๐ถ ๐ป = (๐‘”ฬ…๐‘“0 )๐ถ ๐ป + 12.5(๐‘”ฬ…๐‘“0 )๐‘‚ − 8(๐‘”ฬ…๐‘“0 )๐ถ๐‘‚ − 9(๐‘”ฬ…๐‘“0 )๐ป ๐‘‚
โŸ
8 18
8 18
2
2
2
=0
+ 8(๐‘’ฬ…๐‘ฅ ๐‘โ„Ž )๐ถ๐‘‚ + 9(๐‘’ฬ…๐‘ฅ ๐‘โ„Ž )๐ป
2
2
๐‘กโ„Ž.๐‘š๐‘’๐‘โ„Ž.
(∑๐‘ƒ ๐‘’ฬ…๐‘ฅ,๐‘ ๐‘ก๐‘Ÿ )
๐‘โ„Ž
2
๐‘โ„Ž
(∑๐‘ƒ ๐‘’ฬ…๐‘ฅ,๐‘ ๐‘ก๐‘Ÿ )
2
2
+ (๐‘’ฬ…๐‘ฅ )๐ถ๐‘‚ + 2(๐‘’ฬ…๐‘ฅ )๐ป
2๐‘‚
2
4
2
2๐‘‚
= ๐‘…ฬ… ๐‘‡0 (1 ln (
๐‘’
๐‘‹๐ถ๐‘‚
2
๐‘‹๐ป2๐‘‚
) + 2 ln (
๐‘’
๐‘‹๐ป
2๐‘‚
๐‘‹ ๐‘2
) + 7.52 ln (
๐œ€=
๐ธ๐‘ฅ,๐‘๐‘Ÿ๐‘œ๐‘‘๐‘ข๐‘๐‘ก๐‘ 
๐ธ๐‘ฅ,๐‘“๐‘ข๐‘’๐‘™
๏‚ท falls Turbine ohne Abgasnutzung:
= 1−
๐œ€=
− 2(๐‘’ฬ…๐‘ฅ )๐‘‚
2
๐ธ๐‘ฅ,๐‘ฃ
๐ธ๐‘ฅ,๐‘“๐‘ข๐‘’๐‘™
๐ธ๐‘ฅ,๐‘๐‘Ÿ๐‘œ๐‘‘๐‘ข๐‘๐‘ก๐‘ 
๐‘โ„Ž
๐‘’
๐‘‹๐‘
2
+
๐œˆ๐ท ๐‘”ฬ…๐ท0
−
๐‘…ฬ… ๐‘‡
๐œˆ๐ด ๐‘”ฬ…๐ด0
๐ธ๐‘ฅ,๐‘“๐‘ข๐‘’๐‘™
= 1 − ๐‘‡0
=
(๐‘‹๐‘‚๐‘’2 )
2
CHEMISCHE EXERGIE VO N PRODUKTEN
Im Gegensatz zu den vorigen Überlegungen fliesst die Reaktion hier nicht
mehr ein, und die Produkte bilden ein ideales Gasgemisch:
๏‚ท Chemische Exergie bei 1 Produkt pro Mol Brennstoff (bei (๐‘‡0 , ๐‘0 ) als
Gas):
1
๐‘’ฬ…๐‘ฅ ๐‘โ„Ž = ๐‘…ฬ… ๐‘‡0 ln ( ๐‘’ )
๐‘‹๐‘–
wobei ๐‘› so gewählt wird, dass der Brennstoff den Koeffizient 1 erhält.
๏‚ท Chemische Exergie ๐ป2 ๐‘‚ pro Mol Brennstoff (bei (๐‘‡0 , ๐‘0 ) als
Flüssigkeit):
1
๐‘’ฬ…๐‘ฅ ๐‘โ„Ž = [๐‘”ฬ…๐ป2 ๐‘‚(๐‘™) − ๐‘”ฬ…๐ป2๐‘‚(๐‘”) ](๐‘‡0 , ๐‘0 ) + ๐‘…ฬ… ๐‘‡0 ln ( ๐‘’ )
๐‘‹๐‘–
wobei der erste Summand die Verdampfungsexergie hinzufügt und
wiederum nur Wasser als Produkt vorliegen darf.
๐‘†๐‘’๐‘Ÿ๐‘ง
๐ธ๐‘ฅ,๐‘“๐‘ข๐‘’๐‘™
๐‘Šฬ‡๐‘ 
๐ธ๐‘ฅ,๐‘“๐‘ข๐‘’๐‘™
Ein System ist dann und nur dann im Gleichgewicht, wenn die Entropie
maximal, bzw. die Gibbs’sche freie Enthalpie minimal ist. Ist das der Fall,
also der Gleichgewichtszustand erreicht, so gilt ๐‘‘๐บ]๐‘‡,๐‘ = 0.
DAS CHEMI SCHE POTENTIAL
๐‘—
wobei ๐‘— alle Kompomenten ausser ๐‘– bezeichnet.
Seite 9
๐œˆ
๐œˆ๐ถ +๐œˆ๐ท −๐œˆ๐ด −๐œˆ๐ต
๐‘‹๐ถ ๐ถ ๐‘‹๐ท๐ท ๐‘๐‘›๐‘’๐‘ก
)
๐œˆ
๐œˆ (
๐‘‹๐ด ๐ด ๐‘‹๐ต๐ต ๐‘๐‘Ÿ๐‘’๐‘“
๐‘ฒ๐’‘ (๐‘ป) =
๐‚๐‘ช +๐‚๐‘ซ −๐‚๐‘จ −๐‚๐‘ฉ
๐‚
๐‘ฟ๐‘ช๐‘ช ๐‘ฟ๐‘ซ๐‘ซ ๐’‘๐’๐’†๐’•
)
๐‚
๐‚ (
๐‘ฟ๐‘จ๐‘จ ๐‘ฟ๐‘ฉ๐‘ฉ ๐’‘๐’“๐’†๐’‡
durch ๐‘‹๐‘– = ๐‘›๐‘– ⁄๐‘›๐‘›๐‘’๐‘ก
๐‘ฒ๐’‘ (๐‘ป) =
๐‚ +๐‚ −๐‚ −๐‚
๐‚
๐‚
๐’๐‘ช๐‘ช ๐’๐‘ซ๐‘ซ ๐’‘๐’๐’†๐’•⁄๐’‘๐’“๐’†๐’‡ ๐‘ช ๐‘ซ ๐‘จ ๐‘ฉ
(
)
๐‚
๐‚
๐’๐’๐’†๐’•
๐’๐‘จ๐‘จ ๐’๐‘ฉ๐‘ฉ
๏‚ท Einige Rechenregeln:
- Inverse Reaktion ๏‚ฎ ๐พ๐‘›๐‘’๐‘ข = 1⁄๐พ
๏‚ฎ log ๐พ๐‘›๐‘’๐‘ข = −log ๐พ
๐ถ๐‘‚ + ๐ป2 ๐‘‚ โ‡Œ ๐ป2 + ๐ถ๐‘‚2
๐พ
- Mehrere Reaktionen { 2๐ถ๐‘‚2 โ‡Œ 2๐ถ๐‘‚ + ๐‘‚2 โŸน ๐พ1 = √ 3⁄๐พ
2
2๐ป2 ๐‘‚ โ‡Œ 2๐ป2 + ๐‘‚2
log ๐พ๐‘ @ A − 32
GLEICHGEWICHTS“KONST ANTE“ FÜR KONZENTRAT IONEN
๏‚ท aus
๐‘›๐‘– ๐‘๐‘›๐‘’๐‘ก ๐‘๐‘‰=๐‘›๐‘…ฬ…๐‘‡ ๐‘›๐‘–
๐‘›๐‘›๐‘’๐‘ก ๐‘๐‘Ÿ๐‘’๐‘“
⇒
๐‘…ฬ… ๐‘‡ ๐‘๐‘– =๐‘›๐‘– ⁄๐‘‰๐‘›๐‘’๐‘ก
๐‘‰๐‘›๐‘’๐‘ก ๐‘๐‘Ÿ๐‘’๐‘“
⇒
๐‘๐‘–
๐‚
๐‘ฒ๐‘ช (๐‘ป) =
๐พ๐‘ = ∏ (
๐‘๐‘–
๐‚๐‘ท−๐‚๐‘น
)
= ๐พ๐ถ โˆ™ ∏ (
๐‘…ฬ… ๐‘‡
๐‘๐‘Ÿ๐‘’๐‘“
๐‘…ฬ… ๐‘‡
๐‘๐‘Ÿ๐‘’๐‘“
๐‚
๐’„๐‘ช๐‘ช ๐’„๐‘ซ๐‘ซ
๐‚ ๐‚
๐’„๐‘จ๐‘จ ๐’„๐‘ฉ๐‘ฉ
๐‚๐‘ท−๐‚๐‘น
)
๏‚ท ohne Tabelle
i. โˆ†๐บ 0 = ๐œˆ๐‘ƒ ๐‘”ฬ…๐‘ƒ0 − ๐œˆ๐‘… ๐‘”ฬ…๐‘…0 = ๐œˆ๐‘ƒ โ„Žฬ…๐‘ƒ − ๐œˆ๐‘… โ„Žฬ…๐‘… − ๐‘‡(๐‘ ฬ…๐‘ƒ0 (๐‘‡) − ๐‘ ฬ…๐‘…0 (๐‘‡))
mit โ„Žฬ… = โ„Žฬ…๐‘“0 + โ„Žฬ…(๐‘‡) − โ„Žฬ…(๐‘‡๐‘Ÿ๐‘’๐‘“ )
ii. −
โˆ†๐บ 0
๐‘…ฬ… ๐‘‡
berechnen = ln[๐พ๐‘ (๐‘‡)]
iii. ๐พ๐‘ (๐‘‡) = e
๐‘—
]
๏‚ท die Gleichgewichts“konstante“ :
BERECHNEN VON ๐พ๐‘ (๐‘‡)
GLEICHGEWICHTSBEDINGU NG
๐‘—
๐œˆ
= ln [
und
๐‘๐‘Ÿ๐‘’๐‘“
DAS CHEMISCHE GLEICHGEWICHT
๐œˆ๐ด ๐œ‡๐ด + ๐œˆ๐ต ๐œ‡๐ต = ๐œˆ๐ถ ๐œ‡๐ถ + ๐œˆ๐ท ๐œ‡๐ท
โˆ†๐‘ฎ๐ŸŽ
= ๐ฅ๐ง[๐‘ฒ๐’‘ (๐‘ป)]
ฬ…๐‘ป
๐‘น
wobei โˆ†๐บ 0 : = ๐œˆ๐ถ ๐‘”ฬ…๐ถ0 + ๐œˆ๐ท ๐‘”ฬ…๐ท0 − ๐œˆ๐ด ๐‘”ฬ…๐ด0 − ๐œˆ๐ต ๐‘”ฬ…๐ต0 und ๐พ๐‘ (๐‘‡) :
๐‚
Aus einer Verbrennung wird mittels eines Motors Arbeit geleistet. Die
energetische Effizienz bezeichnet den Anteil der Arbeit vom zugeführten
Wärmestrom. Könnte man die Abwärme aus energetischer Sicht noch
nutzen (๐‘‡ > 0๐พ), muss die daraus möglich zu gewinnende Arbeit =
Exergie (๐‘‡ > ๐‘‡0 > 0๐พ) aber nicht so hoch sein, da die Umgebung auch
Energie besitzt.
๐‘‡
๏‚ท Wärme hat einen exergetischen Anteil von ๐‘„ → (1 − 0 )๐‘„
๐‘‡
๏‚ท Arbeit hat einen exergetischen Anteil von 100%.
๐œ•๐บ
๐œ•๐‘ˆ
๐œ•๐ป
๐œ‡๐‘– = ( )
=( )
=( )
๐œ•๐‘›๐‘– ๐‘‡,๐‘,๐‘›
๐œ•๐‘›๐‘– ๐‘†,๐‘‰,๐‘›
๐œ•๐‘›๐‘– ๐‘†,๐‘,๐‘›
−
๐œˆ๐ต ๐‘”ฬ…๐ต0
−
))
ENERGIE - VS. EXERGIEVERLUS TE
๐‘’
(๐‘‹๐ถ๐‘‚
)( ๐‘‹๐ป๐‘’20 )
2
Die Inertgase könnte man schon in der Reaktionsgleichung weglassen,
wie im Beispiel von Octan.
4
๐‘‹๐ถ๐‘‚2
๏‚ท Diskussion
Wenn man die Exergiewerte bei ๐œ† = 1.2 evaluiert, bemerkt man, dass
jener von ๐œ† = 1 grösser ist, da ja dort weniger Entropie produziert –
weniger Exergie vernichtet wird.
๏‚ท allgemein:
2
+ ๐‘…ฬ… ๐‘‡0 ln
๐ป2 ๐‘‚
๐œˆ๐ถ ๐‘”ฬ…๐ถ0
EXERGETISCHE EFFIZIE NZ EINES BRENNERS
๏‚ท Variante Partialdrücke:
(๐‘’ฬ…๐‘ฅ ๐‘โ„Ž )๐ถ๐ป = (๐‘”ฬ…๐‘“0 )๐ถ๐ป − (๐‘”ฬ…๐‘“0 )๐ถ๐‘‚ − 2(๐‘”ฬ…๐‘“0 )๐ป
[โ„Žฬ…(๐‘‡๐‘“,๐‘Ž๐‘‘ ) − โ„Žฬ…(๐‘‡0 ) − ๐‘‡0 (๐‘ ฬ… 0 (๐‘‡) − ๐‘ ฬ… 0 (๐‘‡0 ))]๐ถ๐‘‚
2
2[โ„Žฬ…(๐‘‡๐‘“,๐‘Ž๐‘‘ ) − โ„Žฬ…(๐‘‡0 ) − ๐‘‡0 (๐‘ ฬ… 0 (๐‘‡) − ๐‘ ฬ… 0 (๐‘‡0 ))]
2
− 12.5(๐‘’ฬ…๐‘ฅ ๐‘โ„Ž )๐‘‚
๐‘‚
๐‘โ„Ž
−
+ 7.52 [โ„Žฬ…(๐‘‡๐‘“,๐‘Ž๐‘‘ ) − โ„Žฬ…(๐‘‡0 ) − ๐‘‡0 (๐‘ ฬ… 0 (๐‘‡) − ๐‘ ฬ… 0 (๐‘‡0 ))]๐‘
Reaktionsgleichung: ๐ถ๐ป4 + 2๐‘‚2 + 7.52๐‘2 → ๐ถ๐‘‚2 + 2๐ป2 ๐‘‚ + 7.52๐‘2
{๐‘‡0 , ๐‘0 } = {๐‘‡๐‘Ÿ๐‘’๐‘“ , ๐‘๐‘Ÿ๐‘’๐‘“ } , ๐‘‡๐‘’ = 2300๐พ
Gegeben:
Luft: {๐‘‹๐‘๐‘’2 = 0.7567 , ๐‘‹๐‘‚๐‘’2 = 0.2035 ,
๐‘’
๐‘‹๐ป๐‘’20 = 0.0132 , ๐‘‹๐ถ๐‘‚
= 0.0003}
2
๏‚ท Variante Standard-Exergien:
(๐‘’ฬ…๐‘ฅ ๐‘โ„Ž )๐ถ๐ป = (๐‘”ฬ…๐‘“0 )๐ถ๐ป − (๐‘”ฬ…๐‘“0 )๐ถ๐‘‚ − 2(๐‘”ฬ…๐‘“0 )๐ป ๐‘‚
4
=
+
CHEMISCHE EXERGIE VO N MET HAN
4
๐บ๐บ๐‘Š
๐œˆ๐ด ๐ด + ๐œˆ๐ต ๐ต โ‡Œ ๐œˆ๐ถ ๐ถ + ๐œˆ๐ท ๐ท ⇒
๐’‘
ฬ… โˆ™ ๐ฅ๐ง( ) ) + ๐’†ฬ…๐’™ ๐’„๐’‰
− ๐‘ป๐ŸŽ (๐’”ฬ…๐ŸŽ (๐‘ป) − ๐’”ฬ…๐ŸŽ (๐‘ป๐ŸŽ ) − ๐‘น
๐’‘๐ŸŽ
CHEMISCHE EXERGIE VO N OCT AN
๐‘๐‘›๐‘’๐‘ก
)
๐‘๐‘Ÿ๐‘’๐‘“
GLEICHGEWICHTS“KONST ANTE“ FÜR PARTIALDRÜ CKE
ฬ… (๐‘ป๐’‡,๐’‚๐’… ) − ๐’‰
ฬ… (๐‘ป๐ŸŽ )
= ∑๐’‰
๐‘ท
๐œ‡๐‘– = ๐‘”ฬ…๐‘– (๐‘‡, ๐‘๐‘– ) = ๐‘”๐‘–0 + ๐‘…ฬ… ๐‘‡ ln (๐‘‹๐‘–
๐‘–
๏‚ท Adiabat, ๐€ = ๐Ÿ , ๐‘ป๐’‡,๐’‚๐’… = ๐Ÿ๐Ÿ‘๐ŸŽ๐ŸŽ๐‘ฒ, ๐‘ป๐ŸŽ = ๐‘ป๐’“๐’†๐’‡ , ๐’‘ = ๐’‘๐ŸŽ = ๐’‘๐’“๐’†๐’‡
๐‚๐‘ฏ๐Ÿ’ + ๐Ÿ๐‘ถ๐Ÿ + ๐Ÿ•. ๐Ÿ“๐Ÿ ๐‘ต๐Ÿ โŸถ ๐‘ช๐‘ถ๐Ÿ + ๐Ÿ๐‘ฏ๐Ÿ ๐‘ถ + ๐Ÿ•. ๐Ÿ“๐Ÿ๐‘ต๐Ÿ
∑ ๐’†ฬ…๐’™,๐’”๐’•๐’“
:= −โˆ†๐‘ฎ
๏‚ท ๐‘”ฬ…๐‘“0
๐‘—
๐บ = ∑ ๐‘›๐‘– ๐œ‡๐‘– (๐‘‡, ๐‘๐‘– )
EXERGIE VON VERBRENN UNGS PRODUKTEN
๐‘Ÿ๐‘’๐‘ฃ
mit ๐‘›’s relativ pro Mol Brennstoff
๐บ
= ๐‘”ฬ…
๐‘›
๏‚ท mehrere Komponenten, ideales Gasgemisch:
wobei ๐‘› so gewählt wird, dass der Brennstoff den Koeffizient 1 erhält,
damit der Wert pro Mol des Brennstoffes zählt.
๏‚ท pro Mol Brennstoff bei intern reversiblem Prozess:
(๐‘’ฬ…๐‘ฅ ๐‘โ„Ž )๐‘“๐‘ข๐‘’๐‘™ = (๐‘›ฬ‡
๐œ‡=
๐’Š
=0
๐‘Šฬ‡๐‘ 
๏‚ท 1 Substanz – 1 Phase:
๐‘ฟ
ฬ… ๐‘ป๐ŸŽ ∑ ๐’๐’Š ๐ฅ๐ง ( ๐’†๐’Š )
๐’†ฬ…๐’™ ๐’„๐’‰ = ๐‘น
๐‘ฟ๐’Š
−โˆ†๐บ 0⁄
๐‘…ฬ…๐‘‡
๏‚ท mit Tabelle A-32: nachschauen, interpolieren, ausrechnen
๐พ๐‘ (๐‘‡) = 10Tabellenwert
GLEICHGEWICHTSANTEIL E BEI VERBRENNUNGS RE AKTION
i.
ii.
iii.
iv.
v.
vi.
vii.
Gegeben: ๐‘‡ = 2500๐พ , ๐‘ = 1๐‘Ž๐‘ก๐‘š
Reaktionsgleichung:
๐ถ๐‘‚ + 0.5๐‘‚2 + 1.88๐‘2 โŸถ ๐ถ๐‘‚2 + 1.88๐‘2
Dissoziationsreaktion: ๐ถ๐‘‚2 โ‡Œ ๐ถ๐‘‚ + 0.5๐‘‚2
๐’›
๐‘ช๐‘ถ + ๐ŸŽ. ๐Ÿ“๐‘ถ๐Ÿ + ๐Ÿ. ๐Ÿ–๐Ÿ–๐‘ต๐Ÿ โŸถ ๐’›๐‘ช๐‘ถ + ๐‘ถ๐Ÿ + (๐Ÿ − ๐’›)๐‘ช๐‘ถ๐Ÿ + ๐Ÿ. ๐Ÿ–๐Ÿ–๐‘ต๐Ÿ
๐Ÿ
๐‘ง
= Anteil dissipierter ๐ถ๐‘‚2 -Moleküle
(1 − ๐‘ง) = Anteil nicht wegreagierten ๐ถ๐‘‚2 -Moleküle
๐‘ง
5.76+๐‘ง
๐‘›๐‘›๐‘’๐‘ก = ๐‘ง + + (1 − ๐‘ง) + 1.88 =
viii. ๐พ๐‘ (๐‘‡) =
ix. ๐‘ฒ๐’‘ (๐‘ป) =
x.
