Leibnizschule Hannover

Leibnizschule Hannover
- Facharbeit –
Schuljahr: 2006 / 2007
Fach: Physik
Experimentelle Untersuchungen von Wasserraketen
von
Hendrik-Jörn Günther und Stefan Pielsticker
Betreuende Lehrkraft: Herr Gehrmann
Abgabetermin der Arbeit:
15.05.2007
Inhalt
1.
Einleitung .............................................................................................................. 2
2.
Prinzip der Rakete ................................................................................................. 2
2.1.
3.
Rückstoßprinzip ............................................................................................. 2
Versuchsaufbau..................................................................................................... 3
3.1.
Überblick ........................................................................................................ 3
3.2.
Bau der Raketenstartrampe .......................................................................... 3
3.3.
Bau der Rakete und Abschussvorrichtung..................................................... 4
3.3.1.
3.4.
4.
Verbesserungen der Rakete ................................................................... 5
Messutensilien ............................................................................................... 6
3.4.1.
Theodolit ................................................................................................ 6
3.4.2.
Peilgeräte................................................................................................ 7
Messverfahren ...................................................................................................... 7
4.1.
Vorüberlegungen............................................................................................... 7
4.2.
Das Messverfahren zur Weitenberechnung .................................................. 8
4.3.
Das Messverfahren zur Höhenberechnung ................................................... 9
4.4.
Alternative Auswertungsmethode mit Hilfe von
4.5.
Exemplarische Auswertung der Flugergebnisse .......................................... 11
GoogleEarth .......... 10
4.5.1.
Weitenberechnung............................................................................... 12
4.5.2.
Höhenberechnung ................................................................................ 13
5.
Windtheorie ........................................................................................................ 15
6.
Messungen .......................................................................................................... 16
6.1.
Auswertung der Messreihen ....................................................................... 17
6.1.1
Variable Füllhöhe.................................................................................. 17
6.1.2.
Variabler Druck ..................................................................................... 20
6.1.3
Variabler Winkel ................................................................................... 22
7
Ziel und Zusammenfassung ................................................................................ 26
8
Anhang ................................................................................................................ 27
1
1.
Einleitung
Das Ziel unserer Facharbeit sollte sein, eine Wasserdruckrakete zu konstruieren, die
eine stabile Flugbahn beschrieb, an der die Größen geflogene Distanz und maximal
erreichte Höhe gemessen werden konnten. Dabei war es wichtig, reproduzierbare
Messwerte zu erhalten, um diese Messwerte in vergleichen zu können und
gegebenenfalls zu bestätigen. Außerdem musste ein System entwickelt werden, mit
dem die Messgrößen möglichst exakt bestimmt werden konnten. Im zweiten Schritt
sollte dann die Veränderung der oben genannten Messgrößen in Abhängigkeit der
Parameter Füllmenge an Wasser in der Rakete, Druck und Abschusswinkel ermittelt
werden. Ein besonderes Augenmerk lag dann darauf, Idealwerte für unsere Rakete
zu ermitteln, mit denen die größten Weiten, bzw. Höhen erreicht werden konnten.
Letztendlich konnte noch in Erwägung gezogen werden, die Abhängigkeiten in einer
Formel zusammenzufügen, um so durch Einsetzen der Parameter die Flugdistanz zu
erhalten.
2.
Prinzip der Rakete
Wieso genügt eigentlich Luftdruck und Wasser um eine einfache Rakete derartig
weit und hoch fliegen zu lassen und wie funktioniert der Antrieb? Die Antwort auf
diese Frage ist aufgrund eines physikalischen Prinzips erklärbar: Das
Rückstoßprinzip.
2.1.
Rückstoßprinzip
Wie man anhand der im Anschluss dargestellten Versuche, die wir durchgeführt
haben, erkennt, konnte die Rakete auch ohne die Zugabe von Wasser fliegen.
Allerdings wurde unter Hinzugabe von Wasser die Reichweite (abhängig vom
Versuch) drastisch erhöht. Somit musste es einen Zusammenhang zwischen diesen
Parametern geben.
Das Rückstoßprinzip beruht auf einem der von Isaac Newton1 in seinem Werk
Philosophiae Naturalis Principia Mathematica2 veröffentlichten Axiomen3: dem „lex
1
Englischer Naturwissenschaftler und Philosoph (*25. Dezember 1642; † 20. März 1727)
Lat. Mathematische Prinzipien der Naturphilosophie, Isaac Newton, 5. Juli 1687
3
Newtonsche Bewegungsgesetze
2
2
tertia“, dem Reaktionsprinzip. In diesem heißt es, dass Kräfte immer paarweise
auftreten. Übt nun ein Körper A auf einen anderen Körper B eine Kraft aus, so wirkt
eine gleichgroße, aber entgegen gerichtete Kraft von Körper B auf Körper A. Oft
wird hierzu auch als actio = reactio referiert. Es findet demnach eine
Beschleunigung statt, wenn zwei Körper Kräfte aufeinander ausüben. Die Kraft, die
unsere Rakete zum Start verhilft ist die so genannte Rückstoßkraft 𝐹𝑅 .
𝐹𝑅 = 𝑚̇𝑙 ∗ 𝑣
Die Rückstoßkraft 𝐹𝑅 ist somit charakterisiert durch das Produkt der Durchsatzrate
𝑚̇𝑙 sowie der Geschwindigkeit 𝑣 des durch die Düse entweichenden Mediums. Das
Medium war bei unseren Versuchen immer Luft oder Wasser. Diese besitzen
unterschiedliche Ausstoßgeschwindigkeiten, die eine unterschiedliche
Beschleunigung auf einem unterschiedlichen Zeitabschnitt haben. Daher wird die
Rakete auch unterschiedlich stark beschleunigt, sodass eine Untersuchung dieser
Parameter sinnvoll ist.
3.
3.1.
Versuchsaufbau
Überblick
Für den Start der Rakete brauchten wir eine Rampe, die stabil genug war, um
mehrere Versuchsreihen durchführen zu können. Auf die Startrampe wurde die
Rakete gesetzt, die mit Hilfe eines Auslösemechanismus gestartet werden konnte.
Da wir das Flugverhalten bei drei verschiedenen Parametern untersuchen wollten,
musste die Startrampe gewährleisten, dass die Rakete in verschiedenen Winkeln
gestartet werden konnte.
