MHoelK11-12 - BORG Mittersill
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Lernzielorientierte Kernbereiche für die Reifeprüfung Prüferin Prof. Karin Höller Ü b e r s i c h t Stoff für schriftliche und mündliche Reifeprüfung (Bereiche nur für die mündliche RP in Kursiv) Lineare und nichtlineare Funktionen, reelle Funktionen Potenzen, Logarithmen, Grenzprozesse Trigonometrie (Vermessungsaufgaben) Lineare und nichtlineare (Kegelschnitte, Kreis, Kugel) analytische Geometrie Wahrscheinlichkeitsrechnung und Statistik Differentialrechnung (Kurvendiskussion, umgekehrte Kurvendiskussion, Extrema, Anwendungsaufgaben) Integralrechnung (Flächenberechnungen, Rotationsvolumina, Anwendungsaufgaben) D e t a i l s u n d Z i e l e Lineare Funktionen - nichtlineare Funktionen Begründen, dass eine lineare Funktion durch eine Gerade dargestellt werden kann. Kennen von innerund außermathematischen Deutungen der Steigung. Kennen des Zusammenhanges von direkter Proportionalität und linearer Funktion. Anwenden von linearen Funktionen beim Bearbeiten von außermathematischen Problemen (etwa aus Wirtschaft und Physik). 2 c c 2 c 3 kx Nichtlineare reelle Funktionen der Art f(x)=cx , f(x)= /x, f(x)=( /x) und f(x)=( /x) , f(x) = c.a , f(x)=c.log(x) f(x) = c.sin(ax+b) und f(x) = c.cos(ax+b), f(x) = tan(x) und abschnittsweise termdefinierte Funktionen: Darstellen auf verschiedene Arten, bei Winkelfunktionen Verwenden des Bogenmaßes. Zuordnen bekannter Funktionstypen zu vorgegebenen Graphen. Zu vorgegebenen graphischen Darstellungen passende Funktionsterme finden. Untersuchen von Funktionstypen, Skizzieren von Graphen, rechnerisches und graphisches Lösen einfacher Aufgaben (etwa Ermitteln von Schranken für Argumente zu gegebenen Funktionswerten). Untersuchen des Monotonieverhaltens und anderer Eigenschaften (etwa Symmetrieeigenschaft, Krümmungsverhalten, asymptotisches Verhalten, Periodizität, Umkehrbarkeit). Anwenden reeller Funktionen in außermathematischen Situationen, etwa bei Vorgängen und Problemen aus den Naturwissenschaften, der Wirtschaft oder aus anderen Bereichen; insbesondere Bearbeiten von Wachstums- und Abnahmeprozessen sowie von periodischen Vorgängen. Vergleichen verschiedener Modelle (etwa von linearem und exponentiellem Wachstum) und verschiedener Änderungsmaße. Bilder diskreter Modelle mit Zahlenfolgen. Algebraische Gleichungen: Quadratische Gleichungen in einer Variablen. Lösungsformel. Anwenden bei inner- und außermathematischen Problemen. Zerlegen eines quadratischen Polynoms in Linearfaktoren. Abspalten von Linearfaktoren bei Polynomen. Anwenden zum Lösen von Gleichungen, insbesondere von Gleichungen 3. und 4. Grades. Lösen durch Substitution. Potenzen mit ganzzahligen, rationalen und reellen Exponenten, Logarithmen Kennen der Definitionen, Angeben von Gründen für deren Zweckmäßigkeit. Erkennen, Formulieren und Beweisen von Rechengesetzen. Umformen von Ausdrücken. Lösen von Exponentialgleichungen Analysieren von Wachstumsprozessen. Trigonometrie Definitionen der Winkelfunktionen im rechtwinkeligen Dreieck und am Einheitskreis kennen. Durchführen von Berechnungen an ebenen und räumlichen Figuren in inner- und außermathematischen Bereichen. Anwenden der Winkelfunktionen in beliebigen Dreiecken: Verwenden der Winkelfunktionen Sinus, Cosinus und Tangens sowie des Sinussatzes, des Cosinussatzes und der trigonometrischen Flächenformel bei Vermessungsaufgaben. Umrechnen von Polarkoordinaten in kartesische Koordinaten und umgekehrt. Lineare Algebra und lineare analytische Geometrie Addieren von Vektoren, Multiplizieren von Vektoren mit reellen Zahlen, Rechnen mit dem skalaren Produkt von Vektoren, Rechengesetze für Vektoren: Ausführen dieser Rechenoperationen und Anwenden der Rechengesetze für Zahlen-n-Tupel. Kennen von Zusammenhängen zwischen Rechenoperationen (Beziehungen) im R2 bzw. R3 und geometrischen Operationen (Beziehungen) in der Ebene bzw. im Raum. Berechnen des Betrages eines Vektors. Darstellen von Sachverhalten aus Anwendungsgebieten (etwa Physik, Wirtschaft) mit Hilfe dieser Rechenoperationen. Darstellen von Geraden der Ebene und des Raumes in Parameterform: Erläutern, wie man mit Hilfe eines Punktes und eines Richtungsvektors einzelne Punkte (etwa Mittelpunkt oder Teilungspunkte einer Strecke) oder auch alle Punkte einer Geraden erfassen kann. Bestimmen einer Parameterdarstellung zu