E1_2015-16_Blatt5 - Fakultät für Physik

Übungsaufgaben zu E1/E1p Mechanik, WS 2015/16
Thomas Udem, David Hunger
Fakultät für Physik, Ludwig-Maximilians-Universität, München
wird am 18.11. 20.11.2015 besprochen
Blatt 5
Anmerkung: Lehramtstudierende und Studierende mit Nebenfach (6 ECTS) brauchen Aufgaben, die
mit einem (*) gekennzeichnet sind, nicht zu bearbeiten.
Aufgabe 16
Galaxienmasse
Die Sonne ist ungefähr 25.000 Lichtjahre vom Zentrum der Milchstrasse entfernt und bewegt sich in
einem Kreis in einer Periode von 170 Millionen Jahren. Die Erde bendet sich in 8 Lichtminuten
Entfernung von der Sonne. Aus diesen Daten alleine lässt sich die Masse der Galaxie innerhalb des
Bahnradius der Sonne ermitteln, durch deren Gravitation die Sonnenbahn bestimmt wird. Hinweis:
Weitere Galaxienmasse ausserhalb hat keinen Einuss. Die Gravitationskonstante sei nicht gegeben.
Aufgabe 17
Bahnkurve
Die Funktion r(φ) = p/(1 + cos(φ)) beschreibt die Keplerbahnen und ist die Gleichung eines Kegelschnittes in Polarkoordinaten mit den Fällen einer Ellipse (0 < < 1), einer Hyperbel ( > 1), einer
Parabel ( = 1), und eines Kreises ( = 0).
a) Zeigen Sie dass r(φ) für = 1 eine Parabel beschreibt. Hinweis: Verwenden Sie cos(φ) = x/r.
b) Zeigen Sie, dass die Funktion r(φ) = p/(1+ cos(φ)) in die Ellipsennormalform (x/a)2 +(y/b)2 = 1
gebracht werden kann und bestimmen Sie die Konstanten a und b.
c) Leiten Sie analog die Normalform für den Spezialfall einer Hyperbel her.
Aufgabe 18
Silvesterrakete II
Eine Silvesterrakete nutzt Schwarzpulver als Treibsto, um einen Böller hochzuschieÿen. Die typische
Brenndauer beträgt T = 3 s. Dabei hat die Abbrandgeschwindigkeit von Schwarzpulver, die im folgenden als Ausströmgeschwindigkeit vr benutzt werden soll, einen Wert von 400 m/s. Zur Vereinfachung
sei angenommen, dass der Abbrand des Schwarzpulvers gleichmäÿig erfolgt, d.h. q := dm/dt = const.
und dass die Rakete exakt senkrecht nach oben steigt. (g = 10 m/s2 )
a) Geben Sie allgemein die Masse m(t) der Rakete in Abhängigkeit der Zeit t während der Brennphase an.
b) Berechnen Sie nun mit m(t) die Geschwindigkeit v(t) der Rakete und deren Beschleunigung a(t).
c) Ermitteln Sie mit v(t)
R die Flughöhe y(t) der Rakete für den Startwert y(t = 0) = 0 für Zeiten
0 ≤ t ≤ T . (Hinweis: ln(x)dx = xln(x) − x)
d) In welcher Höhe h endet das Brennen der Rakete, wenn eine Schwarzpulvermasse von mS = 18 g
verwendet wird und der Böller eine Masse von mB = 132 g aufweist? Welche Geschwindigkeit hat
die Rakete am Ende der Brennzeit erreicht? Wie groÿ ist die Beschleunigung am Anfang (t = 0)
und am Ende der Brennphase (t = T )?
Aufgabe 19*
Eektives Potential
Die Radialbewegung eines Körpers im Zentralkraftfeld kann mit Hilfe des eektiven Potentials Eeff
veranschaulicht werden. Hierfür zerlegt man die Gesamtenergie in einen Radialteil und einen Winkelanteil,
1
1
L2
E = Ep (r) + mr2 ϕ̇2 + mṙ2 = Ep +
+ Erad = Eeff + Erad .
2
2
2mr2
a) Warum lässt sich der Term L2 /(2mr2 ) als Potential behandeln?
b) Skizzieren Sie Eeff (r) für Ep (r) = −GmM/r.
m.
c) Bestimmen Sie für Ep (r) = −GmM/r den Ort r0 an dem Eeff (r) minimal wird, Eeff (r0 ) = Eeff
m , E m < E < 0 und E > 0
d) In welchen Bereichen kann sich der Körper für die Fälle E = Eeff
eff
aufhalten? Was sind die entsprechenden Bewegungsformen? Zeichnen Sie die Bereiche in das
Diagramm ein.
Betrachten Sie nun das Zentralpotential
Ep (r) = −
c
rλ
e) Wie lautet das zugehörige eektive Potential?
f) Finden Sie die Beziehung zwischen Radius und Drehimpuls, für die sich das Teilchen auf einer
stabilen Kreisbahn bewegt.
g) Skizzieren Sie den Fall λ = 2.
h) Gibt es stabile Umlaufbahnen für λ = 2?