3.2.
Bau der Raketenstartrampe
Die Raketenstartrampe musste, damit der Versuch variabel und wiederholbar war,
verschiedene Kriterien erfüllen: Sie musste stabil, möglichst transportabel und die
Abschussvorrichtung winkelverstellbar sein. Als Hauptbaumaterial haben wir Holz
verwendet.
Wie man aus der Zeichnung (Vergl. Abb. 1) entnehmen kann, haben wir zwei Uförmige Holzgestelle ineinander gesetzt, die man mit Hilfe von zwei verstellbaren
3
Stiften mit Flügelschrauben kippen
Gardena-Anschluss
konnte, um die winkelabhängige
Abschussrichtung zu gewährleisten. Um
Verstellbare Schraube
den Gestellen mehr Stabilität zu verleihen
haben wir die jeweiligen Elemente in Nut
Kippbare
Abschussvorrichtung
und Feder –Bauweise miteinander
verbunden. In die nach oben zeigende
Feste Schraube
Reißleine
Platte haben wir mit Hilfe eines
Nut-Feder-Bauweise
Bodenplatte
Gardena4-Schraub-Anschlusses®5 das
Gardena®-Ventil der Abschussvorrichtung
Abb. 1: Raketenstartrampe
montiert. Eine Luftpumpe am unteren Ende der
Abschussvorrichtung diente dazu, die Rakete mit Luft zu füllen.
3.3.
Bau der Rakete und Abschussvorrichtung
Ein Problem, dass sich bei der Befüllung der Rakete
ergab, war, dass die Abschussvorrichtung sowohl
Gardena-Anschluss
das Gewicht der Rakete bei einem
winkelabhängigen Abschuss tragen, sowie einem
enormen Druck standhalten musste. Dieses
Deckplatte
Problem konnten wir unter Verwendung eines
Schraubgewinde am
Gardena-Anschluss
Gardena®-Schlauchsystem-Anschlussstücks lösen,
da auch dies im Alltag starkem Wasserdruck
standhalten muss. Ein weiteres Problem war, dass
Verlängerte
Reißleine
Auto-Ventil
Abb. 2: Querschnitt Abschussvorrichtung
bei der Befüllung das Wasser aus der Rakete beim
Hineinpumpen der Luft nicht aus dem Ventil entweichen durfte. Dieses Problem
haben wir unter Verwendung eines Autoreifen-Ventils6, welches einen
Rückschlagmechanismus besaß, gelöst. (Vergl. Abb. 2) Das entsprechende
Gegenstück7, welches in das Gardena®-Anschlussstück passte, wurde auf
4
Firma, die sich auf die Entwicklung von Stecksystemen zur Wasserversorgung im Gartenbereich
spezialisiert hat
5 GARDENA Schlauchstück für 13 mm (1/2")-Schläuche , EAN:40785158
6
Ventil für Lastkraftwagen mit maximalem Druck von 10bar laut Hersteller Continental AG
7 Hahnstück aus dem GARDENA Schlauch-Regner-Anschlussset, EAN:4078500531603
4
die PET8-Mehrweg-Flasche, den eigentlichen Körper und Treibstofftank der Rakete
geschraubt. Zusätzlich wurden hier noch zwei Dichtungsringe9 im Gardena®-Stecker
positioniert, damit die Flasche auch dicht war, wenn der Stecker nur mit einer
geringen Anzahl von Umdrehungen aufgeschraubt wurde. Dies war nötig, da sonst
der Stecker einen Riss bekommen hätte. Nach ersten Testversuchen zeigte sich,
dass die Rakete keine stabile Flugphase hatte. Wir überlegten uns, dass wir die
Rakete durch den Anbau von Finnen verbessern konnten. Diese mussten die
Anforderungen erfüllen, eine innere Starre aufzuweisen, sodass sie die Rakete auch
sicher steuern konnten, jedoch soweit elastisch sein, dass sie bei Kollision mit dem
Erdboden nicht zerbrachen. Zudem mussten sie biegsam sein, sodass wir sie durch
eine Klemmvorrichtung an der Flasche befestigen konnten. Wir kamen schließlich zu
dem Schluss, Finnen aus dickerem Kunstsoff zu verwenden. Als Klemmvorrichtung
diente eine weitere Flasche, von der Boden und Deckel entfernt wurden.
Anschließend wurde sie längs an 4 Stellen eingeschnitten
und über die eigentliche Druckflasche geschoben. In die
Softball
Längsschlitze konnten nun die Finnen geschoben werden.
Um die Flasche beim Aufprall zu dämpfen, haben wir einen
Duct-Tape
Tennisball auf dem Boden der Flasche montiert. Diese
Softball
Befestigungen wurden mit Duct-Tape10 durchgeführt.
3.3.1. Verbesserungen der Rakete
Unsere oben beschriebene Rakete war zwar flugfähig, hatte
Raketenflugkörper
jedoch den Nachteil, dass die Startphase sehr unruhig war,
aus
die Finnen es also nicht schafften, die Rakete während des
PET-Mehrwegflasche
Wasseraustritts in einer stabilen Flugbahn zu halten. Bei der
späteren Gleitphase hingegen ließ sich ein turbulenzloser
Flug beobachten. Da die Beschleunigung der Rakete am
hinteren Ende ansetzte, war dieser Teil der Rakete während
Finne
der Startphase besonders großen Turbulenzen ausgesetzt
Finne
Gardena-Hahnstück
Abb. 3: Querschnitt der Rakete
8
Polyethylenterephthalat, thermoplastischer Kunststoff der zur Getränkeflaschenherstellung
verwendet wird
9 Aus GARDENA SB-Dichtungs-Satz, EAN:4078500112406
10
Wasserfestes Gewebeklebeband vom amerikanischen Militär entwickelt
5
und besaß somit sehr unruhige Flugeigenschaften. Um diese zu umgehen haben wir
die Finnen nach hinten versetzt. Dabei mussten wir wegen einer geringeren
Befestigungsfläche jedoch auf eine Finne verzichten. Dies hatte jedoch keine
negativen Auswirkungen auf das Flugverhalten unserer Rakete zumal diese
nochmals leichter wurde. Außerdem führten wir eine Verbesserung am
Dämpfungssystem durch. Da wir festgestellt hatten, dass der Tennisball die
Aufprallenergie nicht gut genug kompensieren, bzw. auf die Flasche verteilen
konnte, wurde er durch zwei Softbälle11 ersetzt, die sehr viel weicher waren und
somit mehr Energie beim Aufprall aufnehmen konnten. Der Gardena®-Stecker
wurde zudem noch mit Teflonband12 umwickelt, um eine verbesserte Dichtung zu
erhalten.
