Auf einem reibungsfreien beweglichen Wagen ist eine rechteckige
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Auf einem reibungsfreien beweglichen Wagen ist eine rechteckige Spule horizontal befestigt. Die Spule hat n = 10 Windungen. Ihr ohmscher Widerstand beträgt R = 0,20 . Der Wagen hat zusammen mit der Spule die Masse m1 = 0,120 kg. Im Abstand von d0 = 4,0 cm von der Spule (siehe Abbildung) beginnt ein homogenes Magnetfeld der Flussdichte B, das orthogonal zur Spulenfläche von oben nach unten gerichtet ist. An einem Faden kann der Wagen mit der Spule in das nach rechts als unbegrenzt anzusehende Magnetfeld gezogen werden. a) Die Flussdichte des Magnetfeldes beträgt zunächst B0 = 800 mT. An den Spulenenden P und Q wird ein hochohmiges Voltmeter angeschlossen. Der Wagen wird ab dem Zeitpunkt t0 = 0 s mit der konstanten Geschwindigkeit v0 = 20 cm s –1 nach rechts gezogen. Ab dem Zeitpunkt 1,0 s (die Spule ist zu diesem Zeitpunkt vollständig im Feld) wird die Flussdichte innerhalb des Zeitraums t = 0,40 s gleichmäßig auf Null reduziert. Erläutern Sie, warum beim Eintauchen der Spule in das konstante Magnetfeld zwischen P und Q eine Spannung gemessen wird. Leiten Sie eine Gleichung zur Bestimmung dieser Spannung her. Geben Sie die Polung von P und Q an. Ändert sich diese Polung, wenn die magnetische Flussdichte nach dem vollständigen Eintauchen der Spule in das Magnetfeld reduziert wird? Begründen Sie Ihre Antwort. Zeichnen Sie das U-t-Diagramm für 0 s t 1,5 s. b) In einem neuen Versuch startet der Wagen wieder aus der Anfangslage. Die Flussdichte ist wieder auf B0 = 800 mT eingestellt. Der Faden wird über eine Rolle gelegt und ein Zugkörper der Masse m2 = 30 g angehängt. Die Spulenenden P und Q werden durch einen Kurzschlussbügel (Masse und Widerstand vernachlässigbar) verbunden. Der Wagen wird zum Zeitpunkt t0 = 0 s losgelassen. Während die Spule in das Magnetfeld eintaucht, fließt in ihr ein Induktionsstrom. Berechnen Sie die Stärke des Induktionsstroms unmittelbar nach Beginn des Eintauchvorgangs. Zeigen Sie, dass Wagen und Spule anschließend zunächst eine verzögerte Bewegung ausführen. Begründen Sie, warum dabei auch der Induktionsstrom abnimmt. Für welche Geschwindigkeit sind die Beträge der bremsenden und der beschleunigenden Kraft gleich? c) Rolle, Zugkörper und Kurzschlussbügel werden entfernt und die Spulenenden an ein hochohmiges Voltmeter angeschlossen. Der Wagen wird so aufgestellt, dass der Abstand der Spule vom Feld d1 = 0 cm beträgt. Ab dem Zeitpunkt t0 = 0 s wird der Wagen aus der Ruhe heraus mit a = 0,20 m s–2 nach rechts beschleunigt. Von diesem Zeitpunkt ab wird auch die magnetische Flussdichte innerhalb von einer Sekunde von B0 = 800 mT gleichmäßig auf B1 = 0 mT abgesenkt. Geben Sie für den Zeitraum 0 s t 1 s jeweils eine Gleichung für die felddurchsetzte Fläche A(t) der Spule und für die Flussdichte B(t) an. Berechnen Sie die Stärke des magnetischen Flusses durch die Spule jeweils zu den Zeitpunkten t2 = 0,50 s und t3 = 0,60 s. Bestimmen Sie damit die in der Spule induzierte mittlere Spannung U ind im Zeitraum 0,5 s t 0,6 s. Geben Sie eine Gleichung für die in der Spule induzierte Spannung Uind(t) im Zeitraum 0 s t 1 s an und berechnen Sie die induzierte Spannung zum Zeitpunkt t4 = 0,55 s. Reibungskräfte, Faden- und Rollenmassen sind vernachlässigbar. Erdbeschleunigung: g = 10 m s–2 Lösung : a) Beim Eintauchen der rechten Spulenseite werden die Elektronen durch die Lorentzkraft F L nach unten verschoben. Die positiven Ladungsträger werden dagegen nicht verschoben. Die dadurch entstehende elektrische Feldkraft Fel ist der Lorentzkraft FL entgegengerichtet, hat aber den gleichen Betrag: U FL = B e v0; Fel = e E = e ind . b Gleichsetzen ergibt: Uind = B b v0 (für eine Windung). Die Spannung beim Eintauchen der Spule ins Magnetfeld beträgt Uind = n B b v0 = 10 0,8 T 0,05 m 0,2 m s–1 = 0,08 V = 80 mV. Nach der Drei-Finger-Regel für die linke Hand werden die Elektronen nach unten verschoben, Q wird negativ, P wird positiv. Beim Eintauchen der Spule hat sich der magnetische Fluss vergrößert. Nach