=
2
๐œˆ
๐œˆ
๐‘›๐ถ๐ถ ๐‘›๐ท๐ท
2
๐‘๐‘›๐‘’๐‘ก⁄๐‘๐‘Ÿ๐‘’๐‘“ ๐œˆ๐ถ +๐œˆ๐ท −๐œˆ๐ด −๐œˆ๐ต
๐œˆ
๐œˆ
๐‘›๐‘›๐‘’๐‘ก
๐‘›๐ด๐ด ๐‘›๐ต๐ต
๐‚๐‘ช๐‘ถ ๐‚๐‘ถ๐Ÿ
๐’๐‘ช๐‘ถ
๐’๐‘ถ
๐’‘⁄๐’‘๐’“๐’†๐’‡ ๐‚๐‘ช๐‘ถ+๐‚๐‘ถ๐Ÿ −๐‚๐‘ช๐‘ถ๐Ÿ
๐Ÿ
๐‚๐‘ช๐‘ถ
๐’๐’๐’†๐’•
๐’๐‘ช๐‘ถ ๐Ÿ
๐Ÿ
๐’› ๐ŸŽ.๐Ÿ“
๐Ÿ+๐ŸŽ.๐Ÿ“−๐Ÿ
๐’›๐Ÿ โˆ™๐Ÿ
๐Ÿ
๐’›
๐’›
(๐Ÿ−๐’›)๐Ÿ ๐Ÿ“.๐Ÿ•๐Ÿ”+๐’›
๐Ÿ−๐’› ๐Ÿ“.๐Ÿ•๐Ÿ”+๐’›
(
)
(
(
von ๐ถ๐‘‚2 โ‡Œ ๐ถ๐‘‚ + 0.5๐‘‚2
)
)
=
(
๐ŸŽ.๐Ÿ“
)
xi. ๐พ๐‘ (๐‘‡) = 10Tabellenwert = 10−1.44 = 0.0363
๐‘‡๐‘… โˆท
๐‘ ๐‘œ๐‘™๐‘ฃ๐‘’(… , ๐‘ง) ๐‘œ๐‘‘๐‘’๐‘Ÿ ๐‘›๐‘ ๐‘œ๐‘™๐‘ฃ๐‘’(… , ๐‘ง)
xii. → ๐‘ง = 0.175
→ ๐‘›๐‘›๐‘’๐‘ก = 2.9675
๐‘ง
๐‘ง⁄2
xiii. ๐‘‹๐ถ๐‘‚ =
= 0.059
๐‘‹๐‘‚2 =
= 0.029
๐‘›_๐‘›๐‘’๐‘ก
1−๐‘ง
xiv. ๐‘‹๐ถ๐‘‚2 =
๐‘›_๐‘›๐‘’๐‘ก
๐‘›_๐‘›๐‘’๐‘ก
1.88
= 0.278
๐‘‹๐‘2 =
๐‘›_๐‘›๐‘’๐‘ก
= 0.634
xv. Diskussion: Man kann zeigen, dass bei mehr Inertgas weniger ๐ถ๐‘‚2
gebildet wird, bei gleicher Temperatur. Je mehr Inertgas, desto
grösser ist ๐‘›๐‘›๐‘’๐‘ก und bei ๐พ๐‘ (๐‘‡) = ๐‘๐‘œ๐‘›๐‘ ๐‘ก. desto grösser wird z.
ADIABATISCHE FLAMMTE MPERATUR IM GLEICHGE WICHT
Zusätzlich zu den alten Vorgaben muss man jetzt zusätzlich die
Dissoziationsreaktionen betrachten.
๏‚ท Vorgehen:
i. Berechnen der adiabaten Flammtemperatur, ohne die Dissoziation
zu berücksichtigen. → ๐‘ป๐’‡,๐’‚๐’… (๐Ÿ)
ii. Das Gleichgewichtsproblem lösen mit ๐พ๐‘ (๐‘‡๐‘“,๐‘Ž๐‘‘ ) → ๐’›(๐’Œ) ๐’Œ = ๐Ÿ, ๐Ÿ‘, …
iii. Mit der neuen Reaktion wiederum die adiabate Flammtemperatur
berechnen. → ๐‘ป๐’‡,๐’‚๐’… (๐’Œ) ๐’Œ = ๐Ÿ, ๐Ÿ‘, …
iv. Falls |๐‘‡๐‘“,๐‘Ž๐‘‘ (๐‘˜) − ๐‘‡๐‘“,๐‘Ž๐‘‘ (๐‘˜−1) | > ๐‘‡๐‘‚๐ฟ , wieder zu Schritt ii.
๏‚ท Reaktionsgleichung:
๐’›
๐‘ช๐‘ถ + ๐ŸŽ. ๐Ÿ“๐‘ถ๐Ÿ + ๐Ÿ. ๐Ÿ–๐Ÿ–๐‘ต๐Ÿ โŸถ ๐’›๐‘ช๐‘ถ + ๐‘ถ๐Ÿ + (๐Ÿ − ๐’›)๐‘ช๐‘ถ๐Ÿ + ๐Ÿ. ๐Ÿ–๐Ÿ–๐‘ต๐Ÿ
๐Ÿ
๏‚ท Gleichgewichtsproblem:
0.5
๐‘ง
๐‘ง
๐พ๐‘ (๐‘‡) =
(
)
1 − ๐‘ง 5.76 + ๐‘ง
๏‚ท Iterationsvorgang:
i. ๐‘ช๐‘ถ + ๐ŸŽ. ๐Ÿ“๐‘ถ๐Ÿ + ๐Ÿ. ๐Ÿ–๐Ÿ–๐‘ต๐Ÿ โŸถ ๐‘ช๐‘ถ๐Ÿ + ๐Ÿ. ๐Ÿ–๐Ÿ–๐‘ต๐Ÿ
interpolieren zwischen 2500๐พ und 2800๐พ → ๐‘ป๐’‡,๐’‚๐’… (๐Ÿ) = ๐Ÿ๐Ÿ”๐Ÿ”๐Ÿ‘๐‘ฒ
Gleichgewichtsproblem lösen
→ ๐’›(๐Ÿ) = ๐ŸŽ. ๐Ÿ๐Ÿ•๐Ÿ”
ii. ๐‘ช๐‘ถ + ๐ŸŽ. ๐Ÿ“๐‘ถ๐Ÿ + ๐Ÿ. ๐Ÿ–๐Ÿ–๐‘ต๐Ÿ โŸถ ๐ŸŽ. ๐Ÿ๐Ÿ•๐Ÿ”๐‘ช๐‘ถ + ๐ŸŽ. ๐Ÿ๐Ÿ‘๐Ÿ–๐‘ถ๐Ÿ + ๐ŸŽ. ๐Ÿ•๐Ÿ๐Ÿ’๐‘ช๐‘ถ๐Ÿ + ๐Ÿ. ๐Ÿ–๐Ÿ–๐‘ต๐Ÿ
interpolieren zwischen 2000๐พ und 2300๐พ → ๐‘ป๐’‡,๐’‚๐’… (๐Ÿ) = ๐Ÿ๐ŸŽ๐Ÿ•๐Ÿ‘๐‘ฒ
Gleichgewichtsproblem lösen
→ ๐’›(๐Ÿ) = ๐ŸŽ. ๐ŸŽ๐Ÿ‘๐Ÿ
iii. ๐‘ช๐‘ถ + ๐ŸŽ. ๐Ÿ“๐‘ถ๐Ÿ + ๐Ÿ. ๐Ÿ–๐Ÿ–๐‘ต๐Ÿ โŸถ ๐ŸŽ. ๐ŸŽ๐Ÿ‘๐Ÿ๐‘ช๐‘ถ + ๐ŸŽ. ๐ŸŽ๐Ÿ๐Ÿ“๐‘ถ๐Ÿ + ๐ŸŽ. ๐Ÿ—๐Ÿ”๐Ÿ—๐‘ช๐‘ถ๐Ÿ + ๐Ÿ. ๐Ÿ–๐Ÿ–๐‘ต๐Ÿ
interpolieren zwischen 2500๐พ und 2700๐พ → ๐‘ป๐’‡,๐’‚๐’… (๐Ÿ‘) = ๐Ÿ๐Ÿ“๐Ÿ—๐Ÿ–๐‘ฒ
Gleichgewichtsproblem lösen
→ ๐’›(๐Ÿ‘) = ๐ŸŽ. ๐Ÿ๐Ÿ‘๐Ÿ‘
iv. ๐‘ช๐‘ถ + ๐ŸŽ. ๐Ÿ“๐‘ถ๐Ÿ + ๐Ÿ. ๐Ÿ–๐Ÿ–๐‘ต๐Ÿ โŸถ ๐ŸŽ. ๐Ÿ๐Ÿ‘๐Ÿ‘๐‘ช๐‘ถ + ๐ŸŽ. ๐Ÿ๐Ÿ๐Ÿ•๐‘ถ๐Ÿ + ๐ŸŽ. ๐Ÿ•๐Ÿ”๐Ÿ•๐‘ช๐‘ถ๐Ÿ + ๐Ÿ. ๐Ÿ–๐Ÿ–๐‘ต๐Ÿ
interpolieren zwischen 2000๐พ und 2300๐พ → ๐‘ป๐’‡,๐’‚๐’… (๐Ÿ) = ๐Ÿ๐Ÿ๐Ÿ”๐Ÿ•๐‘ฒ
• Diskussion
2750
In der Graphik kann man erkennen, dass
2600
2450
sich der Wert auf ca. ๐‘ป๐’‡,๐’‚๐’… (๐’Œ→∞) = ๐Ÿ๐Ÿ’๐ŸŽ๐ŸŽ๐‘ฒ
2300
einpendeln würde, was auch dem
2150
Tabellenwert entspräche. Das
2000
“Schwingen“ ist damit zu erklären, dass
wenn die Temperatur zu hoch ist, auch die Dissoziation zu hoch ist und
sich die Reaktion zu stark nach links verschiebt, was die Temperatur zu
stark sinken lässt. Man könne so auch immer den Mittelwert den beiden
letzten Temperaturen als neue Temperatur wählen.
DAS PRINZIP V ON L E_CHATELIER
Vereinfacht lässt sich sagen, dass das System auf äussere Zwänge
entgegenwirkt.
๐‘‡↑
๐‘‡↓
๐‘↑
๏‚ท Werte von adiabaten Flammtemperaturen
Fuel
๐ถ2 ๐ป2
๐ถ2 ๐ป2
๐ถ๐‘‚
๐ถ๐‘‚
๐ถ7 ๐ป16
๐ถ7 ๐ป16
Oxidant
Air
๐‘‚2
Air
๐‘‚2
Air
๐‘‚2
๐‘ [๐‘๐‘Ž๐‘Ÿ]
1
1
1
1
1
1
๐‘‡๐‘“,๐‘Ž๐‘‘ [๐พ]
2600
3410
2400
3220
2290
3100
Fuel
๐ป2
๐ป2
๐ถ๐ป4
๐ถ๐ป4
๐ถ๐ป4
๐ถ๐ป4
Oxidant
Air
๐‘‚2
Air
Air
๐‘‚2
๐‘‚2
๐‘ [๐‘๐‘Ž๐‘Ÿ]
1
1
1
20
1
20
๐‘‡๐‘“,๐‘Ž๐‘‘ [๐พ]
2400
3080
2210
2270
3030
3460
ADIABATISCHE FLAMMTEMPERATUR IM G LEICHGEWICHT
Gegeben: (siehe
Bild)
Gesucht:
๐‘‡๐‘“,๐‘Ž๐‘‘,๐บ๐บ๐‘Š
๐‘↓
๐‘๐‘– ↑
๐‘๐‘– ↓
verstärkte endotherme Reaktion
verstärkte exotherme Reaktion
Bildung der Stoffe, die ein kleineres Volumen einnehmen
(nur bei Gasreaktionen, nur Gase zählen)
Bildung der Stoffe, die ein grösseres Volumen einnehmen
(nur bei Gasreaktionen, nur Gase zählen)
Konzentrationssenkung dieses Stoffes, GGW auf die andere
Seite
Konzentrationserhöhung dieses Stoffes, GGW auf die diese
Seite
VAN’T HOFF GLEICHUNG
๐‘‘ ln ๐พ๐‘ โˆ†๐ป๐‘… โˆ†๐ป๐‘… โ‰”๐‘๐‘œ๐‘›๐‘ ๐‘ก. ๐พ2
โˆ†๐ป๐‘… 1
1
=
⇒
ln
=−
( − )
๐‘‘๐‘‡
๐พ1
๐‘…ฬ… ๐‘‡ 2
๐‘…ฬ… ๐‘‡2 ๐‘‡1
Die van’t Hoff Gleichung zeigt den Zusammenhang von Temperatur und
der Gleichgewichtskonstante. ๐พ๐‘ ∝ ± 1⁄๐‘‡
๏‚ท Ist die Reaktion exotherm (โˆ†๐ป๐‘… < 0), dann ๐พ๐‘ ∝ + 1⁄๐‘‡ und das
GGW verschiebt sich mit zunehmender Temperatur nach links.
๏‚ท Ist die Reaktion endotherm (โˆ†๐ป๐‘… > 0), dann ๐พ๐‘ ∝ − 1⁄๐‘‡ und das
GGW verschiebt sich mit zunehmender Temperatur nach rechts.
Seite 10
BRENNSTOFFZELLEN
In Brennstoffzellen wird der Brennstoff über elektrochemische Vorgänge
direkt in Elektrizität umgewandelt. Das hat den Vorteil des geringeren
Exergieverlustes, da nicht zuerst Wärme freigesetzt wird, wie beim
Verbrennungsprozess.
MAXIMALER UMWANDLU NG SW IRKUNGSGRAD
โˆ†๐บ๐‘… โˆ†๐ป๐‘… − ๐‘‡โˆ†๐‘†๐‘…
๐‘‡โˆ†๐‘†๐‘…
๐œ‚๐‘๐‘’๐‘™๐‘™๐‘’,๐‘š๐‘Ž๐‘ฅ =
=
=1−
โˆ†๐ป๐‘…
โˆ†๐ป๐‘…
โˆ†๐ป๐‘…
๏‚ท Normalerweise ist โˆ†๐ป๐‘… < 0 (exotherm), was bei Entropiezunahme
einen Umwandlungswirkungsgrad von mehr als 100% zur Folge hat. In
diesem Fall nimmt die Brennstoffzelle Wärme aus der Umgebung auf
und generiert damit Arbeit. alternative Definition (nie > 1): ๐œ‚ =
๐‘Šฬ‡
โˆ†๐บ๐‘…
MAXIMALER UMWANDL U NGSW IRKUNGSGRAD
๏‚ท ๐ป2 -Brennstoffzelle:
๐œ‚๐‘๐‘’๐‘™๐‘™๐‘’,๐‘š๐‘Ž๐‘ฅ = 1 −
=1−
๐ป2 +
๐‘‡โˆ†๐‘†๐‘… @๐‘‡๐‘Ÿ๐‘’๐‘“
โˆ†๐ป๐‘…
0.5๐‘‚2 → ๐ป2 ๐‘‚(๐‘”)
⇒
๐‘‡๐‘Ÿ๐‘’๐‘“([๐‘ ฬ… 0 (๐‘‡๐‘Ÿ๐‘’๐‘“ )]
๐ป2 ๐‘‚(๐‘”)
ฬ…0]
[โ„Ž
๐‘“
๏‚ท Methanol-Brennstoffzelle:
๐œ‚๐‘๐‘’๐‘™๐‘™๐‘’,๐‘š๐‘Ž๐‘ฅ = 1 −
=1−
๐‘‡โˆ†๐‘†๐‘… @๐‘‡๐‘Ÿ๐‘’๐‘“
โˆ†๐ป๐‘…
−[๐‘ ฬ… 0 (๐‘‡๐‘Ÿ๐‘’๐‘“ )]
๐ป2 ๐‘‚(๐‘”)
๐ป2
ฬ… 0]
−[โ„Ž
๐‘“
๐ป2
−0.5[๐‘ ฬ… 0 (๐‘‡๐‘Ÿ๐‘’๐‘“ )]
ฬ…0 ]
−0.5[โ„Ž
๐‘“
๐‘‚2
)
= 0.95
๐‘‚2
๐ถ๐ป3 ๐ถ๐‘‚๐ป(๐‘™) + 1.5๐‘‚2 → ๐ถ๐‘‚2 + 2๐ป2 ๐‘‚(๐‘”)
⇒
๐‘‡๐‘Ÿ๐‘’๐‘“ ([๐‘ ฬ… 0 (๐‘‡๐‘Ÿ๐‘’๐‘“ )]
+2[๐‘ ฬ…0 (๐‘‡๐‘Ÿ๐‘’๐‘“ )]
−[๐‘ ฬ… 0 (๐‘‡๐‘Ÿ๐‘’๐‘“ )]
−1.5[๐‘ ฬ… 0 (๐‘‡๐‘Ÿ๐‘’๐‘“ )] )
๐ถ๐‘‚2
๐ป2๐‘‚(๐‘”)
๐ถ๐ป3 ๐ถ๐‘‚๐ป(๐‘™)
๐‘‚2
ฬ…0 ]
ฬ…0 ]
ฬ…0 ]
ฬ…0 ]
[โ„Ž
+2[โ„Ž
−[โ„Ž
−1.5[โ„Ž
๐‘“ ๐ถ๐‘‚
๐‘“ ๐ป ๐‘‚(๐‘”)
๐‘“ ๐ถ๐ป ๐ถ๐‘‚๐ป(๐‘™)
๐‘“ ๐‘‚
2
2
3
2
= 1.07
ÜBERSICHT BRENNSTOFF ZELLE N
๏‚ท AFC
Alkaline Fuel Cell
@ 60-80°C / KOH-Lösung
−
−
๐ด โˆท ๐ป2 + 2๐‘‚๐ป → 2๐ป2 ๐‘‚ + 2๐‘’
๐พ โˆท0.5๐‘‚2 + ๐ป2๐‘‚ + 2๐‘’ − → 2๐‘‚๐ป −
v.a. in der Raumfahrt, wegen tiefer Betriebstemperatur, Akkus…
๐ป2 + 0.5๐‘‚2 → ๐ป2๐‘‚ โŸน {
๏‚ท PEMFC Proton Exchange Membrane Fuel Cell
@ 80-90°C / Kunststoffmembran
๐ป2 → 2๐ป + + 2๐‘’ −
๐ดโˆท
๐พ โˆท0.5๐‘‚2 + 2๐ป + + 2๐‘’ − → ๐ป2 ๐‘‚
v.a. in der Autoindustrie, wegen tiefer Betriebstemperatur, Akkus…
๐ป2 + 0.5๐‘‚2 → ๐ป2 ๐‘‚ โŸน {
๏‚ท PAFC
Phosphoric Acid Fuel Cell
@ 160-220°C / konzentrierte Phosphorsäure
๐ป2 → 2๐ป + + 2๐‘’ −
๐ดโˆท
๐ป2 + 0.5๐‘‚2 → ๐ป2 ๐‘‚ โŸน {
๐พ โˆท0.5๐‘‚2 + 2๐ป + + 2๐‘’ − → ๐ป2 ๐‘‚
Autoindustrie (grosse Fahrzeuge), Kraftwerke, WKK, BHKW
๏‚ท MCFC Molten Carbonate Fuel Cell
@ 600-650°C / Kalium- und Lithiumcarbonat
2−
−
๐ด โˆท ๐ป2 + ๐ถ๐‘‚3 → ๐ป2 ๐‘‚ + ๐ถ๐‘‚2 + 2๐‘’
๐ป2 + 0.5๐‘‚2 → ๐ป2 ๐‘‚ โŸน {
๐พ โˆท 0.5๐‘‚2 + ๐ถ๐‘‚2 + 2๐‘’ − → ๐ถ๐‘‚32−
Hochtemperaturandwendungen: Kraftwerke, WKK, BHKW
๏‚ท SOFC
Solid Oxid Fuel Cell
@ 950-1000°C / Zirkonoxid
๐ด โˆท ๐ป2 + ๐‘‚2− → ๐ป2 ๐‘‚ + 2๐‘’ − ∨ ๐ถ๐‘‚ + ๐‘‚2− → ๐ถ๐‘‚2 + 2๐‘’ −
๐ป2 + 0.5๐‘‚2 → ๐ป2 ๐‘‚ โŸน {
๐พโˆท
0.5๐‘‚2 + 2๐‘’ − + ๐‘‚2−
Hochtemperaturandwendungen: Kraftwerke, WKK, BHKW
BERECHNUNGEN A N EINE R BRENNSTOFFZELLE
KOMPRESSIBLE STRÖMUNGEN DURCH DÜSEN
ISENTROPE STRÖ MUNGSFUNKTIONEN
๏‚ท Strom
๏‚ท Schallgeschwindigkeit ๐‘, mit ๐œ… = 1.4 für 2-atomige Gase
๏‚ท verlustfreie Bernoulli – Gleichung
๐ผ = ๐‘›ฬ‡ ๐‘’ โˆ™ ๐‘’ โˆ™ ๐‘๐ด = ๐‘›ฬ‡ ๐‘’ โˆ™ ๐‘“ = ๐‘›ฬ‡ ๐‘“๐‘ข๐‘’๐‘™ โˆ™ ๐‘ง โˆ™ ๐‘“
๐‘ง = #๐‘’ − ,
๏‚ท Leistung
๐‘›ฬ‡ ๐‘“๐‘ข๐‘’๐‘™ =
๐‘ƒ๐น๐ถ = −๐‘ˆ โˆ™ ๐ผ
๏‚ท char. Spannungen ๐‘ˆ๐ป (๐‘‡) =
ฬ…๐‘ˆ
๐ป
=
๏‚ท Wärmeströme
๏‚ท Fuel Cell Stack
๏‚ท Effizienz
๐‘
๐’„ = √๐œฟ๐‘น๐‘ป = √๐œฟ ๐’‘⁄๐†
๐‘€๐‘“๐‘ข๐‘’๐‘™
ฬ…๐‘…
−โˆ†โ„Ž
๐‘งโˆ™๐‘“
๐‘งโˆ™๐‘“
−๐‘ƒ๐น๐ถ,๐‘Ÿ๐‘’๐‘ฃ
๐‘ˆ๐‘Ÿ๐‘’๐‘ฃ (๐‘‡) =
=
๐‘งโˆ™๐‘“
ฬ‡
ฬ…
๐‘„ + ๐‘ƒ๐น๐ถ = −๐‘›ฬ‡ ๐‘“๐‘ข๐‘’๐‘™ ๐ป๐‘ˆ
๏‚ท 1HS
๐‘šฬ‡๐‘“๐‘ข๐‘’๐‘™
- Bsp. 1: ๐‘๐‘Ž๐‘–๐‘Ÿ = √๐œ…๐‘…๐‘‡ = √1.4 โˆ™
−โˆ†๐‘”ฬ…๐‘…
ฬ…
โˆ†โ„Ž
๐‘„ฬ‡ = ๐‘… ๐ผ − ๐‘ƒ๐น๐ถ = ๐‘›ฬ‡ ๐‘“๐‘ข๐‘’๐‘™ โˆ†โ„Žฬ…๐‘… − ๐‘ƒ๐น๐ถ
๐‘งโˆ™๐‘“
= ๐‘„ฬ‡๐‘Ÿ๐‘’๐‘ฃ + ๐‘„ฬ‡๐‘–๐‘Ÿ๐‘Ÿ = −[๐‘ˆ๐ป − ๐‘ˆ(๐ผ)]๐ผ
๐‘„ฬ‡๐‘Ÿ๐‘’๐‘ฃ = −[๐‘ˆ๐ป − ๐‘ˆ๐‘Ÿ๐‘’๐‘ฃ ]๐ผ = ๐‘„ฬ‡ − ๐‘„ฬ‡๐‘–๐‘Ÿ๐‘Ÿ
ฬ‡
๐‘„ฬ‡๐‘–๐‘Ÿ๐‘Ÿ = −[๐‘ˆ๐‘Ÿ๐‘’๐‘ฃ − ๐‘ˆ(๐ผ)]๐ผ = ๐‘„ฬ‡ − ๐‘„ฬ‡๐‘Ÿ๐‘’๐‘ฃ = −๐‘‡๐‘†๐‘’๐‘Ÿ๐‘ง
๐‘ƒ๐‘ ๐‘ก๐‘Ž๐‘๐‘˜ = #๐น๐ถ โˆ™ ๐‘ƒ๐น๐ถ
๐‘ˆ๐‘ ๐‘ก๐‘Ž๐‘๐‘˜ = #๐น๐ถ โˆ™ ๐‘ˆ๐น๐ถ
๐‘ƒ
๐œ‚๐น๐ถ = ๐œ‚๐ผ โˆ™ ๐œ‚๐‘ˆ,๐ป = ๐œ‚๐ผ โˆ™ ๐น๐ถ ฬ‡
๐‘ƒ๐น๐ถ +๐‘„
๐œ‚๐ผ = Umsetzungswirkungsgrad
Bei Berechnung von โˆ†โ„Žฬ…๐‘… bzw โˆ†๐‘”ฬ…๐‘… :
Normalerweise wird H2O immer gasförmig abgegeben, auch wenn die
Brennstoffzelle bei Standardbedingungen arbeitet
← Um die maximale Leistung zu
erreichen, muss man grosse
Wärmeverluste in Kauf nehmen.
