Arbeitsmaterial als Word
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Rechnen mit ganzen Zahlen – Addition und Subtraktion 1. Positive und negative Zahlen im Alltag Aufzug Temperatur Girokonto Gruppenarbeit: In einigen Alltagssituationen muss man auch mit negativen Zahlen rechnen. Beantwortet folgende Fragen und notiert dazu einen passenden Rechenausdruck. Aufgaben Rechenausdruck Die Temperatur steigt von -2° um 5°. Welche Temperatur zeigt dann das Thermometer? Die Temperatur fällt von + 4° um 5°. Welche Temperatur zeigt dann das Thermometer? Die Temperatur ändert sich von -2° auf +5°. Um wie viel Grad hat sich die Temperatur geändert? Die Temperatur ändert sich von +5° auf - 5°. Um wie viel Grad hat sich die Temperatur geändert? Ein Aufzug fährt vom 2. UG fünf Stockwerke nach oben. In welchem Stockwerk ist er dann? Ein Aufzug fährt vom 2. OG fünf Stockwerke nach unten. In welchem Stockwerk ist er dann? Ein Aufzug fährt vom 3. OG ins 1. OG. Um wie viele Stockwerke ist er nach oben/unten gefahren? Ein Aufzug fährt vom 3. OG ins 1. UG. Um wie viele Stockwerke ist er nach oben/unten gefahren? Peter hat ein Guthaben von 120 € und hebt 200 € ab. Welchen Betrag zeigt sein Kontoauszug? Peter hat 120 € Schulden und zahlt 50 € ein. Welchen Betrag zeigt sein Kontoauszug? Der Kontostand hat sich von - 50 € auf +100 € geändert. Welcher Betrag wurde eingezahlt/abgehoben? Der Kontostand hat sich von + 50 € auf - 100 € geändert. Welcher Betrag wurde eingezahlt/abgehoben? Seite 1 von 8 Rechnen mit ganzen Zahlen – Addition und Subtraktion 2. Positive und negative Zahlen auf der Zahlengeraden Vom Zahlenstrahl zur Zahlengeraden Bisher hast du den Zahlenstrahl mit den Positiven Zahlen verwendet. Er hatte seinen Anfang bei Null und konnte beliebig weit nach rechts erweitert werden. Mit den Negativen Zahlen kann man den Zahlenstrahl auch nach links beliebig weit fortsetzen. Erweitert man den Zahlenstrahl nach links zur Zahlengeraden, erhält jede positive Zahl eine Gegenzahl mit negativem Vorzeichen. Zahl und Gegenzahl haben immer den gleichen Abstand von der Null. Den Abstand von der 0 nennt man auch den "Betrag" einer Zahl. Schreibweise: Will man den Betrag einer Zahl notieren schreibt man sie mit Vorzeichen zwischen 2 senkrechte Striche |+a| und |-a| Bsp: Die beiden Zahlen +3 und -3 haben den gleichen Abstand von der Null, d.h. sie haben den gleichen Betrag |-3| = |+3|, aber unterschiedlichen Wert -3 < +3, denn -3 ist auf der Zahlengeraden weiter links und somit kleiner als +3. Natürliche Zahlen und negative Zahlen zusammen nennt man "Ganze Zahlen". Beim Rechnen mit "Ganzen Zahlen" muss sowohl das Rechenzeichen als auch das Vorzeichen der Zahlen beachtet werden. Übung: Ganze Zahlen vergleichen Setze in die Kästchen das richtige Zeichen < ; > oder = ein. -4 -7 |-4| |-7| -12 +2 |-5| +5 -122 -120 -12 -13 |-5| |-5| +12 -13 Seite 2 von 8 Rechnen mit ganzen Zahlen – Addition und Subtraktion 3. Addition und Subtraktion positiver Zahlen am Zahlenstrahl Beispiel 1: 5 - 2 = 3 Beispiel 2: 5 + 2 = 7 Die erste Zahl ( 1. Summand oder Minuend ) ist der Ausgangspunkt eines Pfeiles am Zahlenstrahl. Das Rechenzeichen bestimmt die Blickrichtung des Pfeiles : plus + nach rechts / minus - nach links Die zweite Zahl ( 2. Summand oder Subtrahend ) bestimmt die Länge des Pfeils in Blickrichtung. An der Spitze des Pfeiles kann man das Ergebnis ablesen 3.1. Addition positiver Zahlen am Zahlenstrahl 1. Summand Rechenzeichen 2. Summand 3 + 2 Ausgangsposition Blickrichtung nach rechts In Blickrichtung so weit gehen 3.2. Subtraktion positiver Zahlen am Zahlenstrahl Minuend Rechenzeichen Subtrahend 3 - 2 Ausgangsposition Blickrichtung nach links In Blickrichtung so weit gehen Seite 3 von 8 Rechnen mit ganzen Zahlen – Addition und Subtraktion 4. Addition und Subtraktion negativer Zahlen an der Zahlengeraden 1. Summand Rechenzeichen 2. Summand 3 + -2 Ausgangsposition Blickrichtung nach rechts 1. Summand Rechenzeichen 2. Summand 3 - -2 Ausgangsposition Blickrichtung nach links -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 Bsp 1: (+3) + ( - 2) = +1 Gegen die Blickrichtung so weit gehen Gegen die Blickrichtung so weit gehen 1 2 4 5 6 7 + (-2) - (-2) Bsp 2: (+3) - ( - 2) = +5 Bsp 3: (+3) - ( + 2) = +1 3 - (+2) Bsp 4: (+3) + ( + 2) = +5 + (+2) Aufgabe: Zeichne für jede der folgenden 8 Rechenausdrücke auf der nächten Seite ein Pfeilbild und notiere das Ergebnis. Was fällt dir auf? Seite 4 von 8 8 Rechnen mit ganzen Zahlen – Addition und Subtraktion 4.1. Addition „Ganzer Zahlen“ an der Zahlengeraden: Der erste Summand ist der Ausgangspunkt. Bei der Addition ist die Blickrichtung nach rechts. Das Vorzeichen des zweiten Summanden bestimmt die Bewegungsrichtung (+vorwärts gehen oder -rückwärts gehen). Der Endpunkt B ist das Ergebnis der Rechnung. a) Beide Summanden sind positiv: ( +5 ) + ( +2 ) = b) Beide Summanden sind negativ: ( -5 ) + ( -2 ) = c) Die Summanden haben unterschiedliche Vorzeichen: + ( +2 ) = ( +5 ) + ( -2 ) = ( -5 ) 4.2. Subtraktion „Ganzer Zahlen“ an der Zahlengeraden: Der Minuend ist der Ausgangspunkt. Bei der Subtraktion ist die Blickrichtung nach links. Der Subtrahend bestimmt die Bewegungsrichtung (+vorwärts gehen oder -rückwärts gehen). Der Endpunkt B ist das Ergebnis der Rechnung. a) Minuend und Subtrahend sind positiv: ( +5 ) - ( +2 ) = b) Minuend und Subtrahend sind negativ: ( -5 ) - ( -2 ) = c) Min. und Sub. haben unterschiedliche Vorzeichen: ( +5 ) - ( -2 ) = -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 Seite 5 von 8 2 3 4 5 ( -5 ) - ( +2 ) = 6 7 8 Rechnen mit ganzen Zahlen – Addition und Subtraktion 5. Zusammenfassung – Merksätze und Regeln Beim Rechnen mit ganzen Zahlen unterscheiden wir Vorzeichen und Rechenzeichen. Die Beispiele zeigen, dass eine Subtraktion zum gleichen Ergebnis führt, wie die Addition