3.4.
Messutensilien
Zur Erfassung der Höhe benötigten wir drei zusätzliche Utensilien: Einen
Theodoliten und zwei „Peilgeräte“.
3.4.1. Theodolit
Zum Messen des Winkels zwischen dem höchsten Punkt und
dem Boden an einem festen Punkt, benötigten wir ein
Schulgeodreieck
Winkelmessgerät. Wir haben dafür einen Theodolit nachgebaut.
Ein großes Aristo13® Schulgeodreieck haben wir auf einem Stativ
befestigt. In der Mitte des Geodreiecks an der Stelle Null haben
Lot
wir einen Bindfaden angebracht, an dessen Ende noch ein
Stativ
Gewicht gebunden wurde, sodass man ein Lot erhielt. Während
des Fluges peilte man über die Kante des Geodreiecks die
Abb. 4: Schemazeichnung Theodolit
Abb. 3: Theodolit
Flugbahn der Rakete nach. Am höchsten Punkt wurde die Peilung gestoppt und man
konnte den Winkel messen, der dann noch von 90° abgezogen werden musste.14
11
Weiche Schaumstoffbälle mit 7cm Durchmesser
Sehr dünnes Kunststoffklebeband zum Abdichten
13
Hersteller von geometrischen Geräte, auch für den Schulbedarf in besonderen Größen, Länge 1m
14
Vergl. Messverfahren zur Höhenberechnung
12
6
3.4.2. Peilgeräte
Für die letztendliche Auswertung benötigten wir zusätzlich noch zwei virtuelle
Geraden, dessen Schnittpunkt den höchsten Punkt der Rakete auf der Flugbahn
darstellte. Diese beiden Geraden konnte man ebenfalls nur durch Peilen erhalten,
weshalb wir zwei Peilgeräte gebaut haben. Im Prinzip bestand jedes aus einem
Foto-Stativ auf dem ein 1-Meter langer Holzstab mit Hilfe von Kabelbindern
befestigt wurde. Als weitere Erleichterung der Zielerfassung diente eine
aufgeschnittene Fotofilmdose mit an einem Ende sich kreuzenden Nähfäden, sodass
wir ein Fadenkreuz erhielten. Nach jedem Flug wurde der Holzstab in die
horizontale Lage gebracht, damit wir die Person, die die Messwerte aufnahm in die
Peilrichtung dirigieren konnten.
4. Messverfahren
4.1. Vorüberlegungen
Da wir uns nun über die zu messenden Parameter im Klaren waren, mussten wir ein
Verfahren entwickeln, um die unterschiedlichen Auswirkungen der Parameter auf
Höhe und Weite bestimmen zu können. Dies gestaltete sich schwieriger als zunächst
angenommen. Ursprünglich wollten wir auch noch die Geschwindigkeit messen. Da
sich diese allerdings während des Fluges änderte, verwarfen wir diesen Gedanken
wieder, zumal man dafür eine komplizierte Messapparatur benötigt hätte, die uns
nicht zur Verfügung stand. Zunächst wollten wir dann die Distanz mit Hilfe eines
Metermaßes aufnehmen. Da wir aber die aerodynamischen Eigenschaften der
Rakete insofern verbessert hatten, dass diese nun sehr viel weiter flog, wäre die
Messung pro Flug sehr viel zeitaufwendiger als geplant gewesen. Auch für die
Höhenmessung ergaben sich einige Probleme. Diese wollten wir mit Hilfe eines
Theodoliten vornehmen. Das Problem, dass sich nach ersten Testflügen stellte, war,
dass aufgrund von leichten Winden und aerodynamischen Eigenschaften der
Rakete, diese nicht eine ideale Flugbahn verfolgte, also nicht in einer Linie mit der
Abschussbasis flog, sondern immer von der idealen Bahn abkam. Dass die Rakete
aber eben eine ideale Flugbahn verfolgt hätte, wäre für die Höhenmessung mit
einem Theodoliten notwendig gewesen, da man davon ausgehen musste, dass sich
der höchste Punkt auf einer Linie mit dem Theodoliten befunden hätte um die
7
spätere Rechnung durchzuführen zu können. Zudem mussten wir berücksichtigen,
dass die Rakete keine parabelförmige Flugbahn verfolgte und sich somit der höchste
Punkt auch nicht auf der Mitte zwischen Abschuss und Landung befand.
Wir kamen zu dem Schluss, dass man mit Hilfe von statischen Koordinaten beide
Messungen drastisch vereinfachen konnte. Die einzigen, uns leicht zugänglichen
Koordinaten waren die so genannten GPS15– Koordinaten, wie sie auch bei der
modernen Autonavigation verwendet werden. Mit Hilfe einer so genannten GPSMouse16, die wir über die virtuell-serielle Bluetooth17 ® - Schnittstelle mit einem
PDA18 verbunden haben, konnten wir auf diese GPS-Koordinaten zugreifen. Es sei zu
beachten, dass wir eine 32-Kanal-GPS-Mouse benutzen, die SPS19 kategorisiert war
und somit eine Genauigkeit von ca. 5m erbrachte. Normalerweise hat GPS eine sehr
viel höhere Genauigkeit, aber das amerikanische Militär berechnet eine künstliche
Ungenauigkeit für private Nutzung mit ein. Die anschließend erhaltenen Messwerte
konnten wir dann in GoogleEarth20® eingeben und somit die ersten Messungen
kontrollieren und auswerten.
4.2.
Das Messverfahren zur Weitenberechnung
Um nun die geflogene Flugdistanz zu erhalten, brauchten wir die Koordinaten der
Abschussbasis, die wir vor den Flugversuchen bestimmten. Nach jedem Flug
mussten wir dann nur noch die Koordinate des Auftreffpunktes bestimmen. Die
letztendliche Weitenberechnung erfolgte später über den PC mit Hilfe einer von uns
entwickelten Microsoft Excel21® - Tabelle. Dabei sei anzumerken, dass die
Längenberechnung über Vektorrechnung erfolgen konnte22.