METHANOL BRENNSTOF FZEL LE
๏‚ท Gegeben:
๐ถ๐ป3 ๐ถ๐‘‚๐ป(๐‘™) + 1.5๐‘‚2 → ๐ถ๐‘‚2 + 2๐ป2 ๐‘‚(๐‘”) @{๐‘‡๐‘Ÿ๐‘’๐‘“ , ๐‘๐‘Ÿ๐‘’๐‘“ }
๐‘ˆ = 0.2๐ผฬƒ2 − 0.9๐ผฬƒ + 1 , ๐ผฬƒ =
๏‚ท Berechnungen:
๐‘šฬ‡
๐‘„ฬ‡ = ๐‘“๐‘ข๐‘’๐‘™ โˆ†โ„Žฬ…๐‘… − ๐‘ƒ๐น๐ถ , โˆ†โ„Žฬ…๐‘… = [โ„Žฬ…๐‘“0 ]
๐‘€๐‘“๐‘ข๐‘’๐‘™
๐œ•(−๐‘ˆ๐ผ)
๐œ•(−๐‘ˆ๐ผฬƒ)
๐œ•๐ผฬƒ
๐‘ƒ๐‘š๐‘Ž๐‘ฅ = ?
=
๐œ•๐ผ
โŸน ๐‘‡๐‘… โˆท ๐‘ ๐‘œ๐‘™๐‘ฃ๐‘’(… , ๐ผฬƒ)
=
๐ผ
, ๐‘šฬ‡๐‘“๐‘ข๐‘’๐‘™
๐ผ๐‘š๐‘Ž๐‘ฅ
+ 2[โ„Žฬ…๐‘“0 ]
๐ถ๐‘‚2
๐œ•(−0.2๐ผฬƒ3 +0.9๐ผฬƒ2 −๐ผฬƒ)
๐œ•๐ผฬƒ
1000โˆ™๐‘…ฬ…
3
๐‘€๐ป๐‘’
๐ป2 ๐‘‚(๐‘”)
− [โ„Žฬ…๐‘“0 ]
@๐‘‡=293๐พ
๐‘‡⇒
@๐‘‡=293๐พ
๐‘‡⇒
๐‘๐‘Ž๐‘–๐‘Ÿ = 343
๐‘๐ป๐‘’ = 1007
๐‘š
๐‘ 
๐‘š
๐‘ 
+
๐‘ค2
2
+ ๐‘”๐‘ง = ๐‘๐‘œ๐‘›๐‘ ๐‘ก.
๏‚ท Stagnationsenthalpie, -druck und -temperatur:
โ„Ž0 = โ„Ž +
โŸ
๐‘ค2
๐‘0 = ๐‘ +
โŸ
2
๐‘๐‘œ๐‘›๐‘ ๐‘ก[email protected]๐‘Ž๐‘‘๐‘–๐‘Ž๐‘๐‘Ž๐‘ก
๐œŒ๐‘ค 2
๐œฟ
๐’‘๐Ÿ
๐‘ป๐Ÿ ๐œฟ−๐Ÿ
๐†๐Ÿ ๐œฟ
=( )
=( )
๐’‘๐Ÿ
๐‘ป๐Ÿ
๐†๐Ÿ
๐’˜
๐‘ด๐’‚ =
๐’„
- ๐‘€๐‘Ž > 1 ⇒ Überschall / supersonic
- ๐‘€๐‘Ž < 1 ⇒ Unterschall / subsonic
๐‘‡0 = ๐‘‡ +
2
๐‘๐‘œ๐‘›๐‘ ๐‘ก[email protected]๐‘Ÿ๐‘’๐‘–๐‘๐‘ข๐‘›๐‘”๐‘ ๐‘“๐‘Ÿ๐‘’๐‘–
๐‘ป๐Ÿ
๐†๐Ÿ ๐œฟ−๐Ÿ
=( )
๐‘ป๐Ÿ
๐†๐Ÿ
๏‚ท Strömungsgeschwindigkeit (aus Stagnationsenthalpie folgend):
๐‘๐‘ =๐‘…๐œ… ⁄(๐œ…−1)
๐‘ค = √2(โ„Ž๐‘œ − โ„Ž) = √2๐‘๐‘ (๐‘‡๐‘œ − ๐‘‡) ⇒
2๐œ…
๏‚ท Eine Düse/nozzle hat die Eigenschaft, die Geschwindigkeit eines
Fluids, und damit seine kinetische Energie, zu erhöhen. ๐’…๐’˜ > 0.
๏‚ท Ein Diffusor/diffuser hat die Eigenschaft, die Geschwindigkeit eines
Fluids, und damit seine kinetische Energie, zu verringern. ๐’…๐’˜ < 0.
๏‚ท Beziehung zwischen Mach-Zahl, Fläche und Geschwindigkeit:
๐’…๐‘จ
๐’…๐’˜
(๐Ÿ − ๐‘ด๐’‚๐Ÿ )
=−
๐‘จ
๐’˜
II Düse, supersonic
๐‘‘๐‘ค > 0 ๐‘€๐‘Ž > 1
โ†ช ๐‘‘๐ด > 0
2๐œ…
๐‘ ๐‘ฃ
๐œ…−1 0 0
=√
๐‘‡
2๐œ…
๐‘‡0
๐œ…−1
(1 − ) = √
๐‘‡
√๐œ…−1 ๐‘…๐‘‡0 (1 − ๐‘‡ )
0
ALLGEMEINES VERHALTE N I N DÜSEN UND DIFFU SOREN
I Düse, subsonic
๐‘‘๐‘ค > 0 ๐‘€๐‘Ž < 1
โ†ช ๐‘‘๐ด < 0
๐‘ค2
2๐‘๐‘
๏‚ท Isentropenbeziehungen für ein ideales Gas:
๏‚ท Machzahl ๐‘€๐‘Ž (oder einfach nur ๐‘€):
U-I DIAGRAMM
← Der orange Bereich steht für den
irreversiblen Wärmeverlust, der blaue für
den reversiblen. Gäbe es keine
Irreversibilitäten, so wäre die Leistung
ฬ‡ . Trotzdem könnte
höher, nämlich bis ๐‘ƒ๐‘Ÿ๐‘’๐‘ฃ
der blaue Teil nicht direkt genutzt werden;
doch würde diese Wärme, wegen ihrer
hohen Temperatur, wieder von der
Umgebung aufgenommen werden,
weshalb ihr Verlust reversibel ist.
๐‘€๐‘Ž๐‘–๐‘Ÿ
5
- Bsp. 2: ๐‘๐ป๐‘’ = √๐œ…๐‘…๐‘‡ = √ โˆ™
๐‘งโˆ™๐‘“
1000โˆ™๐‘…ฬ…
๐œŒ
๐‘
๐‘0 ๐‘ฃ0 (1 − ( )
๐œ…−1
๐œ…
๐‘0
)
๏‚ท Massenfluss ๐’Žฬ‡ = ๐‘ฝฬ‡ โˆ™ ๐† = ๐‘จ โˆ™ ๐’˜ โˆ™ ๐† = ๐‘จ โˆ™ ๐’˜ โˆ™ ๐’—−๐Ÿ
2
๐‘šฬ‡ = ๐ด√
2๐œ… ๐‘0
๐œ…−1 ๐‘ฃ0
๐‘ ๐œ…
๐‘
[(๐‘ ) − (๐‘ )
0
0
๐œ…+1
๐œ…
2
=๐ด
]
๐‘0
√๐‘…๐‘‡0
√
2๐œ…
๐‘ ๐œ…
๐‘
[(๐‘ ) − (๐‘ )
๐œ…−1
0
๐œ…+1
๐œ…
0
]
โ†ณ ๐‘‡๐‘… โˆท ๐‘š๐‘‘๐‘œ๐‘ก๐‘ฃ(๐ด, ๐‘, ๐‘0 , ๐‘ฃ0 , ๐œ…, ๐‘…) โ†ณ ๐‘‡๐‘… โˆท ๐‘š๐‘‘๐‘œ๐‘ก๐‘ก(๐ด, ๐‘, ๐‘0 , ๐‘‡0 , ๐œ…, ๐‘…)
๏‚ท Schalldruck, -temperatur, -dichte und -geschwindigkeit
III Diffusor, supersonic IV Diffusor, subsonic
๐‘‘๐‘ค < 0 ๐‘€๐‘Ž > 1
๐‘‘๐‘ค < 0 ๐‘€๐‘Ž < 1
โ†ช ๐‘‘๐ด < 0
โ†ช ๐‘‘๐ด > 0
๐œฟ
๐œฟ
๐Ÿ
๐Ÿ
๐Ÿ−๐œฟ
๐’‘
๐œฟ−๐Ÿ
๐Ÿ ๐œฟ−๐Ÿ
= (๐Ÿ +
๐‘ด๐’‚๐Ÿ )
โŸน ๐’‘∗ = ๐’‘๐ŸŽ (
)
๐’‘๐ŸŽ
๐Ÿ
๐œฟ+๐Ÿ
−๐Ÿ
๐‘ป
๐œฟ−๐Ÿ
๐Ÿ
= (๐Ÿ +
๐‘ด๐’‚๐Ÿ )
โŸน ๐‘ป∗ = ๐‘ป๐ŸŽ (
)
๐‘ป๐ŸŽ
๐Ÿ
๐œฟ+๐Ÿ
๐Ÿ−๐œฟ
๐†
๐œฟ−๐Ÿ
๐Ÿ ๐œฟ−๐Ÿ
= (๐Ÿ +
๐‘ด๐’‚๐Ÿ )
โŸน ๐†∗ = ๐†๐ŸŽ (
)
๐†๐ŸŽ
๐Ÿ
๐œฟ+๐Ÿ
VENTOURI DÜSE – K ONVERGE NTE DÜSE
๐‘๐ต wird sukzessive reduziert:
a,b,c: Beschleunigen der Strömung
immer weiter in Düse hinein.
d: ๐‘€ = 1 @ ๐ธ ๐‘๐ธ = ๐‘∗
e: Trotz der Druckverringerung kann
die Strömung nicht mehr weiter
beschleunigt werden, in der Düse
ändert sich nichts, die Düse ist
“abgeriegelt“ (engl. choked).
LAVAL DÜSE – KONVE RGENT/DI VERGENT E DÜSE
๐‘๐ต wird sukzessive reduziert:
a,b,c: Beschleunigen und
darauffolgendes Abbremsen
d: ๐‘€ = 1 @ Throat danach
Abbremsen im Diffusor.
e,f: Laval-Düse beschleunigt
die Strömung weiter,
Verdichtungsstoss bringt sie
zurück in den Unterschallbereich, jetzt Diffusor.
๐ถ๐ป3 ๐ถ๐‘‚๐ป(๐‘™)
= −0.6๐ผฬƒ2 + 1.8๐ผฬƒ − 1 = 0
Wie schon erwähnt, kann โˆ†๐‘†๐‘… > 0 sein, was hier der Fall ist.
Berechnet man ๐‘ˆ๐ป und ๐‘ˆ๐‘Ÿ๐‘’๐‘ฃ , so sieht man, dass ๐‘ˆ๐‘Ÿ๐‘’๐‘ฃ > ๐‘ˆ๐ป ist und
deshalb Wärme von der Umgebung aufgenommen wird, ๐‘„ฬ‡๐‘Ÿ๐‘’๐‘ฃ > 0 ,
gerade umgekehrt wie im Diagramm oben gezeichnet. Daraus folgt
auch, dass |๐‘„ฬ‡๐‘–๐‘Ÿ๐‘Ÿ | > |๐‘„ฬ‡|.
Seite 11
๐Ÿ๐œฟ
๐‘ป
๐Ÿ๐œฟ
๐’˜=√
๐‘น๐‘ป (๐Ÿ − ) โŸน ๐’˜∗ = √
๐‘น๐‘ป = √๐œฟ๐‘น๐‘ป = ๐’„
๐œฟ−๐Ÿ ๐ŸŽ
๐‘ป๐ŸŽ
๐œฟ+๐Ÿ ๐ŸŽ
๏‚ท Schalldruckquerschnitt:
๐ด
1
2
๐œ…−1
๐œ…+1
2(๐œ…−1)
[( ) (1 +
โˆ™ ๐‘€๐‘Ž2 )]
๐œ…+1
2
Es existieren jeweils 2 Werte, der
grössere im Überschallbereich und der
kleinere im Unterschallbereich (nachdem ein
Verdichtungsstoss stattgefunden hat oder
der Überschallberech gar nie erreicht war)
๐ด∗
=
๐‘€๐‘Ž
VENTOURI DÜSE
๏‚ท Fall “offen“ ๐‘ > ๐‘∗
โŸน ๐‘šฬ‡ = ๐‘“(๐‘, ๐‘0 , … )
๏‚ท Fall “abgeriegelt“ ๐‘ < ๐‘∗
โŸน ๐‘šฬ‡ = ๐‘“(๐‘∗ , ๐‘0 , … )
โŸน in diesem Fall ist der Ausgangsdruck ๐‘∗ , und nicht ๐‘. Also fliesst
auch ๐‘∗ in den Massenstrom ein, der durch Senken von ๐‘ nicht weiter
erhöht werden kann, man müsste schon ๐‘0 erhöhen oder ๐‘‡0 senken.
๐‘šฬ‡∗ ∝ ๐ด∗ โˆ™ ๐‘0 โˆ™ √1⁄๐‘‡0
Zuerst immer überprüfen, ob die Düse “abgeriegelt“ ist.
๏‚ท ๐œ† = ๐‘๐‘œ๐‘›๐‘ ๐‘ก. & stätionär & mit konstanten Quellen:
STRAHLUNG
THERMODYNAMIK 2 :: L TNT
๐œ•2 ๐‘‡
--
๐’’ฬ‡ ′′๐’“๐’‚๐’…
DEFINITIONEN
๐’’ฬ‡ ๐’“๐’‚๐’…
๏‚ท
KONSTANTEN
=๐œบโˆ™๐ˆโˆ™๐‘ป
= ๐‘จ โˆ™ ๐œบ โˆ™ ๐ˆ โˆ™ ๐‘ป๐Ÿ’
๐‘š2 โˆ™๐พ4
๐‘žฬ‡ : [๐‘Š]
๐‘Š
๐‘žฬ‡ ′: [ ]
- Wärmestrom pro Fläche
๐‘žฬ‡ ′′: [
]
DIE WÄRMELEITUNGSGLEICHUNG
- Wärmestrom pro Volumen
๐‘žฬ‡ ′′′: [
]
3
๏‚ท allgemein:
- Wärmeleitfähigkeit
๐œ†: [
]
- Wärmeübergangskoeffizient
๐›ผ: [
- Temperaturleitfähigkeit
๐‘Ž: [
๐‘š2
๐‘Š
๐‘š
๐‘Š
๐‘šโˆ™๐พ
๐‘Š
๐‘š2 โˆ™๐พ
๐‘š2
๐†๐’„
]
๏‚ท kartesisch:
]
s
๐พ
๏‚ท zylindrisch: ๐œŒ๐‘
๐‘…๐‘™๐‘’๐‘–๐‘ก , ๐‘…๐‘๐‘œ๐‘›๐‘ฃ : [ ]
- Wärmeleitwiderstand
๐‘Š
๐‘Š
- Wärmedurchgangskoeffizient
๐‘˜: [
- Linearer Wärmedurchgangskoeffizient
- Rippenparameter
๐‘˜๐ฟ : [ ]
๐‘šโˆ™๐พ
๐‘š: [1]
๐‘š2 โˆ™๐พ
๐‘Š
๐‘š2
๐œˆ: [
- Kinematische Viskosität
s
]
๏‚ท sphärisch:
๐œŒ๐‘
๐œ•๐‘‡
๐œ•๐‘ก
๐œ•๐‘‡
๐œ•๐‘ก
๐œ•๐‘‡
๐œ•๐‘ก
=
=
=
๐œ•
(๐œ†
๐œ•๐‘‡
๐œ•๐‘ฅ
(๐œ†๐‘Ÿ
- Nu
- Re
๐ต๐‘– =
Biot-Zahl
]
๐‘โˆ™๐‘ 
๐‘š2
]=[
๐‘โˆ™๐‘ 
๐‘š2
]
Reynolds-Zahl
๏‚ท ๐œ† = ๐‘๐‘œ๐‘›๐‘ ๐‘ก.
