Prof. Dr.-Ing. Cihat Karaali __________________________________________________________________________________ Steuerung und Regelung 1. Steuerung 1.1. Grundlegende Erläuterungen Steuerung des Leonard-Antriebes für die Erläuterung des Begriffes. Leonard-Antrieb drehzahlgesteuert: Ziel dieser Anordnung ist es, eine gewünschte Sollgröße Nm (Drehzahl) für den Motor M bereitzustellen. Durch ein Potentiometer R werden die Thyristoren Th1…Th4 der Stromrichter-Brückenschaltung über Schaltdauerwinkel α angesteuert. Die Ausgangsspannung der Stromrichter-Brückenschaltung UF erzeugt den Erregerstrom IF. UF bestimmt über IF die Ankerspannung des Leonard-Generators und damit die Drehzahl Nm des Motors M. Diese Wirkungskette bzw. dieser offener Wirkungsablauf charakterisiert den Begriff „Steuerung“. Die Steuergröße UF (bzw. IF) wird weder gemessen noch rückgekoppelt; d.h. es wird nicht geregelt. Der Wirkungsablauf der Steuerung ist damit als Kettenreaktion folgender Phasen zu bezeichnen: Änderung der Führungsgröße w → Änderung der Stellgröße UF → Änderung der Ausgangsgröße Nm der Steuerstrecke. Das Blockschaltbild (Bild 2) zeigt die Steuerkette zur Erläuterung den Begriff „Steuerung“ in einfacher Form. Als Störgrößen wurden die Spannungs- und Lastschwankung berücksichtigt. Der Wirkungsablauf ist stets von links nach rechts. Eine Rückkopplung ist in der Steuerkette nicht erkennbar, d.h. eine Regelung der Steuergröße ist nicht vorhanden. 1 Prof. Dr.-Ing. Cihat Karaali __________________________________________________________________________________ 2. Regelung 2.1 Grundlegende Erläuterungen Man spricht von einer „Regelung“ erst dann, wenn trotz Einwirkung von Störgrößen, die Ausgangsgröße (Regelgröße), die gezielt zu beeinflussende Größe, auf einem vorgegebenen Wert gehalten wird. Für die Erläuterung des Begriffes wird wiederum der Leonard-Antrieb drehzahlgeregelt in Bild 3 berücksichtigt. Das Grundprinzip der Regelung basiert darauf, dass die Regelgröße x mit der Führungsgröße w verglichen und die gebildete Differenz ∆U=∆xd=xd als Eingangsgröße für das zwischengeschaltete Stellglied bestimmt wird, die die Regelgröße gezielt beeinflusst. Der Regler hat die Aufgabe, die Regeldifferenz durch Rückkoppelschleife des Regelkreises auf Null zu setzen, so dass dann die Führungsgröße gleich der Regelgröße wird. Führungsgröße = US (Proportional der gewünschten Drehzahl des Motors M) Regelgröße = UT (Proportional der gemessenen Istgröße der Drehzahl des Motors M) Der Signalflußplan in Blockschaltbild zeigt Bild 4. 2 Prof. Dr.-Ing. Cihat Karaali __________________________________________________________________________________ 2.2. Einige Anforderungen an die Regelung a) Die Störgröße soll im stationären Zustand der Regelung so schnell wie möglich beseitigt werden, d.h. die Regeldifferenz soll auf Null gesenkt sein (einige Regler sind nicht in der Lage die Regeldifferenz auf Null zu setzen). b) Die Regelung muss stabil sein, d.h. die Regelgröße muss auf einen gewünschten Wert konstant bleiben. c) Tritt eine neue Führungsgröße auf, so soll der Regler so schnell wie möglich die Regelgröße gleich der Führungsgröße regeln. Unter dynamischen Zustand der Regelung versteht man die erste Reaktionsphase der Regelgröße, die u.a. auch schwankendes Verhalten der Regelgröße aufweisen kann. Beim statischen Verhalten des Regelkreises ist die Regelgröße konstant und definiert sie die Wunschgröße der Regelung. 2.3. Führungsverhalten des Regelkreises Ändert sich die Führungsgröße w des Regelkreises, so reagiert die Regelgröße darauf mit einem Einschwingvorgang in ihrem dynamischen Zustand (Bild 5). Anregelzeit (bis Toleranzband erreicht wird) → Ausregelzeit (bis Beharrungszustand erreicht wird) 2.4. Störverhalten des Regelkreises Wirkt eine Störgröße ein, so entsteht ein Schwingvorgang der Regelgröße ich ihrem dynamischen Zustand. Der Regler hat die Aufgabe, die Störgröße so schnell wie möglich zu beseitigen (Bild 6). 3 Prof. Dr.-Ing. Cihat Karaali __________________________________________________________________________________ Bild 5: Führungsverhalten des Regelkreises bei einem Führungssprung (Quelle: Reuter, xm: Überschwingweite, Tan: Anregelzeit, Taus: Ausregelzeit) Bild 6: Führungs- und Störverhalten des Regelkreises (Quelle: Berger) 3. Regelkreisberechnung im stationären Zustand Regelabweichung und Stabilitätsverhalten eines Regelkreises wird im stationären Zustand des Regelkreises betrachtet. Mit Hilfe des Signalflußplanes können die Zusammenhänge der Regelglieder untereinander und die auf sie einwirkenden Größen übersichtlich dargestellt werden. Verstärkung: Die Verstärkung charakterisiert die Beziehung zwischen der Eingangs- und Ausgangsgröße des Regelkreises. Sind die Regelkreisglieder hintereinander geschaltet, so erhält man die Gesamtverstärkung v des Regelkreises durch Multiplikation der Einzelverstärkungsfaktoren miteinander (Bild 7). y vR w x v S y v S v R w vw mit v v R v S 4 Prof. Dr.-Ing. Cihat Karaali __________________________________________________________________________________ Geschlossener Regelkreis ohne Berücksichtigung der Störgrößen x d w x y v R x d x yv S v R v S ( w x) v( w x) mit v v R v S v w 1 v für v1 : x w x 5 Prof. Dr.-Ing. Cihat Karaali __________________________________________________________________________________ Geschlossener Regelkreis mit Berücksichtigung der Störgrößen yS yR z x y S v S ( y R z )v S v S (x d v R z ) v S [( w x)v R z ] vS vR w vR vS x vS z x(1 v) vw v S z x v 1 w vS z 1 v 1 v Bild 10 zeigt als Beispiel die Wirkung der Ausgangsgröße (Regelgröße) des geschlossenen Regelkreises bei Aufschaltung einer Führungs- bzw. Störgröße, die mit Hilfe von einem einfachen Matlab-Simulink-Programm erstellt wurde. Die Testfunktion der Führungs- und Störgröße ist die Einheitssprungfunktion der Amplitude 1. Aus den beiden Beispielen ist zu erkennen, dass der Regler die Aufgabe hat, einerseits die Regelgröße so schnell wie möglich gleich der Führungsgröße zu setzen und auf der anderen Seite auch so schnell wie möglich die Störgröße zu beseitigen. Die erwähnte Störgröße ist in den Beispielen nach der dritten Zeiteinheit aufgeschaltet. Geschlossener Regelkreis: Wirkung der Führungs- und Störgröße (Simulink) Beispiel 1 6 Prof. Dr.-Ing. Cihat Karaali __________________________________________________________________________________ Beispiel 2: Störsignal nach dem 30.Impuls 10.5 Führungssignal Add s+0.735 1 s PI-REGLER PI-REGLER Add1 1 1 1 s+1 s+2 s+4 PT3-Strecke PT3-Strecke1 PT3-Strecke2 Bild 10: Sprungantwort bei Führungs- und Störgrößenaufschaltung (Matlab-Simulink) 7 Scope Prof. Dr.-Ing. Cihat Karaali __________________________________________________________________________________ Das folgende Programm (Bild 11) mit Matlab ermittelt die Sprungantwort des Regelkreises mit Regelkreis-Parameter-Änderungen und hilft denjenigen, der sich mit dem Programm Erfahrung zu sammeln wünscht. Programmierung mit MATLAB: >> F=zpk([],[0 -1 -1/0.2],10) Zero/pole/gain: 10 ------------s (s+1) (s+5) >> step(feedback (F,1)) >> hold on >> F=zpk([],[0 -1 -1/0.2],1) Zero/pole/gain: 1 ------------s (s+1) (s+5) >> step(feedback (F,1)) >> hold on >> F=zpk([],[0 -1 -1/0.2],3) Zero/pole/gain: 3 ------------s (s+1) (s+5) >> step(feedback (F,1)) 8 Prof. Dr.-Ing. Cihat Karaali __________________________________________________________________________________ Step Response 1.5 Toleranzbereich Amplitude 1 0.5 0 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 Time (sec) Bild 11: Sprungantwort des Regelkreises mit Parameteränderungen (Matlab-Simulink) 4. Mathematische Grundlagen der Regelungstechnik Für die Untersuchung der Systemregelung sind mathematische Beziehungen sowohl im stationären als auch im dynamischen Zustand des Prozesses erforderlich. Der dynamische Zustand einer Regelung ist der Zustand, der sich nach Änderung der externen Größen, wie Stör- und Führungsgröße, die Regelgröße in Abhängigkeit von der Zeit, bis zu ihrem Beharrungszustand nachvollzieht. Diesen Zustand nennt man Übergangszustand oder Einschwingvorgang. Der sich nachfolgend erscheinende Verlauf ist mit der Zeit konstant und wird als stationärer Zustand bezeichnet. Das betrachtete System verfügt über Gleichungen, die diese Zustände mit ihren Systemgrößen beschreiben. Das sind lineare und inhomogene Differentialgleichungen (DFGL) n-ter-Ordnung. Linear bedeutet, dass die Koeffizienten in einem Prozess, wie z.B. Widerstand R, Induktivität L und Kapazität C konstante Werte aufweisen. Unter Inhomogenität versteht man, dass die aufzulistende DFGL nicht Null sind. Für die Bestimmung der DFGL sei an folgendem Bespiel eines RLC-Netzwerkes, die Ausgangsgröße zu bestimmen. 9 Prof. Dr.-Ing. Cihat Karaali __________________________________________________________________________________ Beispiel: Bestimmung der Eingangsgröße Uc (Kondensatorspannung) als Funktion der Zeit. Maschengleichungen: di (t ) dt 1) Ri (t ) L u C (t ) u e der nach der Zeit abzuleitende Induktivitätsstrom kann sich nicht sprunghaft ändern 2) i (t ) C du C (t ) dt die nach der Zeit abzuleitende Kondensator spannungkann sich nicht sprungshaft ändern Die Folge daraus: Ändern sich die äußeren Eingangsgrößen, wie Stör- und Führungsgrößen, so entsteht zunächst als Größe am Ausgang ein Übergangszustand (Einschwingzustand oder dynamischer Zustand) und danach folgt der stationäre Zustand (Beharrungszustand oder Endwert). Fazit: Ist uC const , so soll im stationären Zustand für den Strom I stat di(t ) 0 , und daraus folgend dt U gelten. Die Messungen und die mathematische Beziehungen haben gezeigt, dass der Strom R nach einer e-Funktion seinem Endwert zustrebt. Demnach gilt, dass sich die Lösung der DFGL sich aus einem e-Funktionswert und einer Konstante zusammensetzt. Setzt man die obige 2.Gleichung in die obige 1. Gleichung ein, so folgt: RC du C (t ) d du (t ) L C C u C (t ) u e dt dt dt LC d 2 u C (t ) du (t ) RC C u C (t ) u e lineare inhomogene DFGL 2.Ordnung 2 dt dt Lösung der DFGL mit Hilfe der Laplace-Transformation unter Berücksichtigung des formalen Überganges: 10 Prof. Dr.