15
Global Positioning System, satellitengestütztes Navigationssystem zur punktgenauen
Ortbestimmung entwickelt vom US-Militär
16
Empfangsgerät von GPS-Daten
17
Kabellose Verbindungsart für Sekundärgeräte an (portablen) Endgeräten,
18
Personal Digital Assistant, Taschencomputer auf Windows-Basis mit Anschlussmöglichkeiten für
Sekundärgeräte
19
Standard Positioning System, Dienstklasse des GPS die für alle Privatanwender frei verfügbar ist,
jedoch geringe Ungenauigkeiten enthält
20
Von Google kostenlos zur Verfügung gestellte Software zur Satellitenbildbetrachtung mit
Verarbeitung von GPS-Daten
21
Programm zur Tabellenkalkulation
22
Vergl. Exemplarische Auswertung
8
4.3.
Das Messverfahren zur Höhenberechnung
Mit Hilfe der GPS-Koordinaten und eines
Auftreffpunkt
Theodolits, an dem man den höchsten Winkel maß,
konnten wir letztendlich auch die Höhe berechnen.
Als Problem blieb allerdings immer noch bestehen,
dass wir immer noch nicht den höchsten Punkt auf
der Flugbahn der Rakete bestimmen konnten, da
die GPS-Mouse ja nicht auf der Rakete angebracht
war. Allerdings konnten wir dieses Problem mit
Hilfe von zwei
Peilgeräten23
Höchster
Punkt h
lösen. Wie man aus
der Zeichnung (Vergl. Abb. 5) entnehmen kann,
haben wir diese in einem möglichst großen Abstand
zueinander aufgestellt. Während des Fluges wurde
Peilgerade M1:
Peilpunkt:
dann die Flugbahn nachgepeilt und am höchsten
Peilgerade M2:
Abschussbasis:
Punkt der Peiler gestoppt. Nach dem Flug konnten
Abb. 5: Virtuelle Peilgeraden mit höchstem Punkt
wir dann die Person, die die Messwerte aufnahm in
diese Peilrichtung dirigieren, um die
„Peilkoordinaten“24 aufzunehmen. Mit Hilfe dieser
Koordinaten konnten wir dann später für die
Höchster Punkt
auf der Flugbahn
Auswertung virtuelle Geraden generieren, an dessen
Schnittpunkt sich der höchste Punkt der
Raketenflugbahn ergab. Zusätzlich wurde an einem der
𝛽
Peilpunkte mit Hilfe des Theodoliten der Winkel 𝛽 zum
a
höchsten Flugpunkt der Rakete gemessen. Wie aus der
Zeichnung (Vergl. Abb. 6) zu entnehmen ist, konnte
man mit Hilfe des Tangens die Höhe berechnen. Dabei
ist 𝛽 der von dem Theodoliten gepeilte Winkel und a
die Strecke von dem Theodoliten zum Schnittpunkt
Theodolit:
Höchster Punkt h:
Abb. 6: Höhenermittlung mit Hilfe des Tangens
der beidem Peilgeraden M1 und M2, den wir zuvor
23
24
Vergl. Weitere Messutensilien, Peilgeräte
Punkte, die durch Dirigieren von Personen in der Peilrichtung ermittelt wurden
9
aus den Geraden, die mit Hilfe der GPS-Koordinaten entstanden waren, errechnet
hatten. Somit galt:
tan(𝛽) =
ℎ
𝑎
Durch Umstellung erhielt man:
ℎ = tan(𝛽) ∗ 𝑎
Somit konnten wir auf die Höhe schließen.
4.4.
Alternative Auswertungsmethode mit Hilfe von
GoogleEarth
Um unsere ersten Messwerte schnell und vor allem visuell zu verdeutlichen, haben
wir GoogleEarth® verwendet. Dieses ist ein PC-Programm, welches von Google©
kostenlos zur Verfügung gestellt wird und zur dreidimensionalen Betrachtung von
verknüpften Satellitenbilden dient. Ein praktisches Feature war die Eingabe von so
genannten „Ortsmarken“. Die GPS-Daten für den zu untersuchenden Flug haben wir
zunächst eingetippt, mit Hilfe des Lineal-Tools die entsprechenden Distanzen
bestimmt und die oben beschriebenen Vorgänge durchgeführt. Dies sah dann so
aus:
Peilgerade M2
Peilgerade M1
Abb. 7: Peilgeraden in GoogleEarth
10
Wie man aus dem Foto (Vergl. Abb. 7) entnehmen kann, betrug die Distanz, die die
Rakete zurückgelegt hatte 48,41 Meter. Der Schnittpunkt der beiden Peilgeraden
ergab den höchsten Punkt auf der Flugbahn. Mit Hilfe der Distanz von diesem Punkt
zu m Theodoliten (hier bei M2) konnte man mit obiger Rechnung die Höhe
berechnen. Auf dem Bild (Vergl. Abb. 7) konnte man bereits feststellen, dass sich
der höchste Punkt nicht auf der direkten Strecke zwischen Abschuss und
Auftreffpunkt befand. Die Rakete musste durch äußere Einflüsse, beispielsweise
Wind und durch ihre aerodynamischen Eigenschaften abgelenkt worden sein25.
4.5.
Exemplarische Auswertung der Flugergebnisse
Im Folgenden wird die rechnerische Vorgehensweise exemplarisch vorgeführt. Dies
kann dann auf alle anderen Messwerte übertragen werden.
In diesem Versuch wurde die Rakete mit 0ml Wasser, 10bar Druck und einem
Winkel von 45° abgeschossen.
Gemessen wurden die GPS-Koordinaten für :
Abschusspunkt
52,43456 Nord
9,78005 Ost
Landepunkt
52,43495 Nord
9,77972 Ost
Peilstation 1
52,43452 Nord
9,77956 Ost
Peilstation 2
52,43522 Nord
9,77911 Ost
Angepeilter Punkt 1
52,43489 Nord
9,78002 Ost
Angepeilter Punkt 2
52,43478 Nord
9,78004 Ost
An der Peilstation 2 wurde ein Peilwinkel von 14°gemessen.