๐œ†๐‘“๐‘™๐‘ข๐‘–๐‘‘
๐‘ข∞ โˆ™๐‘ฅ
๐‘…๐‘’๐ท =
๐‘…๐‘’๐ฟ =
๐œˆ
๐‘ข∞ โˆ™๐ท
๐œˆ
๐‘ข∞ โˆ™๐ฟ
๐œˆ
๐‘๐‘ โˆ™๐œ‡
=
=
(๐œ†
)+
=
=
๐œ•๐‘‡
๐œ•๐‘ง
๐œ•
๐œŒโˆ™๐‘ข∞โˆ™๐ฟ
๐œ‡
๐œˆ
๐‘ƒ๐‘’๐‘ฅ = ๐‘…๐‘’๐‘ฅ โˆ™ ๐‘ƒ๐‘Ÿ
๐‘Ž๐‘“๐‘™๐‘ข๐‘–๐‘‘
mit ๐‘Ž =
๐œ†
๐œŒ๐‘
๐œ•๐‘ก
1 ๐œ•๐‘‡
(๐œ†
๐œ•๐‘‡
๐‘Ž ๐œ•๐‘ก
๐œ•๐‘‡
๐œŒ๐‘
ÜBERSICHT
๐œ•2 ๐‘‡
๐œ•๐‘ฅ 2
๐œ•๐‘‡
๐œ•๐‘ก
′′′
๐‘žฬ‡ ๐‘„๐‘ข๐‘’๐‘™๐‘™๐‘’๐‘›
๐œ†
= ๐œ† โˆ™ โˆ†๐‘‡
′′′
๐‘žฬ‡ ๐‘„๐‘ข๐‘’๐‘™๐‘™๐‘’๐‘›
=0
= ๐ถ1
๐œ•๐‘ฅ
๐‘ป = ๐‘ช๐Ÿ ๐’™ + ๐‘ช๐Ÿ
Wärme kann durch 3 verschiedene Mechanismen übertragen werden;
durch Wärmeleitung, Konvektion und Strahlung.
- zylindrisch:
๐œ•
๐œ•๐‘Ÿ
๐œ•๐‘‡
(๐‘Ÿ
๐œ•๐‘‡
๐œ•๐‘Ÿ
๐ถ
)=0
= 1
๐œ•๐‘Ÿ
๐‘Ÿ
๐‘ป = ๐‘ช๐Ÿ ๐ฅ๐ง ๐’“ + ๐‘ช๐Ÿ
๐’’ฬ‡ ′′๐’๐’†๐’Š๐’• = −๐€
- sphärisch:
๐œ•
๐œ•๐‘Ÿ
๐œ•๐‘‡
๐œ•๐‘Ÿ
(๐‘Ÿ
2 ๐œ•๐‘‡
=
๐ถ1
๐œ•๐‘Ÿ
๐’“
)=−
๐œ•๐‘Ÿ
๐’’ฬ‡ ′′′
๐‘ธ๐’–๐’†๐’๐’๐’†๐’
๐œ•
๐‘ฅ + ๐ถ1
๐’™ + ๐‘ช๐Ÿ ๐’™ + ๐‘ช๐Ÿ
′′′
๐‘žฬ‡ ๐‘„๐‘ข๐‘’๐‘™๐‘™๐‘’๐‘›
๐œ†
∫ ๐œ•๐‘Ÿ
๐œ•๐‘‡
๐‘Ÿ →
๐œ•๐‘Ÿ
=−
′′′
๐‘žฬ‡ ๐‘„๐‘ข๐‘’๐‘™๐‘™๐‘’๐‘›
2๐œ†
๐‘Ÿ+
๐ถ1
๐‘Ÿ
๐’“๐Ÿ + ๐‘ช๐Ÿ ๐ฅ๐ง ๐’“ + ๐‘ช๐Ÿ
)=−
′′′
๐‘žฬ‡ ๐‘„๐‘ข๐‘’๐‘™๐‘™๐‘’๐‘›
๐œ•๐‘Ÿ
๐’’ฬ‡ ′′′
๐‘ธ๐’–๐’†๐’๐’๐’†๐’
๐œ†
∫ ๐œ•๐‘Ÿ ๐œ•๐‘‡
๐‘Ÿ2 →
๐œ•๐‘Ÿ
=−
′′′
๐‘žฬ‡ ๐‘„๐‘ข๐‘’๐‘™๐‘™๐‘’๐‘›
3๐œ†
๐‘Ÿ+
๐‘ช
โŸบ
๐‘Ž ๐œ•๐‘ก
=0
๐‘žฬ‡ ′′ (๐‘ฅ0 , ๐‘ก) = −๐œ†
๏‚ท Randbedingungen 3. Art:
mit ๐‘Ž =
1 ๐œ•๐‘‡
๐‘‡(๐‘ฅ0 , ๐‘ก) = ๐‘‡0
๏‚ท Randbedingungen 2. Art:
๐œ†
๐œŒ๐‘
= โˆ†๐‘‡
๐‘žฬ‡ ′′ = −๐œ†
๐‘‘๐‘‡
|
๐‘‘๐‘‡
๐‘–๐‘ ๐‘œ๐‘™๐‘–๐‘’๐‘Ÿ๐‘ก
|
๐‘‘๐‘ฅ ๐‘ฅ=๐‘ฅ0
๐‘‘๐‘ฅ ๐‘ฅ=๐‘ฅ0
⇒
=0
= ๐›ผ(๐‘‡(๐‘ฅ0 , ๐‘ก) − ๐‘‡∞ )
Bei verschiedenen Materialien braucht es auch verschiedene
Gleichungen, welche mittels den Randbedingungen - gleiche
Temperatur an der Schnittstelle (1) und gleicher Wärmefluss (2) an der
Schnittstelle - verbunden werden können.
Bei Konvektion gilt (3) nur, wenn die Koordinatenrichtung in
๐‘‘๐‘‡
Normalenrichtung zeigt. Sonst = +๐œ† |
= ๐›ผ(๐‘‡(๐‘ฅ0 , ๐‘ก) − ๐‘‡∞ )
๐‘‘๐‘ฅ ๐‘ฅ=๐‘ฅ0
KONKRETE PROBLEMSTEL LUNGEN
๏‚ท ebene Wand, keine Quellen:
gegeben: ๐‘‡1 , ๐‘‡2 , ๐ฟ
Ansatz: ๐‘‡ = ๐ถ1 ๐‘ฅ + ๐ถ2
RB1: ๐‘‡(๐‘ฅ = 0) = ๐‘‡1 = ๐ถ2
RB2: ๐‘‡(๐‘ฅ = ๐ฟ) = ๐‘‡2 = ๐ถ1 ๐ฟ + ๐‘‡1
Lösung: ๐‘‡ =
๐‘‡2 −๐‘‡1
๐ฟ
⇒ ๐ถ2 = ๐‘‡1
๐‘‡ −๐‘‡
⇒ ๐ถ1 = 2 1
๐ฟ
๐‘ฅ + ๐‘‡1
๏‚ท ebene Wand, keine Quellen, auf beiden Seiten Konvektion:
gegeben: ๐œ†, ๐‘‡∞,1 , ๐›ผ1 , ๐‘‡∞,2 , ๐›ผ2 , ๐ฟ
Ansatz: ๐‘‡ = ๐ถ1 ๐‘ฅ + ๐ถ2
RB1:
+๐œ†
๐‘‘๐‘‡
|
๐‘‘๐‘ฅ ๐‘ฅ=0
= ๐›ผ1 (๐‘‡(0) − ๐‘‡∞,1 )
+๐œ†๐ถ1 = ๐›ผ1 (๐ถ2 − ๐‘‡∞,1 )
−๐œ†
๐‘‘๐‘‡
|
๐‘‘๐‘ฅ ๐‘ฅ=๐ฟ
⇒ ๐ถ1 =
๐‘‡∞,2 −๐‘‡∞,1
๐œ†
๐œ†
+ +๐ฟ
๐›ผ1 ๐›ผ2
= ๐›ผ2 (๐‘‡(๐ฟ) − ๐‘‡∞,2 )
−๐œ†๐ถ1 = ๐›ผ2 (๐ถ1 ๐ฟ + ๐ถ2 − ๐‘‡∞,2 )
Lösung: ๐‘‡ =
Seite 12
(๐‘Ÿ
๐Ÿ’๐€
๐œ†
๐Ÿ
๏‚ท Randbedingungen 1. Art:
RB2:
+ ๐‘ช๐Ÿ
๐œ•๐‘Ÿ
2 ๐œ•๐‘‡
′′′
๐‘žฬ‡ ๐‘„๐‘ข๐‘’๐‘™๐‘™๐‘’๐‘›
RANDBEDI NGUNGEN
)=0
๐‘Ÿ2
๐‘ช๐Ÿ
๐‘ป=−
๐Ÿ๐€
=−
๐œ•๐‘ฅ
′′′
) + ๐‘žฬ‡ ๐‘„๐‘ข๐‘’๐‘™๐‘™๐‘’๐‘›
′′′
= ๐œ† โˆ™ โˆ†๐‘‡ + ๐‘žฬ‡ ๐‘„๐‘ข๐‘’๐‘™๐‘™๐‘’๐‘›
Soll die Temperaturverteilung angegeben werden, muss die
Wärmeleitungsgleichung integriert werden.
๏‚ท ๐œ† = ๐‘๐‘œ๐‘›๐‘ ๐‘ก. & stätionär & ohne Quellen:
- kartesisch:
๐’’ฬ‡ ′′′
๐‘ธ๐’–๐’†๐’๐’๐’†๐’
๐œ•๐‘‡
→
๐œ†
′′′
) + ๐‘žฬ‡ ๐‘„๐‘ข๐‘’๐‘™๐‘™๐‘’๐‘›
TEMPERATURVERTEILUNG EN EI NDIMENSIONAL
๐œ‡
Peclet-Zahl
๐œ†๐‘“๐‘™๐‘ข๐‘–๐‘‘
(๐œ†
๐œ‡
๐œŒโˆ™๐‘ข∞ โˆ™๐ท
- Pe
๐’’ฬ‡ ′′๐’„๐’๐’๐’— = ๐œถ(๐‘ป๐‘พ − ๐‘ป∞ )
๐’’ฬ‡ ๐’„๐’๐’๐’— = ๐‘จ โˆ™ ๐œถ(๐‘ป๐‘พ − ๐‘ป∞ )
๐œ•
๐œ•๐‘ง
๐œ•๐‘‡
๏‚ท & stationär = 0:
โˆ†๐‘‡ +
๐œ•๐‘ก
๐œ†
๏‚ท & stationär und ohne Quellen: โˆ†๐‘‡ = 0
๐‘ƒ๐‘Ÿ =
KONVEKTION
)+
๐œŒโˆ™๐‘ข∞โˆ™๐‘ฅ
Prandtl-Zahl
๐’’ฬ‡ ๐’๐’†๐’Š๐’•
๐œ•๐‘‡
๐œ•
- Pr
๐’…๐‘ป
๐’…๐’™
๐’…๐‘ป
= −๐‘จ โˆ™ ๐€
๐’…๐’™
๐œ•๐‘‡
๐œ•๐‘ฆ
1 ๐œ•
)+
๐œŒ๐‘
๏‚ท & ohne Quellen:
๐œ†๐‘“๐‘’๐‘ ๐‘ก๐‘˜ö๐‘Ÿ๐‘๐‘’๐‘Ÿ
๐›ผโˆ™๐ฟ
๐‘…๐‘’๐‘ฅ =
WÄRMELEITUNG
(๐œ†
= โˆ†๐‘‡ +
๐›ผโˆ™๐ฟ
๐‘๐‘ข =
Nusselt-Zahl
๐œ•๐‘ฆ
๐œ•๐‘Ÿ
๐‘Ÿ 2 ๐œ•๐œƒ
๐œ•๐œƒ
๐œ•๐‘ง
๐œ•๐‘ง
1
๐œ•
๐œ•๐‘‡
2 ๐œ•๐‘‡
(๐œ†๐‘Ÿ
)
+
(๐œ†
)
+
๐‘Ÿ 2 ๐œ•๐‘Ÿ
๐œ•๐‘Ÿ
๐‘Ÿ 2 sin2 ๐œ‘ ๐œ•๐œƒ
๐œ•๐œƒ
1
๐œ•
๐œ•๐‘‡
′′′
(๐œ† sin ๐œ‘ ) + ๐‘žฬ‡ ๐‘„๐‘ข๐‘’๐‘™๐‘™๐‘’๐‘›
2
2
๐‘Ÿ sin ๐œ‘ ๐œ•๐œ‘
๐œ•๐œ‘
๐‘Ÿ ๐œ•๐‘Ÿ
1 ๐œ•
DIMENSIONSL OSE KONST ANTE N
- Bi
๐œ•
)+
๐œ•๐‘‡
(๐‘Ÿ
′′′
∫ ๐œ•๐‘ฅ ๐œ•๐‘‡
๐‘žฬ‡ ๐‘„๐‘ข๐‘’๐‘™๐‘™๐‘’๐‘›
๐‘ป=−
๐’“๐Ÿ − ๐Ÿ + ๐‘ช๐Ÿ
๐Ÿ”๐€
๐’“
๏‚ท ๐œ† = ๐‘๐‘œ๐‘›๐‘ ๐‘ก. & stätionär & mit inkonstanten Quellen:
Quellterm einsetzen und integrieren
๏‚ท Einige Temperaturverteilungen (Punkte » Quellen):
๐๐‘ป
= โƒ—๐›โƒ— โˆ™ (๐€ โˆ™ โƒ—๐›โƒ—๐‘ป) + ๐’’ฬ‡ ′′′
๐‘ธ๐’–๐’†๐’๐’๐’†๐’
๐๐’•
๐œ•๐‘ฅ
1 ๐œ•
๐œ•๐‘Ÿ
- sphärisch:
VEREINFACHUNGEN
๐œ‡: [๐‘ƒ๐‘Ž โˆ™ ๐‘ ] = [
- Dynamische Viskosität
๐œŒ๐‘
=−
๐‘ป=−
- Wärmestrom
- Wärmestrom pro Länge
๐‘š
๐‘Š
๐œ•
- zylindrisch:
๏‚ท Abstahlung – Anstahlung:
′′
๐‘žฬ‡ ๐‘Ÿ๐‘Ž๐‘‘,๐‘›๐‘’๐‘ก
= ๐œ€ โˆ™ ๐œŽ โˆ™ (๐‘‡๐‘  4 − ๐‘‡๐‘ ๐‘ข๐‘Ÿ 4 )
๐‘žฬ‡ ๐‘Ÿ๐‘Ž๐‘‘,๐‘›๐‘’๐‘ก = ๐ด โˆ™ ๐œ€ โˆ™ ๐œŽ โˆ™ (๐‘‡๐‘  4 − ๐‘‡๐‘ ๐‘ข๐‘Ÿ 4 )
EINHEITEN
๐œ•๐‘ฅ 2
๐‘ป=−
wobei ๐œ€ ein Materialparameter ist
๐œ€๐‘๐‘’๐‘Ÿ๐‘“๐‘’๐‘˜๐‘ก ๐‘ ๐‘โ„Ž๐‘ค๐‘Ž๐‘Ÿ๐‘ง๐‘’๐‘Ÿ ๐พö๐‘Ÿ๐‘๐‘’๐‘Ÿ = 1
๐‘Š
๐œŽ = 5.67 โˆ™ 10−8
- Boltzmann-Konstante
- kartesisch:
๐Ÿ’
๐‘‡∞,2 −๐‘‡∞,1
๐œ†
๐œ†
+ +๐ฟ
๐›ผ1 ๐›ผ2
๐‘ฅ + ๐‘‡∞,1 +
⇒ ๐ถ2 = ๐‘‡∞,1 +
๐‘‡∞,2 −๐‘‡∞,1
๐›ผ
๐ฟ๐›ผ
1+๐›ผ1 + ๐œ†1
2
๐‘‡∞,2 −๐‘‡∞,1
๐›ผ
๐ฟ๐›ผ
1+๐›ผ1 + ๐œ† 1
2
๐ถ1
๐‘Ÿ2
๏‚ท Rohrisolation, keine Quellen:
gegeben: ๐‘Ÿ1 , ๐‘‡1 , ๐‘Ÿ2 , ๐‘‡2
Ansatz: ๐‘‡ = ๐ถ1 ln ๐‘Ÿ + ๐ถ2
๐‘‡ −๐‘‡
RB1: ๐‘‡(๐‘Ÿ = ๐‘Ÿ1 ) = ๐‘‡1 = ๐ถ1 ln ๐‘Ÿ1 + ๐ถ2 ⇒ ๐ถ1 = 2 ๐‘Ÿ21
ln๐‘Ÿ
RB2:
1
๐‘‡(๐‘Ÿ = ๐‘Ÿ2 ) = ๐‘‡2 = ๐ถ1 ln ๐‘Ÿ2 + ๐ถ2 ⇒ ๐ถ2 = ๐‘‡1 −
Lösung: ๐‘‡ =
๐‘‡2 −๐‘‡1
๐‘Ÿ
ln๐‘Ÿ2
ln
1
๐‘Ÿ
๐‘‡1 −๐‘‡2
+ ๐‘‡1 =
๐‘Ÿ1
๐‘Ÿ
ln๐‘Ÿ1
ln
2
๐‘Ÿ
๐‘Ÿ2
๐‘žฬ‡ ′′′
Lösung:
๐œ†2
(๐‘‡2 −๐‘‡1 ) ln ๐‘Ÿ1
๐‘Ÿ
ln 2
′′′
๐‘žฬ‡ ๐‘„๐‘ข๐‘’๐‘™๐‘™๐‘’๐‘›
=
๏‚ท Laserabsorption:
′′′
๐‘žฬ‡ ๐‘„๐‘ข๐‘’๐‘™๐‘™๐‘’๐‘›
Ansatz: ๐‘‡ = −
๐‘ฅ 2 + ๐ถ1 ๐‘ฅ + ๐ถ2
2๐œ†
RB1: ๐‘‡(๐‘ฅ = 0) = ๐‘‡1 = ๐ถ2
RB2:
Lösung: ๐‘‡ = −
Maximum:
๐‘‘๐‘‡
2๐œ†
|
๐‘‘๐‘ฅ ๐‘ฅ=๐‘ฅ๐‘š๐‘Ž๐‘ฅ
๐‘‡2 −๐‘‡1
2
๐‘ฅ +(
๐ฟ
+
′′′
๐‘žฬ‡ ๐‘„๐‘ข๐‘’๐‘™๐‘™๐‘’๐‘›
2๐œ†
๐‘‘๐‘ฅ 2
|
๐‘ฅ=๐‘ฅ๐‘š๐‘Ž๐‘ฅ
+
2๐œ†
๐ฟ
๐œ†
๐ฟ
′′′
๐‘žฬ‡ ๐‘„๐‘ข๐‘’๐‘™๐‘™๐‘’๐‘›
Ansatz: ๐‘‡ = −
RB1:
<0
RB2:
4๐œ†
๐‘‘๐‘‡
Lösung: ๐‘‡ =
′′′
๐‘žฬ‡ ๐‘„๐‘ข๐‘’๐‘™๐‘™๐‘’๐‘›
4๐œ†
= ๐ถ1 โˆ™ |
4๐œ†
2
โˆ™ (๐‘Ÿ0 − ๐‘Ÿ
2)
⇒ ๐ถ1 = 0
๐‘Ÿ ๐‘Ÿ=0
๐‘Ÿ0 2 + ๐ถ2 ⇒ ๐ถ2 = ๐‘‡0 +
4๐œ†
๐‘Ÿ0 2
๐‘‘๐‘‡1
RB1:
RB2:
๐‘žฬ‡ 1′′ |๐‘ฅ=๐ฟ = − ๐œ†1 (−
′′′
๐‘žฬ‡ ๐‘„๐‘ข๐‘’๐‘™๐‘™๐‘’๐‘›
2๐œ†1
=0=๐œ†
|
= ๐ถ1
๐‘‘๐‘ฅ ๐‘ฅ=0
′′′
๐‘žฬ‡ ๐‘„๐‘ข๐‘’๐‘™๐‘™๐‘’๐‘›
๐œ†1
′′′
๐‘žฬ‡ ๐‘„๐‘ข๐‘’๐‘™๐‘™๐‘’๐‘›
๐œ†2
+ ๐ถ2 =
๐œ†โˆ™๐‘Ž
๐‘‡(๐‘ฅ) = −
๐ผ0 โˆ™๐‘’ −๐‘Ž๐‘ฅ
๐œ†โˆ™๐‘Ž
=−
๐œ•๐‘ฅ 2
๐œ•๐‘‡
=
′′′
๐‘žฬ‡ ๐‘„๐‘ข๐‘’๐‘™๐‘™๐‘’๐‘›
๐ผ0 โˆ™๐‘’ −๐‘Ž๐‘ฅ
๐œ†
=−
๐œ†
⇒ ๐ถ2 = ๐‘‡1 +
+ ๐ถ1 ๐‘‘ + ๐‘‡1 +
+
๐‘‘
= (๐ดโˆ™๐‘…
๐ฟ2
, ๐ด โˆ™ ๐‘…๐‘™๐‘’๐‘–๐‘ก,๐œ†1 =
๐œ†2
๐‘‡∞,โ„Ž −๐‘‡∞,๐‘
๐ผ0
๐œ†โˆ™๐‘Ž
๐‘‘
๐ผ0
๐œ†โˆ™๐‘Ž
Wärmeleitung
๐ฟ
โˆ†๐‘‡ =
โˆ™ ๐‘žฬ‡
๐œ†โˆ™๐ด
1
โˆ†๐‘‡ =
โˆ™ ๐‘žฬ‡
๐›ผโˆ™๐ด
Elektrischer Strom
๐‘ˆ = ๐‘…โˆ™๐ผ
๐‘‘๐‘Ÿ2
1
kartesisch:
๐‘น๐’๐’†๐’Š๐’• =
โˆ™ ๐ฟ(๐ฟ + ๐‘‘) + ๐ถ4
1
๐ฟ+๐‘‘
๐›ผ
๐œ†2
1
) + ๐‘‡∞
๐‘žฬ‡ ′′′
๐ฟ+๐‘‘
′′′
− ๐‘„๐‘ข๐‘’๐‘™๐‘™๐‘’๐‘› ๐ฟ2 + ๐‘žฬ‡ ๐‘„๐‘ข๐‘’๐‘™๐‘™๐‘’๐‘›
โˆ™๐ฟ( +
) + ๐‘‡∞
๐œ†2
๐›ผ
๐œ†2
1
๐ฟ
๐‘‘
′′′
⇒ ๐ถ2 = ๐‘žฬ‡ ๐‘„๐‘ข๐‘’๐‘™๐‘™๐‘’๐‘›
โˆ™๐ฟ( +
+ ) + ๐‘‡∞
๐›ผ
2๐œ†
๐œ†
1
2
๏‚ท Leitung:
zylindrisch:
{ sphärisch:
๏‚ท Kovektion:
๐‘น๐’๐’†๐’Š๐’•,๐’„๐’š๐’ =
๐‘จ๐€
๐’“
๐ฅ๐ง(๐’“๐Ÿ )
๐Ÿ
๐‘น๐’๐’†๐’Š๐’•,๐’”๐’‘๐’‰ =
๐‘น๐’„๐’๐’๐’— =
๐Ÿ๐…๐‘ณ๐€
๐Ÿ ๐Ÿ
−
๐’“๐Ÿ ๐’“๐Ÿ
๐Ÿ’๐…๐€
๐Ÿ
๐‘จ๐œถ
Seite 13
+๐‘Ÿ ∑๐‘–
๐‘Ÿ1 ๐›ผ1
+∑๐‘–
๐œ†๐‘–
๐œ†๐‘–
+๐‘Ÿ ๐›ผ
2 2
+๐‘Ÿ ๐›ผ
2 2
๐‘‘๐‘Ÿ2
๐‘Ÿ
• ๐‘…๐‘›๐‘’๐‘ก,๐‘๐‘Ž๐‘Ÿ๐‘Ž๐‘™๐‘’๐‘™๐‘™ = ∑
๐‘ณ
๐‘Ÿ1 ๐›ผ1
๏‚ท Problem: Je dicker die Rohrwand, desto besser die Isolation durch
Leitung, aber desto schlechter die Isolation aussen durch Konvektion.