-Ing. Cihat Karaali __________________________________________________________________________________ d j s dt LCs 2U C ( s ) RCsU C ( s) U C ( s ) U e ( s) U C ( s ) U e( s ) 1 LCs RCs 1 U C ( s ) LCs 2 RCs 1 U e ( s ) 2 Testfunktion ist der Einheitssprung u e (t ) 1 am Eingang. Nach der Korrespondententabelle der Laplace-Transformation gilt: U e ( s ) 1 . Damit lautet die Beziehung: s 1 1 2 s LCs RCs 1 1 1 U C (s) 1 LC 2 R s s s L LC U C (s) Für die Laplace-Rücktransformation gilt wiederum nach der Laplace-Korrespondenztabelle: F(s) f(t) 1 s ( s s 2 2 ) 2 s s 1 1 2 e s1t 1 e s2t 2 2w 2w für D 1 1 cos t sin t e t 2 w 2 2, 1 für D 1 2 2 , s1, 2 w j Für die rechnerische Ermittlung der Ausgangsgröße wird angenommen: R=1 Ω, L=1000 mH und C=5.700 F. Demnach gilt für die Ausgangsgröße im Zeitbereich: R 1 1 0,5 L 1 1 1 2 0,17 0,41 LC 1 * 5,7 2 D 1 11 Prof. Dr.-Ing. Cihat Karaali __________________________________________________________________________________ Danach ist die obere Beziehung in der Korrespondenztabelle anzuwenden: w 2 2 0,28 s1 w 0,22 s 2 w 0,91 s s 1 1 2 e s1t 1 e s2t 2 2w 2w 1 0,91 0, 22*t 0,22 0,91*t 1 e e 0,17 2 * 0,28 2 * 0,28 u c (t ) 5,88 1 1,62e 0, 22*t 0,39e 0,91*t Bild 12 zeigt die Sprungantwort des Netzwerkes. 5 4 3 2 1 0 -1 -2 0 20 40 60 80 100 120 Bild 12: Sprungantwort des RLC-Netzwerkes 5. Übergangsfunktion Die linearen und inhomogenen DFGL charakterisieren das dynamische Regelkreisgliedern. Hierbei werden die DFGL nach der Ausgangsgröße Verhalten von xa (t ) u (t ) der Regelkreisglieder bei einer Testfunktion als Eingangsgröße aufgelöst. Bei der folgenden Analyse von Verhalten der Regelkreisglieder wird nur die Einheitssprung am Eingang als Testfunktion in Betracht gezogen. Die Testfunktion (Bild 13) wird beschrieben durch die Beziehung: 0 für t 0 u e (t ) 1 für t 0 u e (t ) (t ) 1 12 Prof. Dr.-Ing. Cihat Karaali __________________________________________________________________________________ Bild 13: Einheitssprung als Testfunktion Die Ausgangsgröße bei der Testfunktion als Einheitssprung wird als Übergangsfunktion u (t ) bezeichnet. Übergangsfunktionen einiger Regelkreisglieder: u a (t ) kue (t ) P-Glied I-Glied T du a (t ) u e (t ) dt t 1 u a (t ) u e (t )dt T 0 1 PI-Glied T du a (t ) du (t ) k ue T e dt dt k u a (t ) u e (t )dt k T 1 13 1 1 1dt t T 0 T k tk T Prof. Dr.-Ing. Cihat Karaali __________________________________________________________________________________ 6. Frequenzgang Vorgehensweise und Bedeutung für die Umwandlung von DFGL in Frequenzganggleichungen: Bereits wurde schon in den anderen Abschnitten erwähnt, dass der Zusammenhang zwischen Eingangs- und Ausgangsgröße eines linearen, inhomogenen Regelkreisgliedes durch lineare DFGL nter Ordnung zu charakterisieren ist. Es wurde auch zum bemerkt, dass am Eingang des Regelkreisgliedes einfachheitshalber die Sprungfunktion mit der Amplitude 1 als Testfunktion zu berücksichtigen ist. Um die Bedeutung der Umwandlung von linearen DFGL in Frequenzganggleichungen besser zu verstehen wird die Vorgehensweise so erläutert, dass aber hier, und zwar nur bei dieser Betrachtung, ein sinusförmiger Verlauf berücksichtigt wird. Eingangsgröße: u e (t ) uˆ e sin( t ) Ausgangsgröße: u a (t ) uˆ a sin( t ) Die Ausgangsgröße eines linearen, inhomogenen Regelkreisgliedes ist auch sinusförmig mit der Amplitude û a , und ist gegenüber der Eingangsgröße u e (t ) um den Phasenwinkel phasenverschoben. Wegen der einfachen mathematischen Behandlung werden die harmonischen Schwingungen in der komplexen Schreibweise durchgeführt. u e (t ) uˆ e e jt u a (t ) uˆ a e j (t ) Zusammenhang zwischen den Schreibweisen: Beispiel: Beispiel: e jt cos t j sin t sin( 45) j cos( 45) 0.707 j 0.707 1 sin( 45) 1 14 Prof. Dr.-Ing. Cihat Karaali __________________________________________________________________________________ Hat man die DFGL eines Regelkreises und setzt man die komplexe Schreibweise in die DFGL ein, so erhält man die Frequenzganggleichungen. Beispiel: Allgemeine Schreibweise linearer, inhomogener DFGL n-ter Ordnung: (n) u a a1u a a 2 ua ... a n u a kue uˆ a e j (t ) a1uˆ a e j (t ) j a 2 uˆ a e j (t ) ( j ) 2 ... a n uˆ a e j (t ) ( j ) n kuˆ e e jt 2 n uˆ a e j (t ) 1 a1 j a 2 j ... a n j kuˆ e e jt Setzt man für die komplexe Größe die Laplace Variable ein j s , so folgt: uˆ a e j (t ) 1 a1 s a 2 s 2 ... a n s n kuˆ e e jt Berücksichtigt man die komplexe Schreibweise, so wird aus der Gleichung: u e (t ) uˆ e e jt u a (t ) uˆ e e j (t ) U a ( s ) 1 sa1 s 2 a 2 ... s n a n kU e ( s ) Damit wird die Gleichung des Frequenzganges ermittelt: F ( s) U a ( s) k . 2 U e ( s) 1 sa1 s a2 ... s n an In der Gauß’schen Zahlenebene wird der Frequenzgang F(s) durch die Ortskurve dargestellt. Dabei gilt für jeden Punkt der Ortskurve ein Zeiger mit der Länge |F(s)| und dem Phasenwinkel φ(ω) gegen die reelle positive Achse. Demnach lässt sich die Gleichung für den Frequenzgang durch die Beziehung F ( s) U a ( s) F ( s) e j ( ) umformen. Unter Berücksichtigung der komplexen U e ( s) Schreibweise gilt: F ( s) u a uˆ a e j (t ) uˆ a jt ue uˆ uˆ e e e Länge der Zeiger j e . ist die Phase Bemerkung: Eingangssignal ist eine harmonische Schwingung Ableitung des Frequenzganges aus der DFGL: Es gilt generell der formale Übergang d j s . [ bedeutet „an Stelle von“]. Folgend lässt dt sich damit einsetzen: 15 Prof. Dr.-Ing. Cihat Karaali __________________________________________________________________________________ d2 ( j ) 2 s 2 dt 2 dn ( j ) n s n n dt usw. Der Nenner des abgeleiteten Frequenzganges F ( s) U a ( s) k 2 U e ( s) 1 sa1 s a 2 ... s n a n charakteristische Gleichung ist die charakteristische Gleichung des Frequenzganges. Die charakteristische Gleichung wird gleich Null gesetzt und die s-Größen werden ermittelt. Die bisher behandelten Sachverhalte werden anhand eines Beispiels (Bild 14) RC-Tiefpass detailliert behandelt. Bild 14: Tiefpass u (t ) u C (t ) u R (t ) u C (t ) i (t ) R mit i(t ) C duC (t ) . dt Damit wird: du C (t ) DFGL 1.Ord. dt U(s) U C ( s )1 Ts mit T RC u (t ) u C (t ) RC 1 1 Ts 1 1 U C (s) s 1 Ts 1 1 1 T s s T U C (s) U (s) 16 Prof. Dr.-Ing. Cihat Karaali __________________________________________________________________________________ Nach der Korrespondenztabelle gilt dann für die Sprungantwort: u C (t ) 1 e t T Den Frequenzgang (Amplituden- und Phasengang) erhalten wir aus der Übertragungsfunktion in der komplexen Darstellung wie folgt: F ( j ) F ( j ) u C ( j ) 1 u ( j ) 1 j T 1 1 T 2 . F ( j ) dB 20 log 1 20 log 1 T 2 0 20 log 1 T 2 Für den Phasengang ist der Real- und Imaginärteil der Übertragungsfunktion zu bestimmen. Hierfür wird die Übertragungsfunktion konjugiert komplex erweitert. F ( j ) u C ( j ) 1 1 j T 1 j T 1 T j 2 2 2 u ( j ) 1 jT 1 jT 1 T 1 T 1 T Re ImF ( j ) arctan arctan( T ) ReF j ω 0 1/T ∞ |F(jω)|dB 0 -3 dB -∞ φ 0 -45° -90° Re{F(jω)} 1 0,5 0 Im{F(jω)} 0 -0,5 0 Beispiel: Frequenzgang (Amplituden- und Phasengang, Bode-Diagramm): Matlab-Simulink-Programm: >> F0=tf([0 1],[0.3 1]) Transfer function: 1 --------0.3 s + 1 >> bode(F0) >> grid >> step(F0) 17 Im Prof. Dr.-Ing. Cihat Karaali __________________________________________________________________________________ >> grid >> nyquist(F0) >> grid Bode-Diagramm: Bode Diagram 0 Magnitude (dB) -5 -10 -15 -20 -25 Phase (deg) -30 0 -45 -90 -1 0 10 1 10 2 10 10 Frequency (rad/sec) Sprungantwort Step Response 1 0.9 0.8 0.7 Amplitude 0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 Time (sec) 18 1.4 1.6 1.8 Prof. Dr.-Ing. Cihat Karaali __________________________________________________________________________________ Ortskurve: Nyquist Diagram 0.5 6 dB 4 dB 2 dB 0 dB -2 dB-4 dB -6 dB 0.4 -10 dB 10 dB 0.3 Imaginary Axis 0.2 20 dB 0.1 -20 dB 0 -0.1 -0.2 -0.3 -0.4 -0.5 -1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 Real Axis Korrespondenztabelle Nr. 1 F(s) 1 s 1 sn 2 3 4 5 f(t) 1 t n 1 (n 1)! e at 1 sa 1 s( s a) s 2 s 2 1 1 e at a cos t s 2 sin t 7 1 ( s )( s ) e t e t 8 1 ;n 0 (s ) n t n 1 t e (n 1)! 9 1 s(s ) n 6 2 1 n 1 t 1 n 0 ! 19 t e Prof. Dr.-Ing. Cihat Karaali __________________________________________________________________________________ 10 1 s1t e e s2t für D 1 2w 1 s s 2 2 2 1 e t sin t für D 1 Es gilt : w 2 2 ; 2 2 ; s1, 2 w j 11 1 s1e s1t s2 e s2t für D 1 2w s s s 2 2 2 e t cos t sin t für D 1 Es gilt : w 2 2 ; 2 2 ; s1, 2 w j 12 1 s s s 2 2 2 s s 1 1 2 e s1t 1 e s2t für D 1 2 2w 2w 1 1 cos t sin t e t für D 1 2 Es gilt : w 2 2 ; 2 2 ; s1, 2 w j 13 14 15 1 s 1 s2 1 1 t te at s a 2 16 a s s a 1 e at 17 a2 s 2 s a at 1 e at 20 Prof. Dr.-Ing. Cihat Karaali __________________________________________________________________________________ Tabelle der wichtigsten Regelkreisglieder Reg. DFGL Kreis- Übertrag. glied Fkt. P u a (t ) k p u e (t ) Bode-Diagr. Sprungantw. Ortskurve Bode Diagram 7.5 U (s) F (s) a kp U e (s) Magnitude (dB) 7 6.5 6 5.5 5 1 Phase (deg) 0.5 0 -0.5 -1 0 1 10 10 Frequency (rad/sec) Step Response 3 2.8 2.6 2.4 Amplitude 2.2 2 1.8 1.6 1.4 1.2 1 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 Time (sec) Nyquist Diagram 1 0.8 2 dB 0 dB -2 dB 4 dB -4 dB -6 dB 0.6 6 dB Imaginary Axis 0.4 10 dB 0.2 -10 dB 20 dB -20 dB 0 -0.2 -0.4 -0.6 -0.8 -1 -1 -0.5 0 0.5 Real Axis 21 1 1.5 2 Prof. Dr.-Ing. Cihat Karaali __________________________________________________________________________________ T1u a (t ) u a (t ) k p u e (t ) Bode Diagram 0 Magnitude (dB) kp U ( s) F ( s) a U e ( s) 1 sT1 -10 -20 -30 Phase (deg) -40 0 -45 -90 -1 0 10 1 10 2 10 10 Frequency (rad/sec) Step Response 1 0.9 0.8 0.7 Amplitude 0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 Time (sec) Nyquist Diagram 0.5 64dB dB2 dB0 dB -2 dB -4 dB 0.4 -6 dB -10 dB 10 dB 0.3 0.2 Imaginary Axis PT1 0.1 20 dB -20 dB 0 -0.1 -0.2 -0.3 -0.4 -0.5 -1 -0.5 0 Real Axis 22 0.5 1 Prof. Dr.-Ing. Cihat Karaali __________________________________________________________________________________ T22 ua (t ) T1u a (t ) u a (t ) k p u e (t ) U a ( s) U e ( s ) 1 sT1 s 2T22 Magnitude (dB) 0 -20 -40 -60 -80 0 Phase (deg) -45 -90 -135 -180 -1 0 10 1 10 2 10 10 Frequency (rad/sec) Step Response 1.6 1.4 1.2 1 Amplitude F (s) Bode Diagram 20 kp 0.8 0.6 0.4 0.2 0 0 5 10 15 Time (sec) Nyquist Diagram 3 0 dB -2 dB 2 2 dB 1 Imaginary Axis PT2 4 dB -4 dB 6 dB -6 dB 10 dB 20 dB -10 dB -20 dB 0 -1 -2 -3 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 Real Axis 23 1 1.5 2 Prof. Dr.-Ing. Cihat Karaali __________________________________________________________________________________ u a (t ) k I u e (t )dt U a (s) k I U e (s) s Magnitude (dB) 0 -5 -10 -15 -20 -89 Phase (deg) -89.5 -90 -90.5 -91 0 1 10 10 Frequency (rad/sec) Step Response 1600 1400 1200 1000 Amplitude F (s) Bode Diagram 5 800 600 400 200 0 0 500 1000 1500 Time (sec) Nyquist Diagram 10 0 dB 8 6 4 Imaginary Axis I -2 dB -4 dB -10 dB -6 dB 2 2 dB 4 610dB dB dB 0 -2 -4 -6 -8 -10 -1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 Real Axis 24 0 0.2 0.4 Prof. Dr.