1.1 Verschiebung der quadratischen Funktion

Skript
Quadratische Funktionen
von
Georg Sahliger
Skript ist noch in Bearbeitung!!!
Fehler und Verbesserungsvorschläge werden gerne angenommen.
Mainz, 9.3..2016
Inhaltsverzeichnis
0 Vorwort .............................................................................................................................................2
1. Quadratische Funktionen zeichnen ..................................................................................................2
1.1 Quadratische Funktionen mit einer Wertetabelle zeichnen. .......................................................2
1.1 Verschiebung der quadratischen Funktion .................................................................................3
1.2 Scheitelpunkt ablesen .................................................................................................................4
1.3 Funktionen zeichnen ohne Wertetabelle ....................................................................................5
1.4. Ablesen einer Funktion .............................................................................................................5
2. Fehlende Koordinate berechnen .......................................................................................................6
3. Überprüfen, ob ein Punkt auf dem Graphen einer Funktion liegt. ...................................................7
1
0 Vorwort
Dieses Skript handelt von den quadratischen Funktionen. Dabei gehen wir ähnlich wie bei den
linearen Funktionen vor. Zunächst schauen wir, was eine quadratische Funktion ist. Dann überlegen
wir, wie wir eine solche Funktion zeichnen können, bzw. wie man nur anhand eines Graphen
ablesen kann, um welche Funktion es sich handelt. Anschließend werden wieder viele
Beispielaufgaben behandelt: Fehlende Koordinaten berechnen, Schnittpunkte mit den Achsen,
Schnittpunkte zweier Funktionen, usw.
1. Quadratische Funktionen zeichnen
1.1 Quadratische Funktionen mit einer Wertetabelle zeichnen.
Funktionen der Form y = x² nennt man quadratische Funktionen.
Beispiele: y = x² + 2 , y = 2x² - 1 , y = (x-2)² + 4 oder y = 2(x+3)² + 1
Beginnen wir mit der einfachsten y = x² und legen hierzu eine Wertetabelle an:
x
-3
-2
-1
0
1
2
3
y
9
4
1
0
1
4
9
y = (-3)² = -3 ∙ (-3) = 9
y = 1² = 1 ∙ 1 = 1
Schaubild
Den Graphen dieser Funktion nennt man
„Normalparabel“.
Der tiefste Punkt heißt „Scheitelpunkt“.
Hinweis: Beachte, dass gilt: Klammer vor Potenz vor Punkt vor Strich. Setzt man bei y = 3x² eine 2
ein, so rechnet man folgendermaßen: y = 3 ∙ 2² = 3 ∙ 4 = 12
2
1.1 Verschiebung der quadratischen Funktion
1) y = x²
2) y = x² + 2
3) y = x² - 2
1) y = x²
2) y = (x – 2)²
3) y = (x + 2)²
Erkenntnis: Addiert oder subtrahiert
man eine Zahl zu einer Funktion, wird
die Funktion nach oben bzw. nach unten
verschoben.
Erkenntnis: Addiert oder subtrahiert
man eine Zahl in der Klammer, wird die
Funktion nach links bzw. rechts
verschoben.
VORSICHT:
Bei (x+2)² wird die Funktion nach links
verschoben.
Bei (x-2)² wird die Funktion nach
rechts verschoben.
1) y = x²
2) y = ½ x²
Multipliziert man eine Funktion mit
einer Zahl, die größer als 1 ist, wird die
Funktion enger als die Normalparabel.
3) y = 2x²
Multipliziert man eine Funktion mit
einer Zahl, die zwischen 0 und 1 liegt,
also mit einem Bruch, dann wird die
Funktion weiter als die Normalparabel.
1) y = x²
Steht ein Minus vor der Funktion, wird
die Funktion „nach unten geklappt“ bzw.
wird die Funktion an der x-Achse
gespiegelt.