๐‘‘๐‘…
๏‚ท Lösung: Tradeoff zwischen beiden Argumenten: ๐‘›๐‘’๐‘ก = 0
๐‘‘๐‘…๐‘›๐‘’๐‘ก
๐‘ˆ = ๐‘…โˆ™๐ผ
=
ln(๐‘Ÿ2 )
๐‘‘
๐‘‘๐‘Ÿ2
1
( 2๐œ‹๐ฟ๐œ†1 + 2๐œ‹๐‘Ÿ
2
1
1 1
1
1
2
๐‘Ÿ1
BIOT - ZAHL
๐ต๐‘– =
๐‘จ โˆ™ ๐‘น๐’๐’†๐’Š๐’• =
๐‘จ โˆ™ ๐‘น๐’๐’†๐’Š๐’•,๐’„๐’š๐’ =
๐‘จ โˆ™ ๐‘น๐’๐’†๐’Š๐’•,๐’”๐’‘๐’‰ =
๐‘จ โˆ™ ๐‘น๐’„๐’๐’๐’— =
๐‘ณ
๐’“
๐’“โˆ™๐ฅ๐ง(๐’“๐Ÿ )
๐Ÿ
๐€
๐Ÿ
๐Ÿ
๐Ÿ
๐Ÿ
๐’“๐Ÿ โˆ™(๐’“ −๐’“ )
๐Ÿ
๐œถ
๐œ†
=
๐‘…๐‘™๐‘’๐‘–๐‘ก radiale Schicht ๐›ผ๐‘‘
๐‘…๐‘๐‘œ๐‘›๐‘ฃ
⇒
๐œ†
๐‘‘ = Dicke
• ๐ต๐‘– โ‰ช 1: ๐‘…๐‘๐‘œ๐‘›๐‘ฃ โ‰ซ ๐‘…๐‘™๐‘’๐‘–๐‘ก ๐‘…๐‘™๐‘’๐‘–๐‘ก ≈ 0.
→ Verbesserung der Wärmeleitung: ๐›ผ ↑
๐€
๐€
๐›ผ๐ฟ
๐€
) = 2๐œ‹๐ฟ๐œ† ๐‘Ÿ2 ๐‘Ÿ − 2๐œ‹๐‘Ÿ2 ๐ฟ๐›ผ = 0 ⇒ ๐’“๐’„๐’“๐’Š๐’• = ๐œถ
๐ฟ๐›ผ
Der kritische Radius ist das Minimum des ๐‘…๐‘›๐‘’๐‘ก - ๐‘Ÿ2 - Diagramms
๏‚ท ๐‘Ÿ < ๐‘Ÿ๐‘๐‘Ÿ๐‘–๐‘ก : Je kleiner der Radius desto besser die Isolation.
๏‚ท ๐‘Ÿ > ๐‘Ÿ๐‘๐‘Ÿ๐‘–๐‘ก : Je grösser der Radius, desto besser die Isolation.
๏‚ท Zahlenbeispiel 1: Heizung (Stahl), ๐‘Ÿ๐‘๐‘Ÿ๐‘–๐‘ก = 12m
→ perfekt wäre ๐‘Ÿ = ๐‘Ÿ๐‘๐‘Ÿ๐‘–๐‘ก , sonst so dick wie bezahlbar
๏‚ท Zahlenbeispiel 2: Korkisolation eines Heizrohres, ๐‘Ÿ๐‘๐‘Ÿ๐‘–๐‘ก = 7.8mm
→ worst case: ๐‘Ÿ = ๐‘Ÿ๐‘๐‘Ÿ๐‘–๐‘ก , falls ๐‘Ÿ > ๐‘Ÿ๐‘๐‘Ÿ๐‘–๐‘ก , so dick wie bezahlbar.
1
๐‘–๐‘…
๐‘–
โˆ†๐‘ป
โˆ†๐‘ป
=
๐‘น๐’๐’†๐’• ∑๐’Š ๐‘น๐’Š
โˆ†๐‘ป
โˆ†๐‘ป
๐’’ฬ‡ ′ =
=
๐‘ณ โˆ™ ๐‘น๐’๐’†๐’• ๐‘ณ โˆ™ ∑๐’Š ๐‘น๐’Š
โˆ†๐‘ป
โˆ†๐‘ป
๐’’ฬ‡ ′′ =
=
๐‘จ โˆ™ ๐‘น๐’๐’†๐’• ๐‘จ โˆ™ ∑๐’Š ๐‘น๐’Š
′′
๐‘žฬ‡ ๐‘๐‘œ๐‘›๐‘ฃ
๐‘‡2 = ๐‘‡1 + ๐‘žฬ‡ ′′ (๐ด โˆ™ ๐‘…๐‘™๐‘’๐‘–๐‘ก,๐œ†2 )
๐‘‡4 = ๐‘‡3 + ๐‘žฬ‡ ′′ (๐ด โˆ™ ๐‘…๐‘™๐‘’๐‘–๐‘ก,๐œ†1 )
KRITISCHER ROHRRADIU S
ANALOGON DES ELEKRTI SCHEN STROMES
๐ฟ
1
๐›ผโ„Ž
๏‚ท Linearer Wärmedurchgangskoeffizient (vom Radius unabhängig)
1
๐‘˜๐ฟ โˆ™ โˆ†๐‘‡
๐‘˜๐ฟ = ๐‘˜(๐‘Ÿ) โˆ™ 2๐œ‹๐‘Ÿ =
โŸน ๐‘žฬ‡ = ๐‘˜๐ฟ โˆ™ ๐ฟ โˆ™ โˆ†๐‘‡ โŸน ๐‘žฬ‡ ′′ =
๐ฟ โˆ™ ๐‘…๐‘›๐‘’๐‘ก
2๐œ‹๐‘Ÿ
1
2๐œ‹
- bei der Rohrwand: ๐‘˜๐ฟ =
= 1
ln(๐‘Ÿ๐‘–+1⁄๐‘Ÿ๐‘– )
1
๐’’ฬ‡ =
๐‘ฅ=๐ฟ
′′′
๐‘žฬ‡ ๐‘„๐‘ข๐‘’๐‘™๐‘™๐‘’๐‘›
, ๐ด โˆ™ ๐‘…๐‘๐‘œ๐‘›๐‘ฃ,โ„Ž =
๐‘๐‘œ๐‘›๐‘ฃ,๐‘ +๐ดโˆ™๐‘…๐‘™๐‘’๐‘–๐‘ก,๐œ†2 +๐ดโˆ™๐‘…๐‘๐‘œ๐‘›๐‘ก๐‘Ž๐‘๐‘ก+๐ดโˆ™๐‘…๐‘™๐‘’๐‘–๐‘ก,๐œ†1 +๐ดโˆ™๐‘…๐‘๐‘œ๐‘›๐‘ฃ,โ„Ž )
2๐œ‹๐‘Ÿ๐ฟโˆ™๐‘…๐‘›๐‘’๐‘ก
๐ผ0
(๐‘’−๐‘Ž๐‘‘ −1)
๐‘‡2 −๐‘‡1 +๐œ†โˆ™๐‘Ž
๐‘ฅ + ๐‘‡1 +
๐ฟ1
๐œ†1
๏‚ท Wärmedurchgangskoeffizient (von Fläche/Radius abhängig)
1
๐‘˜=
โŸน ๐‘žฬ‡ = ๐‘˜ โˆ™ ๐ด โˆ™ โˆ†๐‘‡
โŸน ๐‘žฬ‡ ′′ = ๐‘˜ โˆ™ โˆ†๐‘‡
๐ด โˆ™ ๐‘…๐‘›๐‘’๐‘ก
1
1
- bei der Rohrwand: ๐‘˜(๐‘Ÿ) =
= ๐‘Ÿ
ln(๐‘Ÿ๐‘–+1⁄๐‘Ÿ๐‘– )
๐‘Ÿ
๐ผ0
๐œ†โˆ™๐‘Ž
๐ผ
0 (๐‘’ −๐‘Ž๐‘‘ −1)
๐‘‡2 −๐‘‡1 +๐œ†โˆ™๐‘Ž
โˆ†๐‘‡
๐ดโˆ™๐‘…๐‘›๐‘’๐‘ก
, ๐ด โˆ™ ๐‘…๐‘™๐‘’๐‘–๐‘ก,๐œ†2 =
WÄRMEDURCHGANGSKOEFFIZI ENT
๐œ†
+ ๐ถ1 ๐‘ฅ + ๐ถ2
๐œ†โˆ™๐‘Ž
๐‘žฬ‡ ′′ =
๐›ผ๐‘
๏‚ท falls zylindrisch: (๐ฟ โˆ™ ๐‘…)๐‘– und ๐‘žฬ‡ ′ statt (๐ด โˆ™ ๐‘…)๐‘– und ๐‘žฬ‡ ′′
๐‘Žโˆ™๐ผ0 โˆ™๐‘’ −๐‘Ž๐‘ฅ
+ ๐ถ1
๐ผ0 โˆ™๐‘’ −๐‘Ž๐‘ฅ
1
๐ด โˆ™ ๐‘…๐‘๐‘œ๐‘›๐‘ฃ,๐‘ =
๐‘‡1 = ๐‘‡∞,๐‘ + ๐‘žฬ‡ ′′ (๐ด โˆ™ ๐‘…๐‘๐‘œ๐‘›๐‘ฃ,๐‘ )
๐‘‡3 = ๐‘‡2 + ๐‘žฬ‡ ′′ (๐ด โˆ™ ๐‘…๐‘๐‘œ๐‘›๐‘ก๐‘Ž๐‘๐‘ก )
( check: ๐‘‡∞,โ„Ž = ๐‘‡4 + ๐‘žฬ‡ ′′ (๐ด โˆ™ ๐‘…๐‘๐‘œ๐‘›๐‘ฃ,โ„Ž ) )
๏‚ท
๐ฟ) = −๐œ†2 ๐ถ3 = ๐‘žฬ‡ 2′′ |
′′′
⇒ ๐ถ4 = ๐‘žฬ‡ ๐‘„๐‘ข๐‘’๐‘™๐‘™๐‘’๐‘›
โˆ™๐ฟ( +
RB3:
−๐‘Ž๐‘ฅ )
WÄRMELEITWIDERSTÄNDE
2
๐‘žฬ‡ ′′′
− ๐‘„๐‘ข๐‘’๐‘™๐‘™๐‘’๐‘› ๐ฟ2
2๐œ†1
๐‘‡(๐‘‘) = ๐‘‡2 = −
⇒ ๐ถ1 = 0
๐œ†2
๐‘žฬ‡ ′′′
๐‘žฬ‡ ′′′
๐‘‡1 (๐ฟ) = − ๐‘„๐‘ข๐‘’๐‘™๐‘™๐‘’๐‘› ๐ฟ2 + ๐ถ2 = − ๐‘„๐‘ข๐‘’๐‘™๐‘™๐‘’๐‘› ๐ฟ2 + ๐ถ4 = ๐‘‡2 (๐ฟ)
2๐œ†1
๐œ†2
๐‘žฬ‡ ′′′
๐‘žฬ‡ 2′′ |๐‘ฅ=๐ฟ+๐‘‘ = −๐œ†2 (− ๐‘„๐‘ข๐‘’๐‘™๐‘™๐‘’๐‘› ๐ฟ) = ๐›ผ(๐‘‡2 (๐ฟ + ๐‘‘) − ๐‘‡∞ ) =
๐œ†
+ ๐‘‡∞ = −
๐ด2
๐‘‘
=−
= − (๐ผ0 โˆ™ ๐‘’
๐‘‘๐‘ฅ
๐‘‘๐‘ฅ
= ๐‘Ž โˆ™ ๐ผ0 โˆ™ ๐‘’ −๐‘Ž๐‘ฅ
๐ผ0
+ ๐ถ2
๐œ†โˆ™๐‘Ž
๐ผ0 โˆ™๐‘’ −๐‘Ž๐‘‘
• ๐‘…๐‘›๐‘’๐‘ก,๐‘ ๐‘’๐‘Ÿ๐‘–๐‘’๐‘™๐‘™ = ∑๐‘– ๐‘…๐‘–
๐‘ฅ 2 + ๐ถ1 ๐‘ฅ + ๐ถ2
⇒ ๐ถ3 = −
๐›ผ
RB2:
Konvektion
๐‘‡2 = ๐ถ3 ๐‘ฅ + ๐ถ4
′′′
๐‘žฬ‡ ๐‘„๐‘ข๐‘’๐‘™๐‘™๐‘’๐‘›
โˆ™๐ฟ
๐‘‡(0) = ๐‘‡1 = −
Leitung
๐‘žฬ‡ 1′′ |๐‘ฅ=0
๐ด
๐œŒ๐‘’๐‘™
STATIONÄRE WÄRMELEITUNG MIT WIDERSTÄNDEN
′′′
• gegeben: ๐œ†1 , ๐œ†2 , ๐›ผ, ๐‘‡∞ , ๐ฟ, ๐‘‘, ๐‘žฬ‡ ๐‘„๐‘ข๐‘’๐‘™๐‘™๐‘’๐‘›
• gesucht: ๐‘‡(๐‘ฅ)
RB4:
RB1:
+ ๐‘‡0
Ansätze: ๐‘‡1 = −
• gegeben: ๐‘‡∞,โ„Ž , ๐›ผโ„Ž , ๐‘‡∞,๐‘ , ๐›ผ๐‘ ,
๐œ†1 , ๐ฟ1 , ๐œ†2 , ๐ฟ2 , ๐ด โˆ™ ๐‘…๐‘๐‘œ๐‘›๐‘ก๐‘Ž๐‘๐‘ก
• gesucht: ๐‘‡1 , ๐‘‡2 , ๐‘‡3 , ๐‘‡4
• Vorgehen: zuerst alle (๐ด โˆ™ ๐‘…)๐‘–
berechnen, dann ๐‘žฬ‡ ′′ und daraus ๐‘‡1,2,3,4 .
๐ฟโˆ™๐‘…๐‘›๐‘’๐‘ก
′′′
๐‘žฬ‡ ๐‘„๐‘ข๐‘’๐‘™๐‘™๐‘’๐‘›
WÄRMEQUELLEN
RB3:
Ansatz:
Lösung:
1
|
๐‘‘๐‘Ÿ ๐‘Ÿ=0
′′′
๐‘žฬ‡ ๐‘„๐‘ข๐‘’๐‘™๐‘™๐‘’๐‘›
๐‘‡(๐‘Ÿ0 ) = ๐‘‡0 = −
= ๐ผ2
๐ดโˆ™๐ฟ
๐‘‘๐ผ(๐‘ฅ)
⇒ ๐ถ1 =
2
๐‘Ÿ + ๐ถ1 ln ๐‘Ÿ + ๐ถ2
๐‘žฬ‡ ′′ (0) = 0 = ๐œ†
๐‘žฬ‡ ๐‘„๐‘ข๐‘’๐‘™๐‘™๐‘’๐‘›
๐‘‡(๐‘ฅ) = −
๏‚ท Zylinder mit Wärmequellen:
′′′
gegeben: ๐‘Ÿ0 , ๐‘‡0 , ๐‘žฬ‡ ๐‘„๐‘ข๐‘’๐‘™๐‘™๐‘’๐‘›
′′′
๐‘žฬ‡ ๐‘„๐‘ข๐‘’๐‘™๐‘™๐‘’๐‘›
๐œ•2 ๐‘‡
๐œ•๐‘ฅ
๐‘‡2 −๐‘‡1
2
๐‘‘2 ๐‘‡
๐ฟ
′′′
๐‘žฬ‡ ๐‘„๐‘ข๐‘’๐‘™๐‘™๐‘’๐‘›
๐ฟ) ๐‘ฅ + ๐‘‡1
⇒ ๐‘ฅ๐‘š๐‘Ž๐‘ฅ = +
Immer überprüfen ob
๐‘‡2 −๐‘‡1
WÄRMELEITWIDERSTÄNDE
๐œŒ๐‘’๐‘™ โˆ™๐ฟ
• gegeben: ๐œ†1 , ๐‘‡1 , ๐‘‡2 , ๐‘‘, ๐ผ0 , ๐‘Ž
• gesucht: ๐‘‡(๐‘ฅ)
+ ๐ถ1 ๐ฟ + ๐‘‡1
๐ฟ
=0
′′′
๐‘žฬ‡ ๐‘„๐‘ข๐‘’๐‘™๐‘™๐‘’๐‘›
′′′
๐‘žฬ‡ ๐‘„๐‘ข๐‘’๐‘™๐‘™๐‘’๐‘›
⇒ ๐ถ2 = ๐‘‡1
⇒ ๐ถ1 =
′′′
๐‘žฬ‡ ๐‘„๐‘ข๐‘’๐‘™๐‘™๐‘’๐‘›
๐œ†2
๐‘‘
LASERABSORPTION
๐‘žฬ‡ ′′′
− ๐‘„๐‘ข๐‘’๐‘™๐‘™๐‘’๐‘› ๐ฟ2
2๐œ†
๐‘‡(๐‘ฅ = ๐ฟ) = ๐‘‡2 =
๐›ผ
๐‘žฬ‡ ๐‘„๐‘ข๐‘’๐‘™๐‘™๐‘’๐‘› = ๐ผ2 ๐‘…๐‘’๐‘™ = ๐ผ2
+ ๐‘‡2
๏‚ท Ebene Wand mit konstanten Wärmequellen:
′′′
gegeben: ๐‘‡1 , ๐‘‡2 , ๐ฟ, ๐‘žฬ‡ ๐‘„๐‘ข๐‘’๐‘™๐‘™๐‘’๐‘›
๐ฟ
SPEZIELLE QUELLTERME
๏‚ท elektrischer Widerstand:
๐‘Ÿ1
1
′′′
๐‘‡1 = − ๐‘„๐‘ข๐‘’๐‘™๐‘™๐‘’๐‘› ๐‘ฅ 2 + ๐‘žฬ‡ ๐‘„๐‘ข๐‘’๐‘™๐‘™๐‘’๐‘›
โˆ™๐ฟ( +
+ ) + ๐‘‡∞
2๐œ†1
๐›ผ
2๐œ†1
๐œ†2
๐‘‡(๐‘ฅ) = {
′′′
๐‘žฬ‡ ๐‘„๐‘ข๐‘’๐‘™๐‘™๐‘’๐‘›โˆ™๐ฟ
1
๐ฟ+๐‘‘
′′′
๐‘‡2 = −
๐‘ฅ + ๐‘žฬ‡ ๐‘„๐‘ข๐‘’๐‘™๐‘™๐‘’๐‘› โˆ™ ๐ฟ ( +
) + ๐‘‡∞
• ๐ต๐‘– ≈ 1: ๐‘…๐‘๐‘œ๐‘›๐‘ฃ ≈ ๐‘…๐‘™๐‘’๐‘–๐‘ก .