-Ing. Cihat Karaali __________________________________________________________________________________ u a (t ) k D u e (t ) Bode Diagram U (s) F (s) a sk D U e (s) 20 Magnitude (dB) 15 10 5 0 -5 91 Phase (deg) 90.5 90 89.5 89 0 1 10 10 Frequency (rad/sec) Nyquist Diagram 10 0 dB 8 6 4 Imaginary Axis D -2 dB -4 dB -10 dB -6 dB 2 2 dB 4 610dB dB dB 0 -2 -4 -6 -8 -10 -1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 Real Axis 25 0 0.2 0.4 Prof. Dr.-Ing. Cihat Karaali __________________________________________________________________________________ u a (t ) k p u e (t ) k I u e (t )dt Bode Diagram 30 Magnitude (dB) 1 k p u e (t ) u e (t )dt Tn U ( s) 1 F (s) a k p 1 U e ( s) sTn 20 10 0 Phase (deg) -10 0 -45 -90 -1 0 10 1 10 2 10 10 Frequency (rad/sec) Step Response 1600 1400 1200 Amplitude 1000 800 600 400 200 0 0 500 1000 1500 Time (sec) Nyquist Diagram 10 0 dB 8 6 4 Imaginary Axis PI -2 dB 2 2 dB 4 610dB dB dB 0 -4 dB -10 dB -6 dB -2 -4 -6 -8 -10 -1 -0.5 0 Real Axis 26 0.5 1 Prof. Dr.-Ing. Cihat Karaali __________________________________________________________________________________ u a (t ) k p u e (t ) k D u e (t ) k p u e (t ) TV u e (t ) Bode Diagram 50 Magnitude (dB) U (s) F ( s) a k p 1 sTV U e (s) 40 30 20 Phase (deg) 10 90 45 0 -1 0 10 1 10 2 10 10 Frequency (rad/sec) Nyquist Diagram 80 0 dB 60 40 20 Imaginary Axis PD 0 -2 dB 2 dB -20 -40 -60 -80 -1 0 1 2 Real Axis 27 3 4 5 Prof. Dr.-Ing. Cihat Karaali __________________________________________________________________________________ PID 1 u a (t ) k p u e (t ) u e (t )dt TV u e (t ) Tn 50 Magnitude (dB) U (s) 1 F (s) a k p 1 sTV U e (s) sTn Bode Diagram 60 40 30 20 10 0 90 Phase (deg) 45 0 -45 -90 -2 -1 10 0 10 1 10 2 10 10 Frequency (rad/sec) Nyquist Diagram 30 0 dB 20 Imaginary Axis 10 0 2 4 dB 6 dB -2 dB -6 dB-4 dB -10 -20 -30 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5 Real Axis 7. Zusammensetzung von Übertragungsgliedern Alle Übertragungsglieder eines Regelkreises und damit auch der Regelkreis selbst lassen sich mathematisch durch DFGL n-ter Ordnung beschreiben. Die DFGL charakterisieren das dynamische und das statische Verhalten eines Übertragungsgliedes und damit des Regelkreises. Die Strukturbilder von Übertragungsgliedern stellen die symbolischen Darstellungen mit der Kennzeichnung Ein- und Ausgangsgrößen und Signalwirkungen dar. Theoretisch werden die Übertragungsglieder durch Blöcke mit ihren Übergangsfunktionen in diesen Blöcken schematisch präsentiert. 28 Prof. Dr.-Ing. Cihat Karaali __________________________________________________________________________________ Übertragungsglieder (tabellarisch) Bezeichnung Strukturbild P I D PT1 PT2 PT2 29 Prof. Dr.-Ing. Cihat Karaali __________________________________________________________________________________ Bezeichnung Strukturbild DT1 Tt PD PI PID 30 Prof. Dr.-Ing. Cihat Karaali __________________________________________________________________________________ 8. Zusammensetzung von Übertragungsgliedern U a F1F 2U e U a F U e1 U e 2 U a U e1 F U e 2 U a U e F1 U e F 2 U a F1U e U a F 2 31 Prof. Dr.-Ing. Cihat Karaali __________________________________________________________________________________ Zerlegungen von kombinierten Übertragungsgliedern PI-Glied in P- und I-Glied 1 sTn 1 U a ( s) K p Ue K p U TI e sTn s K p PD-Glied in P- und D-Glied U a ( s) K p (1 sTv )U e ( K p sK p TD )U e 32 Prof. Dr.-Ing. Cihat Karaali __________________________________________________________________________________ 9. Stabilität Je nachdem um was für ein lineares Übertragungsglied handelt, an seinem Eingang mit der Testfunktion als Sprungfunktion aufgeschaltet ist, tritt an dessen Ausgang y(t) Einschwingvorgangsgröße folgender Art auf. Weist ein Übertragungsglied, beim Aufschalten eines Testsignals (Sprungfunktion) an dessen Eingang, ein Ausgangssignal y(t) auf, das mit der Zeit einen festen Endwert hat, so spricht man von einem stabilen Übertragungsglied (bzw. System). Anderenfalls ist das Übertragungsglied nicht stabil. 33 Prof. Dr.-Ing. Cihat Karaali __________________________________________________________________________________ Stabilitätsuntersuchung Beispiel Übertragungsfunktionen der Übertragungsglieder: F1 ( s ) K1 1 sT1 F2 ( s ) K 2 Gesamtübertragungsfunktion: W (s) X (s) F2 (s)F1 (s) X (s) K1 F1 ( s) 1 sT1 K1 K1 X (s) F ( s) K1 W ( s) 1 F1 ( s) F2 ( s) 1 sT1 K1 K 2 1 sT1 V0 1 K2 1 sT1 V0 K1 K 2 Mit V 0 : Verstärkungsfaktor; T1 : Zeitkonstante; K1 , K 2 : Verstärkungsfaktoren von beiden Übertragungsgliedern (variabel). Die zugehörige Differentialgleichung (DFGL) lautet: w(t ) K1 x (t )T1 x(t )(1 V0 ) 34 Prof. Dr.-Ing. Cihat Karaali __________________________________________________________________________________ Sprungantwort: F (s) K1 X ( s) W ( s ) 1 sT1 V0 X(s) K1 K 1 1 1 s 1 sT1 V0 T1 1 V0 s s T1 Nach der Korrespondenztabelle gilt: 1 1 1 e at ss a a Demnach ergibt sich die Sprungantwort im Zeitbereich zu K T1 x(t ) 1 T1 1 V0 1V0 t 1 e T1 K1 1 V0 1V0 t 1 e T1 . Annahme: K1 K 2 0,8 T1 1,2 Sprungantwort mit MATLAB: Step Response 2.5 2 Amplitude 1.5 1 0.5 0 0 2 4 6 8 10 Time (sec) 35 12 14 16 18 20 Prof. Dr.-Ing. Cihat Karaali __________________________________________________________________________________ Bode-Diagramm: Bode Diagram Magnitude (dB) 10 0 -10 -20 Phase (deg) -30 0 -45 -90 -2 -1 10 0 10 1 10 10 Frequency (rad/sec) Ortskurve: Nyquist Diagram 1.5 2 dB 0 dB -2 dB -4 dB 1 4 dB -6 dB 6 dB 0.5 -10 dB Imaginary Axis 10 dB 20 dB -20 dB 0 -0.5 -1 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 Real Axis 36 1.5 2 2.5 Prof. Dr.-Ing. Cihat Karaali __________________________________________________________________________________ Analyse für die Stabilität: Fall 1: K1 K 2 V0 1 F ( s) K1 K1 X ( s) . VZ1-Glied mit einem stabilen Verhalten. W ( s) 1 sT1 V0 1 sT1 Fall 2: K1 K 2 V0 1 Die 1 ist gegenüber K1 K 2 V0 1 zu vernachlässigen! X(s) K 1 K1 1 1 s sT1 V0 T1 V0 s s T1 Nach der Korrespondenztabelle gilt: K T x(t ) 1 1 T1 V0 V V0 0 t 1 e T1 K1 1 e T1 t 1 V0 K2 V0 t 1 e T1 . Sprungantwort: 6 8 Step Response x 10 7 6 Amplitude 5 4 3 2 1 0 0 5 10 15 20 25 Time (sec) 37 30 35 40 45 50 Prof. Dr.-Ing. Cihat Karaali __________________________________________________________________________________ Hier haben wir mit einem instabilen Verhalten der Anordnung zu tun. Mit steigender Frequenz weist die Sprungantwort keinen stationären Wert (ohne Ausgleich). Fall 3: K1 K 2 V0 1 K1 K K 1 X ( s) 1 1 . Das ist die Übertragungsfunktion eines I-Gliedes. W (s) 1 sT1 V0 sT1 T1 s Die Sprungantwort weist ein nicht stabiles Verhalten auf. F ( s) Step Response 1200 1000 Amplitude 800 600 400 200 0 0 500 1000 1500 Time (sec) Da die Stabilitätsuntersuchung nach der obigen Methode etwas umfangreiche Methodik darstellt, ist die Anwendung der alternativen Nyquist-Methode für diesen Zweck sehr hilfreicher. Nyquist hat die Analyse der Ortskurvenkennlinie von einem offenen Regelkreis zur Bestimmung des Stabilitätsverhaltens von geschlossenen Regelkreisen untersucht. Die Voraussetzung dafür wird festgelegt: Grad von Z > Grad von N der Übertragungsfunktion. Weist der offene Regelkreis nach der Anwendung der Nyquist-Kriterien auf der Ortskurve ein stabiles Verhalten auf, so ist der geschlossene Regelkreis stabil (siehe Bild unten). Regel von Nyquist: Der geschlossene Regelkreis ist stabil, wenn die Ortskurve des Frequenzganges F(s) des offenen Kreises den Punkt -1 weder durchdringt noch umschlingt. 38 Prof. Dr.-Ing. Cihat Karaali __________________________________________________________________________________ Geschlossener Regelkreis Fges Offener Regelkreis Fges F1 F2 F1 1 F1 F2 Beispiel: Nyquist Diagram Nyquist Diagram 0.4 30 -10 dB 10 dB 6 dB 4 dB2 dB 0 dB-2 dB-4 dB-6 dB 0.3 20 0.2 20 dB 10 -20 dB Imaginary Axis Imaginary Axis 0.1 0 -0.1 0 -10 -0.2 -20 -0.3 -0.4 -1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 -30 -10 0.8 Real Axis -5 0 5 10 15 20 25 Real Axis Solange der Kurvenverlauf den -1 Grenzwert auf der reellen Achse nicht umschlingt, handelt es sich dabei um ein stabiles Verhalten der Anordnung (Bild links). Ist die -1 Grenze auf der reellen Achse durch die Kurvenform umhüllt, so spricht man vom instabilen Verhalten des gegebener Struktur (Bild rechts). 39 Prof. Dr.-Ing. Cihat Karaali __________________________________________________________________________________ Auch das Frequenzgang-Kennlinienverfahren trägt bei der Untersuchung des Stabilitätsverhaltens von linearen Systemen bei. Die Anwendung des Verfahrens erfordert den Amplituden- und Phasengang (Bodediagramm) j F ( s ) F ( s ) e . Phase Betrag Der Betrag F (s) ist eine Funktion von s j . Demnach sind sowohl der Amplituden- als auch der Phasengang des Frequenzganges Funktionen der Kreisfrequenz ω, und werden über der mit einem logarithmischen Maßstab versehenen ω-Achse aufgetragen. Erläuterung: P-Glied Frequenzgang: F ( j ) k Betrag: F ( j) k → F ( j ) 20 log k Phase: arctan ImF ( j ) 0 arctan 0 ReF ( j k I-Glied Frequenzgang: F ( j ) Betrag: F ( j ) 1 1 j jT T 1 1 → F ( j ) 20 log T T 40 Prof. Dr.-Ing. Cihat Karaali __________________________________________________________________________________ Phase: arctan ImF ( j ) T arctan arctan( ) 90 ReF ( j 0 D : Durchtrittsfrequenz. Sie ist die Frequenz, bei der die Betragskennlinie des Amplitudenganges des offenen Kreises durch die 0-dB-Linie geht. PI-Glied Frequenzgang: F ( j ) k 1 1 jT 1 k 1 k 1 j jT T jT 1 Betrag: F ( j ) k 1 T Phase: arctan 2 1 → F ( j ) 20 log k 20 log 1 T ImF ( j ) 1 arctan ReF ( j T 41 2 Prof. Dr.-Ing. Cihat Karaali __________________________________________________________________________________ Bode Diagram 50 Magnitude (dB) 40 30 20 3dB 10 Phase (deg) 0 0 -45 -90 -2 10 -1 0 10 1 10 10 2 10 Frequency (rad/sec) Nun können wir die Stabilitätsuntersuchung nach dem Bode-Diagramm, durch Anwendung des Nyquist-Kriteriums anwenden. Der geschlossene Regelkreis wird als stabil bezeichnet, wenn bei der Durchtrittsfrequenz die Phasenkennlinie des offenen Kreises oberhalb von -180° verläuft. Regler-Daten und weitere Bemerkungen: P-Regler: relativ schnell, geringe Genauigkeit I-Regler: langsam, gute Genauigkeit PI-Regler: schnell, gute Genauigkeit 42 Prof. Dr.