2. Die Verformungsenergie des Biegestabes

TECHNISCHE MECHANIK II.
Festigkeitslehre
Dr. Endre Gelencsér
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TECHNISCHE MECHANIK II. Festigkeitslehre
Dr. Endre Gelencsér
Veröffentlicht 2014
Copyright © 2014 Dr. Endre Gelencsér
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Inhaltsverzeichnis
I. Grundbegriffe für Festigkeitslehre .................................................................................................. 1
1. Grundbegriffe für Festigkeitslehre. Aufgabe der Festigkeitslehre, Stoffgesetz, elastische
Verformung, Definition für Festkörper und Spannung, Dimensionierung. Dualität der
Schubspannungen. Zusammenhang zwischen Materialkennwerte der Festigkeitslehre. .......... 4
1. Ziel und Aufgabe der Festigkeitslehre ......................................................................... 4
2. Festigkeitseigenschaften des Materials ........................................................................ 5
3. Die spezifische innere Kraft, als Spannung ................................................................. 6
4. Das einfache Hookesche Gesetz .................................................................................. 7
5. Die Maßänderung in Querrichtung .............................................................................. 8
6. Die Schubspannungen und deren Dualität ................................................................... 8
7. Zusammenhang zwischen elastischen Materialkennwerte ........................................ 10
2. Der allgemeine Spannungszustand: Spannungszustand in der elementaren Umgebung eines
Punktes. Spannungsvektor und Spannungstensor. .................................................................. 14
1. Der allgemeine Spannungszustand ............................................................................ 14
3. Hauptspannungen und Hauptrichtungen. Mohresche Darstellung des Span-nungszustandes. 22
1. Die Hauptspannungen und Hauptrichtungen ............................................................. 22
2. Die Mohrsche Darstellung des Spannungszustandes ................................................. 24
4. Allgemeiner Formänderungszustand: Verschiebungs-, und Formänderungs-zustand in der
elementaren Umgebung eines Punktes. Der Gradient des Ver-schiebungsfeldes (Ableitung des
Tensors). Rotationstensor. Formänderungstensor. .................................................................. 32
1. Die räumliche Formänderung .................................................................................... 32
5. Die Hauptdehnungsrichtungen und die Hauptdehnungen ................................................... 40
6. Zusammenhang zwischen Spannungszustand und Formänderungszustand. Das allgemeine
Hookesche Gesetz. .................................................................................................................. 45
7. Spezifische Verformungsenergie eines elastischen Körpers ............................................... 50
8. Einachsiger Zugversuch. Zug und Druck gerader prismatischer Stäbe. .............................. 54
1. Die Spannungsanalyse. .............................................................................................. 54
2. Analyse der Verformung ........................................................................................... 56
3. Die elastische Verformungsenergie ........................................................................... 57
9. Eigengewicht als Belastung und Stäbe gleicher Festigkeit. Die Formänderungsenergie. ... 61
1. Durch Eigengewicht belasteter Stab. ......................................................................... 61
2. Der Stab gleicher Festigkeit. ...................................................................................... 62
3. Die Formänderungsenergie ........................................................................................ 64
10. Die Scher- und die Biegebeanspruchung. Schubspannungen in einem Biegestab. ........... 67
1. Die Beanspruchung durch eine Querkraft .................................................................. 67
2. Die Biegebeanspruchung ........................................................................................... 68
3. Schubspannungen in einem Biegestab ....................................................................... 71
11. Durchbiegung, Spannungszustand und Verformungsenergie von Balken. Schiefe Biegung. 77
1. Durchbiegung von Balken ......................................................................................... 77
2. Die Verformungsenergie des Biegestabes ................................................................. 80
3. Reine, gerade Biegung prismatischer Stäbe .............................................................. 81
4. Schiefe Biegung ......................................................................................................... 82
12. Beanspruchung durch Torsion. Torsion dünnwandiger Rohre. Torsion für Stäbe mit Kreis undKreisringquerschnitt. Verformungsenergie für Torsion. ......................................................... 85
1. Torsion für Stäbe mit Kreis und- Kreisringquerschnitt ............................................. 85
2. Verformungsenergie für elastische Torsion. .............................................................. 89
3. Torsion dünnwandiger Rohre .................................................................................... 90
13. Schlanke Druckstäbe. Elastische und plastische Knickung. .............................................. 96
14. Membrantheorie dünnwandiger Rotationsschalen. Dimensionierung, Festigkeitsnachweis von
Behältern. .............................................................................................................................. 104
15. Festigkeitsberechnung ..................................................................................................... 109
16. Die Mohrsche Spannungstheorie. ................................................................................... 111
17. Die Spannungstheorie der Verzerrungsarbeit. ................................................................. 116
18. Arbeits- und Energiesätze der Festigkeitslehre. Der Satz von Betti- und Castigliano. ... 123
1. Die Arbeit äußeren und inneren Kräfte .................................................................... 123
2. Der Satz von und der Vertauschungssatz von Maxwell .......................................... 126
iii
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Festigkeitslehre
3. Der Satz von Castigliano ......................................................................................... 129
19. Ermittlung die Verformungen der Balkenträger durch die Differential-gleichung der elastischen
Linie, und aus der Gleichungen der Biegelinie. .................................................................... 144
1. Die Differentialgleichung der elastischen Linie ...................................................... 144
2. Gleichungen der Biegelinie ..................................................................................... 146
20. Analyse statisch unbestimmter Konstruktionen .............................................................. 157
21. Fragen zur Vorbereitung. Definitionen (minimale Anforderungen). Formelsammlung. 163
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Teil I. Grundbegriffe für
Festigkeitslehre
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Inhaltsverzeichnis
1. Grundbegriffe für Festigkeitslehre. Aufgabe der Festigkeitslehre, Stoffgesetz, elastische Verformung,
Definition für Festkörper und Spannung, Dimensionierung. Dualität der Schubspannungen.
Zusammenhang zwischen Materialkennwerte der Festigkeitslehre. ................................................... 4
1. Ziel und Aufgabe der Festigkeitslehre .................................................................................. 4
2. Festigkeitseigenschaften des Materials ................................................................................. 5
3. Die spezifische innere Kraft, als Spannung ........................................................................... 6
4. Das einfache Hookesche Gesetz ........................................................................................... 7
5. Die Maßänderung in Querrichtung ....................................................................................... 8
6. Die Schubspannungen und deren Dualität ............................................................................ 8
7. Zusammenhang zwischen elastischen Materialkennwerte .................................................. 10
2. Der allgemeine Spannungszustand: Spannungszustand in der elementaren Umgebung eines Punktes.
Spannungsvektor und Spannungstensor. .......................................................................................... 14
1. Der allgemeine Spannungszustand ...................................................................................... 14
3. Hauptspannungen und Hauptrichtungen. Mohresche Darstellung des Span-nungszustandes. ..... 22
1. Die Hauptspannungen und Hauptrichtungen ...................................................................... 22
2. Die Mohrsche Darstellung des Spannungszustandes .......................................................... 24
4. Allgemeiner Formänderungszustand: Verschiebungs-, und Formänderungs-zustand in der elementaren
Umgebung eines Punktes. Der Gradient des Ver-schiebungsfeldes (Ableitung des Tensors).
Rotationstensor. Formänderungstensor. ........................................................................................... 32
1. Die räumliche Formänderung .............................................................................................. 32
5. Die Hauptdehnungsrichtungen und die Hauptdehnungen ............................................................ 40
6. Zusammenhang zwischen Spannungszustand und Formänderungszustand. Das allgemeine Hookesche
Gesetz. .............................................................................................................................................. 45
7. Spezifische Verformungsenergie eines elastischen Körpers ......................................................... 50
8. Einachsiger Zugversuch. Zug und Druck gerader prismatischer Stäbe. ....................................... 54
1. Die Spannungsanalyse. ....................................................................................................... 54
2. Analyse der Verformung ..................................................................................................... 56
3. Die elastische Verformungsenergie .................................................................................... 57
9. Eigengewicht als Belastung und Stäbe gleicher Festigkeit. Die Formänderungsenergie. ............ 61
1. Durch Eigengewicht belasteter Stab. .................................................................................. 61
2. Der Stab gleicher Festigkeit. ............................................................................................... 62
3. Die Formänderungsenergie ................................................................................................. 64
10. Die Scher- und die Biegebeanspruchung. Schubspannungen in einem Biegestab. ..................... 67
1. Die Beanspruchung durch eine Querkraft ........................................................................... 67
2. Die Biegebeanspruchung .................................................................................................... 68
3. Schubspannungen in einem Biegestab ................................................................................ 71
11. Durchbiegung, Spannungszustand und Verformungsenergie von Balken. Schiefe Biegung. ..... 77
1. Durchbiegung von Balken ................................................................................................... 77
2. Die Verformungsenergie des Biegestabes ........................................................................... 80
3. Reine, gerade Biegung prismatischer Stäbe ........................................................................ 81
4. Schiefe Biegung .................................................................................................................. 82
12. Beanspruchung durch Torsion. Torsion dünnwandiger Rohre. Torsion für Stäbe mit Kreis undKreisringquerschnitt. Verformungsenergie für Torsion. ................................................................... 85
1. Torsion für Stäbe mit Kreis und- Kreisringquerschnitt ....................................................... 85
2. Verformungsenergie für elastische Torsion. ....................................................................... 89
3. Torsion dünnwandiger Rohre .............................................................................................. 90
13. Schlanke Druckstäbe. Elastische und plastische Knickung. ....................................................... 96
14. Membrantheorie dünnwandiger Rotationsschalen. Dimensionierung, Festigkeitsnachweis von
Behältern. ........................................................................................................................................ 104
15. Festigkeitsberechnung .............................................................................................................. 109
16. Die Mohrsche Spannungstheorie. ............................................................................................. 111
17. Die Spannungstheorie der Verzerrungsarbeit. .......................................................................... 116
18. Arbeits- und Energiesätze der Festigkeitslehre. Der Satz von Betti- und Castigliano. ............. 123
1. Die Arbeit äußeren und inneren Kräfte ............................................................................. 123
2. Der Satz von und der Vertauschungssatz von Maxwell .................................................... 126
3. Der Satz von Castigliano ................................................................................................... 129
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Grundbegriffe für Festigkeitslehre
19. Ermittlung die Verformungen der Balkenträger durch die Differential-gleichung der elastischen Linie,
und aus der Gleichungen der Biegelinie. ........................................................................................ 144
1. Die Differentialgleichung der elastischen Linie ................................................................ 144
2. Gleichungen der Biegelinie ............................................................................................... 146
20. Analyse statisch unbestimmter Konstruktionen ........................................................................ 157
21. Fragen zur Vorbereitung. Definitionen (minimale Anforderungen). Formelsammlung. .......... 163
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Kapitel 1. Grundbegriffe für
Festigkeitslehre. Aufgabe der
Festigkeitslehre, Stoffgesetz,
elastische Verformung, Definition für
Festkörper und Spannung,
Dimensionierung. Dualität der
Schubspannungen. Zusammenhang
zwischen Materialkennwerte der
Festigkeitslehre.
1. Ziel und Aufgabe der Festigkeitslehre
Die Festigkeitslehre ist ein Wissenschaftsbereich der Physik, näher betrachtet der Mechanik, in der zur
Dimensionierung von Konstruktionen und Maschinen notwendige Zusammenhänge erforscht werden.
Die Ermittlung von geometrischen Daten durch Außenwirkungen oder durch eingeprägte Kräfte belasteter
Konstruktionsbauteile durch Festigkeitsberechnung wird
Dimensionierung
bezeichnet. Ziel der
Dimensionierung ist die Spannung oder die Verformung zwischen vorher bestimmten grenzwerten zu halten.
Die Aufgabe der Festigkeitslehre bildet die Erarbeitung zur Dimensionierung notwendigen Verfahren und
Zusammenhänge.
In der Statik werden die Objekte der Mechanik (Massenpunkt, starrer Körper, Konstruktion) in Ruhelage
analysiert, in der die Kräfte und Momente ein Gleichgewichtssystem bilden, dementsprechend die stehen unter
statischer Belastung . Die analysierten Objekte wurden als absolut steif behandelt, und wird vorausgesetzt, dass
die ursprüngliche Geometrie des starren Körpers bei beliebigen Belastungen unverändert bleibt. In der
Festigkeitslehre werden die Körper auch in Ruhelage analysiert, aber eine elastische Verformung ist erlaubt.
Infolge statischer Belastung durch eingeprägte Kräfte wird der Festkörper elastisch Deformiert, aber nach der
Entlastung erhält der Festkörper seine vorherige Geometrie, es werden keine bleibenden Verformungen
hervorgerufen.
Für die Materialeigenschaften der Bauteile sollen einige weitere Voraussetzungen, Begrenzungen betroffen
werden, da die Festigkeitslehre als Wissenschaftsbereich heutzutage ein viel breiteres Spektrum an Materialen
enthält. Wie vorausgesetzt, hier werden nur die Werkstoffe behandelt, die die folgenden Eigenschaften
aufweisen:
• kontinuum (kontinuierliche Massenverteilung),
• homogen (gleiche physikalische Eigenschaften für jeden Punkt),
• isotropes (gleiches Verhalten in beliebigen Richtungen).
Die Bauteile sind in der Ingenieurpraxis meistens sogenannte prismatische Stäbe. Ein Stab wird
als prismatischer Stab genannt, wenn die Länge des Stabes viel größer als die Abmessung des Querschnittes
beträgt. Der Stab ist erst dann prismatisch, wenn ein beliebiger Querschnitt in der Richtung des
Normalenvektors des Schwerpunktes (orthogonaler Einheitsvektor) verschoben wird, dass heißt die
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Grundbegriffe für Festigkeitslehre.
Aufgabe der Festigkeitslehre,
Stoffgesetz, elastische Verformung,
Definition für Festkörper und
Spannung, Dimensionierung.
Dualität der Schubspannungen.
Zusammenhang zwischen
Materialkennwerte der
Festigkeitslehre.
Querschnitte zueinander parallel, ohne Verdrehung gerichtet sind. Die Line durch die Schwerpunkte bildet die
Stabachse. Die Stabachse kann gerade oder gekrümmt sein, der Querschnitt Stabes kann konstant oder
veränderlich gestaltet werden.
In der elementaren Festigkeitslehre werden prismatischer Stäbe gerader Stabachse, für reiner Zug, Druck,
Querkraft, Biegung, und Torsion behandelt.
2. Festigkeitseigenschaften des Materials
Solange ein starrer Körper - infolge beliebiger Belastung - nicht verformt werden kann, dagegen ein Festkörper
durch die eingeprägten Kräfte wird elastisch deformiert. Die Art, der Betrag der Belastung, und infolge deren
Wirkung hervorgerufene Verformung sowie das Gesetzt zwischen beider Kennwerte ist nicht unabhängig von
den Materialeigenschaften des Festkörpers. Die Festigkeitseigenschaften des Materials müssen
dementsprechend bestimmt werden. Sie können am einfachsten mittels Zugproben ermittelt werden.
Zu einer Zugprobe soll aus dem Werkstoffmaterial vorher ein Probestab normierter Abmessungen angefertigt
werden. Dieser Probestab wird mit einer Festigkeitsprüfmaschine bis zum Bruch auf Zug belastet. Bei einem
Zugversuch werden die Werte der Zugkraft und der Dehnung des Probestabes von der Festigkeitsprüfmaschine
genau registriert.
Abb. 1.1 Probestab und Zugdiagramm
Die erste Strecke des Zugdiagramms zwischen den Punkten „0” und „a” bildet einen Geraden, dementsprechend
wird es proportionales, oder elastisches Bereich genannt.
Wenn die Zugkraft F nicht höher als Fa beträt, so wird die Probestab elastisch verformt, und nach der
Entlastung erhält seine ursprüngliche Abmessung.
Im elastischen Bereich wird es keine bleibende Verformung verursacht. Diese Materialeigenschaft wird als
Elastizität bezeichnet.
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Grundbegriffe für Festigkeitslehre.
Aufgabe der Festigkeitslehre,
Stoffgesetz, elastische Verformung,
Definition für Festkörper und
Spannung, Dimensionierung.
Dualität der Schubspannungen.
Zusammenhang zwischen
Materialkennwerte der
Festigkeitslehre.
(1.1)
Die spezifische Dehnung erhält man, wenn die elastische Verformung ( Δl ) mit der Ausgangslänge des
Probestabes (l0 ) vergleicht:
(1.2)
3. Die spezifische innere Kraft, als Spannung
Sei ein Bauteil durch externe Kräfte belastet, so werden dadurch im Werkstoff des Bauteiles innere Kräfte
hervorgerufen. Soll der Bauteil die Probestab eines Zugversuches betrachtet werden, der durch Zugkraft belastet
wird. Die Wirkung dieser Zugkraft erregt in einem, auf die Längsachse orthogonalem Querschnitt des
Probestabes ein gleichmäßig verteilte Kraftsystem, deren Intensität σ beträgt.
Nehmen wir an, dass der belastete Probestab entlang diesem Querschnitt verteilt wird. So muss im Querschnitt
auf den untersuchten Teil des Probestabes das gleichmäßig verteilte Kraftsystem als externe Belastung
aufgetragen werden. Wirkung des
Abb. 1.2 Interpretation der Zugspannung
Wenn sich ein Körper in Ruhelage befindet, dann bilden die Kräfte und Momente der Belastung ein
Gleichgewichtssystem. Daraus folgt, dass diese Feststellung alle beliebige Teile des Körpers oder Systems, auch
für das Probestab-Teil gültig ist. Die Gleichgewichtsgleichung:
(1.3)
Laut Erfahrungen ist die Intensität das verteilte Kraftsystem an allen Punkten des Querschnittes Konstant, so
kann σ vor das Integralzeichen geschrieben werden. Anderseits sind Kräfte nach der z Koordinate gerichtet,
dadurch kann statt der Vektorgleichung einfach eine Skalargleichung formuliert werden:
(1.4)
daraus die Intensität der inneren Kräfte:
(1.5)
Die Intensität der inneren, entlang des Querschnittes verteilten Kräfte ist die Spannung.
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Grundbegriffe für Festigkeitslehre.
Aufgabe der Festigkeitslehre,
Stoffgesetz, elastische Verformung,
Definition für Festkörper und
Spannung, Dimensionierung.
Dualität der Schubspannungen.
Zusammenhang zwischen
Materialkennwerte der
Festigkeitslehre.
4. Das einfache Hookesche Gesetz
Da der Begriff Spannung definiert und eingeführt wurde, soll erneut das Zugdiagramm (siehe Abb.1.1)
analysiert werden. Die erste Strecke des Zugdiagramms ist linear, deren Steigung (Richtungstangente) konstant
ebenso ist:
(1.6)
Wenn auf die senkrechte Koordinatenachse des Diagramms statt Zugkraft, die damit proportionale
Spannung, auf die waagerechte Koordinatenachse des Diagramms statt Dehnung, die damit proportionale
Größe, die spezifische Dehnung aufgetragen werden, dann bleibt die Charakter des Diagramms theoretisch
unverändert, da alle beide Variablen mit einem Konstanten dividiert wurden:
(1.7)
Die oben interpretierte Konstante ist der Elastizitätsmodul und wird mit der Buschstabe E bezeichnet, deren
Maßeinheit N/m2. Eindeutige Materialkonstante, deren Wert für einen bestimmten Werkstoff konstant beträgt.
Der Wert des Elastizitätsmoduls ist auch bei Raumtemperatur leicht Temperaturabhängig. Damit die (1.7.)
Gleichung in endgültiger Form:
(1.8)
das Grundgesetz der Festigkeitslehre , das einfache Hookeschen Gesetz.
Das folgende Diagramm erhält man als der Zusammenhang zwischen Spannung und spezifische Dehnung.
Abb. 1.3 Zugdiagramm
wo
σ P – die Proportionalitätsgrenze,
σ F – die Steckgrenze (in der Werkstoffkunde R e),
σ B – die Zugfestigkeit (in der Werkstoffkunde R m).
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Grundbegriffe für Festigkeitslehre.
Aufgabe der Festigkeitslehre,
Stoffgesetz, elastische Verformung,
Definition für Festkörper und
Spannung, Dimensionierung.
Dualität der Schubspannungen.
Zusammenhang zwischen
Materialkennwerte der
Festigkeitslehre.
Nach Vereinbarung wurde es festgelegt, das die Elastizitätsgrenze ist die Spannung, die 0,02 % bleibende
Dehnung verursacht ( σ 0,02 ). Zur Proportionalitätsgrenze bedeutet die Spannung, zu der die 0,05 % bleibende
Dehnung gehört ( σ 0,05 ). Die einheitliche Streckgrenze im belasteten Zustand bedeutet eine bleibende
Dehnung 0,2 % ( σ 0,2 oder R p0,2).
5. Die Maßänderung in Querrichtung
Der Zugstab wird in der Zugrichtung länger, und gleichzeitig in Querrichtung kürzer.
Die Zugversuche mit Probestäben haben bewiesen, dass die spezifischen Dehnungen in Längsrichtung und die
spezifischen Dehnungen in Querrichtung miteinander proportional sind, deren Wert konstant ist:
(1.9)
Die Konstante ν wurde nach dem französischen Physiker Siméon Denis Poisson (1781–1840) ernannt. Der
Querkontraktionsfaktor ist eindeutige Materialkonstante, deren Wert für einen bestimmten Werkstoff konstant
beträgt. In der Praxis werden dafür dimensionslose Werte zwischen 0,25 und 0,4 eingesetzt.
Die spezifischen Dehnungen in Längsrichtung und die spezifischen Dehnungen in Querrichtung haben
entgegensetzten Vorzeichen, daraus folgt:
(1.10)
Es ist ganz leicht nachzuweisen, dass für den Wert des Querkontraktionsfaktors ein oberer Grenzwert, ein
Maximum zu bestimmen ist. Es soll ein Volumenelement deren Kantenlänge eins betragen auf Zug belastet
werden. Die Kanten des Volumenelementes werden in Zugrichtung länger, und gleichzeitig in den zwei, darauf
orthogonalen Querrichtungen kürzer. Für die Volumenänderung kann geschrieben werden, wie folgt:
(1.11)
Es wurde die Annäherung getroffen, dass die spezifischen Dehnungen klein sind, dementsprechend deren
Produkt vernachlässigt werden kann. Da der Volumenelement auf Zug belastet wurde, dadurch wird ein
Volumenänderung ΔV > 0 verursacht, aus der Gleichung 1.11. auch e (1-2 ν ) > 0 folgt, dementsprechend ist für
den Querkontraktionsfaktor nur ν < 0,5 möglich.
6. Die Schubspannungen und deren Dualität
Da die Spannung Wirkungslinie und Richtungssinn besitzt, deswegen soll als Vektor behandelt werden. Der
Spannungsvektor schließt meistens einen Winkel mit der Ebene des untersuchten Querschnittes ein. Die
Normalkomponente des Spannungsvektors ist parallel zur Richtung des Normalvektors des Querschnittes
gerichtet, und wird als σ
bezeichnet. Die Schubkomponente des Spannungsvektors liegt in der
Querschnittsfläche – orthogonal zu σ - und wird als Schubspannung, τ bezeichnet.
(1.12)
wo V die Querkraft, die sich in der Ebene des Querschnittes A befindet:
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Grundbegriffe für Festigkeitslehre.
Aufgabe der Festigkeitslehre,
Stoffgesetz, elastische Verformung,
Definition für Festkörper und
Spannung, Dimensionierung.
Dualität der Schubspannungen.
Zusammenhang zwischen
Materialkennwerte der
Festigkeitslehre.
Abb. 1.4 Die Querkraft und ihre Wirkung
Der Resultierende in der Querschnitt A verteilte Schubspannungen und die Querkraft ein Gleichgewichtsystem
bilden:
(1.13)
Laut Erfahrungen ist die Intensität der verteilten Schubspannung τ an allen punkten des Querschnittes Konstant,
deswegen kann τ vor das Integralzeichen geschrieben werden, und so erhält man die Gleichung 1.12. erneut.
Die Normanspannung σ verursacht die Dehnung, von der Schubspannung τ wird eine Winkelveränderung,
Gleitung hervorgerufen. Das eingespannte Volumenelement soll an einer Fläche mit der Schubspannung τ
belastet, Abb. 1.5.
Abb. 1.5 Von der Schubkraft verursachte Winkelveränderung
Innerhalb des elastischen Bereiches - laut Erfahrungen - gibt es für die Schubspannung und die
Winkelveränderung ( γ ) ein linearer Zusammenhang, es kann durch das Hookesche Gesetz für Schub
ausgedrückt werden:
(1.14)
wo G als so genannter Schubmodul betrachtet werden kann, deren Maßeinheit N/m2.
G ist eine Materialkonstante, deren Wert für einen bestimmten Werkstoff konstant beträgt.
Nehme man aus dem, mit Querkraft belasteten Querschnitt A ein Volumenelement mit den Kantenlängen dxdydz
aus. Die Belastung des Würfels soll an der, mit dem Querschnitt parallelen Fläche τ betragen, die darauf
orthogonal stehende Fläche soll mit der Schubspannung τ 1 belastet werden, siehe Abb. 1.6.:
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Grundbegriffe für Festigkeitslehre.
Aufgabe der Festigkeitslehre,
Stoffgesetz, elastische Verformung,
Definition für Festkörper und
Spannung, Dimensionierung.
Dualität der Schubspannungen.
Zusammenhang zwischen
Materialkennwerte der
Festigkeitslehre.
Abb. 1.6 Die Dualität der Schubspannungen
Um die Schubspannungsdifferenzen an den gegenüber liegenden Flächen zu eliminieren, soll eine MomentGleichgewichtsgleichung in Bezug des Punktes „A“ formuliert werden:
(1.15)
daraus τ = τ 1 folgt. Aufgrund des Prinzips der Dualität von Schubspannungen steht fest: wenn eine
beliebige Fläche des Volumenelementes mit einer Schubspannung τ belastet wird, dadurch wird in der, darauf
orthogonal stehender Fläche eine Gleichgröße Schubspannung τ hervorgerufen.
7. Zusammenhang zwischen elastischen
Materialkennwerte
Die Materialkennwerte in den einfachen, elastischen Grundgesetzen des Werkstoffes (1.8.; 1,10. und 1.14.), der
Elastizitätsmodul (E), der Schubmodul (G) und der Querkontraktionsfaktor ( ν ) sind nicht unabhängig
voneinander. Es soll der Zusammenhang zwischen den elastischen Materialkennwerten erklärt werden
Es soll ein Volumenelement (Würfel) mit der Kantenlänge l laut der Abb. 1.7 beansprucht werden. An zwei
gegenüber liegenden Flächen sind mit der Normalspannung σ auf Zug, an den zwei anderen, gegenüber liegende
Fläche sind mit der Gleichgrößen Normalspannung σ auf Druck belastet.
Abb. 1.7 Reine Schub durch gleichzeitigen Zug und Druck
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Grundbegriffe für Festigkeitslehre.
Aufgabe der Festigkeitslehre,
Stoffgesetz, elastische Verformung,
Definition für Festkörper und
Spannung, Dimensionierung.
Dualität der Schubspannungen.
Zusammenhang zwischen
Materialkennwerte der
Festigkeitslehre.
Das Volumenelement soll mit den Ebenen von 45° aufgeteilt werden.
Die Fläche A1D1 wird mit reinen Schub belastet, und die Resultierenden an den Seitenflächen:
(1.16)
Aufgrund des Krafteckes folgt:
(1.17)
Die Querkraft V wird an der Fläche A 0 verteilt:
(1.18)
damit beträgt die Schubspannung an der, auf die Gerade A1-D1 orthogonal stehenden Fläche:
(1.19)
Da das Problem mit Absicht speziell formuliert wurde, der Betrag der Schubspannung und der Betrag der
Normalspannung gleich sind.
Zunächst soll die elastische Verformung untersucht werden.
Abb. 1.8 Verformungen
Infolge der Wirkung der Normalspannung σ1 wird die Kante AD verlängert, die in der Querrichtung
positionierte Kante AB wird geschrumpft, und die Wirkung der Normalspannung σ 2 verursacht eine kürzere
Kante AB, die Kante AD wird aber länger:
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Grundbegriffe für Festigkeitslehre.
Aufgabe der Festigkeitslehre,
Stoffgesetz, elastische Verformung,
Definition für Festkörper und
Spannung, Dimensionierung.
Dualität der Schubspannungen.
Zusammenhang zwischen
Materialkennwerte der
Festigkeitslehre.
(1.20)
(1.21)
Mit σ = σ 1 = - σ 2 die vorherigen Gleichungen, wie folgt:
(1.22)
(1.23)
Da die Absolutwerte beider Dehnungen gleich sind, können sie ohne Indexe geschrieben werden:
|Δl1|=|Δl2|=Δl:
(1.24)
Aus dem rechtwinkligen Dreieck
:
(1.25)
Mit der trigonometrischen Zusammenhang für die Tangente zweier Winkeln, und mit der Annäherung für
kleinen γ Winkeln auch tg ( γ / 2) ≈ γ/ 2 gilt, so kann einfach durch mathematische Denkweise geschrieben
werden:
(1.26)
Durch Vergleich der obigen Gleichungen:
(1.27)
Es sollen die Gleichungen 1.19. die 1.14. und 1.14. in den Zusammenhang 1.27. eingetragen, so erhält man:
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Grundbegriffe für Festigkeitslehre.
Aufgabe der Festigkeitslehre,
Stoffgesetz, elastische Verformung,
Definition für Festkörper und
Spannung, Dimensionierung.
Dualität der Schubspannungen.
Zusammenhang zwischen
Materialkennwerte der
Festigkeitslehre.
(1.28)
und die Gleichung kann mit der Spannung σ Vereinfacht werden, so haben wir den Zusammenhang zwischen
den elastischen Materialkennwerten erhalten:
(1.29)
In der Praxis kann der Querkontraktionsfaktor durch Messung sehr kompliziert bestimmt werden, deswegen
wird dessen Wert anhand von Elastizitätsmodul und Schubmodul aus der Gleichung 1.29. berechnet.
BEISPIEL 1.1
Die Elastizitätsmodul für Messing beträgt E = 116 GPa, der Gleitmodul G = 42 GPa. Es ist die
Querkontraktionszahl zu bestimmen!
Der Zusammenhang zwischen Materialkennwerte für elastische Werkstoffe beschreibt die Gleichung 1.29:
daraus die Querkontraktionszahl für Messing:
AUFGABE 1.2
Die Elastizitätsmodul für Glas beträgt E = 72 GPa, die Querkontraktionszahl ν = 0,23. Es ist der Gleitmodul zu
bestimmen!
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Kapitel 2. Der allgemeine
Spannungszustand:
Spannungszustand in der
elementaren Umgebung eines
Punktes. Spannungsvektor und
Spannungstensor.
1. Der allgemeine Spannungszustand
Durch die äußeren Kräfte werden in einem belasteten, beliebig gestalteten Bauteil im Werkstoff des Bauteiles
innere Kräftesysteme, Spannungen hervorgerufen. Der Konstrukteur muss diese Kennwerte unbedingt wissen,
da die Hauptursachen sind, die zur Zerstörung (zum Beispiel Bruch) des Bauteiles grundsätzlich beitragen. In
einem Dimensionierungsprozess werden die geometrischen Daten des Bauteiles ermittelt. Hier bedeutet eine
wesentliche Anforderung die Tatsache, dass die maximale Spannung im Werkstoff kleiner als die
Elastizitätsgrenze, oder in einigen Ausnahmefällen kleiner als die Streckgrenze betragen soll. Die Bauteile
werden meistens durch die Spannungen Zerstört.
Ein Spannungszustand kann erst dann als bekannt geklärt werden, wenn in einem beliebigen Punkt des
untersuchten Bauteiles an allen Richtungen gehörenden Spannungen vorhanden sind, selbstverständlich für
beliebigen Belastungsfällen. Diese Anforderung ist mit der jetzigen Rechnertechnik und Informatik leicht zu
erfüllen. In der Praxis eingesetzte Konstruktionsprogramme enthalten ein so genanntes Segment oder
Hilfsprogramm zur FEM (Finiten Elementen Methode) Analyse, damit zur Geometrie des entworfenen
Bauteiles ein räumlicher Netz mit einer wirklich guter Annäherung angepasst wird.
Es müssen die notwendigen Materialkennwerte und dann auch die Belastungen – Gleichgewichtskraftsysteme des Bauteiles angegeben werden, so werden vom Programm in allen Knotenpunkten des Netzes die
Deformationen und Spannungen errechnet. Alle Ergebnisse werden dann dem Konstrukteur anschaulich
dargestellt, um den Spannungszustand des Bauteiles analysieren zu können.
Die Zeichnungen, Entwürfe der Konstruktion können mit dem Programm leicht verändert werden, an den
Stellen wo die Spannungen zu hoch sind, soll der Bauteil verstärkt werden, wo die Spannungen zu klein sind,
dort können die geometrischen Daten kleiner sein, dadurch kann der Bauteil leichter werden.