2) y = - x²
3
1.2 Scheitelpunkt ablesen
Hat eine quadratische Funktion folgende Form y = a (x+b)² + c, nennt man dies die
Scheitelpunktform, da man den Scheitelpunkt direkt ablesen kann. Beachte: Den y-Wert der
Funktion kann man direkt übernehmen, den x-Wert muss man mit -1 multiplizieren.
Beispiel: Bestimme den Scheitelpunkt der Funktion: y = (x-3)² + 1 . Wenn wir diese Funktion
zeichnen, erhalten wir folgendes Schaubild:
Man sieht, dass der Scheitelpunkt bei SP (+3|+1) liegt.
Weitere Beispiele:
y = (x-2)² + 3
Scheitelpunkt: SP(2|3)
y = (x+2)² - 4
Scheitelpunkt: SP(-2|-4)
y = 2(x-3)² + 1
Scheitelpunkt: SP(3|1)
y =-(x-2)²
Scheitelpunkt: SP(2|0)
y = 2x² + 3
Scheitelpunkt: SP(0|3)
4
1.3 Funktionen zeichnen ohne Wertetabelle
Die quadratischen Funktionen zeichnen wir nicht so genau wie die linearen. Für uns soll es
genügen, wenn wir nur drei Punkte bestimmen und den „Rest“ so ungefähr zeichnen. Daher heißt es
in der Aufgabenstellung auch oft nur „skizziere“ die Funktion.
Aufgabe: Skizziere die folgende Funktion: y = 2(x-3)² + 1
Vorgehensweise:
1. y-Wert des Scheitelpunktes ablesen: SP ( ___ | +1 )
2. x-Wert des Scheitelpunktes ablesen und mit -1 multiplizieren:
Also -3 ∙ (-1) = +3
3. Scheitelpunkt SP (3| 1) eintragen.
4. Nun schaut man, ob die Funktion nach oben oder nach unten
geöffnet ist. Da die Funktion mit +2 multipliziert wird, ist sie nach
oben geöffnet.
5. Nun geht man vom Scheitelpunkt aus eine Einheit nach rechts und
2 nach oben. Ebenso eine Einheit nach links und 2 nach oben.
6. Nun hat man drei Punkte, die man verbindet.
1.4. Ablesen einer Funktion
Wie lautet die Funktion, die durch folgenden Graphen beschrieben wird?
1. Scheitelpunkt ablesen: SP(3|4)
2. Vorfaktor bestimmen: Da man vom Scheitelpunkt aus 1 nach rechts und ½ nach unten geht,
lautet der Vorfaktor – ½ .
3. Scheitelpunkt und Vorfaktor in die Funktionsgleichung einsetzen: y = -1/2(x-3)² + 4
Beachte, dass das Vorzeichen beim x-Wert des Scheitelpunkts geändert werden muss.
5
2. Fehlende Koordinate berechnen
Gegeben ist die Funktion y = (x-2)² + 1
a) Wie lautet der der zugehörige y-Wert zum x-Wert x = 2?
b) Berechne die fehlende Koordinate: A( ___ | 5)
Zu a): 2 für x einsetzen und auflösen:
y = (2-2)² + 1
y = 0² + 1
y=1
Antwort: Der zugehörige y-Wert lautet y = 1, also ( 2 | 1)
Zu b) 5 für y einsetzen und nach x auflösen. Beachte dass es, da es sich um eine Parabel handelt, zu
jedem y-Wert zwei x-Werte gibt.
5 = (x-2)² +1 | - 1
Die Klammer alleine stellen.
4 = (x-2)²
Wurzel ziehen
|
 2  x1, 2  2 | +2
 2  2  x1
x1  4
 2  2  x2
x2  0
Antwort: ( 0 | 5) und (4|5)
Man sieht, dass unsere Rechnung stimmt. Zum y-Wert y = 5, gibt es die x-Werte 0 und 4. Aber man
sieht auch, dass nicht alle y-Werte zwei x-Werte haben. Handelt es sich um den y-Wert des
Scheitelpunkts, gibt es nur einen x-Wert. Berechnen wir auch diesen. Man kann ablesen, dass der
y-Wert y = 1 beträgt. Berechnen wir den dazugehörigen x-Wert:
1 = (x-2)² + 1 | -1
0 = (x-2)²
|
Wurzel ziehen
0  x1, 2  2 | +2
0  2  x1
Die Wurzel aus Null ist Null.
x1  2
Antwort: ( 2 | 1)
6
3. Überprüfen, ob ein Punkt auf dem Graphen einer Funktion liegt.