-Ing. Cihat Karaali __________________________________________________________________________________ PD-Regler: sehr schneller, geringe Genauigkeit PID-Regler: sehr schneller, sehr gute Genauigkeit (sehr empfindlich) a) Mit dem Zählerausdruck (1+sT) des PI-Reglers wird die größte Zeitkonstante der Regelstrecke kompensiert b) Der I-Anteil eines Reglers setzt die Regeldifferenz auf Null c) Der Phasenwinkel φ ist eine Größe für die Dämpfung des geschlossenen Regelkreises (Einschwingverhalten des Regelkreises). φD ist der Winkel, bei dem die Betragskennlinie des Frequenzganges des offenen Kreises durch die 0-dB-Linie tritt. Beispiele zur Erläuterung der obigen Bemerkungen: Beispiel 1: Der Frequenzgang des offenen Regelkreises lautet: F ( s) k R 1 sTR 1 1 1 sTR 1 sTR 1 sTS sT1 sTR 1 sTS Mit D 1 kR : Durchtrittsfrequenz, die sich aus der Zeitkonstante TD des I-Gliedes der TD T1 Strecke ergibt. Daraus folgt k R 1 T s 1 kR T1 . TD Faustformel: TR 10TS (durch Messung lässt sich sehr gut bestätigen). Damit ergibt sich die Übertragungsfunktion des offenen Regelkreises zu F ( s) 1 s10TS 1 s10TS 1 sTS 1 s10TS 1 1 1 T s10TS 1 sTS 1 s s 1 TD kR 43 Prof. Dr.-Ing. Cihat Karaali __________________________________________________________________________________ Beispiel: TS 0,8 , TD 1,2 a) Bestimmung des Frequenzganges >> td td = 1.2000 >> ts ts = 0.8000 >> f1 Transfer function: 8s+1 ------8s >> f2 Transfer function: 1 --------0.8 s + 1 >> f3 Transfer function: 0.12 ---s >> f=f1*f2*f3 Transfer function: 0.96 s + 0.12 --------------6.4 s^3 + 8 s^2 >> margin (f) 44 Prof. Dr.-Ing. Cihat Karaali __________________________________________________________________________________ Bode Diagram Gm = -Inf dB (at 0 rad/sec) , Pm = 43.9 deg (at 0.154 rad/sec) Magnitude (dB) 100 50 0 -50 Phase (deg) -100 -120 -150 -180 -3 10 -2 10 -1 0 10 10 1 10 2 10 Frequency (rad/sec) Die Durchtrittsfrequenz die Phasenkennlinie des offenen Kreises verläuft oberhalb von -180°. Und damit rechnen wir mit dem stabilen Verhalten des geschlossenen Regelkreises. Die folgende Bestimmung der Sprungantwort des geschlossenen Regelkreises bestätigt das Gesetz von Nyquist. b) Bestimmung der Sprungantwort >> m=feedback (f,1) Transfer function: 0.96 s + 0.12 ------------------------------6.4 s^3 + 8 s^2 + 0.96 s + 0.12 >> step (m) 45 Prof. Dr.-Ing. Cihat Karaali __________________________________________________________________________________ Step Response 1.4 1.2 Amplitude 1 0.8 0.6 0.4 0.2 0 0 20 40 60 80 100 120 Time (sec) c) Änderung des Verstärkungsfaktor und damit die Sprungantwort darstellen (Der Verstärkungsfaktor steck in der Beziehung für TD . Es wird angenommen, dass TD =12 ist: Bode Diagram Gm = -Inf dB (at 0 rad/sec) , Pm = 16.4 deg (at 3.77 rad/sec) 150 Magnitude (dB) 100 50 0 -50 Phase (deg) -100 -120 -150 -180 -3 10 -2 10 -1 0 10 10 Frequency (rad/sec) 46 1 10 2 10 Prof. Dr.-Ing. Cihat Karaali __________________________________________________________________________________ Step Response 1.8 1.6 1.4 Amplitude 1.2 1 0.8 0.6 0.4 0.2 0 0 1 2 3 4 5 Time (sec) Weiterer Versuch für TD =0.12 47 6 7 8 9 Prof. Dr.-Ing. Cihat Karaali __________________________________________________________________________________ Bode Diagram Gm = -Inf dB (at 0 rad/sec) , Pm = 43.9 deg (at 0.154 rad/sec) Magnitude (dB) 100 50 0 -50 Phase (deg) -100 -120 -150 -180 -3 10 -2 -1 10 0 10 1 10 10 2 10 Frequency (rad/sec) Step Response 1.4 1.2 Amplitude 1 0.8 0.6 0.4 0.2 0 0 20 40 60 80 100 120 Time (sec) Bei allen Versuchen ist festzustellen, dass die Phasenreserve oberhalb der -180°-Linie liegt und somit alle Versuche weisen ein stabiles Verhalten des geschlossenen Regelkreises auf. Die Phasenreserve ergibt sich zwischen -180° und der Phase, die sich bei der Durchtrittsfrequenz D 48 1 kR TD T1 Prof. Dr.-Ing. Cihat Karaali __________________________________________________________________________________ die Phasenkennlinie schneidet. Möchte man eine gewünschte Phasenreserve festlegen, so verschiebt man die 0-Kennlinie des Amplitudenganges nach oben/unten und bestimmt die neue Durchtrittsfrequenz und damit die gewünschte Phasenreserve. Die Erfahrung hat gezeigt, dass eie 60°Phasenreserve gute Resultate liefert. Nun betrachten wir eine folgende Gesamtübertragungsfunktion eines offenen Regelkreise und wollen die vorherigen Untersuchungen für einen geschlossenen Regelkreis wiederholend anwenden. >> f4=tf([0 1],[td 1]) Transfer function: 1 --------120 s + 1 >> f=f1*f2*f3*f4 Transfer function: 8s+1 --------------------------------------92160 s^4 + 116736 s^3 + 1926 s^2 + 8 s >> margin (f) 49 Prof. Dr.-Ing. Cihat Karaali __________________________________________________________________________________ Bode Diagram Gm = -16.4 dB (at 0.00889 rad/sec) , Pm = -35.8 deg (at 0.0195 rad/sec) 50 Magnitude (dB) 0 -50 -100 -150 -200 -90 Phase (deg) -135 -180 -225 -270 -3 -2 10 -1 10 0 10 1 10 2 10 10 Frequency (rad/sec) 6 1.5 Step Response x 10 1 0.5 Amplitude 0 -0.5 -1 -1.5 -2 -2.5 0 500 1000 1500 2000 2500 3000 3500 Time (sec) Hier handelt es sich um einen instabilen geschlossenen Regelkreis, da der stationäre Zustand nie erreicht wird, also Sprungantwort ohne Ausgleich. Die Phasenreserve liegt unterhalb der -180°Grenze! 50 Prof. Dr.-Ing. Cihat Karaali __________________________________________________________________________________ 10. Elektronische Grundschaltungen in der Regelungstechnik (Quelle: Buxbaum&Schierau) Symbolische Darstellungen mit Frequenzkennlinien 51 Prof. Dr.-Ing. Cihat Karaali __________________________________________________________________________________ 11. CHR-Verfahren Die Sprungantwort der meisten in der Regelungstechnik vorkommenden Übertragungsglieder weist aperiodisches Signal mit Ausgleich auf, wie als Beispiel das untere Bild zeigt. Sind der Grad n des Verzögerungsverhaltens, die Zeitkonstante T1 und der Verstärkungsfaktor V des eingesetzten Übertragungsgliedes nicht bekannt, so approximiert man das Übertragungsglied sehr grob durch die folgende Beziehung: n Y (s) V . G (s) U ( s ) 1 sT1 Nach dem Wendetangentenverfahren, wie das untere Bild (Quelle: Ottens) verdeutlich, lassen sich die unbekannten Größen ermitteln. ~ ~ Die Parameter T t und T VZ lassen sich aus einer Konstruktion der Wendetangente am Wendepunkt in der gemessenen Sprungantwort bestimmen. Der Verstärkungsfaktor ergibt sich durch das Verhältnis der Amplituden der Eingangs- und Ausgangsgröße im stationären Zustand, also für t→∞. Bildet man ~ das Verhältnis, der aus der Sprungantwort abgelesenen Größen Tt ~ , so lässt sich nach dem T VZ Diagramm die Ordnung n des Übertragungsgliedes ablesen. Aus der nachfolgenden Darstellung bestimmt man für bekanntgewordenen n, die Zeitkonstante T1 des Übertragungsgliedes (Bild unten). 52 Prof. Dr.-Ing. Cihat Karaali __________________________________________________________________________________ Bemerkung: Bemerkung: Tg Tu ~ Tt Tg ~ Tu T VZ ~ Tt ~ T VZ Da der Wendepunkt der Sprungantwort nur qualitativ zu ermitteln ist, weist das Verfahren ungenaue Ergebnisse auf. Alternativ hierfür ist das Zeitprozentverfahren (CHR-Verfahren) zu bevorzugen. Dieses Verfahren wurde von Chien-Hrones-Reswick für aperiodische Übetragungssysteme mit Verzögerung höherer Ordnung und ggf. Totzeitverhalten entwickelt. Damit wird aus der gemessenen Sprungantwort des Systems die PTn-Übertragungsfunktion berechnet. Die zu berechneten Größen wären die Ordnung des Systems n, der Verstärkungsfaktor V und die Zeitkonstante T. F ( s) Y (s) V U ( s ) 1 sT n . Durch das Verfahren wird die zeitliche Funktion der gemessenen Sprungantwort analytisch mit der folgenden Beziehung ermittelt: n 1 t / T k t / T y (t ) h(t ) V 1 e . k 0 k! Die Testfunktion am Eingang des Systems ist eine Sprungfunktion mit der Amplitude 1. Der Verstärkungsfaktor lässt sich durch das Verhältnis der Ausgangsgröße zur Eingangsgröße im stationären Zustand, also für t→∞ berechnet. Für Anwendung des Verfahrens werden die Zeitprozentkennwerte t m , z.B. für m =10, 30,50, 70 und 90 der Sprungantwort ermittelt (Bild unten): 53 Prof. Dr.-Ing. Cihat Karaali __________________________________________________________________________________ Die Zeitpunkte t10 , t 30 , t 50 , t 70 , t 90 sind diejenigen Zeitpunkte, an denen die Sprungantwort m 10%,30%,50%,70%,90% ihres stationären Endwertes m 100% annimmt. Zu jedem Amplitudenwert m ist ein Zeitprozentwert t m , die Systemordnung n und die Zeitkonstante T gemäß folgender Beziehung zugeordnet (Ottens): k t n 1 t m / T T m% 1 e 100% . k! k 0 Zur Bestimmung der Systemordnung wurden die Quotienten der Zeitprozentverhältnisse wie folgt ermittelt: n t10 / t 90 t10 / t 70 t10 / t 50 t10 / t 30 t 30 / t 70 t 30 / t 50 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 0.05 0.14 0.21 0.26 0.30 0.34 0.37 0.40 0.42 0.44 0.09 0.22 0.31 0.37 0.42 0.45 0.48 0.51 0.53 0.55 0.15 0.32 0.41 0.48 0.52 0.56 0.58 0.61 0.63 0.65 0.30 0.48 0.58 0.63 0.67 0.70 0.72 0.74 0.75 0.76 0.30 0.45 0.53 0.58 0.62 0.65 0.67 0.69 0.70 0.71 0.52 0.65 0.72 0.75 0.78 0.80 0.81 0.82 0.83 0.84 Die untere Darstellung wurde durch das Programm EXCEL erstellt und wiedergibt die Tabellengrößen graphisch. 54 Prof. Dr.-Ing. Cihat Karaali __________________________________________________________________________________ 16 14 12 Series1 10 Series2 8 Series3 Series4 6 Series5 4 Series6 2 0 0 2 4 6 8 10 Für z.B. n=1, 2, …, 10 lassen sich die Quotienten 12 tm berechnen. Chien-Hrones-Reswick haben diese T Berechnung tabellarisch (und auch graphisch) wie folgt ermittelt: n t10 / T t 30 / T t 50 / T t 70 / T t 90 / T 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 0.11 0.53 1.10 1.74 2.43 3.15 3.89 4.66 5.43 6.22 0.36 1.10 1.91 2.76 3.63 4.52 5.41 6.31 7.22 8.13 0.69 1.68 2.67 3.67 4.67 5.67 6.67 7.67 8.67 9.67 1.20 2.44 3.62 4.76 5.89 7.01 8.11 9.21 10.3 11.4 2.30 3.89 5.32 6.68 7.99 9.27 10.5 11.8 13.0 14.2 16 14 12 Series1 10 Series2 8 Series3 6 Series4 4 Series5 2 0 0 2 4 6 8 10 55 12 Prof. Dr.