Zum erfolgreichen Einsatz der FEM Programme müssen vom Ingenieur die allgemeinen Zusammenhänge - der
allgemeine Spannungszustand und der allgemeine Verformungszustand - darauf die Algorithmen des
Programms basiert sind, unbedingt beherrscht werden.
Durch die allgemein interpretierten Belastungen werden in einem beliebigen Punkt P des Bauteiles (entlang der
Schnittfläche), an der Ebene (Flächenelement), mit dem durch den Punkt P geführte Normalvektor n die
Spannung q n hervorgerufen:
Abb. 2.1 Spannungen in der endlichen Umgebung des Punktes P
Interpretation des Spannungsvektors:
14
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Der allgemeine Spannungszustand:
Spannungszustand in der
elementaren Umgebung eines
Punktes. Spannungsvektor und
Spannungstensor.
(2.1)
wo Δ B die Resultierende des verteilten Kraftsystems der Fläche ΔA bedeutet.
Wenn die Umgebung des Punktes P unendlich klein gewählt wird, so erhält man die Abb. 2.1 in modifizierter
Form.
Abb. 2.2 Spannungen in der unmittelbaren Umgebung des Punktes P
Mit den Symbolen der Abb. 2.2 erhält man q n, zur Flächenelement mit dem Normalvektor n gehörende
spezifische innere Kraft, den Spannungsvektor. In allgemeinen Belastungsfällen schließt der Spannungsvektor
q n mit dem Normalvektor den Winkel υ ein:
Abb. 2.3 Die Komponenten des Spannungsvektors
Die Normalkomponente und darauf orthogonal positionierte Koordinate des allgemein gerichteten
Spannungsvektors:
(2.2)
(2.3)
Bei gleichgrößer äußere Belastung, zur auf den Einheitsvektor n orthogonal positionierte Fläche mit dem
Normalvektor m der Spannungsvektor q m gehört, aber q n und q m sind voneinander nicht unabhängig.
Die zum Punkt P gehörenden alle Spannungsvektoren bilden den Spannungszustand des Punktes P. Der
Spannungszustand ist eine Vektor – Vektor Funktion mit zwei Variablen:
15
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Der allgemeine Spannungszustand:
Spannungszustand in der
elementaren Umgebung eines
Punktes. Spannungsvektor und
Spannungstensor.
Abb. 2.4 Die zum Punkt P gehörenden Spannungsvektoren
(2.4)
Aufgrund des Reziprozitätssatzes von Chauchy:
(2.5)
dass heißt in vektorieller Form:
(2.6)
Durch das Satz liegt fest: wenn zu einem Einheitsvektor n der Spannungsvektor q n gehört, und durch den, auf
n orthogonal gerichtete m der Spannungsvektor q n bestimmt wird, dann die rechtwinkligen Projektionen des
aktuellen Spannungsvektors mit den anderen, nicht eigenen Einheitsvektoren den Betrag und das Vorzeichen
betrachtet gleich sind. Das Theorem wird hier nicht nachgewiesen, da es grundsätzlich die Dualität der
Schubspannungen bedeutet, was bereits vorher bewiesen wurde.
Die Skalarprojektion des Spannungsvektors q
n
in Richtung des Normalvektors n beträgt σ n:
(2.7)
Die Skalarprojektion des Spannungsvektors q
n
in Richtung des Normalvektors m beträgt τ n:
(2.8)
Stellen wir uns vor in der Umgebung des Punktes P einen Volumenelement mit unendlich kleiner Kantenlänge,
deren Kanten zur Koordinatenachsen x-y-z des räumlichen Koordinatensystems parallel gerichtet sind:
Abb. 2.5 Das zum Punkt P gehörende Volumenelement
16
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Der allgemeine Spannungszustand:
Spannungszustand in der
elementaren Umgebung eines
Punktes. Spannungsvektor und
Spannungstensor.
Zu den Flächenelementen gehörenden Spannungsvektoren:
(2.9)
(2.10)
(2.11)
Nach einsetzen des Reziprozitätssatzes erhält man q
der Schubspannungen erhalten.
xy
= q yx, dass heißt τ
xy
= τ yx, es wurde wieder die Dualität
Zur eindeutigen Bestimmung des Spannungszustandes (zur Beschreibung) im Punkt P im x-y-z
Koordinatensystem sind sechs Skalargrößen notwendig : σx, σy, σz, τxy, τyz, τzx .
Abb. 2.6 Spannungen an den Seitenflächen des Volumenelements
Es soll überprüft werden, ob die Möglichkeit zur Bestimmung aus einem, in x-y-z Koordinatensystem
definierten Spannungszustand einen, in einer beliebigen Richtung n gerichteten Spannungsvektor q n besteht?
Es sei der bekannte, allgemein gerichtete Einheitsvektor n :
Abb. 2.7 Einheitsvektor in allgemeiner Lage
17
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Der allgemeine Spannungszustand:
Spannungszustand in der
elementaren Umgebung eines
Punktes. Spannungsvektor und
Spannungstensor.
(2.12)
Zur Flächenelement mit Normalvektor n gehörende Spannungsvektor q n:
(2.13)
Laut des Reziprozitätssatzes (2.5.):
(2.14)
(2.15)
(2.16)
Die drei oben formulierten Gleichungen sollen in die Gleichung 2.13. eingetragen werden:
so
(2.17)
wo
der Spannungstensor im Punkt P ist. Der Spannungszustand kann durch die Matrix des
Spannungstensors in einem, zum Beispiel im x-y-z Koordinatensystem definiert werden:
(2.18)
Aus dem Spannungstensor kann dann der Spannungsvektor mit der Gleichung 2.17. zu beliebigen Richtungen
ermittelt werden.
Die Komponente des Spannungsvektors in Richtung des Normalvektors n beträgt:
(2.19)
Die Schubspannung in der Ebene des Flächenelementes kann am einfachsten aus dem Satz von Pythagoras
bestimmt werden:
18
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Der allgemeine Spannungszustand:
Spannungszustand in der
elementaren Umgebung eines
Punktes. Spannungsvektor und
Spannungstensor.
(2.20)
wo aus der Gleichung 2.13. bereits zur Verfügung steht
(2.21)
BEISPIEL 2.1
Der Spannungszustand in einem Punkt P eines Maschinenbauteiles ist im x-y-z Koordinatensystem bekannt:
Es ist die durch den Einheitsvektor n bestimmte Normalspannung σn und die darauf orthogonale Schubspannung
τn zu ermitteln, wenn
Zu den Einheitsvektor n gehörende Spannungsvektor aus der Gleichung 2.17.:
Die auf der Ebene n orthogonale Komponente des Spannungsvektors (2.19.):
Aufgrund der Gleichung 2.21.:
Dann die Schubspannung in der Ebene des Volumenelementes aus dem Satz von Pythagoras (2.20.):
BEISPIEL 2.2
Es ist für einen reinen Zug beanspruchten Stab (Abb. 2.6) durch den Einheitsvektor n bestimmte
Normalspannung σn und die darauf orthogonale Schubspannung τ n zu ermitteln!
19
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Der allgemeine Spannungszustand:
Spannungszustand in der
elementaren Umgebung eines
Punktes. Spannungsvektor und
Spannungstensor.
Abb. 2.6
Für reinen Zug die Normalspannung in z Richtung:
Die Tensormatrix für den Spannungszustand im Punkt P:
Der Normalvektor n und der darauf orthogonale Einheitsvektor m :
und
Zu den Einheitsvektor n gehörender Spannungsvektor aus der Gleichung 2.17.:
Die auf der Ebene n orthogonale Komponente des Spannungsvektors (2.19.):
Die Schubspannung τn kann mit dem Einheitsvektor m ermittelt werden:
AUFGABE 2.3
20
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Der allgemeine Spannungszustand:
Spannungszustand in der
elementaren Umgebung eines
Punktes. Spannungsvektor und
Spannungstensor.
Der Spannungszustand in einem Punkt P eines Maschinenbauteiles ist im x-y-z Koordinatensystem bekannt. Die
Koordinatenachsen bedeuten gleichzeitig die Hauptrichtungen.
Es ist die das Koordinatensystem mit 45° um die Hauptachse x zu drehen, und die Tensormatrix für den
Spannungszustand im gedrehten Bezugssystem zu bestimmen!
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Kapitel 3. Hauptspannungen und
Hauptrichtungen. Mohresche
Darstellung des Spannungszustandes.
1. Die Hauptspannungen und Hauptrichtungen
In einem allgemeinen Fall schließt der, zum Flächenelement mit dem Normalvektor n gehörende
Spannungsvektor q n einen Winkel υ ein. Es taucht die Frage auf: gibt es irgendein Flächenelement in der
Umgebung des Punktes P, deren Winkel 0 beträgt? Für diesen speziellen Flächenelement ergibt sich τn = 0, so:
(3.1)
Die Gleichung 2.17. ist auch jetzt gültig:
(3.2)
Da die linken Seiten der obigen Zusammenhänge gleich sind, ist diese Feststellung auch für die rechten Seiten
gültig:
(3.3)
Ohne Indexen geschrieben und mit Verwendung des Einheitsvektors kann die Gleichung 3.3. in folgender Form
ausgedrückt werden:
(3.4)
So erhält man ein homogenes, lineares Gleichungssystem für drei Unbekannten, deren gesuchten Größen wie
folgt: σ und die drei Koordinaten des Normalvektors n : l, m, n. Zur Lösung notwendige dritte Gleichung zeigt,
das n ein Einheitsvektor ist, deren Absolutwert:
(3.5)
Für das homogene, lineare Gleichungssystem gibt es dann eine nichttriviale Lösung, wenn der Wert aus dem
Koeffizientenmatrix aufgebauter Determinante 0 beträgt, für die Gleichung 3.4. also:
(3.6)
dass heißt
(3.7)
Durch Auflösung der Determinante erhalten wir eine charakteristische Gleichung, die für diesen Fall ein
Polynom dritten Grades ist:
22
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Hauptspannungen und
Hauptrichtungen. Mohresche
Darstellung des Spannungszustandes.
(3.8)
hier T I, T II und T III bedeuten die Skalar Invarianten des Spannungstensors , deren Wert vom beliebig
gewählten Koordinatensystem unabhängig ist. Die Ermittlung von Skalar Invarianten:
(3.9)
(3.10)
(3.11)
Mathematisch kann es bewiesen werden, dass die Wurzeln oder die Eigenwerte der symmetrischen Matrizen die
aus charakteristischer Gleichung symmetrischer Matrizen aufgestellten wurden, reelle Zahlen sind. Die
Eigenwerte des Spannungstensors – die Wurzeln der Gleichung 3.8. – sind die Hauptspannungen . Die Indexe
der Hauptspannungen bedeuten eine Reihenfolge, die mit der Größe der Hauptspannungen eng verbunden ist:
(3.12)
Die zu den Eigenwerten (Hauptspannungen) gehörenden Eigenvektoren sind die Hauptrichtungen .
Die Ermittlung der Hauptrichtungen kann aus der folgenden Gleichung durchgeführt werden:
(3.13)
(3.14)
(3.15)
Da die Determinante der in Klammern stehendes Koeffizientenmatzes null beträgt, die obigen Gleichungen
führen nur zur zwei unabhängigen Lösungen, so müssen als dritte auch die | n i |=1 Vektorgleichungen
verwendet werden. Die n 1, n 2 und n 3 Einheitsvektoren (Normalen) bedeuten die Richtungen der
Hauptspannungen, oder kurz die Hauptrichtungen.
Die Hauptrichtungen schließen miteinander immer Rechtwinkel ein, so können sie als die Koordinatenachsen
eines Koordinatensystems betrachtet werden. Der Nachweis dafür:
(3.16)
(3.17)
Nach einsetzen des Reziprozitätssatzes erhält man:
(3.18)
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Hauptspannungen und
Hauptrichtungen. Mohresche
Darstellung des Spannungszustandes.
Durch Verwendung der Gleichungen 3.16. und 3.17. :
(3.19)
(3.20)
Das ist erst dann möglich, wenn die Vektoren n
1
und n
2
miteinander einen Rechtwinkel einschließen.
Die auf die Hauptrichtungen orthogonalen Ebenen sind die
Spannungstensors im Koordinatensystem der Hauptrichtungen:
Spannungshauptebenen . Die Matrix des
(3.21)
Die Skalarinvarianten des Spannungstensors mit den Hauptspannungen ausgedrückt:
(3.22)
(3.23)
(3.24)
Ein beliebiger, räumlicher Spannungszustand wird als dreiachsiger Spannungszustand bezeichnet.
2. Die Mohrsche Darstellung des
Spannungszustandes
Falls die Hauptspannungen und die Hauptrichtungen vorhanden sind, dann kann der Spannungsvektor q
beliebiger n Normalen folgendermaßen errechnet werden:
n
(3.25)
In einem Sonderfall soll sich der Vektor n in der x-y Ebene befinden, dann γ = 90° beträgt, dementsprechend
cosγ = 0, und β = 90°- α , also cosβ = sin α , so die Gleichung 3.25:
(3.26)
Die Skalarprojektion des Spannungsvektors in der Richtung des Normalvektors:
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Hauptspannungen und
Hauptrichtungen. Mohresche
Darstellung des Spannungszustandes.
(3.27)
Die Schubspannung in der Ebene der Flächenelemente aus dem Satz von Pythagoras:
(3.28)
Es sollen die vorherigen Gleichungen aus der Koordinatengeometrie verwendet werden, damit:
(3.29)
(3.30)
(3.31)
und können die Indexen „n” weglassen, so erhalten die Gleichungen 3.27. und 3.28. deutlich einfachere Form:
(3.32)
(3.33)
Es soll auch berücksichtigt werden, dass für beliebigen Winkeln sin 22α +cos22α = 1 gültig ist, dadurch können
nach quadrieren der Gleichungen die trigonometrischen Komponente eliminiert werden. Dadurch erhalten wir
die Gleichung:
(3.34)
Es ist praktisch die Gleichung eines Kreises im Koordinatensystem σ-τ , deren Radius ( σ 1 – σ 2 )/2 beträgt, und
dessen Mittelpunkt auf der Achse σ in einer Koordinate ( σ 1 + σ 2 )/2 befindet. Die Gleichung 3.34. bedeutet
geometrisch den Mohrschen Kreis des Spannungszustandes:
25
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Hauptspannungen und
Hauptrichtungen. Mohresche
Darstellung des Spannungszustandes.
Abb. 3.1 Mohrscher Spannungskreis des Spannungszustandes
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Hauptspannungen und
Hauptrichtungen. Mohresche
Darstellung des Spannungszustandes.
Animation 1: Konstruktionsphasen des Mohrschen Trägheitskreises für Flä-chenträgheitsmomente
Durch alle Position in den Ebenen des Koordinatensystems bewegten Einheitsvektoren e je einen Punkt „N”
des Mohrschen Spannungskreises (Mohrscher Hauptkreis) „k” definiert wird, wie es in den ersten drei
Abbildungen dargestellt ist. Der doppelte Verdrehwinkel des Einheitsvektors wird in den Mohrschen
Spannungskreis immer aus den Punkten S’ eingetragen.
Wenn die Lage der Einheitsvektor ( n ), beliebig ist, so befindet sich der Punkt „N” in einem, durch k 1-k 2-k
bestimmten Bereich, in einem „Kreisbogendreieck“, wie es die vierte Abbildung zeigt.
27
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3
Hauptspannungen und
Hauptrichtungen. Mohresche
Darstellung des Spannungszustandes.
Animation 2: Konstruktionsphasen des Mohrschen Spannungskreises für den Spannungszustand
BEISPIEL 3.1
Die Tensormatrix für den Spannungszustand in einem Punkt P eines belasteten Maschinenbauteiles ist im x-y-z
Koordinatensystem gegeben:
Es sind die Hauptspannungen und die Hauptrichtungen zu ermitteln. Der Spannungszustand ist auch mit dem
Mohrschen Spannungskreis darzustellen!
Da die Hauptspannungen die Eigenwerte der Matrix
Methode, durch die Eigenwertrechnung ermittelt werden.
sind, so können aus der Mathematik bekannten
Aus den Gleichungen 3.6-7. erhält man die Determinante und daraus die charakteristische Gleichung:
Durch Auflösung der Determinante, und die Gleichung mit der Maßeinheit dividiert erhalten wir die
charakteristische Gleichung (3.8.):
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Hauptspannungen und
Hauptrichtungen. Mohresche
Darstellung des Spannungszustandes.
Die Hauptspannungen sind die Wurzeln des Polynoms dritten Grades:
σ 1 = 438,6 MPa; σ 2 = 11,4 MPa und σ 3 = -70 MPa.
Die Matrix des Spannungszustandes im Bezugssystem der Hauptrichtungen:
Die Ermittlung der Hauptrichtungen kann aus den Gleichungen 3.13-15. durchgeführt werden. Die zu der
Hauptspannung σ 1 gehörende Hauptrichtung kann folgendermaßen ermittelt werden:
Nach Einsetzen der konkreten Daten und mit der Maßeinheit dividiert erhält man:
und das lineare Gleichungssystem für drei Unbekannten:
-138,6 x 1 -200 y 1 = 0;
-200 x 1 -288,6 y 1 = 0;
-508,6 z 1 = 0;
Aus der letzten Gleichung z 1 = 0 folgt. Zwar die ersten zwei Gleichungen voneinander linear nicht unabhängig
sind, aber das Verhältnis für die Unbekannten wird bestimmt:
Zur Lösung braucht man eine weitere Gleichung. Dieser Zusammenhang enthält Informationen über den
Absolutwert oder über den Betrag des Einheitsvektors. Da n 1 Einheitsvektor ist, also dessen Absolutwert
beträgt 1.
Die Lösung des Gleichungssystems führt zu den Einheitsvektor n 1, die zur Hauptspannung σ 1 gehört:
Ermittlung der Hauptrichtung n
2
für die Hauptspannung σ 2 :
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Hauptspannungen und
Hauptrichtungen. Mohresche
Darstellung des Spannungszustandes.
Nach einsetzen der konkreten Daten und mit der Maßeinheit dividiert erhält man:
also das lineare Gleichungssystem für drei Unbekannten
288,6 x 2 -200 y 2 = 0;
-200 x 2 +138,6 y 2 = 0;
-58,6 z 2 = 0;
Aus der letzten Gleichung z 2 = 0. Das Verhältnis für die Unbekannten aus den zwei vorherigen Gleichungen:
Eine weitere Gleichung führt uns zur Lösung:
Nach der Lösung des Gleichungssystems der Einheitsvektor n 2, die zur Hauptspannung σ 2 gehört:
Der zur Hauptspannung σ 3 gehörende Einheitsvektor n 3:
Die Mohresche Darstellung des Spannungszustandes:
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Hauptspannungen und
Hauptrichtungen. Mohresche
Darstellung des Spannungszustandes.
Abb. 3.2
AUFGABE 3.2
Die Tensormatrix für den Spannungszustand in einem Punkt P eines belasteten Maschinenbauteiles ist im x-y-z
Koordinatensystem bekannt:
Es sind die Hauptspannungen und die Hauptrichtungen zu ermitteln. Der Spannungszustand ist auch mit dem
Mohrschen Spannungskreis darzustellen!
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Kapitel 4. Allgemeiner
Formänderungszustand:
Verschiebungs-, und
Formänderungs-zustand in der
elementaren Umgebung eines
Punktes. Der Gradient des Verschiebungsfeldes (Ableitung des
Tensors). Rotationstensor.
Formänderungstensor.
1. Die räumliche Formänderung
Für die starren Körper wird vorausgesetzt, dass bei beliebigen äußeren Belastungen ihre Geometrie unverändert
bleibt. Das ist eine echt idealistische Vorstellung, weil auch die sprödesten Materialen und/oder Werkstoffe ein
wenig deformierbar sind. Die festen Körper behalten dagegen nach den äußeren Wirkungen, Bealastungen innerhalb eines bestimmten Bereiches - unter der Elastizitätsgrenze die Körper ihrer ursprünglichen Geometrie.
Zur allgemeinen Analyse der elastischen räumlichen Verformung soll ein Element beliebiger Geometrie,
kontinuierlicher Massenverteilung gewählt werden, dass durch ein allgemeines äußeres Kraftsystem unter der
Elastizitätsgrenze belastet wird.
Der Körper wird infolge der Belastung deformiert: seine Geometrie wird verzerrt, und in bestimmten Richtung
werden auch Dehnungen, oder Verkürzungen verursacht. Inzwischen - infolge der Belastung - erricht der Punkt
P statt seiner Anfangslage die neue räumliche Position P’.
Abb. 4.1 Allgemeine Interpretation der räumlichen Verschiebung
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Allgemeiner Formänderungszustand:
Verschiebungs-, und
Formänderungs-zustand in der
elementaren Umgebung eines
Punktes. Der Gradient des Verschiebungsfeldes (Ableitung des
Tensors). Rotationstensor.
Formänderungstensor.
Die zwischen den Punkten P und P’ interpretierte Verschiebungsfunktion
Komponenten im Bezugssystem x-y-z:
u und deren drei skalaren
(4.1)
(4.2)
(4.3)
(4.4)
Es wird vorausgesetzt, das im Werkstoff ursprünglich kontinuierlicher Massenverteilung im
Verformungsprozess keine Risse, Löcher entstehen, so auch die Verschiebungsfunktionen kontinuierlich, also
differenzierbar sind.
Man soll in der elementaren Umgebung des Punktes P eine Kugel mit dem Radius a interpretieren. Während
infolge der Belastung sich der Punkt P die Lage P’ bewegt, die Kugel wird auch ermäßigt deformiert:
Abb. 4.2 Die Verschiebung und Deformation des Punktes P in einer kugelförmigen Umgebung
In der Abb. 4.2. wird der Punkt P durch den Ortsvektor r bestimmt, zum Punkt N gehört aber der Ortsvektor r
+an . Die Verschiebungsvektor zwischen den Punkten P und P’ ist die Funktion von
r , die
Verschiebungsfunktion zwischen den Punkten N und N’ ist die Funktion von r +an :
(4.5)
Wenn die Verschiebungsfunktion 4.5. in einer Taylor-Reihe zu erklärt wird, und nur die ersten zwei Mitlieder
der Taylor-Reihe als Annäherung berücksichtigt werden, ist der Fehler gar nicht groß, weil die Verschiebungen
und Deformationen auch sehr klein sind:
(4.6)
wo der Einheitsvektor n :
33
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Allgemeiner Formänderungszustand:
Verschiebungs-, und
Formänderungs-zustand in der
elementaren Umgebung eines
Punktes. Der Gradient des Verschiebungsfeldes (Ableitung des
Tensors). Rotationstensor.
Formänderungstensor.
(4.7)
Da der Verschiebungsvektor u im Bezugssystem u = ui+vj+wk beträgt, so die partiellen Ableitungen der
Gleichung 4.6.:
(4.8)
(4.9)
(4.10)
Dadurch kann das Mitglied in Klammern der Gleichung 4.6. in folgende Form geschrieben werden:
(4.11)
bedeutet den Ableitungtensor des Verschiebungsfeldes u (der Gradient des Verschiebungsfeldes):
(4.12)
Die Matrize des Ableitungtensors
ist in allgemeinen nicht symmetrisch.
34
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Allgemeiner Formänderungszustand:
Verschiebungs-, und
Formänderungs-zustand in der
elementaren Umgebung eines
Punktes. Der Gradient des Verschiebungsfeldes (Ableitung des
Tensors). Rotationstensor.
Formänderungstensor.
Es soll die Gleichung 4.11 in 4.6. erneut eingesetzt werden:
(4.13)
In der Abbildung 4.2. ist es deutlich zu erkennen, dass aus dem Punkt P in den Punkt N’ zweimal zwei
Vektorsummen führen, daraus folgt, dass die zwei Vektorsummen miteinander gleichwertig sind:
(4.14)
Mit der Annäherung der Gleichung 4.13.:
(4.15)
also
(4.16)
nach einer Dividierung mit a, sowie nach Umstellung der Gleichung:
(4.17)
In der Gleichung 4.17. t n bedeutet den, zu der Richtung n angeordneten Formänderungsvektor
Eine Matrix kann jederzeit als Summe einer symmetrischen und einer asymmetrischen Matrix gestaltet werden.
Diese Feststellung ist auch für die Matrix des Ableitungtensors
gültig:
(4.18)
hier bedeutet
die transponierte der Matrix . Bei transponieren werden die Zeilen und die Spalten der
Matrix ausgetauscht. Es soll der Formänderungstensor :
(4.19)
betragen, und der Rotationstensor kann wie folgt formuliert werden:
(4.20)
Der Matrix des Formänderungstensors ist symmetrisch. Es kann bewiesen werden, dass bei der Ermittlung von
Deformationen - wenn der Ausgangspunkt des Bezugssystems im Punkt P festgelegt wird – der Betrag durch
den Rotationstensor zugeordneten Vektoren, sowie deren, zueinander eingeschlossenen Winkeln konstant
bleiben, also die Rolle des Rotationstensors kann nicht berücksichtigt werden. Aufgrund diese Überlegungen der
Formänderungsvektor auf Basis der Gleichung 4.17.:
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Allgemeiner Formänderungszustand:
Verschiebungs-, und
Formänderungs-zustand in der
elementaren Umgebung eines
Punktes. Der Gradient des Verschiebungsfeldes (Ableitung des
Tensors). Rotationstensor.
Formänderungstensor.
(4.21)
Man bestimme die skalaren Komponenten des Formänderungsvektors in Richtung n:
(4.22)
Er wurde eingesetzt, dass das Skalarprodukt der Einheitsvektoren n n = 1 und n ’ n ≈ 1 betragen. Die
Skalarkomponente des Formänderungsvektors in Richtung des Normalvektors n bedeutet die spezifische
Dehnung in der Richtung n.
Der Einheitsvektor m soll auf den Einheitsvektor n einen Winkel von 90° einschließen. Es ist die
Skalarkomponente des Formänderungsvektors in Richtung des Einheitsvektors m zu bestimmen:
(4.23)
da mn = 0, und für kleinen Winkel auch sinυmn≈υmn erfüllt wird. Die Winkeln für den beiden Einheitsvektoren
m und n ’ sind im Abb. 4.3. dargestellt:
Abb. 4.3 Die Verschiebung aufeinender orthogonal gerichteten Einheitsvektoren
Die Skalarkomponente des Formänderungsvektors t n in Richtung m :
(4.24)
Analog zur vorherigen Lösung, die Skalarkomponente des Formänderungsvektors t m in Richtung n :
(4.25)
Da bei der Multiplikation einer Matrix mit zwei Vektoren die Vektoren dürfen ausgetauscht werden, die rechten
Seiten der Gleichungen 4.24. und 4.25. gleich sind, so muss dass auch für die linken Seiten der Gleichungen
gültig sein:
(4.26)
Aus der Abb. 4.3. ist es klar zu sehen, das der Winkel zwischen den Einheitsvektoren n und
ursprünglich 90° betrug, nach der Formänderung um 2υ kleiner wird, also die Winkelveränderung γ:
m der
(4.27)
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Allgemeiner Formänderungszustand:
Verschiebungs-, und
Formänderungs-zustand in der
elementaren Umgebung eines
Punktes. Der Gradient des Verschiebungsfeldes (Ableitung des
Tensors). Rotationstensor.
Formänderungstensor.
und mit der Gleichung 4.25.:
(4.28)
Anhand der bisherigen Ergebnisse kann der Matrix des Formänderungstensors im Bezugssystem x-y-z mit den
Einheitsvektoren i , j und k formuliert werden:
(4.29)
Der Formänderungsvektor in Richtung der Koordinatenachse x:
(4.30)
Die spezifische Dehnung in Richtung x aus der Gleichung 4.22.:
(4.31)
Die Winkelveränderung der Vektoren mit den Einheitsvektoren i und j aus der Gleichung 4.28.:
(4.32)
Die Winkelveränderung der Vektoren mit den Einheitsvektoren i und k :
(4.33)
Analog zur vorherigen Methode, aus t
4.29. bestimmt werden:
y
und t
z
können auch die anderen Elemente des Formänderungstensors
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Allgemeiner Formänderungszustand:
Verschiebungs-, und
Formänderungs-zustand in der
elementaren Umgebung eines
Punktes. Der Gradient des Verschiebungsfeldes (Ableitung des
Tensors). Rotationstensor.
Formänderungstensor.
Das Ergebnis:
(4.34)
Die Matrize des Formänderungstensors ist symmetrisch. Der Verformungszustand in einem bestimmten Punkt P
eines Bauteiles kann erst dann definiert erklärt werden, wenn der Formänderungstensor im Punkt P bekannt ist,
dass heißt im Bezugssystem x-y-z die folgenden sechs Kennwerte uns zur Verfügung stehen: εx, εy, εz, γxy, γxz, γzx .
Aus der Matrize des Formänderungstensors kann der Formänderungsvektor zu einer beliebigen Richtung
ermittelt werden:
(4.35)
BEISPIEL 4.1
Die Tensormatrix für den Formänderungszustand in einem Punkt P eines Maschinenbauteiles ist im x-y-z
Koordinatensystem gegeben:
Es ist die durch den Einheitsvektor n bestimmte Dehnung en und die darauf orthogonale gerichtete
Winkelveränderung γn, wenn
Zu den Normalvektor n gehörende Formänderungsvektor aus der Gleichung 4.30.:
Die auf der Ebene n orthogonale Komponente des Formänderungsvektors (4.22.):
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Allgemeiner Formänderungszustand:
Verschiebungs-, und
Formänderungs-zustand in der
elementaren Umgebung eines
Punktes. Der Gradient des Verschiebungsfeldes (Ableitung des
Tensors). Rotationstensor.
Formänderungstensor.
Der Betrag oder Absolutwert des Formänderungsvektors:
Dann die Winkelveränderung in der Ebene des Volumenelementes aus dem Satz von Pythagoras:
AUFGABE 4.2
Die Tensormatrix für den Formänderungszustand in einem Punkt P eines Maschinenbauteiles ist im x-y-z
Koordinatensystem bekannt:
Es ist die das Koordinatensystem mit 45º um die Hauptachse x zu drehen, und die Tensormatrix für den
Formänderungszustand im gedrehten Bezugssystem zu bestimmen!
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Kapitel 5. Die
Hauptdehnungsrichtungen und die
Hauptdehnungen
Der mechanisch belastete Bauteil wird deformiert, damit verbunden die Geometrie in der Umgebung des
beliebigen Punktes P auch verändert wird.
Gibt es um den Punkt P eine solche Richtung, die während der Formänderung unverändert bleibt?
Wenn ja, dann so kann der Formänderungsvektor mit dem Einheitsvektor der aktuellen Richtung der
Formänderung sowie mit deren gewissen Streckung durch ein Skalarprodukt ausgedrückt werden:
(5.1)
Sei der Matrix des Formänderungstensors im Bezugssystem x-y-z bekannt:
(5.2)
Die Gleichung 4.30. ist auch jetzt gültig, damit:
(5.3)
Die linken Seiten der Gleichungen 5.1. und 5.3. gleich sind, so muss dass auch für die rechten Seiten der
Gleichungen gültig sein:
(5.4)
Mit Verwendung des Einheitsvektors die Gleichung 5.3. nach der Umstellung:
(5.5)
Analog wie früher bei dem allgemeinen Spannungszustand erhält man hier auch ein homogenes, lineares
Gleichungssystem für drei Unbekannten, deren gesuchten Größen wie folgt: ε und die drei Koordinaten des
Normalvektors n : l, m, n. Zur Lösung notwendige dritte Gleichung zeigt, das n ein Einheitsvektor ist, deren
Absolutwert:
(5.6)
Für das homogene, lineare Gleichungssystem gibt es dann eine nichttriviale Lösung, wenn der Wert aus dem
Koeffizientenmatrix aufgebauter Determinante 0 beträgt, für die Gleichung 5.5. also:
(5.7)
dass heißt
40
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Die Hauptdehnungsrichtungen und
die Hauptdehnungen
(5.8)
Durch Auflösung der Determinante erhalten wir eine charakteristische Gleichung, die für diesen Fall ein
Polynom dritten Grades ist:
(5.9)
hier S I, S II und S III bedeuten die skalare Invarianten des Formänderungstensors , deren Wert vom beliebig
gewählten Koordinatensystem unabhängig ist. Die Ermittlung von skalaren Invarianten:
(5.10)
(5.11)
(5.12)
Die Eigenwerte des Formänderungstensors – die Wurzeln der Gleichung 5.8. – sind die Hauptdehnungen .