dem Eintauchen ändert sich die Polung, da die Fläche konstant bleibt, die magnetische Flussdichte jedoch reduziert wird, was eine Verkleinerung des magnetischen Flusses bedeutet. Wegen v0 = 20 cm s–1 und d0 = 4 cm braucht die Spule 0,2 s, bis das Magnetfeld erreicht wird. In dieser Zeit ist die induzierte Spannung Uind = 0 V. In den nächsten 0,5 Sekunden taucht die Spule ins Magnetfeld ein: Uind = 80 mV. In der Zeit von 0,7 s bis 1,0 s ist der Rahmen ganz ins Feld eingetaucht, die induzierten Spannungen auf beiden Seiten heben sich gegenseitig auf: U ind = 0 V. Von 1,0 s bis 1,4 s wird das Magnetfeld reduziert. B 0,0 T 0,8 T 2 T s 1 . t 0, 40 s U ind n B A 10 2 Ts 1 0,05 m 0,1 m 0,1 V. Die Polung der Spannung ist entgegengesetzt zu vorher. 1. Begründung: Beim ersten Teil hat sich der magnetische Fluss = B A vergrößert, da die vom Magnetfeld durchsetzte Fläche bei konstanter Feldstärke vergrößert wurde. Im zweiten Teil bleibt die Fläche konstant, die Feldstärke nimmt aber ab, somit wird = B A verkleinert. Somit haben die induzierten Spannungen verschiedene Vorzeichen. 2. Begründung: Das B-Feld ist in die Zeichenebene hinein gerichtet. Das Vorzeichen der induzierten Spannung ist so, dass ein Strom, sofern er fließen kann, ein Magnetfeld in Gegenrichtung erzeugt. Dann muss der Strom aber im Gegenuhrzeigersinn fließen; also ist Q der Pluspol, P der Minuspol. Nach 1,4 s bewegt sich die Spule im feldfreien Raum, d. h. Uind = 0 V. b) Die gesamte beschleunigte Masse G = m2 g = 0,030 kg · 10 m s –2 = 0,30 N. Aus F = m a folgt für die Beschleunigung beträgt m = m1 + m2 = 0,150 kg. Die beschleunigende Kraft ist 0,30 N 2,0 m s 2 . 0,150 kg Die Bewegung des Wagens wird durch die beiden Bewegungsgleichungen s(t) = 0,5 a t2 und v(t) = a t beschrieben. Wegen 2 0,04 2s t s 0,20 s a 2 hat die Spule beim Eintauchen eine Geschwindigkeit von a v(0,2 s) = 2 m s–2 0,20 s = 0,4 m s –1. Uind = n B0 b v = 10 0,8 T 0,05 m 0,4 m s–1 = 0,16 V. P und Q sind jetzt leitend verbunden, der Widerstand der Spule beträgt R = 0,20 ; deshalb kann jetzt ein Strom fließen. I U ind 0,16 V 0,8 A. R 0, 20 Dabei fließen die Elektronen von oben nach unten. Ein stromdurchflossener Leiter erfährt aber F = n B0 I b = 10 0,8 T 0,8 A 0,05 m = 0,32 N. im Magnetfeld eine Nach der UVW-Regel für die linke Hand ist die Kraft nach links gerichtet, denn: U(rsache): die Elektronen fließen nach unten, d. h. Daumen nach unten. V(ermittlung): Magnetfeld in die Zeichenebene; d. h.: Zeigefinger nach hinten. W(irkung): Mittelfinger nach links, also Kraft nach links. Lorentzkraft. Die Kraft beträgt Außerdem wirkt auf die Spule die beschleunigende Kraft G = 0,30 N nach rechts. Die resultierende Kraft hat einen Betrag von 0,02 N und ist nach links gerichtet, was die Spule abbremst. Diese Abbremsung hat zur Folge, dass die Geschwindigkeit v und dadurch wiederum die induzierte Spannung abnimmt. Dies vermindert die Stromstärke. Die nach links gerichtete Lorentzkraft wird so lange verringert, bis sie gleich groß wie die Gewichtskraft G ist. Dann liegt eine gleichförmige Bewegung vor: n B0 b v (n B0 b) 2 U FL n B0 I b n B0 b n B 0 b v. R R R FL = G liefert v G R 0,3 N 0,2 0,38 m s 1. (n B0 b) 2 (10 0,8 T 0,05 m) 2 c) Die Bewegung des Wagens wird wieder durch die beiden Bewegungsgleichungen s(t) = 0,5 a t2 und v(t) = a t beschrieben. Dabei ist nach Voraussetzung a = 0,2 m s–2. Im Zeitraum 0 s t 1 s legt der Wagen s(1,0 s) = 0,1 m s–2 (1,0s)2 = 0,1 m zurück, sodass zum Zeitpunkt 1,0 s die Spule gerade voll in das Magnetfeld eingetaucht ist. Die felddurchsetzte Fläche beträgt A(t) = s(t) b = 0,005 m2 s–2 t2. Die magnetische Flussdichte wird durch B(t) = 0,8 T – 0,8 T s–1 t = 0,8 T (1 – t s–1) beschrieben. Der magnetische Fluss ist (t) = B(t) A(t)= 0,004 T (t2 – t3 s–1) m2 s–2. (0,5 s) 0,0005 T m 2 (0,6 s) 0,000576 T m 2 Im Zeitraum 0,5 s t 0,6 s wird die mittlere Spannung 0,000076 T m 2 10 7,6 mV t 0,1 s induziert. Allgemein gilt U ind (t) n (t) und damit U ind n U ind (0,55 s) n (0,55 s) 0,04 T m 2 s 2 (2 0,55 s 3 (0,55 s) 2 s 1 ) 7,7 mV in guter Übereinstimmung mit Uind = 7,6 mV.