mit der Gegenzahl und umgekehrt. (+3) - (+4) =(-1) (+3) +(- 4) =(-1) (-3) - (+4) =(-7) (-3) + (-4) =(-7) (-3) - (-4) =(+1) (-3) + (+4) =(+1) Eine ganze Zahl wird subtrahiert, indem man ihre Gegenzahl addiert. Bei der Addition von ganzen Zahlen kann das Ergebnis positiv oder negativ sein. Die beiden Summanden können gleiche oder verschiedene Vorzeichen haben. Haben beide Summanden das gleiche Vorzeichen, addiert man die Zahlen ohne ihre Vorzeichen zu berücksichtigen. Das Ergebnis hat das gleiche Vorzeichen, wie die beiden Summanden. Beispiel: (+ 3) + (+ 5) = + 8 und (- 3) + (- 5) = - 8 Haben beide Summanden verschiedene Vorzeichen, subtrahiert man die Zahlen ohne ihre Vorzeichen zu berücksichtigen. Das Ergebnis hat das Vorzeichen der Zahl, die weiter von der Null entfernt ist. Beispiel: (- 3) + (+ 5) = + 2 und (+ 3) + (- 5) = - 2 Vereinfachte Schreibweise: Positive Rechen- oder Vorzeichen darf man weglassen. So kann man die Aufgaben vom Anfang dieser Seite einfacher notieren: (+3) +(- 4) =(-1) 3 - 4 = -1 (-3) + (-4) =(-7) -3 - 4 = -7 Seite 6 von 8 (-3) + (+4) =(+1) -3 + 4 = 1 Rechnen mit ganzen Zahlen – Addition und Subtraktion 6. Anwendung der Rechenregeln für die Addition und Subtraktion 5.1. Vorüberlegung Aufgrund der vereinfachten Schreibweise darf man positive Rechenzeichen weglassen. Ist ein Rechenausdruck (Term) in der vereinfachten Schreibweise dargestellt, kann man sich die positiven Rechenzeichen denken. Bsp: - 3 + 5 - 8 + 9 = - 3 + +5 + - 8 + +9 6.2. Vertauschungsgesetz (Kommutativgesetz): In einer Summe darf man die Summanden vertauschen Bsp: =-3+5-8+9 =-3-8+5+9 6.2. Verbindungsgesetz (Assoziativgesetz): In einer Summe darf man Klammern beliebig setzen oder weglassen Bsp: =-3-8+5+9 =(- 3 - 8) + (+ 5 + 9) = - 11 + 14 =+3 6.3. Minusklammern: Steht vor einer Klammer ein Minuszeichen, darf man die Minusklammer weglassen, wenn man alle Vorzeichen in der Klammer umkehrt. Bsp: =(- 3 - 8) - (+ 5 + 9) = - 11 - 14 = - 25 oder =-3-8- 5-9 = - 25 Seite 7 von 8 Rechnen mit ganzen Zahlen – Addition und Subtraktion 7. Anwendung der Rechenregeln bei Zahlentermen Beispielaufgabe mit Musterlösung: = -16 + ( 7 - 15 ) - (14 - 22) = -16 + 7 - 15 - 14 + 22 = + 7 + 22- 15 - 14 - 16 = + 29 - 45 = + 16 1. Klammern auflösen (oder Klammern zuerst berechnen) 2. Sumanden vertauschen/ ordnen nach positiv u. negativ 3. Positive und negative Summanden zusammenfassen 4. Die Zwischenergebnisse addieren Aufgaben mit steigender Schwierigkeit 7.1. Berechne die Zahlenterme a.) 16 - 33 + 12 b.) 16 - (33 + 12) c.) 16 + (33 + 12) d.) 156 - 231 -56 + 31 e.) -156 - (231 -56) + (40 - 9) 7.2. Gegeben sind die vier Zahlen - 15 ; +16 ; - 17 ; + 18 . Setze diese vier Zahlen in die großen Kästchen ein. Setze in die kleinen Kästchen die Rechenzeichen „+“ oder „-“ ein so, dass du möglichst viele unterschiedliche Ergebnisse erhältst. Du darfst auch Klammern verwenden. = = = = = Seite 8 von 8