-Ing. Cihat Karaali __________________________________________________________________________________ Zur Bestimmung der Zeitkonstante T berücksichtigt man die Zeile in der obigen Tabelle, wo die Ordnung des Systems festgelegt wurde. Für irgend eines Verhältnis tm der erwähnten Zeile wird die T Zeitkonstante T berechnet (siehe Laborunterlagen). Beispiel Eine Klimaanlage antwortet auf einer Eingangsgröße von 2 auf 5 mit folgender Temperaturänderung: Der Verstärkungsfaktor V berechnet sich im stationären Zustand der Sprungantwort nach V y () 27 16C 3.66C . u 52 Nun werden die Ordnung n und die Zeitkonstante T aus der Sprungantwort berechnet. Die Zeitprozente lassen sich grob wie folgt ablesen: t10 4s; t 30 6.8s; t 50 9s; t 70 12.8s; t 90 18.9s . Die Ordnung des Systems kann aus der obigen Zeitprozentkennwertverhältnisses ermittelt werden: Tabelle durch Bildung z.B. eines t10 4s 0.211 → n =3. t 90 18.9s Die anderen Zeitprozentverhältnisse führen zum gleichen Ergebnis und liefern auch nach der entsprechenden Tabelle die Systemordnung n =3. 56 Prof. Dr.-Ing. Cihat Karaali __________________________________________________________________________________ Mit der Bestimmung dieser Größe liest man für n =3 die zu tm gehörenden Werte ab, woraus sich die T Zeitkonstante T ermittelt wird: t10 T t 30 T t 50 T t 70 T t 90 T t10 4s 3.63 1.10 1.10 t 6. 8 s 1.91 T 30 3.56 1.91 1.91 t 9s 2.67 T 50 3.37 2.67 2.67 t 12.8s 3.62 T 70 3.53 3.62 3.62 t 18.9 s 5.32 T 90 3.55 5.32 5.32 1.10 T Durch Bildung der einfachen arithmetischen Mittelwert wird dann die letzte Unbekannte, nämlich die Zeitkonstante T =3.528 berechnet. Die Übertragungsfunktion des unbekannten Systems lautet dann: F (s) Y ( s) V 3.66C n U ( s ) 1 sT 1 s3.5283 . Die Berechnung der Sprungantwort liefert die folgende mathematische Beziehung (Reihenbildung): n 1 t / T k t / T y (t ) h(t ) V 1 e k 0 k! 1 2 t 0 t t t t t 3.528 3.528 3.528 3.528 3.528 3.528 3.661 e e e 0! 1! 2! t t t t t2 3.661 e 3.528 e 3.528 e 3.528 3.528 24.89 t 2 t t 3.66 1 e 3.528 1 3 . 528 24 . 89 Das folgende Bild mit EXCEL gefertigt wiedergibt die Funktion der Sprungantwort aus der obigen Funktionsgleichung für h(t ) . 57 Prof. Dr.-Ing. Cihat Karaali __________________________________________________________________________________ 7 6 5 4 Series1 3 2 1 0 0 5 10 15 20 25 58 30 Prof. Dr.-Ing. Cihat Karaali __________________________________________________________________________________ 12. Korrespondeztabelle, Regelkreisglieder (Quelle: Reuter) 59 Prof. Dr.-Ing. Cihat Karaali __________________________________________________________________________________ 60 Prof. Dr.-Ing. Cihat Karaali __________________________________________________________________________________ 61 Prof. Dr.-Ing. Cihat Karaali __________________________________________________________________________________ 62 Prof. Dr.-Ing. Cihat Karaali __________________________________________________________________________________ 63 Prof. Dr.-Ing. Cihat Karaali __________________________________________________________________________________ 64 Prof. Dr.-Ing. Cihat Karaali __________________________________________________________________________________ 65 Prof. Dr.-Ing. Cihat Karaali __________________________________________________________________________________ 66 Prof. Dr.-Ing. Cihat Karaali __________________________________________________________________________________ 67 Prof. Dr.-Ing. Cihat Karaali __________________________________________________________________________________ 68 Prof. Dr.-Ing. Cihat Karaali __________________________________________________________________________________ 69 Prof. Dr.-Ing. Cihat Karaali __________________________________________________________________________________ 13. Analyse von geschlossenen Regelkreisen Stabilitätsuntersuchung Für den Begriff Stabilität gilt die allgemeine Aussage: Ein lineares Übertragungssystem heißt stabil, wenn seine Sprungantwort für t → ∞ einem endlichen Wert zustrebt. Anderenfalls heißt es instabil. Weitere Kriterien: Fall 1. „Die charakteristische Gleichung eines geschlossenen Systems folgt durch Nullsetzen des Nenners. Maßgebend für die Stabilität eines Systems ist, dass alle Nullstellen von 1 F0 ( s) , d.h. die Polstellen des Systems, in der linken Halbebene liegen.“ 70 Prof. Dr.-Ing. Cihat Karaali __________________________________________________________________________________ Die Führungsübertragungsfunktion des geschlossenen Regelkreises lautet: FW ( s) FR ( s) FS ( s) X ( s) W ( s) 1 FR ( s) FS ( s) chaktaristische Gleichung Fall 2: Nyquist-Kriterium: „Ist der offene Regelkreis stabil, so ist der geschlossene Regelkreis genau dann stabil, wenn die Ortskurve des offenen Kreises den Punkt -1 (der reellen Achse) weder umkreist noch durchdringt.“ Beispiel a) F0 ( s ) 4.2 s 1.3 4s 1 Die charakteristische Gleichung des geschlossenen Regelkreises lautet: 4.2s 1.3 8.2s 0.3 0 4s 1 4s 1 8.2s 0.3 0 1 F0 ( s) 1 s 0.0365 Die Nullstelle befindet sich demnach in der positiven Halbebene und demnach ist das System instabil.Betrachtet man das Kriterium nach Nyquist und berücksichtigt man die Ortskurve des offenen Regelkreises MATLAB-Befehl: nyquist(F0), Nyquist Diagram 1.5 1 Imaginary Axis 0.5 0 -0.5 -1 -1.5 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 Real Axis 71 1 1.5 Prof. Dr.-Ing. Cihat Karaali __________________________________________________________________________________ so erkennt man, das die Ortskurve des offenen Regelkreises den Punkt -1 auf der negativen reellen Achse umkreist. Nach den Kriterien von Nyquist ist auch das System instabil. Auch die Sprungantwort des geschlossenen Regelkreises FW ( s ) FR ( s ) FS ( s ) X ( s) W ( s ) 1 FR ( s ) FS ( s ) 4.2s 1.3 F ( s ) FS ( s ) 1 FR ( s ) FS ( s ) 1 1 4.2 s 1.3 4s 1 X (s) W ( s) R 4.2s 1.3 s 4 s 1 4.2s 1.3 1 FR ( s ) FS ( s ) s 1 FR ( s ) FS ( s ) s 1 4s 1 1 4.2 s 1.3 s 8.2 s 0.3 MATLAB-Befehl: step(feedback(F0,1)) 7 1 Step Response x 10 0 Amplitude -1 -2 -3 -4 -5 -6 0 50 100 150 200 250 300 350 400 450 Time (sec) Die Instabilität des geschlossenen Regelkreises ist aus der Sprungantwortkennlinie ohne Ausgleich zu erkennen. 72 Prof. Dr.-Ing. Cihat Karaali __________________________________________________________________________________ Beispiel b) F0 ( s ) 4.2 s 1.3 4s 1 Die charakteristische Gleichung des geschlossenen Regelkreises lautet: 4.2s 1.3 8.2s 2.3 0 4s 1 4s 1 8.2s 2.3 0 1 F0 ( s) 1 s 0.28 Die Nullstelle befindet sich demnach in der negativen Halbebene und demnach ist das System stabil. Betrachtet man das Kriterium nach Nyquist und berücksichtigt man die Ortskurve des offenen Regelkreises MATLAB-Befehl: nyquist(F0), Nyquist Diagram 0.2 0.15 0.1 Imaginary Axis 0.05 0 -0.05 -0.1 -0.15 -0.2 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 Real Axis so erkennt man, das die Ortskurve des offenen Regelkreises den Punkt -1 auf der negativen reellen Achse nicht umkreist und auch nicht durchdringt. Nach den Kriterien von Nyquist ist auch das System stabil. Auch die Sprungantwort des geschlossenen Regelkreises 73 Prof. Dr.-Ing. Cihat Karaali __________________________________________________________________________________ FW ( s ) FR ( s ) FS ( s ) X ( s) W ( s) 1 FR ( s) FS ( s ) F ( s ) FS ( s) 1 FR ( s ) FS ( s ) 1 X (s) W (s) R 1 FR ( s ) FS ( s ) s 1 FR ( s ) FS ( s ) s 4.2s 1.3 1 4.2s 1.3 4s 1 4.2s 1.3 s 4s 1 4.2s 1.3 1 4s 1 1 4.2s 1.3 s 8.2s 2.3 MATLAB-Befehl: step(feedback(F0,1)) Step Response 0.58 0.57 Amplitude 0.56 0.55 0.54 0.53 0.52 0.51 0 5 10 15 20 25 Time (sec) Die Stabilität des geschlossenen Regelkreises ist aus der Sprungantwortkennlinie mit Ausgleich zu erkennen. Fall 3: Nyquist Kriterium: Ist die Ortskurve weit genug vom kritischen Punkt -1 entfernt, so verläuft der Einschwingvorgang des geschlossenen Regelkreises hinreichend gedämpft. Nach Nyquist ist die Phasenreserve R ein geeignetes Maß für den Abstand der Ortskurve vom Punkt -1. R ist auch ein geeignetes Maß für die Dämpfung des Einschwingvorgangs. Eine kleine Phasenreserve R 74 bedeutet ein starkes Prof. Dr.-Ing. Cihat Karaali __________________________________________________________________________________ Überschwingen und lange Überschwingdauer. Bei Erhöhung der Phasenreserve R wird der Einschwingvorgang gedämpft, Überschwingweite und Einschwingdauer nehmen ab. Beispiel: Gegeben sei die Übertragungsfunktion des offenen Regelkreises F0 ( s) V . Dabei ist V der Verstärkungsfaktor des Systems und wäre variabel. s(1 s)(1 0.2s) Durch Änderung des Verstärkungsfaktors V wird die Stelle der Durchtrittsfrequenz D verändert und als Folge dafür auch die Größe der Phasenreserve R , wie das Beispiel zeigt. Step Response 2 1.8 1.6 1.4 Amplitude 1.2 1 0.8 0.6 0.4 0.2 0 0 5 10 15 20 25 Time (sec) 75 30 35 40 45 Prof. Dr.-Ing. Cihat Karaali __________________________________________________________________________________ Bode Diagram Gm = -0.291 dB (at 2.24 rad/sec) , Pm = -0.722 deg (at 2.27 rad/sec) Magnitude (dB) 50 0 -50 -100 Phase (deg) -150 0 -90 -180 -270 -2 10 -1 0 10 10 1 10 2 10 Frequency (rad/sec) Der Verstärkungsfaktor wurde weiter vergrößert. Dadurch ist die Phasenreserve R nicht nur kleiner geworden sondern auch ihre Polarität verändert. Bode Diagram Gm = -10.7 dB (at 2.24 rad/sec) , Pm = -24 deg (at 3.92 rad/sec) Magnitude (dB) 50 0 -50 Phase (deg) -100 0 -90 -180 -270 -2 10 -1 10 0 10 Frequency (rad/sec) 76 1 10 2 10 Prof. Dr.-Ing. Cihat Karaali __________________________________________________________________________________ Die Erfahrung aus der Praxis erfordert eine mindestens Phasenreserve von R 60 . Unterhalb dieser Größe führt die Stabilität des geschlossenen Regelkreises in die kritische Lage. 77 Prof. Dr.-Ing. Cihat Karaali __________________________________________________________________________________ ANLAGEN A1: Anwendungsbeispiele mit MATLAB: MATLAB-Befehle: F=tf([1 4],[1 5 10 4 10 1]) Transfer function: s+4 --------------------------------------s^5 + 5 s^4 + 10 s^3 + 4 s^2 + 10 s + 1 Pole=pole(F) Pole = -2.5592 + 1.7529i -2.5592 - 1.7529i 0.1109 + 0.9973i 0.1109 - 0.9973i -0.1032 Nulstellen=tzero(F) Nulstellen = -4 Pole=roots([1 5 10 4 10 1]) Pole = -2.5592 + 1.7529i -2.5592 - 1.7529i 0.1109 + 0.9973i 0.1109 - 0.9973i -0.1032 78 Prof. Dr.-Ing. Cihat Karaali __________________________________________________________________________________ G=zpk(F) Zero/pole/gain: (s+4) ----------------------------------------------------------(s+0.1032) (s^2 - 0.2217s + 1.007) (s^2 + 5.118s + 9.623) nyquist(F) grid Nyquist Diagram 2.5 0 dB -2 dB 2 Imaginary Axis 1.5 2 dB 1 4 dB 6 dB 0.5 10 dB 20 dB 0 -4 dB -6 dB -10 dB -20 dB -0.5 -1 -1.5 -2 -2.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 Real Axis 79 2 2.5 3 3.5 4 Prof. Dr.-Ing. Cihat Karaali __________________________________________________________________________________ bode(F) grid Bode Diagram Magnitude (dB) 50 0 -50 -100 -150 -270 Phase (deg) -315 -360 -405 -450 -4 10 -3 10 -1 -2 10 10 Frequency (Hz) 80 0 10 1 10 Prof. Dr.