Die Indexe der Hauptdehnungen bedeuten eine Reihenfolge, die mit der Größe der Hauptdehnungen eng
verbunden ist:
(5.13)
Die Ermittlung die Einheitsvektoren der Hauptdehnungen kann mittels der Eigenvektoren aus der folgenden
durchgeführt werden:
(5.14)
(5.15)
(5.16)
Da die Determinante der in Klammern stehendes Koeffizientenmatzes null beträgt, die obigen Gleichungen
führen nur zur zwei unabhängigen Lösungen, so müssen als dritte auch die | n i |=1 Gleichungen verwendet
werden. Die n 1, n 2 und n 3 Einheitsvektoren (Normalen) bedeuten die Richtungen der Hauptdehnungen,
oder kurz die Hauptdehnungsrichtungen. Die Hauptrichtungen schließen miteinander immer einen Rechtwinkel
ein, so können sie als die Koordinatenachsen eines Bezugssystems betrachtet werden.
41
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Die Hauptdehnungsrichtungen und
die Hauptdehnungen
Der Matrix des Formänderungstensors im Koordinatensystem der Hauptrichtungen n 1, n
2
und n 3:
(5.17)
BEISPIEL 5.1
Die Tensormatrix für den Formänderungszustand in einem Punkt P eines belasteten Maschinenbauteiles ist im
x-y-z Koordinatensystem gegeben:
Es sind die Hauptsdehnungen und die Hauptrichtungen zu ermitteln!
Da die Hauptdehnungen die Eigenwerte der Matrix
durch die Eigenwertrechnung ermittelt werden.
sind, so können aus der Mathematik bekannte Methode,
Aus den Gleichungen 5.7-8. erhält man die Determinante und daraus die charakteristische Gleichung:
Durch Auflösung der Determinante, und die Gleichung mit 10 -5 dividiert erhalten wir die charakteristische
Gleichung (5.9.):
Die Hauptdehnungen sind die Wurzeln des Polynoms dritten Grades:
ε 1 = 0,00175; ε 2 = 0,00050 und ε 3 = -0,00050.
Die Matrix des Formänderungszustandes im Bezugssystem der Hauptrichtungen:
Die Ermittlung der Hauptrichtungen erfolgt aus den Gleichungen 5.14-16. Die zu der Hauptdehnung ε
gehörende Hauptrichtung kann folgendermaßen ermittelt werden:
Nach einsetzen der konkreten Daten und Neuordnung der Gleichung erhält man:
42
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1
Die Hauptdehnungsrichtungen und
die Hauptdehnungen
also das lineare Gleichungssystem für drei Unbekannten:
-25 x 1 -50 y 1 = 0;
-50 x 1 -100 y 1 = 0;
-225 z 1 = 0;
Aus der letzten Gleichung ergibt sich z 1 = 0. Zwar die ersten zwei Gleichungen voneinander linear nicht
unabhängig sind, aber das Verhältnis zwischen den Unbekannten wird trotzdem bestimmt:
Zur Lösung braucht man noch eine weitere Gleichung. Dieser Zusammenhang enthält Informationen über den
Absolutwert oder über den Betrag des Einheitsvektors. Da n 1 ein Einheitsvektor ist, also dessen Absolutwert
beträgt 1:
Die Lösung des Gleichungssystems führt zu den Einheitsvektor n 1, die zur Hauptdehnung ε 1 gehört:
Ermittlung der Hauptrichtung n
2
für die Hauptdehnung ε 2 :
Nach einsetzen der konkreten Daten und Neuordnung der Gleichung erhält man:
also das lineare Gleichungssystem für drei Unbekannten:
100 x 2 -50 y 2 = 0;
-50 x 2 +25 y 2 = 0;
-50z 2 = 0;
Aus der letzten Gleichung z
Gleichungen:
2
= 0 folgt. Das Verhältnis für die Unbekannten aus den zwei vorherigen
43
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Die Hauptdehnungsrichtungen und
die Hauptdehnungen
Eine weitere Gleichung führt uns zur Lösung:
Nach der Lösung des Gleichungssystems der Einheitsvektor n
gehört:
, die zur Hauptdehnung �������� 2
2
Der zur Hauptdehnung ε 3 gehörende Einheitsvektor n 3:
AUFGABE 5.2
Die Tensormatrix für den Formänderungszustand in einem Punkt P eines belasteten Maschinenbauteiles ist im
x-y-z Koordinatensystem bekannt:
Es sind die Hauptsdehnungen und die Hauptrichtungen zu ermitteln!
44
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Kapitel 6. Zusammenhang zwischen
Spannungszustand und
Formänderungszustand. Das
allgemeine Hookesche Gesetz.
In der Elastizitätslehre kann der lineare Zusammenhang zwischen Spannungen und der dadurch hervorgerufenen
Verformungen mit dem einfachen Hookeschen Gesetzt beschrieben werden. Wenn die Formänderung
vorhanden ist, durch eine entsprechende Gleichung können auch die Spannungen im untersuchten Bauteil
ermittelt werden. Das Programm für Finiten Elemente berechnet zuerst die Verformungen in allen
Knotenpunkten des räumlichen Netzes für das FEM Modell des Bauteiles, erst dann in einem zweiten Zyklus
werden die Spannungen für jeden Knotenpunkt bestimmt.
Im Weiteren soll es analysiert werden, welcher
Formänderungstensor und dem Spannungstensor besteht?
mathematische
Zusammenhang
zwischen
dem
Die elastischen Materialkennwerte laut der Gleichung 1.29. sind nicht unabhängig voneinander:
(6.1)
In der elementaren Festigkeitslehre für reine Zugbelastung wird der Zusammenhang zwischen der
Formänderung und Spannung durch das einfache Hookesche Gesetz bestimmt. Dies muss auch für die TensorSchreibweise erfüllt werden. Der Matrix des Spannungszustandes für einachsigen Zug:
(6.2)
also σ 2 = σ 3 = 0. Hier ist ebenso gültig, dass
(6.3)
und
(6.4)
Damit der Matrix des Formänderungstensors:
(6.5)
45
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Zusammenhang zwischen
Spannungszustand und
Formänderungszustand. Das
allgemeine Hookesche Gesetz.
Da der erste Skalarinvariante des Spannungstensors für reine Zug T I = σ 1 beträgt, dementsprechend kann die
Gleichung nach herausheben von (1+ ν )/E folgendermaßen formuliert werden:
(6.6)
Das Ergebnis bleibt auch dann unverändert, wenn die Zugrichtung mit einer anderen Hauptrichtung gleich ist.
Es soll das Hookesche Gesetz für reinen Schub überprüft werden, inwieweit kann zur bisherigen Methode der
Tensor-Schreibweise angepasst werden? Bei reinem Schub existiert auf der Ebene x-y nur die Schubspannung τ ,
also der Matrix des Spannungszustandes:
(6.7)
Das einfache Hookesche Gesetz kann eingesetzt werden:
(6.8)
Damit der Matrix des Formänderungstensors:
(6.9)
Nach der Verwendung der Gleichung 6.1. und weil der erste Skalarinvariante des Spannungstensors für reine
Schub T I = 0 beträgt, dementsprechend kann die Gleichung 6.6. auch für diesen Fall als richtig erklärt werden.
Diese Feststellung ist auch dann gültig, wenn sich die Schubspannung in der Ebene y-z oder z-x befindet. Da der
Zusammenhang zwischen Verformung und Spannung linear ist, das Superpositionsprinzip kann verwendet
werden. Nach Summieren der Tensorgleichungen (insgesamt sechs!) erhält man das allgemeine Hookeschen
Gesetz .
(6.10)
oder
(6.11)
Wenn der Spannungstensor aus dem Formänderungstensor zu bestimmen ist, das soll laut der Gleichungen 6.12.
oder 6.13. erfolgen:
46
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Zusammenhang zwischen
Spannungszustand und
Formänderungszustand. Das
allgemeine Hookesche Gesetz.
(6.12)
oder
(6.13)
Animation 3: Knickung
BEISPIEL 6.1
Die Tensormatrix für den Spannungszustand in einem Punkt P eines Maschinenbauteiles ist im x-y-z
Koordinatensystem gegeben:
Es ist die Tensormatrix für den Formänderungszustand zu ermitteln!
Der Elastizitätsmodul des Werkstoffes E=210000 MPa, die Querkontraktionszahl ν=0,3.
Das allgemeine Hookesche Gesetz (6.10.):
47
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Zusammenhang zwischen
Spannungszustand und
Formänderungszustand. Das
allgemeine Hookesche Gesetz.
wo die erste skalare Invariante des Spannungstensors:
Damit die Tensormatrix für den Formänderungszustand:
also
AUFGABE 6.2
Die Tensormatrix für den Spannungszustand in einem Punkt P eines Maschinenbauteiles ist im x-y-z
Koordinatensystem gegeben. Die Koordinatenachsen bedeuten gleichzeitig die Hauptrichtungen:
Es ist die Tensormatrix für den Formänderungszustand zu ermitteln!
Der Elastizitätsmodul des Werkstoffes E=210000 MPa, die Querkontraktionszahl ν=0,3.
AUFGABE 6.3
Die Tensormatrix für den Formänderungszustand in einem Punkt P eines Maschinenbauteiles ist im x-y-z
Koordinatensystem gegeben:
Es ist die Tensormatrix für den Spannungszustand zu ermitteln!
Der Elastizitätsmodul des Werkstoffes E=210000 MPa, die Querkontraktionszahl ν=0,3.
AUFGABE 6.4
Die Tensormatrix für den Formänderungszustand in einem Punkt P eines Maschinenbauteiles ist im x-y-z
Koordinatensystem gegeben:
48
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Zusammenhang zwischen
Spannungszustand und
Formänderungszustand. Das
allgemeine Hookesche Gesetz.
Es ist die Tensormatrix für den Spannungszustand zu ermitteln!
Der Schubmodul des Werkstoffes G=77000 MPa, die Querkontraktionszahl ν=0,3.
49
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Kapitel 7. Spezifische
Verformungsenergie eines
elastischen Körpers
Bei einer elastischen Verformung wird die Arbeit der äußeren Kraftsystems (Belastungen) im Körper als innere
Energie gespeichert. Die Wirkung dieser Energie ist dann in der, durch die inneren Kräfte (Spannungen)
hervorgerufene elastische Deformation zu erkennen. Diese innere Energie wird dann als Verformungsenergie
bezeichnet.
Die Verformungsenergie kann in den Punkten des Körpers völlig unterschiedlich sein, da die Spannung und die
Verformung für jeden Punkt nicht gleich betragen können.
Deshalb ist es zweckmäßig den Begriff auf den Volumen - auf dem unendlich kleinen Volumenelement der
Umgebung des Punktes P - bezogene Energiedichte einzuführen, weil damit die Veränderung der
Verformungsenergie viel besser ausgedrückt werden kann.
Die Energiedichte wird folgendermaßen interpretiert:
(7.1)
wo U die gespeicherte Verformungsenergie für den Volumen V .
Die Energie kann üblicherweise aus einer Wirkung der Kraft und infolge der Kraft entstehende Verformung
ermittelt werden. Die Tatsache soll beachtet werden, dass in der Elastizitätslehre der Zusammenhang zwischen
Verformung und Kraft unbedingt linear ist, so die Kraft-Verformung Kennlinie jetzt selbstverständlich auch
linear ist. Die Energie, die Fläche unter der Kraft-Verformung Kennlinie für reine Zugbelastung kann wie folgt
errechnet werden:
Abb. 7.1 Elastische Verformungsenergie
(7.2)
Das Ergebnis der Gleichung 7.2. soll mit dem Volumen des Probestabes V = Al dividiert werden, so erhält man
die gleichmäßig verteilte Energiedichte im Werkstoff:
50
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Spezifische Verformungsenergie
eines elastischen Körpers
Abb. 7.2 Die Energiedichte der Verformungsenergie
(7.3)
Analog für reinen Schub:
(7.4)
Die elastischen Wirkungen können summiert werden, so kann das Superpositionsprinzip verwendet werden,
also die Energiedichte in einem Punkt P lässt sich für einen allgemeinen Fall aus der Gleichung 7.5. berechnen:
(7.5)
Um das Skalarprodukt zweier Tensoren zu definieren, soll das Skalarprodukt von Vektoren als Vorbild gewählt
werden, in dem Prozess die gegenseitig entsprechenden Mitlieder erst multipliziert, dann die Produkte summiert
werden, und die Operation für Tensoren wird mit zwei Punkten ( · · ) bezeichnet. Die damit interpretierte
Energiedichte im Punkt P:
(7.6)
Anhand der Energiedichte die gespeicherte elastische Verformungsenergie für einen Körper:
(7.7)
Es soll das allgemeine Hookesche Gesetz zur Gleichung 7.6. eingesetzt werden
(6.11.)
so erreicht man das folgende Ergebnis:
51
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Spezifische Verformungsenergie
eines elastischen Körpers
(7.8)
hier wurde auch verwendet, das
. Nach die Gleichung 7.8. geklärt wurde:
(7.9)
Wenn der Matrix des Spannungstensors im Bezugssystem der Hauptspannungen bekannt ist, so die
Energiedichte durch die Gleichung E=2G(1+ν) ausgedrückt:
(7.10)
BEISPIEL 7.1
In einem Punkt P eines Maschinenbauteiles ist die Tensormatrix für den Spannungszustand und für den
Formänderungszustand im x-y-z Koordinatensystem gegeben:
und
Es ist die spezifische Energiedichte für den Punkt P zu berechen!
Die Energiedichte in einem Punkt P lässt sich für einen allgemeinen Fall durch das Skalarprodukt zweier
Tensoren berechnen, ganz konkret durch das Skalarprodukt des Spannungstensors mit dem
Formänderungstensor aus der Gleichung 7.6.:
BEISPIEL 7.2
In einem Punkt P eines Maschinenbauteiles aus Stahl ist die Tensormatrix für den Spannungszustand im x-y-z
Koordinatensystem gegeben:
Es ist die spezifische Energiedichte für den Punkt P zu ermitteln!
Der Elastizitätsmodul für Stahl E=210000 MPa, die Querkontraktionszahl ν=0,3.
Die Energiedichte kann aus der Tensormatrix des Spannungszustandes durch die Gleichung 7.9. berechnet
werden:
52
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Spezifische Verformungsenergie
eines elastischen Körpers
AUFGABE 7.3
In einem Punkt P eines Maschinenbauteiles ist die Tensormatrix für den Spannungszustand und für den
Formänderungszustand im x-y-z Koordinatensystem gegeben:
und
Es ist die spezifische Energiedichte für den Punkt P zu berechen!
AUFGABE 7.4
In einem Punkt P eines Maschinenbauteiles aus Aluminium ist die Tensormatrix für den Spannungszustand im
x-y-z Koordinatensystem gegeben:
Es ist die spezifische Energiedichte für den Punkt P zu ermitteln!
Der Elastizitätsmodul für Aluminium E=70000 MPa, die Querkontraktionszahl ν=0,35.
53
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Kapitel 8. Einachsiger Zugversuch.
Zug und Druck gerader prismatischer
Stäbe.
1. Die Spannungsanalyse.
Die von einem Maschinebauingenieur konstruierten Maschinen und Bauteile sind durch äußeren Kräfte, und
deren Beanspruchungen belastet. Der Werkstoff des Bauteiles wird vom Konstrukteur so gewählt, die
Geometrie so bestimmt, dass der Bauteil für die Belastungen tragfähig bleibt. Wenn der Bauteil nur durch zwei
Gleichgröße aber entgegenrichtete Kräfte gemeinsamer Wirkungslinie belastet ist, dadurch wird Zug-, oder
Druckbeanspruchung verursacht. Wenn der Richtungssinn der Kräfte voneinander gerichtet ist, dann wird im
Stab eine Zugbeanspruchung hervorgerufen (nach Vereinbarung das wird als positiv behandelt), wenn
die Kräfte aufeinender gerichtet sind so ist eine Druckbeanspruchung verursacht, die als negativ betrachtet
wird.
Die Zug-, oder die Druckbeanspruchung kommt am meistens durch die Belastung von Stäben vor. Reiner Zug
oder Druck entsteht erst dann, wenn die Wirkungslinie der Kräfte mit der Stabachse identisch ist. Die Stabachse
wird durch die Schwerpunkte der einzelnen Querschnitte geführt, deswegen wird die Zug- oder
Druckbeanspruchung häufig auch als Normalbeanspruchung bezeichnet. Diese Art von Zug- oder
Druckbeanspruchung wird als mittiger oder zentrischer Zug genannt. Wenn die Wirkungslinie der Normalkraft
durch den Schwerpunkt auf die Stabachse orthogonal gerichteten Querschnittes geführt wird, die Intensität der
dadurch hervorgerufene verteilten Kraft, oder der Spannung in jeden Punkt des Querschnittes konstant beträgt,
und deren Resultierende im Schwerpunkt angreift.
Es soll ein durch in der Stabasche gerichtete Zugkräfte belasteter, prismatischer Stab untersucht werden:
Abb. 8.1 Untersuchung eines Zugstabes
Die Gleichgewichtsgleichung des zerlegten Stabes auf die rechte Stabhälfte:
(8.1)
Da die Zugkraft F im Schwerpunkt des Querschnittes des prismatischen Stabes angreift, die Spannung σz im
Querschnitt konstant beträgt, also σz kann vor das Integralzeichen geschrieben werden:
(8.2)
dass heißt
(8.3)
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Einachsiger Zugversuch. Zug und
Druck gerader prismatischer Stäbe.
Außer der Spannung σz werden infolge der Kraft F keine weitere Spannungen hervorgerufen, so der Matrix des
Spannungstensors (theoretisch in allen Punkten des Stabes):
(8.4)
Die Spannung σ z ist gleichzeitig auch Hauptspannung.
Der Mohrsche Spannungskreis für den Spannungszustand bei Zugbeanspruchung:
Abb. 8.2 Mohrsche Spannungskreis eines Zugstabes
Der Mohrsche Spannungskreis für den Spannungszustand bei Druckbeanspruchung:
Abb. 8.3 Mohrsche Spannungskreis eines Druckstabes
55
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Einachsiger Zugversuch. Zug und
Druck gerader prismatischer Stäbe.
Animation 4: Einachsiger Zug, Darstellung der Kontraktion
2. Analyse der Verformung
Aufgrund des allgemeinen Hookeschen Gesetzes aus der Gleichung 6.10. kann der Formänderungstensor
ermittelt werden:
(8.5)
also die spezifischen Dehnungen (gleichzeitig Hauptdehnungen):
(8.6)
und
56
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Einachsiger Zugversuch. Zug und
Druck gerader prismatischer Stäbe.
(8.7)
3. Die elastische Verformungsenergie
Die Berechnung der elastischen Energiedichte mittels der Hauptspannungen aus der Gleichung 7.10.:
(8.8)
Da σ 1 = σ z und σ 2 = σ 3 = 0, damit die Gleichung 8.8.:
(8.9)
Durch einsetzen, dass
beträgt, erhält man die folgende Gleichung:
(8.10)
Die Energiedichte (u) ist in allen Punkten des Zugstabes konstant, dementsprechend für das Gesamtvolumen des
Stabes kann die gespeicherte Energie mit der Gleichung 7.7. ermittelt werden:
(8.11)
BEISPIEL 8.1
Es ist für einen auf reinen Zug beanspruchten Stab (Abb. 8.4) die Dehnung ε n in die Richtung des
Einheitsvektors n sowie die Winkeländerung γn in die, auf n orthogonale Richtung m zu ermitteln! Der
Elastizitätsmodul des Werkstoffes E=210000 MPa, die Querkontraktionszahl ν=0,3. Die Querschnittsfläche des
Stabes A=125 mm2, und die Zugkraft F=14 kN beträgt.
Abb. 8.4
Die Koordinatenachsen des Bezugssystems x-y-z bedeuten gleichzeitig die Hauptachsen. Für reinen Zug die
Normanspannung in z Richtung (8.3.):
Die Dehnungen in den Hauptrichtungen sind die eigentlichen die Hauptdehnungen (8.6-7.):
57
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Einachsiger Zugversuch. Zug und
Druck gerader prismatischer Stäbe.
,
und
Die Matrix des Formänderungszustandes für den Punkt P:
Der Einheitsvektor in die Richtung n sowie der Einheitsvektor m in die, auf n orthogonale Richtung:
und
Der zu dem Normalen n gehörende Formänderungsvektor:
Die auf der Ebene n orthogonal gerichtete Komponente des Formänderungsvektors:
Die Winkeländerung γn in die Richtung des Einheitsvektors m :
BEISPIEL 8.2
Zwei Gleichgröße Kupferrohre werden bis zur Aufstützen durch eine Schraubenverbindung aufeinender bewegt
(Abb. 8.5). Erst dann wird die Schraubenverbindung gespannt, also die Schraubenmutter wird um einer
Umdrehung gedreht. Es ist die Spannung im Rohr, bzw. in der Schraube zu ermitteln! Die Länge der
Schraubenverbindung l=80 mm, die Ganghöhe m=1 mm beträgt. Der Elastizitätsmodul der Schraube
E1=210000 MPa, die Querschnittsfläche A1=150 mm2. Der Elastizitätsmodul des Rohres E2=70000 MPa, die
Querschnittsfläche A2=450 mm2. Die durch das Gewinde hervorgerufene Durchmesserveränderung und die
Dicke der Unterlage soll vernachlässigt werden.
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Einachsiger Zugversuch. Zug und
Druck gerader prismatischer Stäbe.
Abb. 8.5
Nach der Spannung der Schraubenverbindung wird die Lange l infolge der Längskraft um Δl 1 kürzer, also wird
das Rohr zusammengedruckt, und die Schraube infolge der Spannkraft um Δl 2 verlängert wird. Die veränderten
Längen für die Schraube und für das Rohr gleich sind.
dass heißt
Aus dem Hookeschen Gesetz:
beziehungsweise
Es soll aus den beiden Gleichungen die Längsveränderung ausgedrückt, und in den obigen Zusam-menhang
eingesetzt werden, so erhält man für die Gewindesteigung:
Daraus die Spannkraft in der Schraubenverbindung:
Die Spannung in der Schraube und im Rohr:
beziehungsweise
AUFGABE 8.3
Zwei Stäbe der eine aus Stahl und der andere aus Aluminium Gleichgrößer Querschnitt, aber verschiedener
Länge werden aufeinander zwischen zwei paralleler, unendlich Steifen Wandflächen angepasst (Abb. 8.6), und
dann wird das Temperatur beider Stäbe um ΔT=50K erhöht.
Es ist die Kraft in den Stäben zu ermitteln! Der Elastizitätsmodul für Stahl E1=210000 MPa, die lineare
Wärmedehnzahl α1=1,2·10-5 K-1, die Länge des Stahlstabes l1=0,4 m. Der Elastizitätsmodul für Aluminium
E2=70000 MPa, die lineare Wärmedehnzahl α2=2,4·10-5 K-1, die Länge des Aluminiumstabes l2=0,7 m.
59
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Einachsiger Zugversuch. Zug und
Druck gerader prismatischer Stäbe.
Abb. 8.6
60
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Kapitel 9. Eigengewicht als Belastung
und Stäbe gleicher Festigkeit. Die
Formänderungsenergie.
Bei der Analyse von Zug- und Druckspannungen findet man auch spezielle Lösungen für die
Festigkeitsprobleme. Ein solches Problem ist der durch Eigengewicht beanspruchter Stab , bei dem die Zugund Druckspannungen auch unter Berücksichtigung der Eigenmasse ermittelt werden.
1. Durch Eigengewicht belasteter Stab.
Die senkrecht angeordneten Stäbe werden - demnach wie sie eingespannt sind - durch das Eigengewicht auf Zug
oder auf Druck beansprucht. So bedeutet das Eigengewicht eine zusätzliche Beanspruchung für das Tragwerk.
Der Stab ist an dem oberen Ende eingespannt (Abb. 9.1) und auch durch eine Einzelkraft F sowie durch sein
Eigengewicht belastet. Es ist die Zugbeanspruchung unter Berücksichtigung der Eigenmasse zu ermitteln!
Abb. 9.1 Eigengewicht und Zugkraft „F” belastete Stab und die dadurch hervorgerufenen Spannungen
Die Zugspannung am Ende des Stabes (nur aus der äußeren Belastung):
(9.1)
Die Zugspannung im Querschnitt „K” (aus der äußeren Belastung + aus der Eigengewicht):
(9.2)
wo ρ die Dichte des Werkstoffes des Stabes, g die Erdbeschleunigung, und Gz das Gewicht des Stabteiles der
Länge z bedeutet.
Die Zugspannung in der Einspannung (die maximale Spannung an der Stelle z=l ):
(9.3)
61
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Eigengewicht als Belastung und
Stäbe gleicher Festigkeit. Die
Formänderungsenergie.
Da der Stab prismatisch, dementsprechend dessen Querschnitt konstant ist, so kann die Veränderung der
Spannung entlang der Stabachse durch eine lineare Funktion beschrieben werden.
Die Dehnung für ein elementares Stabelement der Koordinate z und der Länge dz:
(9.4)
Nach Neuordnung der Gleichung 9.4 und statt σ der Zusammenhang 9.2. einzusetzen:
(9.5)
Die gesamte Längsveränderung des Stabes erhält man aus dem Summengrenzwert der elementaren Stabteile:
(9.6)
Für Faden, Drahte ist es ein sehr wichtiger Kennwert, die sogenannte Reißlänge (Lr). Sie bedeutet diese Länge
bei der die Draht ohne äußere Belastung, dass heißt, für (σ0=0 beziehungsweise F=0) bereits infolge sein
Eigengewicht zerreißt.
(9.7)
(9.8)
(für Baumwollgarn 10-11 km, für Baumwolle 36-54 km)
2. Der Stab gleicher Festigkeit.
Ein Stab kann erst dann als ein Stab gleicher Festigkeit betrachtet werden, wenn in allen Querschnitten die
gleiche Spannung vorhanden ist. Das zu erzielen soll der Stab entlang der Längsachse mit variablen
Querschnitten gestaltet werden. Die Anstrebung um eine Gestaltung gleicher Festigkeit zu erhalten ist durch
ökonomischen und auch durch sinnvollen Dimensionierungsmethoden entstanden, darüber sind auch ästhetische
Vorstellungen erzielt werden. Für Zug- und Druckbelastung kann die Form eines Stabes gleicher Festigkeit
durch eine logarithmische Funktion beschrieben werden.
So ein Stab gleicher Festigkeit stellt die Abbildung 9.2 dar.
62
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Eigengewicht als Belastung und
Stäbe gleicher Festigkeit. Die
Formänderungsenergie.
Abb. 9.2 Durch Einzelkraft „F” und durch Eigengewicht belasteter Stab gleicher Festigkeit.
Durch die Einzelkraft hervorgerufene Spannung im Stab:
(9.9)
Die Spannung im Querschnitt an der Stelle z:
(9.10)
, dass heißt
(9.11)
Die Spannung im Querschnitt an der Stelle z+Δz:
(9.12)
, dass heißt
(9.13)
Aus der Gleichung 9.4. und 9.5. erhält man:
(9.14)
Da dA·dz≅ 0, so kann die Gleichung 9.14. folgendermaßen geschrieben werden:
(9.15)
Nach Neuordnung und Durchführung der Integralrechnung
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Eigengewicht als Belastung und
Stäbe gleicher Festigkeit. Die
Formänderungsenergie.
(9.16)
(9.17)
(9.18)
(9.19)
Aus der Gleichung 9.9. kann statt „A 0 ”
(9.20)
geschrieben werden.
Damit haben wir die Gleichung für den Stab gleicher Festigkeit erhalten.
Da die Spannung konstant ist – laut des Hookeschen Gesetzes – muss auch die Dehnung konstant sein.
(9.21)
Die Verlängerung des Stabes:
(9.22)
3. Die Formänderungsenergie
Die Energiedichte:
(9.23)
Da für der Stab - demnach wie er eingespannt sind - entweder aus Zug oder Druck belastet wird σ1=σz und
σ2=σ3=0, darum
(9.24)
In die Gleichung 9.24. einzusetzen erhält man, dass
, und so
64
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Eigengewicht als Belastung und
Stäbe gleicher Festigkeit. Die
Formänderungsenergie.
(9.25)
Die gesamte Energie für das gesamte Volumen V:
(9.26)
BEISPIEL 9.1
Ein Stab mit dem Rechteckquerschnitt von 20 mm · 40 mm wird ins Wasser getaucht, und bleibt im Flüssigkeit
frei aufgehängt. In welcher Tiefe darf das Ende des Stabes ins Wasser eindrängen, wenn die zulässige Spannung
σzul = 50 MPa gegeben ist?
Die spezifische Masse für den Rechteckquerschnitt q=12 kg/m, die Dichte des Werkstoffes ρ=7850 kg/m 3
beträgt.
Der Querschnitt des Stabes:
A = 20 mm · 40 mm= 800mm2
Die maximale zulässige Belastung des Stabes:
Fzul=A·σzul=800 mm2·50 MPa= 40000 N
Die Auftriebskraft für einen ins Wasser getauchten Stabes kann so ermittelt werden, dass man das Gewicht des
Stabes durch einen, aus den Dichten erstellten Koeffizienten
korrigiert.
So die Gewichtskraft für 1 m ins Wasser getauchten Stabes
FGew=k·q·g=0,872·12 kg/m·9,81 m/s2=102,651N/m
Daraus kann die Länge des Stabes im Wasser ermittelt werden
AUFGABE 9.2
Es ist die Reißlänge Lr für einen Draht aus Stahl zu bestimmen wenn die Zugfestigkeit sowie die Dichte des
Werkstoffes vorhanden sind: σzul = 1600 MPa und ρ = 7,85·103 kg/m3!
AUFGABE 9.3
Ein Brückenpfeiler der Höhe von h=25 m muss für eine Belastung F=2·10 6 N dimensioniert werden, unter
Einbeziehung des Eigengewichtes.
Wie viel m3 Mauer wird benötigt wenn der Brückenpfeiler
a, aus eine einzige Säule gebaut wird (V=?)
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Eigengewicht als Belastung und
Stäbe gleicher Festigkeit. Die
Formänderungsenergie.
b, aus zwei Gleichgröße Säulen verschiedener Querschnitte aufgemauert wird (V 1=?, V2=?)
σzul = 150N/cm2, γ=18·10-3N/cm3.
66
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Kapitel 10. Die Scher- und die
Biegebeanspruchung.
Schubspannungen in einem
Biegestab.
1. Die Beanspruchung durch eine Querkraft
Falls ein prismatischer Stab (oder ein Stabelement) gerader Stabachse in einem ausgewählten Querschnitt durch
zwei, in der Querschnittsebene, durch den Schwerpunkt gegeneinander gerichteten Einzelkräfte belastet wird,
dann ist die Beanspruchung des Stabes (oder des Stabelementes) reiner Schub . Diese Einzelkräfte
beziehungsweise durch ihre Wirkung, dass heißt die dadurch hervorgerufenen Schubspannungen τ in der
Querschnittsebene wollen die parallelen Querschnitte aufeinender verschoben.
Abb. 10.1 Symbolische Darstellung der Querkraft
(10.1)
Es wird vorausgesetzt, dass die Verteilung der Schubspannung in der Querschnittsebene gleichmäßig, dass heißt
τ = konstant ist, so kann die Schubspannung aus der Gleichung 10.1.
ausgedrückt werden:
(10.2)
Reiner Schub kommt in der Praxis sehr selten vor. In allgemeinen taucht gleichzeitig mit Biegung auf, und
entsteht durch das Moment eines Kräftepaares, das die voneinander entfernten Querkräfte verursachen. Wenn
die so entstandene Biegung zu klein ist, braucht man gar nicht berücksichtigen.
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Die Scher- und die
Biegebeanspruchung.
Schubspannungen in einem
Biegestab.
Abb. 10.2 Reiner Schub an einem Quader und der Mohrsche Kreis des Spannungszustandes
Die Abbildung 10.2.a. stellt an einem, aus dem auf Schub beanspruchten Teil herausgeschnittenem Quader dar.
Den dazu gehörenden Mohrschen Kreis enthält die Abbildung 10.2.b.
Da die Schubspannungen in zwei senkrecht aufeinander stehenden Schnitten gleich sind, nennt man sie einander
zugeordneten Schubspannungen, also τxy=τyx . In der dritten Ebene tritt es keine Spannung auf.
Die Matrix des Spannungstensors:
Die Hauptspannungen können aus dem Mohrschen Kreis (Abb. 10.2.b.) oder aus der charakteristischer
Gleichung ermittelt werden.
Wird ein ebener Spannungszustand analysiert, so σx=σy=0.
(10.3)
Zur Dimensionierung für reinen Schub soll nach der Zusammenhang 10.2.
(10.4)
verwendet werden.
2. Die Biegebeanspruchung
Wenn ein prismatischer Stab (oder ein Stabelement) gerader Stabachse in einem ausgewählten Querschnitt in
der zur Querschnittsebene orthogonal gerichteten Ebene durch Kräftepaare belastet wird, dann nennt man die
Beanspruchung des Stabes (oder des Stabelementes)
Biegung. Falls der Stab ausschließlich nur
Biegebeanspruchung unterliegt, wird die Beanspruchung als reine Biegung bezeichnet. Wenn alle Kräfte und
Kräftepaare in der Symmetrieebene des Biegestabes wirken, so nennt man dieser Fall als gerade Biegung .