→ Verbesserung der Wärmeleitung: ๐›ผ ↑, ๐œ† ↑
• ๐ต๐‘– โ‰ซ 1: ๐‘…๐‘๐‘œ๐‘›๐‘ฃ โ‰ช ๐‘…๐‘™๐‘’๐‘–๐‘ก ๐‘…๐‘๐‘œ๐‘›๐‘ฃ ≈ 0.
→ Verbesserung der Wärmeleitung: ๐œ† ↑
WÄRMELEITUNG IN RIPP EN
ALLGEMEIN
๏‚ท allgemeine RippenDGL (๐‘† = ๐‘๐‘œ๐‘›๐‘ ๐‘ก. , ๐‘ข = 0, stationär, keine
Quellen/Strahlung):
๐‘‘2 ๐‘‡
๐‘‘๐‘ฅ 2
−
Rippenparameter
(๐‘‡ − ๐‘‡∞ ) = 0 mit {
๐œ†๐‘†
Übertemperatur
๐‘š=√
๐›ผ๐‘ƒ
๐›ผ๐‘ƒ
๐‘žฬ‡ ๐พ = −๐œ† โˆ™ ๐‘† โˆ™
๐œ†๐‘†
๐œƒ = ๐‘‡ − ๐‘‡∞
๐‘žฬ‡ ๐พ = −๐œ† โˆ™ ๐‘† โˆ™
๐œƒ๐น = ๐œƒ(0) = ๐ถ1 + ๐ถ2
๏‚ท Wärmestrom:
๐‘žฬ‡ ๐น = −๐œ† โˆ™ ๐‘† โˆ™
๏‚ท Rippenwirkungsgrad:
๐œ‚๐‘… =
๐‘†=๐‘โˆ™๐‘ก
๐‘†=๐œ‹โˆ™
๐‘š=√
๐ท2
4
๐‘žฬ‡ ๐‘š๐‘Ž๐‘ฅ
=
|
๐œ•๐‘ฅ ๐‘ฅ=0
๐‘žฬ‡ ๐น
= −๐œ† โˆ™ ๐‘† โˆ™
๐œ•๐œƒ
๐‘ฅ=๐ฟ
โˆ™ (−๐‘š) = ๐œ† โˆ™ ๐‘† โˆ™ ๐‘š โˆ™ ๐œƒ๐น โˆ™
๐‘ƒ = 2(๐‘ + ๐‘ก)
๐‘‘๐ด = 2(๐‘ + ๐‘ก)๐‘‘๐‘ฅ
๐‘ƒ = ๐œ‹๐ท
๐‘‘๐ด = ๐œ‹๐ท๐‘‘๐‘ฅ
4๐›ผ
1
sinh(๐‘š๐ฟ)
๐œƒ๐ด = ๐œƒ๐น,๐ด ๐‘’ −๐‘š๐ด๐‘ฅ1 โŸน (๐‘‡๐ด − ๐‘‡∞ ) = (๐‘‡๐‘Š − ๐‘‡∞ )๐‘’ −๐‘š๐ด๐‘ฅ1
๐œฝ = ๐œฝ๐‘ญ โˆ™
) = −๐‘š๐ด ๐‘ฅ1
๐œƒ๐ต = ๐œƒ๐น,๐ต ๐‘’ −๐‘š๐ต ๐‘ฅ1 โŸน (๐‘‡๐ต − ๐‘‡∞ ) = (๐‘‡๐‘Š − ๐‘‡∞ )๐‘’ −๐‘š๐ต ๐‘ฅ1
๐œ๐จ๐ฌ๐ก(๐’Ž(๐‘ณ−๐’™))
โŸน ln (
๐œ๐จ๐ฌ๐ก(๐’Ž๐‘ณ)
๐‘žฬ‡ ๐น = ๐œ† โˆ™ ๐‘† โˆ™ ๐œƒ๐น โˆ™ ๐‘š โˆ™ tanh(๐‘š๐ฟ)
๏‚ท Rippenwirkungsgrad:
๐œ‚๐‘… =
tanh(๐‘š๐ฟ)
๐‘š๐ฟ
SEHR LANGE RIPPE
๐‘‡ −๐‘‡
ln( ๐ด ∞ )
๐‘‡๐‘Š −๐‘‡∞
๐‘‡ −๐‘‡
ln(๐‘‡ ๐ต −๐‘‡∞ )
๐‘Š ∞
=
๐‘š๐ด
๐‘š๐ต
๐œ†๐ต
=√
๐œ†๐ด
๐‘‡๐ต −๐‘‡∞
๐‘‡๐‘Š −๐‘‡∞
) = −๐‘š๐ต ๐‘ฅ1
โŸน ๐œ†๐ต = ๐œ†๐ด โˆ™ (
๐‘‡ −๐‘‡
ln( ๐ด ∞ )
๐‘‡๐‘Š −๐‘‡∞
๐‘‡ −๐‘‡
ln(๐‘‡ ๐ต −๐‘‡∞ )
๐‘Š ∞
2
)
๏‚ท Voraussetzungen:
๐‘ฉ๐’Š โ‰ช ๐Ÿ
๏‚ท Annahmen:
๐‘‡ = ๐‘‡(๐‘ก)
๐‘žฬ‡ ๐น = ๐œ† โˆ™ ๐‘† โˆ™ ๐‘š โˆ™
๐‘‡๐‘– −๐‘‡0
๐‘‡0 −๐‘‡∞
=
๐‘…๐‘™๐‘’๐‘–๐‘ก
๐‘…๐‘๐‘œ๐‘›๐‘ฃ
=
๐›ผโˆ™๐ฟ
๐œ†
= ๐ต๐‘–
๐ฌ๐ข๐ง๐ก(๐’Ž๐‘ณ)
๐œƒ๐น cosh(๐‘š๐ฟ)−๐œƒ๐พ
๐œถ
๐œ๐จ๐ฌ๐ก(๐’Ž๐‘ณ)+๐’Ž๐‘ณ ๐ฌ๐ข๐ง๐ก(๐’Ž๐‘ณ)
๏‚ท Wärmestrom:
๐‘žฬ‡ ๐น = ๐œ† โˆ™ ๐‘† โˆ™ ๐œƒ๐น โˆ™ ๐‘š โˆ™
๏‚ท Rippenwirkungsgrad:
๐œ‚๐‘… =
๐‘š๐ฟ
โˆ™
RIPPE ZWISCHEN 2 FLÄCHEN EINGESPANNT
• gegeben: ๐‘‡1 , ๐‘‡2 = ๐‘‡∞ , ๐‘‡∞ , ๐ฟ, ๐ท, ๐œ†, ๐›ผ
• gesucht: ๐‘žฬ‡ ๐ฟ
๐›ผ
sinh(๐‘š๐ฟ)+๐‘š๐ฟ cosh(๐‘š๐ฟ)
๐›ผ
cosh(๐‘š๐ฟ)+๐‘š๐ฟ sinh(๐‘š๐ฟ)
๐›ผ
cosh(๐‘š๐ฟ)
๐‘š๐ฟ
๐›ผ
cosh(๐‘š๐ฟ)+๐‘š๐ฟ sinh(๐‘š๐ฟ)
sinh(๐‘š๐ฟ)+
๐œ•๐‘‡
= ๐‘‡∞ + (๐‘‡๐‘– − ๐‘‡∞
=0=
๐œ•
๐œ•๐‘‡
−๐‘ก
๐œ๐‘Ž๐‘™
๐œ๐‘ ๐‘ก
=
๐‘’ ๐œ๐‘Ž๐‘™
−๐‘ก
๐‘’ ๐œ๐‘ ๐‘ก
=๐‘’
−๐‘ก
−๐‘ก
(๐‘’ ๐œ๐‘ ๐‘ก − ๐‘’ ๐œ๐‘Ž๐‘™ ) =
๐‘ก(
1
1
− )
๐œ๐‘ ๐‘ก ๐œ๐‘Ž๐‘™
−1
๐œ๐‘ ๐‘ก
−๐‘ก
โˆ™ ๐‘’ ๐œ๐‘ ๐‘ก +
1
๐œ๐‘Ž๐‘™
โŸน ๐‘ก๐‘š๐‘Ž๐‘ฅโˆ†๐‘‡ =
−๐‘ก
โˆ™ ๐‘’ ๐œ๐‘Ž๐‘™ = 0
๐œ
ln( ๐‘Ž๐‘™ )
๐œ๐‘ ๐‘ก
1
1
−
๐œ๐‘ ๐‘ก ๐œ๐‘Ž๐‘™
WÄRMESPEICHER
๏‚ท Ausgangslage: Ein zylindrischer Wassertank mit ๐‘‘ = โ„Ž dient als
Wärmespeicher. In einem halben Jahr (= 4380โ„Ž), darf er maximal
20% seiner gegenüber der Umgebung nutzbaren Wärme verlieren. Er
ist mit einer Isolationsschicht der Dicke ๐ฟ umgeben.
๏‚ท Annahmen: ๐›ผ๐‘–๐‘›๐‘›๐‘’๐‘› = ∞ und Zylinderwand ≅ linear
๏‚ท gegeben: ๐œŒ๐‘Š๐‘Ž๐‘ ๐‘ ๐‘’๐‘Ÿ , ๐‘๐‘,๐‘Š๐‘Ž๐‘ ๐‘ ๐‘’๐‘Ÿ , ๐›ผ๐‘Ž๐‘ข๐‘ ๐‘ ๐‘’๐‘› = α, ๐œ†๐‘–๐‘ ๐‘œ
๏‚ท gesucht: Durchmesser ๐ท des Zylinders ohne Isolation
๐›ผ๐ด โ„Ž๐‘–๐‘’๐‘Ÿ
๐‘˜๐ด
๐‘‡ − ๐‘‡∞
−๐‘ก
= ๐‘’ −๐‘€๐‘โˆ™๐‘ก ⇒ 0.8 = ๐‘’ −๐‘€๐‘โˆ™๐‘ก = ๐‘’ ⁄๐œ๐‘๐‘ฆ๐‘™
๐‘‡๐‘– − ๐‘‡∞
๐œŒ๐‘๐ทโ„Ž
2๐‘˜(๐ท+2โ„Ž)
โ„Ž=๐ท
⇒
๐œŒ๐‘๐ท2
2๐‘˜(3๐ท)
=
๐œŒ๐‘๐ท
6๐‘˜
mit ๐‘˜ =
1
๐ดโˆ™๐‘…๐‘›๐‘’๐‘ก
โŸน ๐ท = − ๐‘ก⁄๐œŒ๐‘
6๐‘˜
=
1
๐ฟ
1
+
๐œ†๐‘–๐‘ ๐‘œ ๐›ผ
โˆ™ ln 0.8
HALBUNENDLICHE WAND
๏‚ท Wärmeleitungsgleichung 1-D, ๐œ† = ๐‘๐‘œ๐‘›๐‘ ๐‘ก. , keine Quellen:
๐ŸŽ
๐œถ
1
๐‘‡๐‘ ๐‘ก
๐œ•โˆ†๐‘‡
−๐‘ก
๐œ†
๐‘Ž=
๐œŒ๐‘
⇔
๐‘ฅ
1 ๐œ•๐‘‡ ๐œ• 2 ๐‘‡ ๐œ‚=√4๐‘Ž๐‘ก ๐œ• 2 ๐‘‡
๐œ•๐‘‡
=
→
= −2๐œ‚
๐‘Ž ๐œ•๐‘ก ๐œ•๐‘ฅ 2
๐œ•๐œ‚2
๐œ•๐œ‚
๐œผ
๐‘š๐ฟ sinh(๐‘š๐ฟ)
๐œ๐จ๐ฌ๐ก(๐’Ž(๐‘ณ−๐’™))+๐’Ž๐‘ณ ๐ฌ๐ข๐ง๐ก(๐’Ž(๐‘ณ−๐’™))
−๐‘ก
๐‘ป − ๐‘ป๐’”
๐Ÿ
๐Ÿ
=
∫ ๐’†−๐œผ ๐’…๐œผ ≡ ๐ž๐ซ๐Ÿ(๐œผ)
๐‘ป๐’Š − ๐‘ป๐’” √๐…
sinh(๐‘š๐ฟ)
๐œƒ
cosh(๐‘š๐ฟ)− ๐œƒ๐พ
๐น
๐œฝ = ๐œฝ๐‘ญ โˆ™
6๐›ผ
โˆ†๐‘‡ = ๐‘‡๐‘ ๐‘ก − ๐‘‡๐‘Ž๐‘™ = (๐‘‡๐‘– − ๐‘‡∞ ) (๐‘’ ๐œ๐‘ ๐‘ก − ๐‘’ ๐œ๐‘Ž๐‘™ )
−๐‘ก }
)๐‘’ ๐œ๐‘ ๐‘ก
๐œŒ๐‘ ๐œ•๐‘‡ ๐œ• 2 ๐‘‡
=
๐œ† ๐œ•๐‘ก ๐œ•๐‘ฅ 2
KONVEKTION AUCH AM R IPPENENDE
๏‚ท Lösung:
2๐›ผ(๐ท+2โ„Ž)
๐œŒ๐‘๐ท
6๐‘˜
๐œฝ๐‘ฒ ๐ฌ๐ข๐ง๐ก(๐’Ž๐’™)+๐œฝ๐‘ญ ๐ฌ๐ข๐ง๐ก(๐’Ž(๐‘ณ−๐’™))
๏‚ท Wärmestrom:
๐œ๐‘ ๐‘โ„Ž =
RAUMUNABHÄNIG AKA 0-DIME NSIONAL
RIPPE ZWISCHEN 2 FLÄCHEN E INGESPANNT ๐‘‡๐พ = ๐‘‡(๐ฟ)
๐œฝ=
- Kugel:
๐›ผ๐ด
๐œŒ๐‘๐ทโ„Ž
ln 0.8 = − ๐‘ก⁄๐œ๐‘๐‘ฆ๐‘™ = − ๐‘ก⁄๐œŒ๐‘๐ท
๏‚ท
๐‘š๐ฟ
๏‚ท Lösung:
๐œ๐‘๐‘ฆ๐‘™ =
๐œ๐‘๐‘ฆ๐‘™ =
INSTATIONÄRE WÄRMELE ITUNG
๐œฝ = ๐œฝ๐‘ญ ๐’†−๐’Ž๐’™
๐‘žฬ‡ ๐น = ๐œ† โˆ™ ๐‘† โˆ™ ๐œƒ๐น โˆ™ ๐‘š
1
๐œ‚๐‘… =
๐œ‚๐‘… =
๐‘‡๐ด −๐‘‡∞
- Zylinder:
๐‘‰๐œŒ๐‘
=
−๐‘ก
• Vorgehen: Lösungen für lange Rippen
benützen.
๐‘‡๐‘Š −๐‘‡∞
๐›ผ๐ด
๐‘‡๐‘Ž๐‘™ = ๐‘‡∞ + (๐‘‡๐‘– − ๐‘‡∞ )๐‘’ ๐œ๐‘Ž๐‘™
• Ausgangslage: 2 gleichlange, lange Rippen
mit gleichem Durchmesser aber aus anderem
Material
• gegeben: ๐‘‡๐‘Š , ๐‘‡๐ด , ๐‘‡๐ต , ๐‘‡∞ , ๐œ†๐ด
• gesucht: ๐œ†๐ต
โŸน ln (
๐‘€๐‘
๏‚ท Ausgangslage: Eine Aluminium- und eine Stahlkugel werden aus dem
Ofen genommen und mit einem Luftstrom gekühlt (๐›ผ, ๐‘‡∞ ).
๏‚ท gegeben: ๐ต๐‘– โ‰ช 1, ๐œŒ๐‘Ž๐‘™ , ๐œŒ๐‘ ๐‘ก , ๐‘๐‘Ž๐‘™ , ๐‘๐‘ ๐‘ก , ๐›ผ, ๐‘‡∞ , ๐‘‡๐‘– , ๐ท
๏‚ท gesucht: โˆ†๐‘‡ nach ๐‘ก, ๐‘ก๐‘š๐‘Ž๐‘ฅโˆ†๐‘‡
)|
sinh(๐‘š๐ฟ)
๐›ผโˆ™๐ดโˆ™๐œƒ๐น
๏‚ท Wärmestrom:
๏‚ท Rippenwirkungsgrad:
|
sinh(๐‘š๐ฟ)
(cosh(๐‘š๐ฟ)−1)
|
RIPPE MIT ADIABATEM KOPF
๏‚ท Lösung:
๏‚ท Wärmestrom:
๏‚ท Rippenwirkungsgrad:
sinh(๐‘š๐ฟ)
cosh(0)
๐œ=
ABKÜHLEN ZWEIER KUGE LN
๐œ•๐‘ฅ ๐‘ฅ=๐ฟ
๐œƒ๐พ sinh(๐‘š๐‘ฅ)+๐œƒ๐น sinh(๐‘š(๐ฟ−๐‘ฅ))
๐œ•๐‘ฅ ๐‘ฅ=0
๐œ†๐ท
๏‚ท Lösung:
๐œ•๐œƒ
sinh(๐‘š๐ฟ)
KORRELATION 2 GLEICH LANGE R RIPPEN
๏‚ท 1. Randbedingung:
- Stabrippe:
๐œ•๐‘ฅ
(
๐‘žฬ‡ ๐ฟ = ๐œ† โˆ™ ๐‘† โˆ™ ๐‘š โˆ™ ๐œƒ๐น โˆ™
๐œฝ = ๐‘ช๐Ÿ ๐’†๐’Ž๐’™ + ๐‘ช๐Ÿ ๐’†−๐’Ž๐’™
๏‚ท Geometrisches:
- Ebene Rippe
๐œ•
= −๐œ† โˆ™ ๐‘† โˆ™ ๐œƒ๐น โˆ™
๏‚ท allgemeine Lösung:
๐‘žฬ‡ ๐น
๐œƒ๐น cosh(๐‘š๐ฟ)
๐‘žฬ‡ ๐น = ๐œ† โˆ™ ๐‘† โˆ™ ๐‘š โˆ™
๐’…๐Ÿ ๐œฝ
− ๐’Ž๐Ÿ ๐œฝ = ๐ŸŽ
๐’…๐’™๐Ÿ
๐œ•๐‘‡
๏‚ท Geometrisches:
• Vorgehen: 1.HS: ๐‘žฬ‡ ๐ฟ = ๐‘žฬ‡ ๐น − ๐‘žฬ‡ ๐พ
dabei gilt: ๐œƒ๐พ = 0
und
๐œƒ๐น = ๐‘‡1 − ๐‘‡∞
๏‚ท
๏‚ท 1.HS:
๐‘‘
๐‘‘๐‘ก
(๐‘€ โˆ™ ๐‘ โˆ™ ๐‘‡) = −๐ด โˆ™ ๐›ผ โˆ™ (๐‘‡ − ๐‘‡∞ )
wobei ๐‘€ = ๐œŒ โˆ™ ๐‘‰
๐œถ๐‘จ
๐‘ป − ๐‘ป∞
๐‘€๐‘
๐’•
= ๐’†−๐‘ด๐’„โˆ™๐’• = ๐’†− ⁄๐‰
mit ๐œ =
๐‘ป๐’Š − ๐‘ป∞
๐›ผ๐ด
๐‘ด๐’„
๐‘ป − ๐‘ป∞
๐‘ป − ๐‘ป∞
๐’•=−
๐ฅ๐ง (
) = −๐‰ ๐ฅ๐ง (
)
๐œถ๐‘จ
๐‘ป๐’Š − ๐‘ป∞
๐‘ป๐’Š − ๐‘ป∞
๐‘€๐‘
wobei die Zeitkonstante ๐œ = die Zeitspanne bis zur Abkühlung auf
๐›ผ๐ด
๐œƒ๐‘›๐‘’๐‘ข = ๐œƒ๐‘– ⁄๐‘’ = 36.8% โˆ™ ๐œƒ๐‘– angibt (Aufheizen bis ๐œƒ๐‘›๐‘’๐‘ข = ๐‘’ โˆ™ ๐œƒ๐‘– )
Seite 14
๐‘‡ − ๐‘‡๐‘–
= 1 − erf(๐œ‚) ≡ erfc(๐œ‚)
๐‘‡๐‘  − ๐‘‡๐‘–
๏‚ท 3 Fälle: Anfang: ๐‘‡(๐‘ฅ, 0) = ๐‘‡๐‘– (alle Körper haben überall ๐‘‡๐‘– )
1: Wandtemperatur auf
๐‘‡๐‘† erhöht und
gehalten
2: ab ๐‘ก0
konstanter
Wärmestrom
3: ab ๐‘ก0
konvektiver
Wärmeübergang
๏‚ท Diffusionslänge / -zeit:
๐’™๐‘ซ = √๐€โŸ
⁄๐†๐’„ โˆ™ ๐’•๐‘ซ
๐’•๐‘ซ =
๏‚ท Diskussion: Allgemein lässt sich sagen, je weiter weg der Chip vom
TURBULENTE GRENZSCHI CHT ๐‘…๐‘’ > ๐‘…๐‘’๐‘๐‘Ÿ๐‘–๐‘ก
๐’™2๐‘ซ
๐†๐’„
โˆ™โŸ
⁄๐€
๐’‚
๐Ÿ/๐’‚
VORGEHEN
@ ๐œ‚ = 0.5 โŸน erfc(0.5) = 48%
๐‘‡ − ๐‘‡๐‘– = 0.48(๐‘‡๐‘  − ๐‘‡๐‘– )
๐œ†(๐‘‡ −๐‘‡ )
๏‚ท Wärmestrom
๐‘žฬ‡ ๐‘ ′′ = ๐‘  ๐‘–
๏‚ท Fläche ist am Rand der Platte (nur laminar):
ฬ…ฬ…ฬ…ฬ… = 2 โˆ™ ๐‘๐‘ข๐‘ฅ=๐ฟ
- Nusselt – Zahl mitteln:
๐‘๐‘ข
√๐œ‹๐‘Ž๐‘ก
๏‚ท Kontakttemperatur zweier halbunendlicher Körper (A und B)
๐‘‡๐‘–,๐ด √๐œ†๐ด ๐œŒ๐ด ๐‘๐ด + ๐‘‡๐‘–,๐ต √๐œ†๐ต ๐œŒ๐ต ๐‘๐ต
๐‘‡๐‘  =
√๐œ†๐ด ๐œŒ๐ด ๐‘๐ด + √๐œ†๐ต ๐œŒ๐ต ๐‘๐ต
๏‚ท Wärmestrom
′′
๐‘žฬ‡ ๐‘๐‘œ๐‘›๐‘ฃ
= ๐›ผฬ…(๐‘‡๐‘Š − ๐‘‡∞ )
๐‘žฬ‡ ๐‘๐‘œ๐‘›๐‘ฃ = ๐ด โˆ™ ๐›ผฬ…(๐‘‡๐‘Š − ๐‘‡∞ )
๏‚ท mittlerer Wärmeübergangskoeffizient ๐›ผฬ…
1
- allgemein:
๐›ผฬ… = ∫ ๐›ผ ๐‘‘๐ด
๐›ผฬ… =
- ebene Platte ab ๐‘ฅ0
๐›ผฬ… =
- daraus ๐›ผฬ… berechnen
ฬ…ฬ…ฬ…ฬ…โˆ™๐œ†๐‘“๐‘™๐‘ข๐‘–๐‘‘
๐‘๐‘ข
๐›ผฬ… =
๐ฟ
๏‚ท Fläche beginnt erst im Abstand ๐‘ฅ0 vom Plattenrand (gilt immer):
- ๐›ผ lokal berechnen:
๐‘๐‘ข๐‘ฅ โˆ™๐œ†๐‘“๐‘™๐‘ข๐‘–๐‘‘
๐›ผ(๐‘ฅ) =
๐‘ฅ
1 ๐‘ฅ0 +๐ฟ
๐›ผ(๐‘ฅ)๐‘‘๐‘ฅ
∫
๐ฟ ๐‘ฅ0
- mitteln per Integral:
๐›ผฬ… =
Die Formel ฬ…ฬ…ฬ…ฬ…
๐‘๐‘ข = 2 โˆ™ ๐‘๐‘ข๐‘ฅ=๐ฟ folgt aus der Integration von der
GRUNDLAGEN DER KONVEKTION
- ebene Platte ab Anfang
lokalen Formel und gilt nur dann, wenn die Reynoldzahl mit ๐‘…๐‘’๐‘ฅ1
in ๐‘๐‘ข๐‘ฅ eingeht. Sonst Variante 2 wählen.