-Ing. Cihat Karaali __________________________________________________________________________________ margin(F) grid Bode Diagram Gm = Inf , Pm = -147 deg (at 0.179 Hz) Magnitude (dB) 50 0 -50 -100 -150 -270 Phase (deg) -315 -360 -405 -450 -4 10 -3 10 -1 -2 10 10 Frequency (Hz) 81 0 10 1 10 Prof. Dr.-Ing. Cihat Karaali __________________________________________________________________________________ feedback(F, 1) Transfer function: s+4 --------------------------------------s^5 + 5 s^4 + 10 s^3 + 4 s^2 + 11 s + 5 step(feedback(F, 1)) grid Step Response 2.5 2 1.5 Amplitude 1 0.5 0 -0.5 -1 -1.5 0 1 2 3 4 5 Time (sec) 82 6 7 8 9 Prof. Dr.-Ing. Cihat Karaali __________________________________________________________________________________ A2: Das stationäre Verhalten des Regelungskreises (Quelle: Manfred Berger, Grundkurs der Regelungstechnik) Allgemeines Aufgabe der Regelungstechnik: Die Regelgröße x(t) trotz auftretender Störgrößen zn (t) möglichst genau der Führungsgröße w(t) anzupassen, Die bleibende Regelabweichung in stationären Endzustand verschwinden zu lassen. FR(s) ist die Übertragungsfunktion des Reglers FS(s) ist die Übertragungsfunktion der Regelstrecke Mathematische Behandlung: Xd(s): Regelabweichung Xd (s) W(s) X(s) Die Regelabweichung Xd(s) ist gleichzeitig die Eingangsgröße des Reglers. Die Ausgangsgröße des Reglers ist dann W(s) X(s) FR (s) . Die Eingangsgröße der Regelstrecke ist die Summe von Ausgangsgröße des Reglers plus Störgröße W(s) X(s) FR (s) Z(s) Die Ausgangsgröße der Regelstrecke ist dann W(s) X(s)F (s) Z(s)F (s) R S 83 Prof. Dr.-Ing. Cihat Karaali __________________________________________________________________________________ Dieses Potential ist identisch mit dem Potential X(s) und kann gleichgesetzt werden W(s) X(s)F (s) Z(s)F (s) X(s) . R S Fasst man die Terme zusammen, so gilt: W(s) X(s)F (s) Z(s) F (s) X(s) R S W(s)FR (s) X(s)FR (s) Z(s) Fs (s) X(s) W(s)FR (s)FS (s) X(s)FR (s)FS (s) Z(s)FS (s) X(s) W(s)FR (s)FS (s) Z(s)FS (s) X(s) 1 FR (s)FS (s) W(s) FR (s)FS (s) FS (s) Z(s) X(s ) 1 FR (s)FS (s) 1 FR (s)FS (s) Die Führungsübertragungsfunktion ist dann F (s)FS (s) X(s) R W(s) Z(s)0 1 FR (s)FS (s) Die Störübertragungsfunktion lautet FS (s) X(s) Z(s) W(s)0 1 FR (s)FS (s) Bestimmung der Regelabweichung: (Die Störgröße wird vernachlässigt) Xd (s) W(s) X(s) Das gleiche Potential erhält man, wenn man im geschlossenen Regelkreis die Regelabweichung in Abhängigkeit der Regelgröße bestimmt zu Xd (s) 1 X(s) FR (s)FS (s) X(s) Xd (s)FR (s)FS (s) Setzt man die Größe X(s) in die obige Gleichung ein, folgt daraus die Regelabweichung: 84 Prof. Dr.-Ing. Cihat Karaali __________________________________________________________________________________ Xd (s) W(s) Xd (s)FR (s)FS (s) Xd (s) 1 FR (s)FS (s) W(s) Xd (s) W(s) 1 FR (s)FS (s) Die bleibende Regelabweichung im Zeitbereich e() ergibt sich für t auf Grund des Endwertsatzes zu: xd () lim x d (t) lim Xd (s)s t s0 s W(s) . 1 FR (s)FS (s) Beispiel: Man bestimme die bleibende Regelabweichung Regelungskreis mit KR=100. e() für den angegebenen Das System wird mit einer Sprungfunktion w(t) 5 1(t) beaufschlagt und ist für alle Verstärkungsfaktoren des Reglers KR>0 stabil. Die Reglerübertragungsfunktion: FR (s) K R . Die Streckenübertragungsfunktion ergibt sich aus der Kreisstruktur der beiden Blöcke. Bezeichnet man den Reglerausgang mit y, dann ergibt sich für die Produktbildung folgende Beziehung: 85 Prof. Dr.-Ing. Cihat Karaali __________________________________________________________________________________ 1 1 X(s) Xd (s)K R X(s) 2 s 2 s 10s 24 1 1 1 Xd (s)K R s2 10s 24 X(s) s 2 s2 10s 24 X(s) 1 1 1 Xd (s)K R 2 X(s) 1 2 s 10s 24 s 2 s 10s 24 X(s) FR (s)Fs (s) Xd (s) 1 s 10s 24 1 1 1 2 s 2 s 10s 24 1 KR 2 s 10s 24 2 1 (s 2)(s 10s 24) (s 2)(s2 10s 24) KR 2 1 (s 2)(s2 10s 24) s2 10s 24 1 (s 2)(s2 10s 24) K R (s 2) K R (s 2) 3 2 1 (s 2)(s 10s 24) s 12s2 44s 49 KR Die bleibende Regelabweichung im Zeitbereich e() ergibt sich für t auf Grund des Endwertsatzes zu: x d ( ) lim x d (t) lim Xd (s)s lim t s 0 s 0 s W(s) 1 FR (s)FS (s) s 1 5 K R (s 2) s 1 3 s 12s2 44s 49 1 x d ( ) lim 5 s 0 K R (s 2) 1 3 s 12s2 44s 49 1 x d ( ) lim 5 s 0 KR 2 1 49 5 x d () 0.98 0 100 2 1 49 x d ( ) lim s 0 86 Prof. Dr.-Ing. Cihat Karaali __________________________________________________________________________________ Mit der Übertragungsfunktion wird die Sprungantwort berechnet und dargestellt. F (s)FS (s) X(s) F(s) R W(s) 1 FR (s)FS (s) K R (s 2) s 12s2 44s 49 K R (s 2) 1 3 s 12s2 44s 49 3 K R (s 2) 100(s 2) s3 12s2 44s 49 100(s 2) F(s) 3 s 12s2 144s 249 F(s) Sprungantwort: F=tf([100 200],[1 12 144 249]) Transfer function: 100 s + 200 -------------------------s^3 + 12 s^2 + 144 s + 249 step(F) grid 87 Prof. Dr.-Ing. Cihat Karaali __________________________________________________________________________________ Step Response 1 0.9 0.8 0.7 Amplitude 0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2 Time (sec) Bode-Diagramm Bode Diagram 20 Magnitude (dB) 0 -20 -40 -60 -80 0 Phase (deg) -45 -90 -135 -180 -1 10 0 1 10 10 Frequency (Hz) 88 2 10 Prof. Dr.-Ing. Cihat Karaali __________________________________________________________________________________ margin(F) Bode Diagram Gm = Inf dB (at Inf Hz) , Pm = 113 deg (at 1.47 Hz) 20 Magnitude (dB) 0 -20 -40 -60 -80 0 Phase (deg) -45 -90 -135 -180 -1 0 10 1 10 2 10 10 Frequency (Hz) nyquist(F) Nyquist Diagram 1 0.8 4 dB 2 dB 0 dB -2 dB -4 dB -6 dB 0.6 6 dB Imaginary Axis 0.4 10 dB 0.2 -10 dB 20 dB -20 dB 0 -0.2 -0.4 -0.6 -0.8 -1 -1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 Real Axis 89 0.2 0.4 0.6 0.8 1 Prof. Dr.-Ing. Cihat Karaali __________________________________________________________________________________ Die nächsten Abbildungen zeigen das Eingangssignal w(t) 5 1(t) den Graph x(t), dessen Endwert mit dem ermittelten Wert übereinstimmt. 100(s 2) 5 s 12s2 144s 249 500s 1000 F(s) 3 s 12s2 144s 249 3 Step Response 5 4.5 4 3.5 3 Amplitude F(s) 2.5 2 1.5 1 0.5 0 0 0.2 0.4 0.6 Time (sec) 90 0.8 1 1.2 Prof. Dr.-Ing. Cihat Karaali __________________________________________________________________________________ Step Response 5 4.5 4 3.5 Amplitude 3 2.5 2 1.5 1 0.5 0 0 0.2 0.4 0.6 Time (sec) A3: Phasenrand, Amplitudenrand 91 0.8 1 1.2 Prof. Dr.-Ing. Cihat Karaali __________________________________________________________________________________ A4: Wendetangente Tu-Tg A5: Vergleich Reglertypen 92 Prof. Dr.-Ing. Cihat Karaali __________________________________________________________________________________ A6: Entwurf im Bode-Diagramm f1=tf([0 1],[1 0]) Transfer function: 1 s f2=tf([0 1],[1 4]) Transfer function: 1 ----s+4 f3=tf([0 1],[1 6]) Transfer function: 1 ----s+6 F=f1*f2*f3 Transfer function: 1 ------------------s^3 + 10 s^2 + 24 s bode(F) hold on margin(F) 93 Prof. Dr.-Ing. Cihat Karaali __________________________________________________________________________________ D : Durchtrittsfrequenz : Die Frequenz bei der Phase 180 A R : Amplitudenreserve R : Phasenreserve 94 Prof. Dr.-Ing. Cihat Karaali __________________________________________________________________________________ Beispiel: (Quelle: Manfred Berger, Grundkurs der Regelungstechnik) Bemerkungen: An den Amplituden- und Phasengang des aufgetrennten Regelkreises F0 ( j) FR ( j) FS ( j) werden folgende Forderungen gestellt: REGLER STRECKE o Im unteren Frequenzbereich D soll der Betrag 20log F0 (j) , d.h. der Verstärkungsfaktor K möglichst groß sein, damit die bleibende Regelabweichung klein wird und die Regelung effizient ist. o Im mittleren Frequenzbereich darf der Amplitudengang den Wert von -20dB pro Dekade in der Nähe der Durchtrittsfrequenz D bei phasenminimalen Systemen nicht wesentlich überschreiten, da sonst die Phasenreserve R zu klein wird. Hierdurch werden eine ausreichende Stabilitätsreserve, gutes Führungsverhalten und geringe Empfindlichkeit gegenüber Parametervariationen des Regelungssystems erzielt. Je größer D ist, desto schneller ist die Systemantwort und desto größer ist auch die Bandbreite b . o Im Oberen Frequenzbereich D sorgt ein rascher Abfall des Amplitudenganges für geringen Störgrößeneinfluß bzw. Unterdrückung unerwünschter höherfrequenter Signale, z.B. Sensorrauschen. 95 Prof. Dr.-Ing. Cihat Karaali __________________________________________________________________________________ o Mit den folgenden Erfahrungswerten für die Amplitudenreserve A R und die Phasenreserve R des aufgetrennten Regelungskreises erhält man ein befriedigendes dynamisches Führungs- und Störverhalten des geschlossenen 12 A R 20dB; 40 R 60 Regelungskreises: Führungsverhalten: Störverhalten: 3.5 AR 9.5dB; 20 R 50 o Die Phasenreserve R sollte nicht unter 40° absinken. o Ist ein aperiodischer Verlauf der Regelgröße erwünscht, wählt man die Phasenreserve größer als 70°. o Beim Auslegen eines Regelungskreises wird man Kompromisse eingehen müssen. o Die gewählten Einstellwerte des Reglers erfüllen in den meisten Fällen nicht gleichzeitig die geforderten Werte für gutes Führungs- und Störverhalten. Die Ergebnisse sind wie beim Entwurf nach dem Wurzelortskurven-Verfahren entsprechend zu verifizieren und nachzubessern (Faustformel: Siehe Manfred Berger, Seite 272). o Beispiel: Reglerentwurf im Bode-Diagramm, Berger, Seite 273, Verstärkungsfaktor-Kompensation (P-Regler): Transfer function: 1 ------------------s^3 + 10 s^2 + 24 s bode(F, {0.1, 10}) hold on margin(F) 96 Prof. Dr.-Ing. Cihat Karaali __________________________________________________________________________________ Beträgt die gewünschte Phasenreserve R 60 , dann konstruiert man eine Gerade mit dem Abstand von 60° von der 180°-Phasenlinie aus und vestimmt man den Schnittpunkt mit der Phasenkennlinie. Dieser Schnittpunkt legt die Durchtrittsfrequenz bei dem Amplitudengang fest. Dadurch ist die 0dB-Linie des Amplitudenganges nach unten verschoben. Die Amplitudenreserve A R ist dann dadurch bei festzulegen. 97 Prof. Dr.-Ing. Cihat Karaali __________________________________________________________________________________ D Neue 0dB-Linie AR R 60 Wünscht man sich nach dieser erfolgten Änderung einen Verstärkungsfaktor (aus der neuen Darstellung nach der Faustformel von Berger abgeleitet!) von K=37 und betrachtet man dann die Sprungantwort des geschlossenen Regelkreises, so folgt: 98 Prof. Dr.