Sollen die beiden vorherigen Voraussetzungen gleichzeitig erfüllt werden, so erhalten wir für den Stab als
Beanspruchung die reine gerade Biegung .
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Die Scher- und die
Biegebeanspruchung.
Schubspannungen in einem
Biegestab.
Bei der Analyse durch die Belastungen hervorgerufener Spannungen und Verformungen sollen die Hypothesen
von Jacob Bernoulli und Navier für die Biegebeanspruchung eingesetzt werden. Es ist für uns wichtig zu
wissen, dass die Schwerpunktachse des Stabes in Längsrichtung die geometrische Achse bedeutet, die dann die
einzelnen Querschnitte in ihrer Schwerpunkte S trifft (Abb. 10.3).
Abb. 10.3 Reine gerade Biegung eines eingespannten Balkens.
Die Hypothesen von Jacob Bernoulli und Navier:
- Die auf die Stabachse orthogonalen Ebenen bleiben auch nach der Biegung Ebenen und mit sich
zusammenfallend;
- Die geometrische Achse des Stabes und die damit parallelen Ebenen (Fasern) nach der Krümmung des Stabes
bleiben orthogonal zur Ebenen der verdrehten Querschnitte.
Abb. 10.4 Theoretische Formänderung eines Biegestabes
Es soll ein Stabelement der Länge dz eines homogenen, isotropischen prismatischen Stabes gerader Stabachse
unter Verwendung statischer Gleichgewichtsgleichungen analysiert werden! Auf die eine Seite (auf die linke
Seite) des ausgewählten Stabelementes wird die äußere Belastung das Kräftepaar „M”, auf die andere Seite
(auf die rechte Seite) zur Flächenelement dA gehörende elementare Kraft dF aufgetragen (Abb. 10.5.).
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Die Scher- und die
Biegebeanspruchung.
Schubspannungen in einem
Biegestab.
Abb. 10.5 Analyse des Stabelementes „dz” eines Biegestabes mittels statischer Gleichgewichtsgleichungen
Die Gleichgewichtsgleichung in der z Richtung:
(10.5)
Die Momentengleichgewichtsgleichungen:
- um die Achse y:
(10.6)
- um die Achse x:
(10.7)
Es soll das Hookesche Gesetz eingesetzt werden, und statt ε kann auch
man
geschrieben werden, so erhält
(10.8)
ρ bedeutet hier der Krümmungsradius, und ε die Dehnung.
Die Gleichung 10.8. soll auch in den Zusammenhang 10.7. eingetragen werden:
(10.9)
wo
das Flächenträgheitsmoment bedeutet.
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Die Scher- und die
Biegebeanspruchung.
Schubspannungen in einem
Biegestab.
Damit
(10.10
)
Unter Verwendung der Gleichung 10.10. kann auch der Zusammenhang zwischen dem Krümmungsradius und
der Spannung ausgedrückt werden:
(10.11
)
Daraus die Biegespannung:
(10.12
)
Dieser Zusammenhang wird für reine, gerade Biegung als Naviersche Formel genannt.
Da für einen bestimmten Querschnitt das Biegemoment M und das Flächenträgheitsmoment Ix konstant sind, so
hängt die Spannung nur von der y Koordinate, von der Entfernung von der Achse x ab. Für die Achse x gilt y=0,
also die Spannung beträgt hier ebenso Null.
Dementsprechend wird die Achse x auch als neutrale Achse (oder als Biegungsachse ) bezeichnet.
Entlang der Achse y weist die Spannung σ eine lineare Verteilung auf, im Bereichen zur gleichen Koordinaten y
werden auch die gleiche Spannungswerte zugeordnet.
Abb. 10.6 Die lineare Verteilung der Normalspannung σ im Querschnitt
Zur Dimensionierung auf Biegung dient also die folgende Grundgleichung:
(10.13
)
3. Schubspannungen in einem Biegestab
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Die Scher- und die
Biegebeanspruchung.
Schubspannungen in einem
Biegestab.
Es wurde bei der Analyse der Wechselwirkung zwischen den Beanspruchungen Schub und Biegung der
Zusammenhang
eingesetzt.
Daraus folgt, dass erst dann kann eine reine Biegung vorhanden sein, wenn das Moment (M)
Konstant ist, beziehungsweise die Querkraft (FT ) Null beträgt.
Bei Tragwerken kommt es ein konstantes Moment sehr selten vor, deswegen fast immer auch eine Querkraft als
Beanspruchung gleichzeitig mit der Biegebeanspruchung berücksichtigt werden muss.
Soll zur Spannungsanalyse ein Querschnitt des durch Streckenlast belasteten Balkens (Abb. 10.7.). gewählt
werden, deren Koordinate vom Lager „A” eben z beträgt. Die Beanspruchungen des Querschnittes: M,FT . Die
Beanspruchungen des Querschnittes für die Koordinate z+dz: M+dM und FT + dFT .
Das Stabelement der Breite dz wurde aus dem Balken entnommen, und auf der Abb. 10.7. dargestellt. Die
Belastungen der Seitenflächen des extra aufgezeichneten Stabelementes sind durch die Normalspannung (σ) und
durch die Schubspannung (τ) belastet.
Abb. 10.7 Die Beanspruchungen für die Querschnitte der Koordinaten „z” und „z+dz” eines durch Streckenlast
belasteten Balkens
Es soll die Naviersche Formel (10.12.) nach z abgeleitet, dann
werden, so erhält man:
in die Gleichung eingesetzt
(10.14
)
F Schub
Als nächster Schritt soll dieses elementares Stabelement mit einer zur Achsen z-x parallele Ebene in einer
Koordinate η von der Achse x durchgeschnitten werden. Der untere Teil des Quereschnittes, mit der Dicke e-η
enthält die Abb. 10.8.c. Nun soll das Gleichgewicht dieses Teiles analysiert werden. Da die Schubspannungen
zugeordnete Spannungen sind, auf der Seitenfläche und auf der Oberfläche beträgt die Schubspannung das
gleiche.
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Die Scher- und die
Biegebeanspruchung.
Schubspannungen in einem
Biegestab.
Abb. 10.8 Analyse eines elementaren Stabelementes für gleichzeitige Biegung und Schub
(10.15
)
Die Gleichgewichtsgleichung in der z Richtung:
(10.16
)
Beide Seiten dividiert mit dz erhält man:
(10.17
)
Statt
aus der Gleichung 10.15. erhält man:
(10.18
)
Der physische Inhalt des Integralausdruckes bedeutet das statische Moment des schraffierten Teiles (Abb.
10.8.b.) in Bezug auf die Schwerpunktsachse x:
(10.19
)
und so kann bereits die Schubspannung ausgedrückt werden:
(10.20
)
Dieser Zusammenhang wird als Zsuravszkij Formel genannt. Der Parameter s in der Gleichung bedeutet die
Breite des Querschnittes für die untersuchte Koordinate.
Eine interessante Bemerkung: wo im Querschnitt durch einen plötzlichen Sprung die Abmessung der Breite
verkleinert wird, dadurch wird die Schubspannung τ auch sprungweise erhöht. Diese Feststellung ist
logischerweise auch umgekehrt gültig.
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Die Scher- und die
Biegebeanspruchung.
Schubspannungen in einem
Biegestab.
Abb. 10.9 Die Auswirkung plötzlicher Veränderung der Querschnittbreite auf die Schubspannung τ.
Um einen erfolgreichen Festigkeitsnachweis für die Konstruktion zu erzielen, müssen für den untersuchten
Querschnitt gleichzeitig beiden Voraussetzungen erfüllt werden, also
(10.21
)
Daraus folg, dass der Festigkeitsnachweis der Konstruktion auch im Querschnitt der maximalen Biegespannung
und auch im Querschnitt für die maximale Schubspannung durchgeführt werden muss!
BEISPIEL 10.1
Es sind die Schubspannungen für die charakteristischen Stellen des skizzierten Querschnittes (Abb. 10.10) zu
bestimmen, wenn F=83,2kN beträgt!
Abb. 10.10
Aufgrund der Zsuravszkij Formel:
wo F die Belastungskraft bedeutet:
F = 83,2kN
Das Flächenträgheitsmoment des Querschnittes Ix :
74
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Die Scher- und die
Biegebeanspruchung.
Schubspannungen in einem
Biegestab.
Das statische Moment Sx der Fläche über der Koordinate der Schubspannung auf die Schwerpunktsachse
Ssx=30mm ·120mm · 15mm = 54 · 10 3 mm3
über der Koordinate des Punktes „C”:
Sc'x=40mm ·40mm · 30mm = 48 · 103 mm3
unter der Koordinate des Punktes „C”:
Sc,x=40mm ·40mm · 30mm = 48 · 103 mm3
Die Wandstärke „s” für die aktuelle Koordinate:
für die Koordinate des Schwerpunktes:
ss = 120 mm
über der Koordinate des Punktes „C”:
Sc'= 40mm
unter der Koordinate des Punktes „C”:
Sc,= 120mm
Die bisherigen Ergebnisse führen zur Schubspannungen für die ausgewählten Koordinaten:
Die Schubspannung im Schwerpunkt:
über der Koordinate des Punktes „C”:
unter der Koordinate des Punktes „C”:
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Die Scher- und die
Biegebeanspruchung.
Schubspannungen in einem
Biegestab.
Abb. 10.11
AUFGABE 10.2 Es ist für die skizzierte doppellasche Nietverbindung (Abb. 10.12.) die notwendige Nietenzahl
und die Breite (x) für die Nietverbindung zu ermitteln, wenn die Plattenstärken bekannt sind und der
Durchmesser der Niete 20 mm beträgt! σzul=210MPa, τzul=90MPa.
Abb. 10.12
AUFGABE 10.3
Es ist für den skizzierten Balken die beiden Lagerkräfte zu ermitteln, die Schnittgrößenverläufe für die
Beanspruchungen sind aufzuzeichnen, die maximale Biegspannung und Schubspannung sind zu berechnen
sowie deren Koordinaten sind zu bestimmen!
Es ist weiterhin auch für den Punkt P des Querschnittes K die Normalspannung und die Schubspannung zu
ermitteln! F1=10 kN, F2=12 kN, q=6 kN/m.
Abb. 10.13
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Kapitel 11. Durchbiegung,
Spannungszustand und
Verformungsenergie von Balken.
Schiefe Biegung.
1. Durchbiegung von Balken
Im Kapitel 10 wurde bereits die Gleichung 10.9. für einen Biegestab gezeigt, in der Zusammenhang zwischen
Krümmungsradius (ρ) und Biegemoment (M) enthalten ist.
Es soll dieser Zusammenhang erneut gezeigt werden, weil für uns zur Analyse der Balkenbiegung den
Ausgangspunkt bedeutet.
(11.1)
In der analytischen Geometrie wird ρ dann als positiv betrachtet, wenn man die Kurve in positiver Richtung der
Achse z folgt, und sich der Krümmungsmittelpunkt vom Beobachter nach links befindet (Abb. 11.1.).
wo g die Krümmung bedeutet.
Abb. 11.1 Verformung eines Biegestabes
77
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,
Durchbiegung, Spannungszustand
und Verformungsenergie von
Balken. Schiefe Biegung.
Animation 5: Durchbiegung eines Balkenträgers
Da ein positives Moment +M von links eine negative ρ verursacht, dementsprechend muss ein
Vorzeichenwechsel durchgeführt werden:
(11.2)
78
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Durchbiegung, Spannungszustand
und Verformungsenergie von
Balken. Schiefe Biegung.
Animation 6: Durchbiegung eines Einfeldbalkens
Die Abb. 11.2. enthält einen eingespannten Balkens sowie die geometrischen Parameter, die zur Bestimmung
der Verformung notwendig sind.
Abb. 11.2 Verformung eines eingespannten Balkens
Einer davon ist der Neigungswinkel der Tangenten (φ) , und er wird dann positiv, wenn deren Winkel gegen
Uhrzeigersinn gerichtet ist.
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Durchbiegung, Spannungszustand
und Verformungsenergie von
Balken. Schiefe Biegung.
Der zweite Parameter heißt Verschiebung (y). Dafür ist das Vorzeichen einfach zu ermitteln: nach oben ist sie
positiv zu betrachten, aber nach unten wird sie negativ. Die Verschiebung kann durch die Funktion
angegeben werden. Nach Ableitung dieser Funktion erhält man den Neigungswinkel der Tangenten,
oder kurz die Neigung:
(11.3)
Für kleinen Winkel kann die Annäherung tgφ=φ eingesetzt werden. Für die Ingenieurpraxis reicht diese
Genauigkeit aus, da für die Konstruktionen und Tragwerke nur kleine Verformungen erlaubt werden.
Nach der erneuten, zweiter Ableitung nach z der Gleichung 11.3.:
(11.4)
Es wurde die Differentialgleichung der elastischen Biegelinie erstellt.
Die Neigung der Balken nach der Gleichung 11.3.
(11.5)
2. Die Verformungsenergie des Biegestabes
Die spezifische Verformungsenergie kann für den Biegestab mittels der Normalspannung σ ermittelt werden:
(11.6)
In der Gleichung σ die Normalspannung und ε die Dehnung bedeuten. Die beiden Größen sind als zur Stabachse
gerichtete Koordinaten zu verstehen. Für die Dehnung (ε) siehe die Gleichung (5.2.).
In einem elementaren Volumenelement dV=dA·dz speicherte Verformungsenergie aus der Gleichung 11.6.:
(11.7)
Nach einsetzen der Zusammenhang
erhalten wir:
(11.8)
Die Verformungsenergie für einen Stab der Länge l :
(11.9)
80
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Durchbiegung, Spannungszustand
und Verformungsenergie von
Balken. Schiefe Biegung.
(Der Ausdruck in eckigen Klammern bedeutet praktisch das Flächenträgheitsmoment!)
Wenn das Moment M keine stetige Funktion der Koordinate z ist, so kann die Integralrechnung für einzelnen
Bereich nur schrittweise durchgeführt werden.
Dieser Zusammenhang - zuletzt als 11.2. - wurde bereits mehrmals eingesetzt:
(11.10
)
Aus den zwei letzten Gleichungen folgt, dass die Verformungsenergie:
(11.11
)
und
(11.12
)
Also die Arbeit auf den Balken wirkenden Momenten mit der Verformungsenergie gleich sind.
(11.13
)
3. Reine, gerade Biegung prismatischer Stäbe
Bei Biegebeanspruchungen wird das Stabelement durch zur Querschnittsebenen orthogonal gerichteten Ebene
wirkende Kräftepaare belastet. Es werden homogene Beanspruchungen untersucht, dass heißt außer Biegung
gibt es keine andere Beanspruchung.
Die Spannungsmatrix kann folgender Form erstellt werden:
(11.14
)
Es handelt sich um dann gerade Biegung , wenn der Momentvektor des wirkenden Kräftepaars einer der
Hauptträgheitsachsen des Querschnittes zusammenfällt.
Die Normalspannung für den Punkt der Koordinate y:
(11.15
)
wo M das Biegemoment, Ix das Flächenträgheitsmoment auf die Schwerpunktsachse bedeutet.
M und y müssen in der Gleichung vorzeichengerecht eingesetzt werden, und dadurch wird auch das Vorzeichen
für die Normalspannung (σ) erstellt.
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Durchbiegung, Spannungszustand
und Verformungsenergie von
Balken. Schiefe Biegung.
Für einen Biegestab gerader Stabachse, belastet durch das Moment M wird Vorausgesetzt, dass die
Belastungsebene die senkrechte x, y Ebene ist. Die Auslegung des Querschnittes kann Vernachlässigt werden.
Es wird weiterhin noch Vorausgesetzt, dass die Verformung elastisch ist, also das Hookesche Gesetz dafür
verwendet werden kann. Die Querschnitte bleiben auch nach der Verformung Ebenen (siehe Kapitel 10).
4. Schiefe Biegung
Es handelt sich um dann schiefe Biegung , wenn der Momentvektor des wirkenden Kräftepaars keiner der
Hauptträgheitsachsen des Querschnittes zusammenfällt.
Soll das Prinzip der Superposition eingesetzt werden, so kann die schiefe Biegung jederzeit zur Summe zwei
gerader Biegungen zurückgeführt werden.
Zur Ermittlung der Spannungen steht uns der folgende Zusammenhang zur Verfügung:
(11.16
)
M 1 und M 2 sind die Komponente des Momentes M in den Hauptrichtungen 1 und 2 sowie I
Hauptträgheitsmomente bedeuten.
1
und I
2
die
Mit dem Winkel (α) zwischen Momentvektor und Hauptrichtung 1:
M1=M·cosα und M2=M·sinα
Abb. 11.3 Erklärung zur schiefen Biegung
BEISPIEL 11.1
Es ist der Festigkeitsnachweis für den skizzierten Biegestab (Abb. 11.4) durchzuführen, wenn das Biegemoment
8 kNm und die zulässige Spannung σzul=180MPa beträgt. Es soll auch der Krümmungsradius ermittelt werden!
(E=210 GPa)
Es handelt sich um eine Aufgabe der geraden Biegung, weil der Querschnitt symmetrisch ist, und das
Biegemoment auch in der Symmetrieebene wirkt.
82
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Durchbiegung, Spannungszustand
und Verformungsenergie von
Balken. Schiefe Biegung.
Abb. 11.4
Die Schwerpunktlage:
Das Flächenträgheitsmoment des Querschnittes Ix :
Die maximalen Zug- und Druckspannungen in den Randfasern:
Da
der Balken hat den Festigkeitsnachweis für Biegung bestanden.
Den Krümmungsradius erhält man:
AUFGABE 11.2
Es ist das maximale Biegemoment für den skizzierten Balkenträger aus Profilstahl I 260 (Abb. 11.5) zu
ermitteln, wenn die Belastung durch eines Rades der Laufkatze in der ungünstigsten Laststelle bei l = 1,4 m mit
F=50 kN beträgt!
Es ist der Festigkeitsnachweis durchzuführen, wenn die zulässige Spannung σ zul=180MPa!
Es soll auch der Krümmungsradius für den Balken ermittelt werden! (E=210GPa)
83
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Durchbiegung, Spannungszustand
und Verformungsenergie von
Balken. Schiefe Biegung.
Abb. 11.5
AUFGABE 11.3
Es ist die Verformungsenergie (die Arbeit des Biegemomentes) für den skizzierten Balkenträger aus Profilstahl I
260 (Abb. 11.6) zu ermitteln, wenn die Belastung durch eines Rades der Laufkatze in der ungünstigsten
Laststelle bei l = 1,4 m mit F=50 kN beträgt! (E=210GPa)
Abb. 11.6
84
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Kapitel 12. Beanspruchung durch
Torsion. Torsion dünnwandiger
Rohre. Torsion für Stäbe mit Kreis
und- Kreisringquerschnitt.
Verformungsenergie für Torsion.
Wenn ein prismatisches Stabelement durch solchen Kräftepaare belastet wird, deren Ebene zur
Querschnittsebenen parallel gerichtet ist, wird die Beanspruchung Torsion bezeichnet. Daraus folgt, dass der
Vektor des Torsionsmomentes zur Querschnittsebenen orthogonal steht. Das Moment, durch die
Torsionsbeanspruchung hervorgerufen wurde, wird T Torsionsmoment genannt. Für einen allgemeinen
Querschnitt können die Spannungen und die Verformungen infolge der Torsion sündhaft kompliziert ermittelt
werden, deswegen wird hier die Analyse nur für die Querschnitte Kreis und Kreisring vorgeführt. Zuletzt
werden einige Zusammenhänge für Torsion dünnwandiger Rohre mitgeteilt.
1. Torsion für Stäbe mit Kreis undKreisringquerschnitt
Die Abbildung 12.1 stellt ein Stabelement der Breite dz eines Kreisquerschnittes dem Radius „r” dar. Die
Grenzflächen des Stabelementes werden durch zwei Gleichgrosse aber gegeneinander gerichtete
Torsionsmomente „T” belastet.
Abb. 12.1 Verformung eines zylindrischen Stabes infolge Torsionsbeanspruchung
Die Querschnitte werden um den Stabachse verdreht, aber ihre Geometrie bleibt unverändert, dass heißt sie
bleiben mit sich zusammenfallend.
85
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Beanspruchung durch Torsion.
Torsion dünnwandiger Rohre.
Torsion für Stäbe mit Kreis undKreisringquerschnitt.
Verformungsenergie für Torsion.
Bei Torsion für Stäbe mit Kreis- und Kreisringquerschnitt wird der Querschnitt nur um die Achse z
verdreht, dementsprechend alle andere Verschiebungen Null betragen.
Es soll das Gleichgewicht einer Scheibe der Dicke dz analysiert werden (Abb. 12.2.)
Abb. 12.2 Spannungs- und Verformungsanalyse für ein Stabelement der Dicke dz
Es werden nur die relativen Verschiebungen untersucht, deswegen wird Angenommen, das der Querschnitt an
der einen Seite - an der Abbildung der Querschnitt links – bewegt sich nicht, und es wird nur in der rechten
Seite eine Verdrehung um dφ in der Querschnittsebene hervorgerufen.
Die mit der Stabachse ursprünglich parallele Mantellinie AA1 wird zur Stabachse z um einen Winkel von γ
verdreht.
Die Bogenlänge
kann durch zwei verschiede Weise erstellt werden:
(12.1)
und daraus
(12.2)
, also der Winkel γ wird gleichzeitig mit dem
Der Querschnitt wird als eine Einheit verdreht, so
Radius größer.
Auf Basis des Hookeschen Gesetzes:
(12.3)
In der Gleichung 12.3. G und
Ebene.
Konstante, der Winkel γ befindet sich in einer, auf dem Radius orthogonaler
Es kann festgelegt werden, dass die Schubspannungen (τ) die im beanspruchten Querschnitt entstehen, mit dem
Radius ρ in linearem Zusammenhang, und darauf orthogonal gerichtet sind.
86
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Beanspruchung durch Torsion.
Torsion dünnwandiger Rohre.
Torsion für Stäbe mit Kreis undKreisringquerschnitt.
Verformungsenergie für Torsion.
Im Querschnitt werden keine Normalspannungen hervorgerufen. Daraus folgt, dass das Torsionsmoment mit der
Resultierende der Schubspannungen gleich ist.
Soll für den Kreisquerschnitt (siehe Abb. 12.3.) die Formänderungsgleichung des tordierten Stabes aufgrund der
Momentengleichgewichtsbedingung konstruiert werden.
Abb. 12.3 Querschnitt eines durch Torsionsmoment „T” belasteten Stabes
Das elementare Moment des Flächenelementes ΔdA:
(12.4)
Die Momentengleichgewichtsgleichung:
(12.5)
Aus der Gleichung 12.3. soll τ eingeschrieben werden:
(12.6)
(12.7)
In dem Zusammenhang ist es der Ausdruck
auffallend, was eigentlich das polare
Flächenträgheitsmoment auf den Schwerpunkt des Querschnittes bedeutet. Auch das in der Gleichung
einzusetzen:
(12.8)
(12.9)
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Beanspruchung durch Torsion.
Torsion dünnwandiger Rohre.
Torsion für Stäbe mit Kreis undKreisringquerschnitt.
Verformungsenergie für Torsion.
Da aus dem Zusammenhang 12.3.
folgt, so
(12.10
)
(12.11
)
die maximale Torsionsspannung:
(12.12
)
Nach Neuordnung der Gleichung 12.9.
(12.13
)
Die Formänderungsgleichung eines tordierten Stabes der Länge l:
(12.14
)
Daraus folgt
(12.15
)
wo φ die relative Verdrehungswinkel zwischen den Endquerschnitten des Stabes der Länge l.
Es ist leicht einzusehen, dass die bisher erzielten Ergebnisse auch für den Kreisringquerschnitt geeignet sind,
hier bedeutet aber Ip das polare Flächenträgheitsmoment des Kreisringes.
Zur Dimensionierung dient der Zusammenhang 12.12.:
(12.16
)
hier bedeutet
das polare Widerstandsmoment.
88
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Beanspruchung durch Torsion.
Torsion dünnwandiger Rohre.
Torsion für Stäbe mit Kreis undKreisringquerschnitt.
Verformungsenergie für Torsion.
Animation 7: Darstellung der Torsion an einer Kreide
2. Verformungsenergie für elastische Torsion.
Bei Torsion entstehen nur Schubspannungen und Winkelveränderungen, die entlang des Querschnittes konstant
sind.
Die spezifische Verformungsenergie aufgrund der Gleichung 12.3.:
(12.17
)
Für ein Stabelement
folgendermaßen erstell werden:
kann die speicherte Verformungsenergie mittels dem Zusammenhang 12.6.
(12.18
)
Hier soll der Ausdruck
erneut eingesetzt werden, so erhalten wir in einem Stabelement mit Kreis-,
oder Kreisringquerschnitt gespeicherte spezifische elastische Verformungsenergie für reine Torsion:
89
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Beanspruchung durch Torsion.
Torsion dünnwandiger Rohre.
Torsion für Stäbe mit Kreis undKreisringquerschnitt.
Verformungsenergie für Torsion.
(12.19
)
In der Praxis wird für Festigkeitsberechnungen diese Gleichung verwendet.
3. Torsion dünnwandiger Rohre
Bei der Analyse dünnwandiger Rohre werden solche prismatische Stäbe untersucht, bei denen die Entfernung
zwischen den Grenzflächen, die Wanddicke im Vergleich zu den anderen Abmessungen des Querschnittes
ausreichend klein beträgt.
Abb. 12.4 Torsion dünnwandiges Rohres
Es wird Angenommen, das im Querschnitt keine Normalspannungen entstehen, und die Schubspannungen zur
mittleren Linie rk der Wanddicke parallel gerichtet sind, (Abb. 12.4), sowie der Betrag der Schubspannung
entlang der Wandstärke konstant ist.
Es wird die Annäherung τ(p)=τ=konstant verwendet.
Die Gleichgewichtsgleichung:
(12.20
)
Laut der Annäherung rk·τ=konstant, deswegen kann vor dem Integral geschrieben werden
(12.21
)
(12.22
)
Da A≅ 2·π·rk·ν, so
(12.23
)
Nach Neuordnung der Gleichung die Schubspannung:
90
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Beanspruchung durch Torsion.
Torsion dünnwandiger Rohre.
Torsion für Stäbe mit Kreis undKreisringquerschnitt.
Verformungsenergie für Torsion.
(12.24
)
Der Ausdruck Ak=π·rk 2 ist praktisch die Fläche des Kreises mit dem Radius rk . So sind wir bei dem Bredtschen
Formel gelandet.
Bei der Anwendung fällt es auf dass die maximale Schubspannung bei minimaler Wandstärke entsteht.
(12.25
)
Ein weiterer Vorteil des Bredtschen Formels liegt daran , dass nicht nur für Kreis-, und Kreisringquerschnitt,
sondern auch für Querschnitte variabler Wandstärke geeignet ist.
BEISPIEL 12.1
Die skizzierte Kurbelwelle (Abb. 12.5.) wird durch die Einzelkraft F=6kN belastet. Der Radius des Kurbelarmes
r=0,3m. Die Kurbelwelle wurde aus Stahl Fe 490-2 gefertigt.
Es ist der notwendige Wellendurchmesser und die spezifische Verdrehung für eine Länge l=0,5m zu ermitteln.
Die zulässige Schubspannung für das Werkstoff Fe 490-2 aus einer geeigneten Tabelle entnommen τzul=54MPa,
der Gleitmodul G=80000MPa.
Abb. 12.5
Das Torsionsmoment als Belastung für die Welle:
T = F·r =6000N·0,3m=1800Nm
Die Schubspannung aus der Grundgleichung für Torsion
Daraus der Durchmesser der Welle:
91
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Beanspruchung durch Torsion.
Torsion dünnwandiger Rohre.
Torsion für Stäbe mit Kreis undKreisringquerschnitt.
Verformungsenergie für Torsion.
Nach oben gerundet der Durchmesser:
d = 60 mm.
Der Verdrehungswinkel in Bogenmaß:
Für eine Länge von l = 1 m:
Die Verdrehung im Grad ausgedrückt:
Dieser Wert ist viel größer als in der Praxis übliche 0,25 ° /m. Deswegen muss auch diese Anforderung bei der
Dimensionierung erfüllt werden.
Der zulässige Verdrehungswinkel im Bogenmaß:
Aus der Formänderungsgleichung:
und der Durchmesser:
dmin=71,6 mm, und nach oben gerundet d=75mm.
Selbstverständlich der Grenzwert für die Schubspannung wird jetzt nicht völlig ausgenutzt,
da in der Welle
92
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Beanspruchung durch Torsion.
Torsion dünnwandiger Rohre.
Torsion für Stäbe mit Kreis undKreisringquerschnitt.
Verformungsenergie für Torsion.
Schubspannung hervorgerufen wird.
BEISPIEL 12.2
Auf die skizzierte Welle (Abb. 12.6.) sind drei Scheiben montiert. Durch eine der Scheiben wird die Welle
angetrieben (zum Beispiel durch einen Elektromotor), die restlichen zwei Scheiben dienen zu den Antrieben von
Arbeitsmaschinen. Es soll ein Entwurf für eine optimale Lösung zur Anordnung der Antriebselemente erarbeitet
werden, für diese Variante sind die Durchmesser der Wellen und die Spannungen zu ermitteln.
Daten: T1=450 Nm (Motor), T2=-150 Nm (Arbeitsmaschine), T3=-300 Nm (Arbeitsmaschine). Das negative
Vorzeichen bedeutet eine Momentabnahme.
φzul=0,25°/m, l1=0,5m, l2=0,6m, der Gleitmodul G=80000MPa.
Abb. 12.6
Für die Anordnung werden drei Varianten erstellt:
Abb. 12.6.b.: der Antriebsmotor treibt die Scheibe mit T1 = 450Nm an der linken Seite an.
93
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Beanspruchung durch Torsion.
Torsion dünnwandiger Rohre.
Torsion für Stäbe mit Kreis undKreisringquerschnitt.
Verformungsenergie für Torsion.
Abb. 12.6.c.: der Antriebsmotor mit T1 = 450Nm wird in der Mitte der Welle angeordnet, so das die Scheibe mit
T2 = -150 Nm Momentabnahme an der linken Seite befestigt wird.
Abb. 12.6.d.: der Antriebsmotor mit T1 wird ebenso in der Mitte der Welle angeordnet, so das die Scheibe mit T2
= -150 Nm Momentabnahme an der rechten Seite der Welle befestigt wird.
Die Abbildungen 12.6. b., c., d. beweisen eindeutig, dass die Variante der Abbildung 12.6. d. am günstigsten ist.
Die Ursachen: für eine längere Welle beträgt die Torsionsbeanspruchung weniger, und dadurch wird eine
kleinere Verdrehung verursacht.
Für alle Varianten kann die Analyse mathematisch durch den Zusammenhang für den Verdrehwinkel
durchgeführt werden:
Bemerkung: die Anordnung nach Abb. 12.6.b. ist sehr ungünstig, weil die Verdrehungen der einzelnen Wellen
summiert werden:
Aufgrund der Schnittgrößenverlaufe steht fest, dass die Momentübertragung völlig durchgeführt wird, die Welle
durch ein Gleichgewichtssystem belastet ist. Die vorzeichenrechte Summe der Torsionsmomente:
T1+T2+T3=0
Aufgrund der Abbildung 12.6. d. der zulässige Verdrehwinkel für die Wellensektion „B“:
und daraus der Durchmesser d 2
d2=40,26mm, aufgerundet d2=45mm
Die Schubspannung:
Für die Wellensektion „A“ kann man ähnlich vorgehen. Der Durchmesser d 1:
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Beanspruchung durch Torsion.
Torsion dünnwandiger Rohre.
Torsion für Stäbe mit Kreis undKreisringquerschnitt.
Verformungsenergie für Torsion.
d 1=45,74mm, aufgerundet d 1=50mm
Die Schubspannung:
AUFGABE 12.3
Durch eine Welle wird bei einer Drehzahl 400 1/min die Leistung 120 kW übertragen.
Die zulässige Schubspannung für den Werkstoff der Welle beträgt 25 N/mm 2.
a., Es ist der minimale Durchmesser für eine massive, vollzylindrische Welle zu ermitteln!
b., Es sind die Durchmesser für eine Welle mit Kreisringquerschnitt für D/d=2,5 zu ermitteln!
c., Es soll die Materialeinsparung prozentual ausgedruckt werden, wenn statt eine vollzylindrische Welle
Kreisringquerschnitt verwendet wird!
AUFGABE 12.4
Ein Stab mit dem Durchmesser 25 mm, der Länge 1,5 m wird auf reine Torsion beansprucht.
Beide Ende des Stabes werden durch 300 mm längen Kurbeln mit Einzelkräfte je 200 N belastet.
Es ist der relative Verdrehwinkel des Stabes zu berechnen! Der Gleitmodul G = 80000MPa.
AUFGABE 12.5
Durch eine Welle wird bei einer Drehzahl 250 1/min die Leistung 1470 kW übertragen.