25
Vergl. Windtheorie
11
4.5.1. Weitenberechnung
Zunächst sollte die Flugdistanz der Rakete ermittelt werden. Dazu wurde die Länge
des Vektors berechnet, der zwischen Start und Landepunkt lag. In unserem Fall galt
für den Vektor:
−0,00039
52,43456 − 52,43495
)= (
)
0,00033
9,78005 − 9,77972
(
Diese Vektorsubtraktion war möglich, da jeweils der Vektor zwischen dem
Schnittpunkt Greenwich-Äquator und unserem gemessen Punkt gebildet wurde. Der
ermittelte Vektor gab jedoch noch keine Auskunft über die Differenz in nördlicher,
bzw. östlicher Richtung. Um dies zu erreichen, musste der Vektor mit der jeweiligen
Grad-Weg-Konstante26 multipliziert werden. Da 1° Differenz in östlicher Richtung an
unserem Messort ca. 68000m entsprach, wo hingegen 1°Differenz in nördlicher
Richtung 110000m entsprach, musste man die Gradvektoren27 eben genau mit
diesen unterschiedlichen Konstanten multiplizieren um den Längenvektor28 zu
erhalten.
−0,00039 ∗ 110000
42,90
(
)= (
)
0,00033 ∗ 68000
22,44
Um die tatsächliche Flugdistanz zu bestimmen, musste man nun noch die Länge des
modifizierten29 Vektors ermitteln.
√22,442 + 42,902 =48,41450
Die geflogene Distanz betrug somit 48,41m. Dieser Wert entsprach dem mit Hilfe
von GoogleEarth® bestimmten Wert30.
26
Konstante, die das Verhältnis zwischen Metern und Gradmaß darstellt
Vektoren, die die Graddifferenz beschreiben
28
Vektoren die die Differenz in Metern beschreiben
29
Vergl. Längenvektor
30
Vergl. Auswertung mit GoogleEarth®
27
12
4.5.2. Höhenberechnung
Um nun die maximale Flughöhe zu ermitteln, mussten zunächst zwei Geraden in
einem virtuellen Koordinatensystem konstruiert werden. Diese gingen jeweils durch
den Punkt der jeweiligen Messstation und den Punkt der von dort aus angepeilt
wurde.
Für die Peilstation 1 gingen wir wie folgt vor. Zunächst bestimmte man die Steigung
über den Differenzenquotienten:
𝑚=
∆𝑦
∆𝑂𝑠𝑡
𝐴𝑛𝑔𝑒𝑏𝑒𝑖𝑙𝑡𝑒𝑟 𝑃𝑢𝑛𝑘𝑡 𝑂𝑠𝑡 − 𝑆𝑡𝑎𝑡𝑖𝑜𝑛 𝑂𝑠𝑡
=
=
∆𝑥 ∆𝑁𝑜𝑟𝑑 𝐴𝑛𝑔𝑒𝑝𝑒𝑖𝑙𝑡𝑒𝑟 𝑃𝑢𝑛𝑘𝑡 𝑁𝑜𝑟𝑑 − 𝑆𝑡𝑎𝑡𝑖𝑜𝑛 𝑁𝑜𝑟𝑑
=
9,78002 − 9,77956
= 0,80434783
52,43489 − 52,43452
Nun ermittelte man den y-Achsen-Abschnitt. Dazu griff man auf die oben ermittelte
Steigung zurück. Jedoch baute man die Gleichung so um, dass einer der Punkte den
y-Achsen-Abschnitt darstellte.
𝑚=
𝑦1 − 𝑦0
∆𝑥
In unserm Fall stellte das ∆𝑥 die östliche Abweichung zu Greenwich und 𝑦1 die NordKoordinate der Peilstation 1 dar. Nun formte man nach 𝑦0 , unserem y-AchsenAbschnitt um und erhielt:
𝑦0 = 𝑦1 − 𝑚 ∗ ∆𝑥
Mit den eingesetzten Werten erhielt man:
𝑦0 = 52,43452 − 0,80434783 ∗ 9,77956 = 44,5683522
Somit galt als Geradengleichung für die erste Peilgerade
𝑦𝑃𝑒𝑖𝑙 1 = 0,80434783 x + 44,5683522
Analog zur ersten Peilgerade wurde nun auch die Gleichung für die zweite
Peilgerade bestimmt. Man erhielt hier die Funktion
𝑦𝑃𝑒𝑖𝑙 2 = −0,47311828 𝑥 + 57,0618957
13
Um nun die Koordinaten für den höchsten Punkt der Rakete zu bestimmen, musste
der Schnittpunkt der beiden Peilgeraden ermittelt werden. Dazu wurden die beiden
Geraden gleichgesetzt und dann nach x aufgelöst.
𝑦𝑃𝑒𝑖𝑙 1 = 𝑦𝑃𝑒𝑖𝑙 2
0,80434783 x + 44,5683522 = −0,47311828 𝑥 + 57,0618957
𝑥𝑆𝑐ℎ𝑛𝑖𝑡𝑡𝑝𝑢𝑛𝑘𝑡 = 9,7799413
Diese x-Koordinate entsprach wiederum der östlichen Länge. Um nun noch die
nördliche Breite zu ermitteln, setzte man einfach den x-Wert in eine der
Gleichungen ein.
𝑦𝑆𝑐ℎ𝑛𝑖𝑡𝑡𝑝𝑛𝑘𝑡 = 0,80434783 ∗ 9,7799413 + 44,5683522
𝑦𝑆𝑐ℎ𝑛𝑖𝑡𝑡𝑝𝑢𝑛𝑘𝑡 = 52,4348267
Somit galten als Koordinaten für den höchsten Punkt: (9,7799413|52,4348267).
Da wir den Winkel für die Höhenmessung von der Peilstation M2 aus gemessen
hatten und in unserem rechtwinkligen Dreieck die Entfernung zwischen dem
Schnittpunkt und der Peilstation M2 als Ankathete dienen sollte, musste wiederum
die Länge zwischen dem Schnittpunkt der Peilgeraden und der Peilstation M2
ermittelt werden. Dabei konnten wir das gleiche Verfahren anwenden, wie es
bereits bei der Weitenberechnung genutzt wurde31.
Mit Berücksichtigung auf die Grad-Weg-Konstante ergab sich eine Entfernung von
𝑑 = 71,184042m vom Schnittpunkt zum Theodoliten. Dies war die Länge der
Ankathete in unserem rechtwinkligen Dreieck, in dem nun wiederum die
Gegenkathete die Höhe beschrieb.