Beispiel: Gegeben ist die Funktion y = (x +1)² + 2. Liegen die Punkte A (1|6) und B(2|1) auf dem
Graphen der Funktion?
Neben der zeichnerischen Lösung, kann man diese Frage auch durch Rechnung bestimmen. Die
Vorgehensweise ist wie bei den linearen Funktionen gleich:
1. Setze den x-Wert und den y-Wert des Punktes in die Funktionsgleichung ein.
2. Löse auf und schau, ob eine wahre Aussage (Punkt liegt drauf) oder eine unwahre Aussage
herauskommt (Punkt liegt nicht drauf).
Beispiel: Für Punkt A (1|6) und y = (x +1)² + 2 gilt:
1. Einsetzen:
6 = (1+1)² +2
2. Auflösen
6 = 2² + 2
6=4+2
6=6
Wahre Aussage
Dies ist eine wahre Aussage, also liegt der Punkt auf der Funktion.
Für Punkt A (2|1) und y = (x +1)² + 2 gilt:
3. Einsetzen:
1 = (2+1)² +2
4. Auflösen
1 = 3² + 2
1=9+2
1 = 11
Falsche Aussage
Dies ist eine falsche Aussage, also liegt der Punkt nicht auf der Funktion.
Bis hier bearbeitet!!!!!!
AB HIER IST DAS SKRIPT IDENTISCH MIT DEN LINEAREN FUNKTIONEN. WERDE ICH
NOCH ÄNDERN!
1.6 Schnittpunkte mit den Achsen bestimmen
Beispiel: Wo schneidet die Funktion y = 2x + 4 die y-Achse und die x-Achse?
7
Lösung:
1.6.1 Schnittpunkt mit der y-Achse
1. x = „0“ setzen:
y = 2 ∙ 0 +4
2. Ausrechnen:
y=4
3. Als Punkt aufschreiben: SP(0|4)
Bei linearen Funktionen braucht man die Rechnung nicht, da man den Schnittpunkt mit der y-Achse
direkt am y-Achsenabschnitt ablesen kann. Diese Rechnung ist nur für komplizierte Funktionen
nötig.
1.6.2 Schnittpunkt mit der x-Achse (Nullstelle)
1. y = „0“ setzen:
0 = 2 ∙ x +4
2. Ausrechnen:
0 = 2 ∙ x +4 | -4
-4 = 2x | :2
-2 = x
3. Als Punkt aufschreiben: N(-2|4)
Den Schnittpunkt mit der x-Achse nennt man auch die Nullstelle.
1.7. Funktionen bestimmen
8
Als nächstes beschäftigen wir uns mit einigen Aufgaben, bei denen es darum geht, wie man eine
Funktion berechnen kann, wenn nur bestimmte Dinge bekannt sind. Diese Aufgaben kann man auch
immer zeichnerisch lösen. Da dies aber oft ungenau ist, müssen wir auch wissen, wie man solche
Aufgaben berechnet.
1.7.1 Funktionsvorschrift bestimmen, wenn die Steigung und der y-Achsenabschnitt gegeben
2
ist. Beispiel: Eine Funktion hat die Steigung m  und b = 1. Wie lautet die Funktion?
3
Antwort: y 
2
x 1
3
1.7.2 Eine Funktion bestimmen, wenn die Steigung und ein Punkt gegeben ist.
2
Beispiel: Eine Funktion geht durch den Punkt P(6|5) und hat die Steigung m  . Wie lautet die
3
Funktion?