Die zulässige Schubspannung für den Werkstoff der Welle beträgt 60 N/mm 2.
Es sind die Durchmesser für eine Welle mit Kreisringquerschnitt für D/d = 1,5 zu ermitteln!
95
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Kapitel 13. Schlanke Druckstäbe.
Elastische und plastische Knickung.
Die Analyse schlanker Druckstäbe wird an einem prismatischen Stab gerader Stabachse mit der Länge „l”
vorgeführt. Der Stab wird durch eine Einzelkraft im Schwerpunkt des Querschnittes, also zentrisch auf Druck
belastet. Für eine erste einfache Variante soll der Stab an beiden Enden zu Kugelgelenken befestigt werden, aber
eine davon geeignet ist die Verschiebung in Längsrichtung zu gewährleisten. Der Werkstoff des Stabes soll
elastisch betrachtet werden, beliebiger Querschnitt und infolge der Druckkraft wird der Stab laut des
Hookeschen Gesetzes zusammengeschrumpft.
Abb. 13.1 Die Knickung
In einem durch die Einzelkraft F zentrisch belasteten Stab, der Querschnittsfläche A wird die Spannung
hervorgerufen.
In einem Grenzzustand zwischen elastischen und plastischen Verformung, also dann, wenn der Stab infolge
einer kritischen Kraft (Fk ) eine labile Lage (Gleichgewichtslage) erreicht, auch die Spannung kann als kritischer
Wert betrachtet werden:
(13.1)
Die Knickung auf Druck zentrisch belasteter, gerader Stäbe hat als erste Leonard Euler (1707-1783) untersucht
und die Ergebnisse dokumentiert.
Wenn die Druckkraft ihren kritischern Wert erreicht, befindet sich der Stab auch im ausgeknicktem Zustand in
Ruhelage. Es soll die Bezugsachse „z” die Längsachse des Stabes bedeuten, und die Bezugsachse „y” in der
Verformungsebene orthogonal auf „z” gewählt werden.
Es ist klar zu sehen, dass die Verschiebung in Richtung y nicht nur aus dem zentrischen Druck stammt, sondern
der Querschnitt des Stabes wird auch durch ein Moment belastet.
Dieses Biegemoment (M) gewährleistet, dass der gekrümmte Stab seine Ruhelage behalten kann.
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Schlanke Druckstäbe. Elastische und
plastische Knickung.
(13.2)
Die Differentialgleichung der elastischen Linie:
(13.3)
wo I2 das kleinste Hauptträgheitsmoment, also das minimale Trägheitsmoment auf die Schwerpunktsache
bedeutet. Nach Neuordnung der Gleichung erhalten wir die Eulersche Differentialgleichung:
(13.4)
, wo
(13.5)
Die allgemeine Lösung dieser homogenen, linearen Differentialgleichung zweiter Ordnung:
(13.6)
wo A und B unbekannten Konstanten bedeuten.
Festlegung der Randbedingungen.
Die waagerechte Verschiebung an beiden Enden des Stabes beträgt Null, daraus folgt:
I.
für die Koordinate z = 0 und auch
y = 0.
Damit erhält man aus der allgemeinen Lösung B = 0, so das Ergebnis
y=A·sinαz
II.
für die Koordinate z = l und auch
y = 0.
So sind wir bei der Gleichung A·sinαl=0 gelandet, die zwei mögliche Lösungen enthält:
1. A= 0, und y = 0. Es bedeutet das die Stabachse ungekrümmt, dass heißt gerade bleibt.
Diese Variante erfüllt die Anforderungen der Theorie erster Ordnung.
2. sinαl=0 αl=n·π,
wo n=0,±1,±2,±3...
Diese Lösung kann für negative Zahlen n und für Null nicht interpretiert werden!
All das in die Gleichung 13.5. einzusetzen, und nach Umformung für Fk :
(13.7)
97
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Schlanke Druckstäbe. Elastische und
plastische Knickung.
(13.8)
Da dieser Zusammenhang von n und auch von I2 abhängig ist, so können unendlich viele Lösungen existieren.
Wir benötigen davon den Minimalwert für Fk, weil das in der Praxis maßgebend ist.
Der Betrag von Fk wird dann minimal, wenn n = 1 und gleichzeitig auch I minimal ist.
Diese letzte Anforderung wurde bereits in der Gleichung 13. 3. erfüllt. Damit die Gleichung:
(13.9)
Damit haben wir den Zusammenhang für die kritische Kraft nach Euler erstellt.
Die kritische Spannung:
(13.10
)
Abb. 13.2 Modellgestaltung für Knickung mit Sinuswelle
In der Gleichung ist
Trägheitsradius”
der minimalen Trägheitshalbmesser hoch zwei beziehungsweise
„der
zu erkennen.
Es ist vorteilhaft der Begriff Schlankheitsgrad einzuführen:
(13.11
)
98
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Schlanke Druckstäbe. Elastische und
plastische Knickung.
So die kritische Spannung nach Euler:
(13.12
)
Das Ergebnis wurde aus der, auf Basis des Hookeschen Gesetzes erstellten Differentialgleichung der elastischen
Linie erzielt.
Logischer weise es ist erst dann gültig, wenn die Knickung bei einer Spannung unter der Proportionalitätsgrenze
erfolgt, also:
(13.13
)
Daraus erhält man den Schlankheitsgrad:
(13.14
)
und dann kann der Grenzwert des Schlankheitsgrades für elastische Knickung erstellt werden:
(13.15
)
Erst dann handelt sich um elastische Knickung, wenn der Schlankheitsgrad des Stabes nicht kleiner als der
Grenzwert des Schlankheitsgrades für elastische Knickung beträgt, dass heißt λ≥λ 0. Daraus folgt, dass die
Theorie für elastische Knickung nur für so genannten schlanke Stäbe verwendet werden kann.
In der Gleichung α·l=n·π (13.7.) soll n = 1 eingesetzt werden, und dann für α umgesetzt führt zu
erhalten wir das Ergebnis
. So
.
Der Stab folgt in deformiertem Zustand eine halbe Sinuswelle die durch die zwei Gelenke geführt wird. Die
halbe Längenwelle bedeutet (jetzt die Länge des Stabes l) die Knicklänge .
Falls die Randbedingungen des Stabes von der Abb. 13.1 abweichen, dann muss die Kicklänge (l 0) durch einen
Beiwert „β” korrigiert werden.
(13.16
)
l bedeutet hier die tatsächliche Länge Stabes.
Für häufig eingesetzte Randbedingungen enthält den Beiwert a „β” die Abb. 13.3.
99
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Schlanke Druckstäbe. Elastische und
plastische Knickung.
Abb. 13.3 Numerische Werte für den Beiwert „β“
Plastische Knickung
Wenn λ<λ0 beträgt, so erfolgt die Knickung außerhalb der elastischen Bereich, also es handelt sich um eine
plastische Knickung.
Es wurden zahlreiche Untersuchungen zu diesem Thema durchgeführt, und auch mehrere Hypothesen
aufgestellt. Die sind überwiegend sehr zusammengesetzt und kompliziert, deswegen werden hier nicht erörtert.
Eine der besten Annäherungen hat aufgrund von Untersuchungen ein Wissenschaftler ungarischer Abstammung
Tetmajer, Lajos (1850-1909) erarbeitet.
Er hat bewiesen, dass die Stäbe außerhalb der elastischen Bereich bei kleineren Spannungen ausknicken als aus
der Eulerschen Gleichung ermittelt werden kann.
Die kritische Spannung nach Tetmajer für λ<λ0:
(13.17
)
Wo „a” und „b” werden Materialkonstanten bezeichnet mit der Maßeinheit MPa.
Abb. 13.4 Die kritische Spannung als Funktion der Schlankheitsgrad
Richtwerte für Schlankheitsgrad und für die Konstante „a” und „b” wichtiger Werkstoffe:
100
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Schlanke Druckstäbe. Elastische und
plastische Knickung.
Stahl
(13.18
)
Gusseisen
(13.19
)
Holz
(13.20
)
Ein anderer, weltberühmter ungarischer Physiker und Maschinenbauingenieur Kármán, Tódor (1881-1963) hat
sich auch mit der Knickung beschäftigt, und er hat die vorherigen Ergebnisse korrigiert.
Aufgrund seine Feststellungen die üblichen Sicherheitsfaktoren für Festigkeitsberechnungen:
Stahl: b = 1,7-3,5
Gusseisens: b = 6
Holz: b = 4-5
BEISPIEL 13.1
Es ist die Dimensionierung für den senkrecht angeordneten Pfosten aus Normstahl I für Knickung
durchzuführen (Abb. 13.5.)! Die Intensität der Streckenlast beträgt 100 kN/m.
σzul = 120 MPa.
Abb. 13.5
Wie es auf der Abb. 13.5.a. dargestellt ist, infolge der Streckenlast wird der senkrechte Pfosten durch die Lager
bei B mit einer Druckkraft belastet. Diese Beanspruchung wird durch die Abb. 13.5.b. abgebildet, modelliert.
Ermittlung der Lagerkräfte:
Die erforderliche Querschnittsfläche für den Pfosten:
101
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Schlanke Druckstäbe. Elastische und
plastische Knickung.
Nach die minimale Querschnittsfläche ermittelt wurde, kann der Profil I 140 gewählt werden, deren Kennwerte
aus der Norm:
A = 18,3 cm2, beziehungsweise iy = i 2 = 1,40 cm.
Die hervorgerufene Druckspannung auf Basis der Ausgangsdaten:
Die Knicklänge für die Dimensionierung kann durch den Beiwert „β” aus der Abb. 13.3 des Kapitels 13.
ermittelt werden:
l=βL=2·0,9m=1,8m
Damit der Schlankheitsgrad:
λ>λ0, wo λ0 für Stahl 105 ist.
Aufgrund der Abb. 13.4 des Kapitels 13. soll die kritische Spannung nach Euler bestimmt werden:
Es bedeutet: der Normstahl I 140 hat die Anforderungen für Knickung nicht erfüllt !
Wähle man ein Normprofil I 180, deren Kennwerte aus der Norm:
A = 27,9 cm2, beziehungsweise iy = i 2 = 1,71 cm.
Die hervorgerufene Druckspannung auf Basis der neuen Ausgangsdaten:
Damit der Schlankheitsgrad:
Es wird auch jetzt die kritische Spannung nach Euler bestimmt werden:
Der Normstahl I 180 hat die Anforderungen für Knickung erfüllt !
AUFGABE 13.2
Es sind einige Daten für den skizzierten Scheibenabzieher (Abb. 13.6.) zu ermitteln! Auf die Spindel wirkt durch
einen Hebelarm der Länge l1=200 mm eine Kraft von 150 N. Werkstoffbezeichnung für die Spindel Fe 355,
Gewinde M 20. Die freie Knicklänge beträgt s=l2= 380 mm. Die Mutter wurde aus Bronze gefertigt, deren
zulässiger Oberflächendruck 12 N/mm2 beträgt.
102
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Schlanke Druckstäbe. Elastische und
plastische Knickung.
Abb. 13.6
103
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Kapitel 14. Membrantheorie
dünnwandiger Rotationsschalen.
Dimensionierung,
Festigkeitsnachweis von Behältern.
Die Maschinen werden teilweise zum Transportieren und zur Lagerung von Flüssigkeiten beziehungsweise
Gase eingesetzt, oder dienen als Anlagen für chemische Reaktionen in den Zwischenphasen. All das erfolgt
meistens unter hohem Betriebsdruck. In der chemischen Industrie werden die chemischen Reaktionen meistens
zwischen flüssiger oder gasförmiger Materialen durchgeführt, die Materialen sind meistens gefährlich für die
Umwelt und das chemische Prozess wird sehr häufig bei hohem Temperatur durchgeführt. Der Ingenieur muss
deswegen bei der Dimensionierung von Rektorgefäßen für Kernkraftwerke, Autoklaven oder Druckkesseln mit
äußerordentlicher Sorgfalt umgehen und die geeigneten Werkstoffe wählen. Mangelhaftes oder falsches
Konstruktionsverfahren kann zur vorzeitigen Schädigung, Explosion des Gerätes führen, oder andere ernste
Umweltkatastrophe verursachen. Der Einsatz des Werkstoffes von Geräten an hohen Temperaturen wird in der
Dimensionierung so beigebracht, dass die Temperaturabhängigkeit der Materialkennwerte beachtet wird. Vor
allem die Werte von Elastizitätsmodul und besonders die Streckgrenze mit zunehmenden Temperaturen immer
kleiner werden. Aus Festigkeitsgründen kann die Druckbeständigkeit des Rohres oder Gerätes als wichtigstes
Erfordernis geklärt werden. Alle Rohre und viele Geräte der chemischen Industrie sind meistens
Rotationsflächen. Wenn die Wanddicke einer Schale viel kleiner als der Durchmesser beträgt (ν/D ≈ 0,05), dann
wird Rotationsschale bezeichnet. Nachstehend werden nur die, mit Innendruck belasteten Rotationsschalen
analysiert, da der Maschinenbauingenieur in der Praxis am häufigsten solche Probleme lösen muss. Es wird
vorausgesetzt, dass sich die Flüssigkeit oder das Gas im Behälter in Ruhelage befindet, beziehungsweise das
Medium ideal ist, dass heißt keine innere Reibung aufweist (es werden innen keine Schubspannungen
hervorgerufen), so kann der Druck in der Flüssigkeit frei fortpflanzen, und dessen Wirkung auf die Wand des
Behälters orthogonal ist.
Aus der Rotationsschale eines durch Innendruck belasteten Gerätes soll ein elementares Ringelement mit der
Breite dx und mit der Bogenlänge rdφ entnommen werden, siehe Abb. 14.1.:
Abb. 14.1 Durch Innendruck belastetes dünnwandiges Rohr
Die axiale Belastung des Rotationsschales soll vorübergehend nicht berücksichtigt werden. Die
Gleichgewichtsgleichung des elementaren Ringelementes aufgrund des Kräfteplans:
(14.1)
Da der Winkel dφ unendlich klein ist, kann die folgende Annäherung getroffen werden:
104
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Membrantheorie dünnwandiger
Rotationsschalen. Dimensionierung,
Festigkeitsnachweis von Behältern.
(14.2)
All das in die Gleichung 14.1. einzusetzen, und nach einer formalen Dividierung mit dx, beziehungsweise mit
dφ erhält man:
(14.3)
also die Gleichung nach Umsetzung und mit dem Durchmesser der Rotationsschale:
(14.4)
Die Gleichung 14.4. ist in der Praxis als die sogenannte Kesselformel verbreitet.
Die aus der Kesselformel ermittelte Spannung ist eine Tangentialspannung, also σ = σ t . Die Radialspannung ist
gleich mit dem Innendruck, dass heißt σ r = - σ .
Wenn das Gerät (Behälter) eine geschlossene Konstruktion ist, da muss auch eine axiale Spannung in der
Rotationsschale berücksichtigt werden.
Für einen auf Inndruck p belasteten zylindrischen Behälter die auf den Deckeln wirkende axiale Kraft aufgrund
der Abb. 14.2.:
Abb. 14.2 Durch Innendruck belasteter Druckkessel
(14.5)
Die Axialkraft F a wird an der Fläche A = Dπν gleichmäßig verteilt, deswegen die axiale Spannung:
(14.6)
Alle drei Spannungen (die Tangentialspannung, die Radialspannung, und die axiale Spannung) sind
Hauptspannungen:
(14.7)
(14.8)
Es soll die Vergleichsspannung nach der Mohrschen Theorie ermittelt werden:
105
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Membrantheorie dünnwandiger
Rotationsschalen. Dimensionierung,
Festigkeitsnachweis von Behältern.
(14.9)
Bei der Dimensionierung von Rotationsschalen wird in der Praxis das Verhältnis 2ν/D vernachlässigt, und
einfach die Kesselformel eingesetzt:
(14.10
)
Die Vergleichsspannung nach der Theorie von Huber-Mises-Hencky:
(14.11
)
In die Gleichung 14.11. sollen die Gleichungen 14.7-8. eingesetzt werden, damit:
(14.12
)
Der Multiplikator der Kesselformel würde erst für den Fall ν> 0,077D größer als der bisherige, also bis zur diese
Grenze reicht es tatsächlich aus die Dimensionierung einfach mit der Kesselformel (siehe Gleichung 14.10)
durchzuführen.
Eine weitere Bemerkung: in der Praxis werden die durch Innendruck belasteten Kessels und Geräte vor der
Inbetriebnahme mit Flüssigkeit gefüllt um die Druckprobe durchführen zu können, und der Probedruck wird in
bestimmten Fällen bis zur Streckgrenze des Werkstoffes erhöht. Hierbei ist es gar nicht wichtig, das an einigen
Stellen - zum Beispiel in der Umgebung von Auflagerungen - die Streckgrenze des Werkstoffes überschreitet
wird, weil hier dann sich der Werkstoff verfestigt und später stärker wird. Im Behälter werden bleibende
Verformungen hervorgerufen, aber die verursachen keine weiteren Probleme in dem praktischen Einsatz der
Anlage.
106
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Membrantheorie dünnwandiger
Rotationsschalen. Dimensionierung,
Festigkeitsnachweis von Behältern.
Animation 8: Aufreißen eines Behälters in Längsrichtung (z. B.: Würstchen)
BEISPIEL 14.1
Ein zylindrischer, dünnwandiger Kessel mit dem Innendurchmesser D = 1200 mm, Wandstärke ν = 8 mm steht
unter einem Innendruck p = 4 bar. Es sind die Spannungen sowie die Vergleichsspannung in der Kesselwand zu
ermitteln!
Die Spannung kann mittels der so genannten Kesselformel (14.4.) berechnet werden:
Die Hauptspannungen in tangentialer, radialer, und axialer Richtung (14.7-8.):
Die Matrix des Spannungszustandes:
107
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Membrantheorie dünnwandiger
Rotationsschalen. Dimensionierung,
Festigkeitsnachweis von Behältern.
Die Vergleichsspannung nach der Mohrschen Spannungstheorie (14.9.):
σver=σ1-σ3=30MPa-(-0,4MPa)=30,4MPa.
Die Vergleichsspannung nach der Theorie von Huber-Mises-Hencky (14.11.):
AUFGABE 14.2
Ein zylindrischer, dünnwandiger Kessel mit dem Innendurchmesser D=600 mm, steht unter einem Innendruck
p=8 bar. Es ist die Wandstärke zu ermittelt, wenn die zulässige Spannung im Kesselmantel σ zul=100 MPa
beträgt.
AUFGABE 14.3
Ein zylindrischer, dünnwandiger Kessel mit der Wandstärke ν=12 mm, steht unter einem Innendruck p=4 bar.
Es ist der maximale Innendurchmesser des Kessels zu ermitteln, wenn die zulässige Spannung im Kesselmantel
σzul=80 MPa beträgt.
108
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Kapitel 15. Festigkeitsberechnung
In der allgemeinen Interpretation der Festigkeitslehre wurden die Folgen von Belastungen der Bauteile erklärt:
die im Bauteil hervorgerufenen Spannungen beziehungsweise die dadurch verursachten Verformungen.
Die Grundgleichungen der Festigkeitslehre ermöglichen dem Ingenieur im beliebigen Punkt eines
Maschinenbauteiles die Spannungen oder die Verformung in der Umgebung des Punktes zu ermitteln. Er kann
den gefährdeten Punkt des Bauteiles, wo die maximale Spannung oder Verformung entsteht und deren Betrag
vergleicht mit den Festigkeitskennwerten des Werkstoffes, oder mit den für die Verformungen zugelassenen
Grenzwerten, und erst dann kann entscheiden, ob die Festigkeitsberechnung richtig ist oder nicht? Dieses
Verfahren heißt in der Praxis Festigkeitsnachweis .
Die technischen Wissen ermöglichen die Festigkeitsberechnung gleichzeitig mit der Konstruktion, also bereits
mit der Bestimmung der Geometrie des Bauteiles durchzuführen. Diese Methode heißt in der Praxis
Dimensionierung .
Zum Festigkeitsnachweis und zur Dimensionierung sind die Materialkennwerte des Werkstoffes des
konstruierenden, tragfähigen Bauteiles notwendig. Die Materialkennwerte der Werkstoffe werden meistens in
Normen festgelegt und von allen Herstellern garantiert. Die Materialkennwerte des Werkstoffes für die
Festigkeitsberechnung werden üblicherweise durch Zugproben ermittelt, dabei werden die Probestäbe auf Zug
belastet. Bei der Zugprobe entsteht im Probestab eine einachsige und homogene Spannung. In den von der
Konstrukteur entworfenen Bauteilen können die durch die Beanspruchungen hervorgerufenen Spannungen nur
sehr selten einachsig und homogen betrachtet werden, für einen allgemeinen Belastungsfall die Spannung als
eine vektorieller Größe, also der Betrag, der Richtungssinn, und die Wirkungslinie in allen Punkten des
Bauteiles unterschiedlich wird. Wie, auf welcher Basis kann dieser sogenannte mehrachsige Spannungszustand
mit der durch eine einachsige Zugprobe in einachsigem Spannungszustand bestimmte Materialkennwerte
verglichen werden?
Diese Frage kann mehrfach, durch die Spannungstheorien beantwortet werden. In allen Spannungstheorien
werden die Ursachen der Zerstörungen geforscht (Brüche, Risse oder bleibende Verformungen) und die werden
dann mit den im Werkstoff entstehenden Spannungen, beziehungsweise mit deren Typ und Betrag
zusammengekoppelt, analysiert. Die Festigkeitseigenschaften der Werkstoffe sind sehr abwechslungsreich, sie
können zähige, spröde, in weitem Bereich elastische, weiche, harte und so weiter Eigenschaften aufweisen.
Diese Eigenschaften beeinflussen bedeutend die Neigung zu den Anrissen, Brüchen, oder lokalen Strecken oder
Fliessen die zur bleibenden Verformungen führen. Dementsprechend gibt es keine universelle, für alle
Werkstoffe geeignete Spannungstheorie. Die praktische Erfahrung des Ingenieurs kann deutlich beitragen dazu,
dass für einen bestimmten Werkstoff und Beanspruchung welche Spannungstheorie am besten geeignet ist.
Es wird bei allen Spannungstheorien ein mehrachsige Spannungszustand mit einem einachsigen
Spannungszustand der Zugprobe verglichen.
In den Spannungstheorien wurde der Begriff Vergleichsspannung ( σver ) eingeführt, das bedeutet, dass die
Wirkungen mehrachsige und einachsige Spannungszustände gleichwertig sind.
In der Umgebung eines bestimmten Punktes P des Bauteiles wird der Spannungszustand durch die drei
Hauptspannungen eindeutig bestimmt. Anhand von Hauptspannungen kann der Spannungszustand dreiachsige
(räumliche), zweiachsige (ebene) und einachsige (lineare) sein.
Abb. 15.1 Spannungszustände
109
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Festigkeitsberechnung
Aufgrund der bisherigen Erfahrungen die Werkstoffe sind dann für einen dreiachsigen Druck oder Zug viel
mehr geeignet wenn die drei Hauptspannungen annähernd gleich sind, als eine der drei Hauptspannungen
kleiner als die anderen beträgt. Es kann eine völlig andere Verhalten oder Reaktion beobachtet werden, wenn
alle Hauptspannungen positiv oder negativ sind, und die Tragfähigkeit kann völlig unterschiedlich sein, wenn
sich das Vorzeichen der Hauptspannungen verwechselt.
Die Proportionalitätsgrenze σp als Werkstoffkennwert darf die obere Grenze für die maximale Spannung des
konstruierten Bauteiles festgelegt werden.
Gleichzeitig ist für den Ingenieur nicht erlaubt die Anlage für extreme Belastungsfällen zu gestalten, da es
können solche Situationen (zum Beispiel kurzzeitige Spitzenbelastungen) vorkommen, damit man im Voraus
nicht rechen kann.
In der Praxis wird ein sogenannter Sicherheitsfaktor (b) eingesetzt, deren Wert je nach Fachgebieten völlig
unterschiedlich betragen kann.
Anhand von Sicherheitsfaktor erhält man die zulässige Spannung (σzul
Vergleichsspannung sein muss:
), die immer kleiner als die
(15.1)
110
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Kapitel 16. Die Mohrsche
Spannungstheorie.
Diese Spannungstheorie wurde von dem deutschen Ingenieur Otto Mohr erarbeitet. Er hat die Theorie
folgendermaßen formuliert: die Spannungszustände können als gleichwertig beurteilt werden, bei denen die
Differenzen zwischen den größten und kleinsten Hauptspannungen übereinstimmen. Die Relation zwischen den
Hauptspannungen aufgrund der Gleichung 3.3.:
(16.1)
und die Ermittlung der Vergleichsspannung nach Mohr:
(16.2)
Laut der Mohrschen Spannungstheorie die Vergleichsspannung mit dem größten Durchmesser des Mohrschen
Spannungskreises gleich is.
Durch die gleichwertig behandelte reine Zugprobe wird ein einaschsieger Spannungszustand verursacht, dessen
Hauptspannungen wie folgt:
(16.3)
(16.4)
(16.5)
Als bei einem reinen Zug die Vergleichspannung und die Zugspannung gleichgroß betragen:
(16.6)
In der Praxis erhält der Ingenieur sehr häufig solche Aufträge, dass eine Welle für gleichzeitige Biegung und
Torsion dimensionieren werden soll.
In diesem Belastungsfall der Matrix der Spannungstensor in der Umgebung eines Punktes P der untersuchten
Welle:
(16.7)
Der Spannungszustand und dessen Mohrsche Spannungskreis in der Umgebung des Punktes P:
111
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Die Mohrsche Spannungstheorie.
Abb. 16.1 Spannungszustand und Mohrsche Spannungskreis in einem Punkt eines Stabes für gleichzeitige
Biegung und Torsion
Die Berechnung von Hauptspannungen erfolgt mit σ 3 = 0 Laut der Kapitel 3.1.:
(16.8)
(16.9)
Die Gleichungen 16.8-9. sollen in die Gleichung 16.2. eingesetzt werden, so erhält man in einem Punkt die
Vergleichsspannung der Welle nach Mohr für gleichzeitige Biegung und Torsion:
(16.10
)
Das gleiche Ergebnis kann auch dann erzielt werden, wenn man den Durchmesser des Mohrschen
Spannungskreises (siehe Abb. 16.1.) auf geometrischer Basis, aus dem Satz von Pythagoras ermittelt.
BEISPIEL 16.1
Es ist der Durchmesser des Querschnittes für den eingespannten Balken (Abb. 16.2) nach der Mohreschen
Spannungstheorie nachzuweisen!
a=0,3 m, b=0,5 m, F=12 kN, M0=10 kNm, q=10 kN/m, T=30 kNm, σ zul=400 MPa.
Abb. 16.2
Die Flächenträgheitsmomente des Kreisringquerschnittes:
, und Ip=2Ix=3,376·106mm4.
Die Schnittgrößenverlaufe des Balkens:
112
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Die Mohrsche Spannungstheorie.
Abb. 16.3
Der Absolutwert des maximalen Biegemomentes im Balken M
Normalspannung σ:
max
=5,95 kNm beträgt. Damit die maximale
Die maximale Schubspannung aus der Torsion :
Die Vergleichsspannung nach der Mohreschen Spannungstheorie für gleichzeitige Biegung und Torsion
(16.10.):
Die Vergleichsspannung ist größer als die zulässige Spannung
Festigkeitsnachweis nicht bestanden.
, der Balken hat den
BEISPIEL 16.2
Es ist der Durchmesser des Kreisquerschnittes für den Balken (Abb. 16.3) nach der Mohreschen
Spannungstheorie zu ermitteln!
l=0,5 m, F=20 kN, q=16 kN/m, T1=10 kNm, T2=30 kNm, T3=40 kNm, σ zul=350 MPa.
Abb. 16.3
113
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Die Mohrsche Spannungstheorie.
Die Flächenträgheitsmomente des Kreisquerschnittes:
, und Ip=2Ix .
Die Schnittgrößenverlaufe des Balkens:
Abb. 16.3a
Die Vergleichsspannung nach der Mohreschen Spannungstheorie für gleichzeitige Biegung und Torsion
(16.10.):
und daraus der Durchmesser des Kreisquerschnittes:
In der gesamten Balkenlänge gibt es zwei Stellen z=l und z=2l wo die Beanspruchungen Extremwerte
aufweisen, so muss die Festigkeitsberechnung für beide Koordinaten durchgeführt werden:
114
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Die Mohrsche Spannungstheorie.
Also die maximalen Beanspruchungen an der Stelle z=2l zu finden sind. Damit der Durchmesser des
Kreisquerschnittes:
AUFGABE 16.3
Es ist der Durchmesser des Kreisringquerschnittes für den Balken (Abb. 16.4) nach der Mohrschen
Spannungstheorie nachzuweisen!
l=0,2 m, F=15 kN, q=12 kN/m, M0=16 kNm, T1=13 kNm, T2=26 kNm, T3=39 kNm, σzul=300 MPa.
Abb. 16.4
AUFGABE 16.4
Es ist der Durchmesser des Kreisquerschnittes für den Balken (Abb. 16.5) nach der Mohrschen
Spannungstheorie zu ermitteln!
a=0,5 m, b=0,9 m, F=25 kN, M0=18 kNm, q=14 kN/m, T=18 kNm, σ zul=330 MPa.
Abb. 16.5
115
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Kapitel 17. Die Spannungstheorie der
Verzerrungsarbeit.
Diese Spannungstheorie haben drei Wissenschaftler, der polnische Maschinenbauingenieur Tytus Maksymilian
Huber (1872–1950), der Mathematiker aus den USA Richard Edler von Mieses (1883–1953), und der deutsche
Ingenieur Heinrich Hencky (1885–1951) erarbeitet. Es wurde diese Theorie folgendermaßen formuliert: die
Spannungszustände können als gleichwertig beurteilt werden, bei denen die auf Volumen bezogene spezifische
Verzerrungsarbeiten übereinstimmen. Die Spannungstheorie der Verzerrungsarbeit wird meistens abgekürzt, als
Huber-Mises-Hencky-, oder HMH-Theorie erwähnt.
Bei einem elastischen Verformungszustand wird durch die Arbeit des äußeren Kraftsystems (oder der
Belastung) im Bauteil als innere Energie gespeichert, die dann Verformungsenergie bezeichnet wurde. Die
Verformungsenergie kann in den beliebigen Punkten des Körpers völlig unterschiedlich sein. Deshalb wurde es
zweckmäßig den Begriff auf den Volumen, auf dem unendlich kleinen Volumenelement bezogene
Energiedichte einzuführen (Gleichung 7.1.):
(17.1)
wo U die gespeicherte Verformungsenergie für den Volumen V .
Wenn in einem Punkt P des Bauteiles die Hauptspannungen vorhanden sind, kann die spezifische Energie, oder
die Energiedichte durch die Gleichung 7.10. ermittelt werden:
(17.2)
Die Verformung kann mit gleichzeitiger Volumenänderung und Deformation ohne Volumenänderung, mit
Verzerrung erfolgen.
Es soll die spezifische Verformungsenergie mit uv und die spezifische Verzerrungsenergie mit ut bezeichnet
werden. Als Summe beider Parameter erhält man die Energiedichte:
(17.3)
Die spezifische Verformungsenergie mit gleichzeitiger Volumenänderung entsteht als die Arbeit der drei
Hauptspannungen, deren Mittelwert σk beträgt:
(17.4)
Aus dem Hookeschen Gesetz die mittlere spezifische Dehnung:
(17.5)
Die spezifische Verformungsenergie mit gleichzeitiger Volumenänderung kann durch das Skalarprodukt der
Spannungs- und Formänderungstensoren aus der Gleichung 7.6. ermittelt werden:
116
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Die Spannungstheorie der
Verzerrungsarbeit.
(17.6)
Die Gleichung 17.5. soll in die Gleichung 17.4. eingesetzt werden, daraus folg:
(17.7)
In der Gleichung 17.7. soll der Mittelwert der Hauptspannungen σk aus der Gleichung 17.4. verwendet werden.
Aus der spezifischen Verformungsenergie uv (Gleichung 17.7.) soll dann die Gleichung 17.2. substituiert
werden, und nach einsetzen der Gleichung 17.3. erhält man die spezifische Verzerrungsenergie ut . Das
Ergebnis der vorherigen Operationen:
(17.8)
Die spezifische Verzerrungsenergie kann auch durch die Vergleichsspannung für einachsigen Zug aufgrund der
Gleichung 17.8. berechnet werden:
(17.9)
Da beide spezifischen Verzerrungsenergien aus der Gleichungen 17.8. und 17.9. einstimmen:
(17.10
)
Nach Umsetzung der Gleichung erhält man die Vergleichsspannung nach der Theorie von Huber-MisesHencky, die auf die Äquivalenz beiden spezifischen Verzerrungsenergien basiert ist:
(17.11
)
Es soll auch hier analysiert werden, wie bereits im Kapitel 16. eingehend mitgeteilt wurde, wie die Wellen für
gleichzeitige Biegung und Torsion dimensionieren werden sollen. Der Matrix des Spannungstensors in der
Umgebung des Punktes P der Welle auch jetzt, wie früher:
(17.12
)
Die Hauptspannungen können wie im Abschnitt 3.1. ( σ 3 = 0!) ermittelt werden:
(17.13
)
(17.14
)
117
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Die Spannungstheorie der
Verzerrungsarbeit.