ℎ = tan( 𝑃𝑒𝑖𝑙𝑤𝑖𝑛𝑘𝑒𝑙) ∗ 𝑑
ℎ = tan(14°) ∗ 71,184042𝑚
31
Vergl. Weitenberechnung
14
ℎ = 17,748175m
Somit flog die Rakete 17,75m hoch.
5. Windtheorie
Nachdem wir unsere messdatentechnische Auswertung abgeschlossen hatten, fiel
uns bei Betrachtungen mit GoogleEarth® auf, dass sich der Schnittpunkt unserer
Peilgeraden, also der höchste Punkt nicht auf der direkten Flugbahn zwischen
Abschuss- und Landepunkt befand. Bei fortführenden Überlegungen schlossen wir
einen Messfehler aus, da dieses Phänomen bei fast allen Messungen auftrat. Die
logische Konsequenz lautete somit, dass die Rakete auch wirklich an diesem Punkt
ihre maximale Höhe erreicht hatte. Von dort aus ging die Flugbahn dann mit einem
Dreh Richtung Westen weiter. Es war also anzunehmen, dass die Rakete einen
Bogen mit Drehrichtung west geflogen war. Dies wäre nur dann möglich gewesen,
wenn an diesem Tag der Wind von Osten gekommen wäre. Meteorologische
Aufzeichnungen, bzw. Vorhersagen für diesen Tag bestätigten diese Annahme32. Sie
wiesen sogar einen Wind aus nordöstlicher Richtung auf, was in unserem Versuch
zusätzlich dazu geführt hat, dass unsere Rakete gebremst wurde und somit nicht
ganz die Weiten aus vorherigen Testflügen erreichen konnte. In unserer Excel®Tabelle haben wir für unsere Annahme eine zusätzliche Auswertungsmöglichkeit
eingeführt. Dazu wurde die Geradengleichung zwischen der Abschussrampe und
dem Landepunkt bestimmt33. Somit besaßen wir zwei Koordinatenpaare mit
gleicher Ost, jedoch unterschiedlicher Nord-Koordinate. Eine dieser NordKoordinaten ergab sich aus dem Versuch, da diese direkt mit Hilfe des Theodoliten
bestimmt wurde, die andere Koordinate war der Schnittpunkt der Geraden von der
Abschussbasis zum Auftreffpunkt mit dem entsprechenden Längengrad, also der
festen Ost-Koordinate.
Im Folgenden konnte nun die Nord-Koordinate der annehmbaren direkten Flugbahn
mit der Nord-Koordinate unseres, durch den Theodoliten ermittelten, Versuches auf
östlicher Länge des Schnittpunktes verglichen werden. War der Wert in unserem
32
33
Vergl. Aufzeichnung der Tagesschau vom 30.3.2007 und 31.3.2007
Vergl. Weitenberechnung
15
Versuch größer als der Wert für die „ideale“34 Flugbahn, so galt dieser Flug als
Bestätigung unserer Windtheorie.
Die Grafik (Vergl. Error! Reference source not found.) zeigt den tatsächlich
annehmbaren Flug
Abb. 8: Tatsächliche Flugbahn mit GoogleEarth
6. Messungen
Um die Abhängigkeiten unserer Parameter zu untersuchen, haben wir uns
entschieden, drei Versuchsreihen durchzuführen. In jeder Versuchsreihe wurden
jeweils zwei Parameter konstant gehalten. Der dritte Parameter war variabel. Als
konstante Werte verwendeten wir die für unseren Versuch optimalen Werte. Für
unsere Konstruktion galt, dass 10bar das Maximum an Druck war, was wir mit
unserer Luftpumpe in die Rakete pumpen konnten. Als optimalen Winkel setzten
wir 45° voraus, da dieser den Mittelwert zwischen 90° und 0° darstellt. So konnten
wir zunächst das Verhalten für unterschiedliche Füllmengen untersuchen und mit
dem ermittelten Idealwert von 600ml die Versuche für Druck und Winkel
durchführen. Beim Winkel stellte sich heraus, dass bei unserer Rakete das
34
Direkter Weg zwischen Abschusspunkt und Landung
16
Winkeloptimum aufgrund von aerodynamischen Eigenschaften, insbesondere dem
Gleitverhalten bei nur ca. 30° lag. Bei der Versuchsreihe zur Veränderung der
Anstellwinkel sind wir mit einer Füllmenge von 800ml geflogen, da die Raketendüse
bei sehr geringen Gradzahlen sonst nicht mit Wasser bedeckt gewesen wäre, was
dazu geführt hätte, dass nur die Luft, nicht aber das Wasser entwichen wäre. Für
jeden veränderten Parameter wurden zwei Versuche durchgeführt, um
Abweichungen besser bestimmen zu können und somit die Genauigkeit zu erhöhen.
6.1.
Auswertung der Messreihen
Zunächst werden die mit Excel® erzeugten Diagramme unserer Messwerte gezeigt
und dann die ermittelten Abhängigkeiten näher erläutert. Es ist zu erwähnen, dass
die Mittelwerte in den Diagrammen nicht immer den Mittelwert der beiden
Versuchsreihen darstellen. Dies liegt daran, dass in manchen Fällen bei besonders
großen, ersichtlichen Abweichungen zusätzliche Messungen durchgeführt wurden,
die dann zusätzlich in den Mittelwert mit einflossen, ohne dass die Werte dazu in
einer der Versuchsreihen auftauchen.
6.1.1 Variable Füllhöhe
Im Versuch mit variabler Füllmenge zeigte sich, dass es eine optimale Füllmenge
gab, bei der die Rakete die größte Weite erzielen konnte. Im Diagramm ließ sich die
Menge am Maximum der gemessenen Werte ablesen. Wenn man nun einen
17
Graphen durch die Punkte legen möchte, so bot sich eine quadratische Funktion an,
die jedoch nach unseren Kenntnissen nicht linearisiert werden konnte, da der
Scheitelpunkt sich nicht auf der y-Achse befand und zudem die Parabel nach unten
geöffnet war. Diese Betrachtungsweise wäre zudem nur in unserem gemessenen
Intervall zulässig gewesen, da bei steigender Wassermenge und konstantem Druck
gleichzeitig die Menge an Luft deutlich geringer wurde, sodass die Rakete nicht
mehr hätte starten können. Die Weite in Abhängigkeit von der Füllhöhe konnte
somit nicht durch eine leicht ersichtliche Funktion dargestellt werden, jedoch in
unserem Messintervall durch eine quadratische Funktion angenähert werden,
sodass sich ein Maximum für die Funktion bestimmen ließ , welches dann im
Folgenden als Füllmenge für die nächsten Versuchsreihen verwendet werden
konnte. Die parabelähnliche Form war dadurch zu erklären, dass bei einer geringen
Menge an Wasser die Rakete zwar heftig, aber nur sehr kurzzeitig beschleunigt
wurde und somit auch nicht sehr große Geschwindigkeiten bzw. Weiten erreichte.