Lösung:
2
1. b ausrechen: m und Punkt P in y = mx + b einsetzen: 5  6  b
3
2. Zusammenfassen: 5 
26
b
3
54 b
b=1
2
3. m und b in y = mx + b einsetzen: y   1
3
1.7.3 Die Funktionsvorschrift bestimmen, wenn zwei Punkte gegeben sind.
Beispiel: Wie lautet die Funktion, die durch die Punkte A(2|2) und B(6|4) geht?
Um diese Funktion zu finden, gibt es drei unterschiedliche Lösungsmöglichkeiten.
1. Die zeichnerische Lösung,
2. Funktion über die Steigungsformel ausrechnen,
3. Gleichungssystem aufstellen und ausrechnen.
9
Zu 1. Zeichnerische Lösung:
a) Punkte in ein Koordinatensystem eintragen.
b) Punkte verbinden
c) Funktion ablesen
1
Man erkennt, dass die Funktion y  x  1 lautet.
2
Zu 2. Funktion über die Steigungsformel ausrechnen
Hat man zwei Punkte A(x1|y1) und B(x2|y2) gegeben, kann
man die Steigung der Funktion mit der Steigungsformel:
m
y 2  y1
berechnen. Anschließend berechnet man dann
x2  x1
den Schnittpunkt mit der y-Achse. Woher die
Steigungsformel kommt, betrachtet man am besten anhand
des Koordinatensystems:
Gegeben sind also die Punkte A(2|2) und B(6|4)
x1 y1
x2 y2
Will man mit der Steigungsformel die Funktion ausrechnen, geht man folgendermaßen vor:
1. x1, y1, x2, y2 in die Formel m 
y 2  y1
42 2 1
1
einsetzen: m 
  , also m  .
x2  x1
62 4 2
2
2. x, y und m in y = mx + b einsetzen um b zu errechnen:
4
1
6b
2
4 = 3 + b | -3
1=b
Welchen von beiden Punkten man nimmt, spielt übrigens keine Rolle. Man entscheidet sich
für den mit den einfacheren Werten.
1
3. „m“ und „b“ in y = mx + b einsetzen: y  x  1
2
10
Zu 3. Gleichungssystem aufstellen und ausrechnen.
1. Zwei Gleichungen aufstellen, indem man A und B in y = mx + b einsetzt.
I
2=m2 +b
II
4=m6 +b
______________
I
2 = 2m + b
II
4 = 6m + b
2. Nun z.B. mit dem Additionsverfahren ausrechnen:
I
2 = 2m + b | ∙ (-1)
II
4 = 6m + b
______________
I
-2 = -2m - b
II
4 = 6m + b
______________
2 = 4m | :4
m
1 1

4 2
3. m in I oder II einsetzen und b ausrechnen:
m in
1
I 22 b
2
2 = 1 + b |-1
1=b
1
4. „m“ und „b“ in y = mx + b einsetzen: y  x  1
2
11
Funktionen bestimmen
Gegeben
Lösung
„m“
„m“
y-Achsenabschnitt
Ein Punkt
„m“ und
1. b aus-
2 Punkte
Über Steigungsformel:
y-Achsenabschnitt
rechnen,
direkt in y = mx+b
indem
indem man die
in y = mx + b
einsetzen.
man m
Punkte in die
einsetzen.
und den
Steigungsformel
Punkt in
einsetzt.
y = mx + b
einsetzt.
2. m und b in
y = mx + b
einsetzen.
1. m ausrechen,
Über Gleichungssysteme
2. b ausrechen, indem
1. Beide Punkte
2. m oder b
ausrechnen
3. m bzw. b und
man m und einen
einen der Punkte
der Punkte in
in y = mx +b
y = mx +b einsetzt.
einsetzen.
3. m und b in
4. m und b in
y = mx + b
y = mx + b
einsetzen.
einsetzen.