Da σ 3 = 0 beträgt, die Vergleichsspannung aus der Gleichung 17.11.:
(17.15
)
Auf Basis der Gleichungen 17.13–14. und 17.15. erhält man eine einfache Lösung zur Berechnung der
Vergleichsspannung in einem Punkt des Stabes für gleichzeitige Biegung und Torsion nach der Theorie von
Huber-Mises-Hencky:
(17.16
)
Das Ergebnis hat sich in der Praxis erfolgreich bewährt, auch die Versuche haben es bewiesen.
Wenn man die Spannungstheorien HMH und Mohr vergleicht, kann feststellen, dass sich nach der Mohrschen
Theorie bei derselben Welle und Belastungen größere geometrische Daten ergeben, aber die Abweichung
höchstens 14,1% erreicht. Durch diese Abweichung werden üblicherweise keine Probleme verursacht, da die
größeren geometrischen Abmessungen gleichzeitig eine höhere Sicherheit gewährleisten, die Konstruktion wird
stärker. Da bei der Dimensionierung meistens die HMH Theorie eingesetzt wird, deren Ergebnisse auch richtig
sind. Diese Methode ist eine Materialsparende Lösung was heutzutage im Marktwettbewerb auch ein wichtiges
Aspekt ist.
Animation 9: Bruchtest an einer Fachwerkbrücke aus Spagetti wo gezeigt wird, wie das Modell durch
Verdrehung von der Belastung ausweicht.
BEISPIEL 17.1
Es ist der Durchmesser des Querschnittes für den eingespannten Balken (Abb. 17.1) nach der Spannungstheorie
von Huber-Mises-Hencky nachzuweisen!
l=0,4 m, F1=8 kN, F2=12 kN, M0=5 kNm, q=20 kN/m, T1=15 kNm, T2=35 kNm, σzul=450 MPa.
118
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Die Spannungstheorie der
Verzerrungsarbeit.
Abb. 17.1
Die Flächenträgheitsmomente des Kreisringquerschnittes:
, und Ip=2Ix=4,084·106mm4.
Die Schnittgrößenverlaufe des Balkens:
Abb. 17.2
Das maximale Biegemomentes ist bei der Einspannung des Balkens, und betragt M max=9,4 kNm. beträgt. Damit
die maximale Normalspannung σ:
Die maximale Schubspannung aus Torsion in der Einspannung des Balkens:
Die Vergleichsspannung nach der HMH Spannungstheorie für gleichzeitige Biegung und Torsion (17.16.):
119
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Die Spannungstheorie der
Verzerrungsarbeit.
Die Vergleichsspannung ist kleiner als die zulässige Spannung
Festigkeitsnachweis bestanden.
der Balken hat den
BEISPIEL 17.2
Es ist der Durchmesser des Querschnittes für den Balken (Abb. 17.3) nach der Spannungstheorie von HuberMises-Hencky nachzuweisen! l=0,8 m, F=20 kN, q1=10 kN/m, q2=16 kN/m, T1=20 kNm, T2=35 kNm, T3=15
kNm, σzul=440 MPa.
Abb. 17.3
Die Flächenträgheitsmomente des Kreisquerschnittes:
, und Ip=2Ix=4,022·106mm4.
Die Schnittgrößenverlaufe des Balkens:
Abb. 17.4
In der gesamten Balkenlänge gibt es zwei Stellen: bei dem Torsionsmoment T 2 (z=l) und bei der Einzelkraft F
(z=2l) wo die Beanspruchungen Extremwerte aufweisen, so muss die Festigkeitsberechnung für beide
Koordinaten durchgeführt werden:
Bei der Koordinate z=l beträgt die Biegebeanspruchung Mmax1 =12,38 kNm, und auch das Torsionsmoment ist
hier größer T max1=20 kNm. Damit die maximale Normalspannung σ:
Die maximale Schubspannung aus der Torsion für die gleiche Koordinate :
120
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Die Spannungstheorie der
Verzerrungsarbeit.
Die Vergleichsspannung nach der HMH Spannungstheorie für gleichzeitige Biegung und Torsion (17.16.):
Bei der Koordinate z=2l beträgt die Biegebeanspruchung Mmax2 =18,34 kNm, und das Torsionsmoment ist hier
kleiner Tmax2=15 kNm. Damit die maximale Normalspannung σ:
Die maximale Schubspannung aus der Torsion für die gleiche Koordinate :
Die Vergleichsspannung nach der HMH Spannungstheorie für gleichzeitige Biegung und Torsion (17.16.):
Die Vergleichsspannung bei der Koordinate z=2l ist größer als die zulässige Spannung
Balken den Festigkeitsnachweis nicht bestanden.
, so hat der
AUFGABE 17.3
Es ist der Durchmesser des Querschnittes für den eingespannten Balken (Abb. 17.5) nach der Spannungstheorie
von Huber-Mises-Hencky nachzuweisen!
l=1 m, F1=10 kN, F2=15 kN, M0=12 kNm, q=18 kN/m, T1=15 kNm, T2=35 kNm, σzul=500 MPa.
Abb. 17.5
AUFGABE 17.4
Es ist der Durchmesser des Querschnittes für den Balken (Abb. 17.6) nach der Spannungstheorie von HuberMises-Hencky nachzuweisen! l=0,5 m, F=8 kN, q=20 kN/m, M1=13 kNm, M2=7 kNm, T1=50 kNm, T2=35 kNm,
T3=15 kNm, σzul=400 MPa.
121
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Die Spannungstheorie der
Verzerrungsarbeit.
Abb. 17.6
122
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Kapitel 18. Arbeits- und Energiesätze
der Festigkeitslehre. Der Satz von
Betti- und Castigliano.
Die elastische Durchbiegung beziehungsweise die Neigung eines bestimmten Querschnittes als gelagerter
Balken modellierter Wellen deutlich beeinflusst die Funktion und Lebensdauer zahlreichen Bauteiles. Zum
Beispiel wird bei Zahnrädern falsche Eingriff, bei Wellendichtungen und bei Wellenlagerungen mangelhafte
Funktion, dadurch kürzere Lebensdauer verursacht. In der technischen Praxis werden elastische
Durchbiegungen gelagerter Wellen und anderer Stabkonstruktionen unter anderem mittels der Arbeits- und
Energiesätze der Festigkeitslehre ermittelt.
1. Die Arbeit äußeren und inneren Kräfte
Infolge Beanspruchungen (Belastungen) werden die Bauteile deformiert, sie erhalten eine neu gestaltete Form.
Die Formänderung wird durch die Arbeit der äußeren Kräfte (Wk) des Tragwerkes hervorgerufen. Es wird
vorausgesetzt, dass der Werkstoff des Balkens elastisch ist, so wird diese Arbeit im Bauteil als eine elastische
Verformungsenergie (U) , wie in einer Feder gespeichert. Wenn die Belastung entnommen wird (Entlastung) so
wird die Energie im Balken frei, der Bauteil erhält erneut seine vorherige Gestalt.
Laut des Energieerhaltungsgesetzes die Arbeit der äußeren Kräfte und die im Bauteil gespeicherte
Verformungsenergie gleich sind:
(18.1)
Die Energiedichte oder in einer Volumeneinheit gespeicherte (spezifische) elastische Verformungsenergie (u)
kann durch den Spannungstensor (der Spannungszustand in einem Punkt des Körpers wird durch den
Spannungstensor
bestimmt) und durch den Formänderungstensor (der Formänderungszustand in einem Punkt
des Körpers wird durch den Formänderungstensor
vorherigen Kapiteln):
bestimmt) ermittelt werden (Einzelheiten siehe in den
(18.2)
Wie in den vorherigen Kapiteln bereits erörtert wurde, die elastische Verformungsenergie (U) eines
prismatischen Stabes der Länge l, Querschnitt A für Zug- oder Druckbeanspruchung für den gesamten
Stabvolumen
(18.3)
für die Schubbeanspruchung durch Querkraft
(18.4)
für Biegebeanspruchung
123
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Arbeits- und Energiesätze der
Festigkeitslehre. Der Satz von Bettiund Castigliano.
(18.5)
für Torsionsbeanspruchung
(18.6)
wo
F
– durch die Zug- oder Druckbeanspruchung verursachte Normalkraft Funktion,
Δl
– die Verlängerung oder Längsänderung des Stabes,
E
– der Elastizitätsmodul,
FT
– durch die Querkraft verursachte Schubkraft Funktion,
G
– der Schubmodul,
M
– die Biegemoment Funktion,
I
– das Flächenträgheitsmodell des Querschnittes,
T
– die Torsionsmoment Funktion,
Ip
– das polare Flächenträgheitsmodell des Querschnittes bedeutet.
Die gesamte Verformungsenergie (U) dementsprechend für eine zusammengesetzte Beanspruchung
(18.7)
Bemerkung: die Arbeit der Schubbeanspruchung kann im Vergleich zur Arbeit der Biegebeanspruchung immer
vernachlässigt werden, deswegen wird die Arbeit der Schubbeanspruchung bei der Bestimmung der
Verformungsenergie regelmäßig außer Acht gelassen. Es wird angenommen, dass der Balken durch die Kräfte
gleichzeitig belastet wird, und deren endgültiger Betrag kontinuierlich erreicht wird, beziehungsweise die Kräfte
inzwischen ein Gleichgewichtskraftsystem bilden ( statische Belastung ). Auf diese Weise wird die eigene
Arbeit erstellt, dafür ist ein Multiplikator ½ charakteristisch. Es ist aber häufig notwendig die Arbeit der Kraft F
für eine, von der Kraft unabhängige Verschiebung (Formänderung) zu bestimmen. Auf diese Weise wird die
fremde Arbeit erstellt. Während die Kräfte die so genannte fremde Arbeit erstellen, wirken in realen Größen,
also sie wird dynamisch berechnet, der Multiplikator ½ fällt weg! Bei einer Festigkeitsrechnung kann auch
solche Verschiebung vorkommen, die tatsächlich nie erreicht wird, es wird nur von uns vorgestellt, es ist nur
eine mögliche Verschiebung. Die nennt man virtuelle Verschiebung , und die dadurch erstellte Arbeit ist die
virtuelle Arbeit . Die virtuelle Arbeit ist jederzeit äußere fremde Arbeit.
Als nächster Schritt soll der durch Einzelkraft belastete, linear elastischer prismatische Stab, der Länge l,
Quereschnitt A (Abb. 18.1) ohne Berücksichtigung der Massenkräfte analysiert werden. Für den Belastungsfall 1
wird das Kraftsystem bestehend aus F 1 auf den Stab kontinuierlich aufgetragen, (statische Belastung). Infolge
der Belastung verändert sich die Länge des Stabes. Der Betrag der Längsänderung des Stabes (die Verschiebung
des Angriffspunktes der Kraft) soll mit Δl 1 bezeichnet werden.
124
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Arbeits- und Energiesätze der
Festigkeitslehre. Der Satz von Bettiund Castigliano.
Abb. 18.1 Die eigene und die fremde Arbeit
Die Arbeit W1 (eigene Arbeit) des Kraftsystems 1 infolge der Formänderung:
(18.8)
Für den Belastungsfall 2 soll das Kraftsystem bestehend aus Einzelkraft F 2 auf den Stab kontinuierlich
aufgetragen (Kraftsystem 2). Es soll der durch das Kraftsystem 1 bereits belasteter Stab auch mit dem
Kraftsystem 2 belastet werden. Analog zur Kraftsystem 1 wird infolge seiner eigenen Verschiebung Δl 2 auch
das zweite Kraftsystem (Kraftsystem 2) Arbeit leisten. Es soll die eigene Arbeit des zweiten Kraftsystems mit W
2 bezeichnet werden. Laut des Superpositionsprinzips eine nachträglich wirkende Kraft F 2 eine gleichgroße
Arbeit leistet als sie alleine wäre. (Das Superpositionsprinzip stellt fest, das die Kräfte ihre Wirkungen
voneinander unabhängig ausüben!)
(18.9)
Während das zweite Kraftsystem Arbeit leistet, wird vom Kraftsystem 1 eine weitere Arbeit geleistet, da das
Kraftsystem 2 an den Stab eine weitere Verschiebung verursacht. Mit anderen Worten ausgedrückt: auf die
Einwirkung von F 2 wird die Verschiebung des Angriffspunktes der Kraft F 1 Δl 2 betragen, so die fremde Arbeit
der Kraft F 1 während die Kraft F 2 ihre eigene Verschiebung verursacht
(18.10
)
Die Summe dreier Arbeiten:
(18.11
)
Die gesamte Arbeit von der Reihenfolge der Wirkung einzelner Kraftsysteme unabhängig ist, dementsprechend
kann die Reihenfolge beliebig gewählt werden, so bleibt die Summe Wk auch unverändert. (Die
Formänderungsarbeit ist unabhängig von der Reihenfolge der Kräfte.) In dem Sinne soll die von F 2 durch die,
von F 1 verursachte Verschiebung leistete fremde Arbeit (W 21) mit der, die von F 1 durch die, von F 2
verursachte Verschiebung leistete fremde Arbeit (W 12) gleich betragen.
125
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Arbeits- und Energiesätze der
Festigkeitslehre. Der Satz von Bettiund Castigliano.
(18.12
)
Der Zusammenhang 18.12 enthält die Gleichwertigkeit fremder Arbeiten, es ist der Satz von Betti . Laut des
Satzes von Betti stimmt die Arbeit irgendeines Gleichgewichtskraftsystems durch, die von einem anderen
Gleichgewichtskraftsystem verursachte Verschiebung geleistet wurde, mit der Arbeit eines anderen
Gleichgewichtskraftsystems durch, die von dem ersten Gleichgewichtskraftsystem verursachte Verschiebung
geleistet wurde überein. Der Satz ist auch für beliebigen Kraftsysteme (für Kraftsysteme die Kräfte, Momente
(Kräftepaare) ebenso enthalten) gültig.
Bemerkung: in der oben behandelten Aufgabe bildet die Kraft F 1 nur mit der Reaktionskraft zusammen ein
Gleichgewichtsystem. Die Reaktionskraft kann gegen der aktiven Kraft F 1 als eine so genannte passive Kraft
behandelt werden, weil der Angriffspunkt der Reaktionskraft kann nicht verschoben werden, so kann die
Reaktionskraft auch keine Arbeit leisten.
Die Arbeit der äußeren Kräfte könnte aus der Gleichung 18.1. auch durch die Spannungen und Dehnungen
ermittelt werden, da die Arbeit der äußeren Kräfte mit der, im Balken gespeicherten Verformungsenergie gleich
beträgt.
(18.13
)
(18.14
)
wo mit U1 und U2 die Verformungsenergie des Kraftsystems 1, sowie die Verformungsenergie des Kraftsystems
2 bezeichnen. Analog zur fremden Arbeiten können auch die Verformungsenergien folgendermaßen formuliert
werden:
(18.15
)
wo V der Volumen des Stabes der Abb. 18.1 bedeutet. Wie sich es aus der Gleichung 18.15 eindeutig ergibt, ist
der Satz von Betti auch für die Verformungsenergien gültig.
2. Der Satz von und der Vertauschungssatz von
Maxwell
Der Satz von Betti (Enrico Betti italienischer Mathematiker, 1823-1892) enthält die Gleichwertigkeit fremde,
äußere Arbeiten.
(18.16
)
Mit anderen Worten ausgedrückt: die fremde Arbeit irgendeines Gleichgewichtskraftsystems durch die Wirkung
ein anderes Gleichgewichtskraftsystem, stimmt mit der fremden Arbeit des anderen Gleichgewichtskraftsystems
durch die Wirkung des vorherigen Gleichgewichtskraftsystems überein. Für elastische Körper wird die Arbeit
der äußeren Kräfte im Körper als Verformungsenergie U gespeichert, so können die Arbeiten beliebiger Indexen
auch als Energie formuliert werden.
Falls statt W 12 einfach U 12 eingesetzt wird, kann der Satz von Betti in folgender Form geschrieben werden:
(18.17
)
oder
126
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Arbeits- und Energiesätze der
Festigkeitslehre. Der Satz von Bettiund Castigliano.
(18.18
)
Für einen konkreten Belastungsfall kann die zwei Gleichgewichtskraftsystem (Kraftsystem 1 und Kraftsystem
2) auch sehr kompliziert sein. Gleichzeitig kann zum Beispiel Zug/Druckkraft, Biegemoment und
Torsionsmoment vorhanden sein (Kraftsystem 1: F1(z);M1(z);T1(z)); Kraftsystem 2: F2(z);M2(z);T2(z)). Man darf
nicht vergessen, dass in dem praktischen Einsatz die durch Scherbeanspruchung verursachten
Verformungsenergien in allgemeinen vernachlässigt werden. Für eine zusammengesetzte Belastung kann die
eigene Arbeit für das Kraftsystem 1 und Kraftsystem 2 durch die folgenden Zusammenhänge ermittelt werden:
(18.19
)
(18.20
)
Für den Belastungsfall 2 soll das Kraftsystem bestehend aus Einzelkraft F 2 auf den Stab kontinuierlich
aufgetragen (Kraftsystem 2). Es soll der durch das Kraftsystem 1 bereits belasteter Stab auch mit dem
Kraftsystem 2 belastet werden. Analog zur Kraftsystem 1 wird infolge seiner eigenen Verschiebung Δl 2 auch
das zweite Kraftsystem (Kraftsystem 2) Arbeit leisten. Es soll die eigene Arbeit des zweiten Kraftsystems mit W
2 bezeichnet werden. Laut des Superpositionsprinzips leistet eine nachträglich wirkende Kraft F 2 eine
gleichgroße Arbeit als sie alleine wäre. (Das Superpositionsprinzip stellt fest, das die Kräfte ihre Wirkungen
voneinander unabhängig ausüben!)
Die fremde Arbeit des ersten Kraftsystems durch die Wirkung des zweiten Kraftsystems (laut der Gleichung
18.1 auch die Zusammenhange W12 = U12 und W21 = U21 gültig sind) also
(18.21
)
Es soll der Balken (Abb. 18.2) durch die Kraft F 1 belastet, und dann soll die Kraft F 2 aufgetragen werden. All
das einfach beschreiben zu können, sollen die Kräfte sowie auch die Verschiebungen senkrecht angeordnet
werden. Auf die Wirkung von F 2 entsteht unter der Kraft F 1 eine Durchbiegung y 12, deswegen die fremde
Arbeit der Kraft F 1
(18.22
)
Die Reihenfolge der Kräfte kann vertauscht werden, so
(18.23
)
Für die senkrechte Verschiebungen (Durchbiegung) zwei verschiedener Querschnitte des Balkens bezeichnen
die Variablen y 12 und y 21. Der erste Index bezieht sich auf die Stelle des Querschnittes, die zweite auf die
Ursache, auf das Kraftsystem 1 oder Kraftsystem 2.
Anders formuliert: die Durchbiegung y12 bedeutet die senkrechte Verschiebung des Querschnittes 1 durch die
Wirkung der Kraft F2 (Kraftsystem 2). Analog die Durchbiegung y21 bedeutet die senkrechte Verschiebung des
Querschnittes 2 durch die Wirkung der Kraft F1 (Kraftsystem 1).
127
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Arbeits- und Energiesätze der
Festigkeitslehre. Der Satz von Bettiund Castigliano.
Abb. 18.2 Balken durch zwei verschiedene Kraftsysteme (1 und 2) belastet
Aufgrund der Satz von Betti W 12 = W 21, also
(18.24
)
da W 12 = U 12, deswegen kann die Gleichung 18.24 auch in folgender Form geschrieben werden:
(18.25
)
Daraus kann y 21 (dass heißt die senkrechte Verschiebung des Querschnittes 2 durch die Wirkung des
ursprünglichen Kraftsystems) ermittelt werden:
(18.26
)
Falls die Kraft F 2 zweckmäßig als eine Einheitskraft gewählt wird, so erhält man einen einfachen
Zusammenhang für die unbekannte Durchbiegung. Für eine Einheitskraft F 2 kann die gesuchte Verschiebung y
21 aus der Gleichung y21=U12 bestimmt werden.
Der Satz von Betti wird am häufigsten zur Ermittlung Verschiebungen bestimmter Richtung oder (f) oder zur
Neigung (φ) irgendeines Querschnittes durch Gleichgewichtskraftsystem belasteter Balken verwendet. Bei dem
praktischen Einsatz des Satzes wird das ursprüngliche Kraftsystem als Kraftsystem 1 betrachtet. Das
Kraftsystem 2 wird so gewählt, dass die fremde Arbeit dieses Kraftsystems durch die gesuchte Verschiebung
oder Neigung geleistet wird. Wenn die Verschiebung eines Querschnittes in einer bestimmten Richtung ermittelt
werden soll, so wird als erster Schritt das ursprüngliche Kraftsystem (Kraftsystem 1) vom Balken entfernt, und
dann im ausgewählten Querschnitt wird eine, zur Verschiebungsrichtung angeordnete Einheitskraft (F 2 =1)
aufgetragen.
Als nächster Schritt sind die Schnittgrößenverlaufe und daraus die Beanspruchungsfunktionen für das
Kraftsystem 1 sowie für das Kraftsystem 2 zu ermitteln, und dann wird aus der Gleichung 18.21 die
Verformungsenergie U 12 berechnet. Um das Integral in der Gleichung 18.21 zu bestimmen, soll der Balken im
Allgemeinen auf Bereiche verteilt werden, da durch das Produkt zweier Beanspruchungsfunktionen des
Kraftsystems 1 und des Kraftsystems 2 zu neuen Funktionen führen, die erneut aus verschiedenen Strecken
zusammengeführt werden kann. Wenn die Verformungsenergie U 12 bereits bekannt ist, so kann die gesuchte
Verschiebung (f = y 21) aus der Gleichung 18.26 leicht errechnet werden. Falls das Vorzeichen der Verschiebung
positiv ist, hat die Bedeutung, dass die Verschiebung zum Richtungssinn der Kraft F 2 zusammenfällt. Soll die
Neigung eines Querschnittes in einer bestimmten Richtung ermittelt werden, so ist das Vorgehensweise zur
vorherigen Methode sehr ähnlich. Es gibt nur ein winziges Unterschied: nachdem das ursprüngliche Kraftsystem
128
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Arbeits- und Energiesätze der
Festigkeitslehre. Der Satz von Bettiund Castigliano.
(Kraftsystem 1) vom Balken entfernt wurde, soll im ausgewählten Querschnitt statt eine Einheitskraft sondern
ein zur Verdrehungsrichtung angeordnete Einheitskräftepaar (M 2 =1) aufgetragen werden. Die Neigung eines
bestimmten Querschnittes kann aus der Gleichung 18.26 folgender Form ermittelt werden:
(18.27
)
wo φ 21 die Neigung des Querschnittes 2 des Balkens in Bogenmaß bedeutet infolge des ursprünglichen
Kraftsystems, Kraftsystem 1. Das Vorzeichen der Neigung wird analog bestimmt, wie bei der Verschiebung
bereits erklärt wurde.
Der Vertauschungssatz von Maxwell (James Clerk Maxwell schottischer Mathematiker und Physiker, 18311879) laut eine seiner möglichen Formulierung die Angriffsstelle der Kraft und die Stelle der Verschiebung
kann vertauscht werden. Nach einer anderen Variante des Satzes können die äußeren Verschiebungen vertauscht
werden.
Der Vertauschungssatz folgt aus dem Satz von Betti für spezielle Kraftsysteme. Der Vertauschungssatz wird
durch eine einfache und sehr häufig eingesetzte Anwendung zur Ermittlung der Durchbiegung gerader Stäbe
vorgeführt. Es soll der Balken (Abb. 18.2) durch die Kraft F 1 und Kraft F 2 belastet werden, falls beide Kräfte F
1 = F 2 = 1 betragen. Als erst wir nur die Kraft F 1 auf den Balken aufgetragen und dann wirkt nur die Kraft F 2.
Durch die von den Kräften erstellte Durchbiegungen (senkrechte Verschiebungen) sollen ebenso wie beim Satz
von Betti bezeichnet werden. Infolge des Kraftsystem 1 soll die Verschiebung des Querschnittes 2 y 21 betragen.
Ähnlich soll durch das Kraftsystem 2 am Querschnittes 1 eine Verschiebung 2 y 12 erstellen. Laut des Gesetzes
von Betti W 12 = W 21, also der Zusammenhang 18.24 auch hier gültig ist. Wegen der Einheitskräfte kann
Gleichung 18.24 auch anders formuliert werden:
(18.28
)
oder
(18.29
)
Das Ergebnis, die Gleichung 18.29 wird als Vertauschungssatz von Maxwell interpretiert. Wenn alle beide
Durchbiegungen (y 12 und y 21) benötigt sind, Laut des Gesetzes reicht es nur eine davon zu ermittelt.
3. Der Satz von Castigliano
Es soll ein elastischer Körper (siehe Abb. 18.3) untersucht werden. Nehmen wir an, dass der Körper zur
Umbebung statisch bestimmt verbunden ist, dass heißt die Lagerreaktionen und auch die Verformungsenergie
als Funktion der äußeren aktiven Kräfte formuliert werden kann. Es soll ein Kraftsystem bestehend aus
Einzelkräfte und Kräftepaare stufenweise an den Körper wirken lassen. Die Einzelkräfte und die Kräftepaare
sollen mit F, beziehungsweise mit M bezeichnet werden. Infolge des Gleichgewichtskraftsystems werden die
Punkte des Körpers verschoben, der Körper erhält einer neuen Gestalt. Die Verschiebung (der
Verschiebungsvektor) des Angriffpunktes des Kraftvektors F 1 sei e 1. Die orthogonale Projektion des
Verschiebungsvektors auf den Kraftvektor (die auf den Kraftvektor projizierte Verschiebung oder die
Komponente des Verschiebungsvektors in der Wirkungslinie des Kraftvektors) soll mit f1 bezeichnet werden.
Diese Bezeichnungen sind für die Einzelkraft F i logischerweise e i und fi . Diese Methode kann auch für die
Kräftepaare analog verwendet werden. Die Neigung in der Umgebung eines Kräftepaares M j auf den
Momentvektor projiziert sei φj .
129
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Arbeits- und Energiesätze der
Festigkeitslehre. Der Satz von Bettiund Castigliano.
Abb. 18.3 Durch Gleichgewichtskraftsystem belasteter elastischer Körper beliebiger Gestalt.
Die eigene Arbeit der Einzelkraft F i
(18.30
)
Die eigene Arbeit des Kräftepaares M j
(18.31
)
Dementsprechend die gesamte eigene Arbeit des Kraftsystems:
(18.32
)
wo n die Anzahl der aktiven Einzelkräfte, und m die Anzahl der aktiven Kräftepaare bezeichnen.
Die Reaktionskräfte FA und FB leisten keine Arbeit, da ihre Angriffspunkte keine Verschiebung aufweisen (dass
heißt sie sind so genannte passive Kräfte).
Es soll Betrag von Fi mit dFi verändert werden, die anderen Kräfte und Momente bleiben unverändert.
Die Differenz oder Veränderung der Arbeit der äußeren Kräfte:
(18.33
)
Jetzt soll die Reihenfolge der Belastung vertauscht werden. Der Balken wird als erste durch die Kraft
dFi belastet, erst dann durch die anderen. In dem Falle setzt sich die elementare äußere Arbeit (dWk ) aus der
eigene Arbeit der Kraft dFi (aus der durch die Verschiebung dfi geleistete Arbeit) und aus der fremden, durch
das Kraftsystem geleistete Arbeit (fidFi ) zusammen. Die eigene Arbeit der Kraft dFi bildet einen kleinen Betrag
zweiter Ordnung, deshalb stimmt die elementare äußere Arbeit mit einer ziemlich guten Annäherung mit der
fremden Arbeit der elementaren Kraft dFi überein.
(18.34
)
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Arbeits- und Energiesätze der
Festigkeitslehre. Der Satz von Bettiund Castigliano.
Da die linken Seiten der Zusammenhänge 18.33 und 18.34 gleich sind, so müssen auch die rechten Seiten der
Gleichungen übereinstimmen.
Diese letzte Bedingung kann folgendermaßen formuliert werden:
(18.35
)
Die Gleichung 18.35 ist der Satz von Castigliano. Laut des Satzes kann die Verschiebung des Angriffspunktes
in der Wirkungslinie irgendeiner aktiven Einzelkraft durch die erste partielle Ableitung nach der Einzelkraft der
gesamten äußeren Arbeit des Belastungskraftsystems des Körpers ermittelt werden.
Nach ähnlicher Vorgehensweise kann der Satz von Castigliano auch so formulieren:
(18.36
)
Nach der Gleichung 18.36 kann die Verdrehung in der Umgebung (im Querschnitt) eines aktiven
Momentvektors durch die erste partielle Ableitung nach des Momentvektors der gesamten äußeren Arbeit des
Belastungskraftsystems des Körpers in Bogenmaß berechnet werden.
Da für elastische Körper Wk=U gilt, deswegen kann statt der Arbeit der äußeren Kräfte die innere
Verformungsenergie (oder die elastische Energie) eingetragen werden:
(18.37
)
und
(18.38
)
Der Satz von Castigliano stellt fest, dass die partielle Ableitung nach irgendeiner aktiven Einzelkraft der
gesamten Verformungsenergie des elastischen Körpers zur Verschiebung des Angriffspunktes der Einzelkraft in
ihrer Wirkungslinie führt.
Eine weitere Anwendung: die Verdrehung kann in der Umgebung (im Querschnitt) eines aktiven Momentvektors
durch die partielle Ableitung nach des Momentvektors der gesamten Verformungsenergie des elastischen
Körpers in Bogenmaß berechnet werden.
Der Satz von Castigliano ist nur zur Lösung statisch bestimmter Tragwerke geeignet, wo die Lagerreaktionen
beziehungsweise die Verformungsenergie als Funktion des aktiven Kraftsystems durchgeführt werden kann.
Die gesamte Verformungsenergie für einen Biegebalken:
(18.39
)
deswegen
(18.40
)
131
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Arbeits- und Energiesätze der
Festigkeitslehre. Der Satz von Bettiund Castigliano.
und
(18.41
)
wo l die Gesamtlänge des Balkens bedeutet.
Zur Anwendung des Satzes von Castigliano sind die Beanspruchungsfunktionen und auch die gesamte
Verformungsenergie als Funktion der Einzelkraft (falls die Verschiebung gesucht wird) oder als Funktion des
Kräftepaares (wenn die Verdrehung bestimmt werden muss) in ausgewähltem Punkt des elastischen Körpers
analytisch zu erstellen. Da in der Verformungsenergie die Reaktionskräfte dürfen nicht einbezogen werden,
müssen sie als Funktion der aktiven Kräfte durch die Gleichgewichtsgleichungen berücksichtigt werden. Falls in
den ausgewählten Punkt in der gesuchten Richtung der Verschiebung keine Einzelkraft vorhanden ist, so muss
hier eine Kraft deren Betrag Null beträgt eingesetzt werden, um die partielle Ableitung nach F durchführen zu
können. Die tatsächlichen Lagerreaktionen werden durch diese Kraft nicht beeinflusst, da F = 0 beträgt. Diese
Logik kann selbstverständlich auch zur Bestimmung von Verdrehungen eingesetzt werden.
BEISPIEL 18.1
Es ist die senkrechte Verschiebung (die Durchbiegung) des Querschnittes der Koordinate z=l/2 für den Balken
(Abb. 18.1.1) zu bestimmen! Der Querschnitt des Balkens ist Konstant. Zur Lösung der Aufgabe ist der Satz von
Betti zu verwenden!
Die Beanspruchung des Balkens ist Schub und Biegung. Wie in der Praxis im Allgemeinen kann die
Verformungsenergie der Querkraft im Vergleich zur Verformungsenergie der Biegung vernachlässigt werden.
Die Biegemomentfunktion des Kraftsystems 1 (ursprüngliches Kraftsystem) soll mit M1 bezeichnet werden
(siehe Abb. 18.1.1). Die Reaktionskräfte ergeben sich wegen der Symmetrie ganz einfach: FA=FB=F1 . Der
Schnittgrößenverlauf für das Biegemoment ist ebenso symmetrisch, so reicht es die Momentfunktion nur für die
Hälfte des Trägers zu erstellen.
Abb. 18.1.1 Durch Einzelkräfte belasteter Balken.
Bei der Gestaltung der Beanspruchungsfunktion wird die untersuchte Strecke des Balkens auf zwei Bereiche
verteilt. Der Beanspruchungsfunktion wird für die zwei Teile getrennt erstellt.