-Ing. Cihat Karaali __________________________________________________________________________________ Statischer Zustand ab ca. 3s ! 99 Prof. Dr.-Ing. Cihat Karaali __________________________________________________________________________________ Ist K=1, also ohne vorherige Korrektur, dann sähe die Sprungantwort wie folgt aus (Kein Überschwingverhalten aber die Führungsgröße wird erst nach 150s erreicht): 100 Prof. Dr.-Ing. Cihat Karaali __________________________________________________________________________________ Zusammenfassung: Die Durchtrittsfrequenz D ist dijenige Frequenz, bei der der Amplitudengang A() des aufgetrennten Regelkreises F0 (j) die 0-dB-Linie schneidet. Analog wird die Durchtrittsfrequenz krit als diejenige Frequenz definiert, bei der der Phasengang () die -180°-Linie schneidet. Die Amplitudenreserve A R und die Phasenreserve R des aufgetrennten Regelkreises geben an, wie weit der Betrag der Amplitude in dB bzw. der Phase in Grad erhöht werden darf, bevor Instabilität auftritt. Die Amplitudenreserve A R und die Phasenreserve R können aus dem BodeDiagramm des aufgetrennten Regelkreises abgelesen werden. Die Amplitudenreserve A R AR 1 F0 (j ) gibt an, um welchen Faktor die Verstärkung K Kkrit der Übertragungsfunktion F0 (j) bis zum Erreichen der Stabilitätsgrenze erhöht werden darf. Durch die obige Beziehung erhält man für die Amplitudenreserve in dB AR dB 20log(1 20log( F0 ( j ) ) und damit die kritische Verstärkung AR Kkrit 10 20 101 Prof. Dr.-Ing. Cihat Karaali __________________________________________________________________________________ mit der die Übertragungsfunktion F0 (j) multipliziert werden muß, damit der geschlossene Regelungskreis grenzstabiles Übertragungsverhalten hat. Der Kreis schwingt dann mit der Frequenz krit . Die Phasenreserve R (D ) 180 wird mit der Amplitudendurchtrittsfrequenz D bestimmt und für die stabile Regelungskreise größer Null. Eine wichtige Kenngröße für das dynamische Verhalten des Regelungssystems ist die Bandbreite b des aufgetrennten Regelungskreises, die beim -3 dB Abfall ermittelt wird. Durch das Verschieben der 0 dB-Linie nach unten (Vergrößerung des Verstärkungsfaktors) wird die Bandbreite b des Regelungssystems erhöht. Eine hohe Bandbreite b bewirkt eine schnelle Reaktion des Systems auf Führungsgrößenänderungen. 102 Prof. Dr.-Ing. Cihat Karaali __________________________________________________________________________________ Nachteilig wirkt sich dann die Verstärkung höherfrequenter Störanteile, z.B. Systemrauschen aus. Zur näherungsweisen Berechnung können die folgenden Faustformeln für die Phasenreserve R 100 bzw. R ; 0 0.7 100 und die Bandbreite b D für R 90; b 2D für R 45 verwendet werden. A7: Stabilitätsbetrachtung Stabilitätsuntersuchung im Bode-Diagramm: „Die Übertragungsfunktion F0 (j) des aufgetrennten Kreises habe nur Pole mit negativem Realteil und höchstens zwei Pole bei s=0. Weiterhin darf in der Übertragungsfunktion ein Totzeitanteil auftreten. Mit der obigen Vereinbarung ist die Übertragungsfunktion F0 (j) des aufgetrennten Regelkreises stabil und hat höchstens integrierendes oder doppelintegrierendes Verhalten sowie ein Totzeitglied. F0 (s) KI Y(s) U(s) si (s z1 )(s z 2 )...(s zm ) sTt e (s p1 )(s p2 )...(s pn ) Totzeitglied Integrator m n; i 0,1,2 103 Prof. Dr.-Ing. Cihat Karaali __________________________________________________________________________________ BIBO-Stabilität liegt also vor, wenn die folgende Bedingung erfüllt ist: AR 0; R 0; D . Ist die Amplitudenreserve und die Phasenreserve gleich Null AR 0; R 0; D ist das System grenzstabil, anderenfalls instabil AR 0; R 0; D . Beispiel: Regelungskreis mit Einheitsrückführung Für den nachfolgenden Regelungskreis ist mit der Übertragungsfunktion F0 (s) des aufgetrennten Kreises das Bode-Diagramm dargestellt. Der geschlossene Regelungskreis soll eine relative Dämpfung von 0.6 haben. 104 Prof. Dr.-Ing. Cihat Karaali __________________________________________________________________________________ Man gebe die Phasenreserve und den Verstärkungsfaktor K des Systems an. Für die geforderte Dämpfung erhält man eine Phasenreserve von R 100 0.6 60 . Der geschlossene Regelungskreis erfüllt die Bedingung, wenn die 0-dB-Linie um 20 dB nach unten verschoben wird. Der Verstärkungsfaktor des Reglers lautet dann 20 log10 K 20dB log10 K 1dB K 101 10 Beispiel: Man zeichne für die angegebene Übertragungsfunktion F0 10 s(s 13s2 46s 48) 3 eines aufgetrennten Regelungskreises – I-Regler mit PT3-Strecke – das Bode-Diagramm und gebe die Amplituden- und die Phasenreserve des Systems an. 1. Wie groß ist der kritische Verstärkungsfaktor Kkrit bzw. der Stabilitätsbereich des geschlossenen Regelkreises? 2. Mit welcher Frequenz krit schwingt das System beim Erreichen der Stabilitätsgrenze? 3. Man bestimme die Bandbreite b des aufgetrennten Regelungskreises. 4. Bei welcher Frequenz hat sich die Größe der Amplitude A2 des Ausgangssignals des geschlossenen Kreises auf 1/10 der Größe der Amplitude A1 des Eingangssignals verringert? 105 Prof. Dr.-Ing. Cihat Karaali __________________________________________________________________________________ zu 1. A R 24 dB 20 log10 K 24 log10 K 24 20 24 K 10 20 K 15.66 R 78.5 zu 2. D 0.2 krit 2 A R 0 und R 0 System ist stabil Stabilitätsbereich: 0<K<15.66 zu 3. Bandbreite des aufgetrennten Systems: b D 0.2 106 Prof. Dr.-Ing. Cihat Karaali __________________________________________________________________________________ MATLAB-Befehle (K=10): F1=tf([10],[1 13 46 48]) Transfer function: 10 -----------------------s^3 + 13 s^2 + 46 s + 48 F2=tf([1],[1 0]) Transfer function: 1 s F=F1*F2 Transfer function: 10 ---------------------------s^4 + 13 s^3 + 46 s^2 + 48 s margin(F) 107 Prof. Dr.-Ing. Cihat Karaali __________________________________________________________________________________ Bode Diagram Gm = 23.9 dB (at 0.306 Hz) , Pm = 78.7 deg (at 0.0329 Hz) 50 Magnitude (dB) 0 -50 -100 -150 Phase (deg) -200 -90 -180 -270 -360 -2 10 -1 10 0 10 1 10 2 10 Frequency (Hz) K=15.66 Bode Diagram Gm = 20 dB (at 0.306 Hz) , Pm = 72.5 deg (at 0.0509 Hz) 50 Magnitude (dB) 0 -50 -100 -150 Phase (deg) -200 -90 -180 -270 -360 -2 10 -1 10 0 10 Frequency (Hz) 108 1 10 2 10 Prof. Dr.-Ing. Cihat Karaali __________________________________________________________________________________ K=20 Bode Diagram Gm = 17.9 dB (at 0.306 Hz) , Pm = 68 deg (at 0.0643 Hz) 50 Magnitude (dB) 0 -50 -100 -150 Phase (deg) -200 -90 -180 -270 -360 -2 -1 10 10 0 10 1 10 2 10 Frequency (Hz) zu 4. Im Eingeschwungenen Zustand lautet der Amplitudengang A() F(j) A 2 Amplitude der Ausgangsschwingung 0.1 A1 Amplitude der Eingangsschwingung und damit A dB 20log(0.1) 20 dB A() 20 dB 1.5 rads-1 Die Frequenz erhält man aus dem Bode-Diagramm des aufgetrennten R Regelungskreises. 109 Prof. Dr.-Ing. Cihat Karaali __________________________________________________________________________________ A8: Frequenzgang-Verfahren Betrachtet wird das Übertragungsverhalten eines linearen, zeitinvarianten Systems mit einem sinusförmigen Eingangssignal (Testsignal) x e (t) (d.h. einer harmonischen Schwingung), mit der Amplitude A 1 und der Frequenz . f(t) Als Systemantwort erhält man im stationären (eingeschwungenen) Zustand wieder ein sinusförmiges Ausgangssignal xa (t) mit der Amplitude A 2 und einer Phasenverschiebung . 110 Prof. Dr.-Ing. Cihat Karaali __________________________________________________________________________________ In komplexer Schreibweise lauten die Sinussignale x e (t) A1 e jt xa (t) A 2 e j( t ) Setzt man deren zeitlichen Ableitungen in die allg. lineare Differenzialgleichung (n) (m) an x a (t) ... a1 xa (t) a0 x a (t) b0 x e (t) b1 x e (t) ... bm x e (t) ein, so erhält man den Frequenzgang des linearen Übertragungsgliedes als Funktion der Kreisfrequenz in rads-1. F( j) ( j)m bm ... ( j)2 b 2 ( j)b1 b0 A 2 j ( ) e A( )e j( ) , mn. A1 ( j)n an ... ( j)2 a 2 ( j)a1 a0 Der Betrag des Frequenzganges ist im eingeschwungenen Zustand der Amplitudengang A() F(j) A 2 Amplitude der Ausgangsschwingung , A1 Amplitude der Eingangsschwingung und das Argument arg(G( j)) der Phasengang Im F( j) () arg(F( j)) arctan Re F( j)) der die Phasenverschiebung des Ausgangssignals gegenüber dem Eingangssignal des Systems angibt. Der Frequenzgang F(j) hat für j s (Formaler Übergang: j s d ) dieselbe Form dt wie die Übertragungsfunktion F(s) . Folglich geht man beim Berechnen des Frequenzganges von der Übertragungsfunktion F(s) aus, indem man s j setzt. Die Analyse und Synthese eines Regelungssystems erfolgt im Frequenzbereich mit der Ortskurve und dem Bode-Diagramm. Beide Verfahren gehen von der Übertragungsfunktion Regelungskreises aus. 111 F0 (s) des aufgetrennten Prof. Dr.-Ing. Cihat Karaali __________________________________________________________________________________ Aufgetrennter Regelungskreis Ortskurve des Frequenzganges Allgemein ist der Frequenzgang des aufgetrennten Regelungskreises F0 ( j) ( j)m bm ... ( j)2 b2 ( j)b1 b0 , m n. ( j)n an ... ( j)2 a2 ( j)a1 a0 Die komplexe Funktion F0 (j) kann in algebraischer oder in exponentieller Form F0 (j) Re{F0 (j)} Im{F0 (j)} A( )e j( ) angegeben werden. Der Frequenzgang F0 (j) wird durch seinen Amplitudengang A() F0 ( j) Re F0 ( j) Im F0 ( j) 2 2 und Phasengang Im F0 ( j) () arg F0 ( j) arctan Re F ( j) 0 berechnet und in einem Zeigerdiagramm, der sog. Ortskurve, dargestellt, indem man die Frequenz von 0 bis variiert. Die für jeden -Wert ermittelten Schnittpunkte des Real- und Imaginärteils der komplexen Funktion F0 (j) (sie stellen Zeigerdiagramme dar) werden miteinander verbunden. Der daraus resultierende Verlauf wird als Ortskurve bezeichnet. 112 Prof. Dr.-Ing. Cihat Karaali __________________________________________________________________________________ II I 0 () A() III IV Ortskurve Aus der Ortskurve lassen sich für den Kurvenparameter die Phasenverschiebung () und das Amplitudenverhältnis A() von Eingangs- und Ausgangssignal im stationären Zustand entnehmen. Das obige Bild zeigt die Ortskurve eines PT2-Systems, die durch den vierten und dritten Quadranten verläuft. Eine besondere Bedeutung haben diejenigen Punkte der Ortskurve, bei denen der Amplitudengang einen Maximalwert erreicht. Einen solchen Punkt nennt man eine Resonanzstelle MR und die dazugehörige Frequenz die Resonanzfrequenz R . 113 Prof. Dr.