Zeichnerische Lösung
12
1.8 Den Schnittpunkt zweier Funktionen berechnen
Gegeben sind die Funktionen
1
I y  x  1 und
2
II y  
1
x4.
4
Berechne den Schnittpunkt.
Lösung:
1. x berechnen, indem man beide Funktionen gleichsetzt: I = II
2. Nach x auflösen:
1
1
x 1 =  x  4
2
4
1
1
x 1 =  x  4 | ∙ 4
2
4
2x +4 = -x + 16 | + x | -4
3x = 12
x=4
1
3. x in eine der beiden Funktionen einsetzen und y berechnen: y   4  4
4
y=3
Der Schnittpunkt lautet also SP(4|3)
13
Weitere Aufgaben:
Berechne den Schnittpunkt der Funktionen und zeichne diese:
a) I
y = 2x – 3
II 2y = 4x – 6
y 
b) I
II
1
x4
2
2y   x  2
Zu a) Lösen mit dem Gleichsetzungsverfahren:
I
y = 2x-3
II 2y = 4x - 6 | :2
y = 2x – 3
I = II
2x - 3 = 2x – 3 | - 2x | + 3
0=0w
Dies ist eine wahre Aussage. Für unsere Aufgabe bedeutet das,
dass es unendlich viele Schnittpunkte gibt. Wenn man die
Funktionen zeichnet, stellt man fest, dass es sich um die gleiche
Funktion handelt. Die beiden Funktionen liegen also
aufeinander.
14
|Zu b) Lösen mit dem Einsetzungsverfahren
1
I in II 2( x  4)   x  2
2
-x + 8 = - x + 2 | + x
0+8=2
8=2 f
Die unwahre Aussage bedeutet hier, dass es keine Schnittpunkte gibt.
Die
beiden Funktionen liegen also parallel zueinander wie die Zeichnung zeigt.
1.9 Lineare Funktionen in der Praxis
Beispielaufgabe 1
Ein Handwerker verlangt 100 Euro pauschal und pro Stunde 50 Euro. Stelle die Funktion auf und
zeichne diese in ein Koordinatensystem!
y = 50x + 100
Zusatzfragen:
a) Was kosten 3 Stunden?
b) Wie viele Stunden muss er für 300 Euro arbeiten?
Zu a) y = 50 ∙ 3 + 100 = 250
3 Stunden kosten 250 Euro.
Zu b) 300 = 50x + 100 | - 100
200 = 50 x | : 50
4=x
Für 300 Euro muss er 4 Stunden arbeiten.
15
Beispielaufgabe 2
In einem Becken sind 500 Liter. Pro Stunde werden 125 Liter abgepumpt.
Stelle die Funktion auf und zeichne diese.
Wann ist das Becken leer?
Lösung:
y = -125x + 500
0 = -125x + 500 | -500
-500 = -125x | : -125
4=x
Nach 4 Stunden ist das Becken leer.
Beispielaufgabe 3
Auf der Kartbahn gibt es zwei
unterschiedliche Tarife.
Tarif A: Man zahlt 10 Euro Grundgebühr und
dann
pro Minute 50 Cent.
Tarif B: Man zahlt keine Grundgebühr, aber
dafür
pro Minute 1 Euro.
Stelle die Funktionen auf und zeichne diese.
Wann sind beide Tarife gleich teuer? Welcher Tarif ist langfristig günstiger?
Lösung:
Tarif A: y = 0,50x + 10
Tarif B: y = 1 x
16
Um herauszufinden, wann beide Tarife gleich teuer sind, berechnet man den Schnittpunkt.
Gleichsetzungsverfahren: A = B 0,50x + 10 = 1x | - 0,5x
10 = 0,5 x | ∙ 2
20 = x
x in eine der beiden Funktionen einsetzen: y = 1 ∙ 20 = 20
Damit erhält man den Schnittpunkt: SP(20|20) Für 20 Minuten zahlt man bei beiden Tarifen 20
Euro. An der Zeichnung sieht man, dass Tarif A günstiger ist.
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