einer gegebenen Geraden. Zeichnen einer in Parameterform gegebenen Geraden. Darstellen von Geraden der Ebene durch lineare Gleichungen in zwei Variablen. Bestimmen von Normalvektoren im Raum. Untersuchen von Orthogonalitäten. Kreuzprodukt. Berechnen von Winkeln zwischen zwei Geraden, zwei Ebenen sowie zwischen einer Geraden und einer Ebene. Abstandsberechnungen. Flächenberechnungen. Lineare Gleichungssysteme mit zwei Variablen: Lösen und geometrisches Deuten möglicher Lösungsfälle. Angeben und Anwenden von Kriterien für die einzelnen Lösungsfälle. Anwenden von Gleichungssystemen mit zwei Variablen zum Bearbeiten von inner- und außermathematischen Problemen. Ebenen und lineare Gleichungssysteme mit drei Variablen: Erläutern von Zusammenhängen zwischen Ebenen und linearen Gleichungen (auch Parameterdarstellung einer Ebene verwenden). Untersuchen von Lagebeziehungen zwischen Ebenen. Berechnen von Schnittpunkten und Schnittgeraden. Insbesondere Lösen von Systemen von drei Gleichungen mit eindeutiger Lösung und von Systemen von zwei Gleichungen mit einparametriger Lösungsmenge. Bearbeiten anwendungsorientierter geometrischer Probleme im Raum mit algebraischen Methoden: Lösen von Lage- und Maßaufgaben - auch an Körpern – unter Heranziehung von Kenntnissen über Vektoren sowie über lineare Gleichungen und Gleichungssysteme teilweise in Verbindung mit zeichnerischen Darstellungen. Nichtlineare analytische Geometrie Aufstellen von Kreisgleichungen und Kugelgleichungen. Bestimmen von Mittelpunkt und Radius. Definition von Kegelschnitten. Aufstellen von Gleichungen von Ellipse, Hyperbel und Parabel. Untersuchen von Lagebeziehungen. Tangentengleichungen. Berührbedingungen Berechnen von Schnittwinkeln. Schnitt- und Berühraufgaben. Wahrscheinlichkeitsrechnung und Statistik Statistik: Arbeiten mit Daten und Darstellungsformen der beschreibenden Statistik; Kennen, Ermitteln und Interpretieren statistischer Kennzahlen. Wahrscheinlichkeitsverteilungen: Kennen der Begriffe Wahrscheinlichkeit, Erwartungswert und Varianz. Herstellen von Beziehungen zu den entsprechenden Begriffen bei Häufigkeitsverteilungen. Wahrscheinlichkeit nach Laplace. Lösen von Anwendungsaufgaben mit Binomialverteilung oder Normalverteilung. Berechnen von (bedingten) Wahrscheinlichkeiten: Berechnen von Wahrscheinlichkeiten aus gegebenen Wahrscheinlichkeiten mittels Diagrammen (etwa Baumdiagrammen) und Regeln (etwa Additionsregel, Multiplikationsregel, kombinatorische Formeln) oder Verteilungsgesetzen (Binomial-, Normalverteilung). Satz von Bayes. Differentialrechnung Differentialquotient: Definieren des Differentialquotienten (der Änderungsrate an einer Stelle, intuitiver Grenzwertbegriff). Interpretieren in verschiedenen außermathematischen Situationen (z.B. Geschwindigkeit in einem Zeitpunkt) und in geometrischen Anwendungen (z.B. Steigung der Tangente). Deuten der 2. Ableitung (z.B. Beschleunigung). Differentiationsregeln: Differenzieren von Polynomfunktionen, Sinus- und Cosinusfunktion, Exponential- und Logarithmusfunktion sowie von rationalen und zusammengesetzten Funktionen. Anwendungen an einfachen Beispielen. Untersuchen von Funktionen, in erster Linie von Exponential-, Polynom- und rationalen Funktionen: Ermitteln von Monotoniebereichen, Nullstellen, (lokalen) Extremstellen und Wendepunkten, Tangenten, Symmetrien, Polstellen und Asymptoten. Zeichnerisches Darstellen (auch skizzenhaft) von Funktionsgraphen. Kennen einiger typischer Graphen von Polynomfunktionen. Anwenden der Methoden zur Untersuchung von Funktionen, insbesondere zum Ermitteln von Nullstellen bzw. von Lösungen von Gleichungen (Anzahl und Lage) sowie zum Lösen von Extremwertaufgaben. Ermitteln von Polynomfunktionen mit gegebenen Eigenschaften (Umkehraufgaben). Integralrechnung Stammfunktionen: Definieren des Begriffes der Stammfunktion. Ermitteln von Stammfunktionen zu einfachen Funktionen. Unbestimmtes Integral. Integrationsregeln. Substitutionsmethode. Lösen von Anwendungsaufgaben (z.B. Bestimmen des Weges aus Geschwindigkeit oder Beschleunigung). Bestimmtes Integral: Kennen des Begriffes des Integrals als Ergebnis eines Grenzprozesses (ausgehend von Summen). Erläutern des Zusammenhanges zwischen den Begriffen Integral und Stammfunktion. Stammfunktion. Berechnen von Flächeninhalten und Rotationsvolumina: Berechnen mit Stammfunktionen; näherungsweises Berechnen.