Teil I.:
0≤z≤a
M1(z)=-F1z
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Arbeits- und Energiesätze der
Festigkeitslehre. Der Satz von Bettiund Castigliano.
Teil II.:
a≤z≤l/2=a+b
M1(z)=-F1z+F1(z-a)=-F1a
Als nächster Schritt wird vom Balken das Kraftsystem 1 entfernt. Beim untersuchten Querschnitt wird eine
Einzelkraft F2 in Richtung der Durchbiegung eingeführt. Die Einzelkraft und die dadurch verursachte
Reaktionskräfte werden als Kraftsystem 2 behandelt. Danach werden die Biegebeanspruchungsfunktionen auch
für das Kraftsystem 2 erstellt (siehe Abb. 18.1.2). Zur Ermittlung der Lagerreaktionen braucht man auch jetzt
keine der Gleichgewichtsgleichungen einsetzen, da FA=FB=F2/2 betragen. Die Beanspruchungsfunktion für das
Kraftsystem 2 kann für beide untersuchten Strecken des Balkens mit derselben Funktion beschrieben werden.
Abb. 18.1.2 Durch das Kraftsystem 2 belasteter Balken.
Teil I. und Teil II.:
Wegen der Symmetrie reicht es die fremde Verformungsenergie U12 durch die Integralrechnung für die Hälfte
des Balkens zu ermitteln, und dann das Ergebnis einfach mit zwei multiplizieren. Zur Berechnung des im
Ausdruck der Verformungsenergie enthaltenen Integrals muss die Hälfte des Balkens erneut auf zwei Strecken
aufgeteilt werden, weil durch das Produkt M1M2 ergebene neue Funktion aus zwei verschiedenen Teilen
zusammengefügt werden kann. Da die Biegesteifigkeit IE für die Gesamtlänge des Balkens konstant ist, so kann
sie vor dem Integralzeichen geschrieben werden.
Das Flächenträgheitsmoment des Querschnittes (I) ist auf die Biegungsachse zu ermitteln, die jetzt für uns die
Achse x bedeutet.
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Arbeits- und Energiesätze der
Festigkeitslehre. Der Satz von Bettiund Castigliano.
Der Betrag der gesuchten Durchbiegung aus dem Satz von Betti:
BEISPIEL 18.2
Es ist die Neigung des Querschnittes für die Koordinate z=a für den skizzierten Balken (Abb. 18.2.1) zu
bestimmen! Der Querschnitt des Balkens ist Konstant. Zur Lösung der Aufgabe ist der Satz von Betti zu
verwenden!
Die Beanspruchungen des Balkens heißen Schub und Biegung. Wie im Allgemeinen wird die
Verformungsenergie der Querkraft im Vergleich zur Verformungsenergie der Biegung vernachlässigt. Die
Biegemomentfunktion des Kraftsystems 1 (ursprüngliches Kraftsystem) soll mit M1 bezeichnet werden (siehe
Abb. 18.2.1). Zur Bestimmung der Reaktionskräfte ist der Momentsatz (∑M=0) in Bezug auf die Lagerung „A”
einzusetzen. Der Richtungssinn der Reaktionskraft FB wird angenommen, dass heißt sie ist senkrecht nach oben
angeordnet.
∑MA=0=-F1a+FBl
Daraus folgt:
Zur Bestimmung der Reaktionskraft kann der Vektorsatz (∑F=0) erfolgreich eingesetzt werden. Der
Richtungssinn der Reaktionskraft FA wird ebenso wie die Reaktionskraft FB senkrecht nach oben angeordnet.
∑FY=0=FA-F1+FB
und
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Arbeits- und Energiesätze der
Festigkeitslehre. Der Satz von Bettiund Castigliano.
Abb. 18.2.1 Durch Einzelkraft belasteter Balken.
Zur Gestaltung der Beanspruchungsfunktion wird die untersuchte Strecke des Balkens auf zwei Bereiche
verteilt. Der Beanspruchungsfunktion wird für die zwei Teile getrennt erstellt.
Teil I. 0≤z≤a
Teil II. a≤z≤l
Als nächster Schritt wird vom Balken das Kraftsystem 1 entfernt. Beim untersuchten Querschnitt wird ein
Kräftepaar M2 in Richtungssinn der angenommenen Winkelverdrehung eingeführt. Das Kräftepaar M2 und die
dadurch verursachte Reaktionskräfte werden im Weiteren als Kraftsystem 2 behandelt. Danach werden die
Biegebeanspruchungsfunktionen auch für das Kraftsystem 2 erstellt (siehe Abb. 18.1.2). Zur Ermittlung der
Lagerreaktionen für das Kraftsystem 2 braucht man auch jetzt die Gleichgewichtsgleichungen einsetzen. Das
Kräftepaar M2 kann durch ein anderes Kräftepaar ausgeglichen werden, deswegen wird der Richtungssinn der
Reaktionskraft FA senkrecht nach oben und der Richtungssinn der Reaktionskraft FB senkrecht nach unten
angenommen.
∑MA=0=M2-FBl
daraus folgt:
135
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Arbeits- und Energiesätze der
Festigkeitslehre. Der Satz von Bettiund Castigliano.
∑Fy=0=FA-FB
Au der obigen Gleichung:
Die Biegemomentfunktionen für das Kraftsystem 2:
Teil I.:
0≤z≤a
Teil II.: a≤z≤l
Zur Berechnung des im Ausdruck der Verformungsenergie U12 enthaltenen Integrals muss der Balken auf zwei
Strecken aufgeteilt werden, weil durch das Produkt M1M2 ergebene neue Funktion aus zwei verschiedenen
Teilen zusammengefügt werden kann. Da die Biegesteifigkeit IE für die Gesamtlänge des Balkens konstant ist,
so kann sie vor dem Integralzeichen geschrieben werden. Das Flächenträgheitsmoment des Querschnittes (I) ist
auf die Biegungsachse zu ermitteln, die jetzt für uns die Achse x bedeutet.
Aus der Gleichung ergibt sich:
Der Betrag der gesuchten Neigung aus dem Satz von Betti:
BEISPIEL 18.3
Es ist der BEISPIEL 18.1. unter Verwendung des Satzes von Castigliano zu lösen!
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Arbeits- und Energiesätze der
Festigkeitslehre. Der Satz von Bettiund Castigliano.
Den untersuchten Balken stellt die Abb. 18.3.1 dar. In der Mitte der Spannweite des Balkens, wo die senkrechte
Verschiebung (die Durchbiegung) des Querschnittes gefragt wird, gibt es keine Einzelkraft in der Richtung der
gesuchten Verschiebung. Als erster Schritt muss in der Mitte des Balkens eine Einzelkraft wirken lassen, deren
Größe F 0=0 beträgt. Es wird deswegen durchgeführt, um für die Verwendung des Satzes von Castigliano eine
partielle Ableitung nach der Einzelkraft in Richtung der Verschiebung durchführen zu können. Die
Beanspruchung des Balkens ist Schub und Biegung. Wie in der Praxis im Allgemeinen, kann die
Verformungsenergie der Querkraft im Vergleich zur Verformungsenergie der Biegung vernachlässigt werden.
Zur Bestimmung der Reaktionskräfte ist der Momentsatz (∑M=0) in Bezug auf die Lagerung „A” einzusetzen.
Der Richtungssinn der Reaktionskraft FB wird angenommen, sie ist senkrecht nach oben gerichtet.
∑MA=0=-F1a-F0(a+b)-F1(a+2b)+FB2(a+b)
Daraus:
0=-F1a-F0(a+b)-F1(a+b)-F1b+2FB(a+b)
0=-F1(a+b)-F0(a+b)-F1(a+b)+2FB(a+b)
0=-2F1(a+b)-F0(a+b)+2FB(a+b)
0=-2F1-F0+2FB
Nach Neuordnung der Gleichung:
Da der Balken, auch die Belastung symmetrisch ist, so erhält man:
Abb. 18.3.1 Durch Einzelkräfte belasteter Balken.
Der Betrag der gesuchten Durchbiegung f aus dem Satz von Castigliano kann durch den Zusammenhang
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Arbeits- und Energiesätze der
Festigkeitslehre. Der Satz von Bettiund Castigliano.
bestimmt werden.
Dazu ist die Biegemomentfunktion zu erstellen, und dann muss auch die partielle Ableitung nach der Gleichung
durchgeführt werden. In der Biegemomentfunktion dürfen die Lagerkräfte direkt nicht einbezogen werden,
deswegen müssen sie durch die Gleichgewichtsgleichungen als Funktion der aktiven Kräfte ausgedruckt
werden. Der Schnittgrößenverlauf für das Biegemoment ist ebenso symmetrisch, so reicht es die
Momentfunktion nur für die Hälfte des Trägers zu erstellen.
Bei der Gestaltung der Beanspruchungsfunktion wird die untersuchte Strecke des Balkens auf zwei Bereiche
verteilt (Abb. 18.3.1). Der Beanspruchungsfunktion wird für die zwei Teile getrennt erstellt.
Teil I.: 0≤z≤a
Bevor der Bereich II. des Balkens analysiert wird, soll die partielle Ableitung der Funktion M(z) nach F0 erstellt
werden, und ein Anteil der Durchbiegung (fI ) aus der Beanspruchungsfunktion des Teiles I. bestimmt werden.
Wie sich aus dem Zusammenhang oben klar ergibt, beträgt die eingesetzte Einzelkraft F0 , die zur Bestimmung
von fI verwendet wurde, tatsächlich Null.
Es soll auch für den Teil II. eine ähnliche Vorgehensweise verfolgt werden:
Teil II.: a≤z≤a+b
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Arbeits- und Energiesätze der
Festigkeitslehre. Der Satz von Bettiund Castigliano.
Der Betrag der gesuchten Durchbiegung f aus dem Satz von Castigliano mit Symmetrieeigenschaften und mit 2
multipliziert kann durch den Zusammenhang bestimmt werden:
Der Betrag von f stimmt mit dem Ergebnis aus dem Satz von Betti überein (siehe BEISPIEL 18.1)
BEISPIEL 18.4
Es ist der BEISPIEL 18.2. unter Verwendung des Satzes von Castigliano zu lösen!
Den untersuchten Balken stellt die Abb. 18.4.1 dar. Für die Koordinate z=a des Balkens, wo die Neigung des
Querschnittes gefragt wird, wirkt es kein Kräftepaar in der Richtung der gesuchten Verdrehung. In der Mitte der
Spannweite des Balkens, wo die senkrechte Verschiebung (die Durchbiegung) des Querschnittes gefragt wird,
gibt es keine Einzelkraft in der Richtung der gesuchten Verschiebung. Als erster Schritt muss in dieser Stelle
des Balkens ein Kräftepaar in der Richtung der gesuchten Verdrehung wirken lassen, deren Größe M
0=0 beträgt. Es wird deswegen durchgeführt, um für die Verwendung des Satzes von Castigliano eine partielle
Ableitung nach Kräftepaares in Richtung der Verdrehung durchführen zu können. Die Beanspruchung des
Balkens ist Schub und Biegung. Wie in der Praxis im Allgemeinen, kann die Verformungsenergie der Querkraft
im Vergleich zur Verformungsenergie der Biegung vernachlässigt werden. Zur Bestimmung der Reaktionskräfte
ist der Momentsatz (∑M=0) in Bezug auf die Lagerung „A” einzusetzen.
Der Richtungssinn der Reaktionskraft FB wird angenommen, sie ist senkrecht nach oben gerichtet.
∑Ma=0=-F1a+M0+FBl
Daraus:
Zur Bestimmung der Reaktionskraft kann der Vektorsatz (∑F=0) erfolgreich eingesetzt werden. Der
Richtungssinn der Reaktionskraft FA wird ebenso wie die Reaktionskraft FB senkrecht nach oben angeordnet.
∑Fy=0=FA-F1+FB
und
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Arbeits- und Energiesätze der
Festigkeitslehre. Der Satz von Bettiund Castigliano.
Abb. 18.4.1 Durch Einzelkraft belasteter Balken.
Der Betrag der gesuchten Neigung φ aus dem Satz von Castigliano kann durch den Zusammenhang
bestimmt werden.
Dazu ist die Biegemomentfunktion zu erstellen, und dann muss auch die partielle Ableitung nach der Gleichung
durchgeführt werden. In der Biegemomentfunktion dürfen die Lagerkräfte direkt nicht aufgeführt werden,
deswegen müssen sie durch die Gleichgewichtsgleichungen als Funktion der aktiven Kräfte ausgedruckt
werden.
Bei der Gestaltung der Beanspruchungsfunktion wird die untersuchte Strecke des Balkens auf zwei Bereiche
verteilt. Die Beanspruchungsfunktion wird für die zwei Teile getrennt erstellt.
Teil I.: 0≤z≤a
Bevor der Bereich II. des Balkens analysiert wird, soll die partielle Ableitung der Funktion M(z) nach M
0 erstellt werden, und ein Anteil der Durchbiegung (φI ) aus der Beanspruchungsfunktion des Teiles I. bestimmt
werden.
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Arbeits- und Energiesätze der
Festigkeitslehre. Der Satz von Bettiund Castigliano.
Wie sich aus dem Zusammenhang oben klar ergibt, wird das eingesetzte Kräftepaar M 0, das zur Bestimmung
von φI verwendet wurde, tatsächlich Null betragen.
Es soll auch für den Teil II. eine ähnliche Vorgehensweise verfolgt werden:
Teil II.: a≤z≤l
Um die Bestimmung für φII deutlich zu Beschleunigen, werden die mit M 0 ausgedrückten Teile - da die alle
Null betragen - jetzt einfach nicht mehr aufgeführt.
Der Betrag der gesuchten Neigung φ:
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Arbeits- und Energiesätze der
Festigkeitslehre. Der Satz von Bettiund Castigliano.
Der Betrag von φ stimmt mit dem Ergebnis aus dem Satz von Betti überein (siehe BEISPIEL 18.2)
BEISPIEL 18.5
Bei welcher Einzelkraft F 2 wird die Durchbiegung y 2 des eingespannten Balkens Null betragen (Abb. 18.5.1)?
Der Querschnitt des Balkens ist Konstant.
Zur Lösung der Aufgabe ist der Satz von Castigliano zu verwenden!
Abb. 18.5.1 Durch Einzelkräfte belasteter eingespannter Balken
Die Beanspruchung des Balkens ist Schub und Biegung. Wie in der Praxis im Allgemeinen, kann die
Verformungsenergie der Querkraft im Vergleich zur Verformungsenergie der Biegung vernachlässigt werden.
Der Betrag der gesuchten Durchbiegung in Richtung y kann für den eingespannten Balken aus dem Satz von
Castigliano durch den Zusammenhang
bestimmt werden.
Dazu ist die Biegemomentfunktion zu erstellen, und dann muss auch die partielle Ableitung nach der Gleichung
durchgeführt werden.
Bei der Gestaltung der Beanspruchungsfunktion wird der Balken auf zwei Bereiche verteilt. Die
Beanspruchungsfunktion wird für die zwei Teile getrennt erstellt.
Teil I. 0≤z≤l/2
M(z)=-F2·z
Bevor der Bereich II. des Balkens analysiert wird, soll die partielle Ableitung der Funktion M(z) nach F2 erstellt
werden.
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Arbeits- und Energiesätze der
Festigkeitslehre. Der Satz von Bettiund Castigliano.
Es soll auch für den Teil II. eine ähnliche Vorgehensweise verfolgt werden:
Teil II. l/2≤z≤l
Die Durchbiegung in Richtung y des freien Endes des Balkens:
Unsere Zielsetzung lautete: f = 0, und dementsprechend muss mit f = 0 formuliert werden
und daraus die gesuchte Einzelkraft F2 ist leicht Neuzuordnen:
143
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Kapitel 19. Ermittlung die
Verformungen der Balkenträger
durch die Differential-gleichung der
elastischen Linie, und aus der
Gleichungen der Biegelinie.
1. Die Differentialgleichung der elastischen Linie
Wie es vorher bereits bei der geraden Biegung prismatischer Stäbe erklärt wurde, kann für einen Biegestab kann
der Zusammenhang zwischen der Biegemomentfunktion M und der Krümmung der elastischen Linie (1/ ρ )
folgendermaßen erstellt werden
(19.1)
Die neutrale Achse oder die elastische Linie ist eine durch die Schwerpunkte eines Biegestabes geführte
Schwerpunktsachse, deren Länge infolge der Verformung des Balkens unverändert bleibt. ρ bedeutet den
Krümmungsradius der gekrümmten elastischen Linie des Biegestabes, M die Biegemomentfunktion, I das
Flächenträgheitsmoment auf die Biegungsachse des Querschnittes, und E der Elastizitätsmodul des Werkstoffes.
In der analytischen Geometrie wird ρ dann als positiv betrachtet, wenn man die Kurve von links nach rechts,
also in positiver Richtung der Achse z folgt, und sich der Krümmungsmittelpunkt vom Beobachter nach links
befindet. Laut in der technischen Mechanik verwendeter Vorzeichenregel wird durch ein vom Quereschnitt nach
links positives Moment M (gegen Uhrzeigersinn gerichtetes Moment) eine negative ρ verursacht,
dementsprechend muss ein Vorzeichenwechsel durchgeführt werden:
(19.2)
Aufgrund der Ergebnisse der analytischen Geometrie wird der Zusammenhang zwischen
Krümmungsradius und der, auf die z Achse orthogonale Durchbiegung y folgendermaßen ausgedrückt:
dem
(19.3)
In der Gleichung 19.3 y" und y' sind die ersten und zweiten partieller Ableitungen nach z zu verstehen (Abb.
19.1.).
144
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Ermittlung die Verformungen der
Balkenträger durch die Differentialgleichung der elastischen Linie, und
aus der Gleichungen der Biegelinie.
Abb. 19.1 Die ursprüngliche und die deformierte Gestalt der Stabachse eines Biegestabes (die deformierte
Gestalt stellt die Deformationen deutlich vergrößert dar)
Achtung: die Abb. 19. stellt die deformierte Gestalt der Stabachse des eines Biegestabes - wie es üblich ist deutlich vergrößert dar.
In der elementaren Festigkeitslehre wird aber immer angenommen, dass die Deformationen klein sind.
Aus der beiden Gleichungen 19.2 und 19.3 ergibt sich die Differentialgleichung der elastischen Linie. Nehmen
wir an, dass
ein kleiner Wert ist (es entspricht für kleine Deformationen), wo φ die Verdrehung
des untersuchten Querschnittes bedeutet, und y'2 noch kleiner beträgt (y'2≈0), so durch eine ziemlich gute
Annäherung:
(19.4)
dass heißt
(19.5)
Die Gleichung 19.5 bedeutet die Differentialgleichung der elastischen Linie/neutraler Achse, wo durch M(z) die
Biegemomentfunktion des untersuchten Balkens bezeichnet wird. Die deformierte Gestalt der elastischen Linie
wird durch die Funktion y(z) definiert. Diese Funktion y(z) zeigt eindeutig, dass der Schwerpunkt eines
Querschnittes der Koordinate z wieweit in Richtung y verschoben wird.
Die Verdrehung oder die Neigung Funktion φ(z) für einen bestimmten Querschnitt des Balkens kann anhand der
Funktion für den deformierten Gestalt y(z) durch die nachfolgende Gleichung erstellt werden,
(19.6)
da die Querschnittsebene auf die elastische Linie senkrecht bleibt.
Auf der rechten Seite der Gleichung befindet sich tgφ (die Richtungstangente, die zur deformierten Gestalt der
elastischen Linie gehört) für kleinen Winkeln mit einer ausreichender Annäherung mit dem Betrag des Winkels
in Bogenmaß gleich beträgt. Also für kleine Winkel φ kann die Differenz zwischen der Länge deformierter
elastischen Linie und deren senkrechten Projektion auf die Achse z vernachlässigt werden.
145
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Ermittlung die Verformungen der
Balkenträger durch die Differentialgleichung der elastischen Linie, und
aus der Gleichungen der Biegelinie.
Die Differentialgleichung 19.5 kann durch Trennen der Variablen gelöst werden. Nach Neuordnung der
Gleichung kann die folgende Schreibweise verwendet werden.
(19.7)
Da die Differentialen gleich sind, daraus folgt, dass die Differenz zwischen der linken Seite der Gleichung nach
Durchführung des Integrals nach y, und der rechten Seite der Gleichung nach Durchführung des Integrals nach
z, nur eine Konstante C1 beträgt.
(19.8)
Nach einer zweiten Integralrechnung erhält man endlich die allgemeine Lösung für die Differentialgleichung
19.5.
(19.9)
In der allgemeinen Lösung (Gleichung 19.9.) aufgeführte Integralkonstanten C 1 und C2 können aus den
Randbedingungen bestimmt werden, die mit den Auflagerungen des Balkens eng verbunden sind. Die
Randbedingungen für den Balken der Abb. 19.1. wie folgt:
(19.10
)
und
(19.11
)
Laut der Gleichungen 19.10 und 19.11 beträgt die Verschiebung in Richtung y der elastischen Linie für die
Koordinaten z = 0 und z = l ebenso y = 0, da der Stab an beiden Stellen durch Lagern mit der Umgebung
verbunden ist.
Falls die Biegemomentfunktion durch eine einzige analytische Funktion für die gesamte Balkenlänge
beschrieben werden kann, so kann die Gleichung der gekrümmten elastischen Linie durch zweifache
Integralrechnung der Gleichung 19.5 einfach erstellt werden. Wenn die Funktion M(z) nur stufenweise
analytisch gestaltet werden kann, so müssen die Ergebnisse für die einzelnen Strecken erstellten
Integralrechnungen nacheinender angepasst werden, dass heißt die elastische Linie kontinuierliche bleibt, und
gibt es auch keinen Bruch in der elastischen Linie. Dementsprechend müssen die Randbedingungen mit so
genanten Anpassungsbedingungen ergänzt werden.
2. Gleichungen der Biegelinie
In der Festigkeitslehre werden die Zusammenhänge zur Bestimmung von Durchbiegung und Neigung linear
elastischer Biegestäbe konstanter Querschnitt und für einfacher Belastungsfälle Gleichungen der Biegelinie
oder einfach als Biegelinie bezeichnet. In der Praxis am häufigsten eingesetzte Zusammenhänge der Biegelinie
- ohne auf vollständigen Inhalt zu bestreben - enthält die Tabelle a 19.1. Die Durchbiegung sowie auch die
Neigung in allen, in der Tabelle aufgeführten Fällen mit der Belastung lineare Funktion bildet, (durch doppelte
Belastung auch zweifache Verformung verursacht wird), deswegen kann für Biegestäbe zusammengesetzter
Belastungen das Prinzip der Superposition zur Berechnung von Durchbiegungen und Verdrehungswinkeln
erfolgreich eingesetzt werden. Laut des Superpositionsprinzips wird durch jede einzelne Belastung eine solche
Deformation (Durchbiegung/Neigung) hervorgerufen als sie auf den Balken alleine wirke. Dementsprechend
kann die gesamte Verformung des Balkens als Resultierende der einzelnen Durchbiegungen erstellt werden. Bei
dem Einsatz der Gleichungen der Biegelinie
wird der Balken zusammengesetzter Belastung auf Balken
146
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Ermittlung die Verformungen der
Balkenträger durch die Differentialgleichung der elastischen Linie, und
aus der Gleichungen der Biegelinie.
einfacher Belastungsfällen zerlegt (siehe Gleichungen der Biegelinie), und die gesamte Deformation wird als
Summe der einfachen Balkenergebnisse erstellt.
Tabelle 19.1. Deformation der Biegebalken für einfache Lastfällen (Gleichungen der Biegelinie)
BEISPIEL 19.1
Es ist die deformierte Gestalt der Stabachse, die senkrechte Verschiebung der Querschnitte sowie die
Verdrehung um die Achse x eines durch eine Einzelkraft belasteten eingespannten Balkens (Abb. 19.1.1) zu
bestimmen! Der Querschnitt des Balkens ist konstant.
147
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Ermittlung die Verformungen der
Balkenträger durch die Differentialgleichung der elastischen Linie, und
aus der Gleichungen der Biegelinie.
Abb. 19.1.1 Durch Einzelkraft belasteter eingespannter Balken.
Als erster Schritt ist die Beanspruchungsfunktion zu ermitteln. Wenn man die Beanspruchungsfunktion für den
skizzierten Belastungsfall (Abb. 19.1.1) aus dem Kraftsystem auf der linken Seite des Querschnittes bestimmen
will, benötigt dazu auch die Lagerreaktionen in der Einspannung. (Bemerkung: die Beanspruchungsfunktion
kann auch ohne die Lagerreaktionen bestimmt werden, dazu soll der Balken auf die Ebene x-y gespiegelt, und
der Koordinatenursprung auf die freien Ende des Balkens verlegt werden.)
Die Lagerreaktionen können aus den Gleichgewichtsgleichungen bestimmt werden.
∑M"A"=0=MA-F1
∑Fy=0=FA-F
Damit:
MA=1F
FA=F
Die Biegemomentfunktion:
M(z)=MA-zFA=1F-zF=F(l-z).
Die Gleichung der elastischen Linie
Es sollen beide Seiten der Gleichung zweifach integriert werden
Erste Integralrechnung:
Zweite Integralrechnung:
148
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Ermittlung die Verformungen der
Balkenträger durch die Differentialgleichung der elastischen Linie, und
aus der Gleichungen der Biegelinie.
Die Konstante für die Integralrechnung C1 und C2 können aus den Randbedingungen bestimmt werden.
Randbedingung I.: für die Koordinate z=0
keine Verdrehung aufweißen darf.
beträgt, dass heißt der Querschnitt in der Einspannung
Daraus folgt:
Randbedingung II.: für die Koordinate z=0 y=0 beträgt, dass heißt der Querschnitt in der Einspannung keine
Verschiebung in Richtung y aufweißt.
Damit:
y(z=0)=0=C2.
Dementsprechend die Funktion für die deformierte Form des Balkens (die Verschiebung an einer beliebigen
Querschnittes der Koordinate z):
Die maximale Verschiebung und Neigung erhält man im Querschnitt, der Koordinate z=l:
Die Ergebnisse der Lösungen werden auch als Gleichungen der Biegelinie bezeichnet.
BEISPIEL 19.2
Es ist die deformierte Gestalt der Stabachse, die senkrechte Verschiebung der Querschnitte sowie die
Verdrehung um die Achse x eines durch ein Moment (Kräftepaar) belasteten eingespannten Balkens (Abb.
19.2.1) zu bestimmen! Der Querschnitt des Balkens ist konstant.
149
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Ermittlung die Verformungen der
Balkenträger durch die Differentialgleichung der elastischen Linie, und
aus der Gleichungen der Biegelinie.
Abb. 19.2.1 Durch ein Moment (Kräftepaar) belasteter eingespannter Balken.
Als erster Schritt ist die Beanspruchungsfunktion zu ermitteln. Wenn man die Beanspruchungsfunktion für den
skizzierten Belastungsfall (Abb. 19.2.1) aus dem Kraftsystem auf der linken Seite des Querschnittes bestimmen
will, benötigt dazu auch die Lagerreaktionen in der Einspannung. (Bemerkung: die Beanspruchungsfunktion
kann auch ohne die Lagerreaktionen bestimmt werden, dazu soll aber der Balken auf die Ebene x-y gespiegelt
werden)
Zur Bestimmung der Lagerreaktionen ist der Momentsatz (∑M=0) einzusetzen.
∑M"A"=0=MA-M0
Daraus:
MA=M0.
Das Rektionskraftsystem besteht aus einem einzigen Kräftepaar M A.
Die Biegemomentfunktion:
M(z)=MA=M0.
Es soll die Gleichung der elastischen Linie erstellt werden, und danach folgt nacheinander die zweifache
Integralrechnung.
Die Konstante C 1 und C 2 für die Integralrechnung können aus den Randbedingungen bestimmt werden.
Erste Integralrechnung:
Randbedingung I.: für die Koordinate z=0
keine Verdrehung aufweißen darf.
beträgt, dass heißt der Querschnitt in der Einspannung
150
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Ermittlung die Verformungen der
Balkenträger durch die Differentialgleichung der elastischen Linie, und
aus der Gleichungen der Biegelinie.
Daraus folgt:
Randbedingung II.: für die Koordinate z=0 y=0 beträgt, dass heißt der Querschnitt in der Einspannung keine
Verschiebung in Richtung y aufweißt.
Damit:
y(z=0)=0=C2.
Dementsprechend die Funktion für die deformierte Form des Balkens (die Verschiebung an einer beliebigen
Querschnittes der Koordinate z):
Für die Neigung an einer beliebigen Querschnittes der Koordinate z kann aus der folgenden Gleichung bestimmt
werden:
Die maximale Verschiebung und Neigung erhält man im Querschnitt der Koordinate z=l:
Die Ergebnisse der Lösungen werden auch als Gleichungen der Biegelinie bezeichnet.
BEISPIEL 19.3
Es ist die deformierte Gestalt der Stabachse, die senkrechte Verschiebung der Querschnitte sowie die
Verdrehung um die Achse x eines durch Streckenlast belasteten Balkens (Abb. 19.3.1) zu bestimmen! Der
Querschnitt des Balkens ist konstant.
151
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Ermittlung die Verformungen der
Balkenträger durch die Differentialgleichung der elastischen Linie, und
aus der Gleichungen der Biegelinie.
Abb. 19.3.1 Durch Streckenlast beanspruchter Balken.
Es soll die Gleichung der elastischen Linie erstellt werden. Zur Bestimmung der Lagerreaktionen ist der
Momentsatz ((∑M=0) einzusetzen. Die Lagerreaktionen können aus den Gleichgewichtsgleichungen bestimmt
werden.
∑Fy=0=FA-ql+FB
und daraus:
Die beiden Reaktionskräfte könnten wegen der Symmetrie ohne Gleichgewichtsgleichungen ganz einfach
ermittelt werden.
Die Biegemomentfunktion:
Es soll die Gleichung der elastischen Linie erstellt werden, und danach folgt die Integralrechnung zweimal.
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Ermittlung die Verformungen der
Balkenträger durch die Differentialgleichung der elastischen Linie, und
aus der Gleichungen der Biegelinie.
Die Randrandbedingungen:
Randbedingung I.: für die Koordinate z = 0 y = 0 beträgt.
Daraus folgt:
C2=0.
Randbedingung II.: für die Koordinate z = l y = 0 beträgt.
Dass heißt:
Dementsprechend die Funktion für die deformierte Form des Balkens:
Die Neigung für einen beliebigen Querschnitt der Koordinate z kann aus der folgenden Gleichung bestimmt
werden:
Die maximale Verschiebung an der Koordinate z = l/2:
Die maximale Neigung erhält man in den Querschnitten A und B der Koordinate z = 0 beziehungsweise z = l:
Die Ergebnisse der Lösungen werden auch als Gleichungen der Biegelinie bezeichnet.
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Ermittlung die Verformungen der
Balkenträger durch die Differentialgleichung der elastischen Linie, und
aus der Gleichungen der Biegelinie.
BEISPIEL 19.4
Es ist der BEISPIEL 18.5 mittels der Gleichungen der Biegelinie zu lösen!
Der untersuchte eingespannte Balken mit konstantem Querschnitt ist an der Abb. 19.4.1. dargestellt. Bei der
Anwendung der Gleichungen der Biegelinie werden die Balken zusammengesetzter Belastung auf Balken
einfacher Lastfälle zerlegt, die Deformationen werden einzeln bestimmt, und danach die Teilergebnisse
summiert. In diesem konkreten Fall wird statt durch zwei Einzelkräfte F 1 und F 2 belasteter Balken zwei Träger
eingesetzt, deren Belastung F 1 beziehungsweise F 2 beträgt (siehe Abb. 19.4.2.).
Abb. 19.4.1 Durch Einzelkräfte belasteter eingespannter Balken
Abb. 19.4.2 Zwei einfach belasteter Balken nach dem Einsatz des Superpositionsprinzips
Die Durchbiegung des Querschnittes C kann laut der Abb. 19.4.2 durch die vorzeichengerechte Summe von f
1C und f 2C bestimmt werden.
Da für kleinen Winkeln tgφ1B≅φ1B gilt, dass heißt die Tangente des Winkels mit einer ziemlich guten
Annäherung mit dem Bogenmaß demselben Winkels gleich beträgt, kann geschrieben werden:
Durch einsetzen der Gleichungen der Biegelinie:
Daraus:
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Ermittlung die Verformungen der
Balkenträger durch die Differentialgleichung der elastischen Linie, und
aus der Gleichungen der Biegelinie.
Die Durchbiegung f 2C kann durch die Gleichungen der Biegelinie leicht ermittelt werden:
Die Verschiebungen f 1C und f 2C sind entgegen gerichtet, da die Verschiebung f 1C zur negativen y Achse
gerichtet ist, deswegen muss ihre Vorzeichen im Weiteren als negativ berücksichtigt werden. Es war in unserer
ursprünglichen Zielstellung festgelegt, dass die Durchbiegung des Querschnittes C f 1C = 0 betragen muss. Es
kann einfach erzielt werden: die vorzeichengerechte Summe von Durchbiegungen f 1C und f 2C wie folgt: f 2C - f
1C = 0.