Bei zu großer Wassermenge hat zwar eine längere Beschleunigung stattgefunden,
die jedoch aufgrund der deutlich höheren Masse geringer ausgefallen ist und sich
somit negativ35 auf die Geschwindigkeit auswirkte.
35
Hier im Bezug auf die maximal am Start zu erreichende Geschwindigkeit betrachtet, die beim
Optimum an verwendetem Wasser liegt.
18
Bei der Abhängigkeit der Höhe vom Parameter Füllhöhe konnte man ähnliche
Beziehungen aufstellen wie bei der Abhängigkeit zur Weite. Auch hier zeigte sich,
dass es einen Optimalwert gab, der in diesem Fall bei 800ml liegt. Betrachtete man
nun die Mittelwerte von 600ml und 800ml, so ergab sich nur eine sehr geringe
Differenz, die es auch erklärbar machte, warum in den nächsten Versuchsreihen
zunächst mit 600ml gearbeitet wurde.
Aus der Verbindung von Höhe und Weite aus der Versuchsreihe mit variabler
Füllmenge wurde deutlich, dass die größten Weiten auch mit den größten Höhen
zusammenfielen. Dies lag daran, dass vor allem der Parameter Winkel, der das
Verhältnis zwischen Höhe und Weite bestimmt, konstant auf 45° gehalten wurde.
Damit wurde die Beschleunigung, die durch den Ausstoß des Wassers erreicht
wurde, zu gleichen Teilen in Höhenbeschleunigung36, als auch
Weitenbeschleunigung37 umgesetzt. Daraus konnte man nun entnehmen, dass,
wenn die optimale Beschleunigung getroffen wurde, auch eine optimale Höhenbzw. Weitenbeschleunigung erzielt wurde, was zu den gemeinsamen Maxima
führte. Dass die erreichte Höhe geringer war als die erzielte Weite, lag daran, dass
der Höhenbeschleunigung die Gravitationskraft der Erde entgegenwirkte, die
Weitenbeschleunigung jedoch nur durch den Luftwiederstand gebremst wurde.
36
37
Geradlinige Beschleunigung in der Vertikalen
Geradlinige Beschleunigung in der Horizontalen
19
6.1.2. Variabler Druck
Das obige Diagramm stellt die Beziehung zwischen dem variablen Druck und der
daraus resultierenden Weite dar. Zunächst sei noch erwähnt, dass für diese
Versuchsreihe die Füllhöhe konstant mit 600ml und der Winkel konstant mit 45°
gehalten wurde. Anhand der Diagrammpunkte ließ sich erkennen, dass erst ab
einem Druck von 4bar die Rakete eine annehmbare Höhe erhielt. Dieses resultierte
aus dem Eigengewicht der Rakete, da 2bar nicht ausreichten, eine mit Wasser
geladene Rakete aus der Startrampe zu schießen und auf nenneswerte Höhe zu
beschleunigen. Allerdings ließ sich feststellen, dass die zu erreichende Höhe
oberhalb von 4bar linear anstieg. Somit galt, dass der Druck proportional zur
resultierenden Höhe war. In den Randbereichen unserer Messungen ergaben sich
aufgrund der Bauart unserer Rakete Abweichungen von der Proportionalität.
20
Auch für die gemessene Weite in Abhängigkeit zum Druck in der Rakete ließ sich
eine Abhängigkeit feststellen: Je mehr Druck bei gleicher Füllhöhe und gleichem
Winkel in der Rakete herrschte, desto weiter flog die Rakete.
Bei beiden vorherigen Diagrammen sei noch anzumerken, dass man auch bei 10bar
eine Unstimmigkeit zu dem zu erwartenden linearen Anstieg der Höhe respektive
Weite erhielt. Dies beruhte darauf, dass während der Startphase die Rakete nur
schneller beschleunigte und somit eine höhere Wasserausstoßrate erreicht wurde.
Dies hatte allerdings zur Folge, dass die Rakete zwar schneller war, da sie eine
größere Beschleunigung erhielt, aber auch das Wasser in der Rakete sich durch
diese größere Beschleunigung verringert hatte. Daraus resultierte, dass die Rakete
weniger „Kraftstoff“, also Wasser, für die normale Flugphase besaß und nur
aufgrund der höheren Geschwindigkeit etwas weiter flog, als es bei 8bar der Fall
war.
21
Im direkten Vergleich der beiden aufgenommenen Messwerte zueinander stellten
wir eine Proportionalität zwischen Weite und Höhe bei konstanter Füllhöhe,
konstanten Winkel und variablen Druck fest.
Für den Parameter Druck ließ sich konkludierend feststellen, dass je höher der
Druck war, bei konstanter Füllhöhe und konstantem Winkel, desto weiter und höher
flog die Rakete.
6.1.3
Variabler Winkel
22
War nun der Parameter Winkel veränderlich und die Parameter Füllhöhe und Druck
mit 800ml, respektive 10bar konstant, so stellte man auch hier eine lineare
Abhängigkeit des Parameters Winkels und der daraus resultierenden Höhe fest. Es
sei noch anzumerken, dass wir in dieser Versuchsreihe statt der früheren 600ml
Waser nun 800ml als Füllmenge verwendeten. Dies lag daran, dass sich bei ersten
Testversuchen mit sehr geringen Winkeln das Problem ergeben hatte, dass die Düse
der Rakete nicht mit Wasser abgedeckt war, was wiederum dazu führte, dass die
Luft zu schnell entwich. Dass diese Veränderung unsere Messwerte nicht groß
beeinflusste, zeigte sich bereits in dem Füllhöhendiagramm, in dem sich nur eine
sehr geringe Differenz der Messgrößen ersehen ließ. Aus der Grafik ließ sich nun
erschließen, dass eine Proportionalität vorlag: Je größer der Winkel, desto größer
die zu erreichende Höhe. Interessant war vielmehr, dass die erreichte Höhe bei 90°
fast gleich der erreichten Höhe bei 75° war. Dieses war allerdings nicht auf einen
Messfehler zurückzuführen, da wir diesen Versuch mehrmals durchgeführt hatten.