๐ฟ
∫ ๐›ผ(๐‘ฅ)๐‘‘๐‘ฅ
๐ฟ 0
1 ๐‘ฅ0 +๐ฟ
๐›ผ(๐‘ฅ)๐‘‘๐‘ฅ
∫
๐ฟ ๐‘ฅ0
• Ausgangslage: Kühlung eines quadratischen Chips
• gegeben: ๐‘ข∞ , ๐‘‡∞ , ๐‘‡๐‘โ„Ž๐‘–๐‘ , ๐‘‘, ๐œˆ, ๐‘ƒ๐‘Ÿ(> 0.6), ๐œ†๐‘“๐‘™๐‘ข๐‘–๐‘‘
• gesucht: ๐‘žฬ‡ ๐‘๐‘œ๐‘›๐‘ฃ
๐‘ข∞ โˆ™๐‘‘
๐‘…๐‘’๐ฟ =
i. Welche Geometrie hat das angeströmte Teil?
ii. Handelt es sich um erzwungene oder natürliche Konvektion?
→ erzwungene Konvektion: ๐‘…๐‘’ mit ๐‘…๐‘’๐‘๐‘Ÿ๐‘–๐‘ก vergleichen
→ natürliche Konvektion: ๐‘…๐‘Ž mit ๐‘…๐‘Ž๐‘๐‘Ÿ๐‘–๐‘ก vergleichen
iii. Daraus folgt die entsprechende Grenzschicht (laminar/turbunlent).
iv. ๐‘๐‘ข mit der
entspechenden
Formel
berechnen.
v. Daraus ๐›ผฬ…
berechnen. ๐›ผ =
๐œˆ
< ๐‘…๐‘’๐‘๐‘Ÿ๐‘–๐‘ก
⁄
๐‘…๐‘’๐‘ฅ1 2
๐‘๐‘ข๐‘ฅ = 0.332 โˆ™
ฬ…ฬ…ฬ…ฬ… = 2 โˆ™ ๐‘๐‘ข๐‘ฅ=๐ฟ = 0.664 โˆ™ ๐‘…๐‘’๐ฟ1⁄2 โˆ™ ๐‘ƒ๐‘Ÿ 1⁄3
๐‘๐‘ข
๐›ผฬ… =
ฬ…ฬ…ฬ…ฬ…โˆ™๐œ†๐‘“๐‘™๐‘ข๐‘–๐‘‘
๐‘๐‘ข
๐ฟ
=
๐‘ข โˆ™๐‘‘ 1⁄2
) โˆ™๐‘ƒ๐‘Ÿ 1⁄3 โˆ™๐œ†๐‘“๐‘™๐‘ข๐‘–๐‘‘
0.664โˆ™( ∞
๐œˆ
๐‘‘
๐‘ข∞ โˆ™2๐‘‘
๐‘ข∞ โˆ™ ๐‘‘ 1
= 0.664 โˆ™ (
)
๐œˆ
= 0.664 โˆ™ (
< ๐‘…๐‘’๐‘๐‘Ÿ๐‘–๐‘ก
๐œˆ
๐‘๐‘ข๐‘ฅ = 0.332 โˆ™ ๐‘…๐‘’๐‘ฅ1
๐›ผ(๐‘ฅ) =
๐‘๐‘ข๐‘ฅ โˆ™๐œ†๐‘“๐‘™๐‘ข๐‘–๐‘‘
๏‚ท Kritische Reynoldszahl
๐‘ฅ
= 0.332 โˆ™ (
= 0.332 โˆ™ (
๐›ผฬ… =
2๐‘‘
∫ ๐›ผ(๐‘ฅ)๐‘‘๐‘ฅ
๐‘‘ ๐‘‘
1
1
๐‘ข∞ โˆ™๐‘ฅ 1⁄2
๐œˆ
๐‘ข∞
๐œˆโˆ™๐‘‘
1⁄2
)
๐‘ข∞
๐œˆ
)
= โˆ™ 0.332 โˆ™ (
๐‘‘
โˆ™ ๐‘ƒ๐‘Ÿ
⁄
๐‘ข∞ 1 2
๐œˆ
)
1⁄3
๐œ†๐‘”๐‘™๐‘Ž๐‘  = 0.058
โˆ™ ๐‘ƒ๐‘Ÿ 1⁄3 โˆ™ ๐œ†๐‘“๐‘™๐‘ข๐‘–๐‘‘
โˆ™ ๐œ†๐‘“๐‘™๐‘ข๐‘–๐‘‘ โˆ™ ๐‘ฅ
๏‚ท ๐‘…๐‘’๐‘๐‘Ÿ๐‘–๐‘ก = 105 =
๐‘ข∞ โˆ™๐‘ฅ๐‘๐‘Ÿ๐‘–๐‘ก
๐œˆ๐‘Ž๐‘–๐‘Ÿ
๐‘…๐‘›๐‘’๐‘ก,๐ด
๐‘๐‘ข๐‘ฅ โˆ™๐œ†๐‘Ž๐‘–๐‘Ÿ
1
๐‘ฅ
⁄
= 0.664 โˆ™ (
๐‘ข∞ 1⁄2
๐œˆ
)
4
−1⁄2
โˆ™ ๐‘ƒ๐‘Ÿ 1⁄3 โˆ™ ๐œ†๐‘“๐‘™๐‘ข๐‘–๐‘‘ โˆ™
๐‘žฬ‡ ๐ด =
2๐‘‘
∫๐‘‘ ๐‘ฅ −1⁄2 ๐‘‘๐‘ฅ
โŸ
(2๐‘‘)1⁄2 –๐‘‘1⁄2
๐‘‘
2๐‘‘
]−[
๐‘ข∞ 4⁄5
4
๐‘‡∞,๐‘– −๐‘‡∞,๐‘Ž
๐œˆ๐‘Ž๐‘–๐‘Ÿ
๐‘…๐‘›๐‘’๐‘ก,๐ด
=
๏‚ท Zimmer B: ๐‘žฬ‡ ๐ต =
1
๐‘ข โˆ™๐‘‘ 1⁄2
0.664โˆ™( ∞ ) โˆ™๐‘ƒ๐‘Ÿ 1⁄3 โˆ™๐œ†๐‘“๐‘™๐‘ข๐‘–๐‘‘
๐œˆ
1⁄2
= ((2๐‘‘)1⁄2 − ๐‘‘ 1⁄2 ) [
๐‘ข โˆ™2๐‘‘
0.664โˆ™( ∞๐œˆ )
๐‘‘
โˆ™๐‘ƒ๐‘Ÿ 1⁄3 โˆ™๐œ†๐‘“๐‘™๐‘ข๐‘–๐‘‘
๐‘‘
⁄
0.3387โˆ™๐‘…๐‘’๐‘ฅ1 2 โˆ™๐‘ƒ๐‘Ÿ 1⁄3
1⁄4
Seite 15
]
)
๐‘๐‘ข๐‘ฅ โˆ™๐œ†๐‘Ž๐‘–๐‘Ÿ
๐‘ฅ
)
๐›ผฬ…๐ต =
4⁄5
๐‘Ž๐‘–๐‘Ÿ
โˆ™ ๐‘ƒ๐‘Ÿ 1⁄3 โˆ™ ๐œ†๐‘Ž๐‘–๐‘Ÿ โˆ™
43
]
๐‘žฬ‡ ๐ต =
6
๐‘‡∞,๐‘– −๐‘‡∞,๐‘Ž
๐‘…๐‘›๐‘’๐‘ก,๐ต
๐‘…๐‘›๐‘’๐‘ก,๐ต
=
โˆ™ [40.8 ] = 31.8
๐‘Š
๐‘š2 ๐พ
1 1
๐‘ก
1
(ฬ… +
+ฬ… )
๐ด ๐›ผ
๐ต
๐‘– ๐œ†๐‘”๐‘™๐‘Ž๐‘  ๐›ผ
= 0.0296 โˆ™ (
๐‘ข∞ 4⁄5
๐œˆ๐‘Ž๐‘–๐‘Ÿ
=
1
0.8
= 1596๐‘Š
๐‘ข∞ 4⁄5
๐œˆ๐‘Ž๐‘–๐‘Ÿ
1
โˆ™(
4
โˆ™ ๐‘ƒ๐‘Ÿ 1⁄3 โˆ™ ๐œ†๐‘Ž๐‘–๐‘Ÿ โˆ™ ∫0 ๐‘ฅ −0.2 ๐‘‘๐‘ฅ
1
1 0.008
1
( +
)
+
4โˆ™2.5 10 0.058 31.8
๐‘‡∞,๐‘– −๐‘‡∞,๐‘Ž
๐‘‡∞,๐‘– −๐‘‡∞,๐‘Ž
11
0.0296
)
โˆ™ ๐‘ƒ๐‘Ÿ 1⁄3 โˆ™ ๐œ†๐‘Ž๐‘–๐‘Ÿ โˆ™ ๐‘ฅ −0.2
)
โˆ™ ๐‘ƒ๐‘Ÿ 1⁄3 โˆ™ ๐œ†๐‘Ž๐‘–๐‘Ÿ โˆ™ ๐‘ฅ −0.2
๐‘ข
๐›ผฬ…๐ต = ∫5 ๐›ผ(๐‘ฅ)๐‘‘๐‘ฅ = โˆ™ 0.0296 โˆ™ ( ∞ )
6
6
๐œˆ
๏‚ท andere Variante: ๐›ผฬ… = 2 โˆ™ ๐›ผฬ…๐‘ฃ๐‘œ๐‘› 0 ๐‘๐‘–๐‘  2๐‘‘ − ๐›ผฬ…๐‘ฃ๐‘œ๐‘› 0 ๐‘๐‘–๐‘  ๐‘‘
๐›ผฬ… = 2 [
๐œˆ๐‘Ž๐‘–๐‘Ÿ
๐‘ข
1
๐›ผ๐ต (๐‘ฅ) =
๐‘žฬ‡ ๐‘๐‘œ๐‘›๐‘ฃ = ๐›ผฬ…๐ด(๐‘‡๐‘Š − ๐‘‡∞ ) = ๐›ผฬ…๐‘‘ 2 (๐‘‡๐‘โ„Ž๐‘–๐‘ − ๐‘‡∞ )
๐‘ข โˆ™2๐‘‘ 1⁄2
0.664โˆ™( ∞ ) โˆ™๐‘ƒ๐‘Ÿ 1⁄3 โˆ™๐œ†๐‘“๐‘™๐‘ข๐‘–๐‘‘
๐œˆ
+
๐‘ข∞ 4⁄5
1
๐›ผฬ…๐ด = โˆ™ 0.0296 โˆ™ (
=2[๐‘ฅ 1⁄2 ]๐‘‘
โˆ™ ๐‘ƒ๐‘Ÿ 1⁄3 โˆ™ ๐œ†๐‘“๐‘™๐‘ข๐‘–๐‘‘ โˆ™
( +
ฬ… ๐‘– ๐œ†๐‘”๐‘™๐‘Ž๐‘  ๐›ผ
ฬ…๐ด
๐ด ๐›ผ
= 0.0296 โˆ™ (
2๐‘‘
๏‚ท Dicke Geschwindigkeitsgrenzschicht
๐›ฟ = 4.92 โˆ™ ๐‘ฅ โˆ™ ๐‘…๐‘’๐‘ฅ−1 2
๏‚ท Dicke Temperaturgrenzschicht
๐›ฟ๐‘‡ = ๐›ฟ โˆ™ ๐‘ƒ๐‘Ÿ 1⁄3
๏‚ท Widerstandsbeiwert
⁄
- lokal
๐‘๐‘“,๐‘ฅ = 0.664 โˆ™ ๐‘…๐‘’๐‘ฅ−1 2
−1⁄2
- gemittelt
๐‘๐‘“,๐ฟ = 1.328 โˆ™ ๐‘…๐‘’๐‘ฅ
ฬ…ฬ…ฬ…ฬ…
๏‚ท Nusselt-Zahl
⁄
- ๐‘ƒ๐‘Ÿ > 0.6
๐‘๐‘ข๐‘ฅ = 0.332 โˆ™ ๐‘…๐‘’๐‘ฅ1 2 โˆ™ ๐‘ƒ๐‘Ÿ 1⁄3
- ๐‘ƒ๐‘Ÿ < 0.6
๐‘๐‘ข๐‘ฅ = 0.565 โˆ™ (๐‘…๐‘’๐‘ฅ โˆ™ ๐‘ƒ๐‘Ÿ)1⁄2
๐œ†๐‘Ž๐‘–๐‘Ÿ = 22.3 โˆ™
• gesucht: ๐‘žฬ‡ ๐ด , ๐‘žฬ‡ ๐ต
โŸน ๐‘ฅ๐‘๐‘Ÿ๐‘–๐‘ก = 0.1๐‘š
๐›ผฬ…๐ด = ∫0 ๐›ผ(๐‘ฅ)๐‘‘๐‘ฅ = โˆ™ 0.0296 โˆ™ ( ∞ )
4
4
๐œˆ
๐‘ฅ
๐‘ 
โŸน die ganze Strömung wird als turbulent betrachtet
⁄
๐‘๐‘ข๐‘ฅ = 0.0296 โˆ™ ๐‘…๐‘’๐‘ฅ4 5 โˆ™ ๐‘ƒ๐‘Ÿ 1⁄3
๐‘‡∞,๐‘– −๐‘‡∞,๐‘Ž
๐‘‡ −๐‘‡
๏‚ท Zimmer A: ๐‘žฬ‡ ๐ด =
= 1 1 ∞,๐‘– ๐‘ก ∞,๐‘Ž 1
๐›ผ๐ด (๐‘ฅ) =
1
๐‘Š
๐‘š2
๐‘š๐พ
๐‘Š
10−3
๐‘š๐พ
โˆ™ ๐‘ƒ๐‘Ÿ 1⁄3
โˆ™ ๐‘ƒ๐‘Ÿ 1⁄3
LAMINARE GRENZSCHICH T ๐‘…๐‘’ < ๐‘…๐‘’๐‘๐‘Ÿ๐‘–๐‘ก
(1+(0.0468⁄๐‘ƒ๐‘Ÿ)2⁄3 )
• Ausgangslage: Es soll die Isolation von 2 Zimmern verglichen werden.
๐‘š
• gegeben:
๐‘ข∞ = 10
๐‘ 
๐‘‡∞,๐‘Ž = −23°๐ถ ๐‘‡∞,๐‘– = 20°๐ถ
๐‘Š
๐›ผฬ…๐‘– = 10 2
๐‘ƒ๐‘Ÿ = 0.72
๐‘š ๐พ
๐‘ก = 0.008๐‘š
โ„Ž = 2.5๐‘š
⁄2
⇒ laminar
โˆ™ ๐‘ƒ๐‘Ÿ 1⁄3 โˆ™ ๐œ†๐‘“๐‘™๐‘ข๐‘–๐‘‘ โˆ™
)
1⁄2
⁄2
RAUMISOLATION
๐œˆ๐‘Ž๐‘–๐‘Ÿ = 11.44 โˆ™ 10−6
• alles gleich wie vorher – nur der Chip ist
anderst positioniert
๐‘…๐‘’๐ฟ =
๐‘น๐’†๐’„๐’“๐’Š๐’• = ๐Ÿ๐ŸŽ๐Ÿ“
โˆ™ ๐‘ƒ๐‘Ÿ
1
Rand platziert ist, desto kleiner ist die Kühlung, da
< 1⁄2 .
๐‘‘
๐‘‘
Dies glit nur, solange man im laminaren Bereich ist, sobald es
turbulent wird, gilt eine andere Gleichung.
Eine dritte Variante
wäre, den lokalen
Wert ๐›ผ(๐‘ฅ) zu
nehmen, an der Stelle
๐‘ฅ = 1.5๐‘‘, was
ungenauer ist, da
๐›ผ(๐‘ฅ) ∝ ๐‘ฅ −1⁄2 ist und
nicht linear, was in
der Graphik
erkennbar ist.