Daraus:
16F2l3=5F1l3,
dass heißt
Das Ergebnis stimmt mit der Lösung aus dem Satz von Castigliano völlig überein.
BEISPIEL 19.5
Der untersuchte Auslegerbalken mit konstantem Querschnitt wird durch eine Einzelkraft belastet (Abb. 19.5.1.).
Es ist die Neigung des Querschnittes C unter Anwendung von Gleichungen der Biegelinie zu ermitteln.
Abb. 19.5.1 Auslegerbalken durch eine Einzelkraft belastet
Durch den Einsatz von Superpositionsprinzip wird der Balken zusammengesetzter Belastung auf zwei Balken
einfacher Lastfälle zerlegt (siehe Abb. 19.5.2.), deren Neigungen durch die Gleichungen der Biegelinie getrennt
bestimmt werden.
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Ermittlung die Verformungen der
Balkenträger durch die Differentialgleichung der elastischen Linie, und
aus der Gleichungen der Biegelinie.
Abb. 19.5.2 Zwei einfach belasteter Balken nach dem Einsatz des Superpositionsprinzips
Als erster Schritt wird die im Querschnitt C wirkende Einzelkraft F auf den Querschnitt B reduziert.
Aus dem reduziertem Kraftsystem wird nur durch das Moment (Kräftepaar)
reicht es uns nur damit zu beschäftigen.
eine Neigung verursachen, so
Die Neigung der Querschnitte C an der Abb. 19.5.2. skizzierten Balken die gleiche Drehrichtung haben, so kann
die Neigung des Querschnittes C für die ursprüngliche Aufgabe folgendermaßen formuliert werden:
φC=φ1C+φ2C
Durch den Einsatz von Gleichungen der Biegelinie:
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Kapitel 20. Analyse statisch
unbestimmter Konstruktionen
Im Grundgesetz der Statik liegt fest: ein Körper befindet sich erst dann in Ruhelage wenn die Resultierende aller
angreifenden Kräfte - als gleitende Vektoren - ein Nullvektor beträgt.
All das bedeutet in unserer heutigen dreidimensionalen Welt – es wird häufig wird als 3D abgekürzt – drei
Skalar Gleichgewichtsgleichungen für die Kräfte, und ebenso drei Skalar Gleichgewichtsgleichungen für die
Momente entlang der Koordinatenachsen des gewählten Bezugssystems.
Bei ebenen Problemen – häufig wird als 2D bezeichnet – sind zwei Skalar Gleichgewichtsgleichungen für die
Kräfte entlang der Koordinatenachsen des gewählten Bezugssystems, und eine Skalar Gleichgewichtsgleichung
für das Moment um eine, auf die Ebene orthogonal gerichtete Achse.
Die Lösung eines Festigkeitsproblems soll regelmäßig mit einer statischen Analyse angefangen werden, in der
die Reaktionskräfte und/oder die Reaktionsmomente bestimmt werden müssen.
Dazu werden die Skalar Gleichgewichtsgleichungen des Grundgesetzes der Statik eingesetzt.
Falls die Summe der unbekannten Reaktionskräfte und Reaktionsmomente, also die Anzahl der Unbekannten
mit den unabhängigen Gleichgewichtsgleichungen übereinstimmt, dann ist die Aufgabe statisch bestimmt. Es
kommt trotzdem häufig vor, dass man mehr Unbekannten erhält, als die Anzahl der Gleichungen aus dem
Grundgesetz der Statik zu gestalten ist, also die Aufgabe statisch unbestimmt ist. Durch die Differenz
zwischen den Unbekannten und der Anzahl der Gleichungen wird für das Problem als Grad der Unbestimmtheit
definiert.
Durch die Methoden der Festigkeitslehre können auch die statisch unbestimmten Probleme erfolgreich gelöst
werden. Die Methoden können hauptsächlich aufgeteilt werden, wie folgt:
• der Einsatz von Verformungsgleichungen,
• der Einsatz des Prinzips von Energieminimum.
Bei dem Einsatz der Methode von Verformungsgleichungen müssen Verformungsgleichungen gestaltet
werden, deren Anzahl dem Grad der Unbestimmtheit entspricht. Der Typ von Verformungsgleichungen ist
immer mit dem Grundproblem eng verbunden. In den Verformungsgleichungen werden für irgendeinen Zwang
(Lagerung oder Einspannung) durch die Lagerreaktionen hervorgerufene Verschiebungen oder
Winkelverdrehung ausgedrückt.
Das Energieminimum Prinzip beinhaltet, dass der Betrag der Reaktionskräfte und/oder die Reaktionsmomente
regelmäßig zu einer minimalen gespeicherten elastischen Energie in der Konstruktion führen.
In den vorherigen Abschnitten wurde bereits festgelegt, dass die im Festkörper gespeicherte elastische Energien
für die Zug-Druck, Schub-, Biege-, und Torsionsbeanspruchungen folgendermaßen zu berechnen sind:
(20.1)
wo die Zug oder Druckbelastung (F), die Schubkraft (FT ), das Biegemoment (M) und das Torsionsmoment (T)
konsequent als Funktion der Längskoordinate des Stabes (z) angegeben sind.
Meistens ist die durch die Scherkraft (FT ) entstehende elastische Verformungsenergie sehr klein, deswegen
kann vernachlässigt werden.
Bei prismatischen Stäben mit gleichem Querschnitt können die Fläche und die Flächenträgkeitsmomente, für
konstante Temperaturbedingungen auch die Materialkennwerte vor dem Integralzeichen geschrieben werden, so
erhält man die folgende Gleichung:
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Analyse statisch unbestimmter
Konstruktionen
(20.2)
Soll zum Beispiel die Reaktionskraft FA auf Basis des Energieminimum Prinzips ermittelt werden, dann muss
unbedingt berücksichtigt werden, dass die mit der Kraft FA ausgedrückte Energiefunktion eben ihr Minimum
erreicht. Extremwert, genauer ein Minimum für Multivariante Funktion kann durch eine partielle Ableitung
erstellt werden, wo deren Wert gleichzeitig Null beträgt. Also durch die partielle Ableitung der Gleichung 20.2.
erhält man die in der Praxis verwendeter Zusammenhang für den Einsatz des Energieminimum Prinzips:
(20.3)
BEISPIEL 20.1
Aufgrund der Skizze (Abb. 20.1) und der Daten sind die Lagerreaktionen für den statisch unbestimmten Träger
bei der Einrollenlager (A) beziehungsweise bei der Einspannung (B) zu bestimmen, wenn a=0,3 m, b=0,5 m,
q=10 kN/m, F=12 kN beträgt.
Abb. 20.1
Die Reaktionskraft im Punkt A wird als aktive Kraft angenommen durch die, die Durchbiegung am Ende der
Konsole fA = 0 beträgt. Auch hier kann das Superpositionsprinzip erfolgreich eingesetzt werden, dass heißt die
Durchbiegungen verschiedener Lasttypen können einzeln ermittelt, und dann einfach summiert werden. Die
Durchbiegung des Punktes A durch die Streckenlast:
Abb. 20.2
Die Durchbiegung des Punktes A infolge der Einzelkraft:
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Analyse statisch unbestimmter
Konstruktionen
Abb. 20.3
Die Durchbiegung nach oben am Ende der Konsole aus der Einzelkraft FA :
Abb. 20.4
Die Summe der drei Durchbiegungen fA = 0:
f 1+f 2+f 3=0,
dass heißt
Daraus erhält man die Reaktionskraft FA :
(FA=8,566kN).
Aus der Gleichgewichtsgleichung in Richtung y:
FB=q(a+b)+F-FA ,
(FB=11,434kN),
Aus der Momentengleichgewichtsbedingung erhält man das Reaktionsmoment M B :
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Analyse statisch unbestimmter
Konstruktionen
(MB=2,347kNm),
BEISPIEL 20.2
Es soll der Beispiel 20.1 auch unter Verwendung des Energieminimumprinzips gelöst werden!
Die Formänderungsenergie für einen starren Körper im allgemeinen Fall (20.1):
Der Balken wird in der konkreten Aufgabe mit keinen Zug-Druckkräften, und keinem Torsionsmoment belastet,
die minimale Wirkung von Schubkraft kann vernachlässigt werden, so:
Da für einen prismatischen Stab die Biegesteifigkeit IE konstant ist, kann vor dem Integralzeichen geschrieben
werden. Damit die Gleichung des Energieminimums (20.3):
Der Balken wird wegen der verschiedenen Belastungen auf zwei Strecken geteilt:
Abb. 20.5
Die Funktion des Biegemomentes und dessen partieller Ableitung für die Strecke I. (0≤z≤a):
Das Integral:
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Analyse statisch unbestimmter
Konstruktionen
Strecke II. (a≤z≤a+b): die Funktion des Biegemomentes und dessen partieller Ableitung:
Das Integral:
Die Summe beider Integralausdrücke für den Balken beträgt Null:
Nach Neuanordnen der Gleichung:
Das Ergebnis der Beispiele 20.2. sowie 20.1 stimmten überein.
AUFGABE 20.3
Aufgrund der Skizze (Abb. 20.6) und der Daten sind die Lagerreaktionen für den statisch unbestimmten Träger
bei der Einrollenlager (A) beziehungsweise bei der Einspannung (B) zu bestimmen! a=1 m, b=1,5 m, q=20
kN/m, Mo=22 kNm.
Abb. 20.6
AUFGABE 20.4
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Analyse statisch unbestimmter
Konstruktionen
Aufgrund der Skizze (Abb. 20.7) und der Daten sind die Lagerreaktionen für den Durchlaufträger (statisch
unbestimmten Träger) bei den Einrollenlagern (A und C) beziehungsweise bei dem Gelenk (B) zu bestimmen!
a=1 m, b=1,5 m, q=20 kN/m, Mo=22 kNm.
Abb. 20.7
162
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Kapitel 21. Fragen zur Vorbereitung.
Definitionen (minimale
Anforderungen). Formelsammlung.
1. Grundbegriffe für Festigkeitslehre. Aufgabe der Festigkeitslehre, Stoffgesetz, elastische Verformung,
Definition für Festkörper und Spannung, Dimensionierung. Dualität der Schubspannungen. Zusammenhang
zwischen Materialkennwerte der Festigkeitslehre.
1a) Fragen zur Vorbereitung
Womit beschäftigt sich die Festigkeitslehre?
Was bedeutet Dimensionieren?
Woran besteht die Aufgabe der Festigkeitslehre?
Was bedeutet Gleichgewichtskraftsystem?
Was bedeutet statische Belastung?
Was versteht man unter Dehnung?
Stellen sie das einfache Hookesche Gesetz vor!
1b) Definitionen (minimale Anforderungen)
Die Festigkeitslehre ist ein Wissenschaftsbereich der Physik, näher betrachtet der Mechanik, in der zur
Dimensionierung von Konstruktionen und Maschinen notwendige Zusammenhänge erforscht werden.
Die Ermittlung von geometrischen Daten durch Außenwirkungen oder durch eingeprägte Kräfte belasteter
Konstruktionsbauteile durch Festigkeitsberechnung wird Dimensionierung bezeichnet.
Ziel der Dimensionierung ist die Spannung oder die Verformung zwischen vorher bestimmten grenzwerten zu
halten.
Die Aufgabe der Festigkeitslehre bildet die Erarbeitung zur Dimensionierung notwendigen Verfahren und
Zusammenhänge.
In der Statik werden die Objekte der Mechanik (Massenpunkt, starrer Körper, Konstruktion) in Ruhelage
analysiert, in der die Kräfte und Momente ein Gleichgewichtssystem bilden, dementsprechend die stehen unter
statischer Belastung.
1c) Formelsammlung
2. Der allgemeine Spannungszustand: Spannungszustand in der elementaren Umgebung eines Punktes.
Spannungsvektor und Spannungstensor.
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Fragen zur Vorbereitung.
Definitionen (minimale
Anforderungen). Formelsammlung.
2a) Fragen zur Vorbereitung
Wie wird der Spannungsvektor interpretiert?
Was versteht man unter Spannungszustand?
Wann ist der Spannungszustand Punkt bekannt?
Was enthält das Reziprozitätsatz von Chauchy?
Was bedeutet der Spannungstensor?
Wie kann aus der Matrix des Spannungstensors der Spannungsvektor zu beliebigen Richtungen ermittelt
werden?
2b) Definitionen (minimale Anforderungen)
Spannungsvektor
Spannungszustand
Reziprozitätsatz von Chauchy
Spannungstensors
2c) Formelsammlung
3. Hauptspannungen und Hauptrichtungen. Mohresche Darstellung des Spannungszustandes.
3a) Fragen zur Vorbereitung
Wie werden die Skalar Invarianten des Spannungstensors interpretiert?
Was versteht man unter Hauptspannung?
Was versteht man unter Hauptrichtung?
Welche sind die Spannungshauptebenen?
Wie kann ein dreiachsiger Spannungszustand beschrieben werden?
Wie kann ein ebener Spannungszustand beschrieben werden?
Welche sind die Parameter eines Mohreschen Spannungskreises?
3b) Definitionen (minimale Anforderungen)
Invarianten des Spannungstensors
Hauptspannung
Hauptrichtung
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Fragen zur Vorbereitung.
Definitionen (minimale
Anforderungen). Formelsammlung.
Spannungshauptebenen
dreiachsiger Spannungszustand Spannungshauptebenen
ebener Spannungszustand
die Parameter eines Mohreschen Spannungskreises
3c) Formelsammlung
4. Allgemeiner Formänderungszustand: Verschiebungs-, und Formänderungszustand in der elementaren
Umgebung eines Punktes. Der Gradient des Verschiebungsfeldes (Ableitung des Tensors). Rotationstensor.
Formänderungstensor.
4a) Fragen zur Vorbereitung
Wie wird die Verschiebungsfunktion interpretiert?
Was versteht man unter Ableitung des Tensors des Verschiebungsfeldes?
Was versteht man unter Formänderungsvektor?
Was versteht man unter Formänderungstensor?
Was versteht man unter Rotationstensor?
Wie kann der Formänderungsvektor aus der Matrix des Formänderungstensors zu beliebigen Richtungen
ermittelt werden?
4b) Definitionen (minimale Anforderungen)
Verschiebungsfunktion
Ableitung des Tensors des Verschiebungsfeldes
Formänderungsvektor
Formänderungstensor
Formänderungstensor
4c) Formelsammlung
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Fragen zur Vorbereitung.
Definitionen (minimale
Anforderungen). Formelsammlung.
5. Die Hauptdehnungsrichtungen und die Hauptdehnungen
5a) Fragen zur Vorbereitung
Wie werden die Skalar Invarianten des Formänderungstensors interpretiert?
Was versteht man unter Hauptdehnung?
Welche sind die Dehnungshauptebenen?
5b) Definitionen (minimale Anforderungen)
Skalar Invarianten des Formänderungstensors
Hauptdehnung
Hauptrichtung
5c) Formelsammlung
6. Zusammenhang zwischen Spannungszustand und Formänderungszustand. Das allgemeine Hookesche Gesetz.
6a) Fragen zur Vorbereitung
Was versteht man unter dem allgemeinen Hookeschen Gesetzes?
6b) Definitionen (minimale Anforderungen)
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Fragen zur Vorbereitung.
Definitionen (minimale
Anforderungen). Formelsammlung.
allgemeine Hookesche Gesetz
6c) Formelsammlung
7. Spezifische Verformungsenergie eines elastischen Körpers
7a) Fragen zur Vorbereitung
Wie kann die Verformungsenergie definiert werden?
Wie kann die Energiedichte definiert werden?
Wie kann die Energiedichte definiert werden?
7b) Definitionen (minimale Anforderungen)
Verformungsenergie
Energiedichte
7c) Formelsammlung
8. Einachsiger Zugversuch. Zug und Druck gerader prismatischer Stäbe.
8a) Fragen zur Vorbereitung
Was versteht man unter Zug- oder Druckbeanspruchung?
Wie wird es die Spannung für Zug- oder Druckbeanspruchung bestimmt?
Wie wird es die Verformung für Zug- oder Druckbeanspruchung bestimmt?
Wie wird es die elastische Verformungsenergie für Zug- oder Druckbeanspruchung bestimmt?
8b) Definitionen (minimale Anforderungen)
Zug- oder Druckbeanspruchung
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Fragen zur Vorbereitung.
Definitionen (minimale
Anforderungen). Formelsammlung.
8c) Formelsammlung
9. Eigengewicht als Belastung und Stäbe gleicher Festigkeit. Die Formänderungsenergie.
9a) Fragen zur Vorbereitung
Wann wird ein Problem als durch Eigengewicht beanspruchter Stab bezeichnet?
Der Stab ist an dem oberen Ende eingespannt und auch durch eine Einzelkraft F sowie durch sein Eigengewicht
belastet. Es ist die Zugbeanspruchung unter Berücksichtigung der Eigenmasse zu ermitteln!
Was versteht man unter Stab gleicher Festigkeit?
Es ist die Gleichung für den Stab gleicher Festigkeit sowie dessen Verlängerung zu interpretieren.
9b) Definitionen (minimale Anforderungen)
Die senkrecht angeordneten Stäbe werden - demnach wie sie eingespannt sind - durch das Eigengewicht auf Zug
oder auf Druck beansprucht. So bedeutet das Eigengewicht eine zusätzliche Beanspruchung für das Tragwerk.
Gz das Gewicht des Stabteiles der Länge z bedeutet.
Für Faden, Drahte ist es ein sehr wichtiger Kennwert, die so genannte Reißlänge (Lr ). Sie bedeutet diese Länge
bei der die Draht ohne äußere Belastung, dass heißt, für (σ 0=0 beziehungsweise F=0) bereits infolge sein
Eigengewicht zerreißt.
Ein Stab kann erst dann als ein Stab gleicher Festigkeit betrachtet werden, wenn in allen Querschnitten die
gleiche Spannung vorhanden ist.
Für Zug- und Druckbelastung kann die Form eines Stabes gleicher Festigkeit durch eine logarithmische
Funktion beschrieben werden.
9c) Formelsammlung
Die maximale Zugspannung in einem Stab durch die Einzelkraft „F” und durch das Eigengewicht:
Die so genannte Reißlänge:
168
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Fragen zur Vorbereitung.
Definitionen (minimale
Anforderungen). Formelsammlung.
Die Gleichung für den Stab gleicher Festigkeit:
Die Verlängerung des Stabes gleicher Festigkeit:
Die
gesamte
Energie
für
das
Volumen
V:
10. Die Scher- und die Biegebeanspruchung. Schubspannungen in einem Biegestab.
10a) Fragen zur Vorbereitung
Wann behandelt sich um reinen Schub?
Wann behandelt sich um reine Biegung, gerade Biegung und reine gerade Biegung?
Es ist die Naviersche Formel zu interpretieren!
Was wird für eine reine gerade Biegung als neutrale Achse bezeichnet?
Es ist die Zsuravszkij Formel zu interpretieren!
10b) Definitionen (minimale Anforderungen)
Falls ein prismatischer Stab (oder ein Stabelement) gerader Stabachse in einem ausgewählten Querschnitt durch
zwei, in der Querschnittsebene, durch den Schwerpunkt gegeneinander gerichteten Einzelkräfte belastet wird,
dann ist die Beanspruchung des Stabes (oder des Stabelementes) reiner Schub.
Falls der Stab ausschließlich nur Biegebeanspruchung unterliegt, wird die Beanspruchung als reine Biegung
bezeichnet. Wenn alle Kräfte und Kräftepaare in der Symmetrieebene des Biegestabes wirken, so nennt man
dieser Fall als gerade Biegung. Sollen die beiden vorherigen Voraussetzungen gleichzeitig erfüllt werden, so
erhalten wir für den Stab als Beanspruchung die reine gerade Biegung.
Die Achse wo die Spannung Null beträgt, wird als neutrale Achse bezeichnet, die bei reinen geraden Biegung
mit der Schwerpunktsachse x zusammenfällt.
10c) Formelsammlung
Die Spannung für reinen Schub:
Dimensionierung für reinen Schub:
Die Biegespannung:
Dimensionierung für Biegung:
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Fragen zur Vorbereitung.
Definitionen (minimale
Anforderungen). Formelsammlung.
Die Schubspannung für Biegung und Querkraft:
11. Durchbiegung, Spannungszustand und Verformungsenergie von Balken. Schiefe Biegung
11a) Fragen zur Vorbereitung
Es ist die Verformung sowie deren charakteristischen Kennwerte für einen eingespannten Biegestab zu
beschreiben!
Was versteht man unter Krümmung und Krümmungsradius?
Wie viel beträgt die Verformungsenergie eines Biegestabes?
Was versteht man unter schiefe Biegung?
Es sind die Zusammenhänge zwischen
Durchbiegungsfunktionen zu interpretieren!
Momentschnittgrößenverlauf-,
Neigungswinkel-
und
11b) Definitionen (minimale Anforderungen)
Es handelt sich um dann schiefe Biegung, wenn der Momentvektor des wirkenden Kräftepaars keiner der
Hauptträgheitsachsen des Querschnittes zusammenfällt.
Die Arbeit auf den Balken wirkenden Momenten mit der Verformungsenergie gleich beträgt.
11c) Formelsammlung
Der Neigungswinkel der Tangenten:
Die Differentialgleichung der elastischen Linie:
Die Verformungsenergie eines Biegebalkens:
Die Spannung für schiefe Biegung:
Die Lage der neutralen Achse für schiefe Biegung:
12. Beanspruchung durch Torsion. Torsion dünnwandiger Rohre. Torsion für Stäbe mit Kreis undKreisringquerschnitt. Verformungsenergie für Torsion.
12a) Fragen zur Vorbereitung
Was versteht man unter Torsionsmoment?
Was bedeutet dünnwandiges Rohr?
Woran besteht der Vorteil des Bredtschen Formels?
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Fragen zur Vorbereitung.
Definitionen (minimale
Anforderungen). Formelsammlung.
12b) Definitionen (minimale Anforderungen)
Das Moment, durch die Torsionsbeanspruchung hervorgerufen wurde, wird T Torsionsmoment genannt.
Bei der Analyse dünnwandiger Rohre werden solche prismatische Stäbe untersucht, bei denen die Entfernung
zwischen den Grenzflächen, die Wanddicke im Vergleich zu den anderen Abmessungen des Querschnittes
ausreichend klein beträgt.
Bei dünnwandigem Rohre fällt es auf dass die maximale Schubspannung bei minimaler Wandstärke entsteht.
Ein weiterer Vorteil des Bredtschen Formels liegt daran , dass nicht nur für Kreis-, und Kreisringquerschnitte
geeignet ist, sondern für Querschnitte variabler Wandstärke.
12c) Formelsammlung
Die Torsionsspannung:
Die Formänderungsgleichung eines tordierten Stabes:
Dimensionierung auf Torsion:
Die elastische Verformungsenergie für reine Torsion:
Die Schubspannung für dünnwandige Rohre:
Die maximale Schubspannung für dünnwandige Rohre:
13. Schlanke Druckstäbe. Elastische und plastische Knickung.
13a) Fragen zur Vorbereitung
In welchem Zustand befindet sich der Druckstab, wenn die Kraft der kritische Wert erreicht hat?
Wann handelt sich um eine elastische Knickung?
Was bedeutet der Trägheitshalbmesser?
Was versteht man unter Schlankheitsgrad?
In welchem Bereich kann die Theorie der elastischen Knickung eingesetzt werden?
Was versteht man unter Knicklänge?
Was versteht man unter dem Beiwert für Knickung?
In welchem Bereich behandelt sich um plastischer Knickung?
Was hat Lajos Tetmajer bewiesen?
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Fragen zur Vorbereitung.
Definitionen (minimale
Anforderungen). Formelsammlung.
13b) Definitionen (minimale Anforderungen)
Wenn die Druckkraft ihr kritischer Wert erreicht, befindet sich der Stab auch im ausgeknicktem Zustand in
Ruhelage.
Erst dann handelt sich um elastische Knickung, wenn der Schlankheitsgrad des Stabes nicht kleiner als der
Grenzwert des Schlankheitsgrades für elastische Knickung beträgt, dass heißt λ≥λ0 . Daraus folgt, dass die
Theorie für elastische Knickung nur für so genannte schlanke Stäbe verwendet werden kann.
Wenn λ<λ0 beträgt, so erfolgt die Knickung außerhalb der elastischen Bereich, also es handelt sich um eine
plastische Knickung.
Lajos Tetmajer hat bewiesen, dass die Stäbe außerhalb der elastischen Bereich bei kleineren Spannungen
ausknicken als aus der Eulerschen Gleichung ermittelt werden kann.
Die kritische Spannung aus der Tetmajerschen Gleichung darf aber gleichzeitig die Fliessgrenze nicht
überschreiten.
13c) Formelsammlung
Die kritische Kraft nach Euler:
Die kritische Spannung nach Euler:
Der Schlankheitsgrad:
Der Grenzwert des Schlankheitsgrades:
Die kritische Spannung nach Tetmajer:
14. Membrantheorie dünnwandiger Rotationsschalen. Dimensionierung, Festigkeitsnachweis von Behältern.
14a) Fragen zur Vorbereitung
Wie werden die Rotationsschalen definiert?
Was wird durch die Kesselformel ausgedrückt?
Wie werden die axialen, radialen und tangentialen Spannungen für einen, durch Innendruck belasteten Behälter
bestimmt?
Wie werden die Vergleichsspannungen für einen Druckbehälter nach Mohr und nach der Theorie von HuberMises-Hencky ermittelt?
14b) Definitionen (minimale Anforderungen)
Rotationsschale
Kesselformel
axiale, radiale und tangentiale Spannung
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Fragen zur Vorbereitung.
Definitionen (minimale
Anforderungen). Formelsammlung.
Vergleichsspannungen für einen, Druckbehälter nach Mohr und nach Huber-Mises-Hencky
14c) Formelsammlung
15. Festigkeitsberechnung
15a) Fragen zur Vorbereitung
Was versteht man unter Festigkeitsnachweis?
Was versteht man unter Dimensionierung?
Was versteht man unter Spannungstheorie?
Was versteht man unter Vergleichsspannung?
Was versteht man unter räumlichem (dreiachsiger), ebenem (zweiachsiger), und linearem (einachsiger)
Spannungszustand?
Was bedeutet die zulässige Spannung?
Wie wird der Sicherheitsfaktor interpretiert?
15b) Definitionen (minimale Anforderungen)
Festigkeitsnachweis
Dimensionierung
Spannungstheorie
Vergleichsspannung
räumlicher (dreiachsiger), ebener (zweiachsiger), und linearer (einachsiger) Spannungszustand
zulässige Spannung
Sicherheitsfaktor
15c) Formelsammlung
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Fragen zur Vorbereitung.
Definitionen (minimale
Anforderungen). Formelsammlung.
16. Die Mohrsche Spannungstheorie
16a) Fragen zur Vorbereitung
Was ist der Begriff für die Gleichwertigkeit laut der Mohrschen Spannungstheorie?
Wie kann die Vergleichsspannung nach Mohr ermittelt werden?
16b) Definitionen (minimale Anforderungen)
der Begriff die Gleichwertigkeit laut der Mohrschen Spannungstheorie
16c) Formelsammlung
17. Die Spannungstheorie der Verzerrungsarbeit
17a) Fragen zur Vorbereitung
Was bedeutet die spezifische Verformungsenergie?
Was ist der Begriff für die Gleichwertigkeit laut der Spannungstheorie von Huber-Mises-Hencky?
Wie kann die Vergleichsspannung nach Huber-Mises-Hencky ermittelt werden?
17b) Definitionen (minimale Anforderungen)
der Begriff für die Gleichwertigkeit laut der Spannungstheorie von Huber-Mises-Hencky
17c) Formelsammlung
18. Die Arbeits- und Energiesätze der Festigkeitslehre. Der Satz von Betti- und Castigliano.
18a) Fragen zur Vorbereitung
Zusammenhang zwischen der Arbeit eingeprägter Kräfte und der elastischen Verformungsenergie.
Was versteht man unter eigener Arbeit und fremder Arbeit?
Was wird durch den Satz von Betti ausgedrückt?
Es ist der Vertauschungssatz von Maxwell zu interpretieren!
Was wird durch den Satz von Castigliano ausgedrückt?
18b) Definitionen (minimale Anforderungen)
174
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Fragen zur Vorbereitung.
Definitionen (minimale
Anforderungen). Formelsammlung.
Laut des Energieerhaltungsgesetzes die Arbeit der äußeren Kräfte und die im Bauteil gespeicherte
Verformungsenergie gleich betragen.
Es wird angenommen, dass der Balken durch die Kräfte gleichzeitig belastet wird, und deren endgültiger Betrag
kontinuierlich erreicht wird, beziehungsweise die Kräfte inzwischen ein Gleichgewichtskraftsystem bilden
(statische Belastung).
Laut des Superpositionsprinzips die Kräfte ihre Wirkungen voneinander unabhängig ausüben!
Die Formänderungsarbeit von der Reihenfolge der Wirkung einzelner Kräfte unabhängig ist.
Laut des Satzes von Betti die Arbeit irgendeines Gleichgewichtskraftsystems die durch von einem anderen
Gleichgewichtskraftsystem verursachte Verschiebung geleistet wurde, stimmt mit der Arbeit eines anderen
Gleichgewichtskraftsystems, die durch von dem ersten Gleichgewichtskraftsystem verursachte Verschiebung
geleistet wurde überein.
Für elastischen Körper wird die Arbeit der äußeren Kräfte als Verformungsenergie U gespeichert, so können die
Energien auch als Arbeiten beliebiger Indexe formuliert werden.
In der Praxis wird beim Einsatz des Satzes von Betti das Belastungskraftsystem des Tragwerkes als Kraftsystem
1 betrachtet, und das Kraftsystem 2 wird so gewählt, dass die fremde Arbeit des zweiten Kraftsystems durch die
gesuchte Verschiebung oder Winkelveränderung geleistet werden soll.
Der Vertauschungssatz von Maxwell folgt aus dem Satz von Betti für spezielle Kraftsysteme.
Laut des Vertauschungssatzes von Maxwell können die die äußeren Verschiebungen vertauscht werden, also die
Angriffspunkte der Kräfte und die Stellen der Verschiebungen sind zu vertauschen.
Laut des Satzes kann die Verschiebung des Angriffspunktes in der Wirkungslinie irgendeiner aktiven
Einzelkraft durch die erste partielle Ableitung nach der Einzelkraft der gesamten äußeren Arbeit des
Belastungskraftsystems des Körpers ermittelt werden.
18c) Formelsammlung
19. Ermittlung die Verformungen der Balkenträger durch die Differentialglei-chung der elastischen Linie, und
aus der Gleichungen der Biegelinie.
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Fragen zur Vorbereitung.
Definitionen (minimale
Anforderungen). Formelsammlung.
19a) Fragen zur Vorbereitung
Es ist die Differentialgleichung der elastischen Linie darzustellen!
Welche Zusammenhänge werden als Gleichungen der Biegelinie bezeichnet?
19b) Definitionen (minimale Anforderungen)
Die neutrale Achse oder die elastische Linie ist eine durch die Schwerpunkte eines Biegestabes geführte
Schwerpunktsachse, deren Länge infolge der Verformung des Balkens unverändert bleibt.
Die deformierte Gestalt der elastischen Linie wird durch die Funktion y(z) definiert. Diese Funktion y(z) zeigt
eindeutig, dass der Schwerpunkt eines Querschnittes der Koordinate z wieweit in Richtung y verschoben wird.
Falls die Biegemomentfunktion durch eine einzige analytische Funktion für die gesamte Balkenlänge
beschrieben werden kann, so kann die Gleichung der gekrümmten elastischen Linie durch zweifache
Integralrechnung einfach erstellt werden.
In der Festigkeitslehre werden die Zusammenhänge zur Bestimmung von Durchbiegung und Neigung linear
elastischer Biegestäbe konstanter Querschnitt und für einfacher Belastungsfälle Gleichungen der Biegelinie oder
einfach als Biegelinie bezeichnet.
Für Biegestäbe zusammengesetzter Belastungen kann das Prinzip der Superposition zur Berechnung von
Durchbiegungen und Verdrehungswinkeln erfolgreich eingesetzt werden.
19c) Formelsammlung
20. Analyse statisch unbestimmter Konstruktionen
20a) Fragen zur Vorbereitung
Was bedeutet der Begriff statisch unbestimmt?
Es soll die Methode des Einsatzes der Verformungsgleichungen beigebracht werden!
Es soll die Methode des Einsatzes des Energieminimums beigebracht werden!
20b) Definitionen (minimale Anforderungen)
der Begriff für statische Unbestimmtheit
die Methode des Einsatzes der Verformungsgleichungen
die Methode des Einsatzes des Energieminimums
20c) Formelsammlung
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Fragen zur Vorbereitung.
Definitionen (minimale
Anforderungen). Formelsammlung.
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