Ein möglicher Grund könnte allerdings gewesen sein, dass die Rakete nie senkrecht
aus der Startrampe schoss, sondern immer in einem leichten Winkel. Dieses war auf
das Gardena®-Kupplungsstück zurückzuführen, da dieses nicht zeitgleich überall
auslöste und somit die Rakete eine leichte Schräglage erhielt. Bei genau 75° entfiel
diese Schräglage, da der Winkel den Konstruktionsfehler am Gardena®Kupplungsstück ausglich.
Es sei anzumerken, dass in dem obigen Diagramm die Versuchsreihe 1 mehr
Messwerte besitzt als Versuchsreihe 2. So hat Versuchsreihe 1 zwei Werte bei 15°
und 20°, die in Versuchsreihe 2 nicht vorzufinden sind. Der Grund dafür war eher
auf das Material zurückzuführen, da bei diesen Abschusswinkeln die Rakete immer
sehr schnell mit relativ hoher Geschwindigkeit auf den Boden aufkam und dabei
mehrere Finnen abgerissen wurden. Allerdings ließ sich aus dem Verlauf der
anderen Messwerte erkennen, dass auch eine Zweitmessung ähnliche Ergebnisse
gebracht hätte.
23
In Analogie zur vorherigen Begründung gab es auch hier nur 2 Messwerte für 15°
und 25°. Vielmehr blieb festzustellen, dass hier in Teilen eine Antiproportionalität
vorlag: Je größer der Winkel, desto geringer die geflogene Weite. Die Begründung
dafür war allzu trivial. Wenn die Rakete senkrecht zum Erdboden startete, dann
hatte sie keine andere Möglichkeit als gerade in den Himmel zu schießen, insofern
keine äußeren Einflüsse wie Windböen auf die Flugbahn Einfluss nahmen. War der
Winkel allerdings zu gering, so war festzustellen, dass die Finnen der Rakete nicht
genügend Auftrieb erfahren, sodass diese durch ihr hohes Startgewicht nach
einigen Metern auf den Boden aufschlug und sich womöglich auch noch
beschädigte. Wie aus den obigen Messwerten zu entnehmen war, befand sich der
ideale Abschusswinkel bei 30°. Da wir diesen aber erst später ermittelt haben,
wurden die vorherigen Messreihen mit einem Abschusswinkel von 45°
durchgeführt.
24
In direkter Korrelation von Weite und Höhe bei veränderbarem Winkel, konstanter
Füllhöhe und konstantem Druck ließ sich zunächst keine definitive Aussage machen.
Dies beruhte darauf, dass sowohl eine Proportionalität im Falle der Höhenmessung,
wie auch eine Antiproportionalität im Falle der Weitenmessung, vorlagen.
Allerdings zeigte dieses Diagramm, dass die Rakete im Prinzip zwei unterschiedliche
Flugbahnen verfolgen konnte und trotzdem die selbe Strecke im Flug zurücklegen
konnte: Beispielsweise konnte die Rakete 65m entweder zurücklegen, indem sie
sehr tief flog und nur eine Amplitude von 11m erreichte, was wohl auf einen
niedrigen Abschusswinkel (also große Differenz zur Senkrechten auf dem Boden)
zurückzuführen war, oder sie konnte 65m zurücklegen, indem sie eine sehr große
Amplitude auf ihrer Flugbahn durchflog, in diesem Falle 55m, was auf einen großen
Abschusswinkel (also kleine Differenz zur Senkrechten auf dem Boden)
zurückzuführen war. Diese Anordnung der Messpunkte war durchaus zu erklären,
wenn man diese einer gekippten Sinusfunktion annäherte. Somit konnte eine
Parallele zur idealen Wurfparabel geschaffen werden, bei der ebenfalls dieser
Zusammenhang zwischen Höhe und Weite auftritt.
Für den Parameter Winkel ließ sich somit konkludierend feststellen, dass je mehr
der Winkel von der Senkrechten auf dem Boden abwich, desto weiter und niedriger
flog die Rakete, wie auch vice versa.
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7
Ziel und Zusammenfassung
Wie aus unseren Versuchsreihen hervorgeht, ist es uns gelungen, eine flugfähige
Rakete zu konstruieren, mit der reproduzierbare Ergebnisse erzielt werden konnten.
Somit gilt auch die Entwicklung unserer Messverfahren als erfolgreich, ohne die wir
keine genauen Werte hätten ermitteln können. Wie aus den Diagrammen und den
dazugehörigen Auswertungen zu erkennen ist, konnten die Einflüsse der einzelnen
Parameter auf unsere Rakete untersucht und erklärt werden. Eine
Zusammenfassung in einer Formel scheiterte daran, dass es zwar logisch erklärbare
Zusammenhänge gab, die jedoch nur sehr schwer durch mathematische Formeln
beschrieben werden konnten. Hier stieß die Facharbeit an ihre Grenzen, da für
diese Betrachtungen weitere, sehr genaue Messungen durchgeführt werden
müssten. Außerdem müsste man sich vom experimentellen Teil der Arbeit weiter in
den theoretischen Teil begeben. Aber auch hier wird man schon bald feststellen,
dass durch die zeitliche Veränderung der Beschleunigung, die wiederum von der
zeitlichen Veränderung von Masse und Druck abhängig ist nur eine Simulation,
beispielsweise mittels Halbschrittverfahrens eine Annäherung erbringen kann. Was
sich jedoch bereits jetzt schon sagen lässt ist, dass man mit unseren Messreihen
sehr gute Idealwerte für die einzelnen Parameter finden konnte, die zu einer
optimalen Weite, bzw. Höhe führten. Alle hier ermittelten Werte sind jedoch
aufgrund der Raketenbauart spezifisch und können somit nicht direkt auf ähnliche
Konstruktionen übertragen werden. Die eigentlichen Abhängigkeiten sind jedoch
übertragbar.
Abschließend möchten wir uns bei allen Personen und Institutionen herzlich
bedanken, ohne deren Hilfe der Bau der Rakete und das Experiment nicht
durchführbar gewesen wären.
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8
Anhang
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