-Ing. Cihat Karaali __________________________________________________________________________________ A9: Laplace-Transformation Die Laplace-Transformation ist eine Integraltransformation. Mittels des Laplace-Integrals t F (s) f (t ) e st dt t 0 wird einer Zeitfunktion f (t ) eine korrespondierende Funktion F ( s ) im Laplace-Bereich zugeordnet. s wird als Laplace-Variable bezeichnet. Die symbolische Zuordnung wird durch die Beziehung F (s) L f (t ) dargestellt. 114 Prof. Dr.-Ing. Cihat Karaali __________________________________________________________________________________ Beispiel: Die Laplace-Transformation einer Sinus-Funktion mit den Angaben o für t 0 f (t ) sin(t ) für t 0 ergibt sich zu: L sin t t sin t e t 0 st dt dv u Es gilt: u dv u v v du 1 u sin t ; du cos t ; dv e st ; v e st s t t 1 1 L sin t e st sin t e st cos t dt s s t 0 t 0 0 t 1 L sin t e st cos t dt s t 0 t e jt e jt 1 e st s t 0 2 dt cos t nachEuler 1 st jt e e dt e st e jt 2s 0 0 t 1 1 1 s j t s j t e e 2 s s j s j t 0 1 1 1 2 s s j s j s 2 2 115 Prof. Dr.-Ing. Cihat Karaali __________________________________________________________________________________ A10: Passiver Zweipol Beispiel 1 R2 jC1 1 R2 R2 ua ( j) R2 R2 jC1 1 jC1R2 F( j) 1 R2 ue ( j) R2 R11 jC1R2 R2 R1 jC1R1R2 R2 R1 jC1 1 jC1R2 R1 1 R2 jC1 R2 1 R1 R2 1 jC R1R2 1 R1 R2 R1R2 RR 1 jC1 1 2 R2 1 R2 R1 R2 R1 R2 2 R1R2 R1 R2 1 jC R1R2 R R 1 2 R1R2 1 jC1 1 1 C1 R1 R2 R1 R2 R1 R2 R1R2 C1 R2 1 R1 R2 j 2 2 R1 R2 RR 1 C R1R2 1 C1 1 2 1R R R 1 2 1 R2 ReF( j) ImF( j) 1 jC1 116 Prof. Dr.-Ing. Cihat Karaali __________________________________________________________________________________ Amplitudengang Betrag von F( j) : F( j) R2 R1 R 2 R2 R1 R 2 R2 R1 R 2 F( j) dB 1 R 1R 2 1 C1 R 1 R2 2 R 1R 2 C1 R1 R 2 2 R 1R 2 1 C1 R 1 R2 R 1R 2 1 C1 2 R 1 R2 R 1R 2 1 C1 R1 R 2 1 1 R 1R 2 1 C1 R1 R 2 2 2 2 2 R2 R 1R 2 20 log 20 log 1 C1 R1 R 2 R1 R 2 2 20 log0.5 20 log 1 2 mit C1 R 1R 2 1 C1R 10ms und g 200 s 1 R1 R 2 Phasengang R1R 2 ImF( j) arctan C1 arctan R1 R 2 ReF( j) F( j) dB 0 20 log0.5 6dB 1 2 20 log0.5 20 log 1 1 -9dB ab 1 , Abfall mit - arctan arctan0 0 arctan1 45 arctan 90 20dB/Dekade 117 ReF( j) ImF( j) R2 R1 R 2 0 R2 1 R1 R 2 2 0 R2 1 R1 R 2 2 0 Prof. Dr.-Ing. Cihat Karaali __________________________________________________________________________________ Simulation mit MATLAB/SIMULINK syms staw syms s positive y=tf([0.5],[0.005 1]) Setzt man die vorgegebenen Werte für C und R ein, so lautet die Übertragungsfunktion: Transfer function: 0.5 ----------0.005 s + 1 margin(y) grid Frequenzgang Bode Diagram Gm = Inf , Pm = Inf 0 Magnitude (dB) -10 -20 -30 -40 Phase (deg) -50 0 Grenzfrequenz (wie oben rechnerisch ermittelt) 1 g 200 s 1 -45 -90 1 10 2 3 10 10 Frequency (rad/sec) 118 4 10 Prof. Dr.-Ing. Cihat Karaali __________________________________________________________________________________ Ortskurve Nyquist Diagram 1 4 dB 0.8 2 dB 0 dB -2 dB -4 dB -6 dB 0.6 6 dB Imaginary Axis 0.4 10 dB 0.2 -10 dB 20 dB -20 dB 0 -0.2 -0.4 -0.6 -0.8 -1 -1 -0.5 0 0.5 Real Axis Sprungantwort Step Response 0.5 0.45 0.4 0.35 Amplitude 0.3 0.25 0.2 0.15 0.1 0.05 0 0 0.005 0.01 0.015 Time (sec) 119 0.02 0.025 0.03 Prof. Dr.-Ing. Cihat Karaali __________________________________________________________________________________ A11: PI-Regeleinrichtung (Proportional-integral Verhalten) Die Ausgangsgröße y R (t ) einer PI-Regeleinrichtung ist gleich (Parallelschaltung) der Ausgangsgrößen einer P- und einer I-Einrichtung. der Summe Der mathematische Zusammenhang zwischen der Ausgangs- und Eingangsgrößen einer PIRegeleinrichtung wird durch folgende Gleichung beschrieben: y R (t ) K P x d (t ) K I x d (t )dt . mit: K I :Übertragungskons tan te oder Verstärkungsfaktor des I-Gliedes KI KP Tn meistens wird K P 1 gewählt und K I durch Tn ermittelt bzw: Tn Kp KI : Zeitkons tan te des I-Gliedes K P : Übertragungskons tan te oder Verstärkungsfaktor des P-Gliedes Setzt man anstelle der Übertragungskonstante K I die Zeitkonstante ein, so folgt aus der obigen Gleichung die Beziehung: y R (t ) K P [ x d (t ) 1 Tn x d (t )dt ] . 120 Prof. Dr.-Ing. Cihat Karaali __________________________________________________________________________________ Führt man die Laplace-Transformation durch YR ( s ) K P [ X d ( s ) 1 1 X d ( s )] Tn s so lässt sich die Übertragungsfunktion der PI-Regeleinrichtung bestimmen: FR ( s) YR ( s) 1 K P 1 X d ( s) s Tn . Die komplexe Schreibweise: FR ( j ) y R ( j ) 1 K P 1 xd ( j ) j Tn 1 j Tn K P j Tn a) Sprungantwort: 0 t 0 xd (t ) xd 0 t 0 1 YR ( s ) X d ( s ) K P 1 s T n 1 1 x d 0 K P 1 s s Tn 1 1 1 x d 0 K P 2 s s Tn Die Laplace-Rücktransformation ergibt dann die Funktion der Sprungantwort im Zeitbereich wie folgt: t y R (t ) xd 0 K P 1 . Tn Sprungantwort einer PI-Regeleinrichtung 121 Prof. Dr.-Ing. Cihat Karaali __________________________________________________________________________________ b) Ortskurve: FR ( j ) y R ( j ) 1 K P 1 xd ( j ) j Tn ReFR ( j ) K P ImFR ( j ) KP Tn Der Realteil der Übertragungsfunktion ist konstant ReFR ( j) K P frequenzunabhängig. Für den imaginären Teil der Übertragungsfunktion gilt: und 0 ImFR ( j ) 1 ImFR ( j ) K P Tn ImFR ( j ) 0 Stabilisierung nach Nyquist: Senken der Betragskennlinie: Die Durchtrittsfrequenz wird nach links verlegt. Links ist die höhere Phasenlage, d.h. höhere Stabilität und genügende Phasenlage. Der Regelkreis wird aber langsamer (Kompromisse erzielen!). Die Stabilisierungseffekte eines geschlossenen Regelkreises lässt sich anhand des offenen Regelkreises ermitteln. 122 Prof. Dr.-Ing. Cihat Karaali __________________________________________________________________________________ Beispiel (Föllinger): Der offene Regelkreis besteht aus der Serienschaltung von Regler und Strecke. Die Übertragungsfunktion der Strecke: 1 1 1 1 0.3 j 1 0.2 j 1 0.05 j 1 1 1 15 1 Tn1 j 1 Tn 2 j 1 Tn3 j FS ( j ) 15 Tn1 , Tn 2 und Tn3 D1 sind die Zeitkonstanten der Strecke. Die Kehrwerte davon sind 1 1 1 1 1 1 3.33, D 2 5 und D 3 20 Tn1 0.3 Tn 2 0.2 Tn 3 0.05 die Knickfrequenzen des Frequenzganges. Die Übertragungsfunktion des Reglers: FR ( j ) K R 1 0.3 j . j Bemerkung: Die Übertragungsfunktion des Reglers wurde davor ermittelt durch die Beziehung: FR ( s) YR ( s) 1 K P 1 X d ( s) s Tn . Der rechte Term der obigen Gleichung lässt sich schreiben durch: 1 K P 1 s Tn 1 s Tn K P s Tn . Man geht davon aus, dass der Zähler 1 s Tn der obigen Gleichung mit dem Glied der höchsten Zeitkonstante der Strecke identisch ist, so dass die beiden Terme sich wegkürzen (In der Technik üblich und sehr wichtig!). In der obigen Gleichung bleiben dann die Faktoren übrig: 1 K P s Tn . Setzt man für die Zeitkonstante 123 Prof. Dr.-Ing. Cihat Karaali __________________________________________________________________________________ Tn KP KI ein, so folgt: 1 KP KP s KI K 1 I s Damit ergibt sich die Gesamtübertragungsfunktion des offenen Regelkreises: F0 ( j ) FR ( j ) FS ( j ) 1 0.3 j 1 1 1 15 j 1 0.3 j 1 0.2 j 1 0.05 j 1 1 1 K R 15 j 1 0.2 j 1 0.05 j KR V Nun wird der Verstärkungsfaktor K R aus dem Frequenzgang des offenen Regelkreises bei unterschiedlichen Phasenreserven ermittelt und anschließend die Sprungantwort des geschlossenen Regelkreises beobachtet (Stabilitätsverhalten). Angenommen, dass V nicht bekannt ist, d.h. wir setzen in der Gesamtübertragungsfunktion des offenen Regelkreises V 1 ein: F0 ( j ) 1 1 1 . j 1 0.2 j 1 0.05 j Der Amplitudengang verfügt über zwei Knickfrequenzen bei D1 1 5 0.2 und 1 1 20 . Die Kennlinie des Integralanteils fällt mit 20dB/Dek bis zur ersten 0.05 j Knickfrequenz ab. D1 124 Prof. Dr.-Ing. Cihat Karaali __________________________________________________________________________________ Für den Phasengang gilt: 1 1 1 1 1 2 2 3 j 1 0.25 j 0.01 0.25 j 1 0.01 2 j 0.25 j 0.01 F0 ( j ) 1 0.25 j 1 0.01 2 0.25 j 1 0.01 0.25 j 1 0.01 2 1 2 1 0.01 1 0.25 j 1 0.01 1 0.25 j 2 N 2 N N ImF0(jωj 1 0.01ω 2 artan 0.25ω ReF0(jωj arctan Bemerkung: Die Verstärkung V lässt sich auf der Kennlinie des Frequenzganges durch 1 bestimmen Übung: FS ( s ) KS X (s) YR ( s ) 1 sT1 FR ( s ) 1 sTn YR ( s ) KP X d (s) sTn KS 1 sTn KP FS ( s ) FR ( s ) 1 sT1 sTn K S K P (1 sTn ) X (s) FW ( s ) KS 1 sTn (1 sT1 ) sTn K S K P (1 sTn ) W ( s ) 1 FS ( s ) FR ( s ) 1 KP 1 sT1 sTn FW ( s ) K S K P (1 sTn ) K S K P (1 sTn ) 2 sTn s T1Tn K S K P sK S K P Tn s T1Tn s (Tn K S K P Tn ) K S K P 2 KS KP (1 sTn ) T1Tn 2 (1 sTn ) FW ( s ) 1 K s K P K s K P s 2 s 2 2 2 s s T1 T1Tn T1 Tn W ( s) 0 1 : Führungsgröße ist eine Sprungfunktion s 2 (1 sTn ) 2Tn 2 X ( s) 0 0 2 2 2 2 2 2 s( s s 2 ) s( s s 2 ) s s 2 125 Prof. Dr.-Ing. Cihat Karaali __________________________________________________________________________________ K S 2; T1 20s; K I 0.1s 1 ; Tn KP 25s; K P 2.5 KI 2 KS KP 2 * 2.5 0.01 0.1 T1Tn 20 * 25 2 1 K S K P 1 2 * 2.5 0.3 0.15 T1 20 0.01 0.25 X ( s) 0 2 2 s( s s0.3 0.01) s s0.3 0.01 s 2 s 0.3 0.01 0 0.3 (0.3) 2 4 *1 * 0.01 0.3 0.2236 s1, 2 2 *1 2 s1 0.2618 s 2 0.0382 0.01 0.25 X ( s) 0 s( s 0.2618)( s 0.0382) ( s 0.2618)( s 0.0382) 1 A B C s ( s 0.2618)( s 0.0382) s s 0.2618 s 0.0382 A( s 0.2618)( s 0.0382) Bs ( s 0.0382) Cs( s 0.2618) s ( s 0.2618)( s 0.0382) A( s 2 0.3s 0.01) Bs 2 Bs 0.0382 Cs 2 Cs0.2618 s ( s 0.2618)( s 0.0382) s 2 ( A B C ) s ( A0.3 B0.0382 C 0.2618) A0.01 s ( s 0.2618)( s 0.0382) 126 Prof. Dr.-Ing. Cihat Karaali __________________________________________________________________________________ A BC 0 0.3 A 0.0382 B 0.2618C 0 0.01A 1 A 100 100 B C 0 30 0.0382 B 0.2618C 0 B 100 C 30 0.0382(100 C ) 0.2818C 0 30 3.82 0.0382C 0.2818C 0 0.2236C 26.18 C 117.08 B 17.08 1 A B A( s 0.0382) B( s 0.2618) ( s 0.2618)( s 0.0382) s 0.2618 s 0.0382 ( s 0.2618)( s 0.0382) s( A B) 0.0382 A 0.2618B ( s 0.2618)( s 0.0382) A B 0 0.0382 A 0.2618B 1 A B 0.0382 B 0.2618B 1 0.2236 B 1 B 4.472 A 4.472 0.01 0.25 X ( s) 0 s( s 0.2618)( s 0.0382) ( s 0.2618)( s 0.0382) 17.08 117.08 4.472 100 4.472 0 0.01 0.25 s 0.2618 s 0.0382 s s 0.2618 s 0.0382 0.1708 1.1708 1.117 1.117 1 0 s s 0.2618 s 0.0382 s 0.2618 s 0.0382 0.9462 0.0538 1 0 s s 0.2618 s 0.0382 127 Prof. Dr.-Ing. Cihat Karaali __________________________________________________________________________________ Sprungantwort: x(t ) 0 1 0.9462e 0.2618*t 0.0538e 0.0382*t Step Response 1 0.9 0.8 0.7 Amplitude 0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0 0 5 10 15 Time (sec) Regelabweichung: lim x(t ) lim s X ( s) t s 0 0.9462 0.0538 1 lim s s 0 s s 0.2618 s 0.0382 1 x d (t ) w(t ) x(t ) x d (t ) 1 1 0 128 20 25