1⁄3
CHIPKÜHLUNG #2
๐‘ฅ
ERZWUNGENE KONVEKTIO N :: EBENE WAND
⇒ laminar
๐‘žฬ‡ ๐‘๐‘œ๐‘›๐‘ฃ = ๐›ผฬ…๐ด(๐‘‡๐‘Š − ๐‘‡∞ ) = ๐›ผฬ…๐‘‘ 2 (๐‘‡๐‘โ„Ž๐‘–๐‘ − ๐‘‡∞ )
๐‘๐‘ข๐‘ฅ โˆ™๐œ†
๐‘๐‘ข๐‘ฅ =
⁄2
CHIPKÜHLUNG #1
๐ด
1
ALLGEMEINES VORGEHEN
- ๐‘ƒ๐‘’๐‘ฅ > 100
(2๐‘‘)1⁄2 –๐‘‘1⁄2
⁄5
๏‚ท Widerstandsbeiwert (๐‘…๐‘’๐‘ฅ ≤ 107 )
๐‘๐‘“,๐‘ฅ = 0.0592 โˆ™ ๐‘…๐‘’๐‘ฅ−1
⁄
๏‚ท Nusselt-Zahl
๐‘๐‘ข๐‘ฅ = 0.0296 โˆ™ ๐‘…๐‘’๐‘ฅ4 5 โˆ™ ๐‘ƒ๐‘Ÿ 1⁄3
)
๐‘Ž๐‘–๐‘Ÿ
โˆ™ ๐‘ƒ๐‘Ÿ 1⁄3 โˆ™ ๐œ†๐‘Ž๐‘–๐‘Ÿ โˆ™
43
1
1 0.008
1
( +
)
+
6โˆ™2.5 10 0.058 22.2
1
0.8
4⁄5
11
โˆ™ ๐‘ƒ๐‘Ÿ 1⁄3 โˆ™ ๐œ†๐‘Ž๐‘–๐‘Ÿ โˆ™ ∫5 ๐‘ฅ −0.2 ๐‘‘๐‘ฅ
โˆ™ [110.8 − 50.8 ] = 22.2
๐‘Š
๐‘š2 ๐พ
= 2280๐‘Š
๏‚ท Diskussion: Trotz des kleineren ๐›ผฬ… ist die verlorene Wärme in B viel
grösser, was daraus folgt, dass die äussere Konvektion relativ wenig
zur Isolation beiträgt und so die grössere Fläche des Fensters B viel
stärker ins Gewicht fällt.
ERZWUNGENE KONVEKTIO N :: ZYL. KÖRPER & KUGEL
1
๏‚ท Filmtemperatur
๐‘‡๐น๐‘–๐‘™๐‘š = โˆ™ (๐‘‡๐‘ค + ๐‘‡∞ )
2
๏‚ท Dimensionslose Konstanten mit der Filmtemperatur berechnen:
๐‘๐‘ โˆ™๐œ‡
๐‘ข∞ โˆ™๐ท
๐œŒโˆ™๐‘ข∞ โˆ™๐ท
๐œˆ(๐‘‡๐น๐‘–๐‘™๐‘š )
๐‘…๐‘’๐ท =
=
und ๐‘ƒ๐‘Ÿ =
=
๐œˆ(๐‘‡๐น๐‘–๐‘™๐‘š )
๐œ‡(๐‘‡๐น๐‘–๐‘™๐‘š )
๐œ†๐‘“๐‘™๐‘ข๐‘–๐‘‘ (๐‘‡๐น๐‘–๐‘™๐‘š )
๏‚ท gemittelte Nusselt-Zahl
ฬ…ฬ…ฬ…ฬ…
- zylindrische Körper
๐‘๐‘ข๐ท = ๐ถ โˆ™ ๐‘…๐‘’๐ท ๐‘š โˆ™ ๐‘ƒ๐‘Ÿ 1⁄3
→ mit den Konstanten aus folgenden Tabellen:
โ†˜ für Kreiszylinder:
๏‚ท Berechnen von ๐›ผฬ…๐‘€ :
๐‘ข โˆ™๐ท
๐œŒโˆ™๐‘ข โˆ™๐ท
๐‘…๐‘’๐ท = ∞ = ∞
๐œˆ
๐‘Ž๐‘“๐‘™๐‘ข๐‘–๐‘‘ (๐‘‡๐น๐‘–๐‘™๐‘š )
๐œŒโˆ™๐‘ข โˆ™๐ท
ฬ…ฬ…ฬ…ฬ…
๐‘๐‘ข๐ท = ๐ถ โˆ™ ๐‘…๐‘’๐ท ๐‘š โˆ™ ๐‘ƒ๐‘Ÿ 1⁄3 = 0.027 โˆ™ ( ∞ )
๐œ‡
ฬ…ฬ…ฬ…ฬ…๐ท โˆ™ ๐œ†๐‘Ž๐‘–๐‘Ÿ
๐‘๐‘ข
๐›ผฬ…๐‘€ =
๐ท
๏‚ท Restliche benötigte Grössen berechnen:
๐‘†=
๐ท2 ๐œ‹
๏‚ท Wärmeverlust pro Meter Rohr berechnen:
โˆ†๐‘‡
โˆ†๐‘‡
154.931
๐‘žฬ‡ ′ =
= ๐‘Ÿ2
= ln(0.078) ln(0.128)
๐‘Ÿ3
⇒ liegt zwischen 40'000 und 400'000
๐œ‡
0.805
โˆ™(
๐ฟโˆ™๐‘…๐‘›๐‘’๐‘ก
๐‘๐‘ โˆ™๐œ‡ 1⁄3
๐œ†
)
4
๐‘€๐‘ ๐‘ก = ๐œŒ๐‘ ๐‘ก ๐‘‰๐‘ ๐‘ก = ๐œŒ๐‘ ๐‘ก โˆ™ ๐‘‚๐‘ ๐‘ก โˆ™ ๐‘‘๐‘ ๐‘ก = ๐œŒ๐‘ ๐‘ก โˆ™ (๐œ‹๐ท ( + ๐ฟ)) โˆ™ ๐‘‘๐‘ ๐‘ก
2
โ„Ž
๐‘ข∞
๏‚ท Schliesslich alle Grössen einsetzen und nach ๐‘‡ auflösen
โŸน ๐‘‡ = ๐‘‡∞ + (๐‘‡๐‘– − ๐‘‡∞ )๐‘’
โ†˜ für andere Geometrien:
ฬ… ๐‘€ โˆ™๐ด๐‘€
2๐›ผ โˆ™๐‘†+๐›ผ
−๐‘€ โˆ™๐‘๐‘† +๐‘€
โˆ™๐‘ก
ö๐‘™ ๐‘,ö๐‘™
๐‘ ๐‘ก โˆ™๐‘๐‘,๐‘ ๐‘ก
GEOTHERMISCHER DAMPF
• Ausgangslage: Der Dampf
einer Transportleitung für
geothermischen Wasserdampf, welche mit Isolation
umgeben ist und vom Wind
quer angeströmt wird, darf
sich nur bis 5°๐ถ über die
Sättigungstemperatur
abkühlen.
0.4
- Kugel ฬ…ฬ…ฬ…ฬ…
๐‘๐‘ข๐ท = 2 + (0.4 โˆ™ ๐‘…๐‘’๐ท 1⁄2 + 0.06 โˆ™ ๐‘…๐‘’๐ท 2⁄3 ) โˆ™ ๐‘ƒ๐‘Ÿโˆ™ (
im Bereich
{0.71 < ๐‘ƒ๐‘Ÿ < 380 ; 3.5 < ๐‘…๐‘’๐ท < 7.6 โˆ™ 104 ; 1.0 <
๏‚ท Gemittelter Wärmeübergangskoeffizient
๐›ผฬ… =
๐œ‡
๐œ‡๐‘Š
๐œ‡
๐œ‡๐‘Š
)
1⁄4
< 3.2 }
ฬ…ฬ…ฬ…ฬ…๐ท โˆ™๐œ†๐‘“๐‘™๐‘ข๐‘–๐‘‘
๐‘๐‘ข
๐ท
DIE ÖL BOMBE
• Ausgangslage: Ein Fass mit
heissem Öl aus einem Flugzeug mit
Höhe โ„Ž abgeworfen, wobei die
Zylinderachse quer zur Fallrichtung
steht.
• Annahmen:
- ๐‘ข∞ = ๐‘๐‘œ๐‘›๐‘ ๐‘ก.
- ๐‘‡ nur von ๐‘ก abhängig
๏‚ท gegeben: ๐‘ข∞ , โ„Ž, ๐‘‡∞ , ๐‘‡๐‘– , ๐ท, ๐ฟ, ๐‘‘๐‘ ๐‘ก๐‘Žโ„Ž๐‘™๐‘ค๐‘Ž๐‘›๐‘‘ , ๐œŒö๐‘™ , ๐‘๐‘,ö๐‘™ , ๐œŒ๐‘ ๐‘ก , ๐‘๐‘,๐‘ ๐‘ก
๐œ†๐‘Ž๐‘–๐‘Ÿ , ๐œŒ๐‘Ž๐‘–๐‘Ÿ , ๐‘๐‘,๐‘Ž๐‘–๐‘Ÿ , ๐œ‡๐‘Ž๐‘–๐‘Ÿ , ๐›ผ๐‘† = ๐›ผ๐‘†๐‘ก๐‘–๐‘Ÿ๐‘›๐‘“๐‘™ä๐‘โ„Ž๐‘’
๏‚ท gesucht: ๐‘‡ wenn die Bombe am Boden auftrifft
๏‚ท Vorgehen: instationäre Wärmeleitung, wobei ๐›ผฬ…๐‘€ = ๐›ผ๐‘€๐‘Ž๐‘›๐‘ก๐‘’๐‘™๐‘“๐‘™ä๐‘โ„Ž๐‘’
zuerst gefunden werden muss mit der erzwungenen Konvektion.
ฬ… ๐‘€ โˆ™๐ด๐‘€
๐›ผ๐ด โ„Ž๐‘–๐‘’๐‘Ÿ − 2๐›ผ๐‘† โˆ™๐‘†+๐›ผ
๐‘‡ − ๐‘‡∞
โˆ™๐‘ก
= ๐‘’ −๐‘€๐‘โˆ™๐‘ก ⇒ ๐‘’ ๐‘€ö๐‘™โˆ™๐‘๐‘,ö๐‘™+๐‘€๐‘ ๐‘กโˆ™๐‘๐‘,๐‘ ๐‘ก
๐‘‡๐‘– − ๐‘‡∞
๏‚ท Annahmen:
๐›ผ๐‘–๐‘›๐‘›๐‘’๐‘› = ∞ und ๐‘ = ๐‘๐‘œ๐‘›๐‘ ๐‘ก. = 7๐‘๐‘Ž๐‘Ÿ
๏‚ท gegeben:
๐‘‡๐‘– = 180°๐ถ
๐‘š
๐‘˜๐‘”
๐‘ข∞ = 8
๐œŒ๐‘Ž๐‘–๐‘Ÿ = 1.1941 3
๐‘ 
๐ฟ๐‘–๐‘ ๐‘œ = 5๐‘๐‘š
๐œ†๐‘–๐‘ ๐‘œ 0.046
๐‘๐‘,๐‘Ž๐‘–๐‘Ÿ = 1.007
๐‘Š
๐‘šโˆ™๐พ
๐‘š
๐‘š
๐‘˜๐ฝ
๐‘˜๐‘”โˆ™๐พ
๐ฟ๐‘ ๐‘ก = 3๐‘š๐‘š
๐‘‘๐‘– = 15๐‘๐‘š
๐‘šฬ‡ = 0.35
๐‘‡∞ = 293๐พ
๐‘โˆ™๐‘ 
๐œ‡๐‘Ž๐‘–๐‘Ÿ = 181.1 โˆ™ 10−7 2
๐œ†๐‘Ž๐‘–๐‘Ÿ = 25.7 โˆ™ 10−3
๐œ†๐‘ ๐‘ก = 64
๐‘˜๐‘”
๐‘š
๐‘Š
๐‘šโˆ™๐พ
๐‘Š
๐‘šโˆ™๐พ
๐œˆ
0.805
๐›ผฬ… =
ฬ…ฬ…ฬ…ฬ…๐ท โˆ™๐œ†๐‘Ž๐‘–๐‘Ÿ
๐‘๐‘ข
๐‘‘๐‘Ž
= 32.6
โˆ™(
๐‘๐‘ โˆ™๐œ‡ 1⁄3
๐œ†
)
= 324.815
๐‘Š
๐‘š2 โˆ™๐พ
๏‚ท Mittlerer Temperaturunterschied gegenüber ๐‘‡∞ berechnen:
๐‘‡2 = ๐‘‡๐‘ ๐‘Ž๐‘ก + 5°๐ถ = 169.97°๐ถ
A-4
โˆ†๐‘‡1 + โˆ†๐‘‡2
โˆ†๐‘‡๐‘™๐‘–๐‘› =
= 154.985°๐ถ
2
โˆ†๐‘‡1 −โˆ†๐‘‡2
โˆ†๐‘‡๐‘™๐‘œ๐‘” = โˆ†๐‘‡1
= 154.931°๐ถ
ln(
๐‘ข∞ = 20
๐‘š
๐‘ 
⁄โˆ†๐‘‡ )
2
๏‚ท Verlorene Wärme per 1HS berechnen:
๐‘žฬ‡ ๐‘™๐‘œ๐‘ ๐‘ก = ๐‘šฬ‡ โˆ™ (โ„Ž1 −โ„Ž2 )
โ„Ž1
A-4 @ 180°๐ถ
A-4 @ 169.97°๐ถ
= 8314.96๐‘Š
โ„Ž2
Seite 16
๐œˆ๐ป๐‘’ = 290 โˆ™ 10−6
๐‘‡∞ = 500๐พ
๐‘Š
๐œ†๐ป๐‘’ = 0.22
๐‘šโˆ™๐พ
๐‘ƒ๐‘Ÿ = 0.67
๐‘‡๐‘ ,๐‘‚ = 1300๐พ
๐‘š
๐‘š2
๐‘ 
๐œ‡∞ = 283 โˆ™ 10−7 ๐‘ƒ๐‘Ž โˆ™ ๐‘ 
๐œ‡๐‘Š = 592 โˆ™ 10−7 ๐‘ƒ๐‘Ž โˆ™ ๐‘ 
๐‘Š
๐œ†๐‘ˆ = ๐œ†๐บ = 2
๐‘šโˆ™๐พ
๏‚ท gesucht: a) den Wärmestrom pro Brennelement an das Gas (in W).
′′′
b) ๐‘žฬ‡ ๐‘„๐‘ข๐‘’๐‘™๐‘™๐‘’๐‘›
und ๐‘‡๐‘ ,๐‘–
c) ๐‘‡(๐‘Ÿ) im Brennelement und ๐‘‡(0)
๏‚ท Vorgehen: stationäre Wärmeleitung, wobei ๐›ผฬ… zuerst gefunden werden
muss mit der erzwungenen Konvektion an einer Sphäre.
๏‚ท Berechnen von ๐›ผฬ…: (eigentlich dürfte man die Formel nicht verwenden)
0.4
ฬ…ฬ…ฬ…ฬ…
๐‘๐‘ข๐ท = 2 + (0.4 โˆ™ ๐‘…๐‘’๐ท 1⁄2 + 0.06 โˆ™ ๐‘…๐‘’๐ท 2⁄3 ) โˆ™ ๐‘ƒ๐‘Ÿโˆ™ (
= 13.899
๐œ‡
๐œ‡
๐‘Š
• Ausgangslage: Ein
Hochtemperatur-GasReaktor (HTGR) besteht
aus kugelförmigen
Uranoxid-Elementen, die
eine uniforme volumetrische Wärmequelle
′′′
๐‘žฬ‡ ๐‘„๐‘ข๐‘’๐‘™๐‘™๐‘’๐‘›
enthalten. Jedes
Brennelement ist in eine
Schale aus Graphit eingebettet, die durch einen Heliumgasstrom gekühlt
wird. Betrachten Sie ein Brennelement im stationären Zustand unter
Vernachlässigung von Wärmestrahlung.
๏‚ท gegeben:
๐‘‘๐‘– = 10๐‘š๐‘š
๐‘‘๐‘Ž = 12๐‘š๐‘š
๐‘ 
๏‚ท gesucht: ๐ฟ
๏‚ท Vorgehen: über Wärmeleitwiderstände ๐ฟ finden, wobei ๐›ผฬ… zuerst
berechnet werden muss mit der erzwungenen Konvektion.
๏‚ท Berechnen von ๐›ผฬ…:
๐‘ข โˆ™๐‘‘
๐œŒโˆ™๐‘ข โˆ™๐‘‘
๐‘…๐‘’๐ท = ∞ ๐‘Ž = ∞ ๐‘Ž = 135′037
๐œŒโˆ™๐‘ข โˆ™๐‘‘
ฬ…ฬ…ฬ…ฬ…
๐‘๐‘ข๐ท = 0.027 โˆ™ ( ∞ ๐‘Ž )
= 88.43
๐‘š
๐ท
๐‘ก=
1
0.078 +
+ 2๐œ‹โˆ™0.046
2๐œ‹โˆ™0.128โˆ™32.6
BRENNELEME NT
๐ท2 ๐œ‹๐ฟ
๐‘€ö๐‘™ = ๐œŒö๐‘™ ๐‘‰ö๐‘™ = ๐œŒö๐‘™ โˆ™
0.075
2๐œ‹โˆ™64
๏‚ท Daraus die gesuchte Länge bererchnen:
๐‘žฬ‡
๐ฟ = ๐‘™๐‘œ๐‘ ๐‘ก⁄๐‘žฬ‡ ′ = 8314.96๐‘Š⁄
๐‘Š = 94๐‘š
88.43
๐ด๐‘€ = ๐ท๐œ‹๐ฟ
4
) ln(๐‘Ÿ )
๐‘Ÿ1
2 + 1
+
ฬ…
2๐œ‹๐œ†๐‘ ๐‘ก 2๐œ‹๐œ†๐‘–๐‘ ๐‘œ 2๐œ‹๐‘Ÿ3 ๐›ผ
ln(
๐›ผฬ… =
ฬ…ฬ…ฬ…ฬ…
๐‘๐‘ข๐ท โˆ™๐œ†๐ป๐‘’
๐‘‘๐‘Ž
(mit ๐‘…๐‘’๐ท =
= 254.81
๐‘ข∞ โˆ™๐‘‘๐‘Ž
๐œˆ
๐‘Š
๐œ‡
๐œ‡๐‘Š
)
1⁄4
= 827.586)
๐‘šโˆ™๐พ
๏‚ท Daraus Wärmestrom ausrechnen:
๐‘žฬ‡ = ๐›ผฬ… โˆ™ ๐‘‚๐‘˜๐‘ข๐‘”๐‘’๐‘™ โˆ™ (๐‘‡๐‘ ,๐‘‚ − ๐‘‡∞ ) = ๐›ผฬ… โˆ™ ๐‘‘๐‘Ž2 โˆ™ ๐œ‹ โˆ™ (๐‘‡๐‘ ,๐‘‚ − ๐‘‡∞ ) = 92.22๐‘Š
๏‚ท Quellenterm durch Teilen durch inneres Volumen berechnen:
๐‘‘๐‘Ž3 โˆ™ ๐œ‹
๐‘€๐‘Š
′′′
๐‘žฬ‡ ๐‘„๐‘ข๐‘’๐‘™๐‘™๐‘’๐‘›
= ๐‘žฬ‡ ⁄๐‘‰ = ๐‘žฬ‡ ⁄(
) = 176.125 3
6
๐‘š
๏‚ท ๐‘‡๐‘ ,๐‘– mittels Wärmeleitwiderstand berechnen:
๐‘‡๐‘ ,๐‘– = ๐‘‡๐‘ ,๐‘‚ + ๐‘žฬ‡ โˆ™ ๐‘…๐‘™๐‘’๐‘–๐‘ก,๐‘ ๐‘โ„Ž = ๐‘‡๐‘ ,๐‘‚ + ๐‘žฬ‡ โˆ™
๏‚ท Ansatz für ๐‘‡(๐‘Ÿ) = −
′′′
๐‘žฬ‡ ๐‘„๐‘ข๐‘’๐‘™๐‘™๐‘’๐‘›
๏‚ท 2.RB: ๐‘‡(๐‘Ÿ๐‘– ) = ๐‘‡๐‘ ,๐‘– = −
2
๐‘Ÿ −
6๐œ†
′′′
๐‘žฬ‡ ๐‘„๐‘ข๐‘’๐‘™๐‘™๐‘’๐‘›
6๐œ†
๏‚ท ๐ถ2 ist auch gleich ๐‘‡(0) = −
๐ถ2 = ๐‘‡(0) = ๐‘‡๐‘š๐‘Ž๐‘ฅ = ๐‘‡๐‘ ,๐‘– +
๐ถ1
๐‘Ÿ
1 1
−
๐‘Ÿ๐‘– ๐‘Ÿ๐‘Ž
4๐œ‹๐œ†๐บ
+ ๐ถ2 mit ๐ถ1 = 0 (Symmetrie)
2
๐‘Ÿ๐‘– + ๐ถ2
′′′
๐‘žฬ‡ ๐‘„๐‘ข๐‘’๐‘™๐‘™๐‘’๐‘›
6๐œ†
′′′
๐‘žฬ‡ ๐‘„๐‘ข๐‘’๐‘™๐‘™๐‘’๐‘›
6๐œ†
= 1422.31°๐ถ
⇒ ๐ถ2 = ๐‘‡๐‘ ,๐‘– +
0
02 − + ๐ถ2 = ๐ถ2
๐‘Ÿ
๐‘Ÿ๐‘– 2 = 1789.24°๐ถ
′′′
๐‘žฬ‡ ๐‘„๐‘ข๐‘’๐‘™๐‘™๐‘’๐‘›
6๐œ†
๐‘Ÿ๐‘– 2
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